实变函数期末考试卷A卷[1]1(1)
实变函数度(A)(解答)
华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）（解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。
共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、可数个可数集的并集是可数集。
（ 对 ）2、可测集E 上的非负可测函数必Lebesgue 可积。
（ 错 ）3、R n 上全体Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。
（ 错 ）4、非空开集的Lebesgue 测度必大于零。
（ 对 ）5、若()n f x （1n =，2，）和()f x 都为可测集E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，..a e E ，则()()n f x f x ⇒，x E ∈。
（ 错 ）二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)1、单调收敛定理（即Levi 定理）答：设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)为E 上的非负可测函数，若{()n f x }是单调递增的，记()lim ()n n f x f x →∞=，则lim()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰。
2、R n中开集的结构定理答：R n中的任一非空开集总可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。
（或R n中的任一开集或为空集或可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。
）3、R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C .Caratheodory 定义）答：设n E R ⊂，如果对任意nT R ⊂，总有***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂则称E 为R n 中的Lebesgue 可测集，或称E 是Lebesgue 可测的。
4、F .Riesz 定理（黎斯定理）答：设E 为Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)和()f x 都是E 上的几乎处处有限的可测函数，如果()()n f x f x ⇒ x E ∈，则存在{()n f x }的一个子列{()k n f x }，使得lim ()()k n k f x f x →∞=..a e 于E 。
实变函数试题[1]
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实变函数试题[1]实变函数试题[1]一. 填空题1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是nR 中点集，如果对任一点集T 都有______则称E 是L 可测的4. 设,E F 是两个集合, 作集合列(),,k E k A F k ?=??L为奇数,k=1,2,为偶数,, 则lim _____k k A →∞=, lim ______k k A →∞=.5 若Q 是nR 中的有理点集, 则()______m A =; 若I 是nR 中的闭矩体, 则()mI =______.6 设n ER ?. 若对任意的点集n T R ?, 有()*__________________m T =, 则称E 为Lebesgue 可测集. 7、设11[,2],1,2,n A n n n=-=L，则=∞→n n A lim_________。
8、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，oP =________。
9设{}i S 是一列可测集，则11______i ii i m S mS ∞∞==??∑10 设()22110,,0,212k k A A k k -??==-, 则lim _____k k A →∞=, lim ______k k A →∞=.11 若n A R ?是可数集, 则()______m A =; 若I 是nR 中的开矩体, 则()mI =______.12 若()f x 是n E R ?上几乎处处有限的可测函数, 则对任给的0δ>, 存在E 中的闭集F ,()\m E F δ<, 使得___________________.13 设集合,,A B C 满足C B A ??，若~A C ，则____________.二、选择题1、下列各式正确的是（）（A ）1lim nk n n k n A A ∞∞→∞===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=??;（C ）1lim nk n n k nA A ∞→∞===??; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=??;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（）（A ）=Pc (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =ο3、下列说法不正确的是（）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集（D ）波雷耳集都可测4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )A.若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → B. {}sup ()n nf x 是可测函数C.{}inf()n nf x 是可测函数; D.若()()n f x f x ?,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（） A.)(x f 在],[b a 上有界 B.)(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数C.)('x f 在],[b a 上L 可积 D-=b ab f dx x f )()()('6 设C 为[0,1]中Cantor 集, 则下面说法错误的是: ( )A.. C 是闭集.B. C 是完全集.C. C =?o. D.C 是可数集7下列关于开集和闭集的性质中, 错误的是( ) A.. ,nR ?既是开集, 又是闭集. B. nR 中的开集和闭集一样多.C. 设1{}k k G∞=是nR中的一个开集列, 则其并集1kk G∞=U 是开集.D. 设1{}k k F∞=是nR中的一个闭集列, 则其交集1kk F=U 是闭集.8 在下面命题中正确的是( ) A..若E 为nR 中的无界集, 则()mE =+∞.B. 若E 为n R 中的可测集, 且E 中至少有一个内点, 则()0m E >.C. 设E 是[]0,1中的可测集, 且()1m E =, 则()1m E =.D. 若()0mE =, 则E 为n R 中的可数集.9 下列命题正确的是( ) A.. 若()f x 在点集E n R ?上可测, 则()f x 在E 上可测, 反之亦然.B. 若()f x 在点集E n R ?上可测, 则()2f x 在E 上可测, 反之亦然.C. 若()f x 在点集上可测, 则()3f x 在E 上可测, 反之亦然.D. 设点集En R ?, 则()E x χ是n R 上的可测函数.10．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（）(A) M (B) N (C) M N ? (D) ?11 下列说法不正确的是( )(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点(B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点(D) 内点必是聚点 12. 下列断言( )是正确的。
(完整版)实变函数试题库1及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设nE ⊂¡是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈¡，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅I B ()\A B A =∅IC ()\A B B A =UD ()\B A A B =U2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设nE ⊂¡是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）C E '≠∅D *0mE >3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩L L ，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则lim ()0nE n f x dx →∞=⎰实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，[]()41331000,11|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,114f x dx =⎰.2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明(\)()c A B B A B B =U I U ()()()c c A B A B B A B B B A B ===I U I U I U U U2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]cE F F ==I ，故E 是可测集.由于E F =∅I ，所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则()11[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞==>=≥>=≥<I U U因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =L ，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，[|()|][|()|]|()||()|E x f x a E x f x a Eadx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
实变函数期末试卷
实变函数期末试卷2006年6月7日班级姓名学号说明：本试卷共三道大题；考试时间90分钟；试卷空白页为答题纸和演算纸。
一、选择题（在题后括号中填上正确答案 .本大题共有4小题，每小题5分，共20分）1、设E 是)1,0(中的有理点集，则E '是（ ）；A 、)1,0(中的无理点集B 、)1,0(；C 、]1,0[D 、)1,0(中的有理点集；2、设A 是闭集，B 是开集，则B A \是（ ）；A 、开集B 、闭集C 、完备集D 、以上都不是3、可测集是无穷集合中基数（ ）；A 、最小者B 、最大者C 、基数是无穷D 、无法确定4、设⎩⎨⎧∈∈=020\]1,0[)(P x x P x x x f ，其中0P 是康托集，则 []=⎰1,0)(dx x f _________（ ） A 、0 B 、21 C 、31 D 、1二、判断题（对的在题后括号中填√； 错的在括号中填×.本大题共有5题，每小题2分，共10分）1、 设全空间为X , A ⊂X ,若A 在X 中稠密，那么 A c 在 X 中未必疏朗。
（ ）2、 函数 f 为 [a ,b ] 上有界变差函数，则 f 必定是 [ a , b ] 上绝对连续函数。
( )3、设有测度空间 （X , μ）， A , B ⊂X 都是可测集，若存在双射 （即一一满射） f : A →B , 则必有μ(A ) = μ(B ) ( )4、设 P 为Cantor 集，则 P P =。
（ ）5、设 { f n }是 全空间（X , μ） 上的可测函数列， 则f n 几乎处处收敛于 f 等价于 f n 几乎一致收敛于 f . ( )三、证明与计算题 （过程写在后面答题纸上. 本大题共有7小题，每小题10分，共70分）1、设A ⊂R n , 求证：A 0 是开集，A ’ 是闭集。
2、设A , G ⊂R n , m( A ) =0, G 为开集，求证：A G G \=-.3、设 f 是定义在 R 上的有界可测函数，求证：存在简单函数列 { g n } ( n = 1 , 2 , … ) ，使得 { g n } 一致收敛于 f ，且| g n |≤| f | 在R 上一致成立。
实变函数A卷(解答).docx
华屮师范大学2002——2003学年第二学期期（中、末）考试试卷（A、R卷）课程名称实变函数课程编号42111300 任课教师_________题型判断题叙述题简答题解答题总分分值151********得分一、判断题（判断正确、错课，并改正。
共5题，共5X3=15分）1、可数个冇限集的并集是可数集。
.（X ）改正：可数个有限集的并集不一定是可数集。
2、存在开集使具余集仍为开集。
（V ）co3、若可测集列E“单调递减，则m A E n = limrnE, o( X )n=\ ns改正：若可测集列乞单调递减，且存在〃0,使加£心<008则m A E n = lim mE n <>n=\n—4、若E是可测集，/（兀）是£上的实函数，则/（x）在E上可测的充要条件是：0 实数a,b（a<b） , E[x\a<f<b]都是可测集。
（X ）改正：若£是可测集，/（Q是E上的实函数，则/（x）在E上可测的充耍条件是: 0实数a, E[x\f>a]都是可测集。
5、若E是可测集, /（兀）是E上的非负可测函数,则于（兀）在E上一定可积。
改正：若E是可测集, /（X）是E上的非负可测函数，则/（x）在E上不一定可积。
二.叙述题（共5题，共5X3=15分）1、集合的对等。
答：设A、B是两个集合，若A、BZ间存在一一对应，则称A与B对等。
2、可测集。
答：设E u R”,如果对任意T uR”,总有mV=/77*（Tn£） + m*（Tn£c）,则称E为可测集。
3、可测集与几型集的关系。
答：设E为可测集，则存在人型集F,使F uE且加E二加F、加（E — F） = O。
4、叶果洛夫定理。
答：设mE < +oo , { f n（x））为E上儿乎处处有限的可测函数列，/（兀）也为E上儿乎处处有限的可测函数，如果AU）^/（x） a.e.于E,则对任意£>0,存在可测了集E£^E 使在E&上,f n （兀）一致收敛于/*（兀），而m{E-E G）< 8 o5、九（兀）在可测集E上依测度收敛于/（兀）的定义。
实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。
《实变函数》试卷A题目 2006 夏(060522)
石 家 庄 铁 道 学 院 2005-2006 学 年 第 二 学 期
2004
课程名称： 实变函数
级本科班期末考试试卷A
考试时间： 120 分钟
考试性质（学生填写） ：正常考试（）缓考补考（）重修（）提前修读（） 题 满 得 号 分 分 范 瑞 琴 一 32 二 14 三 8 四 18 五 8 六 10 七 10 总分 100
五、 （本题 8 分）证明：可数点集可测。
六、（本题 10 分）设在 E 上 f n ( x) ⇒ f ( x) ，并且 f n ( x) = g n ( x) 几乎处处 成立， n = 1,2,... ，则几乎处处有 g n ( x) ⇒ f ( x)
5
七、（本题 10 分）设 A 是平面上以有理点为中心，有理数为半径的圆的 全体，则 A 为可数集。
班级：
改卷人
一、
填空题（每小题 4 分，共 32 分） ∞ 1 1 1． 设 Fn = [ ,1 − ] , 则 Fn = n n n =3
；
2． 设 Q 表示[0，1]中的有理数全体，则
姓名：
Q0 =
,
Q′ =
3． 有界变差函数的不连续点有
个。
4． 康托尔集的测度为
。
5． 设 {E k } 为[0，1]中的一列可测集，并且 mE k = 1, k = 1,2,
6
学号：
∞ 则 m Ek = k =1
Hale Waihona Puke 。16. 设 G1 , F1 ⊂ R p , G2 , F2 ⊂ R q ,其中 G1 , G2 为开集， F 1, F2 为闭集，
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限 4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\x x E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB 三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。
师范大学实变函数期中期末考试(A)
师范大学期中/期末试卷（A ）(简明答案)课程名称：实变函数学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：___________________ 年级/班级：__________________ 课程性质：专业必修…………………………………………………………………………………………一.判别题(每题2分,共20分)1. 设()f x 在(,)-∞+∞上单调增,则()f x 的不连续点是可数的.2. 不可数个闭集的交集仍是闭集.3. 设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=L 则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==I4. 任意多个可测集的交集是可测集.5. 若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.6. 若,mE <∞{}()n f x 在E 上几乎处处有限,几乎处处收敛于几乎处处有限的(),f x 则0,δ∀>存在闭集,()F E m E F δδδ⊂-<,{}()n f x 在F δ上一致收敛于()f x .7.cos xx是[1,)+∞上勒贝格可积函数. 8. 若()f x 是[,]a b 上单调增连续函数,且()0f x '=几乎处处成立,则()f x 为常值函数. 9. 若()f x 是[0,1]上单调严格增绝对连续函数,()g x 在([0,1])f 满足李普西茨条件,则(())g f x 是[0,1]上绝对连续函数.10. 设(,)f x y 在{}(,):,()()D x y a x b g x y h x =≤≤≤≤上可积,其中(),()g x h x 是[,]a b 上连续函数,则()()()(,).bh x ag x Df P dP dx f x y dy =⎰⎰⎰二.(12分)若在可测集E 上,()()(),()()()n n f x f x n g x g x n ⇒→∞⇒→∞. 求证:在E 上,()()()()().n n f x g x f x g x n +⇒+→∞三. (12分)设()f x 在E 上可积,[],1,2,n E E f n n =≥=L . 求证:(1)lim ()0;n n m E →∞= (2)lim ()0.n n nm E →∞=四. (12分)若{}()n f x 是一列[,]a b 上有界变差函数,[,],lim ()(),n n x a b f x f x →∞∀∈=且0,M ∃>().1,2,.bn af M n ∨≤=L 求证:f 是[,]a b 上有界变差函数.五. (12分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,2,0,\n nn E nx E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L求证：(1){}()n f x 在E 上一致收敛于1的充分且必要条件是:,,.n N n N E E ∃∀>= (2)()1n f x ⇒的充分且必要条件是:lim ()0.n n m E E →∞-=六. (12分)设()f x 在E 上可积,(),()(),1,2,0,()n f x f x nf x n f x n ⎧≤⎪==⎨>⎪⎩L求证:(1)()n f x 在E 上可积,1,2,n =L ;(2)lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.七. (10分)设{}()n g x 是一列可测集E 上可积函数,lim ()()n n g x g x →∞=在E 上几乎处处成立,且lim ()()n EEn g x dx g x dx →∞=⎰⎰.{}()n f x 是一列E 上可测函数,lim ()()n n f x f x →∞=在E 上几乎处处成立,且,()(),1,2,n n x E f x g x n ∀∈≤=L . 求证: lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.八.(10分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,0,\n nn E n x E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L仿第五题(1) 给出lim ()1n n f x →∞=在E 上几乎处处成立的充分且必要条件，并证明;(2) 给出{}()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于1的充分且必要条件，并证明.。
实变函数期末考试卷A卷
实变函数期末考试卷A 卷一、 判断题（每题2分，共20分）1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。
（×）2.必有比a 小的基数。
（√）3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。
（√）4.无限个开集的交必是开集。
（×）5.若φ≠E ，则0*>E m 。
（×）6.任何集nR E ⊂都有外测度。
（√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。
（×） 8.可测集的所有子集都可测。
（×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。
（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。
（×） 1.设E 为点集，E P ∉，则P 是E 的外点.（ × ）2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ）5.若()f x 在E 上可测,则存在Fσ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分）1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。
2.设1,1,,31,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。
3.设,2,1,0),11,11(=++-=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1 }0{ 。
4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则=mE 0 。
6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。
7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。
实变函数期末考试题A
上单调函数的不连续点所成之集的测度等于n上的广11 ()k E f ak∞=≥+=_________.7．设f是[a上的单调函数，则8．设f是可测集E上的非负可测函数，则_________.9．区间[是[,]()()()()a b F b F a L F x dx '-=⎰的充要条件是： F (x )是[a ,b ]上的 函数。
二、选择题（本题共8小题，每小题2分，满分16分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内）1．设{k A } 是一集合列，则下述等式中正确的是 ( )A.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； B. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===C.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； D. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===。
2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。
3．下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集；B. Cantor 集为零测集；C. 零测集的子集是零测集；D. 无穷个零测集的并是零测集。
4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若()Ef x dx <+∞⎰，则下列断言错误的是 ( )A. f (x )在E 上L-积分存在；B. f (x )在E 上L-可积；C. f (x )在E 上未必L-可积；D. f (x )在E 上.有限。
5．设{}k f 是nE ⊂上的可测函数列，lim ()k k f x →∞存在，则lim ()k k f x →∞是 （ ）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。
实变函数期末复习资料试卷
）
（第 13页，共 24页）
∞ （C） m⎛ ∩ En ⎞ ⎜n ⎟ < lim mEn ;（D）以上都不对 ⎝ =1 ⎠ n → ∞
5、设 f(x)是 [ a, b] 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ (A) f (x) 在 [ a, b] 上的一致连续函数 （C） f ( x ) 在 [ a, b] 上 L 可积 得 分 二. 填空题(3 分×5=15 分) 1、设集合 N ⊂ M ，则 M − ( M − N) = 2、设 P 为 Cantor 集，则 P = 3 、 设 E 是 _________
∞ ⎞ ______ ∞ mS 3、设 {Si } 是一列可测集，则 m ⎛ ∪ S ⎜ i =1 i ⎟ ∑ i ⎝ ⎠ i =1
o
4、 ______________________________________________________ 鲁津定理： _______________________________________________________________ 5、 设 F ( x) 为 [ a , b ] 上的有限函数， 如果_________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________则称 F ( x) 为 [ a , b ] 上的绝对连续函数。
考 生
安庆师范学院
第
实变函数期末考试卷A
实变函数期末考试卷A附件一东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 实变函数 考试学期 11-12-2 得分 适用专业 数学系 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 （开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料） 卷无一. (10分)试叙述可数集的定义，并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。
二. (10 分)叙述勒贝格外测度的定义，并证明可数集的外测度为零.三. (10分)设E 是可测集，证明存在E 的一列单调增加的闭子集列1E,n n F F +⊂⊂n 1,∀≥ 使得 n mE=lim nmF →∞.四. (10 分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann 可积的充分必要条件。
(2)给出一个Lebesgue 可积但Riemann 不可积的例子。
五. (10分)(1) 叙述依测度收敛的定义。
(2) 若在E 上，()()n f x f x ⇒, ()()n g x g x ⇒, 证明()f x 和()g x 在E 上几乎处处相等。
六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义，并分别给出一个例子。
七.(10分)设n f (x)在 E 上Lebesgue 可积。
如果lim |()|0nE n f x dx →∞→⎰, 证明存在子列kn {f }在E 上几乎处处收敛于零。
八. (10分)(1)试叙述Fatou 引理;(2)求下列极限： 20arctan()lim 1n nx dxx +∞→∞+⎰九．设()f x 在[,]a b 上Lebesgue 可积。
(1) 若()x φ是[,]a b 上的有界可测函数，证明()()f x x φ在[,]a b 上是Lebesgue 可积的。
(2) 如果对[,]a b 上的任意有界可测函数()x φ，总有()()0baf x x dx φ=⎰成立. 证明()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。
(3) 如果对任意连续函数()x φ总有 ()()0b a f x x dx φ=⎰成立，证明上述(2)中结论仍然成立。
实变函数期末考试卷A及参考答卷
实变函数期末考试卷A及参考答卷Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）试卷共 8 页第 1 页考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -，即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE ⊂是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ⊂是开集，则（ ）3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE = 2．设nE ⊂是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|EmE x f x a f x dx a ≥≤⎰ 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差. 六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系， 因此()[]0,114f x dx =⎰. 2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]c E F F ==，故E 是可测集.由于EF =∅，所以1[0,1]()0m m EF mE mF mF ===+=+，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质， 而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
实变函数期末考试题库
《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若nE R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ）（A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是nR 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。
(最新整理)0121实变函数-期末考试卷
(完整)20150121实变函数-期末考试卷编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)20150121实变函数-期末考试卷）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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浙江师范大学《实变函数》考试卷（2014-2015学年第一学期）考试方式 闭卷 使用学生 初阳2012级 考试时间 120 分钟 出卷时间 2015 年 01 月 21 日说明： 考生将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理.一、(70分)知识性与概念性题目（一）、请判别下述各题正确与否（每题2.5分，共50分)设X 为n R 中非空集可测集，f :X R ，则f 为Lebesgue 可测当且仅当R ∈∀s t ,，t s <，})(:{]),([1t x f s X x t s f≤≤∈=-可测.18f f mn →存在子列｛jn f ｝，使得f f jn 近→。
19 若f L 1(E ），则})(:{∞=x f x 为Lebesgue 零测集。
20若f 在m n R R ⨯上非负Lebesgue 可测,则对任意xn R ，f x （y )= f (x ，y ）作为y 的函数为Lebesgue 可测。
（二）、请按要求给出答案（共20分）1、 (10分）请叙述下述定义（任选1题)：(1)。
请给出n R 上Lebesgue 可积函数及其积分的定义。
（2）。
请给出有界区间],[b a 上有界变差函数与绝对连续函数的定义. 2、 (10分)请说明（任选1题)：(1）. 若f 为非负可测函数,则0)(=⎰dx x f E 当且仅当:0)(=x f ）（..e a 。
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实变函数
一、 判断题（每题2分，共20分）
1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。
（×）
2.必有比a 小的基数。
（√）
3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。
（√）
4.无限个开集的交必是开集。
（×）
5.若φ≠E ，则0*>E m 。
（×）
6.任何集n R E ⊂都有外测度。
（√）
7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。
（×）
8.可测集的所有子集都可测。
（×）
9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。
（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。
（×）
二、填空题（每空2分，共20分）
1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。
2.设1,1,,3
1,21,1R n A ⊂⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ，则=0A φ ，='A }0{ 。
3.设 ,2,1,0),1
1,11(=++-=n n n A n ，则=⋃∞=n n A 0 )1,1(- ，=⋂∞=n n A 1 }0{ 。
4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。
6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭 集。
7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的连续函数 。
8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。
三、计算题（每题10分，共20分）
1.计算dx nx x n nx R n ⎰+∞→103222
1sin 1)(lim 。
（提示：使用Lebesgue 控制收敛定理） 解：设nx x n nx x f n 3222
1sin 1)(+=),2,1( =n ，则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的；
（2）]1,0[,0)(lim ∈=∞
→x x f n n ； （3）因为
x nx nx x n nx nx x n nx 2121sin 12
1222132221=≤+≤+)(x F = 显然)(x F 在]1,0[上可积。
于是由Lebesgue 控制收敛定理，有
0sin 1)(lim sin 1)(lim 103222
11032221=+=+⎰⎰∞→∞→dx nx x n nx L dx nx x n nx R n n
2. 设⎪⎩
⎪⎨⎧=为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算⎰]2,0[)(dx x f 。
解：因为有理数集的测度为零，所以
2)(x x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。
于是
⎰
⎰⎰+=]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dx x f dx x f dx x f dx x dx x ⎰⎰+=211026
112331=+= 四、证明题（每题8分，共40分）
1. 证明：)\()(\11n n n n A A A A ∞
=∞==
证明：)(\1n n A A ∞=( A =n n A ∞
=1c )
)(1c
n n A A ∞== =)(1c
n n A A ∞= =)\(1n n A A ∞
= 2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M 是至多可列集。
证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A 。
因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的。
则A 是有理数集的子集，故至多可列，所以M 也是至多可列集。
3. 证明：若0=*E m ，则E 为可测集。
证明：对任意点集T ，显然成立着
)()(c E T m E T m T m ***+≤。
另一方面，因为0=*E m ，而E E T ⊂ ，所以E m E T m **≤)( ，于是)(E T m *0=。
又因为c E T T ⊃，所以)(c E T m T m **≥，从而
)()(c E T m E T m T m ***+≥。
总之，)()(c E T m E T m T m ***+=。
故E 是可测集。
4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数r ，集合])([r x f E <是可测集。
5. 证明区间],[b a 上的任何单调函数)(x f 为有界变差函数，并求全变差。
４
５
6。