三角函数y=Asin(wx+&)的图像习题及答案

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题7分，共35分)

1．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝cos x C ．f (x )＝sin 4x D ．f (x )＝cos 4x

2．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( )

A ．4

B ．2

C ．1 D.12

3．将函数y ＝sin(x －θ)的图象F 向右平移π3个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x ＝π4

，则θ的一个可能取值是( ) A. 512π B ．－512π C.712π D ．－1112

π 4．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3

个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A.23 B.43 C.32

D ．3 5．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100

秒时，电流强度是( ) A ．－5安 B ．5安 C ．53安 D ．10安

(第5题) （第6题）

（第7题）

二、填空题(每小题6分，共24分)

6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝__________.

7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

8．设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦

⎤－π2，0，则x 0＝________. 9．设函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12

对称，则在下面四个结论中：①图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称；②图象关于点⎝⎛⎭

⎫π3，0对称； ③在⎣⎡⎦⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎡⎦

⎤－π6，0上是增函数，所有正确结论的编号为________． 三、解答题(共41分)

10．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2

)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，试写出变换过程．

11．(14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示 (1)求函数f (x )的解析式；

(2)当x ∈⎣

⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．

12．(14分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2

)的一段图象如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；

(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4

个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．

答案 1.A 2.B 3.A 4.C 5.A 6. 32 7. 3 8. －π6

9. ②④ 10. 解 (1)由图象知A ＝2.

f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT

＝2. 将点⎝⎛⎭⎫π6，2代入f (x )的解析式，得sin ⎝⎛⎭

⎫π3＋φ＝1. 又|φ|<π2，∴φ＝π6

. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)方法一 y ＝2sin x 6−−−−−−→π向左平移个坐标y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π61

2−−−−−−−→横坐标缩短为原来的纵坐标不变y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 方法二 y ＝2sin x 12

−−−−−−−→横坐标缩短为原来的纵坐标不变y ＝2sin 2x 12−−−−−−→π

向左平移个坐标y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 11. 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8，

∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4

. 又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭

⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4

.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4. (2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4

x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6

. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23

时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6； 当π4

x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2. 易错分析 y ＝f (x )＋f (x ＋2)化简错误，化简公式和方法不熟致误．

12. 解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT

＝2， 将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12

个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象． 于是φ＝2×π12＝π6

，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦

⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝22sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0

. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3

， ∴x ＝524π或x ＝38

π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭

⎫3π8，6. 易错分析 f (x )向右平移π4

个单位得g (x )＝2sin ⎣⎡ 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ⎦⎤＋π6，学生易错为 g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π6，忽略了x 的系数2的作用．