大学物理 第5章 刚体力学基础 动量矩

（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
F ji
O
M
d
ji
i ri
F ij
M ij M
ji
二、定轴转动定律
根据牛顿第二定律，第 i 个质元
圆周轨迹切线投影
Fi fi mi ai
外 力
内 力
Fiτ f iτ mi aiτ Fiτ ri f iτ ri mi aiτri mi ri β
1 2
J
2
转动惯量 J mi ri
2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半.
二、 力矩的功
dA F dr
F cos
Fτ | dr |
F

dr

o
r d dr Fτ
A
Fτ r d Md
对一有限过程
A
k
d k dt
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
(2) 任一质点运动 , , 但 v 不同； ,a
均相同，
(3) 运动描述仅需一个角坐标．
匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度 =常量 时，刚体做匀变速转动．
(1)刚体的转动惯量 与刚体的总质量有关， 与刚体的质量分布有关，与轴的位置有关。 (2)质量元的选取： 线分布 面分布 体分布
dm dx ( 或 dl )
dm ds dm dv
面分布 线分布
体分布
(3)由于刚体是一个特殊质点系，即各质点之间无相对位移， 对于给定的刚体其质量分布不随时间变化，故对于定轴转动， 刚体的转动惯量是一个常数。
1. 平动
rA rB
rA
A
v A vB
lim rA lim rB t 0 t 0 t t
B
rB
a A aB
刚体平动
质点运动
结论：刚体内所有质点的速度相同，加速度相同。 2. 转动 ：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 . 转动又 分定轴转动和非定轴转动 .
M J
M Jβ
d dt
（2）
M J J
（3）M 0， ω=常量
(4) 与牛顿定律 F ma 比较
(5) 转动惯量
三、 转动惯量的计算
质量连续分布物体
J
J Δmi ri
2
— 转动惯性
J mi ri
2
r dm
2
转动惯量的单位：kg· 2 m
说明：
一 力矩 用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd
F 对转轴 z 的力矩 M rF
z
M
F
d : 力臂
O
r
*
d
P
F
F

i
Fi 0 ,

i
Mi 0
F
F
Fi 0 ,

i

i
Mi 0
讨论
（1）若力 F 不在转动平面内，把力分
讨论
(1) 质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功；
(2) 刚体的内力做功之和为零；
(3) 刚体动能的增量，等于外力的功。
四、 刚体的机械能
刚体重力势能 质心的势能
C
m
i
Ep mi ghi mghc
h
c
h
i
E
p
0
定轴转动刚体的机械能
E
1 2
J mghc
2
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
2
1
Md
( 积分形式 ）
三、定轴转动动能定理
dA Md
M J d dt dA ( J d dt )d Jd dA d ( 1 2 J )
2
对于一有限过程
2 2
A
1
dA
1
d(
1 2
J )
2

A
1 2
J 2
2
1 2
J1
2
外力做功等于定轴转动刚体的动能增量
1 2
x gdm
M dM mgl cos
M J J 1 3 ml
2
重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩 转动定律


d dt 3 g cos 2l d d

d
0 0
3 g cos 2l
d
3g sin / l
Mz
dLz dt
Lz J z
Mz d dt ( J z )
刚体动量矩变化的快慢取决于外力矩 Mz 说明 若Jz =恒量，有转动定律
Mz Jz d dt
四、 刚体定轴转动的动量矩守恒定律
当 M z 0 时， 刚体动量矩 Lz J 守恒 说明 当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒

Fr J
39.2
(2)
mg T ma
Tr J
r
21.8
O
T
a r
F
mg
例 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时 它在水平位置 m l O 求 它由此下摆 角时的 解 dm 质元 dm 重力矩
dm m dx l dM gdm x cos
2
z
y
2
z
O
y z 1
y
独立坐标数目 3 –1 = 2
x
独立坐标数目 = 坐标数 - 关系式数
小球自由度数
i=2
i=1
i=2
i=3
二、刚体（形状和体积不变化） 刚体(rigid body)：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体. （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
三、 刚体的基本运动 (平动 转动）
例 滑轮 r 、 M，在绳的一端挂一重物 m ，开始时静止，不计 摩擦力。 求 重物下落高度 h 时重物的速度v 。 解 m 的重力势能转化为滑轮和m 的动能
mgh J 1 2 1 2 mr
2
mv
2
1 2
J
2
O
v r
v 2 mgh M 2m
mg
h
例 均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时 它在水平位置 m l O 求 它由此下摆 角时的 。
L
z
mv

r
二、刚体定轴转动的动量 矩
第 i 个质元对z 轴的动量矩
Liz mi vi ri

o
z
v i ri
ri
mi
刚体对z 轴的动量矩
Lz Liz mi vi ri ( mi ri ) J z
2
Lz J z
说明
动量矩与质点动量 P mv 对比， Jz — m， — v
质点匀变速直线运动
v v 0 at
刚体绕定轴作匀变速转动 0 t
2
x x0 v 0t
v
2 2 0
1 2
at
0 0t
2 2
1 2
t
2
v 2a( x x0 )
0 2 ( 0 )
5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程

解一 机械能守恒( 以初始位置为0势能点)
00
h l 2
h
c
3 g sin l
=
1 2
J mgh
2
sin
J
1 3
ml
2

2
解二 定轴转动动能定理
m 动能的增量等于重力矩做的功
1 2 J 0
2

重力矩

Md 1 2
0

2
3 g sin l
M
mgl cos
5.4
动量矩和动量矩守恒定律
一 质点的动量矩 质点在垂直于 z 轴平面 上以角速度 作半径为 r 的圆运动. 质点动量矩（相对圆心）
z
o
r
A
L r p r mv
2
90

mv
大小 L rm v sin
L rm v mr （圆运动） L 的方向符合右手法则.
P91 常用刚体的转动惯量
四、 转动定律的应用举例
m 例 滑轮半径 r =20 cm ，转动惯量 J = 0.5 kg · 2。在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力 求 (1) 滑轮的角加速度；
(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮的角加速度
解 (1)
M J
M Fr
三、 质点的的动量矩定理
dL dt d dt (r m v) r d (m v) dt dr dt mv

dr dt
v
dr dt
mv 0

dL dt
r F v mv dL dt M d t L L0
M
作用在质点上的力矩等 于质点动量矩对时间的 变化率。此即质点对固 定点的动量矩定理。

t t0

t t0
M dt
叫冲量矩
四、 刚体定轴转动的动量矩定理
质点系角动量定理
MO
dLO dt
M O — 外力矩， LO — 质点系角动量
向 z 轴投影 刚体定轴转动的动量矩 定轴转动刚体的动量矩定理
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
其中 F z 对转轴的
F F z F
z
力矩为零，故 F 对转 轴的力矩
M z k r F
k
O
F
r
Fz

F
M
z
rF sin
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和
M M1 M 2 M3
第5章 刚体力学基础 动量矩
5.1 刚体和刚体的基本运动 5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程 5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
5.4 动量矩和动量矩守恒定律
猫下落过程中 的翻身问题
5.1 刚体和自由度的概念 及其基本运动
一、 自由度
确定物体位置所需的独立坐标的数目 例 小球坐标 坐标关系 x
例 如图所示，求质量为m，长为l的均匀细棒的转 动惯量：(1)转轴通过棒的中心并与棒垂直；(2)转 轴通过棒一端并与棒垂直.
解 (1)转轴通过棒的中心并与棒垂直
dJ x dm x dx l 整个棒对中心轴的转动惯量为
2 2
l

m
dm dx
J

dj

2 l 2
x dx
A点速度、加速度
v r
an r
2
aτ
dv dt
r
五、 角速度与角加速度矢量
1. 角速度矢量
方向：沿轴向，右手螺旋
2. 角加速度的矢量
β dω dt

β
v
A

说明
速度与角速度的矢量关系式 v
dr dt
ω r
r
o
3. 定轴转动的角速度与角加速度的矢量
2
2 i i
同乘以 ri
对所有质元求和
ai=ri
Fiτ r fiτ r ( mi ri ) β
外力矩 M 内力矩为0 转动惯量 J
刚体的转动定律
M Jβ
ri fi
-fi
h mi
来自百度文库
刚体定轴转动的角加速度与它 所受的合外力矩成正比，与刚体的 转动惯量成反比.
转动定律 讨论
（1）

刚体的平面运动 .
平面运动： 刚体上各点的运动都平行于某一 固定平面的运动。
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
四、 描述 刚体绕定轴转动的角量
刚体各点绕同一直线作圆周运动 角位移 角速度 角加速度



d dt
d
2
A

r
d dt

dt
2
刚体各点有相同的角速度、角加速度

L
dm mR
2
o
0
例 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量的计算 解 dm ds
m πR
2
2 πrdr
2
2mr R
2
dr
dr r
m
dm 转动惯量 dJ r dm
J dJ
0 m R
o
1 2 mR
2
2m R
2
r dr
3
0
R
转动惯量取决于转轴、刚体形状及质量，它反映了质量相对 转轴在空间的分布。
2
1 12
ml
2
(2)转轴通过棒一端并与棒垂直时，整个棒对该轴的 转动惯量为
J

l 0
x dx
2
1 3
ml
2
由此看出，同一均匀细棒，转轴位置不同，转动惯 量不同.
例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量得计算 解 dm 转动惯量
L 2 0
dl R
m
dJ R dm
2
2
J R dm R
J t ω 常量 J t J t
ω ω
例 一均质棒，长度为 L，质量为M，现 有一子弹在距轴为 y 处水平射入细 棒。
求 子弹细棒共同的角速度 。 解 子弹、细棒系统的动量矩守恒
2
5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一、 定轴转动刚体动能
第 i 个质元的动能 Eki 刚体转动动能
Ek ( mi vi ) ( mi ri ) 2 2 2
2

1 2 mi vi
2
o
v i ri
ri
mi
1
1
2
2
1
m r
2 i i
2

Ek