巧用公式计算钟表角
钟面角问题
钟面角的推导及应用钟面角是指时针与分针在某一时刻所形成的角。
已知钟面数字从1到12共有12个大格，60个小格，而1周角等于360°，所以钟面每个大格对应360°÷12=30°的角，每个小格对应360°÷60=6°的角，因此时针每走1小时对应30°的角，每走一分钟对应30°÷60=0.5°的角，分针每走一分钟对应6°的角，从而可得钟面角的计算公式：1、当时针在分针的前面时钟面角=30°n+0.5°m-6°m2、当时针在分针的后面时钟面角=6°m-30°n-0.5°m这里n表示时针所指钟面时钟数，m表示分钟所指钟面分钟数，即n点m分。
1、证明：如图1，B点对O，C点对m，D点对n，A点对m，则∠BOC=6°m，∠BOD=30°n，∠DOA=0.5°m，所以∠AOC=∠COD+∠DOA=∠BOD-∠BOC+∠DOA=30°n+0.5°m-6°m2、证明：如图2：B点对O，C点对m，D点对n，A点对m，则∠BOC=6°m，∠BOD=30°n，∠AOD=0.5°m，所以∠COA=∠COB—∠AOB=∠COB—(∠AOD+∠DOB)=6°m-30°n-0.5°m。
一、求钟面角的度数例1 求5点12分的钟面角度数。
分析与解 由已知得时针在分针前面，且n=5，m=12，所以5点12分的钟面角=30°×5+0.5°×12-6°×12=150°+6°-72°=84°。
例2 求7点59分的钟面角度数。
分析与解 由已知得时针在分针的后面，且n=7，m=59，所以7点59的钟面角度数=6°×59-(30°×7+0.5°×59)=354°-210°-29.5°=144°-29.5°=114°30’。
时针和分针的夹角公式
时针和分针的夹角公式
我们知道一圈的角度是360度，一小时等于360度/12=30度，一分
钟等于360度/60=6度。
因此时针每小时移动30度，每分钟移动0.5度，分针每分钟移动6度。
根据这些信息，我们可以得出时针和分针的夹角公式。
设时针和分针的夹角为θ，则时针移动的角度可以表示为30h+0.5m，其中h表示小时，m表示分钟；分针移动的角度可以表示为6m。
所以夹角
θ可以表示为：
θ=(30h+0.5m)-6m
化简得：
θ=30h-5.5m
这就是时针和分针的夹角公式。
举个例子来说明：假设当前的时间是3点20分，代入时针和分针的
夹角公式中：
θ=30(3)-5.5(20)
=90-110
=-20
根据计算结果，时针和分针的夹角为负数，这表示时针在分针的后面。
我们也可以使用绝对值来表示夹角的大小
θ，=，30h-5.5m
这样得到的结果就是时针和分针夹角的绝对值。
还有一种特殊情况，当时针和分针完全重合时，夹角为0度。
这时，时针和分针指向的是同一位置，所以二者之间的夹角是0度。
需要注意的是，以上公式是在传统的12小时制钟表上使用的。
对于24小时制钟表，夹角公式是不同的。
因为24小时制钟表上的时针每小时移动的角度为360度/24=15度，所以公式为：
θ=15h-5.5m
这就是时针和分针的夹角公式在24小时制钟表上的应用。
钟面问题的公式(二)
钟面问题的公式(二)
钟面问题的公式
•问题描述
钟面问题是指给定时间，求时针与分针的夹角。
时针和分针分别以每小时30°和每分钟6°的速度旋转，且相对于12
点的位置。
•公式1：夹角公式
夹角公式可用于计算时针与分针的夹角。
夹角公式为：
Angle=|30H−11M/2|
其中，H为时针指向的小时数，M为分针指向的分钟数。
示例：假设时间为12:30，代入公式可得：
Angle=|30×12−11×30/2|=|360−165|=195
因此，12:30时时针与分针的夹角为195°。
•公式2：时针位置公式
时针的位置公式可用于计算时针指向的小时数。
时针位置公式为：
H=hour+minute 60
其中，hour为当前小时数，minute为当前分钟数。
示例：假设时间为3:45，代入公式可得：
H=3+45 60
=
因此，3:45时时针指向的小时数为。
•公式3：分针位置公式
分针的位置公式可用于计算分针指向的分钟数。
分针位置公式为：
M=minute
其中，minute为当前分钟数。
示例：假设时间为9:20，代入公式可得：
M=20
因此，9:20时分针指向的分钟数为20。
通过以上公式，我们可以简单且准确地计算钟面问题。
钟面问题的公式(一)
钟面问题的公式(一)钟面问题的公式1. 弧度与角度转换公式•弧度制：角度转化为弧度的公式为rad=π180⋅deg，其中rad 表示弧度，deg表示角度。
•角度制：弧度转化为角度的公式为deg=180π⋅rad，其中rad 表示弧度，deg表示角度。
例子：如果角度为 60 度，请计算其对应的弧度。
解答：将角度值代入公式rad=π180⋅deg中进行计算，rad=π180⋅60=π3，所以60 度对应的弧度为π3。
2. 时钟指针之间的夹角公式•以 12 点钟方向为参照，时针与分针夹角的公式为θℎ−m=30⋅H+12⋅M，其中θℎ−m表示时针与分针的夹角，H表示时针指向的小时数，M表示分针指向的分钟数。
•以 12 点钟方向为参照，时针与秒针夹角的公式为θℎ−s=6⋅H+110⋅S，其中θℎ−s表示时针与秒针的夹角，H表示时针指向的小时数，S表示秒针指向的秒数。
•分针与秒针夹角固定为 6 度。
例子：假设现在时针指向 3，分针指向 20，秒针指向 10，请计算时针与分针的夹角和时针与秒针的夹角。
解答：将时针与分针的小时数和分钟数代入公式θℎ−m=30⋅H+12⋅M中进行计算，θℎ−m=30⋅3+12⋅20=95度，所以时针与分针的夹角为 95 度。
将时针与秒针的小时数和秒数代入公式θℎ−s=6⋅H+110⋅S中进行计算，θℎ−s=6⋅3+110⋅10=18度，所以时针与秒针的夹角为 18 度。
3. 分钟数转化为小时数和分钟数的公式•将分钟数转化为小时数和分钟数的公式为H=M60，其中H表示小时数，M表示分钟数。
•分钟数转化为分钟数的公式为M=H⋅60，其中H表示小时数，M表示分钟数。
例子：假设有 120 分钟，请将其转化为小时数和分钟数。
解答：将分钟数代入公式H=M60中进行计算，H=12060=2，所以 120 分钟转化为 2 小时。
分钟数即为 120。
以上是钟面问题的公式及其解释，希望能对你有所帮助！。
时钟上角度大小的计算问题
时钟上角度大小的计算问题时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题，历来是许多同学求解的困惑问题之一，事实上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关系：时针1小时转1大格1小时30°1分钟0.5°分针1小时转12大格1小时360°1分钟转6°抓住起始和终止两个时刻算出分针走了多少分钟，由上述表格算出时针和分针各转了多少度，再在钟面上比较，求出结果.现举例说明.一、整点时刻两针的夹角例1 求下午4时，时针与分针之间的夹角.分析：下午4时，时针指在4上，分针指在12上，于是可求出它们之间的夹角.解：因为下午4时，时针指在4上，分针指在12上，所以4×30°＝120°.评注：因为整点时，分针始终指向12，所以可把分针看作角的始边，时针看作角的终边，时针旋转一周360º需要12个小时，所以时针每小时旋转的角度为360º÷12＝30º.由于我们现在研究的角都是小于平角的角，所以在1到6小时，两针的夹角为30º×n(n＝1，2，…，6)；在7到12小时，两针的夹角为360º－30º×n(n＝7，8，…，12).显然，任意整点时刻时针与分针的夹角我们都可以通过上面的两个公式求出来，值得注意的是，钟面上两针的夹角有可能会相等，如3点和9点时两针的夹角都是90º，但在不同时刻.二、任意时刻两针的夹角例2 钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？分析要求解此问题，只要弄清时针每小时转过多少度的角，弄清该时针该分针的位置，即经过15分钟转过的角度即可.解因为36012×214＝30°×49＝67.5°，36060×15＝90°，所以90°－67.5°＝22.5°.评注：通过对本题的求解，同学们可以记住每分钟分针比时针多转了5.5°，必要时可以利用方程求解此类问题，有时会显得更加简捷.三、时针与分针分别转过的角度例3 若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大角度？分析: 弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解.解: 因为时针由2点30分走到2点55分，历经25分钟， 所以时针转过的角度为36060×(55－30)＝6°×25＝150°， 分针转过的角度为3606012×(55－30)＝150°×112＝12.5°. 评注： 解答此类题目，抓住时针每分转0.5°，分针每分转6°是求解的关键.教你如何用WORD 文档 (2012-06-27 192246)转载▼标签： 杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。
确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数公式
确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数公式一、引言钟表上的时针和分针所成的角度是我们日常生活中经常遇到的概念。
无论是在解决时间相关问题还是在解析钟表图像时，了解时针与分针所成的最小角的度数公式都是非常有用的。
本文将介绍如何确定钟表上时针与分针所成的最小角的度数公式，以帮助读者更好地理解和应用。
二、基本概念在深入研究时针与分针的角度之前，我们需要先了解一些基本概念。
时针：1.钟表上用于表示小时数的较短指针。
在每小时结束时，时针会向后移动到下一个刻度。
分针：2.钟表上用于表示分钟数的较长指针。
在每分钟结束时，分针会向后移动到下一个刻度。
三、时针与分针所成的最小角时针与分针所成的最小角度公式可以通过以下方式推导而来。
时针每小时走过的角度：1.时针在12小时内绕钟盘一周，也就是360度。
因此，每小时时针走过的角度为：360度/12小时=30度/小时。
分针每分钟走过的角度：2.分针在60分钟内绕钟盘一周，也就是360度。
因此，每分钟分针走过的角度为：360度/60分钟=6度/分钟。
时针当前走过的角度：3.时针不仅会根据小时数转动，还会根据分钟数的变化做出微调。
具体而言，时针在每分钟会根据分针的进展而走过30度/60分钟=0.5度/分钟的角度。
时针与分针所成的最小角度计算：4.每当钟表显示一个时间，时针和分针之间会形成一个角度。
为了确定它们之间的最小角度，我们需要计算它们各自的角度，然后取它们之差的绝对值。
所以，时针与分针所成的最小角度（θ）可以通过以下公式计算：θ=|30度/小时×小时数+0.5度/分钟×分钟数-6度/分钟×分钟数|四、示例应用为了更好地理解和应用这个公式，我们来看一个具体的示例。
假设现在钟表显示的时间是3点20分，我们希望计算时针与分针所成的最小角度。
首先，我们将小时数和分钟数代入公式：θ=|30度/小时×3小时+0.5度/分钟×20分钟-6度/分钟×20分钟|计算得到：θ=|90度+10度-120度|=|-20度|=20度因此，时针与分针所成的最小角度为20度。
数学里的钟表问题 “钟面角”
钟表问题“钟面角”日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角（即“钟面角”）问题可能并没有在意．其实钟面角中蕴涵着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧．一、认识“钟面角”要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律．⑴钟表的表面特点：钟表的表面都是一个圆形，共有12个大格，每个大格间有5个小格．圆形的表面恰好对应着一个周角360°，每个大格对应30°角，每个小格对应6°角．表面一般有时针、分针、秒针三根指针．⑵钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每小时转1大格，每12分钟转1小格，每12个小时转1个圆周；分针每5分钟转一大格，每1分钟转1小格，每小时转1个圆周；秒针5秒钟转1大格，每1秒钟转1小格，每1分钟转一个圆周．⑶时针、分针、秒针的转速：有了以上的认识，我们很容易计算出相应指针的转速：①钟表的时针转速为：30°/小时或0.5°/分钟；②分针的转速为：6°/分钟或0.1°/秒钟；③秒针的转速为：6°/秒．有了这些对钟面角的基本认识，我们就可以探究与钟面角有关的问题了．二、解决与钟面角有关的数学问题⒈计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的角度⑴公式法：时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度=时（分）针转过的时间×时（分）针的转速（注意统一单位）．⑵观察法：若时（分）针转过了a大格b小格，则时（分）针从某一时刻到另一时刻转过的角度为：30a+6b°．例1.⑴从3：15到7：45，时针转过度．⑵从1：45到2：05，分针转过度．分析：⑴从3：15到7：45，时针走过的时间为4.5小时（270分钟），∴时针转过的角度为：4.5×30°=135°（或270×0.5°=135°）或用观察法：时针共走了4大格2.5小格，∴时针转过的角度为：4×30+2.5×6=135°．⑵从1：45到2：05，分钟走过的时间为20分钟，∴分针转过的角度为：20×6°=120°．或用观察法：分针共走了4个大格（或20小格）∴分针转过的角度为：4×30°=120°（或：20×6°=120°）．⒉计算某一时刻时针（分针）与分针（秒针）之间的夹角⑴求差法：以0点（12时）为基准到某一时刻止，时针转过的角度与分针在整点后的时间转过的角度差，即时针、分针之间的夹角．⑵观察法：某一时刻时针、分针相差a个大格b个小格，时针分针的钟面角=30a+6b°．例2．⑴4：00点整，时针、分针的夹角为．⑵11：40，时针、分针的夹角为．分析：⑴4：00整，时针、分针相差4个大格，夹角为：4×30°=120°．⑵①作差法：11：40，以0点（12时）为基准时针转过的角度为：11×30°=350°分针转过的角度为：40×6°=240°∴时针、分针的夹角为：350°－240°=110°②观察法：11：40分针、时针相隔3个大格，∴时针、分针的夹角为：3×30°=110°⒊求时针、分针成特殊角时对应的时间方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以0点（12时）为基准将时针、分针所转过的角度可看成一个追及问题，从而借助方程进行求解．相等关系：①整点后分针转过的角度－整点后时针转过的角度=整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度）+a时x分分针与指针的夹角（分针应多转的角度）②或：分针整点后转过的角度—时针从0点基准到现在时刻转过的角度=所成的特殊角例3．你能用一元一次方程解决下面的问题吗？（课本习题P114页第8题）在3时和4时之间的哪个时刻，钟的分针与时针：⑴重合；⑵成平角；⑶成直角．分析：⑴重合：设3时x分时针、分针重合．3时整，时针、分针的夹角为90°．即在后x分钟，分针要比时针多走90°，分针才能追及时针重合．从3时整到3时x分，分针走过6x度角，时针走过0.5x度角．依题意有6x－0.5x=90 解得：x≈16⑵分针与时针成平角：设3时x分时针、分针成平角，即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走180°．依题意有6x－0.5x=90+180 解得：x≈49⑶分针与时针成直角：应分两种情况讨论．①分针在时针的顺时针方向垂直．此时钟面角为90°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走90°．依题意有6x－0.5x=90+90180 解得：x≈33②分针在时针的逆时针方向垂直．此时钟面角为270°．即在后x分钟，分针先要多走90°追及时针，然后还要比时针多走270°．依题意有6x－0.5x=90+90180 解得：x≈65（不合题意，舍去）⒋钟面角的综合应用例4.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒钟，OB表示分钟（O为两针的旋转中心）．若现在时间恰好是12点整，问经过多少秒后，△OAB的面积第一次达到最大？分析：△OAB的面积最大，设OA边上的高为h，则h总小于等于OB，只有当OA⊥OB时，h=OB，此时△OAB的面积最大．12点整，分针、秒针重合，设经过x秒，分针、秒针第一次垂直，△OAB的面积第一次达到最大．此时秒针走过角度为6x，分针走过的角度为0.1x．依题意有6x—0.1x=90 解得x=15即经过15秒后，△OAB的面积第一次达到最大．钟表夹角问题公式钟面上分12大格60小格。
钟表问题时针与分针夹角的公式技巧
钟表问题时针与分针夹角的公式技巧1.时针和分针夹角的公式是：夹角= |(时针角度-分针角度)|(The formula for the angle between the hour and minute hands is: Angle = |(hour hand angle - minute hand angle)|)2.时针和分针的夹角可以用几何公式来计算。
(The angle between the hour and minute hands can be calculated using a geometric formula.)3.在钟表上，时针每分钟走30°，分针每分钟走6°。
(On a clock, the hour hand moves 30° per minute, and the minute hand moves 6° per minute.)4.如果要计算12点钟时，时针和分针的夹角，可用30° x 60 - 0° = 180°。
(To calculate the angle between the hour and minute hands at 12 o'clock, use 30° x 60 - 0° = 180°.)5.当时间是3点钟时，时针和分针夹角的计算公式是：|90° - 90°| = 0°。
(When the time is 3 o'clock, the calculation formula for the angle between the hour and minute hands is: |90° - 90°| = 0°.)6.在6点钟时，时针和分针的夹角为：|180° - 0°| = 180°。
时针与分针夹角
时针与分针夹角时针与分针夹角是我们在日常生活中非常熟悉的一个概念，它与钟表的设计和时间的测量息息相关。
在本文中，我们将探讨时针与分针夹角的定义、计算方法以及它们对时间的测量和钟表精度的影响。
一、时针与分针夹角的定义时针与分针夹角是指分针和时针之间的角度差。
在一个正常的时钟或手表上，时针每过一个小时会行进30度，而分针每过一分钟则行进6度。
因此，时针与分针夹角的范围是0度到180度之间。
二、时针与分针夹角的计算方法时针与分针夹角的计算方法可以通过以下公式得出：夹角 = |30H - 11M/2|，其中H代表时针所指的小时数，M代表分针所指的分钟数。
这个公式的推导基于时针和分针之间以及它们与12点钟方向的相对位置关系。
例如，当时针指向8时，分针指向30分时，可以使用上述公式计算夹角：夹角 = |30*8 - 11*30/2| = |240 - 165| = 75度。
因此，时针与分针的夹角是75度。
三、时针与分针夹角对时间测量的影响时针和分针之间的夹角可以帮助我们更准确地读取时间。
当两个针之间的夹角较小时，我们可以快速地判断出大致的时间范围。
相反，当夹角较大时，我们可以更精确地测量时间。
此外，夹角的变化也对钟表的精度有影响。
如果时针与分针的夹角不够稳定，钟表的走时会受到影响，导致时间的误差增大。
因此，在钟表制造和维修过程中，要注意确保时针与分针的夹角的稳定性，以提高钟表的准确度。
四、实际应用时针与分针夹角的概念在日常生活中有着广泛的应用。
它被用于钟表设计、制造和维修领域，以确保钟表的准确度和稳定性。
同时，夹角的计算方法也被应用于计算机编程和模拟等领域，以模拟和计算时间的变化。
在钟表的选择和购买过程中，了解时针与分针夹角的概念可以帮助我们根据个人喜好和需求选择合适的钟表。
一些钟表制造商还特别强调他们的产品具有较小的夹角，以展示其制表技术和精密度。
总结：时针与分针夹角是钟表设计和时间测量中的重要概念。
我们通过分析夹角的定义、计算方法以及对时间测量和钟表精度的影响，可以更好地理解和应用这一概念。
初中数学如何计算时针与分针夹角的度数
初中数学如何计算时针与分针夹角的度数在初中数学学习中，钟表问题经常出现，计算起来也比较难，其中计算时针与分针夹角度数的问题就困扰着我们中学生。
其计算方法很多，但如何计算更便捷在实际学习过程中似乎缺少总结。
本文结合自己学习过程中的体会，总结其计算规律如下。
一、知识预备（1）普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角；（2）钟表上的每一个大格（时针的一小时或分针的5分钟）对应的角度是：︒=︒3012360； （3）时针每走过1分钟对应的角度应为：︒=⨯︒5.06012360； （4）分针每走过1分钟对应的角度应为：︒=︒660360。
二、计算举例例1. 如图1所示，当时间为7：55时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。
解析：依据常识，我们应该以时针、分针均在12点时为起始点进行计算。
由于分针在时针前面，我们可以先算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。
分针走过的角度为：55×6°＝330°时针走过的角度为：︒=︒⨯+︒⨯5.2375.055307则时针与分针夹角的度数为：︒=︒-︒5.925.237330例2. 如图2所示，当时间为7：15时，计算时针与分针夹角的度数（不考虑大于180°的角）。
解析：此题中分针在时针的后面，与上题有所不同，我们应该先算出时针走过的角度，再去减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。
时针走过的角度为：︒=︒⨯+︒⨯5.2175.015307分针走过的角度为：︒=︒⨯90615则时针与分针夹角的度数为：︒=︒-︒5.127905.217三、总结规律从上述两例我们可以总结出规律如下：当分针在时针前面，可以先算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数；当分针在时针后面，可以先算出时针走过的角度，再减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。
时针与分针的角度关系
时针与分针的角度关系时针和分针是时钟上最常用的两个指针，它们的运动不仅给予我们时间的概念，还存在着一种相对运动的角度关系。
本文将探讨时针和分针在不同时间点上的角度关系，并分析其中的规律。
1. 12点钟方向的角度在钟表上，当时针和分针同时指向12时，它们的角度为0度。
这是因为它们处于同一条直线上，与目标方向相同。
接下来，当分针靠近1时，时针会向1点钟方向移动，而分针则会向2点钟方向移动。
此时，时针与分针之间的角度开始增大。
由于时针的移动速度较慢，分针每分钟才走过一小段角度，因此时针与分针的角度并不会立即增大到30度。
2. 角度的增长规律随着时间的推移，时针和分针之间的角度会逐渐增大。
具体来说，当时针指向某一小时的时候，分针已经经过多少分钟就会影响它们之间的角度。
例如，当时针指向3时，分针指向12时，此时它们之间的角度为90度。
当分针指向1时，时针已经走过了大约一个小时的距离，所以它们之间的角度会更接近180度。
通过观察可以发现，当时针指向整点时，分针相对于时针的角度最大，为180度。
而当时针指向整点的一半时，分针与时针之间的角度最小，为0度。
3. 角度的变化过程角度的变化过程可以通过以下公式进行计算：角度 = |30小时 - 11分钟 / 2|其中，30小时代表时针每小时走30度的角度，11分钟代表分针每分钟走过的角度。
举个例子，当时针指向2时，分针指向10时。
根据公式计算，角度 = |2 * 30 - 10 / 2| = |60 - 5| = 55度。
因此，时针和分针之间的角度为55度。
通过这个公式，可以方便地计算任意时间点上时针和分针之间的角度。
这对于钟表制造商和钟表修理师来说是非常有用的。
4. 角度关系的应用时针和分针的角度关系不仅在制造和修理钟表时有用，还在数学和物理学中有一定的应用。
在几何学中，可以利用时针和分针的角度关系来解决一些关于时间和角度的问题。
例如，计算一个时钟的时针和分针在特定时间点上的夹角，可以通过上述公式来计算。
钟面上时针与分针之间夹角的计算公式与应用(初一)
钟面上时针与分针之间夹角的计算公式与应用(初一)钟面上时针与分针之间夹角的计算在新课标教材七年级数学习题中常常出现。
我们在教学过程中按探究性教学模式进行教学设计，将钟面角计算转化为钟表行程问题，让同学们通过类似于科学研究的方式“做数学”得到了计算钟面角的公式，使这一问题的解决方法更具一般性和更易于操作。
下面是我们关于《钟面角计算》的探究性教学过程：教材背景：学习了角的画法，会画一个角等于已知角，会画角的和、差、倍。
创设情景1：如图1，时钟在12点20分时分针、时针成多少度的角？图1 图2分析引导：从图1中抽象出几何图形如图2，时钟在12点时分针与时针重合，设为射线OA ，分针、时针绕O 点旋转，时钟在12点20分时，时针旋转到OB ，分针旋转到OC ，此时分针与时针的夹角：∠COB = ∠COA －∠BOA 。
时针的速度V 时针 = 0.5°／分，分针的速度V 分针 = 6°／分，时间t 时针= t 分针=20分，而路程=速度×时间，所以若将分针与时针之间的夹角看作是分针与时针的距离，则：∠COA = V 分针×t 分针 ∠BOA = V 时针 ×t 时针∠COB = V 分针×t 分针 － V 时针 ×t 时针 解：设12点20分时分针、时针所成角为αα = V 分针× t 分针 － V 时针 × t 时针= 6°／分×20分－0.5°／分×20分= 5.5°创设情景2：如图3，时钟在4点10分时分针、时针成多少度的角？图3 图4同学们很快就画出了图4，找到等量关系：∠COB = ∠BOA －∠COA 解：时钟在4点10分时分针、时针所成角为αα = V 时针 × t 时针－V 分针× t 分针= 0.5°／分×（4×60分＋10分）－6°／分×10分= 65°创设情景3：时钟在m点n分时分针、时针成多少度的角？经过同学们的热烈讨论，找到了计算时钟在m点n分时分针、时针夹角α的公式：α =∣V时针×t时针－V分针×t分针∣=∣0.5°／分×（m×60分＋n分）－6°／分×n分∣=∣30°×m ＋0.5°×n－6°×n∣=∣30°×m －5.5°×n∣同学们探究得到这一公式后，所有钟面角计算问题就变的十分容易了。
钟面角问题
数学实验——钟面角摘要：“钟面角” 是指时针与分针在某一时刻所成的夹角，通常情况下特指0 180 的那个角 .日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，然而随着电子表的流行，我们对钟表表面上的时针、分针、秒针之间的夹角问题可能并没有在意 .其实钟面角中蕴含着丰富的数学知识，我们一起来探究一下“钟面角”问题吧 . 关键字： 钟面角公式 求法 追及问题一、与钟面有关的知识我们通常把研究时钟上时针与分针的问题称为时钟问题，其中包括时钟的快慢、时钟的 周期、时钟上时针与分针所成的角度等等，这里我们重点探究 “钟面角 ”问题 .要分析钟面角，我们首先要结合其图形特点，寻找并发现它们的变化规律 . （ 1）钟表的表面特点：大多数的钟表表面是一个圆，共有 12 格，每个大格间又有 5 个 小格 .圆形的表面恰好对应着一个 360°的周角，每个大格对应 30°角，而每个小格对应 6°角. 时钟表面一般有时针、分针、秒针三根指针 .（ 2）钟表时针、分针、秒针的转动情况：时针每 12 小时转 1 周，每小时转 1 大格，每12 分钟转 1 小格；分针每小时转 1 周，每 5 分钟转 1 大格，每 1 分钟转 1 小格；秒针每 1 分钟转 1周，每 5秒转 1大格，每 1秒转 1小格.(3)时针、分针、秒针的转速： ①时针的转速为： 30°/小时或 0.5 °/分钟；②分针的转速为： 6°/分钟或 0.1 °/秒；③秒针的转速为 ： 6°/秒 .二、建立求 “钟面角 ”的数学模型1.计算从某一时刻到另一时刻，时针（分针）转过的度数（ 1）公式法：指针转过的度数 =指针转动的时间 指针的速度；（ 2）观察法：从某一时刻指针转过了 a 大格 b 小格，则指针转过的度数为： (30a 6b) .例 1.从 2 点 10 分到 2 点 20 分，时针转过 _____度，分针转过 _____度？ 分析：从 2 点 10 分到 2 点 20 分，经过的时间为 10 分钟 .用公式法：时针转过的角度为： 10 0.5 °=5°，分针转过的角度为： 10 6°=60°.或用观察法：时针转过格数不易观察，可知分针转过了 10 小格，分针转过的角度为：10 6°=60°.2.计算某一时刻时针与分针之间的夹角（钟面角）分 ”为了研究 “ 时n 分”（指用 12 时计时法）时针与分针所成的角，不妨规定： “ 时n mm时针所转动的角度，是指时针从“0时到 m 时 n 分 ”所 转 动 的 角 度 ， 为 ：(60m n) 0.5 30 m 0.5 n ，且有 0 30 m0.5n 360 ；“ 时 n 分 ”分针所转动的角度，m是指分针从 “ 时到 m 时n 分”所转动的角度，为： 6 n ，且有 0 6n 360 .所求的 “钟面角 ”m是指不超过 180°的角，则时针与分针的夹角(0180 ) 为：① 当 30 m 0. 5 n 6 n 180 时，则 30 m 0.5 n 6 n ；② 当 30 m0. 5 n 6 n 180 时，则36030 m 0.5 n 6 n .钟面角（ m 时 n 分）的几种求法：例 2.分别求：（1）2 点 10 分 （2）2 点 20 分（3）2 点 45 分时钟面角的度数 .方法一：运用钟面角公式：解：（1）2 点 10 分时， m 2, n 10 ，302 0.5 10 6 10 5 180 ，故钟面角为5°1（2）2 点 20 分时，m2, n 20 ，30 2 0.5 20 6 20 50 180 ，故钟面角为50°.（3）2 点 45 分时，m2, n 45 ，30 2 0.5 45 6 45 187.5 180 ，故钟面角为 360 187.5 172.5 .方法二：观察法：解：（1）2 点 10 分时（图 1），分针指向整时点 2，此时时针与分针的夹角度数，即为时针从 2 点整到 2 点 10 分转过的度数，为： 10 0.5 °=5°，故钟面角为 5°.（2）2 点 20 分时（图 2），此时时针与分针间隔 1 个大格和若干个小格 .可知 1 大格为 30°，若干小格的度数=1 大格度数—时针从 2 点整到 2 点 20 分转过的度数，即为：30 0.5 20 20 ，故钟面角的度数为： 30 20 50.（3）2 点 45 分时（图 3），此时时针与分针间隔 6 个大格和若干个小格 .可知 1 大格为 30°，若干小格的度数=1 大格度数—时针从 2 点整到 2 点 45 分转过的度数，即为：30 0.5 45 7.5 ，夹角度数为：30 6 7.5 187.5 180 ，故钟面角为360 187.5 172.5 .12 12 1293939 36 6 6图 1 图 2 图 33.求时针、分针成特殊角时所对应的时间2 个人的同向而行的追及问题，不过这里的 2时钟问题可以看作是一个特殊的圆形轨道上个“人”分别是时钟的分针和时针.方程思想：时针、分针成特殊角时对应的时间问题，通常以整点时为基准将时针、分针所转过的角度看成一个追及问题，从而借助方程进行求解 .等量关系：整点后分针转过的角度—整点后时针转过的角度 =整点时分针、时针的夹角（分针需追赶的角度） + m时n分分针与时针的夹角（分针应多转的角度） .例 3.你能利用一元一次方程解决下列问题吗？在 3 时和 4 时之间的哪一个时刻，时钟的时针与分针：（ 1）重合；（2）成直角；（3）成平角 .分析一：不妨设“这个时刻”为“3时n 分”，当3时的时候，时针与分针的夹角为30 3 90 .利用方程中追及问题的思想，可知：（1）如图4，当3 时n分“时针与分针”重合，即“分针追上了时针”，实质上是在相同的时间 n 分钟内，分针比时针多走了90°.等量关系：分针n 分钟转过的角度—时针 n 分钟转过的角度=90°.（2）如图 5，当 3 时n分“时针与分针”成直角时，分针在n分钟内不但追上了时针，而且比时针多走了90°，所以等量关系为：分针n 分钟转过的角度—时针n分钟转过的角度=90 90 180 .（3）如图 6，当 3 时n分“时针与分针”成平角时，分针在n分钟内不但追上了时针，而且比时针多走了180°，所以等量关系为：分针n 分钟转过的角度—时针n分钟转过的角度= 90 180 270 .可知 n 分钟分针转过6 n，时针转过0.5 n，解决例3问题.212 12 1293939 36 6 6图 4 图 5 图 6解法一：（1）如图 4，设 3 时n分，“时针与分针”重合，由等量关系，可得方程6 n 0.5 n 90 ,解得 n 180 .答： 3 时180分时，时钟的时针与分针重合 .11 11（ 2）如图 5，设 3 时n分，“时针与分针”成直角，由等量关系，可得方程6 n 0.5 n 180 ,解得 n 360.答： 3 时360分时，时钟的时针与分针成直角 .11 11（ 3）如图 6，设 3 时n分，“时针与分针”成平角，由等量关系，可得方程6 n 0.5 n 270 ,解得 n 540 .答： 3 时540分时，时钟的时针与分针成平角 .11 11分析二：不妨设“这个时刻”为“3时 n 分”，利用钟面角公式计算.（1）如图4，当时针与分针重合时，此时钟面角为 0°；（2）如图 5，当时针与分针成直角时，此时钟面角为90°；（3）如图 6，当时针与分针成平角时，此时钟面角为 180°.解法二：（ 1）如图 4，设 3 时n分，“时针与分针”重合，列方程30 3 0.5 n 6 n 0 ，解得 n 180.答： 3 时180分时，时钟的时针与分针重合 .11 11（2）如图5，设 3 时n分，“时针与分针”成直角，列方程30 3 0.5 n 6 n 90 ，解得 n1 0, n2 360，其中 n1 0 不合题意，舍去；或者列方程30 3 0.5 n 6 n 270 ，解11得 n1 360, n2720（不合题意，舍去） .11 11答： 3 时360分时，时钟的时针与分针成直角 .11（3）如图 6，设 3 时n分，“时针与分针”成平角，列方程30 3 0.5 n 6 n 180 ，解得 n1 180， n2540，其中 n1180不合题意，舍去 .11 11 11答： 3 时540分时，时钟的时针与分针成平角 .11例 4.小明在晚上6点多钟出门办事，出门时看了一下钟表，此时时针与分针成90°；他于当天晚上 7 点钟之前回家，进门时又看见时针与分针成 90°.问他出去了多长时间？分析一：不妨设时刻为“6时 n 分”，时针与分针成直角.如图7、8，利用钟面角公式，此时钟面角为 90°.解法一：如图 7、8，设 6 时n分，“时针与分针”成直角，列方程30 6 0.5 n 6 n 90 ，解得 n1 180, n2540，可知出门时为 6 时180分，回家时为 6 时540分，故他外出时间为：11 11 11 113540 180 360 分钟 . 12121111 11答：他外出时间为360分钟 . 9 3 911 分析二：设他外出时间为 m 分钟，从图 7 到图 8，分针不但追上了时针，而且比时针多走了 90°.等量关系为：66分针 m 分钟转过的角度 —时针 m 分钟转过的角度 =90°+90°=180°. 图 7图 8解法二：设他外出时间为 m 分钟，可列方程 6 m 0.5 m 180，解得 m360 .11答：他外出时间为360 分钟.114.钟面角的其他应用例 5.在一个圆形时钟的表面， OA 表示秒针， OB 表示分针（ O 为两针的旋转中心） .若现在时间恰好是 12 点整，经过多少秒后， AOB 的面积第一次达到最大？（设 OA 、 OB 的长度均为 r ）分析：设秒针 OA 与分针 OB 所成的角为 ，应有 0 180 ，即 为秒针与分针所成 的钟面角 . 12B可知 S AOB1 OA OB sin1r 2sin ，当 AOB 的面积达到最大时，应有22sin 1,90 .12 点整，分针、秒针重合，设经过 m 秒，分针与秒针第一次9O 垂直（如图 9）， AOB 的面积第一次达到最大 .等量关系为：秒针 m 秒转过的度数 — 分针 m 秒转过的度数 =90°.秒针速度为 6°/秒，分针速度为 0.1 °/秒. 6解：设经过 m 秒，分针与秒针第一次垂直 .可列方程： 6 m0.1 m 90 ，解得 图 9m 1515.59答：经过 1515秒后， AOB 的面积第一次达到最大 .595.钟面角的综合与实践活动探究：●活动 1：（1）在 3 点整的时刻，钟面上的时针与分针所成的角度为多少度？（如图 10）（2）在 3 点整后，经过多少时间两针所成的角首次等于 90°？ (如图 11)（3）在问题（ 2）后，经过多少时间两针所成的角第二次等于 90°？(如图 12) （4）请你计算一下：问题（ 2）、（ 3）中的答案各是多少？解：设经过 n 分，时针与分针成直角，由等量关系，可得方程 6 n 0.5 n 180 , 解得 n360 .11答：经过360分，时钟的时针与分针成直角 .11我们发现问题（ 2）、（3）的答案都是360分钟，这一结论是必然的还是偶然的？换句话问：11如果时针与分针开始所成的角不是直角，那么间隔的时间还相同吗？33A412121212129393 9 3939366666图 10图 11图 12图 13图 14这一理性的思考，自然引出了下面的话题：（5）如果两针所成的角为任意锐角 ，那么是否也有类似的结论呢？（如图 13、图 14） （6）如果两针所成的角为任意钝角 ，或者 =0°，结论又是如何的？ ●活动 2：根据以上活动，你能得到什么一般性的结论吗？设在某一时刻，时针与分针所成的角为 （其中 0 180 ） ①如果时针在分针的前面，设经过 n 分，时针与分针第一次夹角为 ，可得方程6 n 0.5 n2 , 解得 n4 ，即经过 4分钟，两针所成的角再一次为；11 11②如果分针在时针的前面，设经过 n 分，时针与分针第一次夹角为 ，可得方程6 n 0.5 n (3602 ) , 解得 n720 4 ，即经过 720 4分钟，两针所成的角再一次为.1111由这一结论不难解释问题（4）中的疑惑：（ 2）、（3）的答案之所以那么巧合，仅仅是因 为当且仅当 90 时， 4 720 4 也就是说， “间隔相同时间 ”的结论对于其他情形并不1111.成立 .●活动 3：利用我们得出的结论，你还可以解决哪些与钟面角有关的问题？面对熟悉的对象，学生兴趣倍增，通过对中钟表的操作和思考，可以提出并解决更多有价值的问题，比如：①一昼夜，时钟面上时针与分针共垂直多少次？②时钟面上的时针与分针每隔多长时间重叠一次？③在同一天内的 3:00 到 4:00 之间，时钟的时针与分针何时在同一条直线上？三、文章小结通过对 “钟面角 ”问题的简单探索， 掌握关于 “钟面角 ”的知识固然重要， 但有一些关系值得我们关注 .缺乏概念的直观是空虚的， 缺乏直观的概念是盲目的 .课堂上，一味地套用公式计算钟面角，而缺乏学生实质性的智力活动，学生只能沦为做题的机器；在明白原理的基础上，寻求简便的解题思路，更值得我们表彰 .俗话说： “授人以鱼 ”不如 “授人以渔 ”， “结论 ”的真正理解、掌握必须以 “过程 ”为前提，重视 “过程 ”的教学，真正实现教学的价值 .课堂上，作为教学主导的教师，重在展示知识的产生与发展、剖析其结构与脉络，对学生作适当的指引与点拨， “导”应该牵而弗达，教师指导得过于具体或到位，就会弱化甚至干预学生 “体”、“悟”的过程，丧失了一次次独自探索的机会；而作为学习主体的学生，习惯于教师的 “喂养式 ”的教学，知识 “咀嚼 ”烂了才教给学生，学生品尝不到知识原本的滋味、体会不了咀嚼的过程；学生应通过探索，引发学习的兴趣、培养思考的习惯和创新的精神；通过交流，倾听他人、表达自我，培养团结互助的合作精神 .5。
巧用公式计算钟表角
巧用公式计算钟表角在平日的学习过程和近几年中考试题中，我们常会遇到与钟表上的角度计算有关的问题，多数师生在解决这类问题时感到困难大，通常都会采用画简易的表盘示意图的形式，去数两针之间的所夹的格数,既费时又易错.若能仅从时针、分针转动所成的角度入手解决则较容易。
我们知道，时针、分针转动一周经过12大格或60小格．因此,每小时时针转动30°，每分钟分针转动6°，每分钟时针转动0。
5°。
假设时间是m时n分，在教学中笔者得到了钟表角的计算公式是:∣m×30°+0。
5°n-6°n ∣。
下面就常见的几种典型例题对此公式的应用加以举例说明:一、求某一时刻时针、分针的夹角．例1。
9点22分时,时针与分针的夹角是多少度?解：9点22分时，时针转过了（9+)×30°=281°，分针转过了22×6°=132°，其度差为∣281°—132°∣=149°，∴时针与分针的夹角是149°．例2.7点40分时，时针与分针的夹角是多少度?解:7点40分时，时针转过了(7+）×30°=230°，分针转过了40×6°=240°，其度差为∣230°—240°∣=10°，∴时针与分针的夹角是10°．例3。
2点54分时，时针与分针的夹角是多少度?分析：求法与上两例大致相同,不过一般情况我们求出的夹角是小于180°的角.解:2点54分时，时针转过了(2+）×30°=87°，分针转过了54×6°=324°，其度差为∣87°—324°∣=237°，（大于180°，而习惯上所说的夹角都是小于180）∴时针与分针的夹角是360°—237°=123°．二、求时针与分针的重合时间．例4.12点后，时针与分针何时首次重合？分析:时针与分针重合时,其角度差为0°，则可通过：时针转过的角度—分针转过的角度=0°这个关系式列方程求出具体的重合时间。
如何计算时针与分针夹角的度数
如何计算时针与分针夹角的度数在初中数学学习中，钟表问题经常出现，计算起来也比较难，其中计算时针与分针夹角度数的问题就困扰着我们中学生。
其计算方法很多，但如何计算更便捷在实际学习过程中似乎缺少总结。
本文结合自己学习过程中的体会，总结其计算规律如下。
一、知识预备〔1〕普通钟表相当于圆，其时针或分针走一圈均相当于走过360°角；〔2〕钟表上的每一个大格〔时针的一小时或分针的5分钟〕对应的角度是：；〔3〕时针每走过1分钟对应的角度应为：；〔4〕分针每走过1分钟对应的角度应为：。
二、计算举例例1. 如图1所示，当时间为7：55时，计算时针与分针夹角的度数〔不考虑大于180°的角〕。
解析：依据常识，我们应该以时针、分针均在12点时为起始点进行计算。
由于分针在时针前面，我们可以先算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。
分针走过的角度为：55×6°＝330°时针走过的角度为：则时针与分针夹角的度数为：例2. 如图2所示，当时间为7：15时，计算时针与分针夹角的度数〔不考虑大于180°的角〕。
解析：此题中分针在时针的后面，与上题有所不同，我们应该先算出时针走过的角度，再去减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。
时针走过的角度为：分针走过的角度为：则时针与分针夹角的度数为：三、总结规律从上述两例我们可以总结出规律如下：当分针在时针前面，可以先算出分针走过的角度，再减去时针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数；当分针在时针后面，可以先算出时针走过的角度，再减去分针走过的角度，即可求出时针与分针夹角的度数。
用字母和公式表示：当时间为m点n分时，其时针与分针夹角的度数为：〔1〕分针在时针前面：〔2〕分针在时针后面：依据此公式可以求出任意时刻时针与分针夹角的度数，计算起来非常便捷。
如果题目中涉及到秒，我们可以先把秒换算为分，再套用上述规律和公式进行计算即可。
巧解钟表问题
巧解钟表问题作者：黄金旺来源：《新课程·教育学术》2009年第01期在竞赛中,同学们常常会碰到“分针与时针夹角”的这类复杂性的试题,有些同学在做这类题目,总感到无从下手,这里我来给大家介绍一种解题的捷径,希望对大家能有所帮助。
大家都知道,钟面一周被等分成60个小格,每个小格对应的角度为。
分针每分钟转一格,y分钟转动y小格;由于当分针转动60格时,时针转5小格,那么每分钟时针转=小格,y分钟即转动y 小格.另外,时针每小时转动5小格,那么x小时转动5x小格.所以,时针在x小时y分钟里共转(5x+y)小格,要想求出时针与分针夹角的度数,就得知道它们之间间隔多少小格。
通过观察钟表我们很容易得到参考文献中所列出的四个计算时针与分针夹角度数的计算公式,根据这四个公式我们可整理得:例如x时y分,其中x=0,1,2,…11,y=0,1,2,…59.(1)按顺时针转动,两针夹角小于平角时,其夹角计算公式为:30x-5.5y° (Ⅰ)(2)按顺时针转动,两针夹角大于平角时,其夹角计算公式为:360°-30x-5.5y°(Ⅱ)我们发现用公式(Ⅰ)、(Ⅱ)去求某一时刻时针与分针的夹角的度数已无须考虑时针在前还是分针在前了,但是,还须考虑两针的夹角是否大于平角.那么,能否找到一个无须判断两针夹角是否大于平角的公式呢?于这样的出发点,经过反复思考与探索,综上(Ⅰ)、(Ⅱ)可得:(x,y)=180°-180°-30x-5.5y° (Ⅲ)其中x=0,1,2,…11,y=0,1,2,…59,(x,y)表示x时y分时两针的夹角.下面结合具体例题谈谈公式的应用:一、根据具体时刻求时针与分针的夹角例1 (1)当时间是2点32分时,时针和分针的夹角是______度.(2)当时间是2点50分时,时针和分针的夹角是______度.解法一:(1)时针每小时转动1大格,即30°,所以每分转0.5°,而分针每分转6°,当时针指向整点时,分针指向12时.因此,我们以指向12点作为角的始边,在2点32分时,时针与12点构成的角度是2×30°+32×0.5°=76°,分针与12点构成角度是32×6°=192°,从而,2时32分时,时针与分针的夹角是192°-76°=116°.(2)当时针与分针所转过的角度差大于180°,这需要用360°减去这个角.例如:2点50分时,按上述方法求得的角是6°×50-(30°×2+0.5°×50)=300°-85°=215°,显然不合要求,其夹角应为360°-215°=145°.解法二:(1)依题意x=2,y=32时,代入计算公式(Ⅲ)=180°-180°-30x-5.5y°=180°-180°-30×2-5.5×32°=180°-180°-116°=116°(2)依题意x=2,y=50时,代入计算公式(Ⅲ)=180°-180°-30x-5.5y°=180°-180°-30×2-5.5×50°=180°-180°-215°=145°评注:通过解法一、二的比较,我们可以看出,对于确定的时间,例如:x时y分时,其分针与时针的夹角可用x,y的表达式来表示.这样,在解决这类填空题的过程中存在两大优点:(一)节省分析时间,直接代入公式;(二)避开讨论时针与分针转过的角度差是否大于180°.二、根据时针与分针的夹角求具体时刻(1)求时针与分针重合的时间.例2 时针与分针在4时几分重合.解:∵时针与分针重合时,时针与分针的夹角为当x=4是,根据公式(Ⅰ)30x-5.5y°=0°30°×4-5.5°y=0°y=21时针与分针在4时21分重合.(2)求时针与分针成一直线的时间.例3 3时几分时,时针与分针成一直线.解:∵时针与分针成一直线时,时针和分针的夹角为当x=3时,根据公式(Ⅰ)30x-5.5y°=180° (0≤y5.5y-90°=180°y=49∴3时49分时,时针与分针成一直线.(3)求时针与分针成90°角的时间.评注:这部分简易的应用题实质上是行程问题,如果我们利用时针与分针夹角的计算公式(Ⅰ)、(Ⅱ)就会大大减少分析过程中带来的麻烦,达到事半功倍的效果.三、竞赛中的钟表试题例4 钟面上从2时到4时,有几次时针与分针夹成60°的角?分别是几时几分?(江苏省初中数学竞赛辅导教材初一分册)解:共有4次,当2时~3时有2次,3时~4时有2次.因为60度是小于平角,所以我们可以用公式(Ⅰ)(1)当2时~3时,把x=2代入到公式(Ⅰ)中,30×2-5.5°=60°30°×2-5.5°×y=±60°∴30°×2-5.5°×y=60°或30°×2-5.5°×y=-60°即y=0或y=21∴当2时~3时之间有2时整和2时21分.(2)当3时~4时,把x=3代入到公式(Ⅰ)中,30×3-5.5y°=60°30°×3-5.5°×y=±60°∴30°×3-5.5°×y=60°或30°×3-5.5°×y=-60°即y=5或y=27∴当3时~4时之间有3时5和3时27分.所以,在2时~4时之间有2:00,2:21,3:5,3:27.下面我给大家再介绍一道实际应用题:例5 某同学做家庭作业前看石英钟(钟面一圈均分成60小格),长短针都在7与8之间,并且长针在短针后1小格;当短针指向8与9之间,而长针正好指向短针的相反方向时,该同学恰好做完家庭作业.问这个同学的家庭作业做了多长时间?[4]解:设该同学开始做作业的时间是7时x分,做完作业的时间是8时y分,根据题意可利用公式(Ⅰ):30×7-5.5y°=6°和30×6-5.5y°=180°∵长针在短针后一格∵0≤y∴210°-5.5x°=6°∴240°-5.5y=180°x=37 y=10∴8时10分~7时37分=33分,故该同学的家庭作业共做了33分.评注:由例4,例5,我们可以发现:在一小时内,给定时针与分针夹角的度数后,可能会出现两个时刻,而公式(Ⅰ)中的绝对值就能直接体现出这一特点,它会出现两种解.从而降低分析过程中的难度,直接计算出结果.像这类钟表问题看似很难,没有头绪,但只要去认真思考,去探索,总能找到一些规律性的东西.这正如上面所归纳出的公式,会给我们今后的解题带来很大的帮助.参考文献:1.龙飞.求时针与分针夹角的度数.现代中学生(初中学习版).2003.10.第257期2.吕金才.时针和分针应用题的解法.学习方法报(初一学习版).2004.2.2.第5期3.张顺和.江苏省初中数学竞赛辅导初一分册.江苏教育出版社4.张安林.数学试卷(七年级下学期•华东师大版).江苏教育出版社作者单位:江苏省兴化市周庄初级中学。
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巧用公式计算钟表角
在平日的学习过程和近几年中考试题中，我们常会遇到与钟表上的角度计算有关的问题，多数师生在解决这类问题时感到困难大，通常都会采用画简易的表盘示意图的形式，去数两针之间的所夹的格数，既费时又易错。
若能仅从时针、分针转动所成的角度入手解决则较容易。
我们知道，时针、分针转动一周经过12大格或60小格．因此，每小时时针转动30°，每分钟分针转动6°，每分钟时针转动0.5°。
假设时间是m 时n 分，在教学中笔者得到了钟表角的计算公式是：∣m ×30°+0.5°n-6°n ∣。
下面就常见的几种典型例题对此公式的应用加以举例说明：
一、 求某一时刻时针、分针的夹角．
例1.9点22分时，时针与分针的夹角是多少度？
解：9点22分时，时针转过了（9+60
22）×30°=281°，分针转过了22×6°=132°，其度差为∣281°-132°∣=149°，∴时针与分针的夹角是149°．
例2.7点40分时，时针与分针的夹角是多少度？
解：7点40分时，时针转过了（7+60
40）×30°=230°，分针转过了40×6°=240°，其度差为∣230°-240°∣=10°，∴时针与分针的夹角是10°．
例3. 2点54分时，时针与分针的夹角是多少度？
分析：求法与上两例大致相同，不过一般情况我们求出的夹角是小于180°的角。
解：2点54分时，时针转过了（2+60
54）×30°=87°，分针转过了54×6°=324°，其度差为∣87°-324°∣=237°，（大于180°，而习惯上所说的夹角都是小于180）∴时针与分针的夹角是360°-237°=123°．
二、求时针与分针的重合时间．
例4.12点后，时针与分针何时首次重合？
分析：时针与分针重合时，其角度差为0°，则可通过：时针转过的角度-分针转过的角度=0°这个关系式列方程求出具体的重合时间。
解：设x 时y 分时针与分针重合，则时针转了︒⨯+30)60
(y x ，分针转了6y 度，则有30（x+60y ）-6y=0．整理得y=1160x ，当x=1时，得y=11
60．∴时针与分针首次重合为1时11
60分． 例5. 在4点至5点间，时针与分针何时重合？
解：设4点y 分时，时针与分针重合，则时针转过（4+60
y ）×30度，分针转过6y 度，∴30(4)6060y y ⋅+-=。
解得y=24011，所以时针与分针在4点24011
分重合. 三、求时针、分针互相垂直的时间
例6.5点和6点之间，什么时候时针和分针互相垂直？
分析：因为一般情况下，时针和分针的垂直出现两次。
所以此类问题可按夹角为90°或-90°（即分针走过的角度减去时针走过的角度）两种情况处理。
解：设5点y 分时，时针与分针互相垂直，则∣5×30+
2
y -6y ∣ =90故有5×30+2y -6y =90或5×30+2y -6y =-90．解得y=11120或y=11480，所以经过11120或11
480分，时针与分针互相垂直。
四、求时针、分针成一直线的时间．
例7. 2点几分时，时针与分针可成一条直线？
分析：此类可按夹角为180°的情况处理。
解：设第y 分钟，时针与分针成一条直线，则有∣2×30+2
y -6y ∣ =180．此时应取-180，解得y=11480，所以2点11
480分，时针与分针成一条直线． 例8.8点几分，时针与分针可成一条直线？
解：设第y 分钟，时针与分针成一条直线，则有8×30+2
y -6y =180．此时应取180.解得y=11120，所以8点11
120分，时针与分针成一条直线． 评注：此类问题属于夹角问题的一个特例，因为6点时属于时针和分针成一直线的特例，所以解答时以6点为分界线。
若时间小于6点，按夹角为-180°计算，若时间大于6点，则按夹角为180°解答。
几点说明：
1、公式中的时间按12小时制，若是24小时制，则换算为12小时制。
如16点15分，则按4点15分代入公式计算。
2、若计算的结果大于180°，按照计算夹角的习惯方法，答案应为360°减去运算结果。