2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)04

江西省吉安市永新县永新五中
2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)04 姓名： 训练日期： 完成时间：________
一．单项选择题。

（本部分共5道选择题）
1．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2，则该几何
体的俯视图可能是( )．
解析 当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π
4；当俯视图为C 中三角形时，
几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为1
2.
答案 C
2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )．
A ．m ∥β且l 1∥α
B ．m ∥l 1且n ∥l 2
C ．m ∥β且n ∥β
D ．m ∥β且n ∥l 2
解析 对于选项A ，不合题意；对于选项B ，由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得
l 1∥α，同理可得l 2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B ；对于选项C ，由于m ，n 不一定相交，故是
必要非充分条件；对于选项D ，由n ∥l 2可转化为n ∥β，同选项C ，故不符合题意，综上选B. 答案 B
3．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为
3π
4
，则y ＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．2 解析 由
2y ＋1－－3
4－2
＝2y ＋42
＝y ＋2，
得：y ＋2＝tan 3π
4＝－1.∴y ＝－3.
答案 B
4．直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0 D ．4x －3y －12＝0 解析 在对称直线上任取一点P(x ，y)，
则点P 关于点A 对称的点P′(x′，y′)必在直线l 上． 由⎩⎨
⎧
x′＋x ＝2，y′＋y ＝2，
得P′(2－x,2－y)，
∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x ＋3y －12＝0. 答案 B
5．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ≤B
解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋2a 2－4，显然A 2>B 2，选A. 答案 A
二．填空题。

（本部分共2道填空题）
1．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
解析 由球的半径为R ，可知球的表面积为4πR 2.设内接圆柱底面半径为r ，高为2h ，则h 2
＋r 2
＝R 2
.而圆柱的侧面积为2πr ·2h ＝4πrh ≤4π
r 2＋h 2
2
＝2πR 2(当且仅当r ＝h 时
等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR 2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR 2. 答案 2πR 2
2．若函数f (x )＝ 的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 ∵y ＝ 的定义域为R ， ∴对一切x ∈R 都有2x 2
＋2ax －a ≥1恒成立，
即x 2
＋2ax －a ≥0恒成立．∴Δ≤0成立，即4a 2
＋4a ≤0， ∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0]
三．解答题。

（本部分共1道解答题）
1．设椭圆方程为x 2
＋y 2
4＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，
点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →
)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求：
(1)动点P 的轨迹方程；
(2)|NP →
|的最大值，最小值．
解析 (1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1，
x 2
＋y
2
4
＝1.
消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0.
∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－3
4＋k 2
.
设P (x ，y )是AB 的中点，则OP →
＝1
2(OA →＋OB →
)，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12x 1＋x 2＝k 4＋k 2，
y ＝12
y 1＋y 2＝
1
2
kx 1＋1＋kx 2＋
＝4＋2k
2
4＋k 2
；
消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.
当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0. (2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫y －122＝14
∴－14≤x ≤1
4
而|NP |2＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24
＝－3
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712
， ∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值21
6
，
当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.。