弯曲与扭转的组合变形

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材料力学第八章组合变形

A截面
C3
C1
C4

C3
C1
C2

C4
T

C1

C2

三、强度分析
1.主应力计算
1 2 2 1 2 ( ) 4 2 3 2 2 2 2

C1

2 0
2.相当应力计算第三强度理论,计算相当力
r 3 1 3 4
拉
z0 z
y
z1
F F
350 n n 150
50
50 150
F
n
n
FN My
由弯矩 My产生的最大弯曲正应力为
tmax
max c
M y z0 425 7.5F MPa ( ) Iy 5310 M y z1 425 12.5 F MPa ( ) Iy 5310
杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲组合变形示例1 F1 产生弯曲变形 F2 产生拉伸变形示例2 F2 F1 F2
Fy 产生弯曲变形
Fx 产生拉伸变形
Fy

F
Fx
三、内力分析
横截面上内力 FS Mz
O
z x
FN
1.拉(压) :轴力 FN
2.弯曲
剪力F
弯矩 Mz
s
y
因为引起的切应力较小,故一般不考虑.
2 z 2 y
My Qy T
Mz Qz
T H1 r 510 Nm
l
强度校核
按第四强度理论
r4
1 W
M 0.75T 111 MPa [ ]
2 2

工程力学弯扭组合

试按第四强度理论校核轴的强度。
Fy
Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y Fz
1
D 300 2
2 F'z
F'z
D1 D2
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Fy Fz
A 1 B 100 300
Fy F'y
d
C
F'y
Fz
1 2
11
2 F'z
300
D
F'z
Fy M1 Fz
A
y M2
B
F'y
C
D1 D2
D
z 解：1. 外力分析
x
32 M 0.75 T 2 πd 3
2
O
x
32 1.0642 106 0.75 1 106 99.4MPa [σ ] 3 π 0.052
∴ 轴满足强度要求。
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例4 已知一单级直齿圆柱齿轮减速器输出轴，齿轮轮齿受力：14 Ft= 4053 N，Fr=1475.2 N，输出转矩T= 664669 N· mm，支承间跨距 l=180mm，齿轮对称布置，轴的材料为 45钢，许用应力[s ]=100 MPa。试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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㊀
x Me
–Fl
O
x
3. 应力分析由危险截面上的s、t 分布可知： a、b点为危险点：取单元体： a b A M O T
㊉
F
2 MesMa来自lBsM
M σM W T T sM τT Wp 2W
tT tT
b

组合变形

M z 440 N m
M y 187 N m
T 1020 N m
合弯矩：
2 M M y M z2 4402 187 2
478N m
第四强度理论：
W
r4
1 W
M 2 0.75T 2
603 109
32
21.2110 6 m3
危险截面: B 截面
T 21.7 N m M 26.7 N m
第三强度理论：
r3
W
1 W
M 2 T 2
T图
21.7 N m
353 109
32
2
4.2110 6 m3
2
r3
8.18MPa
26.7 21.7 4.21106
第四强度理论：
式中: T
r4
危险截面上的扭矩危险截面上的合弯矩
M
M
实心轴 W
2 2 My Mz
D3
32 D3 空心轴 W 1 4 32
,

例题 8-5 45钢的传动轴AB的直径为35mm，许用应力为 85MPa。电动机功率P = 2.2kW,由带轮C 传入。带轮C转速为 966r/min,带轮的直径为 D = 132mm，带拉力为F+F’ = 600N。齿轮E的 d 节圆直径为： 1 50mm 。
Fz Fz F sin 240 F sin 300 257 N
二、作出轴的弯矩图和扭矩图
T图
21.7 N m
My 图
7.43N m 20.4 N m 11.4 N m 24.1N m
Mz 图

工程力学弯扭组合精选全文

为弯扭组合。
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2. 内力分析作 T 图：作M 图：
危险截面为E 截面：
M 1kN m T 1kN m
3. 确定轴的直径 d
M1
A
z T
y
F
M2
E C
1kN·m
9
x
B
由第四强度理论：
O
x
σr4
M
M 2 0.75T 2 32 W
M 2 0.75T 2 πd 3
[σ]
O
1kN·m
用应力[s ]=100 MPa。
试按第三强度理论确定该轴危险截面处的直径 d。
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解：计算简图： 1. 外力分析约束力： FBy = FDy = Fr/2= 737.6 N FBz = FDz = Ft/2= 2026.5 N 2. 内力分析作垂直面弯矩图：作水平面弯矩图：
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径D= 300mm，材料的许用应力[s ]=160MPa。
试按第四强度理论确定轴AB的直径。
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8
y
F
M1
M2
A
E
C
z
x
B
解：1. 外力分析
由 SMx=0
M1
(FN
FN
)
D 2
得：F'N= 6.67kN FN= 13.33kN
将FN，F'N向轴线平移： F = F'N+FN= 20.1kN M2=1kN·m
M1
A
B
150
200
F2y = F2z tan10º=70.5N
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C 100 D z
F2y y M2

弯扭组合变形实验报告数据

实验名称：弯扭组合变形实验一、实验目的：1. 通过实验，了解和掌握材料在弯扭组合变形下的力学性能。

2. 熟悉和掌握弯扭组合变形的测量方法和数据处理技巧。

3. 通过实验，验证理论知识和计算方法的正确性。

二、实验设备：1. 材料试验机2. 弯曲和扭转加载装置3. 千分尺4. 数据记录仪三、实验材料：1. 实验材料为Q235钢，其化学成分和力学性能如下：-碳（C）含量：0.12%-锰（Mn）含量：0.3%-硅（Si）含量：0.3%-磷（P）含量：0.035%-硫（S）含量：0.035%-屈服强度：235MPa-抗拉强度：375MPa-伸长率：26%四、实验步骤：1. 将试样安装在试验机上，确保试样与加载装置之间的接触良好。

2. 设置试验机的弯曲和扭转加载参数，包括加载速度、加载时间等。

3. 开始加载，同时记录试样的弯曲和扭转角度以及载荷大小。

4. 当试样发生断裂时，停止加载，记录断裂载荷和断裂角度。

5. 清理实验现场，整理实验数据。

五、实验数据：1. 试样尺寸：长度100mm，宽度10mm，厚度2mm。

2. 弯曲加载参数：加载速度1mm/min，加载时间1min。

3. 扭转加载参数：加载速度1r/min，加载时间1min。

4. 实验数据记录如下：-弯曲角度：0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，180°。

-扭转角度：0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，180°。

-弯曲载荷：0N，2.5N，5N，7.5N，10N，12.5N，15N，17.5N，20N，22.5N，25N，27.5N，30N。

悬臂梁弯扭组合变形设计案例

悬臂梁弯扭组合变形设计案例咱们来聊一个悬臂梁弯扭组合变形的设计案例，就像搭积木一样，但这个积木可是有大学问的。

想象一下，有一个机械手臂，它就像是一个悬臂梁。

这个机械手臂在工作的时候啊，可不光是受到一种力的作用，而是弯扭组合的变形情况。

一、项目背景。

这个机械手臂呢，要在一个自动化生产线上工作。

它需要伸出去抓取零件，然后再把零件放到指定的位置。

在这个过程中，手臂一端固定在机器上（这就是悬臂梁的固定端啦），另一端自由活动。

由于抓取的零件重量不一样，而且手臂运动的速度和方向也会变化，所以就产生了弯曲和扭转这两种变形情况。

二、受力分析。

1. 弯曲力。

当手臂伸出去抓取零件的时候，零件的重量就像一个小坏蛋，使劲儿地把手臂往下拽，这就产生了弯曲力。

比如说，我们抓取一个5千克的零件，假设手臂长度是1米，这个零件的重力就会在手臂上产生一个弯矩。

根据弯矩的计算公式M = FL（这里F就是零件的重力，L就是手臂的长度），那这个弯矩就是M = 5×9.8×1 = 49牛·米（这里g = 9.8米/秒²）。

这个弯矩就会让手臂像被掰弯的小树枝一样，有弯曲变形的趋势。

2. 扭转力。

然后呢，当手臂转动把零件送到指定位置的时候，这个转动就产生了扭转力。

比如说，手臂要以一定的角速度转动，就像拧麻花一样，在手臂的轴线上就会产生扭矩。

假设手臂的转动惯量是I，角加速度是α，根据扭矩的计算公式T=Iα。

如果手臂快速地转动，这个扭矩可就不小了，它会让手臂产生扭转变形。

三、材料选择。

考虑到这种弯扭组合变形的情况，我们得找个厉害的材料来做这个悬臂梁（也就是机械手臂）。

经过一番挑选，我们选择了高强度合金钢。

为啥呢？这种材料就像钢铁侠的盔甲一样，又硬又结实。

它的屈服强度高，能够承受较大的弯曲和扭转应力。

比如说，它的屈服强度可以达到800兆帕，这就意味着在这么大的压力下，材料才会开始变形得很厉害。

而且它的韧性也不错，不会轻易断裂，就像一个坚强又有弹性的战士，能够在复杂的受力情况下保持稳定。

9.组合变形

2 y
2 z
设挠度的方向与Y轴间的夹角，则：
z Iz tg tg y Iy
讨论：由上式可看出：要使得必须：I z I y 即，只有在 I z I y 的条件下，才是平面弯曲，否则是斜弯曲。
思考题
正方形，圆形，当外力作用线通过截面形心时，为平面弯曲还是斜弯曲？
总目录
本章要点
（1）斜弯曲（2）偏心压缩（3）弯扭组合变形
重要概念
组合变形、斜弯曲、偏心压缩、弯扭组合
§9-1 概述
*工程中几种常见的组合变形：
斜弯曲 —————斜屋架上的檩条拉弯组合 ————冻结管偏心压缩 ————设有吊车的厂房柱子弯扭组合变形——机床中靠齿轮传递的轴
由于组合变形是几种基本变形相互组合的结果，因此，在进行组合变形下的强度和刚度计算时，只需分别计算形成这种组合变形的几种基本变形下的应力和变形，然后进行叠加即可得到组合变形下的应力和变形。计算组合变形强度问题的步骤如下：
可得中性轴的方程式为：
yP y z P z 1 2 2 0 iz iy
根据该方程式可知中性轴是不过形心的直线。
现令：应力零线N-N，它在y、z轴上的截距分别为 a y a z 分别将 a y ,0 0, az 代入 k 表达式得：
iZ 2 ay yP
aZ
2 1 2 2 1 2 2 3 3 1 2

将C式代入上式，简化整理后可得：
W 3
2
2 n

代入<a><b>式即可得：
1 W
M W 0.75Tn2

材料力学_ 组合变形_：扭转与弯曲的组合_

M2 T2 W
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭矩. 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.
例题4 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外
径 D=140mm,内外径之比α= d/D=0.8,材料的许用应力[] =
160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度
A
C
D
F1
F2
解:将F2向AB杆的轴线简化得
400
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
400
F2 1kN Me 0.4kN m
AB为弯扭组合变形
B
A
C
D
F1
固定端截面是危险截面 F2
Mmax 0.8F1 0.4F2 0.8kN m
Tmax 0.4kN m
400
400
r3
Mm2 ax Tm2ax
W
d 38.5mm
W πd 3
32
d 44.83mm
MeC F=3F2
T=1kN·m + 1kN·m
+
例题6 F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.
（1）用第三强度理论计算 AB 的直径（2）若AB杆的直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆的强度.
400
400
B
对于许用拉压应力相等的塑性材
料制成的杆,这两点的危险程度是相同的.可取任意点C1 来研究.
C1 点处于平面应力状态, 点的单元体如图示
该
C1
A截面
C3
C4
C2
C1
C3
T
C4

弯扭组合变形主应力的测定

弯扭组合变形主应力的测定
弯扭组合变形是指同时施加弯曲和扭转两种形变的一种变形方式，其主应力的测定可以通过以下步骤进行：
1. 确定弯曲和扭转的载荷：测定施加弯曲和扭转的载荷。

2. 采用倾角法测定变形量：倾角法是一种常用的测定弯曲和扭转变形的方法。

在变形过程中，通过测量试件端面相对于初始状态发生的倾斜角度，计算出试件的弯曲和扭转变形量。

3. 计算主应力：根据材料的力学性质，可以利用测得的弯曲和扭转变形量计算出变形时试件所受的主应力。

4. 验证结果：通过与试验数据进行比较，验证计算结果的正确性。

需要注意的是，弯扭组合变形的主应力测定需要考虑弯曲和扭转两种载荷的相互影响。

同时，试件的几何形状、材料的力学性质等也会对测定结果产生影响。

工程力学-弯曲与扭转的组合变形

洛阳职业技术学院
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第五单元组合变形的强度计算
模块二弯曲与扭转的组合变形
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一、弯曲与扭转的组合变形简介
构件在工作时机受弯曲的作用也受扭转的作用，这样的情况我们称为弯曲和扭转组合变形，简称弯扭组合变形。
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z F2
M M
F F1 F2
F1
2）内力分析
在xy平面上弯曲变形的内力---弯矩
FL 9 103 800 M zc 1.8 106 Nm m 4 4
y 400 400 x MZ
FAy
1.8kN· m
FBy
x
扭转变形的内力---扭矩
T M 0.6KNm 0.6 106 Nmm
D 2
T M
T M
XY平面上弯曲的外力及内力
M EZ
Fr L Fr 2a Fa 4 4 2
ZY平面上弯曲的外力及内力
B Z MY MEY
E
C
X
Ft
X
M EY Ft L Ft 2a Ft a 4 4 2
求E点合弯矩M
ME M
2 EZ
M
2 EY
Fr a 2 Ft a 2 ( ) ( ) 2 2
3）强度校核
求出圆轴的WZ
WZ
d3
32
Hale Waihona Puke 21205 .8m m3
由第三强度理论

M2 T2 （ 1.8 2 0.6 2 ） 10 6 89.5 MPa [ ] 120 MPa W 21205 .8

弯曲与扭转组合变形的强度计算_工程力学_[共6页]

σ1
σ+ 2
σ 2
2
+τ
2
，，
σ2
=
0
σ3
=
σ 2
−
σ 2
2
+τ2
对于塑性材料，通常选第三或第四强度理论，强度条件分别为
σ r3 = σ 2 + 4τ 2 ≤≤[σ≤] , σ r4 σ 2 + 3τ 2 [σ ]
（10.6）
将式（a）代入式（10.6）并注意到 Wp=2Wz，得到圆杆弯扭组合变形以内力表示的强度条件
= σ eq3
M 2 + = MT2 Wz
7.62 + 62 × 106 =
50.5 MPa <= [σ ]
80 MPa
π × 1253
32
计算结果表明轴 OA 的强度是足够的。
162
− 1125 × 103 1003 / 6
=6.99 MPa < [σ ]
故梁是安全的。
10.2 弯曲与扭转组合变形的强度计算
弯曲与扭转组合变形在机械工程中是很常见的，例如皮带轮传动轴、齿轮轴、曲柄轴等轴
类构件，在传递扭矩的同时往往还发生弯曲变形。
如图 10-5（a）所示水平直角曲拐，AB 段为圆杆，受集中力 F 作用。将 F 向 AB 杆的 B 端
σr3
= 1 M 2 + M Wz
2 n
≤≤[σ
]
,
σr4
= 1 M 2 + 0.75 Wz
M
2 n
[σ ]
（10.7）
工程中除了弯扭组合的杆件外，还有拉（压）与扭转的组合，或者拉压、弯曲与扭转的组合变形，运用相同的分析方法，仍可用式（10.6）进行强度计算。

材料力学组合变形的强度计算第3节弯曲与扭转的组合变形

• 以曲拐 AB 杆为例，说明杆的弯曲与扭转这种组合变形时的强度计算方法和步骤
1）外力分析
=
+
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— A+ 截面
M max Fl M T M B Fa
k、k 两点为危险点
M max
Wz
MT
WP
3）强度计算
危险点的应力是二向应力状态，轴类零件一般都采用塑性材料——钢材，因此应选用第三或第四强度理论建立强度条件，即：
r3

32
F
l2 πd 3
R2
[ ]
按第四强度理论得到强度条件为
r4 32 F
l 2 0.75 R2 πd 3
[ ]
例9-3 卷扬机结构尺寸如图所示，l = 0.8m，R =0.18m，AB轴径 d = 0.06m。已知电动机的功率 P = 22kW，轴AB的转速 n =150r/min，轴材料的许用
应力[ ] = 100MPa，试校核AB轴的强度。
解： 1）外力分析 — 计算电动机输入的力偶矩 M0
M0

9550
P n

9550 22 150
Nm
1.4
k
N m
卷扬机的最大起重量 G M0 1.4 kN 7.78 kN R 0.18
2）内力分析，确定危险截面的位置 —— C_截面
1 3

2

2
2

2
2 0
r3 2 4 2 [ ]
r4 2 3 2 [ ]

WZ

d3
32
，WP

弯曲与扭转的组合变形

eq4
齿轮轴安全
习题
8-12，8-14, 8-16 , 8-24
d3

32 1172 95.82
(22103)3
144MPa 180MPa
轴安全
例题：齿轮轴受力及尺寸如图示。已知伞齿轮的受为：
轴向力PX=16.5kN，径向力PY=0.414kN，切向力PZ=4.55kN；直齿轮的受力为：径向力PYD=5.25kN，切向力PZD=14.49kN。轴的直径d=40mm，材料的许用应力[σ]=300MPa。试用第四强度理论校核轴的强度。
YB ZB
外力值的计算
M0
9550 PK n
955014.65 240
583 Nm
YA 4.39kN
t1

MD R1

583 30 102
1.79kN
t2

MC R2

583 20 103
2.69kN
ZA 6.33kN YB 1.71kN ZB 4.74kN
皮带轮自重G1=250N,皮带方向与Z轴平行；C轮为被动轮，皮带轮
自重G2=150N,半径R2=20cm,皮带方向与Z轴夹45度角。电动机的
功率 PK=14.65 千瓦，轴的转速 n=240 转 / 分，轴材料的许应力
[σ]=80MPa 。试用第三强度理论设计轴的直径d。
拉伸扭
B
D 圆轴扭转
转与
弯
曲
的
B
D 平面弯曲
组
PYD
合变
形
B PZD D
平面弯曲
PY PZ C Px A
FN kN

5-6圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件、5-7圆轴的疲劳失效

§5-6 圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件课时计划：讲授4学时教学目标：1．理解圆轴弯曲与扭转组合变形的概念；2．掌握圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件。

教材分析:1．重点为圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件；2．难点为利用强度条件解决工程中的强度问题。

教学设计：本节课的主要内容是讲解圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件及其应用。

重点为圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件，并通过对教材例题的讲解，使学生在此过程中进一步理解，进而学会用其解决校核强度、设计截面和确定许用载荷三类常见工程中梁的强度问题。

第1学时教学内容：一、圆轴弯曲与扭转组合变形的概念如图由电机带动的轮轴，受电机转矩e M 和皮带拉力T F 、t F 的作用。

侧视图：将两带拉力平移到轮心，得力t T F F F +=和附加力偶矩R F M T T =，R F M t t =，合成t T F M M M -=。

这样，在皮带轮的圆轴上，作用有与轴线垂直的集中力t TF F F +=，和与轴线垂直的力偶F M ，且e F M M =。

力F 方向与轴垂直，使圆轴弯曲变形；电机转矩e M 和附加力偶F M 作用面都和轴线垂直，使圆扭转变形。

注意，轮轴匀速转动，一定有e F M M = 所以，圆轴存在弯曲与扭转组合变形。

运转中的机器轮轴，都存在弯曲与扭转组合变形。

二、圆轴弯曲与扭转组合变形的强度条件在既有弯矩M 又有扭矩T 的截面上，最大弯曲正应力max σ位于离中性轴最远的上下边缘点a 和b ，最大扭转切应力m ax τ也位于横截面边缘。

所以,在弯曲与扭转组合变形构件危险点上,既有正应力又有切应力,两种应力互相垂直,不能代数和叠加。

工程实际中的弯扭组合变形的圆轴，危险截面上有无穷多弯矩和扭矩的大小比值，危险点上也有无穷多正应力和切应力的比值，不可能用试验测定每一种比值之下材料强度实效的正应力和切应力，也就不能通过试验建立弯扭组合变形的强度条件。

材料力学§9-4扭转与弯曲的组合-南昌工程学院

2

4
2 x2来自 2

4
2
2
, 2 0
按第三强度理论作强度计算，相当应力为
r3 1 3 2

2

4 2

2
2 4 2
(a)
按第四强度理论作强度计算，相当应力为
r4
1 2
[(
1

2 )2

(
2
3)2
同一截面上的弯矩Mz和My按矢量相加。例如，B截面上的弯矩MzB和 MyB（图f）按矢量相加所得的总弯矩MB（图g）为：
MB
M
2 yB

M
2 zB

(364 N m)2 (1000 N m)2 1064 N m
由Mz 图和My 图可知，B 截
面上的总弯矩最大，并且由扭矩
第9章组合变形
§9-4 扭转与弯曲的组合
主讲院校：南昌工程学院主讲老师：章宝华课程名称：材料力学
§9-4 扭转与弯曲的组合
以由塑性材料制造的曲拐为例来说明这类组合变形时应 1力.内及力其分强析度的计算方法。
A面上内力最大，该截面为危险截面，其内力
值分别为弯矩M＝Fl，扭矩MT＝Fa。
该杆为直径为d 的圆截面杆。
r3
2
2

M WZ

4 2MWTZM

M 2 MT2 WZ
r4
2
2

M WZ

3
MT 2WZ

M 2 0.75M T 2 WZ
式中,M和MT分别为危险截面上的弯矩和扭矩，WZ为圆截面的弯曲截面系数。

工程力学-弯扭组合

M
∴
d 3
32 M T π[σ ]
2
图
664669 N· mm
3
32 1940.9 664.7 π 100 10
6
2
= 0.0593 m = 59.3 mm T图圆整，取： d = 60 mm
上海应用技术学院
18 例5 图示空心圆轴，内径d=24mm，外径D=30mm，F1=600N， B轮直径为0.4m，D轮直径为0.6m，[s]=100MPa。 F2 试用第三强度理论校核此杆的强度。 y 80º F1 解： 1. 外力分析
㊉
|M|max=F1l T = Me
上海应用技术学院
FN=F2
O T O
㊉
Me
x x
3. 应力分析 a点为危险点：取单元体：
F1
s
a
s
tT tT
σ σM σ N
τT T Wp T 2W
a b A M O
6 Me B
F2
l
M W

FN A
㊀
x F2
㊉
FN –Fl 为单拉(压)与纯剪切组合应力状态。 O 注意：此时b点应力s为 T M FN σ σM σN O W A
M
Fy
A
y M2
B
F'y
C D
13 x
Fz T
z
1kN· m
㊉
F'z
My
z
Mz
O Mz O
㊀
0.568kN· m
x x
㊉
0.364kN· m 1.0kN· m ㊉ 1.064kN· m
对圆形截面，可将Mz、My My 合成为： M O

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