整式的乘除与因式分解全章复习与巩固(汇编)
《整式的乘除》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算 1、（2015春•南长）已知228x y +=，993y x -=，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．【答案与解析】解：根据3(2)22x y +=，2933y x -=，列方程得：， 解得：， 则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．2、（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。
整式的乘除及因式分解单元复习
将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘，合并同类项 。
多项式乘多项式
定义
将两个多项式相乘，得到一个新的多 项式。
方法
根据分配律，将一个多项式的每一项 与另一个多项式的每一项相乘，再合 并同类项。
乘法公式
01
02
03
04
平方差公式
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
完全平方公式
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
题目
计算：$frac{a^6}{a^{-3}}$
答案
$a^{6+3} = a^9$
解析
利用同底数幂的除法法则，$frac{a^6}{a^{-3}} = a^{6+3} = a^9$。
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多项式除以多项式
除法运算
将多项式的每一项分别除以被除式的每一项，再将商相加。
举例
$(x^3 + 2x^2 - x) div (x^2 - 1) = frac{x^3}{x^2} + frac{2x^2}{x^2} - frac{x}{x^2} = x + 2 - frac{1}{x}$。
03 因式分解
VS
详细描述
提公因式法是指从多项式的每一项中提取 公因子，从而将多项式化成几个整式的积 的形式。公因子必须是各项系数的公约数 以及相同字母的最低次幂的乘积。
公式法
总结词
掌握公式法能够更快速地进行因式分解。
详细描述
公式法是指利用平方差公式、完全平方公式 等数学公式进行因式分解的方法。这些公式 可以直接应用于多项式，简化因式分解的过 程。
整式乘除与因式分解复习教案
整式乘除与因式分解复习教案第一篇：整式乘除与因式分解复习教案整式的乘除与因式分解复习菱湖五中教学内容复习整式乘除的基本运算规律和法则，因式分解的概念、方法以及两者之间的关系。
通过练习，熟悉常规题型的运算，并能灵活运用。
教学目标通过知识的梳理和题型训练，提高学生观察、分析、推导能力，培养学生运用数学知识解决问题的意识。
教学分析重点根据新课标要求，整式的乘除运算法则与方法和因式分解的方法与应用是本课重点。
难点整式的除法与因式分解的应用是本课难点。
教学方法与手段采用多媒体课件，由于本课内容较多，故设计了大量的练习，使学生理解各种类型的运算方法。
本课教学以练习为主。
教学过程一．回顾知识点（一）整式的乘法1、同底数的幂相乘2、幂的乘方3、积的乘方4、同底数的幂相除5、单项式乘以单项式6、单项式乘以多项式7、多项式乘以多项式8、平方差公式9、完全平方公式（二）整式的除法1、单项式除以单项式2、多项式除以单项式（三）因式分解1、因式分解的概念2、因式分解与整式乘法的关系3、因式分解的方法4、因式分解的应用二．练习巩固（一）单项式乘单项式(1)(5x3)⋅(-2x2y),(2)(-3ab)2⋅(-4b3)(3)(-am)2b⋅(-a3b2n)，231(4)(-a2bc3)⋅(-c5)⋅(ab2c)343（二）单项式与多项式的乘法(1)(-2a)⋅(x+2y-3c),(2)(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)(3)(x+y)(-2x-1y)2（三）乘法公式应用(1)(-6x+y)(-6x-y)(2)(x+4y)(x-9y)(3)(3x+7y)(-3x-7y)（四）整式的除法1(1)(-a6b4c)÷((2a3c)41(2)6(a-b)5÷[(a-b)2]3(3)(5x2y3-4x3y2 +6x)÷(6x)13(4)x3my2n-x2m-1y2+x2m+1y3)÷(-0.5x2m-1y2)3 4（五）提取公因式法因式分解(1)3ay-3by+3y(2)-4a3b2+6a2b-2ab(3)3(x-y)3-6(x-y)2(4)5m(a-b)4-4m2(b-a)3（六）乘法公式因式分解(1)25-16x2(2)-81x2+4(y-1)2(3)x2-14x+49(4)(x+y)2-6(x+y)+9（七）因式分解的应用1、解方程（1）9x2+4x=0(2)x2=(2x-5)22、计算（1）(2mp-3mq+4mr)÷(2p-3q+4r)（2）(16-x4)÷(4+x2)÷(x-2)探究活动:求满足4x2-9y2=31的正整数解。
《整式的乘除与因式分解》复习精品共39页
《整式的乘除与因式分解》复习精品
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
(完整版)因式分解专项练习题(含答案) - 副本
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固要点一、幂的运算1. 同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2. 幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3. 积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4 .同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5. 零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁要点二、整式的乘法和除法1. 单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2. 单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式).3. 多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.4. 单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式要点三、乘法公式1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：；。
(完整版)整式的加减乘除及因式分解中考总复习(知识点复习+中考真题题型分类练习),推荐文档
C. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x﹣2
D. ﹣2（3x﹣1）=﹣6x+2
2．（ 2015•济宁）化简 ﹣16（ x﹣0.5）的结果是（ ）
A． ﹣16x﹣0.5
B． ﹣16x+0.5
C． 16x﹣8
3.（2016·佛山）化简 m n (m n) 的结果是( )．
D． ﹣16x+8
A． 0
B． 2m
整式加减乘除及因式分解真题练习
整式加减
考点 1、考查整式的有关概念
1．（2016•常德）若﹣x3ya 与 xby 是同类项，则 a+b 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2016•上海）下列单项式中，与 a2b 是同类项的是（ ）
A．2a2b
B．a2b2
C．ab2
3．（2015•崇左）下列各组中，不是同类项的是（ ）
（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中 n 为正整数）．
整式乘除及因式分解
考点 1：因式分解求解
1. （2014•安徽）下列四个多项式中，能因式分解的是（ ）
A． a2+1
B． a2﹣6a+9
C．x2+5y
2.（2014•毕节）下列因式分解正确的是（
）
A． 2x2﹣2=2（x+1）（x﹣1）
B． 2a3+3a2=5a5
C． 3a2b-3ba2=0
6.（2013•宁波）下列计算正确的是（ ）
A. a2 a2 a4
B. 2a a 2
C. ab2 a2 b2
D． 3 D． ﹣2
D． 3a2 D． 5a2-4a2=1
(华东师大版)数学初二上册 《整式的乘除》全章复习与巩固--巩固练习(基础)
【巩固练习】一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．A ．B ．C ．D ． 2．（2016•恩施州）下列计算正确的是（ ）A ．2a 3+3a 3=5a 6B ．（x 5）3=x 8C ．﹣2m （m ﹣3）=﹣2m 2﹣6mD ．（﹣3a ﹣2）（﹣3a +2）=9a 2﹣43.若是完全平方式，则的值是（ ）A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—104. 将＋分解因式，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5.（2015•本溪）下列运算正确的是（ ）A ．5m+2m=7m 2B ．﹣2m 2•m 3=2m 5C ．（﹣a 2b ）3=﹣a 6b 3D ．（b+2a ）（2a ﹣b ）=b 2﹣4a 26. 若是的因式，则为（ ）A.－15B.－2C.8D.27. 因式分解的结果是（ ）A ．B ．C ．D ． 8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二.填空题9．化简＝______． 10．（2016春•普宁市期末）计算：（﹣18a 2b +10b 2）÷（﹣2b ）= ． 11．若，化简＝________．12. 若，＝__________.13.把分解因式后是___________.()()22422m n m n m n -=+-()()2111m m m +-=-()23434m m m m --=--()224529m m m --=--252++kx x k 2m ()2a -()2m a -()2a -()2m m -()()21m a m -+()()21m a m --()()21m a m --)5)(3(+-x x q px x ++2p 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-2)5(b a -2)5(b a +)23)(23(b a b a +-2)25(b a -22a b --2224x y -224x y -()()22m n ---22144121a b -+22122m n -+()2m n a a ⋅221x y -=()()20122012x y x y +-2330x x +-=32266x x x +-()()2011201222-+-14.的值是________．15.（2015春•福田区期末）若x ﹣y=8，xy=10，则x 2+y 2= ．16.下列运算中，结果正确的是___________①，②， ③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ ，⑨ 三.解答题 17.分解因式： （1）； （2）.18. 解不等式，并求出符合条件的最小整数解． 19．（2015春•濉溪县期末）若a 2+a=0，求2a 2+2a+2015的值．20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.2. 【答案】D ；【解析】A 、原式=5a 3，错误；B 、原式=x 15，错误；C 、原式=﹣2m 2+6m ，错误；D 、原式=9a 2﹣4，正确，故选D.3. 【答案】D ；【解析】 4. 【答案】C ；【解析】＋＝＝．5. 【答案】C ；【解析】解：A 、5m+2m=（5+2）m=7m ，故A 错误；B 、﹣2m 2•m 3=﹣2m 5，故B 错误；C 、（﹣a 2b ）3=﹣a 6b 3，故C 正确；D 、（b+2a ）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）=4a 2﹣b 2，故D 错误．故选：C ．6. 【答案】D ；【解析】.7. 【答案】A ()()()()241111x x x x -++-+422a a a =+523)(a a =2a a a =⋅()()33x y y x -=-()x a b x a b --=-+()x a b x b a +-=--()22x x -=-()()33x x -=--()()22x y y x -=-234()12()x x y x y ---2292416a ab b -+()()()22232336x x x x +-+->+()2221055x x x ±+=±2m ()2a -()2m a -2m ()2a -()2m a --()()21m a m --2(3)(5)28x x x x -+=+-【解析】＝. 8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9. 【答案】.10.【答案】9a 2﹣5b ；【解析】（﹣18a 2b +10b 2）÷（﹣2b ）=﹣18a 2b ÷（﹣2b ）+（10b 2）÷（﹣2b ）=9a 2+（﹣5b ）=9a 2﹣5b ．11.【答案】1；【解析】. 12.【答案】0；【解析】.13.【答案】；【解析】.14.【答案】－2；【解析】 .15.【答案】84；【解析】解：∵x﹣y=8，∴（x ﹣y ）2=64，x 2﹣2xy+y 2=64．∵xy=10，∴x 2+y 2=64+20=84．故答案为：84．16.【答案】③⑤⑥⑨；【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.三.解答题17.【解析】解：（1）＝；（2）.18.【解析】 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦()22m n m n a a a +⋅=()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y +-=+-=-==⎡⎤⎣⎦()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=20112()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=()()()()()()()242241111111x x x x x x x -++-+=-+-+44112x x =---=-234()12()x x y x y ---224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--22292416(34)a ab b a b -+=-解：符合条件的最小整数解为0，所以.19.【解析】解：本题考查整体代入的思想.∵a 2+a=0，∴原式=2（a 2+a ）+2015=2015．20．【解析】解：设为原来的价格(1) 由题意得：（2）由题意得：（3）由题意得：. 所以前两种调价方案一样.()()()22232336x x x x +-+->+2224129636139913x x x x x x x ++-++>+>->-0x =a ()()110%110%0.99a a +-=()()110%110%0.99a a -+=()()120%120% 1.20.80.96a a a a +-=⨯=。
31.整式的乘除与因式分解全章复习与巩固(提高)知识讲解
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（提高）撰稿：康红梅 责编：吴婷婷【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算 1、已知25m x =，求6155m x -的值． 【思路点拨】由于已知2m x的值，所以逆用幂的乘方把6m x 变为23()m x ，再代入计算． 【答案与解析】解：∵25m x=， ∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=． 【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例1】【变式】（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。
(全册系列精选)华东师大初中数学八年级上册《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《整式的乘除》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.22()()a b a b a b +-=-要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. ()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=- 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项考虑完全平方；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、（2016春•东台市期中）已知：5a =4，5b =6，5c =9，（1）52a +b 的值；（2）5b -2c 的值；（3）试说明：2b =a +c ．【思路点拨】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等即可得答案．【答案与解析】解：（1）52a +b =52a ×5b =（5a ）2×5b =42×6=96（2）5b ﹣2c =5b ÷（5c ）2=6÷92=6÷81=227（3）5a +c =5a ×5c =4×9=3652b =62=36，因此5a +c =52b 所以a +c =2b ．【总结升华】本题考查了幂的相关运算，熟记法则的同时要注意逆用公式才是解题关键． 举一反三：【变式】（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。
《整式的乘除》全章复习与巩固基础
13整式的乘除》全章复习与巩固(基础)一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及 多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式) ，了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 学习策略：本章的公式法则比较多，记忆不能混淆 .灵活掌握法则中的字母的含义，可能是单项式，也可能是多项式，分清原题中的哪个部分相当于公式中的字母． 零指数幂和负数指数幂的应用要引起足够的重视 .注意法则的逆运用，学会运用法则进行化简技巧二、学习与应用“凡事预则立，不预则废” ．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 性．我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记．知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？5n m A ) a5m nC ) a 5m nD ) - a4 A )a 41．a m 5 a n 2． 下列运算正确的是 3． C ) 2a 4 1997 A )4．已知 x 25. 5．已知 x a 3, 3a 5 2355,xy 6a 9 1997B ) 3,则x B ) 25 D )C )0 C )19D )1997 D ) 19x b 5, 则 x 3a 2b5n m B ) a 3 B )a 33a 39 先把这个多项式的每一项 除以单项式，再把所得的商要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID ： #105101#434748要点一、幂的运算1. 同底数幂的乘法： （ m ，n 为正整数 ） ；同底数幂相乘，底数 ，指数2. 幂的乘方： （ m ，n 为正整数 ） ；幂的乘方，底数，指数 . 3. 积的乘方： （ n 为正整数 ） ；积的乘方，等于各 乘方的 .4. 同底数幂的除法：（ a ≠0, m ， n 为正整数，并且 m n ）.同底数幂相除，底数不变，指数 . 5. 零指数幂： a 0 1 a 0 . 即任何不等于零的数的零次方等于 1.n 16.负指数幂： a n n （a ≠0， n 是 数）.a n 要点诠释： 公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双 向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 .要点二、整式的乘法和除法1. 单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的 作为积的一个 .2. 单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 . 即m （a b c ） ma mb mc （ m, a, b, c 都是单项式 ）.3. 多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相. 即 .要点诠释： 运算时，要注意积的 ，多项式中的每一项前面的“＋” “－”号是性质 符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形 式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：4. 单项式相除5. 多项式除以单项式27 A ) 25 B ） C ） 10 D )52x a x b x 2a b x ab .把系数、相同字母的幂分别 同它的指数一起作为作为商的因式，对于只在被 一个因式 . 里出现的字母，则连即： (am bm cm) m am m bm m cm m a b c要点三、乘法公式1. 平方差公式： (a b)(a b) a 2 b 2 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 . 要点诠释： 在这里， a ，b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式 .平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项” ，而结果是“相同项”的平方减 去“相反项”的平方 .2. 完全平方公式： a b a 2 2ab b 2 ； (a b)2 a 2 2ab b 2两数和 ( 差) 的 等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的 .要点诠释： 公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是 ，是这 两数的平方和加(或减)这两数之积的 2 倍. 典型例题——自主学习 认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完 成举一反三． 课堂笔记或者其它补充填在右栏． 更多精彩内容请学习网校资源 ID ： #105105#434748类型一、幂的运算例 1、 计算下列各题：(1) (3 102)3 ( 103)4 4) ( 2a)6 ( 3a 3)2 [ (2a)2]3思路点拨】 按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘【总结升华 】 _________________________________________________________________________________举一反三：1 3 32 1 23 【变式】当 a ， b ＝4时，求代数式 a 3( b 3)2 (ab 2)3 的值．42例 2、已知空气的单位体积质量是 0.001239g/cm 3，一个体积是 480m 3 的房间内的空气质量是多 少？(保留3 个有效数字)2 3 3 22) [3(m n)2]3[ 2(m n)3]23) ( 2xy 2)6 ( 3x 2y 4)3【总结升华】举一反三：7 3 4 2 3 【变式】计算： (1) (3 10 7) (2 103)；(2)(2 104)2 (5 10 3)；(3)(6 106) (3 10 2) ；(4) (2 102)3 (4 10 3) 2．类型二、整式的乘除法运算例 3、 解下列不等式．（1） 2 x （x 1） x （2x 5） 12（2） 3x （7 x ） 18 （3x 15）x【总结升华】 __________________________________________________________________________________例 4、（2016 春?东台市期中）已知： 5a =4， 5b =6， 5c =9，（1）52a+b 的值；（2）5b ﹣2c 的值； （ 3 ）试说明： 2b=a+c ．【思路点拨】（1）根据同底数幂的乘法，可得底数相同的幂的乘法，根据根据幂的乘方，可得答案； （2）根据同底数幂的除法，可得底数相同幂的除法，根据幂的乘方，可得答案；（3）根据同底数幂的乘法、幂的乘方，可得答案．总结升华】 举一反三：【变式】（1）已知 27m 1 32m 27 ，求 m的值．2)已知10a 20 ，10b 1，求9a32 b的值．53)已知2m 3，2n4，求23m 2n的值．类型三、乘法公式例5、对任意整数n，整式(3n 1)(3n 1) (3 n)(3 n)是否是10 的倍数？为什么？【总结升华】___________________________________________________________________________________举一反三：【变式】(2015 秋?泰州)计算：2( 1) 2m 5 22( 2) a 3 a 3 a29例6、已知a b 3，ab 4，求：(1) a2 b2；(2) a3 b322 2 2 2【思路点拨】在公式a b a22ab b2中能找到a b,ab,a2 b2的关系.总结升华】___________________________________________________________________________________三、测评与总结要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力．成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试．知识点：《整式的乘除》全章复习与巩固(基础)测评系统分数：模拟考试系统分数：如果你的分数在85 分以下，请进入网校资源ID：#105128#434748 进行巩固练习，如果你的分数在85 分以上，请进入网校资源ID：#105172#434755 进行能力提升．自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理．如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流．○网○校○重○要○资○源知识导学：《整式的乘除》全章复习与巩固（基础）（# 434748）对本知识的学案导学的使用率：□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：家长： ________________ 指导教师： ____________________请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学．。
《整式的乘除》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《整式的乘除》全章复习与巩固（基础）责编：赵炜【学习目标】1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算； 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (mn ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, mn ，为正整数，并且m n >). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：1nn aa-=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【典型例题】类型一、幂的运算1、计算下列各题：（1）2334(310)(10)⨯⨯- （2）2332[3()][2()]m n m n +-+ （3）26243(2)(3)xy x y -+- （4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】解：（1）2334(310)(10)⨯⨯-323343(10)(10)=⨯⨯18192710 2.710=⨯=⨯．（2）2332[3()][2()]m n m n +-+36263()(2)()m n m n =⋅+⋅-⋅+661227()4()108()m n m n m n =+⋅+=+．（3）26243(2)(3)xy x y -+-6661233612(1)2(1)3x y x y =-⋅⋅+-⋅612612612642737x y x y x y =-=．（4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-6662232366(1)2(1)3()(1)(2)a a a =-⋅--⋅⋅+-⋅6666649649a a a a =--=-．【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别． 举一反三： 【变式】当41=a ，b ＝4时，求代数式32233)21()(ab b a -+-的值． 【答案】解：333223363636611771()()45628884a b ab a b a b a b ⎛⎫-+-=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭.2、已知空气的单位体积质量是0.001239g/cm 3，一个体积是480m 3的房间内的空气质量是多少？（保留3个有效数字）【答案与解析】解： ∵ 36383480m 48010cm 4.8010cm =⨯=⨯，∴ 83850.001239 4.810 1.23910 4.810 5.947210(g)-⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯ 25.947210(kg)=⨯≈25.9510(kg)⨯． 【总结升华】当数据太大或太小时，可逐步计算，力求使计算准确无误． 举一反三：【变式】计算：（1）73(310)(210)-⨯⨯⨯；（2）423(210)(510)--⨯⨯⨯；（3）62(610)(310)-⨯÷⨯；（4）2332(210)(410)---⨯÷⨯．【答案】解：（1）原式734(32)(1010)610--=⨯⨯⨯=⨯；（2）原式838311(410)(510)(45)(1010)2010-----=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯10210-=⨯；（3）原式6(2)8(63)10210--=÷⨯=⨯； （4）原式66121018101012810 1.281016---⎛⎫=⨯÷⨯=⨯=⨯⎪⎝⎭． 类型二、整式的乘除法运算3、解下列方程．（1）2(1)(25)=12x x x x --- （2）3(7)=18(315)x x x x --- 【答案与解析】解：（1）222225=12x x x x --+，3=12x ，=4x ．（2）22213=18315x x x x --+，6=18x ，=3x ．【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次方程的方法求解．4、（2015春•扬州）“若mna a =（a ＞0且a≠1，m 、n 是正整数），则m=n”．你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果9273x=，求x 的值； （2）如果528162xx÷=，求x 的值； （3）如果22383515x x x ++-=，求x 的值．【思路点拨】（1）把等号左边的式子利用幂的乘方转化为以3为底数的幂，根据等式的左边=右边，即可求解．（2）把等号左边的式子利用幂的乘方以及同底数的幂的乘法法则转化为以2为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解；（3）把等号左边的式子利用积的乘方的逆运用转化为以15为底数的幂，则对应的指数相等，即可求解． 【答案与解析】 解：（1）()33927333xxx ===，∴3x =9，解得：x =3．（2）2816x x÷=()()34222xx÷=34134522222x x x x -+÷==，∴1﹣3x +4x =5， 解得：x =4． （3）()22223835351515x x x x x ++++-=⨯==，∴x +2=3x ﹣8， 解得：x =5．【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方和积的乘方法则． 举一反三： 【变式】（1）已知1227327m m -÷=，求m 的值．（2）已知1020a=，1105b=，求293a b÷的值． （3）已知23m=，24n=，求322m n-的值．【答案】解：（1）由题意，知312(3)327m m -÷=．∴ 3(1)2333m m--=．∴ 3323m m --=，解得6m =．（2）由已知1020a =，得22(10)20a =，即210400a=．由已知1105b=，得211025b=． ∴ 221101040025ab ÷=÷，即2241010a b-=．∴ 224a b -= ∴ 22222493333381aba b a b -÷=÷===．（3）由已知23m=，得3227m=．由已知24n =，得2216n =． ∴ 32322722216m nm n -=÷=． 类型三、乘法公式5、对任意整数n ，整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数？为什么？ 【答案与解析】解：∵(31)(31)(3)(3)n n n n +---+22222(3)1(3)919n n n n =---=--+22101010(1)n n =-=-，。
《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
《整式的乘除》全章复习与巩固一知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解正整数幕的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单 项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义， 能利用公式进行 乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法 公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法 和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一 要点一、幕的运算1. 同底数幕的乘法：.；： " 4 5 6 7 （m, n 为正整数）；同底数幕相乘，底数不变，指数相加.1. 单项式乘以单项式单项式与单项式相乘， 把他们的系数，相同字母分别相乘， 对于只在一个单项式里含有 的字母，则连同它的4 同底数幕的除法：L ; :（ a 丰0, m, n 为正整数，并且 m n ）.同底数幕相除，底数不变，指数相减5 零指数幕：a 0 1 a 0 .即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数， 也可以表示单项式， 还可以表示多项式； 灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁 .要点二、整式的乘法和除法3.积的乘方：（n 为正整数）；积的乘方，等于各因数乘方的积J（ m, n 为正整数）；幕的乘方，底数不变，指数相乘2.幕的乘方: 般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解 【知识网络】【要点梳理】指数作为积的一个因式•2. 单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加•即m(a b c) ma mb mc(m, a, b,c 都是单项式).3. 多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即a b m n am an bm bn.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“ + ”“―”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“ + ”连结，最后写成省略加号的代数和的形式. 根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：xaxb x2a b x ab.4. 单项式相除把系数、相同字母的幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5. 多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即: (am bm cm) m am m bm m cm m a b c要点三、乘法公式1. 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差(a b)(a b) a2 b2要点诠释：在这里，a, b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.2 2 2 2 2 2a b a 2ab b ；(a b) a 2ab b要点诠释：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项考虑完全平方；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幕的运算1、已知x2m 5，求-x6m 5的值.5【思路点拨】由于已知x2m的值，所以逆用幕的乘方把x6m变为(x2m)3，再代入计算.【答案与解析】解：••• x2m 5 ,•••-x6m5 -(x2m)35 - 5 20•5 5 5【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.举一反三：【变式】(1)已知a 224, b 96, c 512，比较a, b, c的大小.(2)比较330,920,2710大小。
人教版数学八上第24讲整式的乘除与因式分解全章复习与巩固(基础)知识讲解
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方： (m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方： (n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、计算下列各题：（1）2334(310)(10)⨯⨯- （2）2332[3()][2()]m n m n +-+（3）26243(2)(3)xy x y -+- （4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘. 【答案与解析】解：（1）2334(310)(10)⨯⨯-323343(10)(10)=⨯⨯18192710 2.710=⨯=⨯．（2）2332[3()][2()]m n m n +-+36263()(2)()m n m n =⋅+⋅-⋅+661227()4()108()m n m n m n =+⋅+=+．（3）26243(2)(3)xy x y -+-6661233612(1)2(1)3x y x y =-⋅⋅+-⋅612612612642737x y x y x y =-=．（4）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-6662232366(1)2(1)3()(1)(2)a a a =-⋅--⋅⋅+-⋅ 6666649649a a a a =--=-．【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别． 举一反三： 【变式】当41=a ，b ＝4时，求代数式32233)21()(ab b a -+-的值． 【答案】解：333223363636611771()()45628884a b ab a b a b a b ⎛⎫-+-=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭.类型二、整式的乘除法运算2、解下列不等式．（1）2(1)(25)12x x x x ---< （2）3(7)18(315)x x x x -<--【答案与解析】解：（1）22222512x x x x --+<，312x <，4x <．（2）2221318315x x x x -<-+，618x <，3x <．【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解．3、已知312326834mn axy x y x y ÷=，求(2)n m n a +-的值．【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到m n a 、、的值即可代入求值． 【答案与解析】 解：由已知312326834mn axy x y x y ÷=，得31268329284312m n n ax y x y x y x y +=⋅=，即12a =，39m =，2812n +=， 解得12a =，3m =，2n =．所以22(2)(23212)(4)16nm n a +-=⨯+-=-=．【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到m n a 、、的值. 举一反三： 【变式】（1）已知1227327m m -÷=，求m 的值．（2）已知1020a=，1105b=，求293a b÷的值． （3）已知23m=，24n =，求322m n-的值．【答案】解：（1）由题意，知312(3)327m m -÷=．∴ 3(1)2333m m --=．∴ 3323m m --=，解得6m =．（2）由已知1020a =，得22(10)20a =，即210400a =．由已知1105b=，得211025b=． ∴ 221101040025ab ÷=÷，即2241010a b-=．∴ 224a b -= ∴ 22222493333381aba b a b -÷=÷===．（3）由已知23m=，得3227m=．由已知24n =，得2216n =．∴ 32322722216m nm n -=÷=．类型三、乘法公式4、对任意整数n ，整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数？为什么？ 【答案与解析】解：∵(31)(31)(3)(3)n n n n +---+22222(3)1(3)919n n n n =---=--+22101010(1)n n =-=-， 210(1)n -是10的倍数，∴ 原式是10的倍数．【总结升华】要判断整式(31)(31)(3)(3)n n n n +---+是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10． 举一反三：【变式】解下列方程(组)：22(2)(4)()()32x y x y x y x y ⎧+-+=+-⎨-=-⎩【答案】解： 原方程组化简得2332x y x y -=⎧⎨-=-⎩，解得135x y =⎧⎨=⎩．5、已知3a b +=，4ab =-，求： (1)22a b +；(2)33a b +【思路点拨】在公式()2222a b a ab b +=++中能找到22,,a b ab a b ++的关系.【答案与解析】解：(1) 222222a b a ab b ab +=++-()22a b ab =+-∵3a b +=，4ab =-， ∴()22232417a b +=-⨯-=(2)333223a b a a b a b b +=+-+()()()2a a b b a b a b =+-+- ()()22a b a ab b =+-+ ()()2[3]a b a b ab =++-∵3a b +=，4ab =-，∴()332333463a b ⎡⎤+=-⨯-=⎣⎦.【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路. 类型四、因式分解6、 分解因式：(1)222284a bc ac abc +-；(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-． 【答案与解析】解：(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-． (2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-2()[()()()]m m n m n m n m n =++++-- 22()(22)m m n m mn n n =++++．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否． 举一反三：【高清课堂 整式的乘除与因式分解单元复习 例7】 【变式】分解因式：（1）()()222222x x----（2）()2224420x xx x +---（3）2244634a ab b a b -+-+-【答案】解：（1）原式()()()()()()2222212211x xx x x x =---+=+-+-（2）原式＝()()()222224(4)204544x xx x x x x x +-+-=+-++()()()2512x x x =+-+（3）原式＝()()()()223242421a b a b a b a b ----=---+ 【巩固练习】 一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．A ．()()22422m n m n m n -=+-B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=--D ．()224529m m m --=-- 2．下列计算正确的是( )． A.325a a a +=B.()23624aa -=C.()222a b a b +=+D. 623a a a ÷=3.若252++kx x 是完全平方式，则k 的值是（ ）A . —10 B. 10 C. 5 D.10或—10 4. 将2m()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（）A ．()2a -()2m m - B ．()()21m a m -+ C ．()()21m a m -- D ．()()21m a m -- 5. 下列计算正确的是（ ）A. 23323bx y xy x -÷=- B. ()()2223xyx y y-÷-=-C.()()33223322x yxy x y -÷-=- D. ()()32224a b a b a --÷-=6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.2 7. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（）A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a - 8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+；⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题 9．化简()2m n aa ⋅＝______．10．如果229x mx -+是一个完全平方式，那么m ＝______． 11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________．12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________.13.把()()2011201222-+-分解因式后是___________.14.()()()()241111x x x x -++-+的值是________．15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________.16.下列运算中，结果正确的是___________①422aa a =+，②523)(aa =， ③2aa a =⋅，④()()33x y y x -=-，⑤()x a b x a b --=-+，⑥()x a b x b a +-=--，⑦()22x x -=-， ⑧ ()()33xx -=--，⑨ ()()22x y y x -=-三.解答题 17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---； （2）2292416a ab b -+； （3）21840ma ma m --.18. 解不等式()()()22232336x x x x +-+->+，并求出符合条件的最小整数解．19．已知：x y a +=，xy b =，试用a b ，表示下列各式：（1）22x y +；(2)()2x y -；(3)22x y xy +．20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？ 【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式. 2. 【答案】B ； 3. 【答案】D ；【解析】()2221055x x x ±+=±4. 【答案】C ； 【解析】2m()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】B ；【解析】233122bx y xy bx -÷=-；()()33223328x yxy x y -÷-=；()()3222a b a b a --÷-=-.6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)28x x x x -+=+-. 7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦.8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解. 二.填空题 9. 【答案】()22m n m n aa a +⋅=.10.【答案】±3；【解析】()2222293233x mx x x x -+=±=±⨯+.11.【答案】1； 【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y +-=+-=-==⎡⎤⎣⎦.12.【答案】0；【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=. 13.【答案】20112； 【解析】()()()()()201120122011201120112221222-+-=--=--=.14.【答案】－2；【解析】()()()()()()()242241111111x x x x x x x -++-+=-+-+44112x x =---=-.15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=.16.【答案】③⑤⑥⑨；【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.三.解答题 17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--； （2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()22184********ma ma m m a a m a a --=--=-+.18.【解析】解：()()()22232336x x x x +-+->+2224129636139913x x x x x x x ++-++>+>->-符合条件的最小整数解为0，所以0x =. 19.【解析】解：（1）()222222x y x y xy a b +=+-=-；(2)()()22244x y x y xy a b -=+-=-；(3)()22x y xy xy x y ab +=+=．20．【解析】解：设a 为原来的价格(1) 由题意得：()()110%110%0.99a a +-= （2）由题意得：()()110%110%0.99a a -+=（3）由题意得：()()120%120% 1.20.80.96a a a +-=⨯=. 所以前两种调价方案一样.。
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整式的乘除与因式分解全章复习与巩固
要点一、幂的运算
1. 同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
2. 幂的乘方：(为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.
3. 积的乘方：(为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.
4 .同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
5. 零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.
要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁
要点二、整式的乘法和除法
1. 单项式乘以单项式
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2. 单项式乘以多项式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
即(都是单项式).
3. 多项式乘以多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
即.
要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多
项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：.
4. 单项式相除
把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
要点三、乘法公式
1. 平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
2. 完全平方公式：；
两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍
要点四、因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
要点诠释：
落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次
类型一、幂的运算
1、计算下列各题：
（1）（2）
（3）（4）
【思路点拨】按顺序进行计算，先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数的幂相乘.
【答案与解析】
解：（1）．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】在进行幂的运算时，应注意符号问题，尤其要注意系数为－1时“－”号、括号里的“－”号及其与括号外的“－”号的区别
【变式】当，＝4时，求代数式的值．
【答案】
解：
类型二、整式的乘除法运算
2、解下列不等式．
（1）
（2）3、已知，
【答案与解析】
解：（1），
，
．
（2），
．
【总结升华】利用乘法法则进行去括号、合并同类项，按照解一元一次不等式的方法求解求的值．
【变式】（1）已知，求的值．
（2）已知，，求的值．
（3）已知，，求的值
【思路点拨】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．
【答案与解析】
解：由已知，得，即，，，
解得，，．
所以．
【总结升华】也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值类型三、乘法公式
4、对任意整数，整式是否是10的倍数？为什么？
【答案与解析】
解：∵
，
是10的倍数，∴原式是10的倍数．
【总结升华】
要判断整式是否是10的倍数，应用平方差公式化简后，看是否有因数10．
【变式】解下列方程(组)：
【答案】
解：原方程组化简得，解得
5、已知，，求：(1)；(2)
【思路点拨】在公式中能找到的关系.
【答案与解析】
解：（1）
∵，，
∴
（2）
∵，，
∴.
【总结升华】在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路
类型四、因式分解
6、分解因式：
（1）；
（2）．
【答案与解析】
解：（1）．
（2）
．
【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否
【变式】分解因式：（1）
（2）
（3）
【答案】
解：（1）原式
（2）原式＝
（3）原式＝
巩固练习
一.选择题
1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（）．
A．B．
C．D．
2．下列计算正确的是()．
A. B.
C. D.
3. 若是完全平方式，则的值是（）
A. —10
B. 10
C. 5
D. 10或—10
4. 将＋分解因式，正确的是（）
A．B．
C．D．
5. 下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
6. 若是的因式，则为（）
A. －15
B. －2
C. 8
D. 2
7. 因式分解的结果是（）A．B．C．D．8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（）
①；②；③；④；⑤；
⑥．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二.填空题
9．化简＝______．
10．如果是一个完全平方式，那么＝______．
11．若，化简＝________．
12. 若，＝__________.
13. 把分解因式后是___________.
14. 的值是________．
15. 当，时，代数式的值是________.
16.下列运算中，结果正确的是___________
①，②，③，④，
⑤，
⑥，⑦，
⑧，⑨
三.解答题
17.分解因式：
（1）；
（2）；
（3）.
18. 解不等式，并求出符合条件的最小整数解．
19．已知：，，试用表示下列各式：
（1）；(2)；(3)．
20．某种液晶电视由于原料价格波动而先后两次调价，有三种方案：(1)先提价10％，再降价10％；
(2)先降价10％，再提价10％；(3)先提价20％，再降价20％．问三种方案调价的最终结果是否一样？为什么？
一.选择题
1. 【答案】A；
【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.
2. 【答案】B；
3. 【答案】D；
【解析】
4. 【答案】C；
【解析】＋＝＝．
5. 【答案】B；
【解析】；；
.
6. 【答案】D；
【解析】.
7. 【答案】A
【解析】＝.
8. 【答案】D；
【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.
二.填空题
9. 【答案】.
10. 【答案】±3；
【解析】.
11. 【答案】1；
【解析】.
12. 【答案】0；
【解析】.
13. 【答案】；
【解析】.
14. 【答案】－2；
【解析】
.
15. 【答案】19；
【解析】.
16. 【答案】③⑤⑥⑨；
【解析】在整式的运算过程中，符号问题和去括号的问题是最常犯的错误，
要保证不出现符号问题关键在于每一步的运算都要做到有根据，能够用定理法则指导运算.
三.解答题
17. 【解析】
解：（1）＝；
（2）；
（3）.
18. 【解析】
解：
符合条件的最小整数解为0，所以.
19. 【解析】
解：（1）；
（2）；
（3）．
20．【解析】
解：设为原来的价格
（1）由题意得：
（2）由题意得：
（3）由题意得：.
所以前两种调价方案一样。