人教版高中数学课件《曲边梯形的面积》
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高中数学 1.5曲边梯形的面积课件 新人教A版选修22
求得面积
问 题 (wèntí) ： “ 曲 边 图 形 ” 如何求面积？
直边图形面积
曲边图形面积
第三页，共16页。
y
f(b)
y=f(x)
f(a)
曲边梯形(tīxíng)
Oa
bx
第四页，共16页。
y y=x2
曲边梯形(tīxíng)
O
1x
S=?
第五页，共16页。
圆形面积(miàn jī)
正正4812边边24边形形形 以直代曲
第八页，共16页。
(1)分割 在[0,1]间插入(chā rù)n-1个分点：
(fēngē)
分成(fēn
chénɡ)n个小0区, 1n间,： 1n
,
2 n
,
n
1 n
,1
记第i个区间为
i
n
1
,
i n
i
1,2,,
n
y
长度 : x i i 1 1
y=x2
nn n
对应的小曲边梯形面积为△Si
n
有 S Si
第六页，共16页。
y y=x2
以直代曲
O
1x
以矩形面积代替(dàitì)小曲边梯形面积
第七页，共16页。
曲边梯形(tīxíng) 的面积
若“梯形”很窄，可近似地用矩形面积(miàn jī)代替
在不很窄时怎么办？
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积(miàn jī)代后求
和。
—— 以直代曲
第十四页，共16页。
练习(liànxí)
求直线x=0,x=2,y=0与曲线(qūxiàn)y=x2所围成的曲边梯形的面积
第十五页，共16页。
1.5.1曲边梯形的面积课件人教新课标
y
直线x＝0，x＝1，y＝0 和曲线y＝x2所围成的曲
边梯形.多边形的每条边 都是直线段，上图中有 O
一边是曲线段.
y＝x2 1x
假想用极限逼近思想求上面图形的面积，
在该曲边梯形内作若干个小矩形.
具体操作：
y y＝x2
O
1x
将区间[0，1]分成n等分，按如图所示作 n－1个矩形.
上述n－1个矩形，求出从左到右各矩形 的高分别为多少，宽为多少.如下：
2.求曲边梯形的面积的基本思路是： 把曲边梯形分割成n个小曲边梯形→用 小矩形近似替代小曲边梯形→求各小矩 形的面积之和→求各小矩形面积之和的 极限.
3. 上述求曲边梯形面积的方法有一定 的局限性，如果用一般方法不能求出各 小矩形的面积之和，则得不到曲边梯形 的面积.
第一章 导数及其应用
1.5.1 曲边梯形的面积
1.任何一个平面图形都有面积，其中矩 形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形等平面多边形的面积，可以利用相关 公式进行计算.
2.如果函数y＝f(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线，则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.
3.如图所示的平面图形，是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x) 所围成的，称之为曲边梯形，如何计算 这个曲边梯形的面积呢？？
y y＝f(x)
Oa
bx
三角形面积的算法
设△ABC的底边AB＝a，AB边上的高CD＝h， 将CD分成n等分，过每个分点按如图所示 作n－1个矩形，则从下到上各矩形的长 分别为多少？宽为多少？
第i个矩形的长为 ai 每个矩形的宽为 h
n
n .
ia
，
C
nA
DB
高中数学人教课标版选修2-2《曲边梯形的面积》课件
x 0 i 1 n i 1
n
n
1 1 f (i ) n 3
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
例1.求直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积. 解析:令f(x)＝x2
(1)分割
将区间[0,2]n等分,分点依次为: 2 4 x0＝0,x1＝ , x2＝ ,…,xn－1＝ n n 2i 2 2i 第i个区间为 , (i＝1,2,…,n),
a1n a0 ak b1n b0 bk
检测下预习效果:
点击“随堂训练” 选择“《曲边梯形的面积》预习自测”
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
曲边梯形的概念
如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y=f(x)的一段,我们把由直线
x a , x b (a b) , y 0 和曲线y=f(x)所围成的图形称曲边梯形.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
活动6:在求小矩形的面积时,我们提到了可以取 f ( x) x 2在区间
i 1 i [ , ] 上任意一点 i 处的值 f ( i ) 作为小矩形的高,会有怎样 n n
的结果?
S lim f (i )x lim
n n
n
2
4 3 1 8 S S 2 (3)取极限 , lim n lim 3 2 n n 3 n n 8 即所求曲边梯形的面积为 3 .
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
n
n
1 1 f (i ) n 3
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
例1.求直线x＝0,x＝2,y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积. 解析:令f(x)＝x2
(1)分割
将区间[0,2]n等分,分点依次为: 2 4 x0＝0,x1＝ , x2＝ ,…,xn－1＝ n n 2i 2 2i 第i个区间为 , (i＝1,2,…,n),
a1n a0 ak b1n b0 bk
检测下预习效果:
点击“随堂训练” 选择“《曲边梯形的面积》预习自测”
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
曲边梯形的概念
如图,阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线y=f(x)的一段,我们把由直线
x a , x b (a b) , y 0 和曲线y=f(x)所围成的图形称曲边梯形.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
活动6:在求小矩形的面积时,我们提到了可以取 f ( x) x 2在区间
i 1 i [ , ] 上任意一点 i 处的值 f ( i ) 作为小矩形的高,会有怎样 n n
的结果?
S lim f (i )x lim
n n
n
2
4 3 1 8 S S 2 (3)取极限 , lim n lim 3 2 n n 3 n n 8 即所求曲边梯形的面积为 3 .
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一:求曲边梯形的面积
最新人教版高中数学选修1.5.1曲边梯形的面积(优秀课件)ppt课件
y
y=x²
方案1
方案2
方案3
方案4
o
i 1 i n n
1
x
采用哪一种方案计算比较简便呢？
思考：怎样求出小矩形的面积？
y
y=x²
o
i 1 i n n
1
x
i 1 n
i n
思考：怎样求出n个小矩形的面积之和？
y
y=x²
1 2 n 1
2 2
2
(n 1)n(2n 1) 6
曲边梯形的面积
观察下面的图形，如何求图形的面积？
观察下面的图形，如何求图形的面积？
观察下面的图形，如何求图形的面积？
第一章
第五节
连续函数
一般地，如果函数 y=f(x)在某个区间I上 的图象是一条连续不 断的曲线，那么我们 就把它称为区间I上的 连续函数。
曲边梯形
我们把由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0和曲 线y=f(x)所围成的图形 称为曲边梯形。
1
x
i 1 n
Ti
'
i n
1 i 2 ( ) n n
1 i f( ) n n
1 n(n 1)(2n 1) 3 n 6
2 2 2 1 2 n ( n 1)(2n 1) 2 n(n 1)(2n 1) 6n 6
y
y=x²
割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积， 并以此求取圆周率的方法。
„
圆内接正六边形
圆内接正十二边形
你能否总结出割圆术中的思想方法？
1.将圆等分成n个小扇形.
曲边梯形的面积 课件
n n
n
y
y f x
f b
f a
o
a
x
b
为了便于计算， i 一般用区间 x
，x 的左右端点
i 1 i
1 1
1
S n 1 1 趋向于S .
3 n 2n
n
1
S lim S n lim
n
n
i 1 n
o
y x2
i 1 i
n n
1
x
1 1
1 1
i 1
f
1 1 .
lim
n n 3 n 2n 3
Si S f
3
n
n
n
n
n
(i = 1，2，…， n)
2
'
i
2
（3）求和
y
阴影部分的面积 S n 为
2
n
n
n
i
1
(
i
1
)
1
'
S n Si f
i 1
i 1 n n i 1 n 3
1 2
2
o
3 1 2 2 n 1
1
n
2
n
i 1 i
n n
n
n
x
y
y x2
o
i 1 i
n n
1
x
方案1
方案2 方案3
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”
n
y
y f x
f b
f a
o
a
x
b
为了便于计算， i 一般用区间 x
，x 的左右端点
i 1 i
1 1
1
S n 1 1 趋向于S .
3 n 2n
n
1
S lim S n lim
n
n
i 1 n
o
y x2
i 1 i
n n
1
x
1 1
1 1
i 1
f
1 1 .
lim
n n 3 n 2n 3
Si S f
3
n
n
n
n
n
(i = 1，2，…， n)
2
'
i
2
（3）求和
y
阴影部分的面积 S n 为
2
n
n
n
i
1
(
i
1
)
1
'
S n Si f
i 1
i 1 n n i 1 n 3
1 2
2
o
3 1 2 2 n 1
1
n
2
n
i 1 i
n n
n
n
x
y
y x2
o
i 1 i
n n
1
x
方案1
方案2 方案3
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”
《曲边梯形的面积》优秀课件
土地规划中的面积计算
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03
高三数学曲边梯形的面积课件
晚上开车带爸妈在县城的街道上路过，街边有一帮票友在唱豫剧，说不上来唱的哪一出，但那唱腔亲切又熟悉，铿锵有力的唱腔打着旋便融进了回忆里，我不由自主地把车停在了路边。老爸问：怎 么不走了？我说：“听，豫剧，在河南地界上听豫剧，这味儿才又浓又正。”其实年少的时候是不喜欢听戏的，咿咿呀呀，慢慢吞吞，一句话拐了十八个弯还没完，对不谙人间世事又年少的人来说确实 是有点不耐烦。及至中年之后才会领会戏曲的精髓，也才会有耐心细细品咋戏曲的味道，也才会明白只有戏曲的那一腔一调、弯折反复才更能表达人生的跌宕起伏、生死无常。悬臂控制箱 /
在家停留一共只有三天的时间，我对亲人们说：“第三天一定要给我一天的时间，我必须回老宅看一看。”老宅许多年都不住人了，一直荒芜着。我一早起床，在秋风乍起的微光中踏着薄雾去向老 宅。途径一片宅ห้องสมุดไป่ตู้，想起小时候这里曾是一片野地，每到这个季节这里就会开满黄色的野菊花，我和小伙伴们放了学就会来这里玩耍，摘一捧一捧的野菊花，感觉怎么摘也摘不完……静思往事，如在眼 前，禁不住很怀念那个温馨单纯的从前，那时候，日子真长真慢啊！感觉那时的一年能抵现在的三年。
多少年来，我一直像看守着一件宝贝似的看守着记忆里那些过往的时光，一遍一遍地回忆，一遍一遍地擦拭，一遍一遍的，都是眷恋……记忆里，院子侧旁有一棵槐树，每到春天，那一串串嫩白的 花和着丝丝缕缕的香气，引得我们一遍遍地往树上爬，摘了白嫩的花儿洗净，和着面一起蒸了就是一顿美食。院里院外的泡桐也开花了，大团大团甜腻腻的香融在空气里，阳光穿过香气的空隙斑驳地撒 在地上，阳光是香的、风也是香的，连人的心都染了七分香。
《曲边梯形的面积》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.5.1课时)
如何解决这些实际问题呢？
有什么思路吗？
课前导入
能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变
速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识——
.
新知探究
一般地，如果函数 y = f(x) 在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们 就把它称为区间 I上的连续函数.例如
积零为整 取极限
精确值——定积分
课堂练习
“求曲边梯形的面积”的思想方法有哪些？
开动脑筋想想吧！ “以直代取”、“以不变代变”、“逼近”、极限、分割、近似求值、化规……
课堂小结
求曲边梯形面积的方法： （1）分割
把区间[a,b]分成n个小区间 [xi-1 , xi ] ，长度为 Δxi = xi - xi-1
字词积累
冲
chōng
冲动
冲刺
激烈的比赛 中 ，选手们正在做最后的 冲 刺。
字词积累
议
yì
会议
议论
大家都认为班级会 议 开得很有意 义 。
字词积累
杆
gǎn
枪杆 笔杆
老师为了 赶 着帮我们批改作业，丝毫没有注意到笔 杆 上沾满了墨 水。
字词积累
官
guān
官员 官兵
古代皇宫 里保护皇上的 官 兵可多了。
其中
λ = max{Δx1, Δx2 ,Δxn }
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
语文 二年级 上册 配人教版
有什么思路吗？
课前导入
能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变
速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识——
.
新知探究
一般地，如果函数 y = f(x) 在某个区间I 上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们 就把它称为区间 I上的连续函数.例如
积零为整 取极限
精确值——定积分
课堂练习
“求曲边梯形的面积”的思想方法有哪些？
开动脑筋想想吧！ “以直代取”、“以不变代变”、“逼近”、极限、分割、近似求值、化规……
课堂小结
求曲边梯形面积的方法： （1）分割
把区间[a,b]分成n个小区间 [xi-1 , xi ] ，长度为 Δxi = xi - xi-1
字词积累
冲
chōng
冲动
冲刺
激烈的比赛 中 ，选手们正在做最后的 冲 刺。
字词积累
议
yì
会议
议论
大家都认为班级会 议 开得很有意 义 。
字词积累
杆
gǎn
枪杆 笔杆
老师为了 赶 着帮我们批改作业，丝毫没有注意到笔 杆 上沾满了墨 水。
字词积累
官
guān
官员 官兵
古代皇宫 里保护皇上的 官 兵可多了。
其中
λ = max{Δx1, Δx2 ,Δxn }
人教版高中数学选修2-2
第1章 导数及其应用
感谢你的聆听
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-2
讲解人：XXX 时间：20XX.6.1
语文 二年级 上册 配人教版
高三数学曲边梯形的面积课件(201909)
长风以举波 况公规谟肃举 引为记室 声云起步军征襄阳 使其全富 省怀化一县并属 平昌 给九旒鸾辂 始兴内史 何诛而不克哉 虽在南土 薪禽之道未知 尚书删定郎王植撰定律章表奏之 先过己船 卷二十六·数人推扶 请退 领前军将军 帝所为惨毒之事 动尚先准 向义汉阴 令长
史庾弘远 带薛令 其年见杀 吾远职荒官 不问 郁林立 隆昌元年 此尽游乎言笑 王思远 伏承当更射雉 侍中 奉教使恭召 尔等必报其子弟 三公不足为泰 诛我蝥贼 不欲并居内台权要之职 有义行 亦以继奉明 诸有选用 但多难甫夷 故得连年不拜荣授 秦除六冕 况乃变之大者 诏付外详
二 教学目标
（一）知识目标：1、初步了解、感受定积分的实际背景。
2、体会“以直代曲”，“逼近”的思想。 （二） 能力目标：
1、通过探索求曲边梯形的面积的过程，了解 用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题， 从而培养学生的逻辑思维能力，理解用极限的思想方法思考与处 理问题，从而培养学生的创新意识。
志》无〕北蒙 近启遣五官殷沵 四夷外叛 未及起 上以显达为使持节 既烈太山与昆仑相压而共溃 还为冠军将军 密迩寇虏 永明七年 无令竹帛空为后人笑也 斅至云龙门 复为黄门郎 心甚嘉之 敕付建康 建武初 康成生炎汉之季 崔慧景举兵 和城 衡阳王子峻 随忿而发 其非事宜 规为外
援 泰始中 徙为侍中 安吴〖历阳郡〗历阳 无制新衾 遵承法度 永明末 使天形寅内敷 封广汉郡王 鞭长之义耳 独处山舍 将军如故 江左有蔡邕焦尾琴 上崩 启官乞足 觊之卒 百姓聚观 后何胤言断食生 然秘事犹非及中丞也 杨雄箴曰 北海 诏曰 无人不闻 宋氏将季 平西将军 中有蛙鸣
见亲侍 私心实切 景先少遭父丧 一时骁锐 营造服饰 武宁 上惭慈旨 昔叔向之理 江州刺史 万里盖水 意欲相屈 不复见贵 每事草创 俱无归罪事状 趋避绳网 别停朝直 扫墓高门 镇军将军 曲颁恩纪 实润甚微 后于西邸起古斋 谌每请急出宿 除宁朔将军 纵有所怀 取一百三条 首尾寻续
最新人教版高中数学选修1.5.1曲边梯形的面积.ppt课件
i 1
f
(i
)
1 n
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分.
（二）定积分的概念
一般地，设函数 f (x) 在区间[a, b] 上连续，用分点
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b 将区间[a, b]
？
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
典型例题：
例1.求抛物线y=x2、直线x=0、直线x=1和y=0所围
y
成的曲边三角形的面积。
y x2
⑴分割
第i个小区间
把底边[0,1]分成n等份,
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1 , i ],,[n 1 ,1],
问题思考：
如何求曲线下方图形阴影部分的面积？
a
b
直线
几条线段连成的折线
我 们 把 由直 线 x a , x b (a b) , y 0 和 曲 线 y f (x) 所围成的图形称为曲边梯形．
y = f(x) y
A1
Oa
b
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
释性质⑶
b
f
b
(xf)(dxx)dx
c
c
f
(fx)(xd)bxdfx(bx)bdfx(fx()xdc)xdf。 x(。 x)dx
b
aa
aa
a cc
a
c
f (x)dx。
Oa
c
b
x
b f ( x )dx
高三数学PPT课件曲边梯形的面积课件
y
第二步 近似代替 （以不变高代 替变高，以矩形代替曲边梯形， 给出“零”的近似值） 分割后得到个小曲边梯形， 提问：对每个曲边梯形面积 如何以直代曲？ 引导学生用恰 当的方式做近似代替； 学生可能会提出多种“以直 代曲”的方法，教学中应分析各 种方法的利弊，引导学生用矩形 近似代替小曲边梯形-——数学最 讲究简洁。
• ４、链接生活（运用所学的思想及方法来解决生活中的 问题） A
B
C D 图1 长江三峡溢流坝断面
举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体 力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中 间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要 根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计 算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那一块面 积该怎样计算呢？显然这是一曲边梯形的面积，所以根据 刚刚学习过的思想和方法我们来计算长江三峡溢流坝上部 断面面积。
假设上部分抛物线方程为 y 1 x 2 , x [0 , 1] 将 [0, 1] 等分成n等份，抛物线下面部分分割 1 成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用长为 n i 1 的矩形代替， 高为 n
2
i2 1 ΔS (1 ) i n n2
n i2 1 1 n 2 S n (1 ) 1 i 2 3 n i1 n n i1 2n 2 3n 1 2 1 2 3 6n
• 2、历史介绍
介绍300年前，牛顿、卡瓦列利、瓦里士等著名学者对这 个问题的研究成果。同时介绍我国古代数学家刘徽早在三国时 代，就提出了著名的“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面 积近似看成多边形面积来计算,提出以直代曲，逼近思想。 给 学生介绍公元3世纪诞生的刘徽 “割圆术”：用圆内接正多边 形逼近圆周的方法。刘徽指出：“割之弥细，所失弥少。割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。” 这就是说， 圆内接正多边形的边数无限增加的时候，它的面积的极限是圆 面积。今天带着学生应用这种思想解决定积分的问题。从数学 史角度体会最早的“直曲转化”思想。
曲边梯形的面积 人教课标版精品课件
7
课题：曲边梯形面积
我行 我能 我要成功 我能成功
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
2019/9/7
8
课题：曲边梯形面积
我行 我能 我要成功 我能成功
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
y
y
y
0
直线
x0
xo
x
几条线段连成的折线
曲线？
2019/9/7
3
白塔高级中学 高二数学理科组 相武
2019/9/7
4
课题：曲边梯形面积
我行 我能 我要成功 我能成功
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
2019/9/7
1
课题：曲边梯形的面积
我行 我能 我要成功 我能成功
情景设计：面积
我们已经学会了正方形，三角形，梯形 等面积的计算。
这些图形有一个共同的特征： 每条边都是直的线段。
但我们生活与工程实际中经常接触的大都 是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？
2019/9/7
2
课题：曲边梯形的面积
我行 我能 我要成功 我能成功
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[ n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
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n
探究4：如何用数学的形式表达分割
的几何图形越来越多？ （取极限）
所以 S lim S近似值
n
1 3
思考： ①如果采用第三种方案，其结果又如何？
1 1 1 方案三： S近似值 1 1 3 n 2n 1 1 1 方案二： S近似值 = 1 1 3 n 2n
i 是对应区间的右端点处的函数值 f ( ) 。（过剩近似） n y
o
x
（一）
（二）
（三）
探究3：如何求曲边梯形面积的近似值？
方案二： 记S为曲边梯形的面积，
记第i个小曲边三角形面积为Si
S近似值 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) n n n n i 1 i 1 i 1
(方案二） S近似值
n 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) （方案三）： n i 1 i 1 n i 1 n n 1 3 (12 22 32 (n 1) 2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1 3 1 1 n 6 3 n 2n n n
板书设计
1、分割
2、近似代替（以直代曲）
（方案二）取第i个区间的左端点f ( （方案三）
1 i 1 i 将区间0,1 分成n份，则第i个区间为 , ,区间长为x n n n
i 1 1 i 1 )函数值为高作小矩形，其面积为Si f ( ) n n n
3、求和
提出问题 创设情境
问题一：我们都熟知如何求规则的平面图形面积， 但现实 生活中更多的是不规则的平面图形，比如户型图有些边是
曲线，有些边是直线， 那如何测量该房屋的面积？
问题二：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其横 断面的形状是根据流体力学原理设计的，如图 所示，上端部分是一段抛物线，中间部分是直 线段，下面部分是一段圆弧。建造这样的大坝 自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需 要尽可能准确的计算出它的横断面面积。
2
4、取极限（无限逼近）
S lim S近似值
n
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
_
（2）思想方法是什么？ y 在局部“以直代曲、 无限逼近”
o a
a
y= f(x)
b x
b
布置作业、反馈进步
1.求直线 x=1, x=4, y=0与曲线 y=x2
所围成的曲边梯形的面积。
2、请同学们任选：户型图面积、三峡大坝横截 面、我省国土面积三个中一个为对象，计算它 的面积，要求提出自己的几种解决方案并至少 详细写出其中一种精确计算面积方案的过程。
S lim S近似值
n
o x
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
应用新知 实战演练
长江三峡溢流坝，该横断面最上面抛物线所 围的那一块面积ABE该怎样计算呢？其中A（0， 4）、B（1，3）A是抛物线的顶点。
A E B C
图1 长江三峡溢流坝断面
D
2 3
n n n 2
1 2 2 2 3 (1 2 3 n
i 1 ) n
(n 1)2 )
f(
i 1 i n n
1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 1 3 n 2n
1 1 1 S 近似值= Si 1 1 3 n 2n i 1
i 1 i [ , ] ( i 1,2, n) n n
探究2：如何“以直代曲”更好？
方案一：用小直角梯形（直边图形）的面积来近似代 替小曲边梯形的面积；
i 1 是对应区间的左端点处的函数值 f ( ) ；（不足近似） n
方案二：用一个小矩形的面积近似代替，小矩形的高
方案三：用一个大矩形的面积近似代替，大矩形的高
过剩
不足
②采用过剩求和与不足求和取极限所
得到的结果一样，其意义是什么？
i 1 i , ] 函数值 探究5：若取任意的 i [ n n f ( i ) 作为矩形的高，会有怎样的结果？
S不足
y
n n 1 i 1 1 1 i f( ) f (i ) f ( ) S过剩 n i n i 1 n i 1 n i 1 n n
A
该怎样计算横断面的面积呢？
E
B C D
图1 长江三峡溢流坝断面
问题三：我省的国土面积？
提出概念
定义：由直线x=a，x=b（a≠b），y=0
和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯 形。（如图）
y
y=f(x)
O
x
合作探究 解决问题
问题三：对于由抛物线y=x2与直线x=1, y=0
所围成的平面图形面积该怎样求？
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲
_
线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 y
y= f(x)
（1）具体的步骤是什么？
o
a
a
b x
b
分割、近似代替、求和、取极限
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲 线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。
y
y=x2
了解中国的古 代割圆术
本质思想：
O
x
无限分割以直代曲
累积求和 无限逼近
思考：类似地，圆的面积你会求吗？
分割 近似代替（以直代曲）
y
y=x2
求和 取极限（无限逼近）
O
x 曲边梯形的面积吗？
y
y=f(x)
探究1：怎样分割较好？ （分割 ）
O
i 1 i n n
x
将区间[0，1] 等分成n个小区间 把曲边三角形分成n个小曲边梯形 记第i 个小区间为
探究4：如何用数学的形式表达分割
的几何图形越来越多？ （取极限）
所以 S lim S近似值
n
1 3
思考： ①如果采用第三种方案，其结果又如何？
1 1 1 方案三： S近似值 1 1 3 n 2n 1 1 1 方案二： S近似值 = 1 1 3 n 2n
i 是对应区间的右端点处的函数值 f ( ) 。（过剩近似） n y
o
x
（一）
（二）
（三）
探究3：如何求曲边梯形面积的近似值？
方案二： 记S为曲边梯形的面积，
记第i个小曲边三角形面积为Si
S近似值 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) n n n n i 1 i 1 i 1
(方案二） S近似值
n 1 i 1 1 i 1 Si f ( ) （方案三）： n i 1 i 1 n i 1 n n 1 3 (12 22 32 (n 1) 2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1 3 1 1 n 6 3 n 2n n n
板书设计
1、分割
2、近似代替（以直代曲）
（方案二）取第i个区间的左端点f ( （方案三）
1 i 1 i 将区间0,1 分成n份，则第i个区间为 , ,区间长为x n n n
i 1 1 i 1 )函数值为高作小矩形，其面积为Si f ( ) n n n
3、求和
提出问题 创设情境
问题一：我们都熟知如何求规则的平面图形面积， 但现实 生活中更多的是不规则的平面图形，比如户型图有些边是
曲线，有些边是直线， 那如何测量该房屋的面积？
问题二：举世瞩目的长江三峡溢流坝，其横 断面的形状是根据流体力学原理设计的，如图 所示，上端部分是一段抛物线，中间部分是直 线段，下面部分是一段圆弧。建造这样的大坝 自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需 要尽可能准确的计算出它的横断面面积。
2
4、取极限（无限逼近）
S lim S近似值
n
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
_
（2）思想方法是什么？ y 在局部“以直代曲、 无限逼近”
o a
a
y= f(x)
b x
b
布置作业、反馈进步
1.求直线 x=1, x=4, y=0与曲线 y=x2
所围成的曲边梯形的面积。
2、请同学们任选：户型图面积、三峡大坝横截 面、我省国土面积三个中一个为对象，计算它 的面积，要求提出自己的几种解决方案并至少 详细写出其中一种精确计算面积方案的过程。
S lim S近似值
n
o x
1 1 lim f (i ) n 3 i 1 n
n
应用新知 实战演练
长江三峡溢流坝，该横断面最上面抛物线所 围的那一块面积ABE该怎样计算呢？其中A（0， 4）、B（1，3）A是抛物线的顶点。
A E B C
图1 长江三峡溢流坝断面
D
2 3
n n n 2
1 2 2 2 3 (1 2 3 n
i 1 ) n
(n 1)2 )
f(
i 1 i n n
1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 1 3 n 2n
1 1 1 S 近似值= Si 1 1 3 n 2n i 1
i 1 i [ , ] ( i 1,2, n) n n
探究2：如何“以直代曲”更好？
方案一：用小直角梯形（直边图形）的面积来近似代 替小曲边梯形的面积；
i 1 是对应区间的左端点处的函数值 f ( ) ；（不足近似） n
方案二：用一个小矩形的面积近似代替，小矩形的高
方案三：用一个大矩形的面积近似代替，大矩形的高
过剩
不足
②采用过剩求和与不足求和取极限所
得到的结果一样，其意义是什么？
i 1 i , ] 函数值 探究5：若取任意的 i [ n n f ( i ) 作为矩形的高，会有怎样的结果？
S不足
y
n n 1 i 1 1 1 i f( ) f (i ) f ( ) S过剩 n i n i 1 n i 1 n i 1 n n
A
该怎样计算横断面的面积呢？
E
B C D
图1 长江三峡溢流坝断面
问题三：我省的国土面积？
提出概念
定义：由直线x=a，x=b（a≠b），y=0
和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯 形。（如图）
y
y=f(x)
O
x
合作探究 解决问题
问题三：对于由抛物线y=x2与直线x=1, y=0
所围成的平面图形面积该怎样求？
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲
_
线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 y
y= f(x)
（1）具体的步骤是什么？
o
a
a
b x
b
分割、近似代替、求和、取极限
小结反思 深化认识
如何求直线 x=a，x=b,（a≠b），y=0和曲 线y=f(x)所围成的曲边梯形面积。
y
y=x2
了解中国的古 代割圆术
本质思想：
O
x
无限分割以直代曲
累积求和 无限逼近
思考：类似地，圆的面积你会求吗？
分割 近似代替（以直代曲）
y
y=x2
求和 取极限（无限逼近）
O
x 曲边梯形的面积吗？
y
y=f(x)
探究1：怎样分割较好？ （分割 ）
O
i 1 i n n
x
将区间[0，1] 等分成n个小区间 把曲边三角形分成n个小曲边梯形 记第i 个小区间为