平面图与图的着色
第四节 平面图的着色
v0
蓝v3 黑v4
例1求下图G和H的色数
b d a
e
g
c
G
f
H
a:红,b:蓝,c:绿,d:红,e:绿，f:蓝,g:红(3色)
例2.由n(n3)个顶点v1,v2,…,vn以及边{v1,v2}, {v2,v3}, …, {vn-1,vn} {vn,v1} 组成的图称为圈 图,记作Cn,试问圈图的Cn的色数是多少。（分n为 奇数，或偶数）
4 1 2 3
1
4
2
3
定义2 图的着色是对该图的每个顶点都指定一种颜 色，使没有两个相邻的顶点指定为相同的颜色。如果 这些顶点选自于一个有k种颜色的集合，而不管k种颜 色是否都用到，这样的着色称为k着色。
定义3 图G的色数是着色这个图G所需要的最少颜色数。 记作(G)。 图G的色素也称为图G的点色素.从定义可知,对于 G的任何子图H,均有x(H)x(G).若G是n阶完全图,
(2)d(v0)=5且和v0邻接着的5个结点着的颜色的是5 种颜色,如下图(a)所示.称G’中所有红黄色顶点为 红黄集,称G’中所有黑白色顶点为黑白集.故又有 两种可能. (i)v1和v3属于红黄集导出子图的两个不同块中,如 下图(b)所示.将v1所在块的红黄色对调,并不影 响G’的正常着色.然后将v0着上红色,即的图G的 正常着色.
（2）G是G+e的子图,显然x(G)x(G+e). 设(G•e)=k1,并把结点u和v重合所得的新结点记 为y,则在G•e的k1着色中,把分配给y的颜色分配给G 中u和v(u,v不相邻),即可得到G的一个k1着色.故 x(G)k1=x(G•e) 所以x(G) min{(G+e), (G•{u,v})}. 综（1）（2）所述,有 (G)=min{(G+{u,v}), (G•{u,v})}. 四色问题:连通简单平面图的色素不超过4. 四色问题是盖思里于1852年提出,后经众多数 学家尝试证明,均以失败告终.1976年,美国数学家 阿佩尔和黑肯宣布借助用计算机证明,但时间超过 了1000小时,其可靠性仍在置疑之中.
图的平面性与图的着色问题
图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。
图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。
而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。
一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。
具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。
而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。
定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。
这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。
根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。
除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。
Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。
二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻指的是有边相连的顶点。
在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。
对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。
如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。
求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。
图论中的平面图与染色问题
图论中的平面图与染色问题图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
在图论中，平面图与染色问题是重要的研究方向。
一、平面图平面图是指可以在平面上画出的图，其中任意两条边都不相交，任意两个顶点之间都只有一条边相连。
平面图可以用来描述许多实际问题，如地图、电路等。
在平面图中，有一个重要的定理，即欧拉定理。
欧拉定理是数学家欧拉在1736年提出并证明的，它给出了平面图中顶点数、边数和面数的关系。
根据欧拉定理，对于连通的平面图，满足公式：V - E + F = 2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
二、染色问题染色问题是图论中的一个经典问题，即给定一个图，如何用有限种颜色对图的各个顶点进行染色，使得相邻的顶点之间的颜色不相同。
这是一种常见的应用问题，如地图着色、课程表安排等。
在染色问题中，有一个重要的定理，即四色定理。
四色定理是染色问题中的一个著名定理，它指出任何平面图都可以用至多四种颜色对其顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不同。
三、平面图与染色问题的关系平面图与染色问题之间有着紧密的联系。
通过合理的染色方案，可以将一个平面图的顶点进行染色，满足相邻顶点颜色不同的要求。
同时，染色问题的解法与平面图的结构和性质也有关系。
在研究平面图与染色问题时，可以通过绘制平面图的平面嵌入图来分析和求解染色问题。
平面嵌入图是平面图在平面上的一种表示形式，可以把平面图的顶点和边绘制在平面上，形成一种更加直观的图形。
在解决染色问题时，可以借助平面嵌入图的结构和特性，通过一定的算法进行染色。
例如，可以利用贪心算法对顶点进行依次染色，确保相邻顶点染不同的颜色。
四、应用举例平面图与染色问题在实际中有广泛的应用。
一个典型的例子是地图着色问题。
在地图上，每个国家或地区可以用一个顶点表示，国家或地区之间的边表示它们的相邻关系。
通过对地图进行染色，可以实现相邻国家或地区的颜色不同，从而更加方便地辨认。
另一个例子是课程表安排问题。
17平面图及图的着色
17.1 平面图的基本概念一、平面图及平面嵌入定义17.1如果图G能以这样的方式画在曲面S上，即除顶点处外无边相交，则称G可嵌入曲面S.若G可嵌入平面，则称G是可平面图或平面图。
画出的无边相交的图称为G的平面嵌入。
无平面嵌入的图称为非平面图。
K1(平凡图)，K2，K3，K4都是平面图，其中，K1，K2，K3本身就已经是平面嵌入，K4的平面嵌入为图17.1中(4)所示。
K5－e (K5删除任意一条边)也是平面图，它的平面嵌入可表示为图17.1中(5).完全二部图K1,n(n≥1), K2,n(n≥2),也都是平面图，其中标准画法画出的K1,n已经是平面嵌入，K2,3的平面嵌入可由图17.1中(6)给出。
图17.1中(1)，(2)，(3)分别为K4, K5－e, K2,3的标准画法。
请观看演示动画：(1)变(4)(2)变(5)(3)变(6)图17.1下文中所谈平面图，有时是指平面嵌入，有时则不是，这要看是研究平面图什么性质而定，请读者根据上下文加以区分。
当然有时也特别指出平面嵌入。
现在就应该指出，在研究平面图理论中居重要地位的两个图，这就是完全图K5和完全二部图K3,3，它们都不是平面图(将由定理17.10的推论得到证明)。
还有两个非常显然的事实，用下面定理给出。
定理17.1若图G是平面图，则G的任何子图都是平面图。
由定理17.1立刻可知，K n(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是平面图。
定理17.2若图G是非平面图，则G的任何母图也都是非平面图。
推论K(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。
n本推论由K5，K3,3不是平面图及定理17.2得证。
还有一个明显的事实也用定理给出。
定理17.3设G是平面图，则在G中加平行边或环后所得图还是平面图。
本定理说明平行边和环不影响图的平面性，因而在研究一个图是否为平面图时可不考虑平行边和环。
二、平面图的面与次数定义17.2设G是平面图(且已是平面嵌入)，由G的边将G所在的平面划分成若干个区域，每个区域都称为G的一个面。
图的着色问题
问题来源
图的着色
通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
化简得
( a + bd )(b + aceg )(c + bdef )( d + aceg )(e + bcdf )( f + ceg )( g + bdf )
求极小覆盖法－ 求极小覆盖法－布尔代数法
Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， Step3：从中挑选所用极大独立集个数最小者， 即为X 即为X（G） 但上述子集的颜色数都不是X ），正确的应 但上述子集的颜色数都不是X（G），正确的应 该是X =3，该子集为： {b,d,f}中的 该是X（G）=3，该子集为：给{b,d,f}中的 b,d,f涂颜色 涂颜色1 {a,e,g}中a,e,g涂颜色 涂颜色2 b,d,f涂颜色1，为{a,e,g}中a,e,g涂颜色2为 {a,c,g}中的 涂颜色3 中的c {a,c,g}中的c涂颜色3。 由此可见， 由此可见，求色数其需要求极大独立集以 及一切若干极大独立集的和含所有顶点的子 对于大图， 集，对于大图，因为图计算量过大而成为实 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 际上难以凑效的算法，所以不是一个好算法， 一般我们采用贪心法等近似算法来求解 。
第四章-平面图与图的着色I
F4= v2 e2 v3 e3 v4 e6 v2 边界为：{e2 , e3 , e6 }
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4.1 平面图
v1
e1e6FF13ve4F42e3e5 F4
v2
e2
v3
(c)
F1= v1 e1 v2 e6 v4 e4 v1 边界为：{e1 , e6 , e4 }
F3= v2 e2 v3 e3 v4 e6 v2 边界为：{e2 , e3 , e6 }
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4.4 图的平面性检验
例4.4.1 判断下图的可平面性。
v1
v2
G 所以图G是可平面图。
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4.4 图的平面性检验
图G的平面嵌入如下：
v1
v2
G
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4.4 对偶图
给定一个平面图G 定义4.5.1 满足下列条件的图 G* 称为 G 的对偶图。
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4.2 极大平面图
设有n个结点和m条边的极大平面图G具有以下性质： 性质1. G是连通的。 性质2. G不存在割边。 性质3. G的每个域的边界数都是3（极大平面图也称为
平面三角剖分）。 性质4. 3d=2m。
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4.2 极大平面图
性质3. G的每个域的边界数都是3。
证明：由G是简单图，没有自环和重边，因此不
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4.1 平面图
定理4.1 设G是有n个结点和m条边的平面连通图， 则G的面的数目d是 d＝m－n＋2 （欧拉公式）
证明：设连通图G的支撑树是T。T包含n－1条边， 不包含回路，因此T只有一个无限域。
图的平面图与染色问题
图的平面图与染色问题在图论中，图的平面图与染色问题是一类常见的研究课题。
图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图，而染色问题则是指给图的顶点赋予不同的颜色，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
本文将探讨图的平面图与染色问题的相关概念、算法和应用。
一、图的平面图图的平面图是指可以在平面上进行绘制而不会产生边的交叉的图。
平面图可以使用点和线的形式进行表示，其中点代表图的顶点，线代表图的边。
一个简单无向图能够成为平面图的条件是它不包含K₅图和K₃，₃图作为子图。
为了更直观地表示一个平面图，可以使用图的嵌入的概念。
图的嵌入是指将图的顶点和边映射到平面上的一种方式，使得边之间不会相互交叉。
在图的嵌入中，每个边都被分配了一个方向，在绘制时需要保证边的方向一致，并且边不相交。
二、染色问题染色问题是在给定的图中为每个顶点赋予一个颜色的问题，使得任意两个相邻的顶点具有不同的颜色。
通常染色问题可以使用图的顶点着色表示，其中每个顶点都被赋予一个颜色。
在染色问题中，可以使用不同的策略来进行顶点的染色。
最简单的策略是贪心算法，即从一个顶点开始，按顺序为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
然而，对于某些特殊的图，贪心算法可能无法找到最少的颜色数。
为了解决染色问题，还涌现出了许多其他的算法和策略。
其中一种常见的算法是Welsh-Powell算法，该算法按顶点的度数进行排序，然后依次为每个顶点找到一个未被使用过的颜色进行染色。
这种算法通常能够找到比贪心算法更少的颜色数。
染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在地图着色中，地图的不同区域可以用不同的颜色表示，而相邻的区域则需要使用不同的颜色进行区分。
另外，在调度问题中，染色算法可以用于安排任务和资源的分配，以避免冲突。
三、应用举例1. 地图着色假设有一幅地图，地图被划分为若干个区域，每个区域都代表一个顶点，而相邻的区域则由边相连。
为了使得相邻的区域具有不同的颜色，可以使用染色算法对地图进行着色。
故K5少一条边的图是可平面图例K5K33不是平面图
例:
v1
v7
v该6 图先将 e1 去e掉1 的一个子v图5,再将 v6 , v7 , v8 的二度
结点去掉两边合一边成 K5 ,故该图不是平面图。
v2
v8
二、 平v3面的着色v问4题
1、 问题的提出： 该问题起源于地图的着色问题。
对点的着色就是对图 G 的每个结点指定一种颜色, 使的相邻结点的颜色不同,对边着色就是,给每条边指定 一种颜色使得相邻的边的颜色不同,给面着色就是给每个 面指定一种颜色使得有公共边的两个面有不同的颜色。
例:
v1
v7
v该6 图先将 e1 去e掉1 的一个子v图5,再将 v6 , v7 , v8 的二度
结点去掉两边合一边成 K5 ,故该图不是平面图。
v2
v8
二、 平v3面的着色v问4题
1、 问题的提出： 该问题起源于地图的着色问题。
对点的着色就是对图 G 的每个结点指定一种颜色, 使的相邻结点的颜色不同,对边着色就是,给每条边指定 一种颜色使得相邻的边的颜色不同,给面着色就是给每个 面指定一种颜色使得有公共边的两个面有不同的颜色。
6
§6.3 平面图与图的着色 一、 平面图： 1、 定义 3:设无向图 G=<V,E>,如果能把 G 的 所有结点和边画在平面上,使任何两边除公共结 点外没有其它交叉点,则称 G 为可嵌入平面图, 或称 G 是可平面图,可平面图在平面上的一个嵌 入称为平面图,如果 G 不是可平面图,则称 G 为 非平面图。 例:
V2
V3
例: K3, 3 不是可平面图
x
y
z
x b
c z
a
b
c
a
y
xayc 构成了一个回路,z 放入内部(z,a),(z,c)有
图论课件第七章图的着色
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
数学中的图的着色问题与四色定理
数学中的图的着色问题与四色定理数学中的图论是一门研究图及其性质的学科，其中一个重要的问题就是图的着色问题。
图的着色问题是指如何用有限种颜色给图的顶点或边进行染色，使得相邻的顶点或边不具有相同的颜色。
这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如地图着色、时间表的安排等。
在图的着色问题中，最著名的就是四色定理。
四色定理是指任何平面图都可以用四种颜色进行着色，使得相邻的区域不具有相同的颜色。
这个定理在1852年被英国数学家弗朗西斯·格思·韦尔斯顿和威廉·哈姆顿·伯奇证明，被认为是图论中的一个里程碑。
证明四色定理的过程非常复杂，需要运用大量的数学知识和技巧。
其中一个重要的思想就是通过对图进行适当的分割，将大问题转化为小问题，然后逐步解决。
这种分割的方法被称为“规约法”，即将一个复杂的问题规约为一系列简单的子问题。
通过这种方法，韦尔斯顿和伯奇最终证明了四色定理的正确性。
四色定理的证明引起了广泛的关注和讨论。
人们对于这个问题的兴趣不仅在于它的应用价值，更在于它背后的数学原理和思维方式。
四色定理的证明过程中，涉及到了众多的数学概念和定理，如图的平面性、图的连通性、图的染色等。
这些概念和定理的研究不仅推动了图论的发展，也对其他领域的数学研究产生了重要影响。
除了四色定理，图的着色问题还有其他一些重要的结果。
比如，五色定理指出任何平面图都可以用五种颜色进行着色，六色定理指出任何平面图都可以用六种颜色进行着色。
这些定理的证明过程和四色定理类似，都需要运用复杂的数学技巧和方法。
图的着色问题不仅在理论上有着重要的意义，也在实际应用中发挥着重要的作用。
比如，在地图着色中，我们可以用不同的颜色表示不同的国家或地区，以便更好地区分它们。
在时间表的安排中，我们可以用不同的颜色表示不同的活动或任务，以便更好地组织和管理。
这些应用都离不开图的着色问题的研究和应用。
总之，图的着色问题是数学中一个重要且有趣的问题。
第四章平面图与图着色4.1平面图
平面图
推论 4.1.1 若平面图G有k个连通支，则 n – m + d = k + 1。
推论 4.1.2 对一般平面图G，恒有 n – m + d >= 2。
平面图
定理 4.1.2 设平面连通图G没有割边，且每个域的边界数 至少是t，则 m ≤ t ×(n - 2) / (t – 2) 证明：设G有d个区域，每个域的边界数至少 是t，且每条边都与两个不同的域相邻。因此 td≤2m。 代入欧拉公式： (2m / t) ≥ m - n + 2， 即， m ≤ t × (n - 2) / (t – 2)。
非平面图
定理 4.3.1 可平面图， 应该有m≤3n-6。而此时3n-6=9，矛盾。
定理 4.3.2 K3,3 是非平面图。 证明：假定 K3,3 是可平面图，由于n= 6，m=9。由 欧拉公式，d=5。但G中没有K3 子图，因此4d≤2m， 亦即20≤18，矛盾。
性质 4.5.1 如果G是平面图，G一定有对偶图G*，而且G*是 唯一的。 由D过程即可得证。
性质 4.5.2 G*是连通图。 在平面G里，每个域f都存在相邻的域，而且对G 的任何部分域来说，都存在与它们之中某个域相 邻的域。这样由对偶图的定义可知G *连通。
对偶图
性质4.5.3 若G是平面连通图，那么(G* )* G.
第四章 平面图与图的着色 4.1 平面图
定义 4.1.1 若能把图G画在一个平面上，使任何两条边都 不相交，就称G可嵌入平面，或称G是可平面 图。可平面图在平面的一个嵌入称为平面图。
如果G是可平面图，那么它的任何导出子图也 是可平面图。
平面图
定义 4.1.2 设G是一个平面图，由它的若干条边所构成的一个 区域内如果不含任何结点及边，就称该区域为G的 一个面或域。包围这个域的诸边称为该域的边界。
图论第6章-平面图
若G不是树，则G中含有回路。设边e在G的 某个回路上。令G′=G-e(从G中删除边e，而得 到G′)，则G′仍然是连通图。设n′，m′和r′分别是 的结点数、边数和面数。则n′=n，m′=m-1=k， r′=r–1 。 于 是 n=n′ ， m=m′+1 ， r=r′+1 。 因 为 G′ 是连通图且m′=k，所以G′满足归纳假设的条件。 由归纳假设知：n′–m′＋r′=2，所以 n–m+r= n′–(m′+1)+(r′+1)= n′-m′+r′=2。
v1
v4
R0 R2 R1 v2
v3 v5
v6
又例：下图为非连通的平面图，有两个连
通分支， deg(R1)=3， deg(R2)=4， R0的 边界由两个初级回路v1 v2 v3v1 和v4 v5 v6 v7 v4围成， deg(R0)=7 。
v1
v4
v7
v2
R1 v3R0 v5
R2
v6
定理：设G=V,E是有限平面图，有r个面，
如下图G1,G2,G3是同胚的。
G1
G2
G3
定理 (库拉斯基定理) 一个图G是非平面的，当 且仅当它包含一个同胚于K3.3或K5的子图。
例 说明彼得森图不是平面图。
解:删去下图(a)皮得森图的结点b,得其子图
(b)H。a 而H胚于Kf 3,3,所以皮c 得森不是平f面图。d
j
f ejg baFra bibliotekd g
6
36
4
54 12
7
8
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
4色的原理
4色原理
四色定理是图论中的一个定理，它指出任何平面图都可以用最多四种颜色来进行着色，使得任意相邻的区域具有不同的颜色。
这个定理的证明相当复杂，但可以简化为以下几个步骤：
1. 首先，我们可以将平面图进行简化，移除所有的重复或相交的边。
这样可以保证我们在着色时不会有任何冲突。
2. 接下来，我们可以选择一个任意的区域，并将其标记为第一种颜色。
然后，我们可以依次考虑其他的区域，并根据它们与已经着色的区域的关系来确定它们的颜色。
3. 当我们考虑一个新的区域时，我们需要检查它与已经着色的区域的关系。
如果这个新区域与已经标记为第一种颜色的区域相邻，那么我们可以将新区域标记为第二种颜色。
类似地，如果新区域与第二种颜色的区域相邻，我们可以将其标记为第三种颜色，以此类推。
4. 如果在着色的过程中，我们找不到一种颜色来标记一个新的区域，那么意味着我们需要引入一种新的颜色。
由于我们最多只能使用四种颜色，所以这个定理得到了证明。
需要注意的是，这个定理只适用于平面图，即在一个平面上可以画出来的图形。
如果图形是在三维空间中或者具有其他特殊的拓扑结构，四色定理可能不再适用。
应用离散数学图论平面图及图的着色题库试卷习题及答案
§5.6 平面图与图地着色 习题5.61． 假定一个连通平面图有8个顶点,每个顶点地度数都为3。
请问,这个图地平面嵌入将平面分成多少个面？解 根据条件有8=p ,122/83=⨯=q ,从而根据欧拉定理有62=+-=p q f 。
2．设G 是具有k 个连通分图地)(q p ，平面图地一个平面嵌入,其面数为f ,证明：1+=+-k f g p解 下面用数学归纳法证明如下：（1）1=k 时即为欧拉公式,所以成立。
（2）假设m k ≤时公式成立。
（3）当1+=m 时,将图G 看成两个图1G 与2G 地并,其中1G 为一个连通分图, 2G 为其余m 个连通分图地并,根据上面地假设,对图1G 与2G 有：11111+=+-f q p ,1222+=+-m f q p ,将上两式相加得： 1)1()1()()(212121++=-+++-+m f f q q p p注意到图1G 与2G 共用一个外部面,我们即得1+=+-k f g p 。
3.假定一个)(q p ，图是连通地平面二部图,且p ≥3,则q ≤42-p 。
证;由于二部图中每个回路地长度都是偶数。
当p ≥3时,即每个面地围数至少是4。
据定理,2q ≥4f=4(2-p+q) 从而q ≤42-p 。
4．图5.42地4个图是平面图吗？如果是,给出一个平面嵌入;如果不是,找出与5K 或K 3,3同胚地子图。
图5.42 习题4地图解 图（1）,（2）,（4）改画如下：从而知图（1）,（2）是可平面图,图（4）是5阶完全图5K ,从而是非可平面图。
图（3）也是一个非可平面图,可用库拉托斯基定理证明如下：5．一个简单图地交叉数是指在平面里画这个图且不允许任何三条边在同一点交叉时,各边交叉地最少次数。
求以下非平面图地交叉数：3,3K , 5K , 6K , 7K , 4,3K , 4,4K , 5,5K解：3,3K 地交叉次数是15K 地交叉次数是56K 地交叉次数是107K 地交叉次数是184,3K 地交叉次数是84,4K 地交叉次数是115,5K 地交叉次数是166．下面地算法可以用来为简单图点着色。
图的着色问题
顶点着色－基本概念
• K可着色：G的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G各顶点的 可着色： 的一个k顶点着色是指k种颜色1,2,…,k对于G 1,2, 对于 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色， 一个分配，如果任意两个相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V 色是正常的。换句话说，无环图G的一个正常k顶点着色是把V分成 可能有空的）独立集的一个分类( 2,… k个（可能有空的）独立集的一个分类(V1,V2,…,Vk)。当G有一个 正常k顶点着色时，就成G 顶点可着色的。 正常k顶点着色时，就成G是k顶点可着色的。 • G的色数X（G）是指G为k可着色的k的最小值，若X（G）=k，则称G 的色数X 是指G 可着色的k的最小值， =k，则称G 色的。 是k色的。 • 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X（G） 事实上，如果我们将同色的顶点列入一个顶点子集，那么求X 就转为求满足下列条件的最少子集数k 就转为求满足下列条件的最少子集数k： 两两子集中的顶点不同； （1）两两子集中的顶点不同； 子集中的两两顶点不相邻。 （2）子集中的两两顶点不相邻。 显然有： 为平凡图， =1； 显然有： （i）若G为平凡图，则X（G）=1； ii） 为偶图， （ii）若G为偶图，则X（G）=2 iii）对任意图G Δ+1（这里Δ （iii）对任意图G，有X（G）≤Δ+1（这里Δ表示为顶点 数最大值） 数最大值）
问题来源
图的着色
• 通常所说的着色问题是指下述两类问题： 通常所说的着色问题是指下述两类问题： • 1．给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每条边着色，要求每条边着一种颜色， 的每条边着色，要求每条边着一种颜色，并 使相邻两条边有着不同的颜色， 使相邻两条边有着不同的颜色，这个问题称 为图的边着色问题。 为图的边着色问题。 • 2．给定无向图G=(V,E)，用m种颜色为图中 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 的每个顶点着色，要求每个顶点着一种颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色， 并使相邻两顶点之间有着不同的颜色，这个 问题称为图的顶着色问题。 问题称为图的顶着色问题。
图论第6章 平面图
例： 立方体是平面图。
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由于 每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的顶点 和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少为3.由于 G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的每一条边落 在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来表 示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目.故欧 拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
n3 n3
多面体的一些性质定理
定理 每个凸多面体都至少有一个n度面,其中 3n5.
证明:设F3=F4=F5=0,则: 即有F1/3E,又
n 6
2E nFn 6Fn 6 Fn 6F
n 6 n 6
2E nVn 3Fn 3V
n 3 n 3
定理：设H是G容许的，则对H的每一个片B，有
) FG ( B, H
~
~
这里
) { f f F (H ) , F (H )为H 的面集, 且B在f 内可画出} FG ( B, H
~ 是G容许的,则存在G的一个平面表示 证明:若 H ~ ~ ~ ~ 的子图 G, s.t. H G .显然,H的片B所对应的
i 1
定理： 设G是简单平面图，则G的最小度(G)≤5。 证明：设 G有n个结点，m条边。当n≤6，因为G是 简单图，因此， (G)≤(G)≤5。以下证n≥7的情况， 若 (G)≥6 ，即每个结点的度数大于等于 6n， G 中所有结 点度数之和大于等于6n。于是 2m= deg(vi ) i 1 ≥6n，m≥3n＞3n–6，即m＞3n–6，矛盾。
第9章平面图和图的着色
集合与图论 平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
f1
u
f4
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这 些区域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那 个连通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为 G的内部面。
3/55
集合与图论
f3
f2 v
f1
u
f4
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连
v
u
最大(极大)平面图的主要性质： 定理 最大(极大)平面图是连通的.
定理 n(n3)阶最大(极大)平面图中不可能有割点 和桥.
11/55
集合与图论
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平 面图，则G的每个面都是三角形，q=3p-6，p≥3。
v2 v1
v3
...
v4 证 若G的一个面不是三角形, 1、假如有两点不相邻，则在此面中把不相邻的两 顶点连接起来，不影响平面性。
定义9.3.1 设x=uv是图G=(V,E)的一条边，w不是G 的顶点，则当用边uw和wv代替边x时，就称x被细分。
如果G的某些边被细分，产生的图称为G的细分图。
u
x
v
图G
u
w
v
G的细分图
25/55
集合与图论
图与图之间同胚
定义9.3.2 两个图称为同胚的，如果它们都可以 从同一个图通过一系列的边细分得到。
27/55
集合与图论
库拉托斯基定理
定理9.3.1（库拉托斯基,1930）一个图是可平面 的充分必要条件是它没有同胚于K5和K3,3的子图。
例9.3.1 证明左下图不是可平面图。
因为它含有与K5同胚的子图。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题图是图论中的基本概念之一，是由顶点和边构成的数学结构。
在图的理论中，图的着色与染色问题是一个非常重要且有趣的研究领域。
本文将介绍图的着色与染色问题的基本概念、定理和算法，希望能够为读者深入了解图论领域提供一些帮助。
一、基本概念在图的理论中，图的着色与染色问题是指将图的顶点或边用不同颜色标记的过程。
着色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色不相同；而染色是指给图的顶点或边分配颜色，使得相邻的顶点或边颜色可以相同。
定理1：图的顶点着色问题对于一个简单图，顶点着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有顶点着色，使得相邻的顶点颜色不同。
根据四色定理，任何一个平面图都可以只用四种颜色进行顶点着色。
定理2：图的边着色问题对于一个简单图，边着色问题是指如何用最少的颜色将图的所有边着色，使得任意两条依附于同一顶点的边颜色不同。
根据维茨定理，任何简单无向图都可以用最大度数加一种颜色进行边着色。
二、算法与实践在解决图的着色与染色问题时，常用的算法包括贪心算法、回溯算法、图染色算法等。
其中，Welsh-Powell算法是用来解决无向图的顶点着色问题的一种有效算法，其基本思想是优先考虑度数最大的顶点进行着色。
而在解决边着色问题时，常用的算法包括Vizing定理、边染色算法等。
三、应用与拓展图的着色与染色问题在实际生活中有着广泛的应用，如地图着色、时间表着色、调度问题等。
同时，在拓展领域中，图的着色与染色问题也与其他数学领域有着密切的联系，如组合数学、离散数学等，在各个领域都有着深入的研究与应用。
总结：图的着色与染色问题是图论领域中的一个重要研究方向，具有丰富的理论内涵和实际应用。
通过本文对图的着色与染色问题的介绍，希望读者能够对该领域有一个初步的了解，进一步深入研究与探讨。
愿本文能够为读者在图论领域的学习与研究提供一些帮助与启发。
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第九章平面图与图的着色
⏹9.1 平面图与欧拉公式
⏹9.1 平面图与欧拉公式（补充）⏹9.2 顶点着色
⏹9.3 平面图的着色
⏹9.4 边的着色
⏹9.5 图着色的应用
平面图
⏹在现实生活中，常常要画一些图形，希望边与边之间尽量减少相交的情况，例如印刷线路板上的布线，交通道的设计等。
⏹同构
9.1 平面图与欧拉公式
⏹一、平面图
⏹定义9.1（平面图）
若一个图能画在平面上使它的边互不相交（除在顶点处），则称该图为平面图，或称该图能嵌入平面的。
⏹图9.1(a),(b)
⏹图9.1(a)平面图G, (b) 所示的Ğ是G的平面嵌入。
图9.2：并不是所有的图都是平面图。
（K5和K3,3）
9.1 平面图与欧拉公式
⏹二、欧拉公式
⏹1 定义9.2（面/外部面/内部面）
平面图G嵌入平面后将Ğ分成若干个连通闭区域，每一个连通闭区域称为G 的一个面。
恰有一个无界的面，称为外部面。
其余的面称为内部面。
9.1 平面图与欧拉公式
⏹2 欧拉公式
⏹（1）定理9.1
若连通平面图G有n个顶点，e条边和f 个面，则
n-e+f=2
称为欧拉公式。
⏹证明方法：归纳法
⏹证明：
⏹（1）归纳基础：一条边，欧拉公式成立；
⏹（2）归纳步骤：假设m-1条边，欧拉公式成立；
考察m条边的连通平面图：
1）若有度数为1的顶点，则删去该顶点及其关联边，便得到连通平面图G’，G’满足欧拉公式，再将删去的点和边加回G’得到G也满足欧拉公式；
2）若没有度数为1的顶点，则删去有界面边界上的任一边，便得到连通平面图G’，G’满足欧拉公式，再将删去的边加回G’得到G也满足欧拉公式。
9.1 平面图与欧拉公式
(2)推论9.1
若G是n≥3的平面简单图，则e≤3n-6。
证明：只证明连通的平面简单图的情况，G是n≥3的平面简单图，每个面由3条或更多条边围成，因此边的总数大于等于3f，因为每条边至多被计算两次，所以G中至少有3f/2条边，即e≥3f/2。
根据欧拉公式，有n-e+2e/3≥2。
所以3n-6≥e。
(4)推论9.3
K5和K3,3是非平面图。
证明：反证法：若K
5是平面图，由推论9.1，
当n=5, e=10时，3n-6≥e不可能。
所以K5是非平面图。
若K
3,3是平面图，由推论9.2，当n=6, e=9
时，2n-4≥e不可能。
所以K3,3是非平面图。
9.1 平面图与欧拉公式
⏹(5)定理9.2
，在平面简单图G中至少存在一个顶点v
d(v0) 5
⏹证明方法：反证法，假设所有顶点度数大于5，由推论9.1，导致矛盾。
9.1 平面图与欧拉公式
⏹三平面图的特征
⏹1 剖分
⏹在G的边上插入有限个点便得到G的一个剖分。
⏹例：
2 定理9.3（库拉托斯基定理）
图G是平面图 它的任何子图都不
是K
5和K
3,3
的剖分。
9.1 平面图与欧拉公式
⏹四对偶图
⏹1 定义9.3（几何对偶）
设Ğ是平面图G的平面嵌入，则G的几何对偶G*构造如下：
(1) 在Ğ的每一个面f内恰放唯一的一个顶点f*；
(2) 对Ğ的两个面f i, f j的公共边x k，作边
x k*={f i*, f j*}与相交；得到图记为G*，即G的几何对偶（简称G的对偶）。
图9.4
而它的对偶图的边和结点分别用蓝线和“●”表示。
⏹若G是连通平面图，则G*也是连通平面图。
⏹/*由定义*/
9.1 平面图与欧拉公式
2 定理9.4（G和G*的顶点数，面数和边数的关系）
设G是有n个顶点，e条边，f个面的连通平面图；又设G的几何对偶G*有n*个顶点，e*条边，f*个面，则n*=f, e*=e,
f*=n。
证明方法：前两个关系式直接由G*的定义给出，第3个关系式由欧拉公式推出。
3 定理9.5
G是连通平面图 G**同构于G。
6.1 平面图与欧拉公式（补充）
⏹一、球面与平面
⏹1. 嵌入曲面
⏹设S是一个给定的曲面，比如平面，球面等，如果图G能画在曲面S上使得它的边仅在端点处相交，则称G可嵌入曲面(embeddable in the surface) S。
⏹2. 定理6A.
⏹图G可嵌入球面S G可嵌入平面P。
⏹/*证明基于球极平面射影。
*/
⏹/*图嵌入平面与球面是一回事。
*/
⏹
证明：/*正向推导*/⏹∀e ∈G , e 为面R i 和R j (i ≠j)的公共边界上的边时，在计算R i 和R j 的度数时各提供次数1，而当e 只在某一个面R 的边界上出现时，它必出现两次，所以在计算R 的度数时e 提出的次数为2，于是每条边在∑deg(R i )中，各提供度数2，所以命题成立。
⏹
⏹3）定理6D
⏹在n(n≥4)个顶点的极大平面图G中，δ(G)≥3。
⏹/*δ(G)为G的最小度*/
定理6E.
G为n（n 3）个顶点、e条边的简单平面图，则G为极大平面图当且仅当
e=3n-6。
⏹证明：
⏹⇒：因为G是连通的，由欧拉公式得
f=2+e-n。
又因为G是极大平面图，所以2e=3f。
所以e=3n-6。
⏹⇐：如果e=3n-6，但G不是极大平面图，则在G中可以继续加边，产生的还是平面简单图G’，e’>3n-6。
因为由推论6.1，对n≥3的平面简单图G’，则e’≤3n-6，导致矛盾。
⏹三、欧拉公式
⏹应用欧拉公式及其推广形式得到平面图的另外一些性质。
定理6G
G为n（n 3）个顶点、e条边的简单平面图，则e=3n-6。
证明：设
⏹2. 定义6D（同胚）
⏹若两个图G1与G2是同构的，或通过反复插入或消去2度顶点后是同构的，则称G
1是同胚的。
与G
2
⏹
3. 库拉托斯基定理的两种形式⏹
1) 图G 是平面图当且仅当G 不含与K 5同胚子图，也不含与K 3,3同胚子图。
⏹2) 图G 是平面图当且仅当G 中没有可以收缩到K 5的子图，也没有可以收缩到K 3,3的子图。
⏹五、平面图的应用——正多面体
⏹1. 每个凸多面体对应一个平面图：
⏹设P是凸多面体。
以P的顶点为顶点，P的棱为边而得到的平面图G(P)称为对应于P的平面图。
则G(P)是连通的且
δ(G(P))≥3，P的面就是G(P)的面，而且
G(P)的每条边正好在两个面的边界上。
⏹2. 欧拉凸多面体公式
⏹以V, E, F分别表示凸多面体P的顶点数、棱数和面数，则V-E+F=2。
3. 设V n和F n分别表示凸多面体P的n度点和n度面的数目，当n≥3时，2E=∑nF n= ∑nV n。
⏹证明：设F3=F4=F5=0。
⏹因为所有面的度数之和为2E，2E=∑nF n≥∑6F n=6∑F n=6F，其中n≥6，则2E≥6F，F≤E/3。
⏹因2E=∑nV n≥3∑V n=3V，其中n≥3，则
V≤2E/3。
⏹由凸多面体公式V-E+F=2，得E=V+F-2≤2E/3+ E/3-2=E-2，导致矛盾。
⏹5. 正多面体(regular polyhedron, Plato体)
⏹[1] 定义(正多面体).
⏹每个面并且每个多面角都相等的凸多面体称为正多面体.对应的平面图称为Plato图.
⏹[2] Euclid(约公元前330年-前275年)《几何原本》：
⏹仅有5个正多面体：四面体、立方体、十二面体、八面体、二十面体。
⏹[3]. 定理6I.
⏹仅有5个正多面体。
⏹
证明：设P 是正多面体G(P)对应的平面图。
由V-E+F=2，得-8=4E-4V-4F=2E+2E-4V-4F=∑nF n +∑nV n -4∑V n -4∑F n = ∑(n-4)F n + ∑(n-4)V n ，n ≥3。
⏹因为P 是正多面体，所以存在两个整数h 和k 使F=F h 且V=V k ，因此有-8=(h-4)F h +(k-4)V k ，并且由2E=∑nF n = ∑nV n ，有hF h =2E=kV k 。
由定理6H ，3≤h ≤5，分3种情况。
⏹
情形1.当h=3时，因为-8=(h-4)F h +(k-4)V k ，
且hF h =2E=kV k ，所以12=(6-k)V k 。
因此有3≤h ≤5。
由-8=(h-4)F h +(k-4)V k 和12=(6-k)V k ，得：⏹
当k=3时，V 3=4，F 3=4，因此P 是四面体；⏹
当k=4时，V 4=6，F 3=8，因此P 是八面体；⏹当k=5时，V 5=12，F 3=20，因此P 是十二面体；
⏹情形2.当h=4时，因为-8=(h-4)F h+(k-
4)V k，所以8=(4-k)V k，则k=3，V3=8，
F4=6，因此P是立方体。
⏹情形3.当h=5时，因为-8=(h-4)F h+(k-
4)V k，且hF h=2E=kV k，所以20=(10-3k)V k。
=20，F5=12，因此P是立方体。
则k=3，V
3。