简单回归分析(2)
简单线性回归分析2
)
lXY lXX
a Y bX
03:56
24
b＝0.1584，a＝-0.1353
Yˆ 0.1353 0.1584X
03:56
25
回归直线的有关性质
(1) 直线通过均点 ( X ,Y )
(2) 各点到该回归线纵向距离平方和较到其它任何直线小。
(Y Yˆ)2 [Yˆ a bX ]2
03:56
残 差 0.0282 22 0.0013
总变异 0.0812 23
R2=SS回归/SS总=0.0530/0.0812=0.6527 说明在空气中NO浓度总变异的65.27%与车流量有关。
03:56
48
二、简单线性回归模型
两变量关系的定量描述 统计推断 统计应用
统计预测
Y 的均值的区间估计：总体回归线的95%置信带（相应X 取值水平下，） ；
回归模型 (regression model)：
描述变量之间的依存关系的函数。
简单线性回归(simple linear regression)：
模型中只包含两个有“依存关系”的变量，一个变量随 另外一个变量的变化而变化，且呈直线变化趋势，称之 为简单线性回归。
03:56
9
例如，舒张压和血清胆固醇的依存性
统计推断 通过假设检验推断NO平均浓度是否随着车 流量变化而变化；
统计应用 利用模型进行统计预测或控制。
03:56
13
两变量关系的定量描述
散点图 简单线性回归方程 回归系数的计算——回归系数的最小二乘估计 线性回归分析的前提条件
03:56
14
1. 散点图
0.25
0.2
NO浓度/×10-6
正态 (normal)假定是指线性模型的误差项服从正态 分布 。
3.3.2回归分析(二)课件(人教B版选修2-3)
C.对两个变量无需进行相关性检验,可直接求回归直线方程
D.由回归方程得到的预测值就是变量的精确值 解析:对于两个变量,在尚未断定是否具有线性相关关系的情 况下,应先进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求
回归方程,这时求出的回归方程才有意义,故C不对,由回归方
程得到的预测值不是变量的精确值,而是变量的可能取值的平 均值,故D不对,根据回归分析的一般步骤,可知答案为A.
4 若某学生入学数学成绩为80分, 代入上式可求得,
ˆ 84分, 即这个学生高一期末数学成绩预测值为84分. y
共 27 页
27
规律技巧:相关系数的取值范围为-1≤r≤1.相关系数为正数,表 示两变量之间为正相关;相关系数为负数,表示两变量之间 为负相关,相关系数r的绝对值的大小表示相关程度的高低.
线性相关关系,具体步骤:①假设x与y不具有线性相关关系,
②根据小概率0.05与n-2查表得出r的一个临界值r0.05;③根 据公式计算出样本相关系数r的值,④统计推断,若|r|>r0.05,
则具有线性相关关系;若|r|≤r0.05,则不具有线性相关关系.(2)
如果具有线性相关关系,求出回归直线方程
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2 因为x
1 (63 67 10
76) 70,
10
1 y (65 78 10
75) 76. (xi x )( yi y ) 1894,
i 1 10
(xi x )
i 1
10
2
2474, ( yi y )2 2056,
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28
D 变式训练3:下列说法不正确的是( ) A.具有相关关系的两个变量不是因果关系 B.回归直线通过样本点的中心
简单回归分析
一、线性回归分析若是自变数与依变数都是一个，且Y 和X 呈线性关系，这就称为一元线性回归。
例如，以X 表示小麦每667m 2有效穗数，Y 表示小麦每667m 2的产量，有效穗数即属于自变数，产量即属于依变数。
在这种情形下，可求出产量依有效穗数而变更的线性回归方程。
在另一种情形下，两类变数是平行关系很难分出哪个是自变数，哪个是依变数。
例如，大豆脂肪含量与蛋白质含量的关系，依照需要确信求脂肪含量依蛋白质含量而变更的回归方程，或求蛋白质含量依脂肪含量而变更的回归方程。
回归分析要解决的问题要紧有四个方面：一是依如实验观看值成立适当的回归方程；二是查验回归方程是不是适用，或对回归方程中的回归系数的进行估量；三是对未知参数进行假设考试；四是利用成立起的方程进行预测和操纵。
（一）成立线性回归方程用来归纳两类变数互变关系的线性方程称为线性回归方程。
若是两个变数在散点图上呈线性，其数量关系可能用一个线性方程来表示。
这一方程的通式为：上式叫做y 依x 的直线回归。
其中x 是自变数，y ˆ是依变数y 的估量值，a 是x =0时的y ˆ值，即回归直线在y 轴上的截距，称为回归截距，b 是x 每增加一个单位时，y 将平均地增加（b ＞0时）或减少(b <0时) b 个单位数，称为回归系数或斜率（regression coefficient or slope ）。
要使 能够最好地代表Y 和X 在数量上的互变关系，依照最小平方式原理，必需使将Q 看成两个变数a 与b 的函数，应该选择a 与b ，使Q 取得最小值，必需求Q 对a ，b 的一阶偏导数，且令其等于零，即得：()()⎩⎨⎧∑=∑+∑∑=∑+212xyx b x a yx b an ()()∑∑=--=-=nn Q bx a y yy Q 1min212ˆbx a y +=ˆ()1.7ˆbx a y+=由上述（1）解得：将（）代入（2），那么得：（）的分子 是x 的离均差与y 的离均差乘积总和，简称乘积和（sum of products ），可记为SP ，分母是x 的离均差平方和，也可记为SS x 。
第12章简单回归分析2
假设检验
例： 用上例资料检验脐带血TSH水平对母血TSH水 平的直线关系是否成立?
Ho:β＝0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间 无线性关系
H1:β≠0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间有 线性关系
α ＝0.05
方差分析表
已知 υ1＝1， υ2＝8，查F界值表，得P<0.05，按 α＝0.05水准拒绝Ho，接受H1，故可以认为脐带血 TSH水平与母血TSH水平之间有线性关系
残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回
归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ。
求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好
地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
最小二乘法
两部分构成，即：
(yy)(y ˆy)+(yy ˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
(yy)2 [(y ˆy)+(yy ˆ)2 ]
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y y ˆ+ y ˆ y
2. 两端平方后求和有
n
求X，Y，l XX，lYY，l XY X 15.79 8 2.00，Y 249.01 8 31.13
lXX 47.0315.972 8 15.15 lYY 8468.78 249.012 8 718.03
lXY 594.4815.97249.01 8 97.39
另一次抽样研究 50岁年龄组舒张压得总体均数估
6.2.2 回归分析
6.2.2 回归分析
(一)什么是回归分析
回归分析是用来研究一个指标与几个变量间的相关关系的方法。
设有两个变量x 和y ，前者为自变量,后者为因变量,并均为随机变量。
当自变量X 变化时，Y 会产生相应的变化，如果具有大量或较多的统计数据（x i ,y i ），则可以用数学方法找出两者之间的统计关系y ＝f(x)，这种数学方法称为回归分析。
当y ＝a ＋bx 时，称之为一元线性回归；
当y ＝f(x)为非线性函数关系时，称之为非线性回归；
当x 变量不止1个，有几个时，即有（x 1，x 2···，x n ），则y ＝f （x 1，x 2···，x n ）称之为多元回归。
当有y ＝a ＋b 1 x 1＋b 2 x 2＋···＋b n x n 时，称之为多元线性回归，否则为多元非线性回归。
回归分析可用于预测、质量控制等方面。
(二) 一元线性回归方程的计算方法
设一元线性回归方程的表达式为: y=a+bx
现在给出了n 对数据(x i , y i ),要求根据这些数据去估计a 与b 的值。
则：
其中 L xx:----x 的离差平方和
L yy ----y 的离差平方和
L xy ----x ，y 的离差成积之和 2n
1i )Lxx x x i -=∑=（2n 1i )
Lyy y y i -=∑=（x b y -=a xx xy L L =b )y )(Lxy n
1i y x x i i --=
∑=（。
logistic回归分析(2)
8
非条件logistic回归
logit 因变量 自变量,[选择项]
sw logit 因变量 自变量,[选择项]
选择项： or 指定结果中给出OR值，缺失时输出回归系数 pr(#)是剔除变量的P值 pe(#)是选入变量的P值
9
例1(成组病例对照研究) 某单位研究胸膜间皮瘤与接触石 棉的关系，资料见下表。试对其进行分析。
begin with full model
p = 0.7439 >= 0.1100 removing ht
p = 0.1314 >= 0.1100 removing drug
Conditional (fixed-effects) logistic regression Number of obs = 315
4
参数估计与假设检验
参数的估计：极大似然（MLE） 假设检验：
似然比检验: G=-2lnL-(-2lnL’)
Wald检验: z 检验
2 i
(
ˆi SE(ˆi
)
)
2
5
回归系数的解释
回归系数 表示当其它自变量固定不变时， X每改变一个单位，优势对数的改变量（优 势比的对数）。
6
回归系数的解释
7
回归系数的解释
多分类变量：哑变量(dummy variable)
x＝1时： x1＝1， x2＝0， x3＝0， x4＝0 表示A型血 x＝2时： x1＝0， x2＝1， x3＝0， x4＝0 表示B型血 x＝3时： x1＝0， x2＝0， x3＝1， x4＝0 表示AB型血 x＝4时： x1＝0， x2＝0， x3＝0， x4＝1 表示O型血
➢ 回归系数β：表示病例与对照变量值之差与患病 优势的关系，即exp(β)表示病例与对照暴露水平 相差一个单位时患病的优势比。
简单回归分析-沈晓丽
表10-1 14名健康中年妇女的基础代谢与体重的测量值
编号
1 2 3 4 5 6 7
基础代谢 （kj/d）
4175.6 4435.0 3460.2 4020.8 3987.4 4970.6 5359.7
体重 （kg）
50.7 53.7 37.1 51.7 47.8 62.8 67.3
编号
8 9 10 11 12 13 14
4800
4300
Yˆ abx
3800
3300
2800 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75
体重(kg)
利用回归方程，只要给定一个40-60岁的健康妇女的体重值，
就可估计出该体重个体的基础代谢值的平均值。
h
Ｙˆ
11
基础代谢(kJ/d)
线性回归关系的特点：
5800
5300 4800
h
5
线性回归（linear regression ）又称简单回归
（simple regression ） ：讨论两个变量间的数量依存关
系的统计方法，即研究一个变量如何随另一个变量变化 的常用方法。
两个变量：
因变量dependent variable 反应变量 response variable
：非独立的、受其它变量影响的变量，常用“Y”表 示。
在所有直线中找出 Y Yˆ 2 （残差平方和，记为 SS残差 ）达最小值时所对应的直线作为回归线。
h
21
回归参数的估计方法：
按照最小二乘法原则，可得到：
n
（１b ） i1( Xi( XiX )X Y (i) 2Y)＝ L Lx x y x ,(i1,2,..n).,
（２）a Y bX
实验报告简单线性回归分析
西南科技大学Southwest University of Science and Technology经济管理学院计量经济学实验报告——多元线性回归的检验专业班级：姓名: 学号: 任课教师: 成绩:简单线性回归模型的处理实验目的：掌握多元回归参数的估计和检验的处理方法。
实验要求：学会建立模型，估计模型中的未知参数等。
试验用软件：Eviews实验原理：线性回归模型的最小二乘估计、回归系数的估计和检验。
实验内容：1、实验用样本数据：运用Eviews软件，建立1990-2001年中国国内生产总值X和深圳市收入Y的回归模型，做简单线性回归分析，并对回归结果进行检验。
以研究我国国内生产总值对深圳市收入的影响。
经过简单的回归分析后得出表EQ1：Depe ndent Variable: Y Method: Least Squares Date: 11/27/11 Time: 14:02 Sample: 1990 2001 In cluded observati ons: 12 VariableCoefficientStd. Error t-Statistic Prob.C -3.611151 4.161790 -0.867692 0.4059 X0.134582 0.003867 34.80013 0.0000 R-squared0.991810 Mean depe ndent var 119.8793 Adjusted R-squared 0.990991 S.D. dependent var 79.361247.02733 S.E. of regressi on7.532484 Akaike infocriteri on8Sum squared resid 567.3831 Schwarz criteri on 7.1081561211.0490.00000Log likelihood-40.16403F-statisticDurbin-Wats on stat 2.051640 Prob(F-statistic)其中拟合优度为：0.991810有很强的线性关系2、实验步骤: 1、 回归分析:(1) 在 Objects 菜单中点击 New objects ，在 New objects 选择 Group ，并以GROUP01定义文件名，点击 OK 出现数据编辑窗口，， 按顺序键入数据。
第二章 回归分析与相关分析(2)
第二章 回归分析与相关分析§3 多元线性回归分析在现实地理系统中，任何事物的变化都是多种因素影响的结果，一因多果、一果多因的情况比比皆是。
为了处理一果多因的因果关系问题，我们需要掌握多元线性回归知识。
本节着重讲述二元线性回归分析。
至于三元以上，基本原理可以依此类推。
1 基本模型二元线性回归模型可以表为2211x b x b a y ++=, （3-1）式中a 、b 1、b 2为待定的偏回归参数（partial regression coefficient ）。
理论上的预测模型为i i i x b x b a y2211ˆ++=. （3-2） 原则上讲，式（3-2）中的参数a 、b 1、b 2与式（3-1）中的a 、b 1、b 2是有区别的：式（3-1）的是真实的系数值，式（3-2）的是计算的系数值。
但为了方便起见，我们不作符号上的区分。
实测数据的模型可以表作d yd x b x b a y i i i i i ±=±++=ˆ2211, （3-3） 从而i i i i i i x b x b a y yy d 2211ˆ---=-=. （3-4） 令min )(12221112→---==∑∑==ni i i i n i i x b x b a y d S . （3-5）为求极值，分别对a 、b 1、b 2求偏导，并令其为零，可得0)(22211=---=∂∂∑ii i i x b x b a y a S, （3-6） 0)(2122111=---=∂∂∑i ii i i x x b x b a y b S, （3-7）0)(2222111=---=∂∂∑i ii i i x x b x b a y b S. （3-8） 上面三式可以化为正规方程形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i i i i i ii i i i i i i i i y x x b x x b x a y x x x b x b x a y x b x b an 22222112121221112211. （3-9） 根据线性代数的有关原理，可令∑∑∑∑∑∑∑∑∑=222122121121iiiiiiiiiii i i x x x y x xx x y x xx y A , ∑∑∑∑∑∑∑∑=2222211121ii iiiiiii i i x y x xx x y x x x y nB ,∑∑∑∑∑∑∑∑=iiiiii iiii i yx x x x yx x x yx n B 2212121112, ∑∑∑∑∑∑∑∑=222122121121iiiiiiii i i xx x xx x x x x x nC .借助Cramer 法则容易得到C Aa =，C B b 11=，CB b 12=. （3-10） 2 回归结果的检验检验的类型与一元线性回归相似，包括相关系数检验、标准误差检验、F 检验、t 检验和DW 检验。
第十章 简单回归分析
在医学研究中，经常需要研究两个变量之间 的相互关系和相互依存关系，如血糖与胰岛 素水平、年龄与血压等，把这种统计分析方 法叫做双变量关系的统计。
相关 ---- 变量间在数量上的相互关系 回归 ---- 变量间在数量上的依存关系
第一节 线性回归
一、基本概念 1.直线回归(linear regression) ：当一变量随 另一变量有规律的依存变化时，此依存变化 的数量关系称为直线回归关系。 直线回归是回归分析中最基本、最简单的 一种，故又称为简单回归或简单线性回归。
表10-1 21例肝癌病人血清胆固醇与甘油三脂相关性研究
病人序号
血清胆固醇
甘油三脂
1
3.89
1.71
2
3.41
1.01
3
5.70
0.97
4
6.84
1.78
5
2.93
1.25
6
3.98
0.70
7ห้องสมุดไป่ตู้
4.23
1.33
8
4.43
0.72
9
2.58
0.34
10
4.40
1.24
11
3.77
1.00
12
3.42
0.79
n 21
3. 计算 lXX 、lYY 及 lXY
lXX
X 2 ( X )2 363 .33 85.012 / 21 19.20 n
lYY 23.12 20.892 / 21 2.34
lXY
87.82
85.01 20.89 21
3.26
4. 求回归系数和截距a值：
b lXY 3.26 0.1698 lXX 19.20
回归分析中的时间序列数据处理技巧(Ⅱ)
回归分析中的时间序列数据处理技巧时间序列数据在回归分析中扮演着重要的角色，它能够帮助分析人员了解某一变量随时间变化的趋势和规律。
然而，时间序列数据处理并不是一件简单的事情，它需要一定的技巧和方法。
本文将介绍一些在回归分析中处理时间序列数据的技巧，希望对读者有所帮助。
1. 数据平稳性检验在进行回归分析之前，我们需要先检验时间序列数据的平稳性。
平稳性是指时间序列数据在一定期间内的均值、方差和自协方差不随时间发生显著变化的性质。
平稳性检验常用的方法有ADF检验和单位根检验。
如果时间序列数据不是平稳的，我们需要对其进行差分处理，使其变得平稳。
2. 季节性调整许多时间序列数据都具有季节性变化的特点，这会给回归分析带来一定的困难。
为了消除季节性的影响，我们可以使用季节性调整方法，如X-12-ARIMA或SEATS等。
这些方法可以将时间序列数据中的季节性成分分离出来，从而更好地进行回归分析。
3. 自回归模型自回归模型是一种常用的时间序列数据分析方法，它可以帮助我们了解时间序列数据中的自相关性。
自回归模型的建立需要对时间序列数据进行自相关性检验，找出合适的滞后阶数，然后进行模型的拟合和诊断。
在回归分析中，自回归模型可以用来预测未来的时间序列数据。
4. 移动平均模型除了自回归模型，移动平均模型也是一种常用的时间序列数据分析方法。
移动平均模型可以帮助我们了解时间序列数据中的平稳性和波动性。
在回归分析中，移动平均模型可以用来对时间序列数据进行平滑处理，从而更好地进行分析。
5. 时间序列回归分析最后，我们需要将处理过的时间序列数据应用到回归分析中。
时间序列回归分析可以帮助我们找出时间对于变量的影响，以及变量之间的相互关系。
在进行时间序列回归分析时，需要注意调整时间滞后项和季节性因素，以及对模型的拟合和诊断。
总结回归分析中的时间序列数据处理是一个复杂而又重要的环节。
在处理时间序列数据时，需要注意数据的平稳性、季节性调整、自回归模型和移动平均模型的选择，以及时间序列回归分析的应用。
简单回归分析
Simple linear regression analysis
本章内容
第一节 简单线性回归 第二节 线性回归的应用
第一节 简单线性回归
双变量计量资料：每个个体有两个变量值
总体：无限或有限对变量值
样本：从总体随机抽取的n对变量值 （X1,Y1）, （X2,Y2）, …, （Xn,Yn） 目的：研究X和Y的数量关系 方法：回归与相关
XY
46.02 33.11 27.81 14.88 33.60
232.61 76 23.87 / 8 764 762 / 8 5.8450 0.1392 42
X SX / n 76 / 8 9.5
20.48 Y SY / n 23.87 / 8 2.9838
线性回归的概念及其统计描述
直线回归的概念
目的：研究应变量Y对自变量X的数量依 存关系。 特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系， 不同于一般数学上的X 和Y的函数关系
回归
回归描述的是通过自变量的数值反应因变量的平均水 平。因此可以通过可测或易测的变量估计难测或不 可测变量的状态。
例如：通过体重估计体表面积； 通过身高、体重、肺活量估计心室血输出 量、体循环总血量； 本章只涉及一个自变量的回归问题
b
SXY SX SY / n l XY 2 l XX SX 2 SX / n
编号 1 2 3 4 5 6
年龄X 肌酐Y
13 11 9 6 8 10 3.54 3.01 3.09 2.48 2.56 3.36
X2
169 121 81 36 64 100
Y2
12.53 9.06 9.55 6.15 6.55 11.29
EViews计量经济学实验报告-简单线性回归模型分析
时间地点实验题目简单线性回归模型分析一、实验目的与要求：目的：影响财政收入的因素可能有很多，比如国内生产总值，经济增长，零售物价指数，居民收入，消费等。
为研究国内生产总值对财政收入是否有影响，二者有何关系。
要求：为研究国内生产总值变动与财政收入关系，需要做具体分析。
二、实验内容根据1978－1997年中国国内生产总值X和财政收入Y数据，运用EV软件，做简单线性回归分析，包括模型设定，估计参数，模型检验，模型应用，得出回归结果。
三、实验过程：（实践过程、实践所有参数与指标、理论依据说明等）简单线性回归分析，包括模型设定，估计参数，模型检验，模型应用。
（一）模型设定为研究中国国内生产总值对财政收入是否有影响，根据1978－1997年中国国内生产总值X 和财政收入Y，如图1：1978－1997年中国国内生产总值和财政收入（单位：亿元）根据以上数据，作财政收入Y 和国内生产总值X 的散点图，如图2：从散点图可以看出，财政收入Y 和国内生产总值X 大体呈现为线性关系，所以建立的计量经济模型为以下线性模型：01i i i Y X u ββ=++（二）估计参数1、双击“Eviews ”，进入主页。
输入数据：点击主菜单中的File/Open /EV Workfile —Excel —GDP.xls;2、在EV 主页界面点击“Quick ”菜单，点击“Estimate Equation ”,出现“Equation Specification ”对话框，选择OLS 估计，输入“y c x ”,点击“OK ”。
即出现回归结果图3：图3. 回归结果Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 10/10/10 Time: 02:02 Sample: 1978 1997 Included observations: 20Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 857.8375 67.12578 12.77955 0.0000 X0.1000360.00217246.049100.0000R-squared 0.991583 Mean dependent var 3081.158 Adjusted R-squared 0.991115 S.D. dependent var 2212.591 S.E. of regression 208.5553 Akaike info criterion 13.61293 Sum squared resid 782915.7 Schwarz criterion 13.71250 Log likelihood -134.1293 F-statistic 2120.520 Durbin-Watson stat0.864032 Prob(F-statistic)0.000000参数估计结果为：i Y = 857.8375 + 0.100036i X（67.12578） （0.002172）t =（12.77955） （46.04910）2r =0.991583 F=2120.520 S.E.=208.5553 DW=0.8640323、在“Equation ”框中，点击“Resids ”,出现回归结果的图形（图4）:剩余值（Residual ）、实际值（Actual ）、拟合值（Fitted ）.（三）模型检验1、 经济意义检验回归模型为：Y = 857.8375 + 0.100036*X （其中Y 为财政收入，i X 为国内生产总值；）所估计的参数2ˆ =0.100036，说明国内生产总值每增加1亿元，财政收入平均增加0.100036亿元。
回归分析二
bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变 动一个单位时，y 的平均平均变动值
二元回归方程的直观解释
二元线性回归模型 y
y b 0 b1 x1 b 2 x2
(观察到的y)
b0
回归面
}
i
x2 (x1,x2) x1
E ( y) b 0 b1 x1 b 2 x2
估计的多元回归方程
•直到方程内没有变量可被剔除，方程外没有
变量可被引进为止。
[Options 子对话框]设置回归分析的一 些选项
•不分析任一选入的变量
有缺失变量值的记录,而
•不分析具体进入某变量 无论该缺失变量最终是
时有缺失值的记录. 否进入模型.
•用于决定是否在模型中
包括常数项，默认选中。
如何选择自变量进入模型
回归系数的推断
(置信区间)
回归系数在(1-)%置信水平下的置信区 间为
ˆ t (n p 1)s ˆ b i 2 b
回归系数输出结果的分析
F检验与t检验的结果出现矛盾
当F检验通过时，某些自变量的回归系数没 有通过t检验，并不一定意味着这些自变量 对因变量就没有影响 以上情况可能是由于自变量之间存在较大 的相关性所导致的。
第四节 多重共线性 (Multi Collinearity)
一. 多重共线性及其所产生的问题 二. 多重共线性的判别 三. 多重共线性问题的处理
多重共线性及其产生 的问题
多重共线性
(multicollinearity)
1.
2.
3.
回归模型中两个或两个以上的自变量彼此线性相 关时，回归方程中的自变量就会互相削弱各自对 应变量的边际影响，使本身的回归系数下降而其 标准误扩大。 当自变量之间是非线性相关时，不一定产生严重 的多重共线性问题 多重共线性带来的问题有
6回归分析 习题 简单 (2)
回归分析习题一、选择题（共14小题；共70分）1. 在一组样本数据，，，（不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为A. B. C. D.2. 已知回归方程，则该方程在样本处的残差为A. B. C. D.3. 对两个变量进行回归分析，则下列说法中不正确的是A. 由样本数据得到的回归方程必经过样本中心B. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好C. 用来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好D. 若散点图中的样本呈条状分布，则变量和之间具有线性相关关系4. 对两个变量与进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数如下，其中拟合效果最好的模型是A. 模型Ⅰ的相关系数为B. 模型Ⅱ的相关系数为C. 模型Ⅲ的相关系数为D. 模型Ⅳ的相关系数为5. 在两个变量与的回归模型中，选择了个不同模型，其中拟合效果最好的模型是A. 相关指数为的模型B. 相关指数为的模型C. 相关指数为的模型D. 相关指数为的模型6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对，两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数与残差平方和，如下表：甲乙丙丁则哪位同学的试验结果体现，两变量有更强的线性相关性A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 由一组样本数据得到的回归直线方程，那么下面说法不正确的是A. 直线必经过点B. 直线至少经过点中的一个点C. 直线的斜率为D. 直线和各点的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．8. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量，的回归模型时，分别选择了种不同模型，计算可得它们的相关指数分别如表：甲乙丙丁建立的回归模型拟合效果最差的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9. 设两个变量和之间具有线性相关关系，它们的相关系数是，关于的回归直线的斜率是，纵截距是，那么必有A. 与的符号相同B. 与的符号相同C. 与的相反D. 与的符号相反10. 若要有的把握作出两个变量具有线性相关关系的推断，则要求A. 两个相关变量的散点图必须近似的在一条直线上B. 回归系数C. 回归系数D. 线性相关系数满足11. 已知变量与之间的相关系数，查表得到相关系数临界值，若要使可靠性不低于，则可以认为变量与之间A. 不具有线性相关关系B. 具有线性相关关系C. 它们的线性关系还要进一步确定D. 不确定12. 下列说法正确的是A. 对于相关系数来说，，越接近，相关程度越大；越接近相关程度越小B. 对于相关系数来说，，越接近，相关程度越大；越大，相关程度越小C. 对于相关系数来说，，越接近，相关程度越大；越接近相关程度越小D. 对于相关系数来说，，越接近，相关程度越小；越大，相关程度越大13. 某商品的销售量（件）与销售价格（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论正确的是A. 与具有正的线性相关关系B. 若表示变量与之间的线性相关系数，则C. 当销售价格为元时，销售量为件D. 当销售价格为元时，销售量为件左右14. 两个变量与的回归模型中，分别选择了个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是A. 模型的相关指数为B. 模型的相关指数为C. 模型的相关指数为D. 模型的相关指数为二、填空题（共4小题；共22分）15. 回归分析（1）回归分析是对具有⑧的两个变量进行统计分析的一种常用方法．（2）样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据，，，，我们知道，，则将⑨称为样本点的中心．（3）相关系数：．当时，表明两个变量⑩；当时，表明两个变量⑪．的绝对值越接近于，表明两个变量的线性相关性⑫．的绝对值越接近于，表明两个变量之间⑬．通常大于或等于⑭时，认为两个变量有很强的线性相关性．16. 若某函数模型相对一组数据的残差平方和为，其相关指数为，则总偏差平方和为，回归平方和为．17. 如果发现散点图中所有的样本点都在一条直线上，则残差平方和等于，解释变量和预报变量之间的相关系数等于．18. 和的散点图如图，则下列说法中所有正确命题的序号为．①、是负相关关系；②在该相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用拟合时的相关指数为，则；③、之间不能建立回归直线方程．三、解答题（共2小题；共26分）19. 某种书每册的成本费元与印刷千册有关，经统计得到如下数据：试判断关于是否具有线性回归关系．20. 某公司为确定下一年度投入某产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响．对近年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，．（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（3）已知这种产品的年利润与，的关系为．根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少?②年宣传费为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．第一部分1. D 【解析】所有样本点均在同一条斜率为正数的直线上，则样本相关系数最大，为．2. C3. B 【解析】样本中心点在直线上，故A正确，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故B不正确，越大拟合效果越好，故C正确，当散点图中的样本呈条状分布，表示两个变量具有线性相关关系，D正确．4. A 【解析】因为相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，A相关系数的绝对值约接近，所以A拟合程度越好．5. A6. D 【解析】越大，越小，线性相关性越强．7. B 【解析】由知所以必定过点．8. C9. A10. D11. B12. C13. D 【解析】当销售价格为元时，，即销售量为件左右.14. A 【解析】两个变量与的回归模型中，它们的相关指数越接近于，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个选项中，是相关指数最大的值，因此拟合效果最好的是模型．第二部分15. 相关关系，，正相关，负相关，越强，几乎不存在线性相关关系，16. ，【解析】由题中条件可知，残差平方和占总偏差平方和的比例为，所以总偏差平方和为，回归平方和为或．17. ，或【解析】设样本点为，，回归直线为；若散点图中所有的样本点都在一条直线上，则此直线方程就是回归直线方程．所以有；残差平方和；解释变量和预报变量之间的相关系数满足，所以．18. ①②第三部分19. ，，计算，，，由公式计算的，因为，所以没有充分的理由认为与具有线性相关关系．20. （1）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型．（2）令，先建立关于的线性回归方程，由于，所以．所以关于的线性回归方程为，所以关于的回归方程为．（3）①由（2）知，当时，年销售量的预报值，．②根据（2）的结果知，年利润的预报值，所以当，即，取得最大值．故宣传费用为千元时，年利润的预报值最大．。
第二章简单线性回归模型解析
ˆ ˆ X 左边 Y , 右边 1 2 ˆ Y - ˆ X , 得Y ˆ ˆX 由公式 1 2 1 2 ˆ ˆ X 经过点( X , Y ) ˆ 左边 右边, 所以样本回归线Y i 1 2 i
(Y - ˆ - ˆ X ) 0 [Y - (ˆ ˆ X )] 0 [Y - Yˆ ] 0 e 0
i 1 2 i i i 1 2 i i i二、几个常用的结果(你会证明吗?)
二、
（1）残差ei的均值为0，即∑ei =0 (2) 残差ei与Xi不相关，即∑ei Xi =0
英国人类学家、生物统 计学家，达尔文的表
弟
回归分析的基本概念
回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个 （些）变量的具体依赖关系，并用适当的数学模型去近似地表 达或估计变量之间的平均变化关系。 这里：前一个变量被称为被解释变量（Explained Variable） 或应变量（Dependent Variable），后一个（些）变量被称为解 释变量（Explanatory Variable）或自变量（Independent Variable）。 例如：分析居民收入与消费的关系。 这里收入是什么变量？消费是什么变量？ 收入是解释变量或自变量，消费是被解释变量或因变量。
负相关 - 1 r XY 1 正相关
非线性相关 不相关
负相关
2、简单线性相关关系的度量
1.简单线性相关系数
2.相关系数的特点
第一章有复习 见课本第17-18页
3、回归分析
“回归”一词的历史渊源 “回归”一词最先由高尔顿（Galton）引入。他发现 虽然有一个趋势，父母高，儿女也高；父母矮，儿女 也矮，但给定父母的身高，儿女辈的平均身高趋向于 或回归到全体人口的平均身高。换言之，尽管父母双 亲都异常高或异常的矮，而儿女的身高则走向人口总 体平均水平。这就是高尔顿的普遍回归定律。（Law of universal regression）
简单线性回归分析
实验报告1日期姓名班级一简单线性回归分析题目：设公司的每周广告费支出和每周销售额数据如下图所示：要求：（1）广告费与消费额之间是否存在显著的相关关系？（2）计算回归模型参数。
（3）回归模型能解释销售额变动的比例有多大？（4）计算D-W的统计量。
（5）如下周的广告费支出为6700元，试预测下周的消费额（取置信区间a=0.05）步骤：一在excel里输入数据：每周广告费每周消费额4100 12.505400 13.806300 14.255400 14.254800 14.504600 13.006200 14.006100 15.006400 15.757100 16.50根据上表数据画出散点图由图可知，所有点几乎在同一条直线上，由插入趋势线后的散点图可知，每周销售额和每周广告费间的函数关系为：y=0.0011x+8.3039 ;本例中R 2值为0.719，表明销售额的变动中有71.9%可用广告费通过线性回归模型加以解释，剩余的28.1%则由其余因素引起，两个变量间的线性关系显著，可以进行下一步的回归分析。
二 回归分析(1)斜率计算公式为∑∑∑∑∑--=∧22)(x n y x xy n b x ，在H1中输入n ，在K2输入斜率b ，在L2中输入n 截距公式=(10*D12-B12*C12)/(10*E12-(B12)*(B12))；(2) 截距计算公式为 nx b n y a ∑∑∧∧-=，在K3输入截距a ，在L3输入公式=(C12/10-I2*B12/10);(3)y 的估计值为x b a y ∧∧∧+=，在F2输入公式=$L$3+$L $2*B2，并往下复制到F11处(4)检验线性关系的显著性可决系数222)(/)(1∑∑-∧---=y y y y R i i i ,在L4输入公式=1-SUMXMY2(C2:C11,F2:F11)/DEVSQ(C2:C11)；可得719039.02=R ，在L5中输入=soqr （L4），可得相关系数R=0.847962。
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16.153114.881 11.4 54 771
t6.142219.2584 14 212
4.881
查t界值表，t 0.001(12) =4.318，所以p<0.001，拒 绝H0，可以认为体重与基础代谢之间存在线 性回归关系
h
18
3、总体回归系数的可信区间
利用上述对回归系数的t检验，可以得到β的1α双侧可信区间为
b (x (xx )(xy) 2 y)
703.023329 114.54771
61.4229
aYbX632.93 6 2.1 42 2797.27
14
14
11.0 76 864
得到的回归方程为：
Y ˆ11.7086 6.4 4 12X 29
h
10
四、线性回归方程的假设检验
需要检验总体回归方程是否成立！
3500
线性回归直线
3000
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重
图 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的散点图
h
4
线性回归分析：用一条直线（即直线方程）来描 述两个变量间依存变化的数量关系，得出的直 线方程称为线性回归方程。
线性回归方程的一般表达式：
Yˆ abX
a：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标 b：斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)
h
6
7
8
根据求极值方法可得到a、b的值
b (X ( X X )X Y ) ( 2 Y ) X X 2 Y X X 2 Y /n /n l lX XX Y
aYbX
h
9
根据前面的计算有
(xx)211.5 47 47 1(x x)y ( y ) 70.2 33 02 39
h
16
2、t 检验
公式
t b 0 ＝ b ，υ＝n－2
Sb
Sb
Sb为回归系数的标准误
Sb＝
SY . X
X X 2
sYX
YYˆ 2 n2
SY.X为Y的剩余标准差，即扣除X的影响后Y 的变异大小。
h
17
t 检验
H0：β＝0
H1：β≠0
α=0.05
sYX
YYˆ2 n2
16,15311Sb
（1）Y的总体均数的置信区间
给 定 X X 0 时 ， 总 体 均 数 Y |X 0的 ( 1 ) 可 信 区 间 为
Yˆp t/2,n2SYˆp
SYˆp SY X
1 n
(Xp X)2 (Xi X)2
h
21
（2）个体Y值的预测区间
当X取某个固定值时，对应的Y也存在一定 的波动范围，个体Y值的预测区间（相当 于参考值范围）可以用下式求
h
2
实例
在某地一项膳食调查中，随机抽取14名40-6பைடு நூலகம்岁的健康 妇女，测得每人的基础代谢与体重数据，见下表，据此数 据如何判断这两项指标之间有无关联？
表 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的测量值
编号 基础代谢 体重
编号 基础代谢 体重
1
4175.6
50.7
8
3970.6
48.6
2
4435.0
53.7
b 的统计学意义是：
X 每增加(减)一个单位，Y 平均改变b个单位
h
5
二、线性回归分析适用条件
• X与Y之间呈线性关系(Linear) • 个体观察值之间独立(Independent) • 给定X时，对应的Y服从正态分布(Normal Distribution) • 不同的X所对应Y的方差相等(Equal Variance)
第十二章 简单回归分析
h
1
一、线性回归的基本概念
两变量间的数量关系
确定性关系是指两变量间的关系是函数关系。已知一个变 量的值，另一个变量的值可以通过这种函数关系精确计 算出来。 例如圆周长与半径：c=2πr
非确定性关系是指两变量在宏观上存在关系，但并未精确 到可以用函数关系来表达
例如身高与体重的关系
b≠0原因：① 由于抽样误差引起，总体回 归系数β=0
② 存在回归关系，总体回归 系数β ≠0
假设检验方法：
方差分析(F检验)、t 检验
h
11
1、方差分析
P(X,Y)实测点
Y
(Y Yˆ)剩余部分
总情(Y况Y)
(Yˆ Y)回归部分
Y
Y Y Y Y ˆ Y ˆ Y
h
X
12
Y的离均差平方和的分解
bt,n2Sb
h
19
4、决定系数
回归平方和与总离均差平方和之比
R 2＝ SS 回 SS 总
• 它反映了回归的贡献的相对程度，即在Y的 总变异中回归关系所能解释的比例
• 实际用决定系数来反映回归的实际效果
h
20
五、线性回归的应用
1、描述两个变量之间的线性依存的数量关系 2、统计预测，通过X预测估计Y的取值
9
3983.2
44.6
3
3460.2
37.1
10
5050.1
58.6
4
4020.8
51.7
11
5355.5
71.0
5
3987.4
47.8
12
4560.6
59.7
6
4970.6
62.8
13
4874.4
62.1
7
5359.7
67.3
14
5029.2
61.5
h
3
绘制散点图
5500
5000
基 4500 础 代 谢 4000
(Y Y)(Y Y ˆ)(Y ˆ Y)
两边平方后求和
数理统计可 2(以 YY证 ˆ)Y (ˆ明 Y)0
( Y Y ) 2 ( Y Y ˆ ) 2 ( Y ˆ Y ) 2
S总 SS剩 SS回 S
总 ＝剩＋回
h
13
几个平方和的含义
S S总即 (YY)2，为 Y 的离均差平方
和，表示未考虑 X 与 Y 的回归关系时 Y 的 总变异。
Yˆp t/2, SYp
SYp SY X
11 n
(XpX)2 (XX)2
其自由度分别为
总 n 1
回 1
残 n2
h
15
如果两变量间总体回归关系确实存在，回归的贡献就 要大于随机误差，大到何种程度时可以认为具有统计意义， 可计算统计量F:
F S S S S 残 回 回 残 M M S S 回 残 ， 回 1 ， 残 n 2
MS回为回归均方 MS残为残差均方。 F服从自由度为 回、残的 F 分布。
SS回＝(YˆY)2 ，为回归平方和(regressionsumof squares)，
由于X 与Y 的直线关系而使Y 变异减小的部分,即总变异中， 可以用X 解释的部分。SS回越大，回归效果越好。
h
14
SS剩＝(YYˆ)2，为剩余平方和(residualsumofsquares)，
X对Y的线性影响之外的一切因素对Y 的变异，即总变异中， 无法用X解释的部分。SS剩越小，回归效果越好。