4.1(随机变量的数学期望)

求E(2X – 1)，E(X 2)． 解：
E(2X – 1) = [2(–1) –1] 0.1 + [2 0 – 1] 0.2
+ [21 – 1] 0.4 + [2 2 – 1] 0.3
= 0.8．
E(X2) = (–1)2 0.1 + 02 0.2 + 12 0.4 +22 0.3 = 1.7．
(1) 设X是离散型随机变量，其分布律为
P{ X xk } pk , k 1,2,
若级数 g ( xk ) pk 绝对收敛,则 E (Y ) E[ g ( X )] g ( xk ) pk (2) 设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x)， 若积分 g ( x ) f ( x )dx 绝对收敛，则
X
7 9 10
7 0.05 0.05 0
9 0.05 0.10 0.20
10 0.10 0.35 0.10
(1) 求min(X, Y )的数学期望； (2) 求X +Y的数学期望．
4.1.2
随机变量函数的数学期望
Y
X 7 7 0.05 9 0.05 10 0.10
解：

9
10
0.05
0
3 3
0.10
( k 1)!

e
e
k 1
k 1
( k 1)!
e e
e
k 0

k
k!
4.1.1
数学期望的概念
2. 连续型随机变量的数学期望
定义4.2 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)， 若积分 xf ( x )dx 绝对收敛，则称其为X的数学期望 或均值．记为E(X)或EX，即
1 2 E ( X ) 10000 5 5000 5 0 p0 0.5( 元) 10 10
每张彩票平均可赚：2 – 0.5 – 0.3 = 1.2(元)， 彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为: 100000 1.2 = 120000(元)．
4.1.1
数学期望的概念
0.20
0.35
0.10
4.1 随机变量的数学期望
4.1.1 数学期望的概念
1. 离散型随机变量的数学期望 【引例】某年级有100名学生，17岁的有20人，18 岁的有30人，19岁的有50人，则该年级学生的平 均年龄为
17 20 18 30 19 50 20 30 50 17 18 19 18.3 100 100 100 100
随机变量X的 以概率为权重 的加权平均值
解：若在n次投掷中，得1分的共n1次，得2分的 共n2次，得4分的共n3次,则平均投掷一次得分为：
3 3 ni 1 2 3 17 n1 x1 n2 x 2 n3 x 3 xi xi pi 1 2 4 n 6 6 6 6 i 1 n i 1
【例4.6】设随机变量X服从(a，b)上的均匀分布， 求E(X)． 解：由于均匀分布的概率密度为
1 b a , a x b f ( x) 0, 其它
x b2 a 2 a b E ( X ) xf ( x )dx dx a ba 2(b a ) 2
E ( X ) xf ( x )dx

若积分 xf ( x ) dx 不收敛,则称X的数学期望不存在.

4.1.1
数学期望的概念
著名的柯西分布是数学期望不存在的经典例子： 设随机变量X服从柯西分布，其概率密度为
1 f ( x) (1 x 2 )
由于积分



第四章 随机变量的数字特征
再如，在评定一批灯泡的质量时，主要看这 批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命 的偏差．
从这两个例子可以看到，某些与随机变量有 关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但 却可以概括描述它在某些方面的特征．这些能 代表随机变量主要特征的数字，称为随机变量 的数字特征． 本章介绍随机变量的几个常用数字特征：数 学期望、方差、协方差和相关系数．

k 1 k 1


E (Y ) E[ g ( X )] g ( x ) f ( x )dx


可见，求Ｅ[g(X)]时，不必知道Y = g(X)的概率分布， 只需知道X的概率分布就可以了．
4.1.2
随机变量函数的数学期望
【例4.8】设随机变量X的分布律为
X pi –1 0.1 0 0.2 1 0.4 2 0.3
【例4.3】设随机变量X服从二项分布B(n，p)，求 它的数学期望．
k 解：由于 P{ X k} Cn pk (1 p)nk ,k = 0 ,1,2,…,n．
k 因而 E ( X ) kP{ X k } kCn pk (1 p)nk k 0 k 0 n n
E ( Z ) E[ g( X , Y )]

j 1 i 1


g ( xi , y j ) pij
（设该级数绝对收敛） (2) 若(X，Y)是二维连续型随机变量，其概率密 度为 f ( x, y) ，则有
E ( Z ) E[ g ( X , Y )]

4.1.1
数学期望的概念
【例4.4】设随机变量X服从参数为（ > 0）的泊 松分布，求它的数学期望．
解：由于 P{ X k } 因而

k
k!
e ，k = 0，1，2，…，

E ( X ) kP{ X k } k
k 0
k
k!
e
k 0

k 1

k
当然,可以通过X的概率分布求出Y=g(X)的概率 分布,然后再用数学期望的定义计算E(Y)即Ｅ[g(X)]. 是否可以不通过求Y=g(X)的概率分布，而根据 X的概率分布直接求得Y=g(X)的数学期望呢？ 答案是肯定的，我们不加证明地给出以下定理：
4.1.2
随机变量函数的数学期望
定理4.1 设Y为随机变量X的函数:Y = g(X) (g是连 续函数).
事实上,平均年龄是以频率为权重的加权平均值．
4.1.1
数学期望的概念
【例4.1】（掷骰子游戏）规定掷出1点得1分；掷 出2点或3点得2分；掷出4点、或5点、或6点得4分, 共掷n次.投掷一次所得的分数X是一个随机变量.
则X的分布律为
X pi 1 1/6 2 2/6 4 3/6
试问：预期平均投掷一次能得多少分？
第4章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量的数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数、矩
第四章 随机变量的数字特征
随机变量的概率分布能够完整地描述随机变 量的概率性质.
但是这还不足以给人留下直观的总体印象. 有时不需要去全面考察随机变量的整体变化 情况，只需知道随机变量的某些统计特征就可以 了． 例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注 意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的 偏离程度．
4.1.2
随机变量函数的数学期望
【例4.9】某矿物的一个样品中含有杂质的比例为X， 其概率密度为
3 2 2 x x, 0 x 1 f ( x) 0, 其它

一个样品的价值（以元计）为Y = 5–0.5X，求E(Y). 解： E (Y ) E (5 0.5 X ) (5 0.5 x ) f ( x )dx
3 ( 5 0.5 x )( x 2 x )dx 0 2
1
4.65( 元)
4.1.2
随机变量函数的数学期望
将定理4.1推广到二维随机变量的情形． 定理4.2 设Z是随机变量X，Y的函数Z = g(X，Y)， g是连续函数． (1) 若(X，Y)是二维离散型随机变量，其分布律 为P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,, 则有

0



xde x /
0
xe
x /
e
0

x /
dx e
x / 0

4.1.2
随机变量函数的数学期望
在实际中,我们常需求随机变量函数的数学期望.
如果我们知道X的概率分布，如何计算X的某个 函数Y=g(X)的数学期望？
4.1.1
数学期望的概念
对于一般的离散型随机变量，有如下定义： 定义4.1 设离散型随机变量X的分布律为 P{X = xi} = pi，i = 1，2，…． 若级数
x p
i i 1

i
绝对收敛，则其称为随机变量X的

数学期望或均值．
记为E(X)或EX，即

E ( X ) xi pi
i 1
4.1.1
数学期望的概念
【例4.2】某一彩票中心发行彩票10万张，每张2 元．设头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金 各5千元；三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100 个，奖金各100元；五等奖1000个，奖金各10 元．每张彩票的成本费为0.3元，请计算彩票发行单 位的创收利润． 解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X，则有

g ( x, y) f ( x, y)dxdy
（设该积分绝对收敛）
4.1.2
随机变量函数的数学期望
【例4.10】一餐馆有三种不同价格的快餐出售，价格分别 为7元，9元，10元．随机选取一对前来进餐的夫妇，以X 表示丈夫所选的快餐的价格，以Y表示妻子所选的快餐的 价格，又已知X和Y的联合分布律为
Y
n k 1 由于 C C n1 k n
k n
n1