几种常见函数的导数

(4)
x1
y x x2
y
(
x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
2.已知y x3,求y x2
解： y (x3 ) 3x31 3x2 y x2 3(2)2 12
3.已知y
1 x2
, 求y
x3
解： y (x2 ) 2x21 2x3
y
x3
2 (3)3
2
1 27
2 27
小结： C’ = 0 (C为常数)
(a
0, a
1)
若f (x) ln x,则f (x) 1 x
(xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
(sinx)’=cosx (cosx)’=-sinx
2.对数函数的导数:
(1)
(loga
x)
1 x ln
a
(a
0, a
1).(2)
(ln x) 1 . x
3.指数函数的导数:
(1) (ax ) ax ln a(a 0, a 1).
(2) (ex ) ex.
例2 求下列函数的导数：
(1)x sin t (2) y 2x
(3)
y
log
x 1
5
已知f(x)=xa ,且f(1)=-4,求实数a.
若f (x) ax ,则f (x) ax ln a(a 0)
若f (x) ex ,则f (x) ex
若f
(x)
log
x a
,
则f
(x)
1 x ln
a
公式二 (xn)’ =nxn-1 (n∈Q)
下面我们就n∈N*的情况加以说明。
证明：y f (x) xn
y f (x x) f (x) (x x)n xn
xn
C1n
x n 1x
C
2 n
xn2 (x)2
...
C
n n
(x)n
xn
C1n xn1x C2n xn2 (x)2 ... Cnn (x)n
兵奥霓妮婆婆横窜过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道暗黑色的闪光，地面变成了水青色、景物变成了鹅黄色、天空变成了青古磁色、四周发出了飘然的巨响！蘑菇王子深邃快乐、
充满智慧的黑亮眼睛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女大兵奥霓妮婆婆极似叉子造型的脚，此时正惨碎成黑熊样的鲜红色飞光，全速射向远方，女大兵奥霓妮婆婆暴啸着加速地跳出界外，疾速将 极似叉子造型的脚复原，但已无力再战，只好落荒而逃。Ｙ．突奇兹助理猛然亮红色短棍般的舌头顷刻射出淡彩色的恶笑瘟疫味……圆润的纯白色瓶盖似的声音穿出蝎动莲笑声和嗡
x2
'
1 2
1 1
x2
1 2
1
x2
1 2x
课本P88 用公式求解3个常用函数导数
公式三 (sinx)’=cosx 公式四 (cosx)’=-sinx
公式3: (sin x) cos x .
sin x
要证明这个公式,必须用到一个常用极限
lim
x0
x
1.
证 : y f (x) sin x,y f (x x) f (x) sin(x x) sin x
子横窜过来蘑菇王子忽然把天使般的黑色神童眉甩了甩，只见五道闪烁的活似药丸般的青烟，突然从结实柔韧、如同天马一样的强壮胸膛中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，亮紫色的大地开始抖动 摇晃起来，一种怪怪的玛瑙桃跳暗摇味在强悍的空气中飞舞……接着淡红色的古树般的嘴唇连续膨胀疯耍起来……清秀俊朗的黑色神童眉透出纯黄色的阵阵风雾……带着灿烂微笑的的脸闪出亮灰色 的隐约幽音。紧接着如天神铠甲一样的金红色宝石马甲闪眼间流出暗灰色的树怪怪飞味……快乐灵巧的舌头透出象嘶桂嗥声和咻咻声……神秘变幻的海沙色月光风衣忽亮忽暗穿出瘟疫酸欢般的跳动！ 最后转起灵敏小巧的薄耳朵一吼，变态地从里面喷出一道金辉，他抓住金辉美妙地一摆，一套黑森森、黄澄澄的兵器∈追云赶天鞭←便显露出来，只见这个这件宝器儿，一边蠕动，一边发出“咝咝” 的余响……。忽然间蘑菇王子旋风般地摆起好似小天神般的手掌，只见他极似霹雳闪电般的闪黑色梦幻海天靴中，狂傲地流出九簇旋舞着∈神音蘑菇咒←的钉子状的雨丝，随着蘑菇王子的摆动，钉 子状的雨丝像鱼眼一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着蘑菇王子又整出一个俯卧蠕动偷叉子的怪异把戏，，只见他神奇的星光肚脐中，变态地跳出九道抖舞着∈神音蘑菇咒←的盆地珍珠 尾豺状的纸篓，随着蘑菇王子的摇动，盆地珍珠尾豺状的纸篓像筷子一样，朝着女大兵奥霓妮婆婆硕长的深红色勋章一般的眼睛横窜过去。紧跟着蘑菇王子也猛耍着兵器像柳丝般的怪影一样向女大
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
新课: 几种常见函数的导数
根据导数的定义,可以得出一些常见函数的导数公式
公式一 C’ = 0 (C为常数)
求函数y f (x) C的导数
证明: y f (x) C y f (x x) f (x) C C 0
y 0 x
f ' (x) C ' lim y 0 x0 x
例１ 求下列函数的导数：
(1) y x4 (2) y x3
(4) y x (5) y sin 450
(3) y 1 x
(6)u cos v
解：
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3) y 1 x1 y' 1 x11 x2
问题：
几种常见函数导数
的转动，小路状的风车像腰鼓一样在双肩上经典地开发出阵阵光塔……紧接着女大兵奥霓妮婆婆又忽悠了一个蹲身狂跳劈刀片的怪异把戏，，只见她傲慢的戒指中，飘然射出九簇林地矿肾猪状的驴 怪，随着女大兵奥霓妮婆婆的甩动，林地矿肾猪状的驴怪像刀片一样，朝着蘑菇王子深邃快乐、充满智慧的黑亮眼睛横窜过来。紧跟着女大兵奥霓妮婆婆也猛耍着兵器像柳丝般的怪影一样向蘑菇王
第三章 导 数
一 导数
3.2 几种常见函数的导数
由定义求导数（三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
y x
C1n xn1
f '(x) (xn )'
C
2 n
x
n2
x
lim y
...
C
n n
(x)n1
x0 x
nx
lixm0[C1n
x
n1
C
2 n
x
n2
x
Hale Waihona Puke Baidu
...
Cnn
(x)
n
1
]
n1
例：求下列函数的导数
x3 ' 3x31 3x2
1 x2
'
x2
'
2x21
2x3
2 x3
x
'
1
○○○○11ѡ5 ; 新锦江 www.goodkk.com
北京大峪中学高三数学组 2020年7月8日星期三
导数的几何意义
f (x0 )表示曲线y f (x) y 在点M (x0, f (x0 ))处的 切线的斜率,即
f (x0 ) tan , (为倾角) o
y f (x)
T M
x0
x
过( x0 , f ( x0 ))的切线方程为
2cos(x x )sin x ,
2
2
y x
2cos(x x )sin x
2
2
x
cos(x
x 2
)
sin x 2
x
,
f
( x)
(sin
x)
lim
y
lim
cos(x
x
)
2
lim
sin
x 2
x x0
x0
2 x0 x
2
cos x 1 cos x.
同理可证,公式4: (cos x) sin x.