高中数学1.2《正、余弦定理的应用》课件新人教A版必修
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余弦定理、正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析 由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点 正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等
【课件】人教版高中数学新教材必修第二册正弦定理和余弦定理的应用
(2)若a=2，△ABC的面积为 3 ，求△ABC的周长。
探究1：
(2)若b＝ 3 ，求a＋c的取值范围.
探究2：
(2)若b＝ 3 ，求△ABC的面积的取值范围.
作业
1．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c cosB +b cosC＝2acos B. (1)求角 B 的大小；(2)若 b＝ 3，a+c ＝2，求△ABC 的 面积．
对于（2）小题进行变式:
变式1：b 3，求a c的最大值。
变式2：b 3，求ac的最大值。
数学知识的应用
1.
某游乐园拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中 三角形区域为主题活动园区， ACB 60 ；AD，CD 为游客通道（不考虑宽度），通道AD，CD围成三角形区域 ADC为游客休闲中心，供游客休憩.
正弦定理和余弦定理的应用
例1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足 cos A 2 5 , AB AC 3,b c 6 ， 则边a=( ) 25
A 2 2B 2 3C2 5D4
变式1：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足
cos A 3 , a 2 5, ABC的面积为 2，求4m，求AB的长度. （Ⅱ）如图， ADC 1200 ， AC= 20 3 m，记
游客通道长度和为 L ，求 L 的最大值．
变式2：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足
A 2 , a 7,b c 3，求ABC的面积。
3
题型三 以三角形为载体的交汇问题
例2 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，
c，向量m＝(sin B,1－cos B)与向量n＝(2,0)的夹角θ的余弦 值为12 . (1)求角B的大小；
探究1：
(2)若b＝ 3 ，求a＋c的取值范围.
探究2：
(2)若b＝ 3 ，求△ABC的面积的取值范围.
作业
1．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c cosB +b cosC＝2acos B. (1)求角 B 的大小；(2)若 b＝ 3，a+c ＝2，求△ABC 的 面积．
对于（2）小题进行变式:
变式1：b 3，求a c的最大值。
变式2：b 3，求ac的最大值。
数学知识的应用
1.
某游乐园拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中 三角形区域为主题活动园区， ACB 60 ；AD，CD 为游客通道（不考虑宽度），通道AD，CD围成三角形区域 ADC为游客休闲中心，供游客休憩.
正弦定理和余弦定理的应用
例1、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足 cos A 2 5 , AB AC 3,b c 6 ， 则边a=( ) 25
A 2 2B 2 3C2 5D4
变式1：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足
cos A 3 , a 2 5, ABC的面积为 2，求4m，求AB的长度. （Ⅱ）如图， ADC 1200 ， AC= 20 3 m，记
游客通道长度和为 L ，求 L 的最大值．
变式2：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，且满足
A 2 , a 7,b c 3，求ABC的面积。
3
题型三 以三角形为载体的交汇问题
例2 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，
c，向量m＝(sin B,1－cos B)与向量n＝(2,0)的夹角θ的余弦 值为12 . (1)求角B的大小；
高中数学新人教A版必修5课件：第一章解三角形1.2应用举例第二课时正、余弦定理在三角形中的应用
3 ,则∠BDC= π 或 2π .
62
33
3
又由 DA=DC,则 A= π 或 π . 63
(2)若△BCD的面积为 1 ,求边AB的长.
6
解:(2)由于 B= π ,BC=1,△BCD 的面积为 1 ,
4
6
则 1 BC·BD·sin π = 1 ,解得 BD= 2 .
2
46
3
由余弦定理得 CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos π =1+ 2 -2× 2 × 2 = 5 ,故 CD= 5 .
2
2
2
关系,又由正弦值还可求出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边
的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理之间可以相互变换,关键是
根据题中的条件选择正确的变换方向.
即时训练 1-1:在△ABC 中,已知 AB=2,AC=2 2 ,cos B= 1 . 3
(1)求sin C的值;
3
3
3
所以 sin(B+C)= 2 10 + 2 , 99
所以 sin A= 2 10 + 2 , 99
因为 AB=2,AC=2 2 ,
因为 S= 1 AB·AC·sin A,所以 S= 8 5 4 2 .
2
9
题型二 平面图形中线段长度的计算
【例2】 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC= 7 . (1)求cos∠CAD的值;
49
3 29
3
又 AB=AD+BD=CD+BD= 5 + 2 = 2 5 ,
33
3
故边 AB 的长为 2 5 . 3
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应用课件
确分析战场形势，在两个相距为 23a的军事基地 C 处和 D 处测得 蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处，且∠ADB＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精 锐部队的距离．
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
13
【解析】 方法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实 际问题的题意，根据题意作出示意图．
(3)方位角 α 的范围是 0°<α<360°，方向角 β 的范围是 0°<β<90°.
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
5
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( × ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( × ) (3)方位角和方向角是一样的．( × )
∴siBn3C0°＝siCn4D5°，∴BC＝ 46a， 在△ABC 中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2 －2× 23a·46a·22＝38a2， ∴AB＝ 46a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为 46a.
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，
∴AD＝CD＝AC＝
3 2 a.
在△BCD 中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
∵sin∠DBBCD＝sin∠CDDBC，
6＋ 2
∴BD＝CD·ssiinn∠∠BDCBDC＝ 23a·
4 2
＝3＋4
3 a.
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13
【解析】 方法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，
(2)准确了解测量中的有关概念、名词、术语，方能理解实 际问题的题意，根据题意作出示意图．
(3)方位角 α 的范围是 0°<α<360°，方向角 β 的范围是 0°<β<90°.
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5
|自我尝试|
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( × ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( × ) (3)方位角和方向角是一样的．( × )
∴siBn3C0°＝siCn4D5°，∴BC＝ 46a， 在△ABC 中，∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝34a2＋38a2 －2× 23a·46a·22＝38a2， ∴AB＝ 46a，∴蓝方这两支精锐部队的距离为 46a.
人教A版高中数学必修5全套1.2.1正余弦定理在实际中的应 用
又∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，
∴AD＝CD＝AC＝
3 2 a.
在△BCD 中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，
∵sin∠DBBCD＝sin∠CDDBC，
6＋ 2
∴BD＝CD·ssiinn∠∠BDCBDC＝ 23a·
4 2
＝3＋4
3 a.
数学必修Ⅴ人教新课标A版1-2-2正-余弦定理在三角形中的应用课件(33张)
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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解三角形面积问题的注意事项： 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两 边及夹角的正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．
数学 必修5
第一章 解三角形
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合作探究 课堂互动
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(1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
[思路点拨] 解答本题先利用余弦定理列出关于b，c的方 程，再求解．
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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[边听边记] (1)∵cos Bcos C－sin Bsin C＝12，
即 cos(B＋C)＝12.
C的大小为( )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
解析： 由 S△ABC＝3 3＝12BC·CA·sin C＝12×3×4sin C 得
sin C＝ 23，又 C 为锐角．故 C＝60°. 答案： B
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第一章 解三角形
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第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用
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第一章 解三角形
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第一章 解三角形
自主学习 新知突破
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解三角形面积问题的注意事项： 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两 边及夹角的正弦的问题，要注意方程思想在解题中的应用．
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第一章 解三角形
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(1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
[思路点拨] 解答本题先利用余弦定理列出关于b，c的方 程，再求解．
数学 必修5
第一章 解三角形
自主学习 新知突破
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[边听边记] (1)∵cos Bcos C－sin Bsin C＝12，
即 cos(B＋C)＝12.
C的大小为( )
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
解析： 由 S△ABC＝3 3＝12BC·CA·sin C＝12×3×4sin C 得
sin C＝ 23，又 C 为锐角．故 C＝60°. 答案： B
数学 必修5
第一章 解三角形
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【课件】正余弦定理的应用举例课件 2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
已知两角的用正弦定理求解.
请你设计一个方案，测量比萨斜塔的高度.
数学 准确作图 实际
模型
问题
实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等
实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以
及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
➢ 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设
计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.
a
C
周练3第8题：D为三等分点
2
2
2
BA BC 2BA BC 4BD ,
即c 2 a 2 2ac cos120 4,
2
2
c a ac 4,
2
3( a c )
2
(a c) 4 3ac 4
4
( a c ) 2 16 , a c 4.
定理解决.
注意点
(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.
(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；
当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.
【应用2】测量高度问题
类型一：可到达高度BC
问题4 如图，设计一种测量方法，测量旗杆的高度.
C
解：如图，在△ABC中，测得
5 2
9
a c
a c
a c
(当且仅当c 2a 3时等号成立)
解三角形中的角平分线问题
[变式]△ABC中, ABC 120, AC边上的中线为BD 1,
则a c的最大值为_________. 切入点：构造关于a,c的定值式
考查：基本不等式
B
c
A
bD
请你设计一个方案，测量比萨斜塔的高度.
数学 准确作图 实际
模型
问题
实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等
实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以
及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
➢ 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设
计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.
a
C
周练3第8题：D为三等分点
2
2
2
BA BC 2BA BC 4BD ,
即c 2 a 2 2ac cos120 4,
2
2
c a ac 4,
2
3( a c )
2
(a c) 4 3ac 4
4
( a c ) 2 16 , a c 4.
定理解决.
注意点
(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.
(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；
当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.
【应用2】测量高度问题
类型一：可到达高度BC
问题4 如图，设计一种测量方法，测量旗杆的高度.
C
解：如图，在△ABC中，测得
5 2
9
a c
a c
a c
(当且仅当c 2a 3时等号成立)
解三角形中的角平分线问题
[变式]△ABC中, ABC 120, AC边上的中线为BD 1,
则a c的最大值为_________. 切入点：构造关于a,c的定值式
考查：基本不等式
B
c
A
bD
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教A版必修5)
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例.
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b C
A
c a
B
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题.
A
即：如图，在△ABC中， 设BC=a, AC=b, AB=c. 已知a, b和∠C，求边c？ b
C B
讲解范例： 例1. 在△ABC中，已知 a 2 3 ,
c 6 2 , B 60 , 求b及A.
o
思考5：
在解三角形的过程中，求某一个角 时既可用正弦定理也可用余弦定理，两 种方法有什么利弊呢？
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝134.6cm， b＝87.8cm，c＝161.7cm，解三角形 (角度精确到1').
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三对角.
A C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
人教A版高中数学必修5《1.1.2余弦定理》课件 (共22张PPT)优秀课件资料
c
b 2 c2 2 b cco sA
A
D
B 同理有：b 2 a 2 c 2 2 a c c o sB
c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个
等式成立的，课后请同学们自己证明。
余弦定理
a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A
Ac B
△ABC是钝角三角形 b2c2a20
△ABC是锐角三角形 b2c2a20 △ABC是直角三角形 b 2c2a 20
练习：一钝角三角形的边长为连续自然数， 则这三边长为（B ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项
中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 A、C显然不满足
余弦定理
[复习回顾]
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对
角的正弦的比相等。 sin aAsin bBsincC
用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ ①两角和一边，②两边和其中一边的对角。
思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及 这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形， 为什么？
不能，在正弦定理 sin aAsin bBsin cC中，已
即 a 2 b 2 c 2 2 b c c o s A 同理，从 A C B C B A 出发， 证得b 2 a 2 c 2 2 a c c o s B
从 A B C B C A出发，证得 c 2 a 2 b 2 2 a b c o s C
[解析法]
y
证明：以CB所在的直
(bcosC,bsinC)
线为x轴，过C点垂直
于CB的直线为y轴，
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
∴ − = 0，
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
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3 2
练习：
1. (05天津)已知ΔABC中， b2 c2 - bc a2 ,
c1 3,求 A和 tan 的 B.值 b2
A
3
tanB
1 2
例题分析：
例3.在△ABC中， (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B) 判断△ABC的形状．
分析：b2sinAcoa2scBosAsin
思路三：
sb iB nbco B ssa iA naco As
bco B saco As
练习：
2.在ΔABC中，若
b2si2nC c2si2nB 2bccosBcCo，s 试判断三角形的形状.
思考题：
(06江西)在△ABC中设
命题p:
a sinB
b sinC
c sinA
命题q: △ABC是等边三角形，那么
解(1（)求21）A 在的大a△,小bA,Bc成 C中(b2s)等 i，cn比 B由的数 值正弦列定理b得2 ac
又 sai2 nBc2absac inb Ac b2c2a2bc
在 △bA2BC中a，c由,A余弦定3理得
sin coAsbsinBb22cb2cab22sin2b3bcc12
3
Ac3
正余弦定理的应用
三角形中的边角关系
1、角的关系 A B C 180
2、边的关系 a b c , a b c
3、边角关系 大角对大边 大边对大角
a b c 2R sin A sin B sin C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
例题分析：
例1 在AB中C，已知 a4 ,b42,B 4，5求A .
解：由 a b sinA sinB
得 sinAasinB1 b2
∵ 在 ABC中 ab
C
∴ A 为锐角 A 30
变题：
42
4
待求角 45 0
A
B
1.在ΔAB知 C中 a4,b ， 4已 2,A30求B
2.在ΔAB知 C中 a4,b， 4已 2,A15求 0 B
例题分析：
• (04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对 边长，已知a,b,c成等比a数2列c2，a且cbc
(1)求A的大小
b sin B 的值
(2) c
• (04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长， 已知a,b,c成等比a2数列c2，a且cbc
解(1（)求1）A 的大a,小b,c成(b2s)等 icn比 B 的数 值 列b2 ac
又 a2c2acbc b2c2a2bc
在△ABC中，由余弦定理得
coAs b22cb2ca2 2bbcc12 A3
• (04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，
已知a,b,c成等比a2数列c2，a且cbc
(a+b+c)(a+bc)= 4 ab，求tanC． 3
且 m n c 2 c2 c o ,2 c 2 o , s s s i A s A i n B n B
（1）求角C.
（2）若 a2 b212c2，试求 sinAB的值.
思考题：
2、在ΔABC中、 ，BA、C成等差数列 sinC 153，求cosA的值.
3.在△ABC中，三边a、b、c满足
命题p是命题q的( C )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既充分也不必要条件
结论
12
正“边弦角定互理化和” 余是弦解定决理三的角 应问用题常用的 一个策略
3
正余定理掌握住 三角地带任漫步 边角转化是关键 正余合璧很精彩
思考题：
1、已知在△ABC中，角A、B、C
的对
边分别为a、b、c . 向量 mn
即为△ABC等腰三角形或直角三角形
分析： b2sinAcoa2scBosAs
ba ab 思路二： 2 a2c2b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 b2c2a2
2ac
2bc
b 2 ( 2 a c 2 b 2 ) a 2 ( 2 b c 2 a 2 )
b 2 c 2 b 4 a 2 c 2 a 4
(2 a b 2)2( b 2 a c2) 0 ab或 2ba 2c2
ac
32
• (04北京)在△ABC中，a,b,c分别是A,B,C的对边长，
已知a,b,c成等比a2数列c2，a且cbc
解(1（)求2）A在法的大△二小A：BC中(b2s)i，cn B由的值正弦法定一理：得
asbba, bscib,bs icnsnB 2成ciBbi cnB等 anas比bbssiAabcin数,in2π A B3Aas列 in cn3233sin3
例3.在△ABC中，
s (a2i +2B b2n)s sini(An -B)A=(as c2-bi o 22A)sn sic n(BAo+Bs) As
判s断i△nABAC的s形i状0．nB
分 析s ： bi2sniBn Acsco i oas2sn cB BoAscAo s sin2sBin2A
AB或 BAπ 2