吉林省2016-2017学年高三毕业第三次调研数学试卷(理)含答案

吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集,U R =集合{|1}A x x =>，集合{|},B x x p =>若()U A B =∅ð，则p 应该满足的条件是 A ．1p >B ．p ≥1C ．1p <D ．p ≤12．已知复数1iz i=+，其中i 为虚数单位.则||z =A ．12BCD ．23．已知向量(,2),(2,1),(3,)a x b c x ===，若a ∥b ，则a c = A ．4B ．8C ．12D ．204．已知点(2,0)F 是双曲线2233(0)x my m m -=>的一个焦点，则此双曲线的离心率 为A ．12B C ．2 D ．45．3)nx的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，若 32AB=，则n = A ．5B ．6C ．7D ．86．给出下列几个命题：① 命题:p 任意x R ∈，都有cos 1x ≤，则:p ⌝存在0x R ∈，使得0cos 1x ≤．② 命题“若2a >且2b >，则4a b +>且4ab >”的逆命题为假命题．③ 空间任意一点O 和三点,,A B C ，则32OA OB OC =-是,,A B C 三点共线的充 分不必要条件．④ 线性回归方程y bx a =+对应的直线一定经过其样本数据点1122(,),(,),,x y x y(,)n n x y 中的一个．其中不正确．．．的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 47．若直角坐标平面内的两点,P Q 满足条件：①,P Q 都在函数()y f x =的图象上； ②,P Q 关于原点对称。

则称点对(,)P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”(点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一对“友好点对”)．已知函数1()()2,01,0xf x x x x ⎧⎪=⎨⎪⎩>+≤，则此函 数的“友好点对”有 A. 3对B. 2对C. 1对D. 0对8．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础 设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成 的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方 形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin2θ 的值为 A ．13BC ．2324D ．24259．阅读右侧程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 A ．3B ．4C ．5D ．610．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》 中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进 行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位 数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位 用横式表示，以此类推， 例如6613用算筹表示就是： ，则9117用算筹可表示为A.B． C ．D．11．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，11231,,n n n n na a a a a ++⎧⎪=⎨⎪-⎩若310S =，则180S = A ． 600或900B ． 900或560C ． 900D ． 60012．定义在区间D 上的函数()f x 和()g x ，如果对任意x D ∈，都有|()()|1f x g x -≤ 成立，则称()f x 在区间D 上可被()g x 替代，D 称为“替代区间”．给出以下问题： ①2()1f x x =+在区间(,)-∞+∞上可被21()2g x x =+替代； ②如果()ln f x x =在区间[1,]e 可被()g x x b =-替代，则22b -≤≤；③设212()lg()(),()sin ()f x ax x x D g x x x D =+∈=∈，则存在实数(0)a a ≠及区 间12,D D , 使得()f x 在区间12D D 上被()g x 替代。

其中真命题是 A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分。

123456789纵式横式是奇数是偶数13．设,x y 满足不等式组60200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最小值为 .14．已知等差数列{}n a 中，570sin a a xdx π+=⎰，则468a a a ++= .15．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的16．已知,A B 是椭圆22221x y a b +=和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，其中0a b >>，P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点（,P M 都异于,A B ），且满足()PA PB MA MB λ+=+（R λ∈），设直线,,AP BP ,AMBM 的斜率分别为1234,,,k k k k ，若12k k +=34k k += .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知函数2()cos22sin 2sin f x x x x =++． （Ⅰ）将函数(2)f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像，若[,]122x ππ∈， 求函数()g x 的值域；（Ⅱ）已知,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，且满足()1f A =，(0,)2A π∈，2a b ==，求ABC ∆的面积．18．（本小题满分12分）据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，1112正视图俯视图侧视图x15题图（Ⅰ）已知在全体样本中随机抽取1人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取360人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数ξ的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==， 2,AB = M 为PC 中点.（Ⅰ）在图中作出平面ADM 与PB 的交点N ，并指出点N 所在位置（不要求给出理由）； （Ⅱ）在线段CD 上是否存在一点E ，使得直线AE 与平面ADM 所成角的正弦值为，若存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角A MD C --的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知O 为坐标原点，抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52，曲线C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，直线1l 经过点Q 且垂直于x 轴. （Ⅰ）求线段OQ 的长；（Ⅱ）设不经过点P 和Q 的动直线2:l x my b =+交曲线C 于点A 和B ，交1l 于点E ，若直线,,PA PE PB 的斜率依次成等差数列，试问：2l 是否过定点？请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >． （Ⅰ）当2a >，求函数()f x 的单调递增区间；AB CDM P（Ⅱ）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =， 若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在第22、23、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系有相同的长度单位.已知点N的极坐标为)4π，M 是曲线1:1C ρ=上任意一点，点G 满足OG OM ON =+，设点G 的轨迹为曲线2C . （Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若过点(2,0)P 的直线l的参数方程为1222x t y t =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数），且直线l 与曲线2C 交于,A B 两点，求11||||PA PB +的值.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||,*f x x m x m N =-+∈，存在实数x 使()2f x <成立．（Ⅰ）求正整数m 的值；（Ⅱ）若1,1,()()2f f αβαβ>>+=，求证：4192αβ+≥．吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第三次调研测试数学（理科）参考答案及评分标准2．填空题13. 【答案】-6 14. 【答案】3 15. 【答案】 2 16. 【答案】 3．解答题 17．（Ⅰ）解：因为()2cos22sin 2sin f x x x x =++，所以()222cos sin 2sin 2sin f x x x x x =-++ ………………………………………….1分22cos sin 2sin x x x =++12sin x =+所以(2)12sin 2f x x =+ ……………………………………………………2分因为函数()2f x 的图像向右平移6π个单位得到函数()g x 的图像所以()2sin[2()]16g x x π=-+ ……………………………………………………..3分即()2sin(2)13g x x π=-+ ……………………………………………….. ……4分因为,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以1sin(2)[,1]32x π-∈-，所以()[0,3]g x ∈所以函数()g x 的值域为()[0,3]g x ∈ …………………………………………………6分（Ⅱ）解：因为()1f A所以sin A ，因为(0,)2A π∈ …………………………………………………..……7分 所以1cos 2A = …………………………………………………………………8分又222cos 2b c a A bc+-=，a =2b = …………………………………...……10分所以4c = …………………………………………………………..……11分所以ABC ∆面积1sin 2ABC S bc A ∆== ……………………………………………12分（运用正弦定理求出，也同样给分）（Ⅱ）因为四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，以A 为坐标原点，以直线AB ,AD ,AP 所在直线建立空间直角坐标系如图所示： 则(0,0,0)(0,0,1)(0,1,0)(2,1,0)11(1,,)22A P D C M……………………………………………………………4分设在线段CD 上存在一点(,1,0)E x ，则(,1,0)AE x = …………………… ……5分 设直线AE 与平面AMD 所成角为θ，平面AMD 的法向量为(,,)u x y z =， 则,u AM u AD ⊥⊥即110220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩令2z =，则(1,0,2)u =- ………………………….…………………………………7分则||10sin ||||AE u AE u θ⋅==1x = 所以在线段CD 上存在中点E ，使得直线AE 与平面AMD 所成角的正弦值为10…………………………8分（Ⅲ）设平面CMD 的法向量'''(,,)v x y z =，则,v CM v CD ⊥⊥''''1102220x y z x ⎧--+=⎪⎨⎪-=⎩令'1z =-，则'1y =-，所以(0,1,1)v =-- ……….……10分 所以10cos ||||v u v u φ⋅==- 所以二面角A MD C --的平面角的余弦值为 ………………………..……12分 20. （Ⅰ）解：由抛物线2:(0)C y nx n =>在第一象限内的点(2,)P t 到焦点的距离为52得 5242n +=，所以2n =，故抛物线方程为22y x =，(2,2)P………….……2分所以曲线C 在第一象限的图像对应的函数解析式为y ='y =..……4分 故曲线C 在点P 处的切线斜率12k ==，切线方程为：12(2)2y x -=-令0y =得2x =-，所以点(2,0)Q - …………………………………………5分故线段2OQ = ……………………………………………………6分 （Ⅱ）解：由题意知1:2l x =-，因为2l 与1l 相交，所以0m ≠ 设2:l x my b =+，令2x =-，得2b y m +=-，故2(2,)b E m+-- ………….……7分 设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22x my by x=+⎧⎨=⎩消去x 得：2220y my b --=则12122,2y y m y y b +==- ………………………………………..……9分 直线PA 的斜率为1121112222222y y y x y --==-+-， 同理直线PB 的斜率为222y +, 直线PE 的斜率为224b m ++………………………………………………….……10分 因为直线,,PA PE PB 的斜率依次成等差数列所以122y ++222y +=2224b m ++即22222b b m b m++=-+ …………………………………………………………..…11分 因为2l 不经过点Q ，所以2b ≠- 所以222m b m -+=，即2b =故2:2l x my =+，即2l 恒过定点(2,0) ……………………………………………12分 21.（Ⅰ）解 函数()f x 的定义域为(0,)+∞ ………………………………….……1分 因为()()22ln f x x a x a x=-++所以2'2()(1)2(2)2()2(2)ax x a x a x a f x x a x x x---++=-++==， …….……3分因2a >，12a > 由'()0f x >，即2()(1)20ax x x-->得01x <<或2a x >， …………………….4分 由'()0f x <得12a x <<；所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1),(,)2a +∞，单调递减区间为(1,)2a； . ……5分（Ⅱ）解法一：当4a =时，2'264()x x f x x-+=所以在点P 处的切线方程为20000000264()()64ln x x g x x x x x x x -+=-+-+ ……7分令()()()x f x g x ϕ=-则220000004()64ln (26)()(64ln )x x x x x x x x x x x ϕ=-+-+----+ 易知0()0x ϕ=； ………………………………………………………………….8分又'0044()26(26)x x x xx ϕ=+--+-0022()(1)x x x x=--=0 则002x x x x ==或 ………………………………………………………9分当00x <<002x x >，令'()0x ϕ<，则002x x x <<，所以函数()x ϕ在002(,)x x 上单调递减，所以当002(,)x x x ∈时，0()()0x x ϕϕ<=，从而有002(,)x x x ∈时，0()0x x x ϕ<-；当0x >002x x <，令'()0x ϕ<，则002x x x <<，所以()x ϕ在002(,)x x 上单调递减，所以当002(,)x x x ∈时，0()()0x x ϕϕ>=，从而有002(,)x x x ∈时，0()0x x x ϕ<-；所以当0(2,)x ∈+∞时，函数()y f x =不存在“类对称点”。