2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)04
2015届高三考试数学(文)试题word版含答案
高三数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,3,4},{2,5}A B ==，则()U B C A 等于（ ）A ．{}5B ．{}1,2,5C ．{}1,2,3,4,5D ．φ2、复数(12)z i i =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()2,1D ．()2,1--3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为6，则其渐近线的方程为（ ） A．2y x =± B．4y x =± C．5y x =± D．5y x =± 4、已知向量(1,),(1,)a n b n ==-，若2a b -与b 垂直，则2n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、在等差数列{}n a 中，2632a a π+=，则4sin(2)3a π-等于（ ） A．2 B ．12 C．2-．12- 6、为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70~78kg 的人数为（ ）A ．240B ．210C ．180D ．607、设不等式组22042x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．258、执行如图所示的程序框图所表述的算法，若输出的x 的值为48，则输入x 的值为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．129、函数ln x xy x =的图象大致是（ ）10、某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱的长度中，最大值的是（ ）A ．．C ．．11、已知函数()211sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+--<<，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，且1()42g π=，则ϕ等于（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 12、抛物线22(0)y px p =>的交点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN 的最小值为（ ）A ．3B ．3C ．1D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
2015届高三一诊模拟数学(文)试题及答案
一 .选择题 (共 10 小题 ,每小题 5 分 ,满分 50 分 )
1.已知集合 A { x || x 1| 2} , B { x | log 2 x 2} ,则 A B (
A. ( 1,4)
B. ( 1,3)
C. (0,3)
a 3i
2.若复数
(a
1 2i
A. 6
,对其加工的零件进行检测 ,若两人
加工的合格零件个数之和大于 17 ,则称该车间“质量合格” ,求该车间“质量合格”的概率 .[来源:]
(注 :方差
s2=
1 [(
x1
x)2
( x2
x) 2
n
(xn x)2] ，其中 x 为数据 x1, x2 , , xn 的平均数 ).
19.(本小题满分 12 分 )
6
x02 ,
∴方程①为 x2 2 x0 x x02 0 ,即
0 ,∴直线 l 与椭圆 C 有唯一的公共点 .
(ⅱ )∵ F ( 2,0) ,∴过点 F 且与 l 垂直的直线方程为 3 y0 y x0x 6 0 .
∵联立方程组
x
3y0 y x0x 6 0
,∴
x0 x 3y0 y 6 0
y
6x0 18 y02 x0 2 9 y02
③ x2 f ( x1) x1 f ( x2 ) ；
④当 ln x1 1时 , x1 f ( x1) x2 f ( x2 ) 2x2 f (x1) .
其中所有正确命题的序号为
.
三 .解答题 (本大题共 6 小题 ,共 75 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
16.(本小题满分 12 分 )
l ,垂足为 A , | PF | 4,则直线 AF 的倾斜角等于 ( )
2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)11
江西省吉安市永新县永新五中2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)11 姓名： 训练日期： 完成时间：________一．单项选择题。
（本部分共5道选择题）1．若直线a ∥直线b ，且a ∥平面α，则b 与α的位置关系是( ) A ．一定平行 B ．不平行 C ．平行或相交 D ．平行或在平面内 解析 直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D. 答案 D2．若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x＜a 等价于( )．A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析 由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a；(2)当x ＜0时，－b ＜1x＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a.答案 D3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( )．A ．11B ．99C ．120D ．121解析：通过分母有理化，得出结果为120,即选择C 答案为C4．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案 A5．已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18解析试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，故P(A)＝1 10 .答案 A二．填空题。
（本部分共2道填空题）1.如图,在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，3AP且AP AC= .答案 182.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_______名学生．解析根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510350=⨯人.答案 15三．解答题。
天水市2015届高三一轮复习数学(文)考试题及答案
一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共计60分〕 1．集合{}{}20,1,2,3,30=M N x x x M N ==-<⋂，则〔 〕 A.{}0 B.{}0x x < C.{}3x x 0<< D.{}1,2 2．=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ααππα2tan ,55cos 23，，〔 〕 A.34 B.34-C.2-D.23．假设双曲线的离心率为2，那么其渐近线的斜率为〔 〕A ．B ．C ．D ．4．i 是虚数单位，假设复数()()12ai i ++是纯虚数，那么实数a 等于〔 〕 A.2 B.12 C.12- D.2- 5．设,x y 满足约束条件0103x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，那么2z x y =+的最小值为〔 〕A ．1B ．32 C ． 2 D ． 526．程序框图如下列图所示，那么输出的值为〔 〕S 55±33±3±5±22221x y a b -=A ．15B ．21C ．22D ．287． 9.01.17.01.1,9.0log ,8.0log ===c b a 的大小关系是 〔 〕A. c a b >>B. a b c >>C. b c a >>D.c b a >>8．在锐角△ABC中，角所对应的边分别为，假设，那么角等于〔 〕A. B. C. D.9．过抛物线28y x = 的焦点作直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，如果21x x +=6，那么AB ＝ 〔 〕 A ．6 B ．8 C ．9D ．1010．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,那么n S =〔 〕 A .12-n B.121-n C.1)32(-n D.1)23(-n11．函数的图像大致是〔 〕12．不等式对任意恒成立，那么实数的取值范围是〔 〕开场1,0n S ==6?n ≤否S S n =+1n n =+是输出S完毕x ,(0,)a b ∈+∞2162a b x x b a +<+||y x x =75604530A 2sin b a B =,,a b c B C 、、AA． B ． C ． D ．二、填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共计20分〕13．，，假设，那么 .14．设(5,0)M -,(5,0)N ,△MNP 的周长是36，那么MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为___ 15．函数，，在R 上的局部图像如下图，那么．16．ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且 ，BC=1，AC=3，三棱锥O-ABC 的体积为O 的外表积为 ．三、解答题〔本大题共6个小题，共计70分〕 〔注意：请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分，并在答题卡上写明所选题号。
2015年高三一模数学(文)北京市朝阳区试题Word版带解析
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2015．4一、选择题：（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则()UA B 等于（ ）A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c【难度】1【考点】集合的运算 【答案】B 【解析】 由题意得：{},,A B a b c =，所以{}()U A B d =故选B（2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥B ．:p ⌝x ∀∈R , sin 1x >C ．:p ⌝0x ∃∈R , 0sin 1x ≥D ．:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x > 【难度】1【考点】全称量词与存在性量词 【答案】D 【解析】全称命题的否定是存在性命题，所以命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤的否定为：:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x >故选D（3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A B ．2 C ．4 D ．【难度】1 【考点】抛物线 【答案】C 【解析】由题意得：抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2p双曲线222x y -=的右焦点为(2,0) 所以，4p = 故选C（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是（ ）A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值 【难度】2【考点】算法和程序框图 【答案】B 【解析】程序执行过程如下：1,2S t ==，符合条件100S ≤，进入循环体； 122,3S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 236,4S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 6424,5S t =⨯==，符合条件100S ≤，进入循环体； 245120,6S t =⨯==，不符合条件100S ≤，跳出循环体；输出120S =；所以该程序是计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值， 故选B （5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x << 【难度】2【考点】零点与方程 【答案】A 【解析】 分别作出13log y x =，2x y =，1()3x y =，3log y x =的图象有图可知：110x -<<，201x <<，312x << 所以，123x x x << 故选A（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是（ ）A ．π6x =B. π3x =C. 5π12x =D. 2π3x = 【难度】2【考点】三角函数的图像与性质 【答案】C 【解析】把选项依次代入函数ππ()2sin()cos()66f x x x=--只有C选项得到的值为1故选C（7）已知实数x，y满足20,20,0,x yx yy t+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t>．若3z x y=+的最大值为5，则z的最小值为（）A．52B．1C．0D．1-【难度】2【考点】线性规划【答案】D【解析】作出可行域如下图：由题意可知当z取最大值时，目标函数为：35y x=-+联立235y xy x=⎧⎨=-+⎩得：(1,2)；所以2t=联立22y xy=-⎧⎨=⎩得：(1,2)-，代入目标函数可求得：min1z=-故选D（8）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作//MH DE交CE于H，作//MG AD交BD于G，连结GH．设CM x=(03)x<<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM-的体积y与变量x变化关系的是（）【难度】3 【考点】函数综合 【答案】A【解析】如图所示：由题意得：CM MH x ==,3DM GM x ==-;11(3)22GMH S GM MH x x ∆=⋅=-231111(3)(3)3326C MGH GMH V S CM x x x x x -∆=⋅=⋅-⋅=-1()(2)2V x x x '=-，所以x(0,2) 2 (2,3)3()f x '+-()f x(0)0f =单增单减(3)0f =故选A 二、填空题：（9）i 为虚数单位，计算1i1i+-= ． 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】i【解析】1i (1i)(1+i)21i (1i)(1+i)2ii ++===-- 故答案为i（10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ． 【难度】1【考点】数量积的应用 【答案】32【解析】2()cos ,a a b a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅⋅<>1311122=+⨯⨯= 故答案为32（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 ． 【难度】2【考点】直线与圆的位置关系 【答案】90 【解析】由题意得：令0y =，解得：0x =或4x =即(0,0)A ，(4,0)B ，4AB =，又CA CB ==所以，ABC ∆为等腰直角三角形，其中90BCA ∠= 故答案为90（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．【难度】2【考点】空间几何体的三视图与直观图【答案】36；74【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，直观图如下：其中底面是边长为1的正方形，高为32 PH=其体积为13311326V=⨯⨯⨯=;由直观图可知，四个侧面分别为：,,,PAB PBC PCD PDA∆∆∆∆这四个三角形均可看成以P为顶点的三角形，显然，PBC∆的高PE是四个三角形最长的高，所以2113711222PBCS BC PE∆⎛⎫==⨯+=⎪⎪⎝⎭37（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为 元． 【难度】3 【考点】函数综合 【答案】2800 【解析】由题意得：设此人应得稿费(扣税前．．．)为x 元 先假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（1），即4000x ≤ 则：280(800)20%(130%)x =-⨯⨯-， 解得：28004000x =≤，符合条件（1）再假设此人一份书稿稿费(扣税前．．．)符合条件（2），即4000x > 则：280(120%)20%(130%)x =⋅-⨯⨯-， 解得：25004000x =≤，不符合条件（2） 故答案为2800（14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是 ． 【难度】3【考点】函数的定义域与值域 【答案】3 【解析】由题意得，函数2xy =的图像如图所示：当01a ≤≤时，函数2xy =的值域为[1,4]，此时[],m n 的长度为3；当1a >时，函数2xy =的值域为[1,()]f a ，此时[],m n 的长度大于3；故答案为3 三、解答题：（15）在ABC ∆中，π3A =，6cos 3B =，6BC =． （Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）求ABC ∆的面积． 【难度】3【考点】解斜三角形 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）因为6cos 3B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=， 所以3sin 3B =.由正弦定理得，sin sin AC BC B A =.33=. 所以4AC =.（Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+13sin 2B B ==133623+32.所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯3+32=23+62. （16）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【难度】3 【考点】概率综合 【答案】见解析 【解析】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分 高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． （Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学， 抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩． 由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人， 从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能．所以42()105P M ==． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学， 抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. （17）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1；（Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在D BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．【难度】3【考点】立体几何综合【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ,BC AC C . 所以1CC 底面ABC ． 因为BD 底面ABC ，所以1CC BD ．由已知可得，底面ABC 为正三角形．因为D 是AC 中点，所以BDAC ． 因为1AC CC C ，所以BD平面11ACC A ． （Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ．又因为OD平面1BC D ，1AB 平面1BC D ， 所以直线1//AB 平面1BC D ．（Ⅲ）在D BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上.证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ， 所以BD CE ．又1CE C D ⊥，1BDC D D ，所以CE 平面D BC 1． 又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ．（18）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．【难度】3【考点】数列综合应用【答案】见解析【解析】（Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=．（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==．所以4,1,2, 2.n n n a n =⎧=⎨≥⎩（Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-. 所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯.所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- . 所以316(2)2n n T n +=+-⨯.（19）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程．【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】见解析【解析】解：（Ⅰ）由题意可得2222,,3,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b =故椭圆的方程为22162x y +=． （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --， 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+． 因为121224(4)13k y y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k k D k k-++． 因此直线OD 方程为30x ky +=0k ．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=． 所以222(91)4013k k+-=+．解得k =．故直线l的方程为2)y x =-． （20）已知函数()()e xa f x x x =+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．【难度】4【考点】导数的综合运用【答案】见解析【解析】 解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e x x x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e x x +.所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --.（Ⅱ） 当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<. 所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数. 所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0x x x x x+-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数.（Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ， 使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ，在0,1x 上，()0f x ，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x ()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-. 当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立， 故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >.。
2015高考数学(文)一轮复习题有答案解析阶段示范性金考卷二
阶段示范性金考卷二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 2＝－1，则复数z ＝i3i －i 2014在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限C ．第三象限解析：z ＝－i i ＋1＝－i (1－i )(1＋i )(1－i )－12)．答案：Dsin(π＋θ)＝3，则cos(π－2θ)＝( )B ．－1225 D.725cos θ＝35，cos(π－2θ)＝－cos2θ，由1＝2×(35)2－1＝－725，所以cos(π－2θ)＝－cos2θ＝725，故选D.答案：D3．已知向量a ＝(3，－1)，向量b ＝(sin α，cos α) ，若a ⊥b ，则sin 2α－2cos 2α的值为( )A.710B ．－1710C.1710 D ．－710解析：由a ⊥b 可得3sin α＝cos α，故tan α＝13；sin 2α－2cos 2α＝sin 2α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan 2α＋1＝－1710. 答案：B4．已知正三角形ABC 的边长为1，点P 是AB 边上的动点，点Q 是AC 边上的动点，且AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，则BQ →·CP →的最大值为( )B. －32 D. －38解析：BQ ·CP ＝(BA ＋AQ )·(CA ＋AP →) ＝[BA →＋(1－λ)AC →]·(CA →＋λAB →)＝[AB →·AC →－λAB 2→＋(λ－1)AC 2→＋λ(1－λ)AB →·AC →] ＝(λ－λ2＋1)×1×1×cos60°－λ＋λ－1＝12(－λ2＋λ)－12 ＝－12(λ－12)2－38(λ≤R )．当λ＝12时，则BQ →·CP →的最大值为－38.故选D 项． 答案：D5．将函数y ＝sin2x 位，所得函数图象对应的解析式为(A ．y ＝sin(2x －π4)＋1 C ．y ＝2sin 2x解析：函数y ＝sin2x －π4)1个单位，所得函数图象(1－2sin 2x )＋1＝2sin 2x ，故选C.)(ω>0，－π2<φ<π2) 的图象关于直线x φ＝( )．－π3 B ．－π6 C.π6D.π3解析：π3－π12≥14×2πω，解得ω≥2，故当ω取最小值时，f (x )＝sin(2x ＋φ)，根据f (π12)＝0，得sin(π6＋φ)＝0，由于－π2<φ<π2，所以φ＝－π6.答案：B7．已知向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：由a ·(a ＋b )＝3得，|a |21.cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－12.故向量a 答案：C8．若函数f (x )＝sin(2x －π4)＋间为( )B ．[0，π2] D ．[－π2，0]x ＋3π4)＝sin(2x －π4)－cos(2x －π4)＝2sin(2cos x 的一个单调递减区间是[0，π]，，π2]．答案：B9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 C.32解析：由图象可知T ＝2[π3－(x ＋φ)，又f (x )过点(－π6，0)，|φ|<π2，．∵x 1，x 2∈(－π，π)，且f (x 1)＝f 212＝π6，且满足|3AM →－AB →－AC →|＝( )B.14C.13D.12解析：由|3AM →－AB →－AC →|＝0得→＋AC →)．如图，AB →＋AC →＝AD →，由于＝13AD →，所以S △ABM ＝13S △ABD ＝13S △ABC .＝35，则sin(2x ＋π6)的值为( ) B.1325 D.725x cos π6－cos x sin π6＝35，32sin x －12cos x ＝35，两边平方得12sin 2x ＋14－34sin2x ＝925，∴12·1－cos2x 2＋14－34sin2x ＝925，即sin2x ·32＋cos2x ·12＝725，∴sin(2x ＋π6)＝725.答案：D12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3(a cos B＋b cos A )＝2c sin C ，a ＋b ＝4(a ，b 在变化)，且△ABC 的面积最大值为3，则此时△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．正三角形解析：由正弦定理得3(sin A cos B ＋cos A sin B )＝2sin 2C ，即3sin(A ＋B )＝3sin C ＝2sin 2C ，即sin C ＝3，积S ＝12ab sin C ＝34ab ≤34(a ＋b 2)2此时a ＝b ＝2，选择C.答案：C二、填空题(本大题共4在题中的横线上)，x＝(x,1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，由题意得(8x 2＝16，又∵x >0，∴x ＝4.，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________．解析：由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|.由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |，由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a ·b ＝0.所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.答案：115．[2013·海淀区期末练习]函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝________.解析：由图可知，A ＝2，f (π)＝2， )＝1，＝－π6＋2k π(k ∈Z )， π)＝2×(－12)＝－1. |a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )＝________.解析：依题意得|3a |＝3，|4b |＝4，|5c |＝5，又3a ＋4b ＋5c ＝0，所以向量3a 、4b 、5c 首尾相接构成一个直角三角形，因此有a ·b ＝0，a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c ＝a ·c ＝|a |·|c |cos θ＝cos θ＝－35(其中θ为向量a 与c 的夹角)．答案：－35三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)[2014·河北高三质检]已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b .(1)求角A ；(2)若a ＝1，且3c －2b ＝1解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ，得∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋∴32sin C ＝cos A sin C ，又sin Cb ＝a ，即3sin C －2sin B ＝sin A . ∴B ＋π6＝π3，即B ＝π6.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x －32，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得函数g (x )的图象，设△ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ；(1)若f (C )＝0，c ＝6,2sin A ＝sin B ，求a ，b 的值．(2)若g (B )＝0且m ＝(cos A ，cos B )，n ＝(1，sin A －cos A tan B )，求m ·n 的取值范围．解：(1)f (x )＝3sin x cos x ＋sin 2x －32＝32sin2x ＋12(1－cos2x )－32＝32sin2x －12cos2x －1＝sin(2x －π6)－1.f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0∵2sin A ＝sin B 由余弦定理知：a 2＋b 2－2由①②解得：a ＝23，b ＝(2)由题意知g (x )＝sin(2x ＋π6)sin(2B ＋π6)＝1，∴B ＝π6， －33cos A )＝12cos A ＋32sin A ＝sin(A ＋π6)A ＋π6∈(π6，π)． ＋π6)(0,1]．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知(2a ＋b )cos C ＋c cos B ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝4，求使△ABC 面积取得最大值时的a ，b 的值． 解：(1)由已知及由正弦定理得(2sin A ＋sin B )cos C ＋sin C cos B ＝0，所以2sin A cos C ＋(sin B cos C ＋sin C cos B )＝0，所以sin(B ＋C )＋2sin A cos C ＝0，即sin A ＋2sin A cos C ＝0.因为0<A <π，sin A >0，所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.(2)因为△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝34ab ，若使得S 取得最大值，只需要ab 取得最大值．由余弦定理可得，c 2＝a 2＋b 2－即16＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，故ab故使得△ABC 20．(本小题满分12分)－12(的图象上两相邻对称轴间的距离为π4.的图象向右平移π8个单位，再将所得图象上各点的)，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)，由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)．由2k π＋π2≤4x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π2＋π12≤x ≤k π2＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )．(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin[4(x －π8)＋π6]＝sin(4x －π3)的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin(2x －π3)．因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，g (当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，g (x )21．(本小题满分12分)[2014·长沙一模]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A 、B 、P 、Q ，欲测量P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现可测得A 、B 两点间的距离为100 m ，如图，同时也能测量出∠P AB ＝75°，∠QAB ＝45°，∠PBA ＝60°，∠QBA ＝90°，则P 、Q 两棵树和A 、P 两棵树之间的距离各为多少？解：在△P AB 中，∠APB ＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理得AP sin60°＝100sin45°，解得AP ＝50 6.在△QAB 中，∠ABQ ＝90°，∴AQ ＝100 2.又∠P AQ ＝75°－45°＝30°，由余弦定理得PQ 2＝AP 2＋AQ 2－2AP ·AQ ·cos ∠P AQ ＝(506)2＋(1002)2－2×506×1002×∴PQ ＝5000＝50 2.∴P 、Q 两棵树之间的距离为为50 6 m.22．(本小题满分12分)设角A 知向量m ＝(sin A ＋sin C ，sin B －sin m ⊥n . 2B 2)，求|s ＋t |的取值范围．C )＋(sin 2B －sin A sin B )＝0， a ，b ，c 为内角A ，B ，C ab ，＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵s ＋t ＝(cos A,2cos 2B 2－1)＝(cos A ，cos B )，∴|s ＋t |2＝cos 2A ＋cos 2B＝cos 2A ＋cos 2(2π3－A )＝1＋cos2A 2＋1＋cos (4π3－2A )2＝14cos2A －34sin2A ＋1 ＝－12sin(2A －π6)＋1，∵0<A <2π3，∴－π6<2A －π6<7π6，∴－12<sin(2A －π6)≤1，∴12≤|s ＋t |2<54，∴22≤|s ＋t新课标第一网系列资料 。
湖北省部分学校2015届高三数学上学期一轮复习质量检测试题 文(含解析)
稳派湖北省部分学校2015届高三一轮复习质量检测文科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设i是虚数单位，若复数2i1im-+为纯虚数，则实数m的值为A．2B．2-C．12D．12-【答案】A【解析】依题意2i(2i)(1i)22i1i(1i)(1i)22m m m m----+==-++-．由复数2i1im-+为纯虚数可知22m-=，且22m+≠，求得2m=．故选A．【解题探究】本题主要考查复数的基本概念与复数的运算．解题的关键是利用复数运算法则进行复数的乘法、除法运算，求解时注意理解纯虚数的概念．2．某中学从甲、乙两个艺术班中各选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y+的值为A．6B．8C．9D．11【答案】B．【解析】由茎叶图可知，茎为8时，甲班学生成绩对应数据只能是80，80x+，85，因为甲班学生成绩众数是85，所以85出现的次数最多，可知5x=．由茎叶图可知，乙班学生成绩为76，81，81，80y+，91，91，96，由乙班学生成绩的中位数是83，可知3y=．所以8x y+=．故选B．【解题探究】本题主要考查统计中的众数与中位数的概念．解题时分别对甲组数据和乙组数据进行分析，分别得出x，y的值，进而得到x y+的值．甲乙8 9 7 65 x0 8 1 1 y6 2 9 1 1 63．已知()3sin f x x x π=-，命题:p (0,)2x π∀∈，()0f x <，则 A ．p 是假命题，:p ⌝(0,)2x π∀∈，()0f x ≥ B ．p 是假命题，:p ⌝0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥C ．p 是真命题，:p ⌝0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥ D ．p 是真命题，:p ⌝(0,)2x π∀∈，()0f x > 【答案】C ．【解析】因为()3cos f x x π'=-，所以当(0,)2x π∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，即对(0,)2x π∀∈，()(0)0f x f <=恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以p ⌝是0(0,)2x π∃∈，0()0f x ≥．故选C ．【解题探究】本题考查函数的单调性与全称命题的否定．解题首先判断命题p 的真假，然后再将命题p 写成p ⌝的形式，注意特称命题与全称命题否定形式的基本格式．4．执行图中的程序框图（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D ．【解析】每次循环的结果分别为：0n =，0S =；1n =，1S =；2n =，112S =+=；3n =，213S =+=；4n =，325S =+=； 5n =，527S =+=，这时4n >，输出7S =．故选D ．【解题探究】本题考查程序框图的运算和对不超过x 的最大整数[]x 的理解．要得到该程序运行后输出的S 的值，主要依据程序逐级运算，并通过判断条件4?n >调整运算的继续与结束，注意执行程序运算时的顺序．5．一个几何体的三视图如图所示，如该几何体的表面积为922cm ，则h 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形 的四棱柱，其底面直角梯形的上底为2，下底为5，高为4，四棱柱的高为h ，则几何体的表面积2524(2452+⨯⨯+++2234)h ++92=，即1664h =，解得4h =．故选A ．【解题探究】本题考查立体几何中的三视图及几何体的表面积计算．通过题中给出的三视图，分析可以得到该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，然后依据四棱柱的表面积公式进行计算．6．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb +的值为A ．22 B ．2 C ．2 D ．4【答案】C ．【解析】由正弦定理得sin sin 3sin cos 0B A A B -=，因为sin 0A ≠，所以0cos 3sin =-B B ．所以tan 3B =，又0B π<<，所以3B π=．由余弦定理得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，即22()3b a c ac =+-，又2b ac =，所以224()b a c =+，求得2a cb +=．故选C ．【解题探究】本题考查正弦定理、余弦定理得应用．解题先由正弦定理求得角B ，再由余弦定理列出关于a ，c 的关系式，然后进行合理的变形，求出a cb +的值．7．设变量x ，y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则|3|z x y =-的最大值为A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C ．【解析】依题意，画出满足条件的可行域如图中阴影部分，则对于目标函数|3|z x y =-，当直线经过点(2,2)A -时，|3|z x y =-取得最大值，即max |232|8z =--⨯=．故选B ．【解题探究】本题考查线性规划问题中的最优解．求解先画出满足条件的可行域，再通过平移直线13y x=找到在可行域中满足使|3|z x y =-取得最大值的点．8．函数()2tan f x x x =-在(,)22ππ-上的图象大致是【答案】D .【解析】定义域(,)22ππ-关于原点对称，因为()2tan (2tan )()f x x x x x f x -=-+=--=-，所以函数()f x 为定义域内的奇函数，可排除B ，C ；因为2()tan 0333f πππ=->，55()126f ππ=-tantan546(23)061tan tan 46πππππ+=-+<-⋅，可排除A .故选D .【解题探究】本题考查函数图象的识别. 求解这类问题一般先研究函数()y f x =的奇偶性、单调性，如果借助函数的这些性质还不能够区分图象时，不妨考虑取特殊点（或局部范围）使问题求解得到突破．9．已知双曲线:C 22221x y a b -=（0a >，0b >）的两条渐近线与抛物线22y px =（0p >）的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线C 的离心率为2，AOB △的面积为3，则AOB△的内切圆半径为A1 B1 C．3 D．3【答案】C ．【解析】由2c e a ====，可得b a =2b y x a p x ⎧=±⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，求得(,)22p bp A a -，(,)22p bp B a --，所以122AOB bp p S a =⨯⨯=△ba =24p =，解得2p =．所以(A -，(1,B -，则AOB △的三边分别为2，2，AOB △的内切圆半径为r ，由1(222r ++=3r =．故选C ．【解题探究】本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．10．定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在1x ，2x （12a x x b <<<），满足1()()()f b f a f x b a -'=-，2()()()f b f a f x b a -'=-，则称数1x ，2x 为[],a b 上的“对望数”，函数()f x 为[],a b 上的“对望函数”．已知函数321()3f x x x m=-+是[]0,m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是A .3(1,)2B . 3(,3)2C .(1,2)(2,3)D .33(1,)(,3)22【答案】B .【解析】由题意可知，在[]0,m 上存在1x ，2x （120x x m <<<），满足12()()f x f x ''==3221()(0)1303m m f m f m m m m --==--，因为2()2f x x x '=-，所以方程22123x x m m -=-在[]0,m上有两个不同的根.令221()23g x x x m m=--+（0x m<<），则222444031(0)032()031m mg m mg m m mm⎧=+->⎪⎪⎪=-+>⎪⎨⎪=->⎪⎪⎪>⎩△，解得332m<<，所以实数m的取值范围是3(,3)2．故选B．【解题探究】本题是一道新定义函数问题，考查对函数性质的理解和应用．解题时首先求出函数()f x的导函数，再将新定义函数的性质转化为导函数的性质，进而结合函数的零点情况确定参数m 所满足的条件，解之即得所求.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）11．已知集合|A x y⎧⎫==⎨⎩，{}2|log(2)B x y x==-，则()A B=R．【答案】[)2,3．【解析】因为|(2,3)A x y⎧⎫===-⎨⎩，{}()2|log(2),2B x y x==-=-∞，则BR[)2,=+∞，所以()[)2,3A B=R．故填[)2,3．【解题探究】本题主要考查函数定义域的求解和集合的补集、交集运算．求解集合A时要注意两点：一是根式有意义的条件，二是分母不能为0；求解集合B的补集，要注意区间端点的取值．12．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为45y x a=+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为．【答案】9.5．【解析】由表中数据得7x =， 5.5y =，由(,)x y 在直线45y x a =+，得110a =-，即线性回 归方程为41510y x =-．所以当12x =时，41129.5510y =⨯-=，即他的识图能力为9.5．故填9.5．【解题探究】本题考查统计知识中的线性回归方程的应用．解题关键是求出线性归回方程中的a 值，方法是利用样本点的中心(,)x y 在线性归回方程对应的直线上． 13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若675S S S >>，则满足10k k S S +<的正整数k = ．【答案】12．【解析】依题意6650a S S =->，7760a S S =-<，67750a a S S +=->，则1111111()2a a S +=6110a =>，671121212()12()022a a a a S ++==>，11313713()1302a a S a +==<，所以12130S S <，即满足10k k S S +<的正整数k =12．故填12．【解题探究】本题考查数列的前n 项和与通项na 关系的应用．解题首先由675S S S >>得到6a ，7a 的符号，进而推理出12130S S <．14．过点(2,3)P 的直线l 将圆Q ：22(1)(1)16x y -+-=分成两段弧，当形成的优弧最长时，则 （1）直线l 的方程为 ； （2）直线l 被圆Q 截得的弦长为 ． 【答案】280x y +-=；【解析】（1）设圆心为(1,1)Q ，由圆的性质得，当直线l PQ ⊥时，形成的优弧最长，此时31221PQ k -==-，所以直线l 的斜率为12k =-．于是有点斜式得直线l 的方程为13(2)2y x -=--，即280x y +-=．故填280x y +-=．（2）圆心(1,1)Q 到直线280x y +-=的距离为d ==，设直线l 与圆Q 相交于点A ，B ，则弦长||AB==． 【解题探究】本题考查直线与圆的位置关系和直线被圆截得弦长的计算．第（1）问利用直线l PQ ⊥时，形成的优弧最长可求出直线的斜率，进而求出直线l 的方程；第（2）问先求出圆心到直线l 的距离，再计算直线l 被圆Q 截得的弦长．15．已知正实数a ，b 满足123a b +=，则(1)(2)a b ++的最小值是 ．【答案】509．【解析】因为0a >，0b >，所以123a b =+≥3≥，求得89ab ≥，当且仅当12123a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，所以ab 的最小值是89．又1223b a a b ab ++==，即2a b += 3ab ，所以850(1)(2)22424299a b ab a b ab ++=+++=+≥⨯+=．故填509．【解题探究】本题考查二元均值不等式的应用．首先由条件123a b +=得到89ab ≥，再对(1)(2)a b ++展开求出其最小值．16．我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56-世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ．【答案】32π．【解析】作出两曲线所表示的可行区域知，2Г的轴截面为一半径为4的半圆内切两半径为2的小圆所形成，面积近似为1Г的轴截面面积的两倍，符合祖暅原理．又2Г的体积为3443V π=⨯- 3422643ππ⨯⨯=，于是1Г所表示几何体的体积应为32π．故填32π．【解题探究】本题以数学史中祖暅原理为命题背景，考查旋转体的体积求解和类比推理能力．解题时首先由问题给出的图形旋转，求出旋转体2Г的体积，然后利用祖暅原理分析出旋转体1Г的体积与旋转体2Г的体积之间的关系，进而得到1Г的体积．17．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 是以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点． （1）若向正方形ABCD 内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形ABD 内的概率为 ； （2）设PAB θ∠=，向量AC DE AP λμ=+(λ，μ∈R )，若1μλ-=，则θ= .【答案】4π；2π.【解析】（1）所求概率为扇形ABD 的面积与正方形ABCD 的面积的比值，设正方形边长为a ，则所求概率为22144a P a ππ==.故填4π. （2）不妨设正方形边长为1，以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，则1(,1)2DE =-，(1,1)AC =，(cos ,sin )AP θθ=.由AC DE AP λμ=+，得1cos 12sin 1λμθλμθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2sin 2cos sin 2cos 3sin 2cos θθλθθμθθ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.由1μλ-=，求得sin 1θ=，从而2πθ=.故填2π. 【解题探究】本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题.第（1）题是几何概型问题，求解转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决；第（2）问是关于平面向量线性运算的考题，解题时可建立适当的坐标系，用向量的坐标运算来实现转化.若假设正方形边长为1，则点P 在单位圆上，就可以考虑引入三角函数来表示点P 的坐标.三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）BACDEPxy18.（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（x ∈R ，0A >，0ω>，02πϕ<<）的部分图象如图所示，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若4OQ =，5OP =，13PQ =．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位后得到函数()y g x =的图象，当(1,2)x ∈-时，求函数()()()h x f x g x =⋅的值域．【解析】（1）由条件知2224(5)(13)5cos 5245POQ +-∠==⨯⨯，所以(1,2)P ． （2分） 由此可得振幅2A =，周期4(41)12T =⨯-=，又212πω=，则6πω=．将点(1,2)P 代入()2sin()6f x x πϕ=+，得sin()16x πϕ+=，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，于是()2sin()63f x x ππ=+． （6分）（2）由题意可得()2sin (2)2sin 636g x x xπππ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦． 所以2()()()4sin()sin 2sin 23sin cos 636666h x f x g x x x x x xππππππ=⋅=+⋅=+⋅ 1cos3sin12sin()3336x x x ππππ=-+=+-． （9分）当(1,2)x ∈-时，），（22-6x 3ππππ∈-，所以）（,11-)6x 3sin(∈-ππ，即）（,31-)6x 3sin(21∈-+ππ．于是函数()h x 的值域为（-1,3）． （12分）【命题立意】本题主要考查三角函数的图象和性质．第（1）问从给出的三角函数图象中给出三个线段信息，从中可以求出图象最高点的坐标，14T的长度，由此推理出三角函数的解析式；第（2）问考查三角函数图象的平移、三角函数的恒等变换及三角函数的值域等知识，求解三角函数的值域，关注自变量x 的取值范围是解题的关键，同时还要结合三角函数的图象进行分析，才能准确求出其函数值域.19.（本小题满分12分）设二次函数2()2f x x ax =-+（x ∈R ，0a <），关于x 的不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素． （1）设数列{}n a 的前n 项和()n S f n =（n *∈N ），求数列{}n a 的通项公式；（2）记()2n f n b n -=（n *∈N ），则数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列？请说明理由．【解析】（1）因为关于x 的不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素，所以二次函数2()2f x x ax =-+（x ∈R ）的图象与x 轴相切， 则2()420a =--⨯=△，考虑到0a <，所以a =-．从而22()2(f x x x =++=+，所以数列{}n a 的前n项和2(nS n =（n *∈N ）． （3分）于是当2n ≥，n *∈N时，221((1)21n n n a S S n n n -⎡=-=--+=+⎣， 当1n =时，211(13a S ===+ 所以数列{}n a的通项公式为3121,2,n n a n n n *⎧+=⎪=⎨+≥∈⎪⎩N ． （6分）（2）()2n f n b n n -==+假设数列{}n b 中存在三项p b ，q b ，r b （正整数p ，q ，r 互不相等）成等比数列，则2qp r b b b =，即2((q p r +=++，整理得2()2)0pr q p r q -++-=． （9分） 因为p ，q ，r 都是正整数，所以2020pr q p r q ⎧-=⎨+-=⎩，于是2()02p r pr +-=，即2()0p r -=，从而p r =与p r ≠矛盾． 故数列{}n b 中不存在不同的三项能组成等比数列． （12分）【命题立意】本题主要考查数列通项公式的求解及等比数列性质的研究．第（1）问由不等式()0f x ≤的解集有且只有一个元素，得到()n S f n =，然后由此求出数列{}n a 的通项公式，由n S 求通项n a 时注意检验初始项1a 是否满足；第（2）问判断数列{}n b 中是否存在不同的三项能组成等比数列，基本方法是先假设它们成等比数列，再证明问题是否有解．20.（本小题满分13分）如图，AB 为圆O 的直径，E 是圆O 上不同于A ，B 的动点，四边形ABCD 为矩形，且2AB =，1AD =，平面ABCD ⊥平面ABE ． （1）求证：BE ⊥平面DAE ；（2）当点E 在AB 的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为33．【解析】（1）因为四边形ABCD 为矩形，所以DA AB ⊥, 又平面ABCD ⊥平面ABE ， 且平面ABCD平面ABE AB =，所以DA ⊥平面ABE ，而BE ⊆平面ABE ，所以DA ⊥BE ． （3分） 又因为AB 为圆O 的直径，E 是圆O 上不同于A ，B 的 动点，所以AE BE ⊥． 因为DAAE A =，所以BE ⊥平面DAE ． （6分）（2）因为平面ABCD ⊥平面ABE ，过点E 作EH AB ⊥交AB 于点H ，则EH ⊥平面ABCD ．在Rt BAE △中，记BAE α∠=（02πα<<），因为2AB =，所以2cos AE α=，sin 2cos sin sin 2HE AE αααα=⋅==，所以11221sin 2sin 2333E ABCD ABCD V S HE αα-=⨯=⨯⨯⨯=． （10分）由已知33E ABCD V -=，所以23sin 233α=，即3sin 22α=．BDCO•HBADCEO•因为02πα<<，所以23πα=，即6πα=；或223πα=，即3πα=．于是点E 在AB 满足6EAB π∠=或3EAB π∠=时，四棱锥E ABCD -的体积为3． （13分）【命题立意】本题考查立体几何中的线面关系的证明和四棱锥体积的计算．第（1）问先证明线线垂直，再证明线面垂直；第（2）问探求点E 在AB 的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为，从研究BAE α∠=的大小着手思考，通过体积建立关系求出α的大小．21.（本小题满分14分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，()xg x e =．（1）当2a =时，求函数()f x 的最值；（2）当0a ≠时，过原点分别作曲线()y f x =与()y g x =的切线1l ，2l，已知两切线的斜率互为倒数，证明：211e e a ee --<<． 【解析】（1）当2a =时，()ln 2(1)f x x x =--，定义域为(0,)+∞．对()f x 求导，得112()2x f x x x -'=-=． （2分）当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '<，即函数()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减．所以max 111()()ln 2(1)1ln 2222f x f ==--=-，没有最小值． （5分）（2）设切线2l 的方程为2y k x=，切点为22(,)x y ，则22x y e =，22222()x y k g x e x '===，所以21x =，2y e =，则22x k e e ==．由题意知，切线1l的斜率为1211k k e ==，1l 的方程为11y k x x e ==．设1l 与曲线()y f x =的切点为11(,)x y ，则1111111()y k f x a x e x '==-==，所以1111x y ax e ==-，111a x e =-． 又因为111ln (1)y x a x =--，消去1y 和a 后，整理得1111ln 10x x e -+-=． （8分）令11()ln 10m x x x e =-+-=，则22111)('x x x x x m -=-=，()m x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．若1(0,1)x ∈，因为11()20m e e e =-+->，1(1)0m e =-<，所以11(,1)x e ∈，而111a x e =-在11(,1)x e ∈上单调递减，所以211e e a e e --<<． （10分） 若1(1,)x ∈+∞，因为()m x 在(1,)+∞上单调递增，且()0m e =，则1x e=，所以1110a x e =-=（舍去）． （13分）综上可知，211e e a ee --<<． （14分） 【命题立意】本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题.第（1）问利用导数求函数的单调区间，求解函数的最值；第（2）问背景为指数函数xy e =与对数函数ln y x =关于直线y x =对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y x =对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明．22.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且12||4A A =,P 为椭圆上异于1A ，2A 的点，1PA 和2PA 的斜率之积为34-．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设O 为椭圆中心，M ，N 是椭圆上异于顶点的两个动点，求OMN △面积的最大值． 【解析】（1）由12||24A A a ==，得2a =，所以1(2,0)A -，2(2,0)A ．设00(,)P x y ，则000022002322414y y x x x y b ⎧⋅=-⎪++⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得23b =．于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ． （5分）（2）①当直线MN 垂直于x 轴时，设MN 的方程为x n =，由22143x y x n ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得(M n，(,N n ，从而12OMN S n =⨯⨯=△当n =OMN △（7分） ②当直线线MN 与x 轴不垂直时，设MN 的方程为y kx m =+，由22143x y y kx m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y ，得222(34)84120k x kmx m +++-=． 2222644(34)(412)0k m k m =-+->△，化简得22430k m -+>． （9分）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122834kmx x k -+=+，212241234m x x k -=+，||MN ==，原点O 到直线MN的距离d =所以11||22OMNS MN d=⋅=≤=△当且仅当22342k m+=时，OMNS△（13分）综合①②知，OMN△．（14分）【命题立意】本题考查椭圆标准方程的求解及研究直线和椭圆相交时对应三角形面积的最值讨论．第（1）问首先由12||4A A=得到椭圆左、右顶点的坐标，再由1PA和2PA的斜率之积为34-求出几何量b的值即得椭圆标准方程；第（2）问先列出OMN△的面积，需要求直线被椭圆截得的弦长，计算点到直线的距离，再讨论OMN△的面积最值．。
2015年高考新课标1文数卷精校文档版(有答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 2、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ） （A ） 5 （B ）6 （C ）7 （D ）810、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）74-（B ）54-（C ）34-（D ）14-11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 14.已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a 求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -积.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点. （I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN . 21. （本小题满分12分）设函数()2ln xf x ea x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E .（I ）若D 为AC 中点，证明：DE 是O 切线；（II ）若OA = ，求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C M N ∆ 的面积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文答案一、选择题（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B （7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16）三、解答题17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b ，可得cosB=2222a c b ac+-=14 ……6分（II ）由（I ）知2b =2ac.因为B=o 90，由勾股定理得222a c =b +. 故22a c =2ac +，的所以△ABC 的面积为1. ……12分 18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD. 因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，又∠ABC=o 120 ，可得AG=GC=2x ，GB=GD=2x .因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中，可的EG=2x . 由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得BE=2x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·3x =. 故x =2 ……9分 从而可得所以△EAC 的面积为3，△EAD 的面积与 △ECD故三棱锥E-ACD 的侧面积为……12分 19、解：（I ）由散点图可以判断，y 关于年宣传费x 的回归方程式类型. （II）令w =y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()iii i i w w y y w w ==--==-∑∑,56368 6.8100.6c y dw =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +,因此y 关于x 的回归方程为y 100.6=+（Ⅲ）（i ）由（II）知，当x =49时，年销售量y 的预报值y 100.6=+，年利润z 的预报值z=576.60.24966.32⨯-= ……9分 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值=-20.12x x+. 13.6=6.82=，即x =46.24时，z 取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分 20、解：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C 1.解得k所以k的取值范围为. ……5分 （II ）设()1122,,(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=.所以1212224(1)7,11k x x x x k k ++==++. 1212OM ON c x y y ⋅=+()()2121211k x x k x x =++++()24181k k k +=++.由题设可得()24181k k k+=++=12，解得k=1，所以l 的方程是y=x+1. 故圆心C 在l上，所以2MN =. ……12分 21、解：（I ）()f x 的定义域为()()20,,2(0)xaf x e x x'+∞=-〉. 当a ≤0时，()()0f x f x ''〉，没有零点；当0a 〉时，因为2x e 单调递增，ax-单调递减，所以()f x '在()0,+∞单调递增，又()0f a '〉， 当b 满足0＜b ＜4a 且b ＜14时，()0f b '〈，故当a ＜0时()f x '存在唯一零点. ……6分（II ）由（I ），可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x ，当()00x x ∈，时，()f x '＜0； 当()0x x ∈+∞，时，()f x '＞0.故()f x 在()0+∞，单调递减，在()0x +∞，单调递增，所以0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x . 由于02020x aex -=，所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a =++≥+.故当0a 〉时，()221f x a a n a≥+. ……12分 22、解：（I ）连接AE ，由已知得，AE ⊥BC,AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ，则∠OBE=∠OEB.又∠OED+∠ABC=o90，所以∠DEC+∠OEB=o90，故∠OED=o90，DE 是O 的切线.……5分（II ）设CE=1，AE=x ，由已知得AB=由射影定理可得，2AE CE BE =⋅，所以2x =，即42120x x +-=.可得x =ACB=60o .……10分 23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分（II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得12ρρ==.故12ρρ-MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. ……10分 24、解：（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +---＞. 当1x ≤-时，不等式化为40x -＞，无解；当11x -＜＜时，不等式化为320x -＞，解得213x ＜＜； 当1x ≥，不等式化为-x +2＞0，解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜. ……5分（II ）由题设可得，()12,1312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +. 由题设得()2213a +＞6，故a ＞2. 所以a 的取值范围为()2+∞，. ……10分。
2015年全国高考文科数学试题和答案word精校版(新课标1卷)
2015年全国高考文科数学试题和答案word精校版(新课标1卷)2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文科一、选择题：每小题5分，共60分1.已知集合 $A=\{x|x=3n+2,n\in N\}$，$B=\{6,8,10,12,14\}$，则集合 $A$ 中的元素个数为（）A）5 （B）4 （C）3 （D）22.已知点 $A(0,1)$，$B(3,2)$，向量$\overrightarrow{AC}=(-4,-3)$，则向量$\overrightarrow{BC}$ 为（）A）$(-7,-4)$ （B）$(7,4)$ （C）$(-1,4)$ （D）$(1,4)$3.已知复数 $z$ 满足 $(z-1)i=1+i$，则 $z$ 等于（）A）$-2-i$ （B）$-2+i$ （C）$2-i$ （D）$2+i$5.已知椭圆 $E$ 的中心为坐标原点，离心率为$\frac{1}{2}$，$E$ 的右焦点与抛物线$C:y=8x$ 的焦点重合，$A,B$ 是 $C$ 的准线与 $E$ 的两个交点，则 $AB$ 的长度为（）A）3 （B）6 （C）9 （D）126.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛7.已知 $\{a_n\}$ 是公差为1的等差数列，$S_n$ 为$\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_8=4S_4$，则 $a_{10}$ 等于（）A）17 （B）22 （C）10 （D）128.函数 $f(x)=\cos(\omega x+\varphi)$ 的部分图像如图所示，则 $f(x)$ 的单调递减区间为（）A）$(k\pi-\frac{13}{4},k\pi+\frac{4}{4}),k\in Z$B）$(2k\pi-\frac{1}{4},2k\pi+\frac{3}{4}),k\in Z$C）$(k-\frac{1}{4},k+\frac{3}{4}),k\in Z$D）$(2k-\frac{1}{4},2k+\frac{3}{4}),k\in Z$9.执行右面的程序框图，如果输入的 $t=0.01$，则输出的$n$ 等于（）A）5 （B）6 （C）7 （D）810.已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x-1-2,&x\le 1\\ -\log_2(x+1),&x>1 \end{cases}$，且 $f(a)=-3$，则 $f(6-a)$ 等于（）A）$-\frac{7}{4}$ （B）$-\frac{5}{4}$11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=()C）412、设函数y=f(x)的图像与y=2x+a的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+f(-4)=1，则a=()A）-113、数列{an}中a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=6.14.已知函数f(x)=ax+x+1的图像在点(1,f(1))的处的切线过点(2,7)，则a=3.15.若x,y满足约束条件{x+y-2≤0.x-2y+1≤0.2x-y+2≥0}，则z=3x+y的最大值为5.16.已知F是双曲线C:x-8^2-y^2=1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为24.17.（本小题满分12分）已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边，sinB=2sinAsinC.I）若a=b，求cosB;II）若B=90，且a=2，求△ABC的面积.18.（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE⊥平面ABCD。
江西省吉安市永新县永新五中2015届高考数学一轮复习基础题每日一练1(含解析)文
江西省吉安市永新县永新五中2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)01一．单项选择题。
（本部分共5道选择题）1．给定函数①y ＝x12 ，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析： ①y ＝x 12 为增函数，排除A 、D ；④y ＝2x ＋1为增函数，排除C ，故选B.答案：B2.．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n (n ∈N ＋)解析 观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案 D3．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( )．A ．2x －y ＋3＝0B ．2x －y －3＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率为2x 0，由2x 0＝2得x 0＝1，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案 D4．执行下面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是()．A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040解析 由题意得，p ＝1×1＝1，k ＝1＜6；k ＝1＋1＝2，p ＝1×2＝2，k ＝2＜6；k ＝2＋1＝3，p ＝2×3＝6，k ＝3＜6；k ＝3＋1＝4，p ＝6×4＝24，k ＝4＜6；k ＝4＋1＝5，p ＝24×5＝120，k ＝5＜6；k ＝5＋1＝6，p ＝120×6＝720，k ＝6不小于6，故输出p ＝720.答案 B5．不等式x －2y ＞0表示的平面区域是( )．解析 将点(1,0)代入x －2y 得1－2×0＝1＞0.答案 D二．填空题。
2015届高三模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
2015年高考模拟考试数学(文科)一、选择题1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,1,3-C ．{}1,1,3,3--D ．{}1,1,3-- 2．已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数y =的定义域为（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭4．“1cos 2α=”是“3πα=”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是（ ） A ．若a b <，则22ac bc < B ．若0,0a b c >><，则c c a b< C ．若a b >，则()()22a cbc +>+ D ．若0ab >，则2a bb a+≥ 6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．9 B ．16 C ．25 D ．367．已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=（ ）A ．7B ．6C ．5D ．48．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,a b c ππ===( )A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f b f a f c >>C ．()()()f c f a f b >>D ．()()()f c f b f a >>9．已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是() AB C ．2D ．510．设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12．已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为,,a bc ，若s i n :s i n :s i 1:2:3A B C =C =__________. 13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________.14．设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15．已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PB PA ,是圆222440x y x y +-++=的两条切线，B A ,是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．设函数()22sin f x x x ωω=+（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π. （1）求ω的值；（2）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17．某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14.（1）求n 的值； （2）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b .记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18．如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（1）当点E 为AD 的中点时，求证：EF //平面PBD ； （2）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19．数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20．已知函数()()0x f x e ax a a R a =+-∈≠且.（1）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值； （2）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21．在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于Q P ,两点，直线2l 与直线4x =交于T 点.（i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上；（ii ）求TFPQ的取值范围.2015年高三模拟考试文科数学参考答案CBABD BACDC11.25 12.3π13. 2π14. 1 15.16. 解：（Ⅰ）()sin 2f x x x ωω+=2sin(2)3x πω+……………………4分∴ 2=22ππω，即12ω= ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2s i n ()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ ……………………8分由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……10分 ∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为: （1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3, 1a ）,（2a ,3）, （3, 2a ）共12个基本事件. …………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）10分 8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ，………2分 在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点，所以//EF PD ……4分又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面 所以EF //平面PBD ………6分 （Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA平面ABCD AB =, 90DAB ∠=，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA … 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA DA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分 又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分 19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a . ∴12n n a -=，21n n S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+， ∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分∴11111111(1...)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++ . …………………9分 ∵*N n ∈,∴11112212n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ …………………10分 当2n ≥时，()()111021212121n n n n T T n n n n ---=-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列， ∴113n T T ≥=. 综上所述，1132n T ≤<. …………………12分 20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x+=)('，…………………1分0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1xf x e =-∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；且;31)2(2+=-e f ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e…………………5分（Ⅱ）a e x f x +=)('，由于0>xe .①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x .…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x -==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增， 所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ， 解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分解得3,1,2===b c a ,………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+， 221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434m G m m -++，……………7分4344343322m m m m k OG -=+⋅+-=， 设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43mk OT -=，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .………10分当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ-+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m 4311222++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t tt PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分 当0m ≠时，m k m k PQ FT 3,3-==.3:(1)PQ l y x m-=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=.027)12(43622>⋅++=∆m m 设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ，即)123,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG=+⋅+=，又4m k OT = .所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时，9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ-+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t tt PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分 所以1)3()(=>g t g .所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分222104342kk x x x +=+=，200433)1(k k x k y +-=-=， 即)433,434(222k k k k G +-+，……………7分kk k k k k OG43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），kk OT 43-=，所以OT OG k k =， 线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .………10分当直线PQ l 斜率存在时， 222213)3()14(||kk k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1kk k k k +-⋅-+⋅+ 2243112k k ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅令211kt +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。
2015届高三汕头市一模数学试题(文科)(含答案)
2015汕头普通高考第一次模拟考试--数学文一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 若集合{}21x x A =-<<，{}02x x B =<<，则集合A B =（ ） A. {}01x x <<B. {}11x x -<<C. {}22x x -<<D. {}12x x <<2. 在C ∆AB 中，60A =，a =b = ） A. 45B =或135B. 135B =C. 45B =D. 以上答案都不对3. 在复平面内，复数34i -，()2i i +对应的点分别为A ，B ，则线段AB 的中点C 对应的复数为（ ） A. 22i -+B. 22i -C. 1i -+D. 1i -4. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A. ˆ0.4 2.3yx =+ B. ˆ2 2.4yx =- C. ˆ29.5yx =-+ D. ˆ0.3 4.4y x =-+ 5. 下列函数中，是偶函数，且在区间()0,+∞内单调递增的函数是（ ） A. 12y x =B. cos y x =C. ln y x =D. 2x y =6. 一个锥体的主视图和左视图如下图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）A. B.C. D.7. 若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为（ ） A. 1x =-B. 2x =-C. 1x =D. 4x =8. 如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是（ ） A. 3?k >B. 4?k >C. 5?k >D. 6?k >9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B. “0a >，0b >”是“2b a a b+≥”的充分必要条件C. 命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D. 命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥10. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n =+∈Z ，0k =，1，2，3，4. 给出如下四个结论：①[]20153∈；②[]22-∈；③[][][][][]01234Z =；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”.其中，正确结论的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4二. 填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. ） （一）必做题（11～13题）11. 已知数列{}n a 为等差数列，1233a a a ++=，5679a a a ++=，则4a = . 12. 已知向量a ，b 的夹角为120，且()2,4a =--，5b =，则a b ⋅= . 13. 已知实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42x y +的取值范围是 .（二）选做题（14. 15题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线sin 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭被圆4ρ=截得的弦长为 .15. （几何证明选讲选做题）如图，O 是半圆的圆心，直径AB =PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，C 4A =，则PB = .三. 解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ）16. （本小题满分12分）已知函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，R x ∈.()1求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； ()2若4sin 5θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求512f πθ⎛⎫-⎪⎝⎭.17. （本小题满分12分）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[]15,75）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：求月收入在[)35,45内的频()1率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标；()2根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；()3若从月收入（单位：百元）在[]65,75的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的概率.18. （本小题满分14分）如图，四边形CD AB 为菱形，CF A E 为平行四边形，且平面CF A E ⊥平面CD AB ，设D B 与C A 相交于点G ，H 为FG 的中点.()1证明：D C B ⊥H ； ()2若D 2AB =B =，AE =C H =，求三棱锥F DC -B 的体积.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项之和为n S （n *∈N ），且满足21n n a S n +=+.()1求证：数列{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； ()2求证：21223111112223n n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<.20. （本小题满分14分）椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率2e =. 设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点P 且交直线2x =于点N ，12FF ∆P的周长为)21.()1求椭圆E 的方程；()2求两焦点1F . 2F 到切线l 的距离之积；()3求证：以PN 为直径的圆恒过点2F .21. （本小题满分14分）已知常数0a >，函数()()31413f x ax a x =--，()()2ln 12xg x ax x =+-+. ()1讨论()f x 在()0,+∞上的单调性；()2若()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上存在两个极值点1x ，2x ，且()()120g x g x +>，求常数a 的取值范围.参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二. 填空题（本大题共做4小题，每小题5分，共20分） 11. 2；12. -5；13. [2,10]；14. 15. 32 三. 解答题：本大题共6题，满分80分. 16. 解：（1）()3sin 23sin 121263f ππππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭4分 （2）53541sin 1cos ,2,0,54sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=θθπθθ …6分…………………………………………………………12分17. 解：（1）1-0. 01×10×3-0. 02×10×2=0. 3………………………1分………………………3分()257253546cos sin 63sin2θ2sin 361252sin 3125=⨯⨯===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθππθπθπfABCDEGH第18题F（2）200.1300.2400.3500.2600.1700.143⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元）……………5分 即这50人的平均月收入估计为4300元。
洛阳市2015届高三一练word答案数学文
洛阳市２０１４———２０１５学年高中三年级统一考试数学试卷参考答案（文）一、选择题ＤＢＡＡＣＤＡＢＢＡＣＤ二、填空题１３．２５００１４．槡３１５．１２１６．｛λ｜λ＞－３｝三、解答题１７．（１）由题意知，Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０）．线段Ｆ１Ｆ２的中点为坐标原点Ｏ，设点Ｏ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的点Ｃ的坐标为（ｘ０，ｙ０），则ｙ０ｘ０＝１，ｘ０２＋ｙ０２－２＝０烅烄烆．Ｃ（２，２）．……３分半径为｜Ｆ１Ｆ２｜２＝１，……４分所以圆Ｃ的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝１．……５分（２）切线长＝｜ＰＣ｜２－槡１，……６分当｜ＰＣ｜最小时，切线长取得最小值，当ＰＣ垂直于ｘ轴，即点Ｐ位于（２，０）处时，取｜ＰＣ｜ｍｉｎ＝２，……９分此时切线长取最小值２２－槡１＝槡３．……１０分１８．（１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２³３２－３２＝３，……２分当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝（１２³３ｎ＋１－３２）－（１２³３ｎ－３２）＝３ｎ，……５分且ａ１＝３＝３１，所以｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝３ｎ．……６分（２）ｂｎ＝ｌｏｇ３ａｎ８１＝ｎ－４，……８分令ｂｎ≥０，即ｎ－４≥０，得ｎ≥４，即｛ｂｎ｝从第四项开始各项均非负，所以当ｎ≥５时，Ｔｎ＝－ｂ１－ｂ２－ｂ３－ｂ４＋ｂ５＋ｂ６＋…＋ｂｎ＝３＋２＋１＋０＋（ｎ－４）［１＋（ｎ－４）］２＝１２ｎ２－７２ｎ＋１２．……１２分书书书洛阳市２０１４———２０１５学年高中三年级统一考试数学试卷参考答案（文）一、选择题ＤＢＡＡＣＤＡＢＢＡＣＤ二、填空题１３．２５００１４．槡３１５．１２１６．｛λ｜λ＞－３｝三、解答题１７．（１）由题意知，Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０）．线段Ｆ１Ｆ２的中点为坐标原点Ｏ，设点Ｏ关于直线ｘ＋ｙ－２＝０对称的点Ｃ的坐标为（ｘ０，ｙ０），则ｙ０ｘ０＝１，ｘ０２＋ｙ０２－２＝０烅烄烆．｛．即Ｃ（２，２）．……３分半径为｜Ｆ１Ｆ２｜２＝１，……４分所以圆Ｃ的方程为（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝１．……５分（２）切线长＝｜ＰＣ｜２－槡１，……６分当｜ＰＣ｜最小时，切线长取得最小值，当ＰＣ垂直于ｘ轴，即点Ｐ位于（２，０）处时，取｜ＰＣ｜ｍｉｎ＝２，……９分此时切线长取最小值２２－槡１＝槡３．……１０分１８．（１）当ｎ＝１时，ａ１＝１２³３２－３２＝３，……２分当ｎ≥２时，ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＝（１２³３ｎ＋１－３２）－（１２³３ｎ－３２）＝３ｎ，……５分且ａ１＝３＝３１，所以｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ＝３ｎ．……６分（２）ｂｎ＝ｌｏｇ３ａｎ８１＝ｎ－４，……８分令ｂｎ≥０，即ｎ－４≥０，得ｎ≥４，即｛ｂｎ｝从第四项开始各项均非负，所以当ｎ≥５时，Ｔｎ＝－ｂ１－ｂ２－ｂ３－ｂ４＋ｂ５＋ｂ６＋…＋ｂｎ＝３＋２＋１＋０＋（ｎ－４）［１＋（ｎ－４）］２＝１２ｎ２－７２ｎ＋１２．……１２分１（２）设ＣＤ＝ａ，在△ＡＣＥ中，ＣＥｓｉｎ∠ＣＡＥ＝ＡＥｓｉｎ∠ＡＣＥＣＥ＝２ａｓｉｎ１５°ｓｉｎ３０°＝（槡６－槡２）ａ．……８分在△ＣＥＤ中，ＣＤｓｉｎ∠ＣＥＤ＝ＣＥｓｉｎ∠ＣＤＥｓｉｎ∠ＣＤＥ＝ＣＥｓｉｎ∠ＣＥＤＣＤ＝槡３－１．……１０分ｃｏｓ∠ＤＡＢ＝ｃｏｓ（∠ＣＤＥ－９０°）＝ｓｉｎ∠ＣＤＥ＝槡３－１．……１２分２０．（１）证明：∵Ａ１Ｄ⊥ 平面ＡＢＣ，Ａ１Ｄ平面ＡＣＣ１Ａ１，∴平面ＡＣＣ１Ａ１⊥ 平面ＡＢＣ，且交线为ＡＣ．∵ＢＣ平面ＡＢＣ，且ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＢＣ⊥ 平面ＡＣＣ１Ａ１．∵ＡＣ１平面ＡＣＣ１Ａ１，∴ＢＣ⊥ＡＣ１，……３分又ＡＡ１＝ＡＣ，∴ＡＣＣ１Ａ１为菱形．∴ＡＣ１⊥Ａ１Ｃ．∵Ａ１Ｃ，ＢＣ平面Ａ１ＢＣ，且Ａ１Ｃ∩ＢＣ＝Ｃ，∴ＡＣ１⊥ 平面Ａ１ＢＣ，……５分，∵ＢＡ１平面Ａ１ＢＣ，∴ＢＡ１⊥ＡＣ１……６分（２）ＶＢ１－Ａ１ＤＢ＝ＶＤ－Ａ１Ｂ１Ｂ＝１２ＶＣ－Ａ１Ｂ１Ｂ＝１２ＶＣ１－Ａ１Ｂ１Ｂ＝１２ＶＢ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝１６ＶＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝１６³２³２³１２³槡３＝槡３３．……１２分２１．（１）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，由ｘ＝ｍｙ＋ｐ２，ｙ２＝２ｐｘ烅烄烆．消去ｘ得ｙ２－２ｐｍｙ－ｐ２＝０．所以ｙ１＋ｙ２＝２ｐｍ，ｙ１ｙ２＝－ｐ２．……２分∵→＝－３，∴ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝－３．ｘ１ｘ２＝ｙ１２２ｐ²ｙ２２２ｐ＝ｐ２４，所以ｐ２４－ｐ２＝－３，ｐ２＝４．∵ｐ＞０，∴ｐ＝２．……４分（２）由（１）ｙ１＋ｙ２＝４ｍ，ｙ１ｙ２＝－４，则（ｙ１－ｙ２）２＝（ｙ１＋ｙ２）２－４ｙ１ｙ２＝１６（ｍ２＋１）．｜ＡＢ｜２＝（ｙ１－ｙ２）２＋（ｘ１－ｘ２）２＝（ｙ１－ｙ２）２＋（ｙ１２－ｙ２２４）２＝（ｙ１－ｙ２）２［１＋（ｙ１＋ｙ２４）２］＝１６（ｍ２＋１）２．……６分∴｜ＡＢ｜＝４（ｍ２＋１）．∵｜ＡＣ｜，｜ＣＤ｜，｜ＢＤ｜成等差数列，∴２｜ＣＤ｜＝｜ＡＣ｜＋｜ＢＤ｜＝｜ＡＣ｜＋｜ＢＣ｜－｜ＣＤ｜＝｜ＡＢ｜－｜ＣＤ｜．∴｜ＡＢ｜＝３｜ＣＤ｜．……９分又ＣＤ为圆ｘ２＋ｙ２－２ｘ＝０的直径，∴｜ＣＤ｜＝２．∴４（ｍ２＋１）＝６，ｍ＝±槡２２．……１１分即ｌ的方程为槡２ｘ±ｙ－槡２＝０．……１２分２２．（１）ｆ′（ｘ）＝ｋ＋４ｋｘ－４ｘ２－１＝－ｘ２－（ｋ＋４ｋ）ｘ＋４ｘ２＝－（ｘ－ｋ）（ｘ－４ｋ）ｘ２，（ｘ＞０，ｋ＞０）……１分①当０＜ｋ＜２时，４ｋ＞ｋ＞０，且４ｋ＞２，∴ｘ∈ （０，ｋ），ｆ′（ｘ）＜０，ｘ∈ （ｋ，２），ｆ′（ｘ）＞０．∴函数ｆ（ｘ）在（０，ｋ）上单调递减，在（ｋ，２）上单调递增；……３分② 当ｋ＝２时，４ｋ＝ｋ＝２，ｆ′（ｘ）＝－（ｘ－２）２ｘ２＜０恒成立，∴函数ｆ（ｘ）在（０，２）上单调递减；……４分③ 当ｋ＞２时，０＜４ｋ＜２，ｋ＞４ｋ＞０．∴ｘ∈ （０，４ｋ），ｆ′（ｘ）＜０，ｘ∈ （４ｋ，２），ｆ′（ｘ）＞０．∴函数在（０，４ｋ）上单调递减，在（４ｋ，２）上单调递增．……６分（２）由题意，ｆ′（ｘ１）＝ｆ′（ｘ２）（ｘ１，ｘ２＞０，且ｘ１≠ｘ２），即ｋ＋４ｋｘ１－４ｘ１２－１＝ｋ＋４ｋｘ２－４ｘ２２－１，化简得４（ｘ１＋ｘ２）＝（ｋ＋４ｋ）ｘ１ｘ２，而ｘ１ｘ２＜（ｘ１＋ｘ２２）２，∴４（ｘ１＋ｘ２）＜（ｋ＋４ｋ）（ｘ１＋ｘ２２）２，即ｘ１＋ｘ２＞１６ｋ＋４ｋ对ｋ∈［４，＋∞）恒成立．……８分令ｇ（ｋ）＝ｋ＋４ｋ，ｇ′（ｋ）＝１－４ｋ２＝（ｋ＋２）（ｋ－２）ｋ＞０对ｋ∈［４，＋∞）恒成立，∴ｇ（ｋ）≥ｇ（４）＝５．∴１６ｋ＋４ｋ≤１６５．∴ｘ１＋ｘ２＞１６５．即ｘ１＋ｘ２的取值范围是（１６５，＋∞）．……１２分。
2015年广东省揭阳市高考一模【文科数学】试题+答案
揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第1页（共4页）通知： 各位”羽十俱进”的队员，为了更好地开展协会活动，提高整体羽毛球水平，请各位进行搭档组合展开针对性更强的训练，项目包括男双、女双、混双，每人至少报一项，限报两项（有兴趣的也可另报单打），女队员至少报一项女双。
希望大家尽快找好自己的搭档（名单详见收件人），周三前将组合名单报至卢华处。
报名统计完毕后将分组每周展开定时训练和比赛，每周训练时间为周一和周四，报名的时候顺便报一下你这个组合哪天有空参加训练。
谢谢支持！绝密★启用前揭阳市2015年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 导数公式： 若()sin(1)f x x =-，则'()cos(1)f x x =-； 若()cos(1)f x x =-，则'()sin(1)f x x =--．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第2页（共4页）4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为A.C.2D. 5．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2x y =D. 1()2xy =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了 解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为 A.8 B.12 C.20 D.30 8．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为 图1A. 14B.5C. 3D. 79．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则；C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则；D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为 ．揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第3页（共4页）3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数4012016020012．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos A =， 则b = ．13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =31010(1()3f a ++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin(ρθ+被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF△ABC 的两条高，已知1,AE =3,AB CF ==则BC 边的长为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若2()3f α=，(0,)8πα∈，求cos 2α的值.17.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第4页（共4页）（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，AB =AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ； （3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：1211113n S S S +++<． 20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第5页（共4页）试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由. 21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sinln(1)1nk n k =<++∑． 2015揭阳市数学(文科)参考答案一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.13. 3；14..解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以31010(31()3f a ++=-.15．依题意得BE =BEA ∽△CFA得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = BC =三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω----------------------------------------------------2揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第6页（共4页）（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= -----------------------3分∵(0,)8πα∈，∴5π2(,)6612ππα+∈， --------------------------------------------4分∴πcos(2)6α+==-----------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+-----------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ----------------------------------------10分11132326=+⋅=----------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+=，--------------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=-------------------------------------------------5分⇒2cos 2sin 2αα-=①---------------------------------6分 将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------------8分解得：121cos 2726α±±==--------------------②---------------------10分 ∵(0,)8πα∈ ∴024πα<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，----------------11分∴1cos 26α+=.-----------------------------------------------------------12分] 17．解：（1）揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第7页（共4页）---4分 ----8分(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，------------------9分 故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------------11分 故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% ----------------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，----------------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC -----------------------------------------4分 （2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分 又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分 （3）解法1：由（1）知EF //CD ∴AEFACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅111142=⨯⨯⨯=------------------14分[解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分 ∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第8页（共4页）由（1）知EF ⊥平面ABC ， ∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分1111113232=+⨯⨯⨯=.----------------14分]19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，------------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，---------------------------------4分⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------------6分∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=-------------8分 [解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=---------------------4分 可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=- 131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 为首项161S=,公差为3的等差数列， 63(1)33nS n n n∴=+-=+，即233n S n n =+. ∴6n a n =---------------------------------------------------------------------8分] （3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+， 命题得证．---------------------------------------------------------------------14分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第9页（共4页）20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52pm +=-------①-----2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------------②-----3分 由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分 [解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =5=, 即22()252p m m +-=，-------------------------------------------①-------------2分 又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.--------------②-------------3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分]（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ， 则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，--------------------------------------------------6分又设点20(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切， 由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，---------------------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x xy x x -=-，--------------------------------------------8分 令1y =-得2022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，-----------------------------9分揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第10页（共4页）200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=-----------------------------------------10分∵点N 在以MQ 为直径的圆上，∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=--------------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-------------------------13分∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．--------14分 [解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2xy y x x -=-，---------------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--------③----10分 分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=-------------------------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=--------------------------------------------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，-----------------------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-， 将(0,1)的坐标代入③式得，揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第11页（共4页）左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边， 将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，------------------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)．--14分]21.解：（1）∵当1a =时， 函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，---------------------------------------------------------1分 令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，---------------------------------------------------------------3分 ∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立，----5分 设1()cos(1)H x x x =-，则()()()()()2222c o s 1s i n 1s i n 1c o s 1'()c o s (1)c o s (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- ---7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，-------------------8分 ∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.-----------------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数揭阳市2015年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科)试题 第12页（共4页） ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x=--≤-----------（*）恒成立，--------------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->， 当0a ≤时，（*）式显然成立；----------------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立， 设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-------------------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，------------------------------------------------------------8分 综上得(,1]a ∈-∞.-------------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，------------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+， 在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，--------------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n++++<++++ 341ln(2)ln(1)23n n n+=⋅⋅⋅=+， 即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．-------------------------------------------------------14分。
北京市东城区2015届高三4月综合练习(一)数学(文)试题含解析
2015 年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项）1．（ 5 分）在复平面内，复数z=1﹣ 2i 对应的点的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，﹣ 2） D．（2，﹣ 1）【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩大和复数．【剖析】：利用复数的运算法例、几何意义即可得出；【分析】：解：复数z=1﹣2i 对应的点的坐标为（1，﹣ 2），应选： C．【评论】：本题考察了复数的运算法例、几何意义，属于基础题．2．（ 5 分）双曲线的渐近线方程为（）A ．y= ±B．y= ±x C ．y= ±2x D ．y=±4x【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】：把双曲线，其渐近线方程是，整理后就获得双曲线的渐近线方程．【分析】：解：双曲线，其渐近线方程，整理得 y= ± ．应选： A．【评论】：本题考察双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．3．（ 5 分）记函数 f （x）的导函数为 f ′（ x），若 f（ x）对应的曲线在点（x0，f （ x0））处的切线方程为 y= ﹣ x+1，则（）A ． f′（x0） =2B ． f′（ x0） =1 C． f′（ x0） =0 D ． f′（ x0） =﹣1【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的观点及应用；直线与圆．【剖析】：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f （x）对应的曲线在点（ x0， f （x0））处的切线斜率为 f′（ x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率．【分析】：解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得 f （ x）对应的曲线在点（ x0， f（ x0））处的切线斜率为 f′（ x0），曲线在点（ x0， f（ x0））处的切线方程为y=﹣ x+1，即有 f ′（ x0） =﹣1．应选 D．【评论】：本题考察导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考察直线的斜率的求法，属于基础题．4．（ 5 分）已知命题p：直线 a，b 不订交，命题 q：直线 a，b 为异面直线，则 p 是 q 的（）A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件【考点】：必需条件、充足条件与充要条件的判断．【专题】：简略逻辑．【剖析】：依据充足条件和必需条件的定义进行判断．【分析】：解：若直线a，b 不订交，则直线a， b 为异面直线或许为平行直线，故 p 是 q 的必需不充足条件，应选： B．【评论】：本题主要考察充足条件和必需条件的判断，依据空间直线的地点关系是解决本题的要点．5．（ 5 分）在区间 [0 ，2] 上随机取一个实数x，则事件“3x﹣ 1＜ 0”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【剖析】：利用几何概型求概率．先解不等式，再利用解得的区间长度与区间 [0，2] 的长度求比值即得．【分析】：解：由几何概型可知，事件“3x﹣1＜0”可得x，∴在区间 [0， 2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣ 1＜ 0”发生的概率为：P（ 3x﹣ 1＜ 0）=．应选： D．【评论】：本题主要考察了几何概型，简单地说，假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．6．（ 5 分）履行以下图的程序框图，若输出的 b 的值为 4，则图中判断框内① 处应填（）A ． 2 B． 3 C． 4 D．5【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【剖析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【分析】：解：当 a=1 时， b=1 不知足输出条件，故应履行循环体，履行完循环体后，a=2；当 a=2 时， b=2 不知足输出条件，故应履行循环体，履行完循环体后，b=4 ，a=3；当 a=3 时， b=4 知足输出条件，故应退出循环，故判断框内①处应填 a≤2，应选： A b 的值，b=2 ，【评论】：本题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（ 5 分）设会合，则以下命题中正确的选项是（）A ． ? （ x， y）∈D ， x﹣2y≤0 B． ? （ x，y）∈D， x+2y ≥﹣2 C． ? （ x， y）∈D， x≥2 D ． ? （x， y）∈D ， y≤﹣ 1【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【剖析】：作出不等式组对应的平面地区，利用二元一次不等式组表示平面地区的性质分别进行判断即可．【分析】：解：会合对应的平面地区如图：由图象知对应的地区在 x+2y= ﹣ 2 的上方， y=﹣ 1 的上方，x﹣ 2y=0 的上方和下方都有， x=2 的左右都有，故知足条件的是x+2y ≥﹣2，应选： B【评论】：本题主要考察线性规划的应用，利用数形联合是解决本题的要点．8．（ 5 分）某学校餐厅每日供给500 名学生用餐，每礼拜一有 A ， B 两种菜可供选择．检查资料表示，凡是在礼拜一选 A 种菜的学生，下礼拜一会有20%改选 B 种菜；而选 B 种菜的学生，下礼拜一会有30%改选 A 种菜．用 a n，b n分别表示在第n 个礼拜的礼拜一选 A 种菜和选 B 种菜的学生人数，若a1=300 ，则 a n+1与 a n的关系能够表示为（）A ． a n+1n+1+200=+150 B ． a=C． a n+1=n+1+180 +300 D ． a=【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【剖析】：由题意可得数列递推式，联合a n+b n=500，两式联立消去b n得数列 {a n} 的递推公式．【分析】：解：依题意得，消去 b n得： a n+1=a n+150 ．应选： A．【评论】：本题考察数列在实质问题中的应用，考察学生对数学知识的应用能力，要点是对题意的理解，是中档题二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（ 5 分）已知会合A={1} ， B={ ﹣ 1，2m﹣ 1} ，若 A ? B ，则实数m 的值为1．【考点】：子集与真子集．【专题】：会合．【剖析】：依据题意，若 A ? B，必有 1=2m ﹣ 1，注意最后进行会合元素互异性的考证．【分析】：解：若 A ? B ，必有 1=2m ﹣ 1，解可得 m=1 ，考证可得切合会合元素的互异性，故答案为： 1．【评论】：本题考察元素的互异性即会合间的关系，注意解题时要考证互异性．10．（ 5 分）把函数的图象向右平移个单位，所获得的图象的函数分析式为y=sin2x．【考点】：函数 y=Asin （ωx+ φ）的图象变换．【专题】：计算题．【剖析】：三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数分析式即可．【分析】：解：把函数的图象向右平移个单位，所获得的图象的函数解析式为：=sin2x故答案为： y=sin2x【评论】：本题是基础题，考察三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移 x 加与减，上下平移，y 的另一侧加与减．11．（ 5 分）在矩形 ABCD 中，=（ 1，﹣ 3），，则实数k= 4．【考点】：数目积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：平面向量及应用．【剖析】：依据题意，画出图形，利用?=0，列出方程，求出k 的值．【分析】：解：以下图，在矩形 ABCD 中，=（ 1，﹣ 3），，∴=﹣=（ k﹣ 1，﹣ 2+3） =（k﹣ 1， 1），∴? =1 ×（ k﹣1） +（﹣ 3）×1=0 ，解得 k=4．故答案为： 4．【评论】：本题考察了利用平面向量的数目积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．12．（ 5 分）已知函数n1n+1n ），a41 ，f（ x）的关系如表所示，数列 {a} 足 a =3，a=f（ a=a2015= 3 ．【考点】：数列的函数特征．【】：等差数列与等比数列．【剖析】：数列 {a n} 足 a1=3 ， a n+1=f （ a n），由表格可得： a2=f （ a1） =f （ 3）=1 ， a3=f （ a2） =f （ 1） =3，⋯，可得 a n+2=a n，即可得出．【分析】：解：∵数列 {a n} 足 a1=3， a n+1=f （ a n），由表格可得：a2=f （ a1）=f （ 3） =1，a3=f （ a2） =f （ 1）=3， a4=f （ a3） =f （3） =1 ⋯，∴a n+2=a n，∴a2015=a1007×2+1=a1 =3．故答案分：1； 3．【点】：本考了函数的性、数列的周期性，考了算能力，属于基．13．（ 5 分）函数 f （x）是定在R 上的偶函数，且足 f （x+2） =f （ x）．当 x∈[0， 1] ， f（ x） =2x．若在区 [ 2，3] 上方程 ax+2a f（ x） =0 恰有四个不相等的数根，数 a 的取范是．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【】：函数的性及用．【剖析】：等价于在区 [ 2，3] 上函数 f（x）与 y=a（ x+2）的象有四个不一样的交点，由函数的性可作出它的象，由斜率公式可得界，而可得答案．【分析】：解：在区 [ 2， 3] 上方程 ax+2a f （x） =0 恰有四个不相等的数根，等价于在区 [ 2，3] 上函数 f（ x）与 y=a（ x+2）的象有四个不一样的交点，由 f （ x+2） =f （ x）可得函数的周期2，且偶函数，函数 y=a（ x+2 ）的象定点（ 2， 0）且斜率 a 的直，作出它的象可得：由可知，当直介于CB 和 CA 之切合意，而由斜率公式可得 k CB== ， k CA == ，故实数 a 的取值范围是：，故答案为：【评论】：本题考察方程根的存在性及个数的判断，数形联合是解决问题的要点，属中档题．14．（ 5 分） C 是曲线 y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A 的坐标是（﹣ 1，0）．设∠ CAO= θ（此中 O 表示原点），将 AC+CD 表示成对于θ的函数f（θ），则f（θ）= 2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，），f（θ）的最大值为．【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【剖析】：由题意作出图形，再连接 CO，从而可得点 C 的坐标为（﹣ cos（ 180°﹣2θ），sin（180°﹣ 2θ））；从而化简可得f（θ）=2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；再由二倍角公式化简为二次函数的形式，从而求最大值．【分析】：解：如右图，连接CO，由图可知，θ∈[，），∵∠ CAO= θ，∴∠ COA=180 °﹣ 2θ，∴点 C 的坐标为（﹣ cos（180°﹣ 2θ）， sin（ 180°﹣2θ））；即点 C 的坐标为（ cos2θ， sin2θ）；∴AC===2|cosθ|=2cosθ，CD=|cos2θ|=﹣ cos2θ，故 f （θ） =2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；f（θ）=2cosθ﹣ cos2θ2=﹣ 2cos θ+2cosθ+12=﹣ 2（ cosθ﹣）+，故当 cosθ=，即θ=时，f（θ）有最大值．故答案为： 2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；．【评论】：本题考察了三角函数的性质与应用及三角恒等变换的应用，同时考察了函数的最值的求法，属于中档题．三、解答题（共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（ 13 分）下边的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的均匀数是16.8．（Ⅰ）求x， y 的值；3 名，求恰有 2 名学生在乙组的（Ⅱ）从成绩不低于10 分且不超出20 分的学生中随意抽取概率．【考点】：列举法计算基本领件数及事件发生的概率；频次散布直方图．【专题】：概率与统计．【剖析】：（Ⅰ）依据中位数均匀数的定义求出即可；（Ⅱ）分别计算成绩不低于10 分且不超出20 分的学生中随意抽取 3 名的取法种数，和恰有 2名学生在乙组取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案【分析】：解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9， 12， 10+x ， 24，27．乙组五名学生的成绩为9，15， 10+y， 18， 24．因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的均匀数是16.8因此 10+x=13 ， 9+15+10+y+18+24=16.8 ×5因此 x=3， y=8 ；（Ⅱ）成绩不低于（10 分）且不超出（20 分）的学生中共有 5 名，此中甲组有 2 名，用 A ，B 表示，乙组有 3 名，用 a， b，c 表示，从中随意抽取 3 名共有10 种不一样的抽法，分别为（ A ，B ，a），（ A ，B， b），（ A ，B ，c），（ A ，a， b），（A ， a， c），（ A ， b， c），（ B ，a， b），（B， a， c），（ B， b， c），（a， b， c）恰有 2 名学生在乙组共有 6 种不一样抽法，分别为（ A ， a， b），（ A ， a， c），（A ， b，c），（ B，a， b），（B ， a，c），（ B， b， c）因此概率为 P== ．【评论】：本题考察了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求状况数与总状况数之比是解题的要点16．（ 13 分）在△ABC 中， a， b，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边，且知足 sinA+cosA=2 ．（ 1）求 A 的大小；（ 2）现给出三个条件：① a=2；② B=45 °；③ c=b．试从中选出两个能够确立△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依照求△ABC 的面积（只要写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．【考点】：正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【剖析】：（ 1）利用两角和公式对已知等式化简求得sin（A+）的值，从而求得 A ．（ 2）选择①②利用正弦定理先求得sinC 的值，从而利用三角形面积公式求得三角形的面积．【分析】：解：（1）依题意得 2sin（ A+）=2，即 sin（ A+） =1，∵ 0＜ A＜π，∴＜ A+＜，∴ A+=，∴ A=．（ 2）选择①②由正弦定理=，得 b=?sinB=2，∵ A+B+C= π，∴ sinC=sin （ A+B ） =sinAcosB+cosAsinB=+，∴ S=absinC=×2×2×=+1．【评论】：本题主要考察了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中重要的两个定理，应娴熟掌握．17．（ 14 分）如图甲，⊙ O 的直径 AB=2 ，圆上两点C， D 在直径 AB 的双侧，且∠CBA= ∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面相互垂直（如图乙）， F 为BC的中点，E 为AO的中点．依据乙解答以下各：（Ⅰ）求：CB⊥DE ；（Ⅱ）求三棱 C BOD 的体；（Ⅲ）在劣弧上能否存在一点G，使得 FG∥平面 ACD ？若存在，确立点G 的地点；若不存在，明原因．【考点】：棱柱、棱、棱台的体；直与平面平行的性．【】：合；空地点关系与距离．【剖析】：（Ⅰ）利用等三角形的性可得DE⊥ AO ，再利用面面垂直的性定理即可得到 DE ⊥平面 ABC ，而得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ⊥平面 ABC ，利用底面的方法，即可求三棱的体；（Ⅲ）存在，G 劣弧的中点．接OG ， OF， FG，通明平面OFG∥平面ACD ，即可获得．【分析】：（Ⅰ）明：在△AOD中，∵， OA=OD ，∴△ AOD 正三角形，又∵ E OA 的中点，∴DE⊥ AO⋯（ 1 分）∵两个半所在平面ACB 与平面 ADB 相互垂直且其交AB ，∴ DE⊥平面 ABC ．⋯（3 分）又 CB ? 平面 ABC ，∴ CB⊥ DE．⋯5 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面 ABC ，∴ DE 三棱 D BOC 的高．∵ D 周上一点，且 AB 直径，∴，在△ABD 中，由 AD ⊥BD ，， AB=2 ，得 AD=1 ，．⋯（6分）∵，∴== ．⋯（8 分）（Ⅲ）解：存在足意的点G，G 劣弧的中点．⋯（9分）明以下：接 OG， OF， FG，易知 OG⊥ BD ，又 AD ⊥BD ∴ OG∥ AD ，∵ OG? 平面 ACD ，∴ OG∥平面 ACD ．⋯（ 10 分）在△ABC 中， O，F 分 AB ， BC 的中点，∴OF∥ AC ，OF? 平面 ACD ，∴ OF∥平面 ACD ，⋯（ 11 分）∵OG ∩OF=O ，∴平面 OFG ∥平面 ACD ．又 FG? 平面 OFG，∴ FG∥平面 ACD ．⋯（ 12 分）【点】：本考、面、面面关系，考垂直的判断、面面垂直的性、面平行的判断及几何体高与体的算，考空想象能力、推理能力、运算求解能力及剖析研究和解决的能力．18．（ 14 分）已知x=1是的一个极点（Ⅰ）求 b 的；（Ⅱ）求函数f（ x）的减区；（Ⅲ）g（ x） =f （x），点（2，5）可作多少条直与曲y=g（ x）相切？明原因．【考点】：函数在某点获得极的条件；利用数研究函数的性；利用数研究曲上某点切方程．【】：合．【剖析】：（Ⅰ）先求出 f ′（ x），再由 x=1 是的一个极点，得 f ′（ 1）=0，由此能求出b．（II）由 f ′（x） =2+＜0，得，再合函数的定域能求出函数的减区．（ III ） g（ x） =f （ x）=2x+lnx，点（2，5）与曲g（ x）的切的切点坐（x0，y0），故2x0+lnx 05=（ 2+）（ x0 2），由此能推出点（2， 5）可作 2 条直与曲y=g （x）相切．【分析】：解：（Ⅰ）∵x=1是的一个极点，f′（ x）=2+，∴f′（1） =0 ，即 2 b+1=0，∴b=3 ，，合适意，∴b=3 ．（ II ）由 f ′（x） =2﹣+ ＜0，得，∴﹣，又∵ x＞0（定义域），∴函数的单一减区间为（0， 1]．（ III ） g（ x） =f （ x）﹣=2x+lnx ，设过点（ 2， 5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0， y0），∴，即 2x0+lnx 0﹣5=（2+）（ x0﹣2），∴ lnx0+﹣5=（2+）（ x0﹣ 2），∴lnx 0+ ﹣ 2=0 ，令 h（ x） =lnx+，，∴ x=2．∴ h（ x）在（ 0，2）上单一递减，在（2， +∞）上单一递加，2∵ h（）=2﹣ln2＞0，h（2）=ln2﹣1＜0，h（e）=＞0，∴ h（ x）与 x 轴有两个交点，∴过点（ 2， 5）可作 2 条直线与曲线y=g （ x）相切．【评论】：本题考察实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2， 5）可作多少条直线与曲线 y=g（ x）相切，考察运算求解能力，推理论证能力；考察化归与转变思想．综合性强，难度大，有必定的研究性，对数学思想能力要求较高，是高考的要点．解题时要认真审题，认真解答．19．（ 13 分）已知椭圆C：+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为，M 为椭圆上随意一点且△MF 1F2的周长等于 6．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 M 为圆心， MF 1为半径作圆 M ，当圆 M 与直线 l ：x=4 有公共点时，求△MF 1F2面积的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】： （ 1）依据 △MF 1F 2 的周长等于 6，再由离心率为 可求出 a 的值， 从而获得 b 的值，写出椭圆方程．（ 2）先设 M 的坐标为（ x 0， y 0）依据题意知足椭圆方程，利用圆M 与 l 有公共点可获得 M到 l 的距离 4﹣ x 0 小于或等于圆的半径 R ，整理可获得关系 2y 0 +10x 0﹣ 15≥0，再由即可消去 y 0，求出 x 0 的取值范围，再表示出 △MF 1F 2 面积即可求出最大值．【分析】： 解：（1）因为椭圆的离心率为 ， M 为椭圆上随意一点且△MF 1F 2 的周长等于 6．因此 c=1， a=2．因此 b 2=3．因此椭圆 C 的方程为．（ 2）设点 M 的坐标为（ x 0， y 0），则．因为直线 l 的方程为 x=4，圆 M 与 l 有公共点，因此 M 到 l 的距离 4﹣ x 0 小于或等于圆的半径R ．22 2 2因为 R=MF 1 =（ x 0+1） +y 0 ，因此（ 4﹣ x 0） 22 0 2，≤（x +1） +y即 y 02+10x 0﹣ 15≥0．又因为 ，因此 3﹣+10x 0﹣ 15≥0．解得 ．又﹣ 2＜x 0＜ 2，则，因此 0＜|y 0|≤因为 △MF 1F 2 面积为 |y 0||F 1F 2|=|y 0|，因此当 |y 0|= 时， △MF 1F 2 面积有最大值．【评论】： 本题主要考察椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的要点，每年必考，常常以压轴题的形式出现，要想答对本题一定娴熟掌握其基础知识，对各样题型多加练习．20．（ 13 分）已知等差数列 {a n } 中， a 1=5 ，7a 2=4a 4，数列 {b n } 前 n 项和为 S n ，且 S n =2（ b n ﹣ 1）（ n ∈N *）．（Ⅰ）求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）设数列，求 {c n } 的前 n 项和 T n ；（Ⅲ）把数列 {a n } 和 {b n } 的公共 从小到大排成新数列 {d n } ， 写出 d 1， d 2，并 明 {d n } 等比数列．【考点】： 数列的乞降；等比关系确实定． 【 】： 等差数列与等比数列． 【剖析】： （ I ） 等差数列 {a n } 的公差 d ，由 a 1=5， 7a 2=4a 4，利用等差数列的通 公式解出 d ，即可得出 a n ．由数列 {b n } 前 n 和 S n ， S n =2（b n 1）（ n ∈N ）利用 推式与等比数列的通 公式即可得出 b n ．（ II ）由数列，利用等差数列与等比数列的前 n 和公式， 先求出当 n偶数 ， T n =（ a 1+a 3+⋯+a n ﹣ 1）+（ b 2+b 4+⋯+b n ）． 当 n （ n ≥3） 奇数 ，T n =T n ﹣ 1+a n ，即可得出．（ III ）由 a n =3n+2，b n =2n ．可得 d 1=8=a 2=b 3，d 2=d 2=a 10=b 5=32 ．假 d n =a m =b k =2 k （ k ∈N *）．可得 3m+2=2 k，分 研究 b k+1 ， b k+2 是不是数列 {a n } 中的 ，即可 明．【分析】： 解：（I ） 等差数列 {a n } 的公差 d ，∵ a 1=5， 7a 2=4a 4，∴ 7（ 5+d ） =4（5+3d ），解得 d=3．∴ a n =5+3（ n 1）=3n+2 ．∵数列 {b n } 前 n 和 S n ， S n =2（ b n 1）（ n ∈N *）． ∴当 n=1 ， b 1=2（ b 1 1），解得 b 1=2． b n =S n S n ﹣ 1=2b n 2b n ﹣1，化 b n =2b n ﹣1，∴数列 {b n } 是等比数列，首2，公比2，∴ b n =2n． （ II ）∵数列，∴当 n 偶数 ， T n =（ a 1+a 3+⋯+a n ﹣ 1） +（b 2+b 4+⋯+b n ）=+=．当 n （ n ≥3） 奇数 ，T n =T n ﹣ 1+a n =+3n+2=++，n=1 上式也建立．∴ T n =．（ III ）由 a n =3n+2， b n =2n．∴ d 1=8=a 2=b 3，d 2=d 2=a 10=b 5=32． k*假 d n =a m =b k =2 （ k ∈N ）．3m+2=2 k，k+1 k∴ bk+1 =2 =2 ×2 =2（ 3m+2） =3 （2m+1） +1 不是数列 {a n } 中的 ； b k+2=4×2k=4 （ 3m+2 ）=3（ 4m+2 ） +2，是数列 {a n } 中的 ．∴d n+1=a4m+2=b k+2 =2k+2，∴==4．∴数列 {d n} 为等比数列，首项为 8，公比为 4．【评论】：本题考察了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考察了分类议论思想方法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试数学文试题 Word版含答案
浙江省宁波市2015届高三一轮复习阶段性考试数学文试题本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式 V Sh =，其中S 表示底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式 13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式 24S R π=， 球的体积公式 343V R π=，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题部分 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合1122M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2N x x x =≤，则M N =（A ）1[0,)2（B ）1(,1]2- （C ）1[1,)2-（D ）1(,0]2-2．已知复数z 满足22z i z +=-（其中i 是虚数单位），则z 为 （A ）2i（B ）2i - （C ）i （D ）i -3．在△ABC 中，“A B <”是“22sin sin A B <”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 （A ）若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥ （B ）若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥ （C ）若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m α （D ）若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ 5．将函数sin(4)6y x π=-图象上各点的横坐标伸长到原的2倍，再向左平移4π个单位， 纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是 （A ）12x π= （B ）6x π=（C ）3x π=（D ）12x π=-6．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（A ）3 （B ） 4 （C ）5 （D ） 6 7．设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的最大值是（A ）21 （B ） 24 （C ）28 （D ） 31 8．函数25()sin log 22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为 （A ）1 （B ） 2（C ） 3（D ） 49．已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为（A 12（B 1+10．如图所示，已知双曲线22221(x y a a b-=的右焦点为F ，过F 的直线l 线于A 、B 两点，且直线lOA 倾斜角的2倍，若2AF FB =线的离心率为（A （B（C （D(第6题图)第Ⅱ卷（非选择题部分 共100分)二、填空题：本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．11．某高校从参加今年自主招生考试的1000名学生中随机抽取100名学生的成绩进行统计，得到如图所示的样本频率分布直方图．若规定60分及以上为合格，则估计这1000 名学生中合格人数是 ▲ 名．12．盒子中装有大小质地都相同的5个球，其中红色1个，白色2个，蓝色2个．现从盒子中取出两个球（每次只取一个，并且取出后放回），则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ． 13．定义在R 上的奇函数()f x 满足3()(),(2014)2,2f x f x f -=+=则(1)f -= ▲ ． 14．已知某锥体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该锥体的体积为 ▲ 3cm ． 15．已知直线10x y --=及直线50x y --=截圆C 所得的弦长均为10，则圆C 的面积是▲ ．16．数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论中一定成立．．．．的是 ▲ ．（请填写所有正确选项的序号） ① 9100a a ⋅<； ② 100b >； ③ 910b b >； ④ 910a a >．17．若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5B c =，11cos 14B =．（第14题图）正视图 侧视图 俯视图（第11题图）（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设BC 边的中点为D，2AD =，求ABC ∆的面积．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且248,40a S ==错误！未找到引用源。
山东省诸城市2015届高三第一次检测数学文试题Word版含答案
高三数学试题（文科）2014.10.9本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（共50分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它他答案标号。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R ，集合}31|{<<=x x A ，{|2}B x x =>，则U A C B 等于（ ）A ．}21|{<<x xB ．{|12}x x <≤C ．}32|{<<x xD ．}2|{≤x x2．已知R a ∈且0≠a ，则“11<a”是“1>a ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若集合}0|{≥=y y P ，P Q P = ，则集合Q 不可能是A ．∅B ．},|{2R x x y y ∈= C ．},2|{R x y y x∈= D ．}0,log |{2>=x x y y 4. 已知x ，y R ∈，则A ．y x yx 2lg 2lg )2lg(+=+ B ．yx y x 2lg 2lg )22lg(∙=∙ C ．y x yx 2lg 2lg )2lg(∙=+D ．yxyx2lg 2lg )22lg(+=∙5. 已知命题p ：存在x R ∈，使得x x lg 10>-；命题q ：对任意x R ∈，都有02>x ，则 A ．命题“p 或q ”是假命题 B ．命题“p 且或q ”是真假命题 C ．命题“非q ”是假命题D ．命题“p 且‘非q ’”是真命题6. 设函数⎩⎨⎧>-≤=-)1(,log 1)1(,2)(21x x x x f x ，则满足)(x f ≤2的x 取值范围是A ．]2,1[-B ．]2,0[C ．),0[+∞D ．),1[+∞7. 设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，则11++=x y s 的取值范围是A ．]23,1[B ．]1,21[C ．]2,21[ D ．]2,1[8.若函数0()(>-=-a a ka x f xx且)1≠a 在（－∞，＋∞）上既是奇函数又是偶函数，则)(log )(k x x g a -=的图象是9. 要使333b a b a -<-成立，a ，b 应满足的条件是A ． 0<ab 且b a >B ． 0>ab 且b a >C ．0<ab 且b a <D ． 0>ab 且b a >或0<ab 且b a <10. 已知函数=y ()f x 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)()(x f x f x -<'成立，若)3(3f a =，)3(lg )3(lg f b =，)41(log )41(log 22f c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分。
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江西省吉安市永新县永新五中
2015届高三一轮文科数学“基础题每日一练”(含精析)04 姓名： 训练日期： 完成时间：________
一．单项选择题。
（本部分共5道选择题）
1．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2，则该几何
体的俯视图可能是( )．
解析 当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B 中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π
4；当俯视图为C 中三角形时，
几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为1
2.
答案 C
2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )．
A ．m ∥β且l 1∥α
B ．m ∥l 1且n ∥l 2
C ．m ∥β且n ∥β
D ．m ∥β且n ∥l 2
解析 对于选项A ，不合题意；对于选项B ，由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得
l 1∥α，同理可得l 2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B ；对于选项C ，由于m ，n 不一定相交，故是
必要非充分条件；对于选项D ，由n ∥l 2可转化为n ∥β，同选项C ，故不符合题意，综上选B. 答案 B
3．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为
3π
4
，则y ＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．2 解析 由
2y ＋1－－3
4－2
＝2y ＋42
＝y ＋2，
得：y ＋2＝tan 3π
4＝－1.∴y ＝－3.
答案 B
4．直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0 D ．4x －3y －12＝0 解析 在对称直线上任取一点P(x ，y)，
则点P 关于点A 对称的点P′(x′，y′)必在直线l 上． 由⎩⎨
⎧
x′＋x ＝2，y′＋y ＝2，
得P′(2－x,2－y)，
∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x ＋3y －12＝0. 答案 B
5．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ≤B
解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋2a 2－4，显然A 2>B 2，选A. 答案 A
二．填空题。
（本部分共2道填空题）
1．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
解析 由球的半径为R ，可知球的表面积为4πR 2.设内接圆柱底面半径为r ，高为2h ，则h 2
＋r 2
＝R 2
.而圆柱的侧面积为2πr ·2h ＝4πrh ≤4π
r 2＋h 2
2
＝2πR 2(当且仅当r ＝h 时
等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR 2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR 2. 答案 2πR 2
2．若函数f (x )＝ 的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析 ∵y ＝ 的定义域为R ， ∴对一切x ∈R 都有2x 2
＋2ax －a ≥1恒成立，
即x 2
＋2ax －a ≥0恒成立．∴Δ≤0成立，即4a 2
＋4a ≤0， ∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0]
三．解答题。
（本部分共1道解答题）
1．设椭圆方程为x 2
＋y 2
4＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，
点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →
)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，当直线l 绕点M 旋转时，求：
(1)动点P 的轨迹方程；
(2)|NP →
|的最大值，最小值．
解析 (1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.
设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎨⎧
y ＝kx ＋1，
x 2
＋y
2
4
＝1.
消去y 得(4＋k 2)x 2＋2kx －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0.
∴x 1＋x 2＝－2k 4＋k 2，x 1x 2＝－3
4＋k 2
.
设P (x ，y )是AB 的中点，则OP →
＝1
2(OA →＋OB →
)，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12x 1＋x 2＝k 4＋k 2，
y ＝12
y 1＋y 2＝
1
2
kx 1＋1＋kx 2＋
＝4＋2k
2
4＋k 2
；
消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.
当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0. (2)由(1)知4x 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫y －122＝14
∴－14≤x ≤1
4
而|NP |2＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －122＋1－16x 24
＝－3
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋162＋712
， ∴当x ＝－16时，|NP →|取得最大值21
6
，
当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.。