平面向量的直角坐标运算
平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示课件(共25张PPT)
∴ + = (1,5) + (4, −1) = (5,4)，
− = (−5, −4) − (1,5) = (−6, −9)．
（3）设向量,的坐标分别是(−1,2),(3, −5),则 + , − 的坐标分
（1）相等向量的坐标相同，且与向量的起点、终点无关．( √ )
（2）当向量的起点在坐标原点时，纵坐标为0，与轴平行的向量的横坐标为0.
(√ )
知识点二 平面向量加、减运算的坐标表示
设向量 = (1 , 1 )， = (2 , 2 )，则有下表：
A.(−2,4)
√
)
B.(4,6)
C.(−6, −2)
D.(−1,9)
[解析] 在平行四边形中，因为(1,2)，(3,5)，所以
= (2,3)，又 = (−1,2)，所以 = + = (1,5)，
= − = (−3, −1)，所以 + = (−2,4).故选A.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
【学习目标】
1.借助平面直角坐标系,理解平面向量坐标的概念,掌握平面向量
的正交分解及坐标表示.
2.掌握平面向量的坐标运算,会用坐标表示平面向量的加、减运算.
知识点一 平面向量的正交分解及坐标表示
互相垂直
1.正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量,叫作把向量
作正交分解.
2.平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系中,
设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为,,
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
平面向量的坐标运算
别业岁月悠长，有暗香盈袖。
冗长了日与夜，空掷了乐与悲。
遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。
谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。
写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。
如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一．知识梳理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+．其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标． ②设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；||(AB x =（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)a x y b x y ==1212(,)a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；11(,)a x y λλλ=；21||a x y =+．3．平面向量共线的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则12210a b x y x y ⇔-=∥． 二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．（2）要注意运用两个向量,a b 共线坐标表示的充要条件12210x y x y -=．（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．2．有关平面向量的两类本质（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． （2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 三．典例精析1．平面向量基本定理及其应用【例题1】（1）在梯形ABCD 中，,2,,A B C D A B C D M N=∥分别是,C D B C 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D （2）在ABC 中，P 是AB 上一点，且21,33CP CA CB Q =+是BC 的中点，AQ 和CP 的交点为M ，又CM tCP =，则t = ． 【变式1】（1）如图，在ABC 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则（ ）21.,33A x y == 12.,33B x y == 13.,44C x y == 31.,44D x y ==（2）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上一点，若211AP mAB AC =+，则m = ．2．平面向量的坐标运算【例题2】（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----．设,,AB a BC b CA c ===，且3,2C M c C N b==-． （Ⅰ）求33a b c +-；（Ⅱ）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （Ⅲ）求,M N 的坐标及向量MN 的坐标．（2）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π．如图，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值为 ．【变式2】（1）已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且(1,1),(2,3)A C ，||2||BC AC =，则向量OB 的坐标是 ．（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==，若OC =OA λOB μ+，且1λμ≥≥，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是（ ）（3）已知||||2,a b a b ==⊥，若向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围是 ．3．平面向量共线的坐标表示）两向量共线的充要条件的作用【例题3】（1）已知向量1(8,),(,1)2a xb x ==，其中0x >，若(2)(2)a b a b -+∥，则x 的值为（ ）.4A .8B .0C .2D（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)A B C ，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． （3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OA OB a OC b =-=-=-，0a >，0,b O >为坐标原点，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）.2A .4B .6C .8D 【变式3】（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，若,,A B C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ）.2A k =- 1.2B k =.1C k = .1D k =- （2）（2015河北唐山）设向量,a b 满足||25,(2,1)a b ==，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（3）（2014陕西）设02πθ<<，向量(sin 2,cos ),(cos ,1)a b θθθ==，若a b ∥，则tan θ= ．四．针对训练.A 组 基础训练1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE =（ ）1.2A b a -1.2B b a + 1.2C a b + 1.2D a b - 2．（2015宁夏质检）如图，设O 为平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为该平面内其他向量的基底的是（ ）.A ①② .B ①③ .C ①④ .D ③④3．已知向量3,1),(0,2)a b =-=(．若实数k 与向量c 满足2a b kc +=，则c 可以是（ ）.,1)A - .(3)B - .(,1)C - .(3)D - 4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（ ）34.(,)55A - 43.(,)55B - 34.(,)55C - 43.(,)55D -5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OA e OB e ==，若12,e e 不共线，且点P 在线段AB 上，||:||2AP PB =，则OP =（ ）1212.33A e e -1221.33B e e + 1212.33C e e + 1221.33D e e -6．已知ABC 中，点D 在BC 边上，且2,s CD DB CD r AB AC ==+，则r s +的值是（ ） 2.3A 4.3B .3C - .0D 7．若三点(1,5),(,2),(2,1)A B a C ----共线，则实数a 的取值范围是 ．8．在ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = ．9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}P a a m m R ==-+∈，{|(1,2)Q b b ==-(2,3),}n n R +∈是两个向量集合，则PQ 等于 ．10．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(,)p a c b =+，(,)q b a c a =--，且p q ∥，则角C = ． 11．已知(1,0),(2,1)a b ==．（Ⅰ）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；（Ⅱ）若23,AB a b BC a mb =+=+且,,A B C 三点共线，求m 的值．12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =． （Ⅰ）用a 和b 表示向量,OC DC ； （Ⅱ）若OE OA λ=，求实数λ的值．.B 组 能力提升1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则Q 点的坐标是（ ）.(2)A - .(2)B - .(,2)C -- .(,2)D - 2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||OA OB +=||OA OB -，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）.2A .2B - .2C 或2- D3．如图，在四边形,,,A B C D 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=，BCD ∠=135，记向量,AB a AC b ==，则AD =（ ）2(1)2b -+2.(1)2B b ++ 2.(1)2C b +-2(1)2b +-4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）.[4,6]A .191]B .[7]C .71]D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．6．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，定义一种向量积1122(,)a b a b a b ⊗=，已知向量1(2,),(,0)23m b π==，点(,)P x y 在sin y x =图像上运动．Q 是函数()y f x =图像上的点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是 ．7．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．8．如图，设,Ox Oy 为平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是x 轴、y 轴正方向同方向的单位向量，若12OP xe ye =+，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．若OP 的坐标为(1,1)． （Ⅰ）求||OP ；（Ⅱ）过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点,A B ，试确定,A B 的位置，使AOB 面积最小，并求出最小值．。
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1。
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。
8.2 平面向量的分解及向量的坐标表示
58
因为k a − b 与 a + 3b 平行，所以3(k − 2) + 7 = 0 ，即得 k = − 7 3 a − b = (k − 2, −1) = (− , −1) ， a + 3b = (7,3) ， 此时k 3
1
则 a + 3b
= −3(k a − b)
，即此时向量 a + 3b 与 ka − b 方向相反。
运算类型 几何方法
坐标方法
运算性质
a +b =b +a
(a +b) +c = a +(b +c)
向量的加 1.平行四 边形法则2. a+b=(x +x2, y +y2) 法 1 1 三角形法 则 向量的 减法
a−b =(x1 −x2, y1 −y2)
AB + BC = AC
a − b = a + (−b )
向量与函数的综合
高考总复习·数学 高考总复习 数学
已知向量 u = ( x, y) v = ( y,2 y − x) 的对应关系用 v = f (u) 表示。 与 (1)证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有 成立；
f (ma + nb) = mf (a) + nf (b)
(2)设 a = (1,1), b = (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； （3）求使 f (c) = ( p, q) ，（p，q为常数）的向量 故 f (ma + nb) = (ma2 + nb2 ,2ma2 + 2nb2 − ma1 − nb1 )
e1
2
二．平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j → 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可 → a a 表示成 → = xi + yj ，由于→与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫 做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫 做在y轴上的坐标。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
平面向量的直角坐标运算
-2
与向A量 有 B 何关相系 同 ？
-3
4
（一）平面向量坐4 标的概念
3
a
a2 j
2
r
B
a
a2 j
a1i
1
j
A
ar 1 i
C
向量 a 表示平面内任意一向量
-2
2
4
6
Oi
-1
a A A B C C a B 1 i a 2j
-2
同一个向量的坐标是唯一的，与位置无关。
-3
Page ▪ 5
5
r 一般地，在平面直角坐标系中，对任意向量 a ，都有且只有
a
b
a1b1
a2b2．
aa∥b
b
a
b
0
a1b1
a2b2
0．
( 2 ) 若 A (x 1 ,y 1 ),B (x 2 ,y 2 ), u A u B u r (x 2 x 1 ,y 2y 1 )
两点间距离公式
Page ▪ 33
33
a a2 a a (计算向量的长度)
4/21/2020
练习一:单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① i i __1___ ② i j __0___ ③ j i ___0___ ④ j j __1___
解： i i i i cos i ,i
11 cos0
Page ▪ 1
1
1.向量加法：
B
C
OAACOC
2.向量减法：
OAOB OC O
A
B
OAOBBA
3. 数乘向量：
OBOAAB
A
O
如 a 与 b 果 b 0 平行，本 则定 由理 平
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算
2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算．3.2&2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题怎样分解一个向量才为正交分解？如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．．平面向量的坐标表示基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对叫做向量a的坐标．坐标表示：a＝．特殊向量的坐标：i＝，j＝，0＝．[点睛] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝，b＝．．平面向量的坐标运算设向量a＝，b＝，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A，B，则＝[点睛] 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]．判断下列命题是否正确．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．两向量差的坐标与两向量的顺序无关．点的坐标与向量的坐标相同．答案：√√××．若a＝，b＝，则3a＋2b的坐标是A．B．c．D．答案：c．若向量＝，＝，则＝A．B．c．D．答案：A．若点，点N，用坐标表示向量＝______.答案：平面向量的坐标表示[典例]如图，在边长为1的正方形ABcD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B，D．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.求点和向量坐标的常用方法求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知o是坐标原点，点A在象限，||＝43，∠xoA＝60°，求向量的坐标；若B，求的坐标．解：设点A，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A，＝．＝－＝.平面向量的坐标运算[典例] 已知三点A，B，c，则向量3＋2＝________，－2＝________.已知向量a，b的坐标分别是，，求a＋b，a－b,3a,2a ＋3b的坐标．[解析] ∵A，B，c，∴＝，＝，＝．∴3＋2＝3＋2＝＝．－2＝－2＝＝．[答案]解：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，a＝3＝，a＋3b＝2＋3＝＋＝．平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]．设平面向量a＝，b＝，则a－2b＝A．B．c．D．解析：选A ∵2b＝2＝，∴a－2b＝－＝．．已知，N，＝12，则P点坐标为______．解析：设P，＝，＝，∴＝12＝12＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.答案：－1，－32向量坐标运算的综合应用[典例] 已知点o，A，B及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[解] 因为＝＋t＝＋t＝，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.[一题多变]．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．解：由典例知P，则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.．[变设问]本例条件不变，试问四边形oABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．解：＝，＝．若四边形oABP为平行四边形，则＝，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形oABP不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．层级一学业水平达标．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A，B，则可以表示为A．2i＋3jB．4i＋2jc．2i－jD．－2i＋j解析：选c 记o为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于A．－18，－1B．14，3c．18，1D．－14，－3解析：选A ∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，∴λa＝12a＝－18，－1.．已知向量a＝，2a＋b＝，则b＝A．B．c．D．解析：选A b＝－2a＝－＝．．在平行四边形ABcD中，Ac为一条对角线，＝，＝，则＝A．B．c．D．解析：选c ＝－＝－＝－＝．．已知，N，点P是线段N上的点，且＝－2，则P点的坐标为A．B．c．D．解析：选D 设P，则＝，＝，由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x ＝2，y＝4.．已知向量a＝，b＝，若a＋nb＝，则－n的值为________．解析：∵a＋nb＝＝，∴2＋n＝9，－2n＝－8，∴＝2，n＝5，∴－n＝2－5＝－3.答案：－3．若A，B，c，则＋2＝________.解析：∵A，B，c，∴＝，＝．∴＋2＝＋2＝＋＝．答案：．已知o是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xoA ＝150°，向量的坐标为________．解析：设点A，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A，所以＝．答案：．已知a＝，B点坐标为，b＝，c＝，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝，c＝，∴3b－2c＝3－2＝－＝，即a＝＝.又B，设A点坐标为，则＝＝，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为．0．已知向量＝，＝，点A．求线段BD的中点的坐标．若点P满足＝λ，求λ与y的值．解：设B，因为＝，A，所以＝，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B．同理可得D，设BD的中点，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，所以－12，－1.由＝－＝，＝－＝，又＝λ，所以＝λ＝，所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37. 层级二应试能力达标．已知向量＝，＝，则12＝A．B．c．D．解析：选D 12＝12＝12＝，故选D.．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A．－2,1B．1，－2c．2，－1D．－1,2解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，∴＝λ1＋λ2＝，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.．已知四边形ABcD的三个顶点A，B，c，且＝2，则顶点D的坐标为A．2，72B．2，－12c．D．解析：选A 设点D，则由题意得＝2＝，故2＝4，2n －4＝3，解得＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.．对于任意的两个向量＝，n nn＝．设f f f等于A．B．c．D．解析：选B 由⊗f＝，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f f．已知向量i＝，j＝，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝≠，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝，且a≠0，则a的起点是原点o；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是，则a＝．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝≠，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是时，a＝是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：1．已知A，B，o为坐标原点，点c在∠AoB内，|oc|＝22，且∠Aoc＝π4.设＝λ＋，则λ＝________.解析：过c作cE⊥x轴于点E，由∠Aoc＝π4知，|oE|＝|cE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以＝λ，故λ＝23.答案：23．在△ABc中，已知A，B，c，，N，D分别是AB，Ac，Bc的中点，且N与AD交于点F，求的坐标．解：∵A，B，c，∴＝＝，＝＝．∵D是Bc的中点，∴＝12＝12＝12＝－72，－4.∵，N分别为AB，Ac的中点，∴F为AD的中点．∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，c，若＋＋＝0，求的坐标．若＝＋n，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求－n. 解：设点P的坐标为，因为＋＋＝0，又＋＋＝＋＋＝．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为，故＝．设点P的坐标为，因为A，B，c，所以＝－＝，＝－＝，因为＝＋n，所以＝＋n＝，所以x0＝＋2n，y0＝2＋n，两式相减得－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以－n＝1.。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
平面向量的坐标公式大全
平面向量的坐标公式大全若向量a=x，y，向量b=m，n，则a乘以b=xm+yn，a+b=x+m，y+n。
在直角坐标系内，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
2、减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。
3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。
扩展资料：物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。
18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。
同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。
它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。
哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。
随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。
平面向量的坐标运算公式推导
平面向量的坐标运算公式推导在我们学习数学的奇妙世界里，平面向量可是个有趣又有点小复杂的家伙。
今天咱们就一起来瞧瞧平面向量的坐标运算公式是怎么推导出来的，这就像是一场解谜之旅，准备好了吗？咱们先来说说平面向量的基本概念哈。
想象一下，在一个平面上，有个箭头，它有长度还有方向，这就是平面向量啦。
而坐标呢，就像是给这个箭头在平面上找了个具体的位置标记。
比如说，有个向量a，它在平面直角坐标系里的起点是坐标原点O，终点是 A(x₁, y₁) 。
那这个向量 a 就可以用坐标 (x₁, y₁) 来表示。
那平面向量的加法怎么用坐标来算呢？咱们假设还有个向量 b ，终点是 B(x₂, y₂) ，那向量 a + 向量 b 的坐标会是啥呢？咱来实际操作一下，把向量 a 的终点 A 和向量 b 的终点 B 连起来，这样就得到了向量 a + 向量 b 的终点 C 。
通过几何关系可以发现，C 点的坐标就是 (x₁ + x₂, y₁ + y₂) 。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个学生就特别迷糊，怎么都搞不明白。
我就拿教室里的座位打比方，假设第一排第一列是原点，从前往后是 x 轴，从左往右是 y 轴。
然后我让这个迷糊的同学当向量a ，他的座位是 (2, 3) ，再找另一个同学当向量b ，座位是 (4, 5) ，那他们俩加起来的“位置”不就是 (6, 8) 嘛。
这么一比喻，这同学恍然大悟，那开心的样子我到现在都记得。
再来说说平面向量的减法。
向量 a - 向量 b ，其实就相当于向量 a + （ - 向量 b ）。
那 - 向量 b 终点就是 B' ( - x₂, - y₂) ，所以向量 a - 向量 b 的坐标就是 (x₁ - x₂, y₁ - y₂) 。
平面向量的数乘也有讲究。
如果有个实数λ 乘以向量 a ，那坐标就变成(λx₁, λy₁) 。
咱们总结一下哈，平面向量的坐标运算公式：加法：若向量 a = (x₁, y₁) ，向量 b = (x₂, y₂) ，则向量 a + 向量 b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) ；减法：向量 a - 向量 b = (x₁ - x₂, y₁ - y₂) ；数乘：若λ 为实数，向量 a = (x₁, y₁) ，则λ 向量a = (λx₁, λy₁) 。
高中数学_平面向量的坐标运算教学设计学情分析教材分析课后反思
平面向量的坐标运算教学设计：Ⅰ.复习回顾:上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x ，y )来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x ，y )来表示.在平面直角坐标系中，i 、j 为x 轴、y 轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使→→→+=j y i x a 成立.2.探索新知:知识点1：平面向量的坐标加减法运算问题一：已知)3,1(=→a ，)1,5(=→b ，如何求→→+b a ，→→-b a 的坐标呢？猜想：若),(),,(2211y x b y x a ==→→则),(2121y y x x b a ++=+→→，),(2121y y x x b a --=-→→ 平面向量的坐标运算法则证明若→→→→→→+==+==j y i x y x b j y i x y x a 22221111),(,),( 则),()()(21212121y y x x j y y i x x b a ++=+++=+→→→→ ),()()(21212121y y x x j y y i x x b a --=-+-=-→→→→结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
问题二：探究：若已知 点A 、B 的坐标分别为 (1,3)，(4,2)，如何求 AB 的坐标呢？ O xyBA→AB =→OB -→OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=→一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考：坐标为()1212,y y x x --的点P 在哪里？设计目的 ：此环节教师充当引导者，以学生为主体，让学生在讨论思考中享受成功的快乐。
3.1.4空间向量的直角坐标运算
七、 当堂训练（ 8 分钟）
15
OA与BO的夹角
5. 已知 a (3, 2,5), b (1, 3,0), c (7, 2,1) ，求 2 | a b c | (4) cos a, b (1) a b c （2）(a b) c （3）
三、学习目标：(10s)
1. 掌握向量的坐标表示、坐标运算。 2．掌握平行向量、垂直向量坐标之间的关系。 3．掌握两个向量夹角与向量长度的坐标计算 公式。 4.体会类比思想在空间向量公式推导当中的 应用。
四、自学指导:（7分钟）
认真阅读课本P89-P91，并注意以下问题：
1.空间向量的直角坐标运算：建立空间直角坐标系 的方法以及如何用坐标表示向量的加减、数乘、 数量积？ 2.空间向量平行和垂直的条件是什么？ 3.怎样表达两个向量的夹角？ 4.向量长度的坐标计算公式是什么？ （限时7分钟，7分钟后进行检测，看谁能利用本节 知识做对检测题）
3.空间向量平行和垂直的条件
若 a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 )
a // b (b 0)
当b 与三个坐标平面都不平 行时
a1 a 2 a3 b1 b2 b3
b1 a ___ 1 a b ( R) b2 a2 ___ a ___ 3 b
则 a
a a a
2 1 2 2
————————
Cos a, b
AB
2 2 2 a12 a 2 a3 b12 b2 b32 若 A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 ) 则
a b ———————— = ab
6.3.2-4平面向量的正交分解、坐标表示、坐标加减运算-高中数学必修第二册课件(共48张ppt)
例5 :已知平行四边形ABCD的三个顶点
A(2,1), B(1,3),C(3, 4),求顶点D的坐标.
解：设D的坐标为（x, y) B(-1,3）
C(3,4)
uuur
DD(x,y)
Q AB (1, 2)
A(-2,1)
DC (3 x,4 y)
x
uuur uuur
有AB DC得：（1，2）（3-x, 4 y)
y
uuur AB
的坐标.
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
r
r
例4：已知 a (2,1), b (3, 4),
r rr r r r
y
r
a
yA
r rr a xi +y j
uuur r r
r
OA xi +y j
jr
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
6.3.2平面向量正交分解及坐标表示
思考？
在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
物理背景:
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐 标为_(_1_,_5)__. 设 D(x，y)，则由A→B＝D→C，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即41＝ ＝56－ －xy， ， 解得xy＝＝15，.
题型一 平面向量基本定理的应用
例1 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点， AE的延长线与CD交于点F. 若A→C＝a，B→D＝b，则A→F等于
∴y＝27， 故选 A.
题型三 向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标 例3 已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_(_3_,3_)_.
方法一 由 O，P，B 三点共线，可设O→P＝λO→B＝(4λ，4λ)， 则A→P＝O→P－O→A＝(4λ－4,4λ). 又A→C＝O→C－O→A＝(－2,6)，
(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，
则顶点 D 的坐标为
A.(2，72)
B.(2，－12)
C.(3,2)
D.(1,3)
设 D(x，y)，A→D＝(x，y－2)，B→C＝(4,3)，
又B→C＝2A→D，∴34＝＝22xy，－2， x＝2，
考点自测
1.设e1，e2是平面内一组基底，那么 A.若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B.空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数) C.对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内 D.对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
A.(4,0)
B.(0,4)
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-3
OP
一一对应
P(x ,y) ( ) 10
小结:对向量坐标表示的理解: 小结:对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (1)任一平面向量都有唯一的坐标; 任一平面向量都有唯一的坐标 (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标; (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标; 向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标 当向量的起点在原点时, 当向量的起点在原点时,向量终点的坐标即为 向量的坐标. 向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标. 相等的向量有相等的坐标
结论1 一个向量的坐标 结论1:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段终点的坐标减 去始点的坐标. 去始点的坐标.
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a
b
x
A (x1,y1) A 1
j
i 1
9
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
2
P(x,y)
yj
1
j
-2 2 4 6
O i
-1 -2
xi
OP = xi + y j = ( x, y )
共线的向量, 如果 e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线的向量, 那么对于这一平面内任 意向量 a , 有且只有一 对实数 λ1 , λ 2使得 a = λ1 e1 + λ 2 e 2
其中e1 , e2叫做这一平面所有向量 的一组基底
λ1 e1
e1
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a
特别的 0 = λ1 e1 + λ 2 e2 λ1 = λ 2 = 0
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复习
2
引入: 引入 1.平面内建立了直角坐标系, 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 平面内建立了直角坐标系 表示? 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢 平面向量是否也有类似的表示呢? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A(a,b)
O
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a
x
3
平面向量基本定理
C D1
x
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20
课堂总结: 课堂总结:
1.向量的坐标的概念: 1.向量的坐标的概念: a = xi + y j = ( x, y ) 向量的坐标的概念 2.对向量坐标表示的理解 对向量坐标表示的理解: 2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (1)任一平面向量都有唯一的坐标; 任一平面向量都有唯一的坐标 (2)向量的坐标与其起点 终点坐标的关系; 向量的坐标与其起点, (2)向量的坐标与其起点,终点坐标的关系;
a = (x,
y)叫做 y)叫做向量的坐标表示 叫做向量的坐标表示
以下三个特殊向量的坐标是: 以下三个特殊向量的坐标是:
= i= (1,0) j= (0,1) 0 (0,0)
两个向量相等的等价条件 是两个向量坐标相等
Y
a
如果a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 那么a = b x1 = x2 , 且y1 = y2
(1)a + b = x1 i + y1 j + x2 i + y2 j = ( x1 + x2 ) i + ( y1 + y2 ) j
= ( x1 + x2 , y1 + y2 )
(
) (
)
同理得 a b = ( x1 x2 , y1 y2 ) (2)λ a = λ xi + y j = λ xi + λ y j = (λ x, λ y )
若 a = b a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), ,
则( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ), 即x1 = x2 , y1 = y2 .
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11
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量. 练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a = (1, 2)
a b = ( x1 x2 , y1 y2 ), λ a = (λ x1 , λ y1 ) ( 若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB = ( x2 x1 , y2 y1 ) 2) 4.能初步运用向量解决平面几何问题 向量"的思 能初步运用向量解决平面几何问题: 4.能初步运用向量解决平面几何问题:"向量"21
(
)
结论2 结论2:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 量相应坐标的和与差. 结论3 结论3:实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标. 乘原来向量的相应坐标. 13
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的坐标. 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),求 AB的坐标.
∵ AB = ( 1 ( 2),3 1) = (1,2)
DC = (3 x,4 y )
A O x
有 AB = DC得:( ,)(3-x, 4 y ) 12 =
B D
1 = 3 x x = 2 ∴ 2 = 4 y y = 2 顶点D的坐标是( , 22 )
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练习:世纪金榜第106页的变式训练
A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
∵ AB = OB OA = ( x2, y2 ) ( x1 , y1 )
= ( x2 x1 , y2 y1 )
O
x
结论1 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 结论 1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标. 线段终点的坐标减去始点的坐标.
3 + 2 + x = 0 即: 4 5 + y = 0
∴ F3 (5,1)
x = 5 ∴ y =1
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例4,1)已知A(2,3), B = (3,5), 求 BA的坐标. (
解: = BA
( 2,3) ( 3,5) = ( 5, 2 ) .
( 2)已知 AB = (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
⑴式叫做向量的坐标表示. 式叫做向量的坐标表示.
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a
x
其中x叫做 在 轴上的坐标, 叫做 轴上的坐标 叫做a在 轴上的坐标. 轴上的坐标 其中 叫做a在x轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐标 叫做 注:每个向量都有唯一的坐标. 每个向量都有唯一的坐标.
6
平面向量的坐标表示: 平面向量的坐标表示: 把
4
e2
λ2 e2
平面向量坐标的引入 不共线的向量 e ,e2 叫做这一平面内 1 所有向量的一组基底. 所有向量的一组基底
那么当| 那么当| e1|=| e2|=1且 e1与 e2垂直时,就可以 |=1且 垂直时, 建立直角坐标系… 建立直角坐标系…
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5
(一)平面向量坐标的概念 在直角坐标系内, 在直角坐标系内,我们分别 y (1)取基底 取基底: 轴方向,y ,y轴方向相 (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i 作为基底. 同的两个单位向量i,j作为基底. 得到实数对:任作一个向量a (2) 得到实数对:任作一个向量a, 由平面向量基本定理, 由平面向量基本定理,有且只 有一对实数x 使得a=xi+yj. 有一对实数x,y,使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标, (x,y)叫做向量 我们把(x,y)叫做向量a的坐标, o i 记作 a = (x, y) ⑴
长方 是 ________ 形 .
方向相同, 长度是 (4)a = 3b , 则a与b的关系是 __________ __ 3倍 方向相反, 长度是 a = 2b , 则a与b的关系是 __________ ___ 2倍
( 5 )若 AB = λ AC , 则 A, B , C三点的位置关系 三点共线 是 _________ ( 6 )若OA = t OB + (1 t )OC , 则 A, B , C三 三点共线 点的位置关系是 _________
y B(-1,3))
4 3
C(3,4)
2
A(-2,1)
-6 -4 -2
D(x,y) x
1
O
-1 -2
2
4
6
-3
-4
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例5:已知平行四边形 :已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 的三个顶点的坐标 分别是( , ),( , ),( ),(),(3, ), ),求 分别是(- 2,1),( 1,3),( ,4),求 y 顶点D的坐标 的坐标. 顶点 的坐标 解:设顶点D的坐标为(x, y ) C
-4 -3ຫໍສະໝຸດ -1 -2i12
3
4
x
c
d
d = 2i + ( 3) j = (2, 3)
的坐标有何关系? 问 1 :设 a = AB, a 的坐标与 A,B 的坐标有何关系 设
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a的坐标等于AB 的终边坐标减去起点坐标.
8
的坐标有何关系? 问 1 :设 a = AB, a 的坐标与 A,B 的坐标有何关系 设 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则
解:
y
(2)b = (1, 2)
B(1, 2)
y
. A(1, 2)
a
x
.
o
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b
o
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x
(二)平面向量的坐标运算: 平面向量的坐标运算:
问题: (1)已知 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 求 a + b, a b的坐标. (2)已知a = ( x, y )和实数λ , 求λ a 的坐标.