(湖南专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(十)数列求和及数列的简单应用配套作业 文(解析版)

专题限时集训(十)

[第10讲 数列求和及数列的简单应用]

(时间：45分钟)

1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2，a 4是方程x 2

－x －2＝0的两个根，则S 5的值是( )

A.52 B ．5 C ．－5

2

D ．－5 2．如果等比数列{a n }中，a 3·a 4·a 5·a 6·a 7＝42，那么a 5＝( ) A ．2 B. 2 C ．±2 D ．± 2

3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15＝25π，则tan a 8的值是( ) A. 3 B ．－ 3 C ．± 3 D ．－

3

3

4．已知数列{a n }满足a 1＝2

3，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }的

前n 项和为S n ，则S n 等于( )

A ．2－23n －1

B ．2－23n

C ．2－2n 3n ＋1

D ．2－2

n ＋1

3

n

5．已知n 是正整数，数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n 是na n 与a n 的等差中项，则a n

等于( )

A ．n 2

－n B.

n （n ＋1）

2

C ．n

D ．n ＋1

6．设f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的实数x ，y ∈R，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12

，a n ＝f (n )(n ∈N *

)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围为( )

A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2

B.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2

C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1

D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，1 7．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )

A ．18

B ．19

C ．20

D ．21

8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若M ，N ，P 三点共线，O 为坐标原点，且ON →＝a 15OM →＋

a 6OP →

(直线MP 不过点O )，则S 20等于( )

A ．10

B ．15

C ．20

D ．40

9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么当S n >0时，n ＝( )

A ．20

B ．17

C ．19

D ．21

10．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1b n b n ＋1的

前n 项和S n ＝________．

11．定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都是同一个常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝2，公积为5，则这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．

12．设S n 为数列{a n }的前n 项和，把

S 1＋S 2＋…＋S n

n

称为数列{a n }的“优化和”，现有一个

共有2 012项的数列：a 1，a 2，a 3，…，a 2 012，若其“优化和”为2 013，则有2 013项的数列：2，a 1，a 2，a 3，…，a 2 012的“优化和”为________．

13．将函数f (x )＝sin 14x ·sin 14(x ＋2π)·sin 1

2(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值

点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *

)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2n

a n ，数列{

b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．

14．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝

n （a n －a 1）

2

.

(1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列； (2)令p n ＝

S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1

S n ＋2

，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．

15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点An ，S n n (n ∈N *

)总在直线y ＝12x ＋32

上．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b n ＝

n ＋1

a n (n ∈N *)，试问数列{

b n }中是否存在最大项，如果存在，请

求出；如果不存在，请说明理由．

专题限时集训(十)

【基础演练】

1．A [解析] 依题意，由根与系数的关系得a 2＋a 4＝1，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝

5（a 2＋a 4）

2＝5

2

.故选A. 2．B [解析] 依据等比数列通项公式的性质，得a 3·a 7＝a 4·a 6＝a 25，所以a 5

5＝252

，求得

a 5＝ 2.故选B.

3．B [解析] 依题意得S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8＝25π，所以a 8＝53π，于是tan a 8＝tan

5

3

π＝－ 3.故选B.

4．D [解析] 令m ＝1得a n ＋1＝a 1·a n ，即

a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝2

3

，公比为q ＝23的等比数列．于是S n ＝23×⎣⎢⎡⎦⎥⎤

1－23n 1－23

＝2×⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1－23n ＝2－2n ＋13n .故选D.

【提升训练】

5．C [解析] 依题意得2S n ＝na n ＋a n ＝(n ＋1)a n ，当n ≥2时，2S n －1＝na n －1，两式相减得2a n ＝(n ＋1)a n －na n －1，整理得a n a n －1＝n n －1，所以a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n n －1.n －1n －2.. (2)

1

·1＝n .故选C.

6．C [解析] 依题意得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，即a n ＋1＝a n ·a 1＝1

2a n ，所以数列{a n }是以

12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝121－12n 1－12

＝1－12n ，所以S n ∈⎣⎢⎡⎭

⎪⎫12，1.故选C.

7．C [解析] 设等差数列{a n }公差为d ，则有(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ＝99－105，则d ＝－2，易得a 1＝39，a n ＝41－2n ，令a n >0得n <20.5，即在数列{a n }中，前20项均为正值，自第21项起以后各项均为负，因此当n ＝20时，S n 取得最大值．

8．A [解析] 依题意得a 15＋a 6＝1，由等差数列性质知a 15＋a 6＝a 1＋a 20，所以S 20＝20（a 1＋a 20）

2

＝10(a 15＋a 6)＝10.故选A.

9．C [解析] 由a 9＋3a 11<0得2a 10＋2a 11<0，即a 10＋a 11<0，又a 10·a 11<0，则a 10与a 11异号，因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是一个递减数列，则a 10>0，a 11<0，所以