(整理)地球椭球的基本几何参数及相互关系
(整理)地球椭球的基本几何参数及相互关系
§7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系7.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
有关元素O 为椭球中心；NS 为旋转轴；a 为长半轴；b 为短半轴；子午圈（或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。
旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即：椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴： b椭圆的扁率： α=-a b a (7-1)椭圆的第一偏心率： ab a e 22-= (7-2) 椭圆的第二偏心率： b b a e 22 -=' (7-3)其中：a 、b 称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。
e 和e /是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b ），人们习惯于用a 和α表示椭球的形状和大小，便于级数展开。
引入下列符号：ba c 2= tgB t =B e 222cos '=η (7-4)式中B 为大地纬度，c 为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数，B e V B e W 2222cos 1sin 1'+=-= (7-5)传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。
由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。
地球椭球
地球椭球由于地球真实形状的不规则性，要在地面上开展一系列大地测量计算，必须选定一规则曲面作为测量计算的基准面。
例如，常规地面测量通过野外观测只能获得地面点间的方向、距离和天文方位角，为了求得水平控制网点的坐标，要进行一系列的计算，这就需要选定计算的基准面。
适于大地测量计算的基准面应当满足以下三个要求：（1）应是接近地球自然形体的曲面，这样可使地面观测量归算的改正数很微小；（2）这个曲面应是一个便于计算的数学曲面，从而能保证由观测量计算坐标的可行性；（3）这个曲面与大地体的位置要固定下来，即能建立起地面点与基准面上点的一一对应。
大地水准面是接近地球形体的一个不规则曲面，但这种不规则性很微小，因为它的起伏主要是地壳层的物质质量分布不均匀引起的，而地壳质量仅占地球总质量的1/65。
所以大地水准面在总体上应非常接近于一个规则形体，十七世纪以来的大地测量结果表明，这个规则形体是一个南北稍扁的旋转椭球面。
旋转椭球是由一个椭圆绕其短轴旋转而成的几何形体。
图5.4表示以O为中心，以NS为旋转轴的椭球。
大地测量中，用来代表地球形状和大小的旋转椭球称为地球椭球，简称椭球，它是对地球形状的几何概括，是地球真实形状的数学化模型。
包含椭球旋转轴（短轴）的平面称为大地子午面,子午面与椭球面的截线称为子午圈（子午线）。
通过椭球中心且垂直于旋转轴的平面称为大地赤道面，赤道面与椭球面的截线称为赤道。
平行于赤道的平面与椭球面的截线称为平行圈（平行线）,也称纬圈。
椭球面上旋转轴的两端点N、S分别称为北极和南极。
地球椭球中常用的几何参数有以下6个:以上6个参数中只要给定一个长度参数和其它任意一个参数就可确定椭球的形状和大小。
大地测量中常用长半径和扁率来表示地球椭球。
在经典大地测量中，地球椭球的几何参数是根据天文、大地和重力测量资料推算出来的。
六十年代以后，应用卫星大地测量观测数据推算出了许多更精确的地球椭球。
表5.1是我国采用的椭球参数表。
大地测量习题
第一章绪论 1.大地测量学的定义是什么答：大地测量学是关于测量和描绘地球形状及其重力场并监测其变化，为人类活动提供关于地球的空间信息。
2．大地测量学的地位和作用有哪些答：大地测量学是一切测绘科学技术的基础，在国民经济建设和社会发展中发挥着决定性的基础保证作用；在防灾，减灾，救灾及环境监测、评价与保护中发挥着独具风貌的特殊作用；是发展空间技术和国防建设的重要保障；在当代地球科学研究中的地位显得越来越重要。
3．大地测量学的基本体系和内容是什么答：大地测量学的基本体系由三个基本分支构成：几何大地测量学、物理大地测量学及空间大地测量学。
基本内容为： 1.确定地球形状及外部重力场及其随时间的变化，建立统一的大地测量坐标系，研究地壳形变(包括地壳垂直升降及水平位移)，测定极移以及海洋水面地形及其变化等； 2.研究月球及太阳系行星的形状及重力场； 3.建立和维持具有高科技水平的国家和全球的天文大地水平控制网、工程控制网和精密水准网以及海洋大地控制网，以满足国民经济和国防建设的需要； 4.研究为获得高精度测量成果的仪器和方法等； 5.研究地球表面向椭球面或平面的投影数学变换及有关的大地测量计算； 6.研究大规模、高精度和多类别的地面网、空间网及其联合网的数据处理的理论和方法，测量数据库建立及应用等。
4.大地测量学的发展经历了哪几个阶段答：大地测量学的发展经历了四个阶段：地球圆球阶段、地球椭球阶段、大地水准面阶段和现代大地测量新时期。
5. 地球椭球阶段取得的主要标志性成果有哪些答：有：长度单位的建立；最小二乘法的提出；椭球大地测量学的形成，解决了椭球数学性质，椭球面上测量计算，以及将椭球面投影到平面的正形投影方法；弧度测量大规模展开；推算了不同的地球椭球参数。
6.物理大地测量标志性成就有哪些答：有：克莱罗定理的提出；重力位函数的提出；地壳均衡学说的提出；重力测量有了进展，设计和生产了用于绝对重力测量的可倒摆以及用于相对重力测量的便携式摆仪。
椭球基本知识
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
地球椭球基本参数及其相互关系
2
b a 1 e2 a c 1 e2 e e' 1 e2
2
e' e 1 e'2 V W 1 e'
a 1 e'2 b
W V 1 e2
b 1 e2 a
e 2 2 2
2 2 2
1 V W 1 e2
W 1 e'
2
V 1 e2
推导：
e2 2 2
a 2 2 2 ( a b) a 2 ab b 2 2 2 a a 2 2 2 2 a 2 ab b a 2 a a2 2( a b ) a 2 b 2 a a2 2 e 2 e 2 2 2
第三章 知识点总结
3、正高系统（10 定义和特点） 水准面、大地水准面
特点： 1、唯一性 2、无法得到
4、正常高系统（10 定义和特点） 似大地水准面、通过用？代替？得到的正高 5、国家高程基准（10 56基准和85基准） 72.260和72.289
第三章 知识点总结
6、垂线偏差
垂线偏差的基本概念 和分量 （10） 测定方法（1）天文大地测量方法（7 原理） （2）重力测量方法（2） （3）天文重力方法（2） （4）GPS测量方法（10） 7、大地水准面差距 大地水准面差距的基本概念 和分量 （10） 高程异常定义和作用（10） 测定方法： 天文大地测量方法（8 重力测量方法（2） 空间大地测量方法（2） GPS 最小二乘配置（2） 9个参数）
e2
e'
2
1/298.3 1/298.257 1/298.257223563 0.00663421622966 0.006694684999588 0.0066943799013 0.006738525414683 0.006739501819473 0.00673949674227
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角L ，叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o～180°）。
P 点的法线Pn 与赤道面的夹角B ，叫做P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。
过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。
由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。
过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。
从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。
如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)()(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。
地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。
6.2.3子午面直角坐标系设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。
控制测量学地球椭球的基本几何参数及其相互关系
地球椭球的基本几何参数及其相互关系地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。
参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。
参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
地球椭球的几何定义：O 是椭球中心，NS 为旋转轴，a 为长半轴，b 为短半轴。
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。
纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆，也叫平行圈。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
地球椭球的五个基本几何参数：椭圆的长半轴a 椭圆的短半轴b 椭圆的扁率ab a -=α 椭圆的第一偏心率ab a e 22-= 椭圆的第二偏心率b b a e 22-=' 其中a 、b 称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度。
偏心率e 和e '是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。
两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数：B e V Be W 2222cos 1sin 1'+=-=我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。
几种常见的椭球体参数值地球椭球参数间的相互关系其他元素之间的关系式如下：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫≈-=-='+=-'='+='-='+=-='+=ααα221,11,11,11,12222222222e e V W e W V e e e e e e e c a e a c e a b e b a⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫'+=+=-=-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅'+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅-=22222222222)1(1)1(sin 111W e V V e B e W W b a W e V V a b V e W η式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
5-椭球面的几何特征与测量计算解析
2
0
1
MN
2
M NtgA
M1 N co2sAdA
设 t M tgA N
则
dt
M N
1 cos2
dA A
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
此时积分限要作相应变更：当A=0时，t=0；A
2
时，t 。
照此换元后，经积分得到下式，
R2
MN
dt
2
0 1t2
MNarctg 0 t
第三节 椭球面上弧长计算 大地测量学基础
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
1、计算B=0到B的子午圈弧长X
由M=dX/dB得X：
B
dX
B
MdB
0
0
将
代入上式，从0到B积分，可得X。 可知，X是B的函数。
大地测量学基础
第三节 椭球面上弧长计算
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
11 (11)(2 s A ic n2 o A )s 11
RR A 90 MN
MN
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
1 n
R ni1
RAi
(n)
R 2 10 2 R A d A 2 10 2 N c o s 2A M N M s in 2A d A
R2
dyta9 n0 (B)coBt dx
yx(1e2)tanB
x
a
coBs
1e2sinB2
N a c WV
VW1e2 WV1e2bVaV,ca2 ac b
W1e2si2nB V1e'2co2B s12
第四章 地球椭球及其数学计算讲解
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
三角函数级数展开
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
弧度和度的定义
角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示 角度制：规定周角的360分之一为1度的角 弧度制：规定长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度
周长=2 R
180
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
4.4 地球椭球上的曲率半径
卯酉圈
过椭球面上任意一点P可作一条垂直 于椭球面的法线PF，包含这条法线的 平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线
过椭球面上一点的法线，可作无限个 法截面，其中与子午面垂直的法截面 称为卯酉面，卯酉面与椭球面的交线 称为卯酉圈
4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系
Bu
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间 的差异很小，经过计算，当B=45°时：
(B u)max 5.9'
(u )max 5.9'
Bu
(B )max 11.8'
第四章 地球椭球及其数学计算 第四节 地球椭球上的曲率半径
1 1 e2
1
a b 1 e '2
1 1 e2 e2 2 2
1 e2 1 e '2 1
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
辅助参数（为简化后续公式推导）
极点处的子午曲率半径
第四章 地球椭球及其数学计算
第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系
大地测量学思考题及答案(200606)
大地测量学思考题集1．解释大地测量学，现代大地测量学由哪几部分组成？谈谈其基本任务和作用？大地测量学----是测绘学科的分支，是测绘学科的各学科的基础科学，是研究地球的形状、大小及地球重力场的理论、技术和方法的学科。
大地测量学的主要任务：测量和描述地球并监测其变化，为人类活动提供关于地球的空间信息。
具体表现在（1）、建立与维护国家及全球的地面三维大地控制网。
（2）、测量并描述地球动力现象。
（3）、测定地球重力及随时空的变化。
大地测量学由以下三个分支构成：几何大地测量学，物理大地测量学及空间大地测量学。
几何大地测量学的基本任务是确定地球的形状和大小及确定地面点的几何位置。
作用：可以用来精密的测量角度，距离，水准测量，地球椭球数学性质，椭球面上测量计算，椭球数学投影变换以及地球椭球几何参数的数学模型物理大地测量学的基本任务是用物理方法确定地球形状及其外部重力场。
主要内容包括位理论，地球重力场，重力测量及其归算，推求地球形状及外部重力场的理论与方法等。
空间大地测量学主要研究以人造地球卫星及其他空间探测器为代表的空间大地测量的理论、技术与方法。
2、大地测量学的发展经理了哪些阶段，简述各阶段的主要贡献和特点。
分为一下几个阶段：地球圆球阶段，地球椭球阶段，大地水准面阶段，现代大地测量新时期地球圆球阶段，首次用子午圈弧长测量法来估算地球半径。
这是人类应用弧度测量概念对地球大小的第一次估算。
地球椭球阶段，在这阶段，几何大地测量在验证了牛顿的万有引力定律和证实地球为椭球学说之后，开始走向成熟发展的道路，取得的成绩主要体现在一下几个方面：1）长度单位的建立 2）最小二乘法的提出 3）椭球大地测量学的形成 4）弧度测量大规模展开 5）推算了不同的地球椭球参数这个阶段为物理大地测量学奠定了基础理论。
大地水准面阶段，几何大地测量学的发展：1）天文大地网的布设有了重大发展，2）因瓦基线尺出现物理大地测量学的发展 1）大地测量边值问题理论的提出 2）提出了新的椭球参数现代大地测量新时期以地磁波测距、人造地球卫星定位系统及其长基线干涉测量等为代表的新的测量技术的出现，使大地测量定位、确定地球参数及重力场，构筑数字地球等基本测绘任务都以崭新的理论和方法来进行。
大地测量学基础ppt课件
3
二、大地水准面
与平均海水面相重合，不受潮汐、风浪及大气压变化影响， 并延伸到大陆下面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水 准面，由它包围的形体称为大地体，可近似地把它看成是地 球的形状。
我国曾规定采用青岛验潮站求得的1956年黄海平均海水面 作为我国统一高程基准面，1988年改用“1985国家高程基准” 作为高程起算的统一基准。
Z轴：与地球平均自转轴相 重合，亦即指向某一时刻的平 均北极点。
X轴：指向平均自转轴与平 均格林尼治天文台所决定的子 午面与赤道面的交点。
16
五、天文坐标系
1）天文坐标系是以铅垂线为依 据建立起来的。
2）一点的坐标用天文经度 及
天文纬度 表示。
3）所谓天文纬度是P点的铅垂线 与地球赤道面形成的锐角，
A、B两点平均高度(可用近似值代替)
(g
m o
)m
H AB
是ＡＢ路线上的正常重力
42
3.3 高程系统概论
3.3.４ 国家高程基准 一、高程基准面
1956年黄海高程系统：1957年确定青岛验潮站为我国 基本验潮站，该站1950年至1956年7年间的潮汐资料推求 的平均海水面作为我国的高程基准面。
正常重力并不顾及地球内部质量和密度分布的不规 则，而仅仅与纬度有关，其计算公式为：r＝r0－ 0.3086H
(r0:平均椭球面上的重力值）
6
四、 正常椭球和水准椭球 总地球椭球和参考椭球
正常椭球的定位和定向：
其中心和地球质心重合 其短轴与地轴重合 起始子午面与起始天文子午面重合
39
地球椭球体基本要素和基本公式
三、地心坐标系 以参考椭球面为基准面，以观测点 与地心的连线为基准线，用表示地面或 空间点位坐标的系统。见图3－11。 即以地球椭球体质量中心为基点， 地心经度同大地经度 ，地心纬度是指参 考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道 面之间的夹角 。
在大地测量学中，常以天文经纬度定
义地理坐标。
在地图学中，以大地经纬度定义地理
面的交线称为法截弧。为说明椭球体面
上某点的曲率起见，通常研究两个相互
垂直的法截弧的曲率，这种相互垂直的
法截弧称为主法截弧。
对椭球体来说，要研究下列的两个主
法截弧，一个曲率半径具有最大值，而 另一个曲率半径具有最小值。
1．经线圈曲率半径M 包含子午圈的截面，称为子午圈截面，从 图3－14中看出，就是过A点的法线AL同 时又通过椭球体旋转轴PP‘的法截面(即 AE’P’EP)。子午圈曲率半径通常用字母M 表示，它是A点上所有截面的曲率半径中 2 的最小值： a(1 e )
二、地球体的物理表面——大地水准面
由于地球表面高低起伏，且形态极
为复杂，显然不能作为测量与制图的基
准面，这就提出了用一个什么样的曲面
来代替地球表面的问题？大地水准面—
—将一个与静止海水面相重合的水准面
延伸至大陆，所形成的封闭曲面。
大地水准面所包围的球体称为大地
体。大地水准面作为测量的基准面，铅
垂线作为测量的基准线。但是由于地球
第二节地理坐标系
确定地面点或空间目标的位置所采用 的参考系称为坐标系，坐标系的种类有很 多，与地图测绘密切相关的有地理坐标系 和平面坐标系。 地理坐标系——就是用经纬度表示地 面点位的球面坐标系，在大地测量中，又 分为天文坐标系、大地坐标系和地心坐标 系。
椭球参数的名词解释
椭球参数的名词解释椭球参数是描述椭球几何形状的一组数值指标，它们包括长半轴a、扁率f、偏心率e、极半径b和椭球曲率K等。
这些参数为我们理解地球形状、地图制图、定位导航等提供了基础。
1. 长半轴(a)长半轴是椭球体沿主轴方向的一半长度，通常用公里或英里表示。
在地球模型中，长半轴代表的是赤道半径，因为地球的形状近似于椭球体。
它的大小决定了地球的尺寸，用于计算地球表面上的距离、面积等。
2. 扁率(f)扁率是指椭球体极半径与赤道半径之差与赤道半径之比。
扁率是描述地球椭球体形状扁平程度的重要参数。
具体计算方法是f=(a-b)/a，其中a为赤道半径，b为极半径。
扁率可以帮助我们了解地球的形状，对于地图投影和大地测量学有着重要的应用。
3. 偏心率(e)偏心率是椭球体焦点与几何中心之间的距离与长半轴a之比。
它是椭球体形状的一个重要度量，有助于我们判断椭球体的胖瘦程度。
偏心率越接近于1，椭球体越扁平；偏心率越接近于0，椭球体越接近于球体。
偏心率在地理学、天文学和导航系统中都有广泛的应用，例如测量地球形状、计算卫星轨道等。
4. 极半径(b)极半径是指椭球体在极轴方向的一半长度，通常用公里或英里表示。
由于地球是稍微偏扁的椭球体，在赤道和两极之间存在长度差异。
极半径用于计算地球在纬度方向上的曲率，是地理测量学和大地测量中重要的参数。
5. 椭球曲率(K)椭球曲率是指椭球体曲面的曲率半径，可以用来衡量在地球椭球体表面某一点处的曲率大小。
在测量和制图领域，椭球曲率常用于校准测量仪器和计算地球上的高程信息。
它也在导航系统中发挥着重要作用，如GPS导航中的高度测量等。
总结：椭球参数是用于描述地球椭球体几何形状的一组重要指标。
这些参数包括长半轴、扁率、偏心率、极半径和椭球曲率。
它们为地球形状的研究、地理测量学、地图制图和导航系统等领域提供了重要的基础。
通过深入理解和应用椭球参数，我们能更准确地认识地球形状、进行地球观测和导航定位等工作。
椭球面上的测量计算
25
4.6.2 将地面观测的长度归算到椭球面
1、基线尺量距高程对长度归算的影响：
S0 R Hm 1 Hm
SR
R
S
S0 (1
Hm R
) 1
基线两端点平 均大地高程
基线方向法截 线曲率半径
将上式展开级数，取至二次项
S
S0 (1
Hm R
H
2 m
Байду номын сангаас
R2
)
SH
S
S0
是由弦长改 化为弧长的 改正项。
1 ( H2 H1 )2
d D
D
(1 H1 )(1 H 2 )
28
RA
RA
注意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
c a2 ,t tan B, 2 e2 cos2 B
b
W 1 e2 sin2 B,V 1 e2 cos2 B
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
RA相应的圆弧长。
SD
1 ( H2 H1 )2 D
(1 H1 )(1 H2 )
D3 24RA2
27
RA
RA
简化后：
S D 1 h2 D H m D3
2D
RA 24RA2
由于控制点 之高差引起 的倾斜改正 的主项，经 过此项改正， 测线已变成 平距。
由于平均测 线高出参考 椭球面而引 起的投影改 正，经过此 项改正后， 测线已变为 弦线。
8
3）大地极坐标系
M为椭圆体面上任意 一点，MN为过M点的子 午线，S为连结MP的大 地线长，A为大地线在M 点的大地方位角。以M 为极点、MN为极轴、S 为极径、A为极角，就构 成了大地极坐标系。P点 位置用S、A表示。
地球椭球的基本几何参数及相互关系
地球椭球的基本几何参数及相互关系§7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系7.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
有关元素O 为椭球中心；NS 为旋转轴；a 为长半轴；b 为短半轴；子午圈（或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。
旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即：椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴： b椭圆的扁率： α=-a b a (7-1)椭圆的第一偏心率： ab a e 22-= (7-2) 椭圆的第二偏心率： b b a e 22 -=' (7-3)其中：a 、b 称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。
e 和e /是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b ），人们习惯于用a 和α表示椭球的形状和大小，便于级数展开。
引入下列符号：ba c 2= tgB t =B e 222cos '=η (7-4)式中B 为大地纬度，c 为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数， B e V Be W 2222cos 1sin 1'+=-= (7-5)传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值各异的椭球参数。
椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
广义弧度测量方程式
sinL
新 新
N新
s(iNnBcHo)Ls (MH) coBscoLs
coLs
(NH) sinBsinL
(MH) coBssinL
0
coBs
(MH)
sinB
X0 Y0 Z0
旧
sinBcosL
sinBsinL cosBx
sinL
cosL
0y
N e2sin2BcosBsinLN e2sinBcosBcosL 0旧 z
x y
x L
（三）空间直角坐标系与大地坐标系的关系
在椭球面上的点：
X xcos L N cos Bcos L
Y xsin L N cos Bsin L
Z y N(1e2)sin B
不在椭球面上的点：
X (N H)cos Bcos L
Y
(N
H)cos
Bsin
L
Z [N(1e2) H]sin B
多点定位的方法过程（对于我国）
利用拉普拉斯点的成果和以有椭球参数求解
1)由广义弧度测量方程采用最小二乘法求椭球参数
采用IUGG 75椭球参数。
(X0 , Y0, Z0)
2)由广义弧度测量方程计算得到大地原点上的: K, K, K
大地原点处80椭球的垂线偏差ξK=-1.9″及ηK=-1.6″，高程 异常值差ζK=-14.2m。 忽略两种椭球坐标轴指向不平行的影
B
N
旧
其未知数是三个平移参数：△X0， △Y0，△Z0，三个旋转参数：εx，εy，
εz，一个尺度比参数m，及椭球大小和
形状参数△a，△α。通常，在实用上
舍去旋转和尺度比参数。
在每个天文大地点上都可以列出如上的弧度方程
地球椭球及投影理论
82
8
sin 6 B 5 15 cos2B 3 cos4B 1 cos6B
16 32
16
32
sin
8
B
35 128
7 16
c
os2B
7 32
cos4B
1 16
cos6B
1 128
cos8B
M a0 a2 cos 2B a4 cos 4B a6 cos6B a8 cos8B
n8
7 8
e 2 n6
23
椭球面上几种曲率半径
M
c
(1
e'2
cos2
B)
3 2
N
c
(1
e'2
cos2
1
B) 2
M m0 'm'2 cos2 B m4 'cos4 B m6 'cos6 B m8'cos8 B N n0 'n2 'cos2 B n4 'cos4 B n6 'cos6 B n8 'cos8 B
H z N (1 e2 ) sin B
13
常用坐标系及其关系
• B、u、 φ之间的关系
• B和u之间的关系
x a cos u, y b sin u
x a cos B , y a (1 e2 ) sin B b sin B
W
W
V
sin u 1 e2 sin B W
cosu 1 cosB W
30
4.4 椭球面上的弧长计算 子午线弧长计算公式
dx MdB
B
X 0 MdB
M m0 m2 sin2 B m4 sin4 B m6 sin6 B m8 sin8 B
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§7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系
7.1.1地球椭球的基本几何参数
地球椭球
参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
有关元素
O 为椭球中心；
NS 为旋转轴；
a 为长半轴；
b 为短半轴；
子午圈（或径圈或子午椭圆）；
平行圈（或纬圈）；
赤道。
旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元素）来决定的，即：
椭圆的长半轴： a
椭圆的短半轴： b
椭圆的扁率： α=-a b a (7-1)
椭圆的第一偏心率： a
b a e 22-= (7-2) 椭圆的第二偏心率： b b a e 22 -=' (7-3)
其中：a 、b 称为长度元素；
扁率α反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体；α=1时，则为平面。
e 和e /是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大小，但其中至少应已知一个长度元素（如a 或b ），人们习惯于用a 和α表示椭球的形状和大小，便于级数展开。
引入下列符号：
b
a c 2
= tgB t =
B e 222cos '=η (7-4)
式中B 为大地纬度，c 为极曲率半径（极点处的子午线曲率半径）， 两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数，
B e V B e W 2222cos 1sin 1'+=-= (7-5)
传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来，200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求出了数目繁多，数值
各异的椭球参数。
由于卫星大地测量的发展，使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都采用了卫星大地测量资料。
长半经变化于6378135m ～6378145m 之间，扁率分母变化于298.25～298.26之间，可见精度已很高。
比较著名的有30个椭球参数，其中涉及我国的有： 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS 应用的是WGS-84系椭球参数。
7.1.2地球椭球参数间的相互关系
由(7-2)和(7-3)式得：
2222
a b a e -= 2
2
22b b a e -=' 2221a b e =- 22
21b a e ='+ 并得：
1)1)(1(22='+-e e (7-6)
推得： 2221e
e e '+'= 22
21e
e e -=' (7-7) 同理可得：
221 1e a b e b a -=+= 2211e c a e a c -='+= 221 1 e e e e e e -'='+=' 2211e V W e W V -='+= (7-8) e 2222=-≈ααα
还有(7-9)式。