分位数回归
分位数回归ppt课件
分位数回归估计与经典模型的最小二乘估 计相比较，有许多优点。
当数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显 著的异方差等情况，最小二乘估计将不再具 有优良性质，且稳健性非常差。分位数回归 系数估计结果比OLS估计更稳健，而且，分 位数回归对误差项并不要求很强的假设条件， 因此对于非正态分布而言，分位数回归系数 估计量则更加稳健。
i
n
i : Y i
上式可等价为：
min (Yi )
R
i1
一般的
uu I u 0
分位数回归的损失函数为：
其中， I Z 为示性函数，Z是指示关系式。 当分位数为0.5时，就是最小一乘回归，即 中位数回归。
普通最小二乘估计 基本思想 目的 原理 算法 前提假设 假设要求 检验类型 承载信息 极端值 异方差 拟合曲线 计算方法
分位数回归估计
设法使所构建的方程和样本之间的距 同普通最小二乘估计方法 离最短 借助数学模型对客观世界所存在的事 同普通最小二乘估计方法 物间的不确定关系进行数量化描写 以平均数为基准，求解最短距离 最小二乘法 独立、正态、同方差 强假设 参数检验 描述平均的总体信息 无法考虑极端值的影响 影响大 只能拟合一条曲线 求偏导解行列式，算法完备 以不同的分位数为基准，求解最 短距离 加权最小一乘法 独立 弱假设 非参数检验 充分体现整个分布的各部分信息 可以充分考虑极端值的影响 影响小 可以拟合一簇曲线 自助方法估计标准误差，多种算 法求解目标函数
min ( yi )2
R
i 1 n
样本中位数回归是使误差绝对值之和最小，即
min | yi |
R
分位数回归
三、分位数回归的假设检验
分位数回归估计的检验包括两部分：
–一是与均值回归类似的检验，例如拟合优 度检验、拟似然比检验和Wald检验等； –一是分位数回归估计特殊要求的检验，例 如斜率相等检验和斜率对称性检验等。
1、拟合优度检验
ˆ ˆ ( ) X 假设分位数回归直线为 y ( )
将解释变量矩阵和参数向量都分为两部分，即 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) 0( ) Z 1( ) X (1, Z ) 和 ( ) ( 0( ) , 1( ) ) ，且有 y 定义：
拒绝域，LR
2 1
(q )
' 似然比检验另一种表达， LR 2ln n(ln e* e* ln ee) ~ 2 (q)
' e e 有约束模型残差平方和； ** ee无约束模型残差平方和；
3、Wald检验
给定分位数回归参数估计量的渐近方差协 方差矩阵，我们就可以构造Wald形式的统计量 进行各种约束形式的参数检验。 Wald统计量的一种表达形式：
对一个样本，估计的分位数回归式越多， 对被解释变量yt条件分布的理解就越充分。 以一元回归为例，如果用LAD(最小绝对离 差和)法估计的中位数回归直线与用OLS法估计 的均值回归直线有显著差别，则表明被解释变 量yt的分布是非对称的。
如果散点图上侧分位数回归直线之间与下侧 分位数回归直线之间相比，相互比较接近，则说 明被解释变量yt的分布是左偏倚的。反之是右偏 倚的。 对于不同分位数回归函数如果回归系数的差 异很大，说明在不同分位数上解释变量对被解释 变量的影响是不同的。
最小二乘估计假定解释变量只能影响 被解释变量的条件分布的均值位置。 而分位数回归估计能精确地描述解释 变量对于被解释变量的变化范围以及条件 分布形状的影响,能够更加全面的描述被解 释变量条件分布的全貌，而不是仅仅分析 被解释变量的条件期望（均值），也可以 分析解释变量如何影响被解释变量的中位 数、分位数等。不同分位数下的回归系数 估计量常常不同，即解释变量对不同水平 被解释变量的影响不同。
条件分位数回归
条件分位数回归条件分位数回归是一种统计学方法，它可以利用多个自变量预测一个连续的因变量，并能够通过特定的分位数刻画预测结果。
这种方法可以在大型数据集中挖掘出隐藏在数据中的关系，是现代数据分析领域的热门研究课题之一。
一、条件分位数回归的概念及原理1.1 条件分位数回归的概念条件分位数回归模型是一种非参数回归分析方法，它使用了条件的分位数作为目标预测变量的方法。
它是通过对一组自变量和一个因变量的样本进行拟合函数，用于预测给定条件下的因变量的值（通常为中位数、上下十分位数等）。
具体来说，条件分位数回归的目标是通过不同条件的变量值来进行预测，例如一个明星获得社交媒体上的点赞数，主要与他最新一条动态的发布时间、是否携带图片等有一定的相关性。
1.2 条件分位数回归的原理条件分位数回归通过拟合一个基函数的线性组合来建立回归方程，该方程可以通过解决优化问题（如最小二乘法）而得到。
在条件分位数回归中，将函数的分布分为多个分位数区间，分别求出每个分位数区间的系数和常数项，用于计算预测值。
相比于普通回归方程，条件分位数回归容易排除偏大小和异常点对结果的干扰，更加鲁棒，并且对于非对称分布的数据更有效。
二、条件分位数回归的应用领域2.1 社会科学在社会科学领域中，条件分位数回归可以被用来探究不同变量对于某些特定人群的影响。
例如，条件分位数回归可以被用来分析不同收入水平的人群对于某些公共服务政策（如医疗、教育等）的接受度不同。
2.2 金融在金融领域，条件分位数回归可以被用来探讨股票价格与影响市场价格的因素之间的关系。
例如，可以利用该方法来探讨市场预期对价格变化的影响，从而规避股票交易带来的风险。
2.3 公共卫生疾病流行受到多种因素的影响，因此，条件分位数回归适用于探究这些因素对疾病的流行程度的影响。
例如，可以使用条件分位数回归来研究不同污染程度环境下婴儿出生体重的均值变化。
三、条件分位数回归的局限性3.1 可能存在模型偏差条件分位数回归模型是一种非参数模型，因此可能存在模型偏差。
分位数回归
分位数回归及其实例一、分位数回归的概念分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。
与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。
传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X 的影响过程。
普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。
如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE)；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M Ⅵ甩)。
但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。
最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。
为了弥补普通最dx--乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression)的思想。
它依据因变量的条件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。
因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状的影响。
分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。
中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。
一般线性回归模型可设定如下：()((0)),(0,1).x t t I t ρττ=-<∈在满足高斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下：01122(|)...k k E y x x x x αααα=++++其中u 为随机扰动项k αααα,...,,,210为待估解释变量系数。
分位数回归分析
分位数回归分析简介分位数回归分析（Quantile Regression Analysis）是一种统计分析方法，用来研究因变量与一个或多个自变量之间关系的非线性问题。
相比于传统的OLS（Ordinary Least Squares）回归分析，分位数回归分析更加灵活，能够提供对不同分位数的因变量条件分布的估计。
分位数回归的定义在传统的OLS回归中，我们通过找到一条线性回归方程来描述自变量和因变量之间的关系。
但是，OLS回归假设因变量在各个条件上的分布是相同的，即在不同的自变量取值下，因变量的条件分布是相同的。
而在分位数回归中，我们允许因变量在不同条件下的分布产生变化，因此可以更准确地描述不同区间的因变量与自变量之间的关系。
分位数回归的目标是找到一组系数，用于描述自变量与因变量在给定分位数时的关系。
分位数回归通过最小化残差的绝对值之和来估计这组系数。
这种方法使得我们能够探索不同分位数下自变量和因变量之间的变化。
分位数回归的优势相比于OLS回归，分位数回归具有以下优势：1.非线性建模能力：分位数回归能够对因变量和自变量之间的非线性关系进行建模，从而更准确地描述实际数据的特征。
2.探索条件分布的能力：由于分位数回归允许因变量在不同条件下的分布变化，因此可以提供对不同分位数的条件分布的估计，进一步帮助我们理解数据的性质。
3.对异常值的鲁棒性：分位数回归对异常值更加鲁棒，因为它通过最小化残差的绝对值之和来估计系数，而不是最小二乘法中常用的最小化残差的平方和。
4.考虑不完全因果关系：分位数回归可以用来研究因变量对自变量的影响程度，考虑到因变量可能由其他未观测的变量影响，从而提供了一种更加全面的因果分析方法。
分位数回归的应用分位数回归广泛应用于各个领域，以下是一些常见的应用场景：1.收入和贫困研究：分位数回归可以用来研究不同收入水平下的贫困率变化，进一步探讨收入不平等的影响因素。
2.教育研究：分位数回归可以用来研究教育水平对工资收入的影响情况，从而分析教育对个体生活水平的提高程度。
sklearn分位数回归简单解释
sklearn分位数回归简介1. 什么是分位数回归？分位数回归是一种统计方法，用于估计因变量在不同分位数下的条件分布函数。
与传统的最小二乘线性回归不同，分位数回归可以更好地处理数据中的异常值和离群点，并提供更具鲁棒性的回归估计。
在分位数回归中，我们不再关注因变量的平均值，而是将注意力放在因变量在不同分位数下的条件分布上。
这使得我们能够更好地了解数据的不同部分之间的关系，并更准确地预测因变量在不同条件下的取值。
2. sklearn中的分位数回归sklearn（Scikit-learn）是一个流行的Python机器学习库，提供了丰富的机器学习算法和工具。
在sklearn中，我们可以使用sklearn.quantile_regression模块来进行分位数回归分析。
2.1 安装sklearn要使用sklearn中的分位数回归功能，首先需要安装sklearn库。
可以使用以下命令在Python环境中安装sklearn：pip install -U scikit-learn2.2 分位数回归的基本用法在sklearn中，分位数回归的基本用法非常简单。
我们首先需要导入必要的模块：from sklearn.linear_model import QuantileRegressor然后，我们可以创建一个QuantileRegressor对象，并使用fit方法拟合模型：model = QuantileRegressor()model.fit(X, y)其中，X是自变量的特征矩阵，y是因变量的观测值。
通过拟合模型，我们可以得到在不同分位数下的回归系数。
接下来，我们可以使用predict方法来进行预测：y_pred = model.predict(X_new)其中，X_new是新的自变量的特征矩阵，y_pred是预测的因变量值。
2.3 分位数回归的参数设置在sklearn的QuantileRegressor模块中，我们可以通过设置不同的参数来控制分位数回归的行为。
分位数回归命令
分位数回归命令介绍分位数回归是一种统计分析方法，用于研究自变量对因变量特定分位数的影响程度。
它可以帮助我们了解不同部分数据的变动情况，并提供了一个更全面的数据分析工具。
在本文中，我们将详细介绍分位数回归的概念、原理和应用。
分位数回归的概念分位数回归是一种对统计数据进行建模的方法，它通过估计条件分布的分位数来描述自变量对因变量的影响。
与传统的OLS（最小二乘法）回归分析相比，分位数回归更注重观察数据的不同部分，而不仅仅是整体的平均水平。
分位数回归的原理分位数回归基于条件分布函数，通过估计分位数来确定自变量对因变量在不同分位数位置上的影响。
它的核心思想是对每个分位数进行截断回归分析，得到相应的系数估计。
这些估计可以告诉我们在特定分位数下，因变量受自变量影响的程度。
分位数回归的应用分位数回归在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景： 1. 经济学研究：分位数回归可以用于分析收入差距、教育对收入的影响等经济现象。
2. 医学研究：分位数回归可以用于探索各因素对特定生命指标的影响程度，例如体重、血压等。
3. 社会学研究：分位数回归可以帮助我们了解不同因素对社会问题的影响，如犯罪率、幸福感等。
分位数回归的命令对于分位数回归，我们可以使用各种统计软件来执行分位数回归命令。
以下是常见的一些命令示例： 1. Stata：使用qreg命令执行分位数回归分析，语法为qreg y x1 x2, quantile(p)，其中p为所选的分位数。
2. R：使用quantreg包中的rq函数执行分位数回归分析，语法为rq(y ~ x1 + x2, tau = p)，其中tau为所选的分位数。
3. Python：使用Statsmodels库中的QuantReg类执行分位数回归分析，示例代码如下：import statsmodels.api as smmodel = sm.QuantReg(y, X)result = model.fit(q=p)分位数回归的优缺点分位数回归方法具有一些优点和缺点，我们需要在应用时对其进行权衡和考虑： - 优点： 1. 提供了对数据不同部分的更详细描述。
分位数回归的起源和发展
分位数回归的起源和发展
分位数回归是一种统计学方法，用于分析变量之间的关系。
它的起源可以追溯到20世纪70年代，当时经济学家Huber和Ronchetti 提出了一种新的回归方法，称为“分位数回归”。
分位数回归的主要思想是通过对数据进行分位数分析，来确定变量之间的关系。
与传统的OLS回归方法不同，分位数回归不仅考虑了数据的平均值，还考虑了数据的分布情况。
这使得分位数回归更加适用于非正态分布的数据。
分位数回归的发展经历了多个阶段。
在20世纪80年代，分位数回归被广泛应用于经济学领域，特别是在劳动经济学和财政政策方面。
在90年代，分位数回归开始应用于其他领域，如医学、环境科学和社会科学等。
随着计算机技术的发展，分位数回归的应用范围也不断扩大。
现在，分位数回归已经成为一种常用的统计学方法，被广泛应用于各个领域。
例如，在金融领域，分位数回归被用于预测股票价格和汇率波动；在医学领域，分位数回归被用于研究药物的剂量和疗效；在环境科学领域，分位数回归被用于研究气候变化和环境污染等问题。
分位数回归是一种重要的统计学方法，它的起源可以追溯到20世纪70年代，经历了多个阶段的发展。
随着计算机技术的不断发展，分位数回归的应用范围也不断扩大，成为各个领域研究的重要工具。
最新24分位数回归估计
• 例：软件EVIEWS6.0使用手册中实例的斜率对称性检验 结果，其中Y为家庭食物消费支出，X为家庭收入。
Symmetric Quantiles Test
Equation: EQ1
Specification: Y C X
Chi-Sq. d.f. 2
Std. Error 0.025923 0.030529
Prob. 0.0000
Prob. 0.0009 0.0060
Wald统计量 为25.22， 应该拒绝斜
率在 tau=0.25、 0.5和0.75相 等性的假设， 即斜率在不 同分位点上 的值是不同
的。
4、斜率对称性检验
LR()2(V (1 ())V sˆ(()))~2(q)
有约束情况下 最小化θ分位 数回归的目标
函数值
稀疏度
无约束情况下 最小化θ分位 数回归的目标
函数值
约束的数目
3、斜率相等检验
• 斜率相等检验，即检验对于不同的分位点，估计 得到的结构参数（在线性模型中即为斜率）是否 相等。
• 原假设被设定为：
24分位数回归估计
一、分位数回归的提出
1、分位数回归Βιβλιοθήκη 理F(y)=Prob(Yy)
Q ()= in f{ y:F (y) }
Q n()= in f{y:F n(y)}
假定随机变量y的概率分布函数
定义y的θ分位数
给定y的n个观测值，相对应的 分位数
等价地转化为求一个最优化问题
Q n ( ) = a r g m i n { i : Y i |Y i | i : Y i ( 1 ) |Y i | } = a r g m i n { i ( Y i ) }
– 一是与均值回归类似的检验，例如拟合优度检验、约 束回归检验等；
分位数回归-Quantile regression
前言：普通线性回归模型关注的是均值，研究的是在某些解释变量在取值固定的条件下响应变量的期望均值，模型估计方法是最小二乘法，使各个样本残差平方和(MSE)最小。
且只能够获得“在控制一系列干扰因素后，自变量增加一个单位，因变量（的均值）增加多少”这样的结果。
然而，普通最小二乘法处理异常值是将它们平方，平方会显著增加异常值对平均值等统计数据的巨大影响，如果我们不仅希望研究响应变量的期望均值，而且还想知道其对不同分位数上因变量的影响，这时候就需要分位数回归了。
1 分位数回归概述1.1 分位数概念分位数（Quantile），亦称分位点，是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的数值点，常用的有中位数（即二分位数）、四分位数（第25、50和75个百分位）、百分位数等。
1.2 分位数回归概念分位数回归既能研究在不同分位点处自变量X对于因变量Y的影响变化趋势，也能研究在不同分位点处的哪些自变量X是主要影响因素。
原理是将数据按因变量进行拆分成多个分位数点，研究不同分位点情况下时的回归影响关系情况。
比如说想要研究学习时间对学业成绩的影响，使用分位数回归我们就可以研究学习时间每增加一个单位，学生的学业成绩会如何变化，这里的学生可以是学习成绩位列前20%的好学生，也可以是位列50%的普通学生，还可以是位列后20%的后进生。
瞬间研究的范围就变大了，群体的异质性也体现出来了。
本质上，分位数回归就是一个加权最小二乘法，给不同的y值（大于分位点和小于分位点的y）不同的权重，比如现在我们有一个数据集是1到10各整数，我们希望求0.7分位数，假设这个0.7分位数是q，然后所有大于q的数都被赋上权重0.7，小于q的赋予权重0.3。
2 案例介绍建立分位数回归来分析产品质量、广告投放对产品销售的影响。
3 软件操作及结果解读3.1 软件操作可以添加需要分析的分位数，常用的分位数有四分位数、十分位数。
本例设定十分位数。
3.2 结果解读1）分位数回归结果表图表说明：上表格展示了分位数回归的参数结果，包括分位数点、变量、样本量、拟合度R²等，可从两方面来进行分析：●在不同分位数处自变量对因变量的回归系数呈现的变化趋势。
分位数回归命令
分位数回归命令分位数回归是一种回归分析方法，它可以在处理数据时提供更为准确的结果。
而分位数回归命令则是实现这种方法所必需的命令。
首先，我们需要了解一下什么是分位数回归。
在传统的线性回归中，我们通常使用最小二乘法来拟合数据，但是这种方法对于异常值和离群点比较敏感。
而分位数回归则是通过将目标变量进行排序，并将其划分为不同的区间来处理这些问题。
具体地说，我们可以选择一个特定的百分位数（如50%或90%），然后将数据按照这个百分位数进行划分。
接着，我们可以对每个区间进行拟合，并得到一个系数向量。
最终，我们可以通过将所有系数向量相加来得到整个模型的系数。
接下来，我们需要了解一下如何使用R语言中的quantreg包来实现分位数回归命令。
首先，我们需要安装和加载quantreg包：```install.packages("quantreg")library(quantreg)```接着，我们可以使用rq()函数来拟合模型。
该函数有两个主要参数：formula和tau。
- formula：指定目标变量和预测变量之间的关系。
- tau：指定要计算的百分位数。
例如，假设我们有一个数据集，其中包含身高和体重两个变量。
我们想要使用分位数回归来预测体重。
我们可以使用以下命令来拟合模型：```model <- rq(weight ~ height, tau = 0.5, data = dataset)```这个命令将会拟合一个以身高为自变量、体重为因变量的模型，并且计算50%的分位数。
接着，我们可以使用summary()函数来查看模型的摘要信息：```summary(model)```这个命令将会输出模型的系数、标准误、t值和p值等信息。
如果我们想要预测新的数据点，我们可以使用predict()函数：```newdata <- data.frame(height = c(170, 180, 190))predict(model, newdata)```这个命令将会输出三个新数据点对应的预测结果。
分位数回归估计课件
在某些情况下，分位数回归的结果可能对模型假设的违背较为敏感。
分位数回归与其他方法的比较
与普通最小二乘法的比较
普通最小二乘法只关注数据的均值和方差，而 分位数回归可以提供更全面的信息。
与核密度估计的比较
核密度估计主要用于探索性数据分析，而分位 数回归主要用于因果关系推断。
与决策树和随机森林的比较
这些方法主要用于分类问题，而分位数回归主要用于回归问题。
05 分位数回归的未来发展
分位数回归的理论研究
01
深入研究分位数回归的理论基础，包括其假设、性 质和限制条件，以完善其理论体系。
02
探讨分位数回归与其他统计方法的结合，如混合模 型、贝叶斯方法等，以拓展其应用范围。
03
针对分位数回归的统计推断问题，研究更有效的推 断方法和理论。
灵活性
可以估计多个分位数，而不仅 仅是均值。
无分布假设
不需要假定误差项服从特定的 分布，比如正态分布。
刻画异质性
可以更好地捕捉数据的异质性 ，提供更全面的信息。
分位数回归的缺点
计算复杂度
相对于普通最小二乘法，计算成本较高。
解释性
分位数回归的系数较难解释，不如普通最小二乘法直观。
对离群值的敏感性
离群值可能会对分位数回归的结果产生较大影响。
$Y = Xbeta + epsilon$，其中$Y$是因变量，$X$是自变量，$beta$是待估 计的参数，$epsilon$是误差项。
非线性分位数回归模型
通过引入非线性函数或变换，使得模型能够更好地拟合非线性关系。
分位数回归的估计方法
最小二乘法
通过最小化残差平方和来估计参数。
迭代加权最小二乘法
分位数回归的拟合优度检验
分位数回归的拟合优度检验首先，我们来简要介绍一下分位数回归。
分位数回归是一种非参数回归方法，它可以用来估计因变量在不同分位数处与自变量之间的关系。
与传统的OLS回归只能估计均值效应不同，分位数回归可以提供关于因变量在不同分位数处的条件分布的更详细信息。
这使得分位数回归在处理偏态分布和异方差性较强的数据时表现更加稳健。
在进行分位数回归时，我们通常会使用一些拟合优度指标来评估模型对数据的拟合程度。
其中，最常用的拟合优度指标之一就是分位数回归的拟合优度检验。
拟合优度检验通常基于残差的分布来进行，用于检验模型是否能够有效地解释数据的变异性。
常见的拟合优度检验方法包括Koenker提出的LM检验和Wald检验等。
在实际应用中，拟合优度检验可以帮助我们判断分位数回归模型是否能够较好地拟合数据。
如果拟合优度检验的p值较小，我们就可以认为模型对数据的拟合程度较好；反之，如果p值较大，就需要重新考虑模型的适用性。
此外，拟合优度检验还可以用于比较不同分位数处的回归效应是否显著不同，从而更全面地了解因变量和自变量之间的关系。
然而，需要注意的是，拟合优度检验也有其局限性。
由于分位数回归是一种非参数方法，模型的复杂度较高，因此拟合优度检验可能会受到样本量的影响而产生偏差。
此外，拟合优度检验还可能受到模型设定的假设条件的限制，因此在进行拟合优度检验时需要谨慎考虑。
综上所述，分位数回归的拟合优度检验是一种重要的统计方法，它可以帮助我们评估模型对数据的拟合程度。
在实际应用中，我们可以借助拟合优度检验来判断模型的适用性，并对模型的结果进行更全面的解释。
然而，需要注意的是，拟合优度检验也有其局限性，需要结合实际情况进行谨慎分析。
希望本文能够对分位数回归的拟合优度检验方法有所启发，并为相关研究提供一定的参考价值。
分位数回归
分位数回归参数估计的思想
与LR估计量明显不同的QR估计量的特点在于， 在QR中数据点到回归线距离的测量通过垂直距离 的加权总和（没有平方）而求得，这里赋予拟合 线之下的数据点的权重是1-τ,而赋予拟合线之上 的数据点的权重则是τ.对于τ的每一个选择，都会 产生各自不同的条件分位数的拟合函数，这一任 务是为每一个可能的寻找适合的估计量。
示，对于条件均值函数E(Y|Xx)xi' ，求解
^
argminRk
n
(Yi xi')2
i1
得参数估计值。
分位数回归是对如上简单形式的扩展：
^
argm inRk
n
(Yi xi')
i1
通过对上式求解得到其参数估计值。
参数意义解释：当其它协变量保持不变时，这一估计差异 来自一个连续型协变量的单位增量，或者虚拟变量值从0 到1的变化。
人们当然也关心解释变量与被解释变量分 布的中位数，分位数呈何种关系。这就是分位 数回归，它最早由凯恩克（Koenker Roger）和 巴西特（Bassett Gilbert Jr）于1978年提出， 是估计一组回归变量X与被解释变量Y的分位数 之间线性关系的建模方法，强调条件分位数的 变化。
中位数是一个特殊的分位数，它表示 一种分布的中心位置。中位数回归是分位 数回归的一种特殊情况，其他分位数则可 以用来描述一种分布的非中心位置。第p 个百分位数表示因变量的数值低于这一百 分位数的个数占总体的p%.因此，分位数 可以指定分布中的任何一个位置。
最小二乘估计假定解释变量只能影响 被解释变量的条件分布的均值位置。
而分位数回归估计能精确地描述解释 变量对于被解释变量的变化范围以及条件 分布形状的影响,能够更加全面的描述被解 释变量条件分布的全貌，而不是仅仅分析 被解释变量的条件期望（均值），也可以 分析解释变量如何影响被解释变量的中位 数、分位数等。不同分位数下的回归系数 估计量常常不同，即解释变量对不同水平 被解释变量的影响不同。
分位数回归中位数回归
分位数回归中位数回归【分位数回归中位数回归——探索数据中的中间值】【导言】在统计学和经济学领域中，分位数回归和中位数回归是两种常用的回归分析方法。
分位数回归是指根据数据中不同的分位点，如25%、50%和75%，来估计自变量对因变量的影响程度。
而中位数回归则专注于分析因变量的中位数对自变量的响应。
本文将深入探讨这两种方法的原理、应用场景以及其在研究中的实际意义。
【正文】1. 分位数回归1.1 定义分位数回归是一种回归分析方法，其目标是根据所研究数据的不同分位点，来衡量自变量对因变量的影响。
它能够提供比传统OLS回归更全面的信息，因为它不仅仅考虑了因变量的期望值，还考虑了不同条件下的分位数。
1.2 原理分位数回归的核心思想是通过估计不同分位点下的条件分布函数来推断因变量和自变量的关系。
通常使用的方法有最小绝对偏差（LAD）估计和最大似然估计。
在估计中，不同分位点对应的回归系数可以提供关于变量之间关系的更全面信息，因为它能够描述条件下的异质性。
1.3 应用场景分位数回归在实践中有着广泛的应用场景。
在经济学中，分位数回归可以帮助我们了解不同收入群体对某一特定政策的响应程度，进而评估政策对社会不平等的影响。
分位数回归还可以用于预测风险分数、解释金融市场波动性等领域。
2. 中位数回归2.1 定义中位数回归是专注于研究因变量的中位数对自变量的响应关系。
与分位数回归不同，中位数回归不需要指定具体的分位点，而是关注数据集的中心位置，即中位数。
2.2 原理中位数回归的核心思想是通过最小化因变量中位数与预测中位数之间的差异，来估计自变量对中位数的影响。
常用的方法有最小二乘中位数回归（LAD-M）和与GM分布相对应的回归方法。
中位数回归能够提供关于自变量和因变量中间值之间的关系的直观解释，尤其适用于具有非对称数据分布的情况。
2.3 应用场景中位数回归在研究中也有着广泛的应用。
特别适用于异常值较多、数据分布非对称以及因变量的中位数更具实际意义的情况。
分位数回归
分位数回归原理
假设随机变量的分布函数为：
F(y)=Prob(Yy)
Y的 分位数的定义为：
Q () = in f { y :F ( y ) } ,0 < < 1
回归分析的基本思想就是使样本值与拟合值之间
的距离最短，对于Y的一组随机样本 ，样本均值
回归是使误差平方和最小，即
• 应用软件中给出了一些相应的检验统计量。
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5、斜率对称性检验
斜率对称性检验，即检验对于给定的X，Y的分布是否 是对称的。假设我们要检验的分位数回归模型有m个， m是奇数，且中间值τ(m+1)/2是0.5，其他τ都关于0.5对称， 即τj=1−τm-j+1, j=1,…,(m-1)/2。参数估计量按照τk的大小
LT()2(Q ~(1())sQˆ(()))
T()(12Q ˆ()s)()logQ Q ~ˆ((()))
两个统计量都渐近服从自由度为q的卡方分布，其中q
是原假设目标函数中约束条件的个数。
和
~ Q
(分) 别
代表Qˆ 有( )约束的和无约束目标方程的极小值。s(τ)是分位数
密度函数。
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似然比检验：
• 似然比
• 命题： H0:gC
• 检验思想：如果约束是无效的，有约束的最大似然函数值 当然不会超过无约束的最大似然函数值，但如果约束条件 “有效”，有约束的最大值应当“接近”无约束的最大值， 这正是似然比检验的基本思路。
•无约似束然模比型：似 然 函LL (( 数ˆ ,,值ˆ 22 ))：
因的作为用越强，，所越以远R*远(τQ)ˆ小(的 ) 于值在，0和R*1(之τ)越间Q~(接，) 近解于释1变，量反 之，越接近于0。所以可用来考察解释变量对被解释 变量第τ分位数回归拟和的好坏。
分位数回归及应用简介
分位数回归及应用简介一、本文概述分位数回归是一种统计学中的回归分析方法，它扩展了传统的均值回归模型，以揭示自变量和因变量之间的非线性关系。
本文将简要介绍分位数回归的基本原理、方法及其在各种领域中的应用。
我们将概述分位数回归的基本概念和数学模型，解释其如何适应不同的数据分布和异质性。
接着，我们将讨论分位数回归的统计性质和估计方法，包括其稳健性、灵活性和有效性。
我们将通过实例展示分位数回归在经济学、医学、环境科学等领域中的实际应用，并探讨其未来的发展前景和挑战。
通过本文的阐述，读者可以对分位数回归有更深入的理解，并了解其在处理复杂数据分析问题中的潜力和价值。
二、分位数回归的基本理论分位数回归（Quantile Regression）是统计学中的一种回归分析方法，它不同于传统的最小二乘法回归，旨在估计因变量的条件分位数与自变量之间的关系。
最小二乘法回归主要关注因变量的条件均值，而分位数回归则能够提供更为全面的信息，包括条件中位数、四分位数等。
分位数回归的基本理论建立在分位数函数的基础上，分位数函数是描述随机变量在某个特定概率水平下的取值。
在分位数回归模型中，自变量通过一组参数β影响因变量Y的条件分位数。
这些参数β是通过最小化因变量的实际值与预测值之间的某种损失函数来估计的。
分位数回归的优点在于，它对于因变量的分布假设较为宽松，不需要满足正态分布或同方差性等假设。
分位数回归对异常值和离群点的影响较小，因此具有较高的稳健性。
这使得分位数回归在处理具有复杂分布和非线性关系的实际问题时表现出色。
分位数回归的估计方法主要有线性规划法、单纯形法和非线性规划法等。
这些方法的选择取决于具体的研究问题和数据特点。
在实际应用中，分位数回归通常与一些机器学习算法相结合，如随机森林、支持向量机等，以提高模型的预测精度和泛化能力。
分位数回归在金融、医学、环境科学等领域有着广泛的应用。
例如，在金融领域，分位数回归可以用于预测股票价格的风险价值（VaR）和预期损失（ES），帮助投资者进行风险管理。
分位数回归的应用领域
分位数回归的应用领域听起来有些高大上的“分位数回归”，其实是一种统计分析方法，被广泛应用于各个领域。
那么，究竟什么是分位数回归？它有哪些应用领域呢？本文将为你揭晓这些问题。
一、什么是分位数回归？首先，我们需要了解回归分析的基本概念。
回归分析是一种用来探究一个或多个自变量与因变量之间关系的统计学方法。
在一元线性回归中，我们只用一个自变量（如某个因素），来解释一个因变量（如收入）。
但在多元回归中，可能有多个因素同时影响因变量。
分位数回归则是对于自变量和因变量都是连续型变量的情况，通过在因变量的不同分位数上估计自变量对应的条件分位数来分析两个变量之间的关系。
简单来说，它是将回归中的侧重点由平均数转变成了中位数、四分位数等不同的分位数。
二、分位数回归的应用领域1. 经济学领域分位数回归在经济学领域得到广泛应用，特别是在收入和财富分配的研究中。
以最近几十年来的研究为例，一些学者发现，在美国和其他国家，财富分配变得越来越不平等。
分位数回归可以用来研究哪些因素导致这种情况的发生，以及不同收入群体的财富和收入是否都随着时间的推移而变得不平等。
2. 医学领域医学领域中，分位数回归可以用来研究不同药物和治疗方法对患者疗效的影响。
此外，也可以应用于探究人口健康和寿命与某些风险因素（如饮食偏好和体育锻炼）之间的关系。
3. 教育领域分位数回归在教育领域也有重要的应用，可以研究学校教育和其他教育形式（如在线学习）的效果。
它可以探究教育对学生成果的影响，以及教育程度对收入和就业机会的影响等。
4. 社会科学领域分位数回归可以用于研究社会问题，例如种族和性别不平等、贫困和社会流动性等。
研究人员可以使用分位数回归数据来探究这些问题的原因和影响。
三、总结随着数据获取和分析技术的不断发展，分位数回归依然是探究统计分析中常用的工具。
它的应用领域十分广泛，包括经济学、医学、教育和社会科学等领域。
尽管分位数回归有一些局限性，比如对数据分布的要求较高，但在适当的条件下，分位数回归仍然是一种十分有价值的统计分析方法。
第26章分位数回归
i:y q yi i:y (1 q) yi
n n
i i
13
ˆq y
例 如果 q 1 4 ，则满足“ yi ”条件的观测值只得到1 4 的权 重，而满足“ yi ”条件的其余观测值则得到 3 4 的权重。 因为估计的是1 4 分位数(位于总体的底部)，故较大的观测值得 到的权重较小，而较小的观测值得到的权重较大。 证明：将目标函数中的绝对值去掉可得
3
如果 q 1 2 ，则为中位数，正好将总体分为两个相等的部分。 如果 Fy () 严格单调递增，则有
yq Fy1 (q )
其中， Fy1 () 为 Fy () 的逆函数，参见图 26.1。
4
图 26.1 总体 q 分位数与累积分布函数
5
对于回归模型，记条件分布 y | x 的累积分布函数为 Fy | x () 。 条件分布 y | x 的总体 q 分位数，记为 yq ，满足以下定义式：
2
26.2 总体分位数 假设Y 为连续型随机变量，其累积分布函数为 Fy () 。
Y的 “总体 q 分位数” (population qth quantile，0 q 1)， 记为 yq ，
满足以下定义式：
q P(Y yq ) Fy ( yq )
其中小于或等于 yq 总体 q 分位数 yq 正好将总体分布分为两部分， 的概率为 q，而大于 yq 的概率为 (1 q) 。
i1 ( yi )
n
2
1 n y i 1 yi n
样本中位数可视为“最小化残差绝对值之和”问题的解：
min
i1 yi
n
median y1 , y2 , , yn
分位数回归stata命令
分位数回归stata命令
Stata（色塔）是一种功能强大的软件工具，通常被用来进行数据处理和统计分析。
分位数回归（Quantile Regression）也由Stata实现，其为用户提供了灵活的数据探宝工具，可用于寻找解释数据中特定变量的最优模型。
一、Stata的分位数回归的特点
1、以中位数为准：与传统的多元线性回归（OLS）相比，Stata中的分位数回归更加灵活。
它使用一般线性模型来估计指定位置（如均值，中位数或四分位数）的回归参数，从而可以更好地描述分布的不对称性。
2、多元分析：与OLS回归方法相比，Stata中的分位数回归可以实现多元分析。
这意味着用户可以在单个模型中同时考虑多个自变量。
3、可解释性：Stata中的分位数回归允许用户通过检查分位数的偏差来检验模型的可解释性。
根据结果，用户可以更加准确地描述数据集。
二、Stata中分位数回归的用法
1、安装：安装Stata并搜索安装分位数回归的Stata宏包。
2、数据处理：准备数据，并用Stata编辑器进行分析。
3、回归模型：在Stata命令窗口中输入合适的模型，以创建分位数回归模型。
4、模型评估：根据模型结果，用Stata评估回归拟合的精度，并检查参数估计量的有效性。
5、模型应用：在实际应用中，可以利用拟合的模型，来进行预测以及分析数据集的不对称性。
总之，Stata的分位数回归能够提供一种快速方便的分析工具，帮助用户更准确地描述数据集。
使用正确的方法，用户可以用它来获得准确的结果。
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2、不同分位点拟合曲线的比较# 散点图attach(engel) # 打开engel数据集，直接运行其中的列名，就可以调用相应列plot(income,foodexp,cex=0.25,type="n", # 画图，说明①xlab="Household Income", ylab="Food Expenditure")points(income,foodexp,cex=0.5,col="blue") # 添加点，点的大小为0.5abline( rq(foodexp ~ income, tau=0.5), col="blue" ) # 画中位数回归的拟合直线，颜色蓝abline( lm(foodexp ~ income), lty = 2, col="red" ) # 画普通最小二乘法拟合直线，颜色红taus = c(0.05, 0.1, 0.25, 0.75, 0.9, 0.95)for(i in 1:length(taus)){ # 绘制不同分位点下的拟合直线，颜色为灰色abline( rq(foodexp ~ income, tau=taus[i]), col="gray" )}detach(engel)3、穷人和富人的消费分布比较# 比较穷人（收入在10%分位点的那个人）和富人（收入在90%分位点的那个人）的估计结果# rq函数中，tau不在[0,1]时，表示按最细的分位点划分方式得到分位点序列z = rq(foodexp ~ income, tau=-1)z$sol # 这里包含了每个分位点下的系数估计结果x.poor = quantile(income, 0.1) # 10%分位点的收入x.rich = quantile(income, 0.9) # 90%分位点的收入ps = z$sol[1,] # 每个分位点的tau值qs.poor = c( c(1,x.poor) %*% z$sol[4:5,] ) # 10%分位点的收入的消费估计值qs.rich = c( c(1,x.rich) %*% z$sol[4:5,] ) # 90%分位点的收入的消费估计值windows(, 10,5)par(mfrow=c(1,2)) # 把绘图区域划分为一行两列plot(c(ps,ps),c(qs.poor,qs.rich),type="n", # type=”n”表示初始化图形区域，但不画图xlab=expression(tau), ylab="quantile")plot(stepfun(ps,c(qs.poor[1],qs.poor)), do.points=F,add=T)plot(stepfun(ps,c(qs.poor[1],qs.rich)), do.points=F,add=T, col.hor="gray", col.vert="gray")ps.wts = ( c(0,diff(ps)) + c(diff(ps),0) )/2ap = akj(qs.poor, z=qs.poor, p=ps.wts)ar = akj(qs.rich, z=qs.rich, p=ps.wts)plot(c(qs.poor,qs.rich), c(ap$dens, ar$dens),type="n", xlab="Food Expenditure", ylab="Density")lines(qs.rich,ar$dens,col="gray")lines(qs.poor,ap$dens,col="black")legend("topright", c("poor","rich"), lty=c(1,1),col=c("black","gray"))上图表示收入（income）为10%分位点处（poor，穷人）和90%分位点处（rich，富人）的食品支出的比较。
从左图可以发现，对于穷人而言，在不同分位点估计的食品消费差别不大。
而对于富人而言，在不同分位点对食品消费的差别比较大。
右图反应了穷人和富人的食品消费分布曲线。
穷人的食品消费集中于400左右，比较陡峭；而富人的消费支出集中于800结果：Quantile Regression Analysis of Deviance TableModel: foodexp ~ incomeJoint Test of Equality of Slopes: tau in { 0.25 0.5 0.75 }Df Resid Df F value Pr(>F)1 2 703 15.557 2.449e-07 ***---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘’ 1其中P值远小于0.05，故不同分位点下收入对食品支出的影响机制不同。
（五）残差形态的检验也可以理解为是比较不同分位点的模型之间的关系。
主要有两种模型形式：（1）位置漂移模型：不同分位点的估计结果之间的斜率相同或近似，只是截距不同；表现为不同分位点下的拟合曲线是平行的。
（2）位置-尺度漂移模型：不同分位点的估计结果之间的斜率和截距都不同；表现为不同分位点下的拟合曲线不是平行的。
# 残差形态的检验source("C:/Program Files/R/R-2.15.0/library/quantreg/doc/gasprice.R")x = gaspricen = length(x)p = 5X = cbind(x[(p-1):(n-1)],x[(p-2):(n-2)],x[(p-3):(n-3)],x[(p-4):(n-4)])y = x[p:n]# 位置漂移模型的检验T1 = KhmaladzeTest(y~X, taus = -1, nullH="location")T2 = KhmaladzeTest(y~X, taus = 10:290/300,nullH="location", se="ker")结果：运行T1，可以查看其检验结果。
其中nullH表示原假设为“location”，即原假设为位置漂移模型。
Tn表示模型整体的检验，统计量为4.8。
THn是对每个自变量的检验。
比较T1和T3的结果（T3的原假设为“位置尺度漂移模型”），T1的统计量大于T3的统计量，可见相对而言，拒绝“位置漂移模型”的概率更大，故相对而言“位置尺度漂移模型”更加合适一些。
> T1$nullH[1] "location"$Tn[1] 4.803762$THnX1 X2 X3 X41.0003199 0.5321693 0.5020834 0.8926828attr(,"class")[1] "KhmaladzeTest"> T3$nullH[1] "location-scale"$Tn[1] 2.705583$THnX1 X2 X3 X41.2102899 0.6931785 0.5045163 0.8957127attr(,"class")[1] "KhmaladzeTest"（六）非线性分位数回归这里的非线性函数为Frank copula函数。
## Demo of nonlinear quantile regression model based on Frank copulavFrank <- function(x, df, delta, u) # 某个非线性过程，得到的是[0,1]的值-log(1-(1-exp(-delta))/(1+exp(-delta*pt(x,df))*((1/u)-1)))/delta# 非线性模型FrankModel <- function(x, delta, mu,sigma, df, tau) {z <- qt(vFrank(x, df, delta, u = tau), df)mu + sigma*z}n <- 200 # 样本量df <- 8 # 自由度delta <- 8 # 初始参数set.seed(1989)x <- sort(rt(n,df)) # 生成基于T分布的随机数v <- vFrank(x, df, delta, u = runif(n)) # 基于x生成理论上的非参数对应值y <- qt(v, df) # v 对应的T分布统计量windows(5,5)plot(x, y, pch="o", col="blue", cex = .25) # 散点图Dat <- data.frame(x = x, y = y) # 基本数据集us <- c(.25,.5,.75)for(i in 1:length(us)){v <- vFrank(x, df, delta, u = us[i])lines(x, qt(v,df)) # v为概率，计算每个概率对应的T分布统计量}cfMat <- matrix(0, 3, length(us)+1) # 初始矩阵，用于保存结果的系数for(i in 1:length(us)) {tau <- us[i]cat("tau = ", format(tau), ".. ")fit <- nlrq(y ~ FrankModel(x, delta,mu,sigma, df = 8, tau = tau), # 非参数模型data = Dat, tau = tau, # data表明数据集,tau分位数回归的分位点start= list(delta=5, mu = 0, sigma = 1), # 初始值trace = T) # 每次运行后是否把结果显示出来lines(x, predict(fit, newdata=x), lty=2, col="red") # 绘制预测曲线cfMat[i,1] <- tau # 保存分位点的值cfMat[i,2:4] <- coef(fit) # 保存系数到cfMat矩阵的第i行cat("\n") # 如果前面把每步的结果显示出来，则每次的结果之间添加换行符}colnames(cfMat) <- c("分位点",names(coef(fit))) # 给保存系数的矩阵添加列名cfMat结果：拟合结果：（过程略）> cfMat分位点delta mu sigma [1,] 0.25 14.87165 -0.20530041 0.9134657[2,] 0.50 16.25362 0.03232525 0.9638209[3,] 0.75 12.09836 0.11998614 0.9423476（七）半参数和非参数分位数回归非参数分位数回归在局部多项式的框架下操作起来更加方便。