力学 第十一章 流体力学

2,伯努利方程
1 2
ρ v 2 + ρ gh + p = 常量
惯性系中, 即:惯性系中,当理想流体在重力作用下做定常 流动时,一定流线上(或细流管内) 流动时,一定流线上(或细流管内)各点的量 ρv2/2 +ρgh + p 为一常量. 为一常量. 特例:A,B点速度相同 特例:
pB = p A + ρ gh
2( ρ汞 ρ ) gh , 流量: = v1 S1 流量: Q v1 = S1 S2 ρ ( S12 S 2 2 ) S1 , S 2 , ρ , ρ ' , g 均为定值,所以根据 即可求出流速和流量 均为定值,所以根据h即可求出流速和流量
19
例2用于测气体流速的皮托管原理
解:皮托管附近的流线都来自流 v 速相同的空间, 速相同的空间,因而对空间各点 P2 p + ρ gh + 1 ρ v 2 都相等 2 对1,2两点 两点 ρ 2 p1 + ρ gh1 + 1 ρ v1 = p2 + ρ gh2 2
1 2
ρ v12 + ρ gh1 + p1 = 1 ρ v2 2 + ρ gh2 + p2 2
1 2
ρ v 2 + ρ gh + p = 常量
18
例Biblioteka Baidu文特利流量计原理
解:在中心轴取细流线上,流线 在中心轴取细流线上, 上取两点, 上取两点,由伯努利方程有
P1,S1,v1 P2,S2,v2
p1 + 1 ρ v1 = p2 + 1 ρ v 2 2 2
15
1,无黏性流体流动时的压强
y l y F n x
Pxyl
y α
Pnnl
α w x
x z 设隔离体处于运动状态, 设隔离体处于运动状态,具有加速度
Pyxl
px yl pn nl cosα = max =ρ g xylax p y xl pn nl sinα 1 ρ g xyl = ma y =ρ g xyla y 2
7
⒉压强沿竖直方向的分布
在竖直方向应用平衡条件: 在竖直方向应用平衡条件:
pS ( p + dP ) S ρ g Sdy = 0 dp = ρ gdy , 设ρ,g与y无关, 无关, 与 无关
z
y w
(p+dp)S ) dy pS
x
p1 p2 = ρ g ( y2 y1 )
即:静止流体内的压强随高度的增加而减小. 静止流体内的压强随高度的增加而减小. 如有自由表面, 如有自由表面,令p2=p0,p1=p,则 p = p0+ρgh ,
p x pn = 1 ρ xa x 2 ∴ 1 1 p y pn 2 g ρ y = 2 ρ ya y
∴ x , y → 0 p x = pn = p y
流体内压强的概念. 流体内压强的概念.
16
F dF p = lim = S → 0 S dS
即:对于无黏性的运动流体,其内部任一点处的压强可以沿用静止 对于无黏性的运动流体,
p x = pn = p y
静止流体内一点各不同方位无穷小面元上的压强大小都相等. 静止流体内一点各不同方位无穷小面元上的压强大小都相等.
4
不同方位的压强关系的推导: 不同方位的压强关系的推导:
y l y z x F n x
Pxyl
y α
Pnnl
α w x
Pyxl
W = 1 ρ g xyl 2
px yl pn nl cosα = 0 据平衡条件: 据平衡条件: p y xl pn nl sinα 1 ρ g xyl = 0 2
8
例1:求大气压随高度的变化规律.设g为恒量, :求大气压随高度的变化规律. 为恒量, 为恒量 成正比. 大气密度 ρ 与压强 p 成正比. 以海平面为原点建立图示坐标Oy 解: 以海平面为原点建立图示坐标 dp = ρ gdy ρ0 ρ p ∵ ρ 与p成正比 ∴ = ρ= p ρ 0 p0 p0 ρ0 g ∴ dp = pdy p0
2
2
P1'
h
P2'
由连续性方程有 v1 s1 = v 2 s2 由压强公式:p1 ' p1 =ρ gh1 , p2 ' p2 =ρ gh2 , p1 ' p2 ' =ρ ' gh 由压强公式: p1 p2 = ( p1 ' ρ gh1 ) ( p2 ' ρ gh2 ) = p1 ' p2 ' ρ g (h1 h2 ) = ρ汞 gh ρ gh = ( ρ汞 ρ ) gh
⒉黏性概念
当流体流动时, 当流体流动时,各流层之间存在着阻碍相对运动的内 摩擦力,这就是流体的黏性. 摩擦力,这就是流体的黏性. 例如,河流中心流层流动最快,越靠近河岸流动越慢, 例如,河流中心流层流动最快,越靠近河岸流动越慢, 岸边水几乎不流动, 岸边水几乎不流动,这种现象就是由于流层间存在内 摩擦力造成的
3
§11.2 静止流体内的压强
一,静止流体内一点的压强
1,剪应力(内摩擦力) 剪应力(内摩擦力) 静止流体内部没有阻碍层与层之间发生相对的阻力. 静止流体内部没有阻碍层与层之间发生相对的阻力. 2,正压力 (1)对无穷小面元的压强定义
p = lim F / S = dF / dS
S → 0
(2)不同方位的压强关系
m = ρl1S1 = ρl2 S 2
功能原理: 功能原理:
A外非 + A内非 = ( Ek + E p ) ( Ek 0 + E p 0 )
h2
Ek Ek 0 = 1 mv2 2 1 mv12 2 2
E p E p 0 = mgh2 mgh1
A内非 = 0,A外非 = p1s1l1 p2 s2 l2
vS = 常 量
连续性方程可表述为: 连续性方程可表述为: 当不可压缩流体做定常流动时,沿一流管, 当不可压缩流体做定常流动时,沿一流管,流量守恒
14
§11.4 伯努利方程
伯努利方程研究: 伯努利方程研究:惯性系中理 想流体在重力场中作定常流动 时一流线上的压强,流速, 时一流线上的压强,流速,和 高度的关系. 高度的关系. 是在理想流体中应用功能原理 推导出来的结果. 推导出来的结果.
12
二不可压缩流体的连续性方程
1,流量 ,
时间间隔内, 在t时间间隔内,通过流管某横截面 的液体体积 时间间隔内 通过流管某横截面S的液体体积 之比当t趋于零时的极限称为该 为V, V和 t之比当 趋于零时的极限称为该 , 和 之比当 横截面的流量. 横截面的流量.
V l S = lim = vS 对细流管: 对细流管:Q = lim t →0 t t →0 t
2
3,不可压缩流体
可以不考虑压缩性的流体. 可以不考虑压缩性的流体.
4,非黏性流体
完全没有黏性的的流体. 完全没有黏性的的流体.
5,理想流体
理想流体就是不可压缩,无黏性的流体 理想流体就是不可压缩, 在研究流体问题时,如果流体的可压缩性, 在研究流体问题时,如果流体的可压缩性,黏性处 于极次要地位,就可把实际流体视为理想流体, 于极次要地位,就可把实际流体视为理想流体,从 而使问题变得简单. 而使问题变得简单.
dh dF = ρ gh Ldl = ρ gLh sin α 水平方向的分力: 水平方向的分力:dF水平 = dF sin α = ρ gLhdh
坝受水平推力: 坝受水平推力:
F水平 =ρ gL ∫ hdh = 1 ρ gLH 2 = 13.3 × 107 N 2
0 H
10
§11.3流体运动学的基本概念 11.3流体运动学的基本概念
p = lim F dF = S → 0 S dS
单位: 单位:Pa
L 量纲: 量纲: 1MT 2
6
二,静止流体内不同空间点压强的分布 ⒈等高各点压强
在水平方向应用平衡方程: 在水平方向应用平衡方程:
A PAS B PBS
p A S = pB S , p A = pB
表明:流体内等高各点压强相等, 表明:流体内等高各点压强相等, 即等压面与竖直方向垂直. 即等压面与竖直方向垂直.
第十一章 流体力学
1
§11.1 理想流体
v ⒈流体的特性
(1)液体和气体的共同特点:只有体积压缩弹性,没有 液体和气体的共同特点:只有体积压缩弹性, 拉压弹性和剪切弹性,因而都具有流动性. 拉压弹性和剪切弹性,因而都具有流动性. (2)不同点:液体具有一定体积,几乎不可压缩,黏性 不同点:液体具有一定体积,几乎不可压缩, 气体没有一定体积,它总是充满整个容器, 大;气体没有一定体积,它总是充满整个容器,容 易压缩,黏性小. 易压缩,黏性小.
p x = pn ∵ n sinα = x, n cosα = y ∴ 1 p y = pn + 2 ρ g y
∴ x , y , l , n → 0 p x = pn = p y
5
3,静止流体内一点的压强 静止流体内一点的压强等于过此点任意一假想面元上 正压力大小与面元面积之比当面元面积趋于零时的极限. 正压力大小与面元面积之比当面元面积趋于零时的极限.
11
⒊基本概念
流速场:每一点都有一定的流速矢量与之相对应的空间. 流速场:每一点都有一定的流速矢量与之相对应的空间. 流线:在流速场中画一些曲线,使曲线上每点切线方向 流线:在流速场中画一些曲线, 与该点的流速方向相同, 与该点的流速方向相同,这些曲线就叫流线 . 流线不能相交. 流线不能相交. 流管:在流速场中 一束流线组成的细管就叫流管. 流管:在流速场中, 一束流线组成的细管就叫流管. 管内外流体不通过管壁. 管内外流体不通过管壁. 定常流动 任意空间点的流速不随时间变化 即 v = v ( x , y , z ) 定常流动:任意空间点的流速不随时间变化 任意空间点的流速不随时间变化, 在定常流动中,流体在固定的流管中运动. 在定常流动中,流体在固定的流管中运动. 在定常流动中 只有在定常流动中,流线才会与流迹重合 只有在定常流动中,
A点所在流线上
1 2 1 2
C A h B D
ρ v 2 + ρ gh + p A = C A
ρ v 2 + pB = CB B点所在流线上
∴ C A = CB
所以,各处的恒量都相等. 所以,各处的恒量都相等.
17
伯努利方程的推导
v1,S1 P1 P2 v2,S2 l2 a' b'
l1 在定常流动理想流体中取一细流管, 在定常流动理想流体中取一细流管, a b 任选ab这一段流体, ab这一段流体 Δt时间内 任选ab这一段流体, 在Δt时间内 h1 移动到a'b' 移动到a'b'
单位: 3 单位:m / s
13
2,连续性方程
V2 S2 V1 S1
在不可压缩流体定常流动的流速场中, 任取一细流管, 在不可压缩流体定常流动的流速场中 任取一细流管, 由于体积不可压缩,流管形状不随时间变化, 由于体积不可压缩,流管形状不随时间变化,流迹与 流线重合,所以单位时间通过截面S 流线重合,所以单位时间通过截面 1的流体体积与通 v1S1 = v 2 S 2 过截面S 的流体体积必然相等, 过截面 2的流体体积必然相等,即 表明:截面大处,流速小,流线疏;截面小处,流速大, 表明:截面大处,流速小,流线疏;截面小处,流速大, 流线密
一研究流体运动学的两种方法及相关概念 ⒈拉格朗日的追踪法
追踪每个流体微元的运动,根据动力学方程和初始条 追踪每个流体微元的运动, 和运动轨迹. 件求得微元的运动学方程 r = r ( r0 , v 0 , t ) 和运动轨迹. 流体微元的运动轨迹叫流迹,不同微元,由于初始条 流体微元的运动轨迹叫流迹 不同微元, 流迹, 件不同,流迹也不同. 件不同,流迹也不同.
ρ0 g dp ∴ = dy ∴ p = p0 e p p0
ρ0 g
p0
y
pρ
p0 ρ0
y
O
9
例2:已知坝长 :已知坝长L=1088m,水 , 深H=5m,不计大气压,求水 ,不计大气压, 对坝的水平推力. 对坝的水平推力.
0 dF Hdh h dl α α dF
宽为dl的狭长面元 解:如图所示,取长为L,宽为 的狭长面元,该面元受力: 如图所示,取长为 宽为 的狭长面元,该面元受力:
⒉欧拉的速度场法
这种研究方法把注意力放在流体流动的空间,观察各 这种研究方法把注意力放在流体流动的空间, 个流体微元经过空间各点的流速, 个流体微元经过空间各点的流速,每一点都对应一个 流速矢量, 流速矢量,v = v ( x , y , z , t ) 流线,流管就是在这种方法中采用的概念. 流线,流管就是在这种方法中采用的概念.