高考数学复习专题函数的对称性与周期性

合集下载

高考数学复习---《周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用》真题练习(含答案)

高考数学复习---《周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用》真题练习（含答案）1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++−==，则221()k f k ==∑（）A ．3−B ．2−C ．0D ．1【答案】A 【解析】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++−=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +−=，即()()f y f y =−，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++−==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=−−，()()14f x f x −=−−，故()()24f x f x +=−，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =−=−=−，()()()321112f f f =−=−−=−，()()()4221f f f =−==−，()()()5111f f f =−==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++−=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++−=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos 3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++−=++−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =−=−=−==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=−−−=−∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +−=−−=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（）A ．21−B ．22−C ．23−D ．24−【答案】D 【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x −=+，因为()(4)7g x f x −−=，所以(2)(2)7g x f x +−−=，即(2)7(2)g x f x +=+−，因为()(2)5f x g x +−=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++−=，即()(2)2f x f x +−=−，所以()()()()35212510f f f +++=−⨯=−，()()()()46222510f f f +++=−⨯=−．因为()(2)5f x g x +−=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =−−=−．因为()(4)7g x f x −−=，所以(4)()7g x f x +−=，又因为()(2)5f x g x +−=，联立得，()()2412g x g x −++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =−=−．所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=−−−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑．故选：D3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f −=D ．(1)(2)g g −=【答案】BC【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x −=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f −=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=−，(4)()g x g x −=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''−=+⇔−−=+⇔−−=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x −+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC ．故选：BC ．[方法三]：因为322f x ⎛⎫− ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=−，所以()()3f x f x −=，(4)()g x g x −=，则(1)(4)f f −=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x −==−−，所以()(2)(1)g x g x g x +=−+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g −==−，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误．故选：BC ．【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．4．（2022·全国·统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++−=是奇函数，则=a _____，b =______．【答案】 12−； ln 2．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠ 若奇函数的1()||1f x ln a b x =++−有意义，则1x ≠且101a x+≠− 1x ∴≠且11x a ≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=−，解得12a =−，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12−；2ln ． [方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x−+−−=++=+=+−−− 1()1ax a f x ln b x++−=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x ln ln b x x−−++∴+−=++=−+ 2222(1)201a x a lnb x −+∴+=− 22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=− 1222241,22b ln b ln a b ln ln −==−⇒=∴=−= [方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x ++−=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠−可得，()()110x a ax −+−≠，所以11a x a +==−，解得：12a =−，即函数的定义域为()()(),11,11,−∞−⋃−⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x +=−++=−−，在定义域内满足()()f x f x −=−，符合题意．故答案为：12−；ln 2．本课结束。

函数的奇偶性、周期性与对称性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质（1）两个奇函数的和仍为奇函数；（2）两个偶函数的和仍为偶函数；（3）两个奇函数的积是偶函数；（4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解

高考数学复习----《利用周期性和对称性解决函数问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则3112i f i =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑（）A ．12B ．0C ．12−D ．1−【答案】C【解析】因为()22f x +为偶函数，所以()()2222f x f x −+=+，用1122x +代替x 得：()()13f x f x −+=+，因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x −+=−+，故()()31f x f x +=−+①，用2x +代替x 得：()()53f x f x +=−+②，由①② 得：()()51f x f x +=+，所以函数()f x 的周期4T =，所以()()401f f ==，即1b =，因为()()11f x f x −+=−+，令0x =得：()()11f f =−，故()10f =，()10f a b =+=，解得：1a =−，所以[]0,1x ∈时，()1f x x =−+，因为()()11f x f x −+=−+，令12x =，得2123f f ⎛⎫⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1111222f ⎛⎫=−+= ⎪⎝⎭，所以3122f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，因为()()2222f x f x −+=+，令14x =得：12214422f f ⎛⎫⎛⎫−⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即235212f f ⎛⎫⎛⎫==− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为4T =，所以7714222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()()11f x f x −+=−+，令32x =得：151222f f ⎛⎫⎛⎫−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2721f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，311111122235722222i f i f f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=−−+=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑．故选：C例2、（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x −为偶函数，()()20f x f x −+−=，当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=．则()131k f k ==∑（）A ．16B ．20C ．24D ．28【答案】C【解析】因为()2f x −是偶函数，所以()2(2)f x f x −−=−，所以()(4)f x f x =−−，所以函数()f x 关于直线2x =−对称，又因为()()20f x f x −+−=，所以()()2f x f x −−=−，所以()(2)f x f x =−−−，所以()f x 关于点(1,0)−中心对称，由()(4)f x f x =−−及()(2)f x f x =−−−得(4)(2)f x f x −−=−−− 所以(4)(2)()f x f x f x −−=−−−=− 所以函数()f x 的周期为4，因为当[]2,1x ∈−−时，()14xf x ax a =−−（0a >且1a ≠），且()24f −=，所以21424a a −=+−，解得：2a =或4a =−，因为0a >且1a ≠，所以2a =．所以当[]2,1x ∈−−时，()1()242xf x x =−−，所以(2)4,(1)0f f −=−=，(3)(1)0f f −=−=，(0)(2)4f f =−−=−， (1)(14)(3)0f f f =−=−=，(2)(2)4f f =−=，(3)(1)0f f =−=， (4)(0)4f f ==−，所以(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=，所以()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑，故选：C ．例3、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点； ②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例4、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例5、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B例6、（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，且当01x ≤≤时，()21f x x =−．若直线y x a =+与曲线()y f x =恰有三个公共点，那么实数a 的取值的集合为（）A ．51,4k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）B ．521,24k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）C ．52,214k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）D ．5,14k k ⎛⎫−− ⎪⎝⎭（Z k ∈）【答案】B【解析】定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x −=+，所以()f x 的图像关于1x =对称，且()f x 为周期是2的偶函数，当11x −≤≤时，()21f x x =−，所以画出函数图像如下图所示：①当1a =±时，结合图像可知y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）有两个公共点；②当y x a =+与()21f x x =−（[)1,1x ∈−）相切时，满足21x a x +=−，即210x x a ++−=，令()1410a ∆=−−=，解得54a =．当54a =时，结合图像可知y x a =+与()y f x =（x R ∈）有两个公共点；由图像可知， 51,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线y x a =+与()y f x =（x R ∈）有三个公共点；又因为()f x 周期2T =，可知521,24a k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭（Z k ∈）．故选：B ．例7、（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则实数a 的取值范围为（）A ．()4,+∞B ．()6,+∞C ．()1,4D ．()4,6【答案】D【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，又函数()log 1a g x x =+的图像可由函数log a y x =的图像向左平移一个单位可得，所以函数()log 1a g x x =+的图像的对称轴为=1x −，当[)1,1x ∈−时，()2f x x =，所以函数()f x 的图像也关于=1x −对称，在平面直角坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =在=1x −右侧的图像，数形结合可得，若函数()log 1a g x x =+图像与()f x 的图像恰有10个不同的公共点，则由函数图像的对称性可得两图像在=1x −右侧有5个交点，则()()13log 415log 61a a a g g ⎧>⎪=<⎨⎪=>⎩，解得()4,6a ∈．故选：D ．例8、（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，x ∀∈R ，恒有(4)()f x f x +=−，且当[2,0)x ∈−时，()f x x =−−1，则(0)(1)(2)(2020)(2021)f f f f f +++++=（）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】B【解析】因为(4)(),(8)(4)()f x f x f x f x f x +=−+=−+=，所以()f x 的最小正周期是8，因为(0)0,(2)(2)1,(3)(1)0f f f f f ==−−=−=−−=，(4)(0)0,(1)(3)f f f f =−==−−=(3)0f =，(5)(1)0f f =−=，(6)(2)1f f =−=， (7)(3)0,(8)(4)0f f f f =−==−=，又()f x 是周期为8的周期函数，所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f f +++++++==(2008)(2009)(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)0f f f f f f f f +++++++=，(2016)(2017)(2018)(2019)(2020)(2021)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f f +++++=+++++00(1)0001=++−+++=−，所以(0)(1)(2)(2020)(2021)1f f f f f +++++=−．故选：B。

高考数学重难点分析：函数的周期性与对称性(题型战法)(解析版)

第二章函数2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）知识梳理一函数的周期性函数()y f x =满足定义域内的任一实数x (其中,a b 为常数) (1)()()f x f x a =+，则()x f 是以T a =为周期的周期函数； (2)()()f x a f x b +=-, 则()x f 是以b a T +=为周期的周期函数； (3)()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； (4)()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；二函数的对称性轴对称：若()()f a x f b x +=- 则f(x)关于2ba x +=对称. 中心对称：若()()2f a x f b x m ++-= 则f(x)关于(2ba +，m) 对称.三由对称性推周期性(1) 函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），①若()x f 为奇函数，则函数()f x 4T a =，②若()x f 为偶函数，则函数()f x 周期为2T a =.(2) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(3) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y ,()0,B b y ()a b ≠都对称，则函数()f x 是以2a b -为最小正周期的周期函数；(4) 函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b ≠都对称，则函数()f x 是以4a b -为最小正周期的周期函数；题型战法题型战法一周期性与对称性的判断典例1．下列函数是周期函数的有（） ①sin y x = ①cos y x = ①2y xA ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数和二次函数的性质可得. 【详解】易得sin y x =和cos y x =是周期函数，2y x 不是周期函数. 故选：C.变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（） A ．0.5log y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =【答案】C 【解析】直接利用函数性质判断即可. 【详解】选项A 中0.5log y x =不是周期函数,故排除A; 选项B,D 中的函数均为奇函数,故排除B,D; 故选:C. 【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题. 变式1-2．函数x y e =与x y e -=的图象（） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上，证明00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上.【详解】解：设点00(,)P x y 在函数x y e =图象上，则00xy e =，则00(,)P x y 关于y 轴对称的点00(,)x y -满足0()0x x y ee --==，所以点00(,)x y -在函数x y e -=的图象上. 故选：B变式1-3．函数91()3x x f x +=的图像（）A ．关于直线1x =对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称【答案】B 【解析】【分析】利用分离常数法化简函数式，可知函数()f x 为偶函数，进而判断对称性. 【详解】解：因为()()231911333333x xx x x xxxf x -++===+=+，()()33x x f x f x --=+= 易知()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称. 故选：B.变式1-4．函数1()f x x x=+的图象关于（）对称. A ．直线y x = B ．原点C ．y 轴D ．x 轴【答案】B 【解析】根据函数的奇偶性判断. 【详解】因为函数1()f x x x=+的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故选：B题型战法二由函数周期性求函数值典例2．已知函数()y f x =为R 上的偶函数，若对于0x ≥时，都有()()4f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()2021f -等于（） A ．1 B ．-1 C ．2log 6 D ．23log 2【答案】A 【解析】【分析】由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解. 【详解】①()y f x =为R 上的偶函数，①(2021)(2021)f f -=，又当0x ≥时，()(4)f x f x =+， ①(2021)(2017)(1)f f f ==⋅⋅⋅=，当[)0,2x ∈时，2()log (1)=+f x x ， ①2(2021)(1)log (11)1f f -==+=. 故选：A.变式2-1．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+，则(2020.5)f =（） A ．1716B ．54C ．2D ．1【答案】B 【解析】【分析】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，利用周期性把所给的自变量转化到区间[]1,1-上，代入求值即可. 【详解】由()()2f x f x +=可知，函数()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()1f x x =+， ①1115(2020.5)202012244f f f ⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B变式2-2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=.且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20132014f f -+的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】【分析】由()()2f x f x +=可得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可得()()()()2013201410f f f f -+=+，然后由已知的解析式可求得答案【详解】①函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数， ①()()f x f x -=，又①对于0x ≥都有()()2f x f x +=，①2T =，①当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，①()()()()()()201320142013201421006121007f f f f f f -+=+=⨯++⨯()()2210log 2log 11f f =+=+=，故选：C.变式2-3．已知定义在R 上的偶函数()f x ，对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当03x ≤≤时，()26f x x =-，则()2021f =（） A ．0 B ．2-C ．4-D ．2【答案】C 【解析】【分析】求得()f x 的周期，结合奇偶性求得()2021f 的值. 【详解】依题意对x ∀∈R ，有(6)()(3)f x f x f +=+成立，令3x =-，则()()()()33323f f f f =-+=，所以()30f =，故()()6f x f x +=，所以()f x 是周期为6的周期函数，故()()()()202163371112164f f f f =⨯-=-==⨯-=-. 故选：C变式2-4．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，f （1）5=，且(4)()f x f x +=-，则(2020)(2021)f f +的值为（）A ．0B ．5-C ．2D ．5【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分析可得(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，则有(2020)(0)f f =，(2021)f f =（1），由奇函数的性质求出(0)f 与f （1）的值，相加即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，则有(8)(4)()f x f x f x +=-+=，即函数()f x 是周期为8的周期函数，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，(2020)(48252)f f f =+⨯=(4)(0)0f ==， (2021)(58252)f f f =+⨯=(5)f =-（1）5=-，则(2020)(2021)(0)f f f f +=+（1）5=-，故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.题型战法三由函数对称性求函数值典例3．如果函数()f x 对任意的实数x ，都有()1()f x f x +=-，且当12x ≥时，()()2log 31f x x =-，那么函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和为（）A ．2B ．3C ．4D ．－1【答案】C 【解析】根据()1()f x f x +=-，可知：()f x 关于12x =对称，根据对称性，要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和，即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和，代入即可得解. 【详解】根据()1()f x f x +=-，可知：()f x 关于12x =对称，那么要求函数()f x 在[]2,0-上的最大值与最小值之和，即求函数()f x 在[]1,3上的最大值与最小值之和，因为()()2log 31f x x =-递增，所以最小值与最大值分别为：(1)1f =，(3)3f =， (1)(3)4f f +=，故答案为：C. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了转化思想，计算量较小，思路要求较高，属于中档题.变式3-1．已知3()4f x ax bx =+-，若(2)6f =，则(2)f -=（） A ．－14 B ．14 C ．6 D ．10【答案】A 【解析】【分析】先计算(2)+(2)f f -，再代入数值得结果. 【详解】(2)+(2)8248248f f a b a b -=+----=-,又(2)6f =，所以(2)14,f -=-故选A 【点睛】本题考查函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.变式3-2．已知函数124xy a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的图象与指数函数x y a =的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】【分析】指数函数xy a =关于y 轴对称的函数为1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得到124a -与a 的关系，即可求解出a 的值. 【详解】因为两函数的图象关于y 轴对称，所以124a -与a 互为倒数，所以124aa =-，解得4a =．故选C. 【点睛】本题考查指数函数图象对称与底数之间关系，难度较易.关于y 轴对称的指数函数的底数互为倒数.变式3-3．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为 A ．1- B ．1 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】【详解】试题分析：因为函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，所以点()()1,1f --与点()(),a f a ，关于直线1x =对称，11,32aa -+==，故选D.考点：函数的图象与性质.变式3-4．已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线3x π=对称，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）AB C ．D【解析】【分析】先由对称性求得a ，再将4π代入函数解析式即可求得答案.【详解】因为()f x 的图象关于直线3x π=对称，所以()203f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即112=-，解得a =4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．故选：B题型战法四由周期性与对称性求函数解析式典例4．设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知[23]x ∈，时，()f x x =，则x ∈[-2，0]时，f （x ）的解析式为f （x ）=（） A ．4x + B ．2x - C ．31x -+ D ．21x -+【答案】C 【解析】【分析】根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合[]2,3x ∈时，()f x x =，可得答案．【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，[]2,3x ∈时，()f x x =，∴[]21x ∈--，时， []20,1x +∈，[]42,3x +∈，此时()()44f x f x x =+=+，[]1,0x ∈-时，[]0,1x -∈，[]22,3x -∈，此时()()()22f x f x f x x =-=-=-，综上可得：[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+ 故选：C ．本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．变式4-1．已知函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =，则当x ①（-3，-2）时，()f x 等于（） A ．2x B ．2x - C ．22x + D ．(2)2x -+-【答案】C 【解析】令(32)x ∈--，，则2(1,)x +∈-0，根据(1,0)x ∈-时，f （x ）＝2x ，可求得f （x +2）的解析式，再根据f （x +2）＝f （x ），即可求得f （x ）解析式．【详解】令(32)x ∈--，，则2(1,)x +∈-0， ①当(1,0)x ∈-时，有()2x f x =， ①f （x +2）＝2x +2， ①f （x +2）＝f （x ），①f （x +2）＝f （x ）＝2x +2，(32)x ∈--，．故选：C ．【点睛】本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．变式4-2．已知()f x 是定义在R 上周期为2的函数，当[]1,1x ∈-时，()||f x x =，那么当[]7,5x ∈--时()f x =（） A ．|3|x + B ．|3|x -C ．|6|x +D ．|6|x -【答案】C 【解析】利用周期函数的定义求解即可. 【详解】设[]7,5x ∈--,则[]61,1x +∈-, 由题意知,()66f x x +=+,因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的函数, 所以()()6f x f x +=,即()6f x x =+.故选: C 【点睛】本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.变式4-3．若函数()f x 与()3xg x =的图象关于直线3x =对称，则()f x =（）A ．33x -B ．33x -C ．63x -D ．63x -【答案】D 【解析】【分析】先设出函数()f x 图像上任意点的坐标，再求出关于直线3x =对称的点，代入函数()g x 的解析式即可求解．【详解】解：设函数()y f x =图像上的点为(,)M x y ，关于直线3x =对称的点为(6,)N x y -，将点N 代入函数()y g x =的解析式可得：63x y -=，故6()3x f x -=，故选：D ．变式4-4．下列函数中，其图象与函数2x y =的图象关于直线1x =对称的是（） A ．12x y -= B ．22x y -= C ．12x y += D ．22x y +=【答案】B 【解析】【分析】设所求函数图象上任意一点为(),x y ，由其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上可解得结果.【详解】设所求函数图象上任意一点为(),x y ，则其关于直线1x =的对称点()2,x y -在函数2x y =的图象上，所以22x y -=.故选：B.题型战法五由周期性与对称性比较大小典例5．定义在R 上的函数()f x 满足：()()4f x f x +=成立且()f x 在[]2,0-上单调递增，设()6a f =，(b f =，()4c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】由()()4f x f x +=，得到()f x 是周期为4的周期函数，得到(6)(2),(4)(0)f f f f =-=，4)f f =，结合()f x 在[]2,0-上单调递增，得到(2)4)(0)f f f -<<，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，则(6)(68)(2),4),(4)(0)f f f f f f f =-=-==，又由函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，可得(2)4)(0)f f f -<<，即(6)(4)f f f <<，所以c b a >>. 故选：D.变式5-1．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=-，若()f x 在区间[]0,1是减函数，则53f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1f ，112f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（） A ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()511132f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可. 【详解】()()()()()()22224f x f x f x f x f x f x +=-⇒++=-+⇒=+，由此可知函数()f x 的周期为4，函数()f x 是奇函数，()()2f x f x +=-，所以有：55771142333333f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，113311142222222f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-+=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在区间[]0,1是减函数，11132<<，所以()11132f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()115123f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B变式5-2．已知函数()f x 的定义域为 R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈ ，且 12x x ≠，都有()1212()0f x f x x x ->- ；①(8)()f x f x +=；①(4)y f x =+ 是偶函数；若(7),(11)a f b f =-=，(2020)c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a <<【答案】D 【解析】由已知条件可知()f x 在[]4,8上单调递增，周期为8，对称轴为4x =.则()7a f =，()5b f =，()4c f =，再结合函数的单调性即可判断大小.【详解】解：由①知，()f x 在[]4,8上单调递增；由①知，()f x 的周期为8；由①知，()f x 的对称轴为4x =；则()()()717a f f f =-==，()()()()1183835b f f f f =-==-=，()()202025284c f f =-⨯=，因为457<<，由函数的单调性可知，c b a <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了函数的对称性，考查了函数的周期，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.变式5-3．定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的实数x ∈R ，都有()()220f x f x ++-=成立；①函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称；①对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立.则()2021f ，()2022f ，()2023f 的大小关系为（）A ．()()()202120232022f f f >>B ．()()()202120222023f f f >>C ．()()()202320222021f f f >>D ．()()()202220212023f f f >>【答案】B 【解析】【分析】由①①可得函数()f x 是周期为4的函数，且()f x 是奇函数，由①可得函数()f x 在[]0,1上单调递增，进而可得函数()f x 在[]1,1-上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解. 【详解】解：由题意，因为函数()1y f x =+的图象关于y 轴对称，所以()()11f x f x +=-+，所以()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于1x =对称，又()()220f x f x ++-=，所以()()20f x f x ++=，即()()2f x f x +=-，因为()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数，所以()()20211f f =，()()()202220f f f ==，()()20231f f =-，因为()()2f x f x +=-，且()()2f x f x +=-，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，又因为对任意的1x ，[]20,1x ∈，12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+成立，即()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在[]0,1上单调递增，所以函数()f x 在[]1,1-上单调递增，因为101>>-，所以()()()202120222023f f f >>，故选：B.变式5-4．已知定义在R 上的函数()f x 满足，①()()2f x f x +=，① ()2f x -为奇函数，①当[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-()12x x ≠恒成立.则152f ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()4f 、112f⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系正确的是（） A ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1115422f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据单调性的定义可得()f x 在0,1上单调递增，根据已知条件可得()f x 是周期为2的奇函数，根据周期性和单调性即可求解. 【详解】由()()2f x f x +=可得()f x 的周期为2，因为()2f x -为奇函数，所以()f x 为奇函数，因为[)0,1x ∈时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在0,1上单调递增，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在1,0上单调递增，所以()f x 在()1,1-上单调递增，因为1515124222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()44220f f f =-⨯=，1111123222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()11022f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()1511422f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.题型战法六由抽象函数周期性与对称性求函数值典例6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()10f =，()5.52f =，()()()1g x x f x =-.若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（） A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3【答案】D 【解析】【分析】根据()1g x +得到()g x 关于1x =对称，得到()()2g x g x =-，结合()()()1g x x f x =-和()f x 为偶函数即可得()f x 周期为4，进而即得.【详解】因为()1g x +为偶函数，则()g x 关于1x =对称，即()()2g x g x =-. 即()()()()112x f x x f x -=--，即()()20f x f x +-=，()10f =也满足. 又()f x 是定义域为R 偶函数，关于y 轴对称，①()()2f x f x =--，()()()()()2,42f x f x f x f x f x +=-+=-+=， ①()f x 周期为4，①()()()()5.5 1.5 2.5 2.52f f f f ==-==， ①()()()0.5 2.5 1.5 2.53g g f -===. 故选：D.变式6-1．已知函数()f x 满足(3)(1)9(2)f x f x f +=-+对任意x ∈R 恒成立，又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022,f = 则(45)f =（）A ．2021B ．2021-C ．2022D ．2022-【答案】D 【解析】【分析】首先利用赋值法求出()20f =，代入等式赋值得到(4)()f x f x +=-，即对称轴为2x =，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到(45)(3)(3)(1)f f f f =-=-=-.【详解】因为对任意x ∈R ，都有(3)(1)9(2),f x f x f +=-+ 令1,x =- 得(2)(2)9(2),f f f =+ 解得(2)0,f = 则(3)(1),f x f x +=- 即(4)(),f x f x +=- 所以函数()f x 的图象关于直线2x =对称.又函数(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，则函数()f x 的图象关于点(0,0)对称，即函数()f x 为奇函数，所以(4)()(),f x f x f x +=-=-所以(8)(4)(),f x f x f x +=-+= 所以8是函数()f x 的一个周期，所以(45)(683)(3)(3)(1)2022,f f f f f =⨯-=-=-=-=- 故选：D.变式6-2．若定义在实数集R 上的偶函数()f x 满足()0f x >，1(2)()f x f x +=，对任意的x ∈R 恒成立，则()2021f =（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D 【解析】【分析】根据题干条件得到()f x 为周期函数，最小正周期为4，进而得到()()20211f f =，利用()f x 是偶函数得到()()11f f -=，进而得到()211f =，结合()0f x >，得到()11f =.【详解】1(2)()f x f x +=，则1()(2)f x f x =-，所以1(2)(2)()f x f x f x +==-，即()()4f x f x +=，()f x 为周期函数，最小正周期为4，则()()()2021505411f f f =⨯+=，令1x =-得：1(12)(1)f f -+=-，即()()111f f =-，又因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，故()()111f f =，即()211f =，因为()0f x >，所以()11f =.故选：D变式6-3．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()0f x f x ，(5)(5)f x f x -=+，且(1)2022f =，则(2020)(2021)f f -=（）A ．2026B ．4044C ．2022-D ．4044-【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知函数是奇函数，进而推导()f x 的周期，然后求出函数值即可. 【详解】()()0f x f x -+=,()()f x f x ∴-=-,()f x ∴是奇函数，x R ∈,(0)=0f ∴.(5)(5)f x f x -=+,()(10)f x f x ∴-=+,由()()()(10)f x f x f x f x ,()(20)f x f x ∴=+，()f x ∴的周期为20T =.0(1)202()20=f f =，.(0)(1)020222022(2020)(2021)f f f f ∴-=-=--=.故选：C变式6-4．函数()f x 定义域为R ，且,(4)()2(2)x R f x f x f ∀∈+=+，若函数(1)f x +的图象关于1x =-对称，且(1)3f =，则(2021)f =（） A ．3 B ．-3C ．6D ．-6【答案】A 【解析】【分析】由题设可知()f x 为偶函数且(2)(2)2(2)f f f =-+，即可得(2)0f =，易知()f x 是周期为4的函数，利用周期性求(2021)f 即可. 【详解】①(1)f x +的图象关于1x =-对称， ①()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又(2)(2)2(2)f f f =-+，即(2)(2)0f f +-=，而(2)(2)f f =-， ①(2)(2)0f f =-=，故,(4)()x R f x f x ∀∈+=， ①()f x 是周期为4的函数，综上，(2021)(45051)(1)3f f f =⨯+==. 故选：A。

新人教版高考数学一轮复习对称性与周期性的二级结论

因为f(1)=f(3)=0,所以f(11)=f(13)=0,f(-9)=f(-7)=0.
故f(x)=0在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知在[0,2 023]上有406个解,在[-2
023,0]上有404个解.所以方程f(x)=0在闭区间 −2 023,2 023 上根的个数为810.
复习导学案
培优增分拓展提升课三
对称性与周期性的二级结论
2
【结论总结】
一、函数的对称性相关结论
1.同一个函数的自身对称
结论❶:若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)或f(x)=f(a+b-x),则函数y=f(x)的图象关于直
+
线x= 对称.
2
[说明]轴对称问题:
( + ) = (−)
2
结论❹:函数y=f(x)与y=-f(2a-x)+2b的图象关于点A(a,b)成中心对称.
5
二、函数周期性的结论
1.函数周期性的常用结论
结论❺:若f(x+a)=f(x-a),则f(x)的一个周期为2a;
结论❻:若f(x+a)=-f(x),则f(x)的一个周期为2a;
结论❼:若f(x+a)+f(x)=c(a≠0),则f(x)的一个周期为2a;
结论❽:若f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),则f(x)的一个周期为6a;
结论❾:若f(x+a)=
1
()
结论
:若f(x+a)=-
,则f(x)的一个周期为2a;
1
()
,则f(x)的一个周期为2a.
6
2.由对称性推得周期
结论

函数的奇偶性、周期性与对称性-高考数学复习

±1，解得 a ＝0（舍去）或 a ＝2，故选D.
法二

− −1
因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （1）－ f （－1）＝－ −
−1
−1
− −1
＝
＝0，所以 a －1＝1，所以 a ＝2.故选D.
−1
目录
高中总复习·数学
解题技法
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
目录
高中总复习·数学
考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】（1）已知偶函数 f （ x ），当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2
π
sin x ，当 x ∈[2，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x ，则 f （－）＋ f （4）
3
＝（
）
B. 1
D. 3
目录
高中总复习·数学
解析：∵函数 f （ x ）是偶函数，当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2 sin
所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
目录
高中总复习·数学
（3） f （ x ）＝
36− 2
｜+3|−3
解：由 f （ x ）＝
；
36− 2
｜+3|−3
，可得
36 − 2 ≥ 0，
−6 ≤ ≤ 6，
⇒ቊ
故函数 f （ x ）的定义域为
൝
｜ + 3| − 3 ≠ 0 ≠ 0且 ≠ −6，
1（符合题意）.故选A.
目录
高中总复习·数学
2. （多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（
）
A. y ＝ x ＋e x
目录
高中总复习·数学
解析：
记 f （ x ）＝ x ＋e x ，则 f （－1）＝－1＋e－1， f （1）＝

高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案

5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；
对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；
对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，
又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法

高考数学一轮总复习函数的对称性与周期性分析方法高考数学一轮总复习：函数的对称性与周期性分析方法函数是数学中一个重要的概念，对称性与周期性是函数研究中的两个关键方面。

在高考数学中，对于函数的对称性与周期性的分析方法，学生需要掌握清楚并能够熟练运用。

本文将详细介绍高考数学中函数的对称性与周期性分析方法。

一、函数的对称性分析方法1. 基本对称性函数的基本对称性是指关于坐标轴的对称性，包括关于x轴的对称性和关于y轴的对称性。

关于x轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = f(-x)$，则函数关于x轴对称。

关于y轴的对称性：如果函数$f(x)$满足$f(x) = -f(-x)$，则函数关于y轴对称。

2. 奇偶性函数的奇偶性是对称性的一种特殊情况。

奇函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = -f(x)$，则函数为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

偶函数：如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$，则函数为偶函数。

偶函数的图像关于y轴对称。

3. 周期性函数的周期性是指函数在一定区间内有规律地重复的性质。

函数$f(x)$的周期为T：如果对于任意的x值，有$f(x+T) = f(x)$，则函数的周期为T。

二、函数的周期性分析方法1. 函数图像法通过观察函数的图像，可以直观地判断函数的周期。

例如，对于正弦函数$y = \sin(x)$，我们可以观察到在区间[0, 2π]中，函数的图像重复周期为2π。

2. 方程法对于周期函数，可以通过解方程来确定函数的周期。

例如，对于正弦函数$y = \sin(ax)$，其中a为常数，若函数的周期为T，则有：$\sin(a(x+T)) = \sin(ax)$根据正弦函数的性质，上式成立的条件为：$a(x+T)-ax= k2π$其中k为整数，解得：$T = \frac{2π}{a}$通过方程法，我们可以得到正弦函数的周期为$\frac{2π}{a}$。

三、实例分析下面以一个具体的例子来说明函数的对称性与周期性分析方法。

高考数学复习考点题型专题讲解2 中心对称轴对称和周期性

高考数学复习考点题型专题讲解第2讲中心对称、轴对称与周期性7类【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数【典例分析】已知函数()1e e 21x x xf x -=+-+，若不等式()()2121f ax f ax +-≥对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,e B ．[]0,e C ．(]0,1 D ．[]0,1【答案】D 【分析】构造函数()()12g x f x =-，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为()()2111222f ax f ax ⎡⎤-≥---⎢⎥⎣⎦，即()()221g ax g ax ≥-，再利用函数单调性解不等式即可. 【详解】 ()1e e 21x x xf x -=+-+Q ， ()()1111e e e e 121212121x x x xx x x x f x f x ----∴+-=+-+-+=++=+++ 令()()12g x f x =-，则()()0g x g x +-=，可得()g x 是奇函数，又()()()2121e e e e e 21e 21ln 2ln 2++2122x x x x x xx x x x xg x --'⎛⎫''=+-== ⎪+⎝++--+⎭，又利用基本不等式知e 2+1e xx ≥当且仅当1e e xx=，即0x =时等号成立；ln 2ln 214222x x ≤++当且仅当122xx=，即0x =时等号成立；故()0g x '>，可得()g x 是单调增函数，由()()2121f ax f ax +-≥得()()()21111212222f ax f ax f ax ⎡⎤-≥--+=---⎢⎥⎣⎦，即()()()21221g axg ax g ax ≥--=-，即2210axax -+≥对x ∀∈R 恒成立.当0a =时显然成立；当0a ≠时，需2440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，得01a <≤，综上可得01a ≤≤，故选：D.【变式演练】1.对于定义在D 上的函数()f x ，点(),A m n 是()f x 图像的一个对称中心的充要条件是：对任意x D ∈都有()()22f x f m x n +-=，判断函数()32234f x x x x =+++的对称中心______.【答案】270327⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】根据点(),A m n 是()f x 图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.解：因为()32234f x x x x =+++，由于()32322222223323234x f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-⨯-=-⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+++++⎝⎭⎝⎭+701403422327272x +=⨯=⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭.即23m =-，7027n =.所以270327⎛⎫- ⎪⎝⎭，是()32234f x x x x =+++的一个对称中心.故答案为：270327⎛⎫- ⎪⎝⎭，.2.设函数())ln f x x =，若a ，b 满足不等式()()22220f a a f b b -+-≤，则当14a ≤≤时，2a b -的最大值为 A ．1 B ．10 C ．5 D ．8【答案】B 【详解】因为()))()ln ln0f x f x x x +-=+=,所以函数()f x 为奇函数,又因为()))0ln-lnx f x x x >==时为单调减函数,且(0)0f =所以()f x 为R 上减函数,因此()()()()()()2222222202222f a a f b b f a a f b b f a a f b b -+-≤⇔-≤--⇔-≤-+222222(1)(1){{2020a b a ba ab b a b a b a b ≥≤⇔-≥-+⇔-≥-⇔+-≥+-≤或,因为14a ≤≤,所以可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中(1,1),(4,4),(4,2)A B C -,因此直线2z a b =-过点C 时取最大值10,选B.3.．已知函数()ln 2e exf x x e x=-+-，若22018202020202020e e e f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2019201920202e f a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0b >，则12a a b +的最小值为A ．34B ．54C D 【答案】A 【分析】通过函数()f x 解析式可推得()()2f x f e x +-=，再利用倒序相加法求得2201820192020202020202020e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得到a b +的值，然后对a 分类讨论利用基本不等式求最值即可得出答案. 【详解】解：因为()ln 2e exf x x e x=-+-，所以()()()ln ()ln 22()e ex e e e xf x f e x x e x e x e e x -+-=-++--+---2()()lnln ln()ln 2ex e e x ex e e x e e x x e x x--=+=⋅==--，令2201820192020202020202020e e e e S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则2019220182019222019202020202020202020202020e e e e e e S f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅++=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2019S = 所以()201920192a b +=，所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时1||121212()112||2222a b a b a b a b a b a b -+⎛⎫+=+=+-=+⋅- ⎪⎝⎭15215511222224b a a b ⎛⎛⎫=++-≥+-= ⎪ ⎝⎭⎝ 当且仅当2,2b a a b =即24,33a b ==时等号成立；当0a <时1||1121212||222a a b a b a b a b a b ---+=+=+=++---112152()1122222b a a b a b a b --⎛⎫⎛⎫=+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2,2b a a b -=-即2,4a b =-=时等号成立；因为3544<，所以1||2||a a b +的最小值为34.故选：A.【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称【典例分析】已知函数sin 1y x =+与2x y x+=在[]a a -，（a Z ∈，且2017a >）上有m 个交点11()x y ，，22()x y ，，……，()m m x y ，，则1122()()()m m x y x y x y ++++++=A ．0B ．mC ．2mD ．2017【答案】B 【详解】由图可知交点成对出现，每对交点关于点（0,1）对称，横坐标和为0，纵坐标和为2，所以()()()1122m m x y x y x y ++++++=22mm ⨯=，选B.【变式演练】1.函数11()2sin[()]12f x x x π=+--在[3,5]x ∈-上的所有零点之和等于______. 【答案】8 【详解】分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和．详解：零点即()0f x =，所以112sin 12x x π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 即12cos 1x x π=-，画出函数图像如图所示函数零点即为函数图像的交点，由图可知共有8个交点图像关于1x =对称，所以各个交点的横坐标的和为8点睛：本题考查了函数的综合应用，根据解析式画出函数图像，属于难题．2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________．【答案】【解析】试题分析：由已知22222sin 2sin ()=t+tx x t x x xf x x t x t++++=++，而函数22sin x x y x t +=+为奇函数又函数()f x 最大值为，最小值为，且，()242M t N t M N t t ∴-=--∴+==∴=考点：函数的奇偶性和最值【名师点睛】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．解释要充分利用已知条件将函数变形为22sin ()=t+x x f x x t ++，则函数22sin x xy x t+=+为奇函数，而奇函数的最值互为相反数，可得()M t N t ∴-=--，则问题得解．3.已知函数()())2+1sin lnf x x x x =++，若不等式()()39334x x x f f m -+⋅-<对任意x ∈R 均成立，则m 的取值范围为（）A ．()1-∞ B ．(),1-∞-C ．()1-D ．()1,-+∞【答案】A 【分析】由题设，构造()()2g x f x =-，易证()g x 为奇函数，利用导数可证()g x 为增函数，结合题设不等式可得(39)(33)x x x g g m -<-⋅，即3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，即可求m 的范围. 【详解】由题设，令()()22sin )g x f x x x x =-=++，∴()2sin())2sin )()g x x x x x x x g x -=-+-+=---=-， ∴()g x 为奇函数，又()2cos 0g x x '=+>，即()g x 为增函数，∵()()39334x x xf f m -+⋅-<，即(39)2[(33)2]x x x f f m --<-⋅--，∴(39)(33)(33)x x x x g g m g m -<-⋅-=-⋅，则3933x x x m -<-⋅，∴3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，又331113xx +-≥=，当且仅当12x =时等号成立，∴1m <，即m ∈()1-∞.故选：A【题型三】轴对称【典例分析】已知函数()()222212222x x x f x ea a ---=-+-有唯一零点，则负实数a =（） A ．2- B ．12-C ．1-D ．12-或1- 【答案】A 【解析】函数()()222212222x x x f x ea a ---=-+-有有唯一零点，设1x t -=，则函数()()212222t t t f x e a a -=-+-有唯一零点，则()212222t t t e a a--+= 3e |t|-a （2t +2-t ）=a 2，设()()1122222222tt t t t tg t e a g t e a g t ---=-+-=-+=（），（）（），∴g t （）为偶函数，∵函数f t （）有唯一零点，∴yg t =（）与2y a =有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，22a a ∴-=，解得2a =-或1a =（舍去），故选A ．【变式演练】1.已知函数()()()22241x x f x x x ee x --=--++在区间[]1,5-的值域为[],m M ，则m M +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【详解】解：()()24x xy x e ex -=--+ 在[]3,3-上为奇函数，图象关于原点对称，()()()()()222222412423x x x x f x x x e e x x e e x ----⎡⎤=--++=---+-+⎣⎦是将上述函数图象向右平移2个单位，并向上平移3个单位得到，所以()f x 图象关于()2,3对称，则6m M +=，故选C .2.已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （a-x ），若函数y=|x 2-ax-5|与y=f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），且mi i 1x =∑=2m ，则a=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【详解】∵f （x ）=f （a-x ），∴f （x ）的图象关于直线x=2a对称，又y=|x 2-ax-5|的图象关于直线x=2a对称，当m 为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=2a 对称，∴x 1+x 2+x 3+…+x m =2m•a=2m，解得a=4．当m 奇数时，两图象的交点有m-1个两两关于直线x=2a 对称，另一个交点在对称轴x=2a上， ∴x 1+x 2+x 3+…+x m =a•-12m +2a=2m ．解得a=4．故选：D ．3.已知函数()()()22sin 122xf x x x x π=+-+，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有①函数()f x 是周期函数；②函数()f x 既有最大值又有最小值；③函数()f x 的定义域为R ，且其图象有对称轴；④对于任意的()1,0x ∈-，()0f x '<（()f x '是函数()f x 的导函数） A ．②③ B ．①③ C ．②④ D ．①②③【答案】A 【详解】函数()f x 定义域为R ，当x →+∞或x -∞←时，()0f x →，又0x =，1x =±，2x =±，3x =±，……时，()0f x =，且均为变号零点.又因为函数满足()()()()()()()()2222sin 1sin 1122111212x xf x f x x x x x x x ππ-===-⎡⎤⎡⎤+-+-+---+⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 关于直线12x =对称，函数图像如下图，故②③正确.【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性【典例分析】已知函数为定义域为的偶函数，且满足，当，时， .若函数在区间，上的所有零点之和为__________．【答案】5【详解】∵足，∴ ，又因函数为偶函数，∴，即，∴ ，令，，，即求与交点横坐标之和.，作出图象：由图象可知有10个交点，并且关于，中心对称，∴其和为故答案为：5【变式演练】1.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，且在[)0,1上单调递减，若方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则方程()1f x =在区间[]1,11-上所有实根之和是（）A ．30B ．14C ．12D ．6【答案】A【分析】根据条件可得出()f x 的图象关于1x =对称，()f x 的周期为4，从而可考虑()f x 的一个周期，利用[]1,3-，根据()f x 在[)0,1上是减函数可得出()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在()1,0-上是减函数，在[)2,3上是增函数，然后根据()1f x =-在[)0,1上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断()1f x =-在一个周期[]1,3-内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出()1f x =-在区间[]1,11-这三个周期内上有6个实数根，和为30.【详解】由()()2f x f x -=知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∵()()2f x f x -=，()f x 是R 上的奇函数，∴()()()2f x f x f x -=+=-，∴()()4f x f x +=，∴()f x 的周期为4，考虑()f x 的一个周期，例如[]1,3-，由()f x 在[)0,1上是减函数知()f x 在(]1,2上是增函数，()f x 在(]1,0-上是减函数，()f x 在[)2,3上是增函数，对于奇函数()f x 有()00f =，()()()22200f f f =-==，故当()0,1x ∈时，()()00f x f <=，当()1,2x ∈时，()()20f x f <=，当()1,0x ∈-时，()()00f x f >=，当()2,3x ∈时，()()20f x f >=，方程()1f x =-在[)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()f x 在()0,1上是单调函数，则由于()()2f x f x -=，故方程()1f x =-在()1,2上有唯一实数，在()1,0-和()2,3上()0f x >，则方程()1f x =-在()1,0-和()2,3上没有实数根，从而方程()1f x =-在一个周期内有且仅有两个实数根，当[]13,x ∈-，方程()1f x =-的两实数根之和为22x x +-=，当[]1,11x ∈-，方程()1f x =-的所有6个实数根之和为244282828282830x x x x x x +-++++-+++-+=+++++=.故选：A .2.已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【分析】由函数()f x 的图像关于原点对称，得出()00f =，再由()()30f x f x -+-=得出函数()f x 的最小正周期为6T =，由原函数与导函数具有相同的周期性可得函数'()f x 的最小正周期为6T =，由此可得选项.【详解】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．3.若函数()y f x =是R 上的奇函数，又(1)y f x =+为偶函数，且1211x x -??时，2121[()()]()0f x f x x x -->，比较(2017)f ，(2018)f ，(2019)f 的大小为（）A ．(2017)(2018)(2019)f f f <<B ．(2018)(2017)(2019)f f f <<C ．(2018)(2019)(2017)f f f <<D ．(2019)(2018)(2017)f f f <<【答案】D【分析】由题意可知，函数()y f x =的周期4T =，再由当1211x x -??时，2121[()()]()0f x f x x x -->可知函数()y f x =在[]1,1-上为增函数，然后计算比较即可.【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，又(1)y f x =+为偶函数，∴()()f x f x -=-，(1)(1)-+=+f x f x ，∴()(4)f x f x =+，即函数()y f x =的周期4T =，1211x x -??时，210x x ->，2121[()()]()0f x f x x x -->，∴21()()0f x f x ->即21()()f x f x >，函数()y f x =在[]1,1-上为增函数， ∴(2017)(14504)(1)f f f =+⨯=，(2018)(24504)(2)(0)f f f f =+⨯==，(2019)(14505)(1)f f f =-+⨯=-，∴(2019)(2018)(2017)f f f <<.故选：D.【题型五】画图：放大镜【典例分析】设函数()y f x =的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x D ∈，都有()()f x T T f x +=⋅，则称函数()y f x =是“似周期函数”，非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-，那么它是周期为2的周期函数； ②函数()2x f x =是“似周期函数”；③如果函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，那么“2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ”．以上正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据题意，首先理解“似周期函数”的定义，逐一分析，从而可判断命题的真假. 【详解】解：①∵“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-， (1)()f x f x ∴-=-，(2)(1)()f x f x f x ∴-=--=，故()y f x =它是周期为2的周期函数，故①正确；②若函数()2x f x =是“似周期函数”，则存在非零常数T ，使()()f x T T f x +=⋅，即22x T x T +=⋅恒成立，故2T T =成立，但无解，故②错误；③若函数()cos f x x ω=是“似周期函数”，则存在非零常数T ，则()()f x T T f x +=⋅，即[]cos ()cos x T T x ωω+=恒成立，故cos()cos x T T x ωωω+=恒成立，即cos cos sin sin cos x T x T T x ωωωωω⋅-⋅=恒成立，故cos sin 0T T T ωω=⎧⎨=⎩，故2,k k ωπ=∈Z 或(21),k k ωπ=+∈Z ，故③正确．所以以上正确结论的个数是2.故选：C.【变式演练】1.已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0=>a f x x a 且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（） A ．(625,)+∞ B ．(4,64)C ．(9,625)D ．(9,64)【答案】C 【分析】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点；当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩，解得9625a <<.故选：C.2.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有1()2f x ≥-，则m 的取值范围是（）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．10,4⎛-∞ ⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D．⎛-∞ ⎝⎦【答案】B 【分析】作出图示，求出当23x <≤时，函数的解析式，求出1()2f x =-成立的x 的值，运用数形结合的思想可得选项．【详解】解：(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)=2()f x f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令14(2)(3)2x x --=-，解得12x x ==所以要使对任意(,]x m ∈-∞，都有1()2f x ≥-，则m ≤，m ⎛∴∈-∞ ⎝⎦，故选：B ．3.定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（）A ．72B ．92C ．134D ．154【答案】D 【分析】计算()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图像，计算()116f x =，解得154x =，得到答案. 【详解】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--，同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()116f x ≤.作函数()y f x =的图象，如图所示.在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =. 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤. 故选：D .【题型六】利用对称解决恒成立和存在型【典例分析】已知函数()lg(f x x =，且对于任意的(12]x ∈，，21()[]01(1)(6)x mf f x x x ++>---恒成立，则m 的取值范围为（）A ．()0-∞，B ．(]0-∞，C ．[4)+∞，D ．(12)+∞，【答案】B 【分析】本题根据函数的解析式先判断函数的奇偶性与单调性，再运用单调性转化不等式，接着运用参变分离构建新函数，最后借导函数求函数在指定区间内的最大值即可解题.【详解】()f x 的定义域为R ，()))()f x x x f x -===-=-，∴()f x 为奇函数，又()f x 在(0,)+∞上单调递增， ∴221()[][]1(1)(6)(1)(6)x m m f f f x x x x x +>-=------，∴211(1)(6)x mx x x +>----，又(1,2]x ∈，则10x ->，60x -<，∴(1)(1)(6)x x x m +--<-恒成立；设32()(1)(1)(6)66g x x x x x x x =+--=--+，则22()31213(2)13g x x x x =--=--'，当12x <≤时()0g x '<，∴()g x 在(12]，内单调递减，()g x 的最大值为从负数无限接近于0，max ()0g x <， ∴0m ≤-，0m ≤，故选：B.【提分秘籍】基本规律常见不等式恒成立转最值问题：（1）min ()()x D f x m f x m ∀∈>⇔>，；（2）max ()()x D f x m f x m ∃∈>⇔>，；（3）()min ()()()()0x D f x g x f x g x ∀∈>⇔->，；（4）()max ()()()()0x D f x g x f x g x ∃∈>⇔->，；（5）12121min 2max ,()()()()x D x M f x g x f x g x ∀∈∈>⇔>，；（6）12121max 2min ,()()()()x D x M f x g x f x g x ∃∈∈>⇔>，；（7）12121min 2min ,()()()()x D x M f x g x f x g x ∀∈∃∈>⇔>，；（8）12121max 2max ,()()()()x D x M f x g x f x g x ∃∈∀∈>⇔>，；【变式演练】1.已知函数2()21x x mf x +=+（01x ≤≤），函数()(1)g x m x =-（12x ≤≤）.若任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围为（）A ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[]2,3C ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【分析】问题转化为函数()f x 的值域是()g x 值域的子集，分别求出()f x 和()g x 的值域，得到关于m 的不等式组，解出即可. 【详解】对任意的[]10,1x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x =，即()f x 在[]0,1上的值域是()g x 在[]1,2上的值域的子集，22111()1212121x x x xxm m m f x +++--===++++，当1m <时，∴10m -<，∴()f x 在[]0,1上单调递增，()f x ∴的值域为12,23m m ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又()(1)g x m x =-在[]1,2上单调递减，()g x ∴的值域为：[]22,1m m --，[]12,22,123m m m m ++⎡⎤∴⊆--⎢⎥⎣⎦，1222213m m m m +⎧≥-⎪⎪∴⎨+⎪≤-⎪⎩，方程无解当1m >时，10m ->，∴()f x 在[]0,1上单调递减，()f x ∴的值域为21,32m m ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x 的值域为：[]1,22m m --，[]21,1,2232m m m m ++⎡⎤∴⊆--⎢⎥⎣⎦1222213m m m m +⎧≤-⎪⎪∴⎨+⎪≥-⎪⎩，解得5532m ≤≤ 当1m =时，()1,()0f x g x ==，显然不满足题意.综上，实数m 的取值范围为55,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D .2.已知()f x 是定义在R 上的函数，且()1f x +关于直线1x =-对称.当0x ≥时，()211422,022log ,2x x f x x x -+⎧⎪≤<=⎨⎪-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()22f x f x m -≥+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【分析】结合复合函数的单调性，可知()f x 在[)0,+∞上单调递减，由()1f x +关于直线1x =-对称，可知()f x 为偶函数，从而可将题中不等式转化为22x x m -≤+，整理得223(82)40x m x m -++-≤对任意的[],1x m m ∈+恒成立，进而结合二次函数的性质，可求出m 的取值范围.【详解】当02x ≤<时，()21142x f x -+=，函数2114y x =-+在[)0,2上单调递减，且2x y =是R 上的增函数，根据复合函数的单调性可知，函数()f x 在[)0,2上单调递减，且()2121421f x -⨯+=>；当2x ≥时，()22log f x x =-，易知函数()f x 在[)2,+∞上单调递减，且()()22log 221f x f -==≤. ∴函数()f x 在[)0,+∞上单调递减.∵()1f x +关于直线1x =-对称，∴()f x 关于0x =对称，即()f x 为偶函数，∴不等式()()22f x f x m -≥+可化为()()22f x f x m -≥+，∴22x x m -≤+恒成立，即2222x x m -≤+，整理得223(82)40x m x m -++-≤，令()223(82)4g x x m x m =-++-，∴对任意的[],1x m m ∈+，()0g x ≤恒成立，∴2222()3(82)40(1)3(1)(82)(1)40g m m m m m g m m m m m ⎧=-++-≤⎨+=+-+++-≤⎩，即840410m m -+≤⎧⎨--≤⎩，解得12m ≥.故选：D.3.已知2()sin ||sin ||f x x x ππ=-，()|ln |g x x =，若对于121,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，122,x e e -⎡⎤∃∈⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是_________．【答案】⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】先分析题意即()()12min min f x g x ≥，再利用单调性求解()f x 的最小值和()g x 的最小值，解不等式即得结果. 【详解】依题意，对于121,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，122,x e e -⎡⎤∃∈⎣⎦使得()()12f x g x ≥，只需()()12min min f x g x ≥. 21,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦时()sin sin sin y x x x πππ==-=-，2,36x πππ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦，0y <，故当232,x πππ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦，即212,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，sin y x π=单调递增，当2,6x πππ⎡-∈⎤-⎢⎥⎣⎦，即1261,x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，sin y x π=单调递减.而函数2()f x x x=-，显然在(),0x ∈-∞单调递减. 故根据复合函数单调性可知，2()sin ||sin ||f x x x ππ=-在212,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递减，在1261,x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，故min 122()sin 11221sin 2f x f ππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.对于12,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，()|ln |g x x =，当1,1x e -⎡⎤∈⎣⎦时ln 0x ≤，故()ln g x x =-是单调递减的，当(21,x e ⎤∈⎦时ln 0x >，故()ln g x x =是单调递增的，故min ()(1)|ln1|g x g ===.故依题意知，1≥，即m ≥.所以实数m 的取值范围是⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【题型七】函数整数问题【典例分析】定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D.【变式演练】1.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[)0,2x ∈时，2()48f x x x =-+.若在区间[],a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数(1,2,...,)x i m =，满足111()()72m i i f x f x =+=-≥∑，则b a -的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18【答案】D 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-，得2222f x f x f x f x ++=--=-=-（）（）（）（），即4?f x f x +=-（）（），则44[]f x f x f x f x f x +=-+=--=∴（）（）（）（）．（）的周期为8．函数f x （）的图形如下：比如，当不同整数i x 分别为-1，1，2，5，7…时，b a -取最小值，141420f f f -=-==（），（），（），，至少需要二又四分一个周期，则b-a 的最小值为18，故选D2.已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．12(0,)e - B ．1322(,3)e e --C ．312(3,2)e e --D ．112(,2)e e --【答案】B 【分析】利用导函数讨论当[0,3]x ∈时的单调性，结合对称性周期性数形结合求解. 【详解】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=，当(]2,3x ∈时，()0f x ¢<，当[)0,2x ∈时，()0f x ¢>，所以函数()f x 在(]2,3x ∈单调递减，在[)0,2x ∈单调递增， ()32(0)0,330f f e-=>=，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以()(3)(3)3f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322(,3)t e e --∈。

【高考数学】函数的对称性与周期性的结论

专题函数的对称性与周期性一 . 函数图象的对称性与对称中心1.对于一个函数图象的对称轴（ 1） . 函数 yf ( x) 知足 f (a x)f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于 x=ab对称。

2（ 2） . f (a x) f (a x)f ( x) f (2a-x)yf (x) 的图象的对称轴 xaf (- x)f (2a+x)（ 3）二次函数f ( x)=ax 2 bxc (a 0)的对称轴由公式x=- b2a 1.对于一个函数图象的对称中心（ 1） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)函数 yf ( x) 的图象对于点（ab，0）对称。

2a b c （ 2） .函数 yf (x) 知足 f ( a x)- f (b x)+2 c 函数 yf ( x) 的图象对于点（ 2，）对称。

2（ 3） . f ( a x) - f ( a x)f (x) - f (2a-x)y f (x) 的图象的对称中心 ( a,0)f (- x) - f (2a+x)y f (x a) 为奇函数y f ( x) 的图象的对称中心 (a,0) 。

（ 4）简单分式函数f ( x)= axb (c 0, ax b 0 )，由变量分别法得对称中心 (-d , a ) 。

cx dc c二 . 函数的周期性1.周期函数的定义和简单性质（ 1）对于函数yf ( x) ，若存在一个常数 T 0,使适当 x 取遍其定义域内的全部直时，都有f ( x)=f ( x T ) ,则 yf ( x) 叫做以 T 为周期的周期函数。

（ 2）周期函数的定义域是无界的。

（ 3）若 T ( T0)是函数 y f ( x) 的周期，则 nT (n Z , n 0) 都是 y f ( x) 的周期；（ 4）周期函数yf ( x) 的周期有无数多个，若这些周期中存在最小正当T ，则 T 叫做函数 y f (x) 的最小正周期。

高考数学专题复习函数的周期性、对称性(原卷版)

第四讲函数的周期性与对称性【套路秘籍】一．对称性（一）对称轴1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

2.常见函数的对称轴①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）⑿对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。

⒁绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。

高中高考数学关于函数的对称性和周期性

，且存在一个定值使得 f (x1) f (x2 ) +1
f (x2 ) − f (x1 )
a
f
(a)
= 1 ，则
f
(x) 的周期T
=
4|a
|
（6）若 f (x) 的图象关于 x = a, 且同时关于 x = b(a ≠ b) 对称，则T = 2 | a − b | .
证明：，得证 f (x) = f (2a − x) = f (2b − (2a − x)) = f (x + 2b − 2a)
答： f (a + x) = f (b − x) 表示 f (x) 的对称轴为 x = a + b ； 2
而表示的周期为 f (a + x) = f (b + x) f (x)
T =| a − b | .
二．常见结论（注：此处T 专指最小正周期，且默认a ≠ 0）（1）若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = − f (x) ，则T = 2 | a | .
推广：若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = m − f (x) ，则T = 2 | a | .
证明：用 x + a 代替 f (x + a) = m − f (x) 中的 x ，得到 f (x + 2a) = m − f (x + a) ；
于是，得证 f (x + 2a) = m − f (x + a) = m − [m − f (x)] = f (x)
.
反函数结论（略）.
---1---
关于函数的周期性
一．周期函数的定义：函数 f (x) 在其定义域内，对任意的 x 都存在一个常数T ， (T ≠ 0) 使得 f (x + T) = f (x) 成立，则称函数 f (x) 是周期函数， T 叫做函数 f (x) 的一个周期.（注：以后T 专指最小正周期）设T 是函数 f (x) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z,k ≠ 0) 也是函数 f (x) 的周期.

函数对称性、周期性的应用(含解析)

函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈，如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对；由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-，结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=，则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确；无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤，即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象；再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确；因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数，且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数．方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-，设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=，又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=，当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减，又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立，故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5）即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称，作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)，由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+，所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。

高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。