人教版高中数学课件《曲边梯形的面积》
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过剩
不足
②采用过剩求和与不足求和取极限所
得到的结果一样，其意义是什么？
i 1 i , ] 函数值 探究5：若取任意的 i [ n n f ( i ) 作为矩形的高，会有怎样的结果？
S不足
y
n n 1 i 1 1 1 i f( ) f (i ) f ( ) S过剩 n i n i 1 n i 1 n i 1 n n
_
（2）思想方法是什么？ y 在局部“以直代曲、 无限逼近”
o a
a
y= f(x)
b x
b
布置作业、反馈进步
1.求直线 x=1, x=4, y=0与曲线 y=x2
所围成的曲边梯形的面积。
2、请同学们任选：户型图面积、三峡大坝横截 面、我省国土面积三个中一个为对象，计算它 的面积，要求提出自己的几种解决方案并至少 详细写出其中一种精确计算面积方案的过程。
S lim S近似值
n
o x
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
应用新知 实战演练
长江三峡溢流坝，该横断面最上面抛物线所 围的那一块面积ABE该怎样计算呢？其中A（0， 4）、B（1，3）A是抛物线的顶点。
A E B C
图1 长江三峡溢流坝断面
D
2 3
n
探究4：如何用数学的形式表达分割
的几何图形越来越多？ （取极限）
所以 S lim S近似值
n
1 3
思考： ①如果采用第三种方案，其结果又如何？
1 1 1 方案三： S近似值 1 1 3 n 2n 1 1 1 方案二： S近似值 = 1 1 3 n 2n
2
4、取极限（无限逼近）
S lim S近似值
n
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
i 1 i [ , ] ( i 1,2, n) n n
探究2：如何“以直代曲”更好？
方案一：用小直角梯形（直边图形）的面积来近似代 替小曲边梯形的面积；
i 1 是对应区间的左端点处的函数值 f ( ) ；（不足近似） n
方案二：用一个小矩形的面积近似代替，小矩形的高
方案三：用一个大矩形的面积近似代替，大矩形的高
n n n 2
1 2 2 2 3 (1 2 3 n
i 1 ) n
(n 1)2 )
f(
i 1 i n n
1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 1 3 n 2n
1 1 1 S 近似值= Si 1 1 3 n 2n i 1
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲
_
线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 y
y= f(x)
（1）具体的步骤是什么？
o
a
a
b x
b
分割、近似代替、求和、取极限
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲 线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。
A
该怎样计算横断面的面积呢？
E
B C D
图1 长江三峡溢流坝断面
问题三：我省的国土面积？
Байду номын сангаас
提出概念
定义：由直线x=a，x=b（a≠b），y=0
和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯 形。（如图）
y
y=f(x)
O
x
合作探究 解决问题
问题三：对于由抛物线y=x2与直线x=1, y=0
所围成的平面图形面积该怎样求？
(方案二） S近似值
n 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) （方案三）： n i 1 i 1 n i 1 n n 1 3 (12 22 32 (n 1) 2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1 3 1 1 n 6 3 n 2n n n
y
y=x2
了解中国的古 代割圆术
本质思想：
O
x
无限分割 以直代曲
累积求和 无限逼近
思考：类似地，圆的面积你会求吗？
分割 近似代替（以直代曲）
y
y=x2
求和 取极限（无限逼近）
O
x 曲边梯形的面积吗？
y
y=f(x)
探究1：怎样分割较好？ （分割 ）
O
i 1 i n n
x
将区间[0，1] 等分成n个小区间 把曲边三角形分成n个小曲边梯形 记第i 个小区间为
板书设计
1、分割
2、近似代替（以直代曲）
（方案二）取第i个区间的左端点f ( （方案三）
1 i 1 i 将区间0,1 分成n份，则第i个区间为 , ,区间长为x n n n
i 1 1 i 1 )函数值为高作小矩形，其面积为Si f ( ) n n n
3、求和
提出问题 创设情境
问题一：我们都熟知如何求规则的平面图形面积， 但现实 生活中更多的是不规则的平面图形，比如户型图有些边是
曲线，有些边是直线， 那如何测量该房屋的面积？
问题二：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其横 断面的形状是根据流体力学原理设计的，如图 所示，上端部分是一段抛物线，中间部分是直 线段，下面部分是一段圆弧。建造这样的大坝 自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需 要尽可能准确的计算出它的横断面面积。
i 是对应区间的右端点处的函数值 f ( ) 。（过剩近似） n y
o
x
（一）
（二）
（三）
探究3：如何求曲边梯形面积的近似值？
方案二： 记S为曲边梯形的面积，
记第i个小曲边三角形面积为Si
S近似值 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) n n n n i 1 i 1 i 1
不足
②采用过剩求和与不足求和取极限所
得到的结果一样，其意义是什么？
i 1 i , ] 函数值 探究5：若取任意的 i [ n n f ( i ) 作为矩形的高，会有怎样的结果？
S不足
y
n n 1 i 1 1 1 i f( ) f (i ) f ( ) S过剩 n i n i 1 n i 1 n i 1 n n
_
（2）思想方法是什么？ y 在局部“以直代曲、 无限逼近”
o a
a
y= f(x)
b x
b
布置作业、反馈进步
1.求直线 x=1, x=4, y=0与曲线 y=x2
所围成的曲边梯形的面积。
2、请同学们任选：户型图面积、三峡大坝横截 面、我省国土面积三个中一个为对象，计算它 的面积，要求提出自己的几种解决方案并至少 详细写出其中一种精确计算面积方案的过程。
S lim S近似值
n
o x
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
应用新知 实战演练
长江三峡溢流坝，该横断面最上面抛物线所 围的那一块面积ABE该怎样计算呢？其中A（0， 4）、B（1，3）A是抛物线的顶点。
A E B C
图1 长江三峡溢流坝断面
D
2 3
n
探究4：如何用数学的形式表达分割
的几何图形越来越多？ （取极限）
所以 S lim S近似值
n
1 3
思考： ①如果采用第三种方案，其结果又如何？
1 1 1 方案三： S近似值 1 1 3 n 2n 1 1 1 方案二： S近似值 = 1 1 3 n 2n
2
4、取极限（无限逼近）
S lim S近似值
n
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
i 1 i [ , ] ( i 1,2, n) n n
探究2：如何“以直代曲”更好？
方案一：用小直角梯形（直边图形）的面积来近似代 替小曲边梯形的面积；
i 1 是对应区间的左端点处的函数值 f ( ) ；（不足近似） n
方案二：用一个小矩形的面积近似代替，小矩形的高
方案三：用一个大矩形的面积近似代替，大矩形的高
n n n 2
1 2 2 2 3 (1 2 3 n
i 1 ) n
(n 1)2 )
f(
i 1 i n n
1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 1 3 n 2n
1 1 1 S 近似值= Si 1 1 3 n 2n i 1
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲
_
线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 y
y= f(x)
（1）具体的步骤是什么？
o
a
a
b x
b
分割、近似代替、求和、取极限
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲 线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。
A
该怎样计算横断面的面积呢？
E
B C D
图1 长江三峡溢流坝断面
问题三：我省的国土面积？
Байду номын сангаас
提出概念
定义：由直线x=a，x=b（a≠b），y=0
和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯 形。（如图）
y
y=f(x)
O
x
合作探究 解决问题
问题三：对于由抛物线y=x2与直线x=1, y=0
所围成的平面图形面积该怎样求？
(方案二） S近似值
n 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) （方案三）： n i 1 i 1 n i 1 n n 1 3 (12 22 32 (n 1) 2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1 3 1 1 n 6 3 n 2n n n
y
y=x2
了解中国的古 代割圆术
本质思想：
O
x
无限分割 以直代曲
累积求和 无限逼近
思考：类似地，圆的面积你会求吗？
分割 近似代替（以直代曲）
y
y=x2
求和 取极限（无限逼近）
O
x 曲边梯形的面积吗？
y
y=f(x)
探究1：怎样分割较好？ （分割 ）
O
i 1 i n n
x
将区间[0，1] 等分成n个小区间 把曲边三角形分成n个小曲边梯形 记第i 个小区间为
板书设计
1、分割
2、近似代替（以直代曲）
（方案二）取第i个区间的左端点f ( （方案三）
1 i 1 i 将区间0,1 分成n份，则第i个区间为 , ,区间长为x n n n
i 1 1 i 1 )函数值为高作小矩形，其面积为Si f ( ) n n n
3、求和
提出问题 创设情境
问题一：我们都熟知如何求规则的平面图形面积， 但现实 生活中更多的是不规则的平面图形，比如户型图有些边是
曲线，有些边是直线， 那如何测量该房屋的面积？
问题二：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其横 断面的形状是根据流体力学原理设计的，如图 所示，上端部分是一段抛物线，中间部分是直 线段，下面部分是一段圆弧。建造这样的大坝 自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需 要尽可能准确的计算出它的横断面面积。
i 是对应区间的右端点处的函数值 f ( ) 。（过剩近似） n y
o
x
（一）
（二）
（三）
探究3：如何求曲边梯形面积的近似值？
方案二： 记S为曲边梯形的面积，
记第i个小曲边三角形面积为Si
S近似值 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) n n n n i 1 i 1 i 1