高等数学强化课笔记-武忠祥老师的强化班课程
武忠祥17堂课二重积分笔记
武忠祥17堂课二重积分笔记
以下是武忠祥17堂课二重积分笔记的部分内容，如果需要完整的笔记，请访问相关论坛或学习群下载。
1. 二重积分的计算步骤
确定积分区域
选择合适的积分次序
计算积分
2. 二重积分的性质
积分区域的可加性
积分符号的线性性质
积分区域的可扩展性
积分的常数倍性质
3. 二重积分的计算方法
直角坐标系下的计算方法
矩形区域上的二重积分
圆域上的二重积分
椭圆域上的二重积分
极坐标系下的计算方法
极坐标与直角坐标的转换关系
极坐标系下的二重积分计算公式
4. 二重积分的几何意义
二重积分表示体积
二重积分表示面积
5. 二重积分的物理应用
重力场中的质点问题
电场中的电荷分布问题
流体力学中的压力分布问题
6. 二重积分的注意事项
积分区域的形状和范围要明确
选择合适的积分次序和坐标系，简化计算过程
注意积分的上下限，避免计算错误
以上是武忠祥17堂课二重积分笔记的部分内容，希望对您有所帮助。
如需更多信息，建议前往相关论坛或学习群获取。
数学强化班(武忠祥)-高数第五章二重积分
第五章 二 重 积 分1.定义:∑⎰⎰=→∆=nk k k k Df y x f 10d ),(lim d ),(σηξσ2.几何意义:3.性质:1) 比较定理: 若),(),(y x g y x f ≤,则⎰⎰⎰⎰≤DDy x g y x f .d ),(d ),(σσ2) 估值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则.d ),(MS y x f mS D⎰⎰≤≤σ3) 中值定理: 若),(y x f 在D 上连续,则S f y x f D),(d ),(ηξσ⎰⎰=.4.计算1) 直角坐标: 2) 极坐标:i) 适合用极坐标计算的被积函数:);(),(),(22yxf x y f y x f +ii)适合用极坐标的积分域:3) 利用奇偶性.①若积分域D 关于y 轴对称,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=≥DD x x y x f y x f y x f d y x f x .),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ②若积分域关于x 轴对称,则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=≥DD y y y x f y x f y x f d y x f y .),(0.),(d ),(2),(0为奇函数关于为偶函数关于σσ4) 利用对称性:若D 关于x y =对称,则`.d ),(d ),(⎰⎰⎰⎰=DDx y f y x f σσ特别的： ⎰⎰⎰⎰=DDd y f d x f σσ)()(题型一 计算二重积分例5.1计算⎰⎰+Dx ye x σd )|(|2，其中D 由曲线1||||=+y x 所围成.解 由奇偶性知原式=⎰⎰⎰⎰=14D Dxd d x σσ （其中1D 为D 在第一象限的部分）.3241010==⎰⎰-x xdy dx例5.2设区域D 为222R y x ≤+,则⎰⎰+D b y a x σd )(2222=.解法1)11(4)sin cos ()(224320022222222b a R d b a d d b y a x R D+=+=+⎰⎰⎰⎰πρρθθθσπ. 解法2 由于积分域222:R y x D ≤+关于直线x y =对称，则σσd b x ay d b y a x D D ⎰⎰⎰⎰+=+)()(22222222. 从而有 21)(2222=+⎰⎰σd b y ax D [左端 + 右端] σd y x b a D ⎰⎰++=)()11(212222)11(4)11(21222004322ba R d db a R +=+=⎰⎰ππρρθ 例 5.3设区域{}0,0,4|),(22≥≥≤+y x y x y x D ,)(x f 为D 上正值连续函数,b a ,为常数,则⎰⎰=++Dy f x f y f b x f a σd )()()()(.A)πab , B)π2ab , C)π)(b a +, D)π2b a +. 解法1直接法 由于积分域D 关于直线x y =对称，则⎰⎰⎰⎰++=++DDd x f y f x f b y f a d y f x f y f b x f a σσ)()()()()()()()(.原式])()()()()()()()([21⎰⎰⎰⎰+++++=D Dd x f y f x f b y f a d y f y f y f b x f a σσ πσ2)(21ba db a D+=+=⎰⎰.故应选（D ）. 解法2 排除法取,1)(≡x f 显然符合题设条件，而⎰⎰++Dy f x f y f b x f a σd )()()()(πσ2)(21ba db a D+=+=⎰⎰. 显然（A ），（B ），（C ）均不正确，故应选（D ）。
数学强化班(武忠祥)-高数第九章 多元函数积分学
第九章 多元积分学及其应用第一节 三 重 积 分1定义 ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k d v f z y x f 1,0),(lim dV ),,(ξηξ.2性质: 3计算:1)直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2)柱坐标: z V d d d d θρρ= 3)球坐标:θϕϕd d d sin d 2r r V = 4)利奇偶性若积分域Ω关于xoy 坐标面对称,),,(z y x f 关于z 有奇偶性,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥Ω.),,(0.),,(d ),,(2d ),,(0是奇函数关于是偶函数关于z z y x f z z y x f Vz y x f V z y x f z D5)利用变量的对称性.题型一 计算三重积分例9.1计算⎰⎰⎰ΩV z d 2,其中Ω由)0(2,2222222>≤++≤++R Rz z y x R z y x 所确定.解 原式52222220248059d )(d )2(R z z R z z z Rz z RR Rπππ=-+-=⎰⎰. 例9.2计算V z d ⎰⎰⎰Ω,其中Ω由z z y x ≥++222和z z y x 2222≤++所确定.解法1 原式⎰⎰⎰==ϕϕπππϕϕϕθcos 2cos 22020.45dr sin cos d d r r解法2 设z z y x z z y x 2:,:22222221≤++Ω≤++Ω，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ-=21zdV zdV zdV .由于⎰⎰⎰Ω2zdV 与⎰⎰⎰Ω1zdV 的计算方法完全一样，以下仅以⎰⎰⎰Ω2zdV 说明其三种较简单的计算方法： 方法1 直角坐标下先二后一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=zD zdxdy dz zdV 22（其中2222:z z y x D z -≤+）ππ34)2(202=-=⎰dz z z z .方法2 由形心计算公式得⎰⎰⎰Ω⋅=2V z zdV （其中z 为2Ω的形心z 坐标）)(343412的体积为Ω⋅=⋅=V ππ方法3 利奇偶性.注意2Ω关于平面1=z 上下对称，则0)1(2=-⎰⎰⎰ΩdV z从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==+-=22234]1)1[(πdV z zdV . 例9.3计算,=I ⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22其中Ω由曲线⎩⎨⎧==022x zy ，绕oz 轴旋转一周而成的曲面和平面2=z ，8=z 所围的立体. 解法1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=823422082320202.336d d d d d d ρπππρρθρρθz z I解法2 .336d d d 2032082πρρθπ==⎰⎰⎰zz I例9.4 计算⎰⎰⎰Ω++V nz ly mx d )(2,.:2222a z y x ≤++Ω 解2222222()()m x l y n z d V m x l y n z d V ΩΩ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰（奇偶性） 222222()3m l n x y z dV Ω++=++⎰⎰⎰ （变量对称性） 2225242220004s i n ()315a m l n a d d r d r m l n πππθϕϕ++==++⎰⎰⎰例9.5设)(t f 连续,=)(t F ⎰⎰⎰Ω++V y x f z d )]([222, 其中Ω由222t y x ≤+,h z ≤≤0所确定.求20)(lim ,d d tt F t F t →.解 ρρρπρρρθπd hf h dz f z d d t F tht)](31[2)]([)(230202020+=+=⎰⎰⎰⎰322()2()3h F t t h t f t ππ'=+. 32320022()()3lim lim (0)23t t h t htf t F t h hf t t ππππ++→→+==+. 题型二 更换三重积分次序例9.6计算=I ⎰⎰⎰-y x z z zy x 0210d )1(sin d d解 先交换y 和z 的次序，则1122000sin ()sin (1)(1)xxx zz x z z I dx dz dy dx dz z z -==--⎰⎰⎰⎰⎰. 111200()sin 11sin (1cos1)(1)22z x z z dz dx zdz z -===--⎰⎰⎰ 第二节 对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法 1．直接法：1)若⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x C ，βα≤≤t ，则t t y t x t y t x f s y x f Cd )()())(),((d ),(22⎰⎰'+'=βα.2) 若)(:x y y C = ，b x a ≤≤，则x x y x y x f s y x f baCd )(1))(,(d ),(2⎰⎰'+=3) 若)(:θρρ=C ，βθα≤≤，则θρρθρθρβαd )sin ,cos (d ),(22⎰⎰'+=f s y x f C2.利用奇偶性.1) 若积分曲线C 关于y 轴对称, 则.⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当x y x f x y x f x C Cs y x f s y x f2)若积分曲线C 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当y y x f y y x f y C Cs y x f s y x f 3．利用对称性若积分曲线关于直线x y =对称,则⎰Cs y x f d ),(=⎰Cs x y f d ),(特别的 ⎰⎰=CCds y f ds x f )()(题型 计算对弧长的线积分例9.7设L 是椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则.d )432(22=++⎰s y x xy C解 =++⎰s y x xy C d )432(22s y x Cd )43(22⎰+ （奇偶性）a s y x C 12d )34(1222=+=⎰例9.8计算⎰++=Cs y x I d ])1([22,其中C 为).0(22>=+R Rx y x解: ⎰+++=Cs x I 1)d 2y y (22R xds R Cπ+=⎰ R R ππ+=23其中计算积分⎰Cxds 可以用直接法，以下介绍两种简单方法 方法1 ⎰Cxds ⎰⎰=+-=C Cds ds RR x ]2)2[( （奇偶性）22R π=方法2 ⎰Cxds l x ⋅= （形心公式）22R π=例9.9 计算⎰=Cs y I d ||,其中C 为双纽线).0)(()(222222>-=+a y x a y x 解 双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x 的极坐标方程为.2cos 22θa r =⎰=402sin 4πθθd aI )221(42-=a 例9.10计算⎰=Cs x I d 2,其中C 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。
海天武忠祥强化数学讲义第三章
第三章一元函数积分学第一节不定积分1．两个概念:1）原函数：)()(x f x F =′2）不定积分：∫+=Cx F x x f )(d )(2．基本积分公式：∫∫∫∫∫x x x x x x x x x x x e nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分1）有理函数积分∫xx R d )(（1）部分分式法（一般方法）；（2）简单方法（凑微分绛幂）；2)三角有理式积分∫xx x R d )cos ,(sin（1）万能代换（一般方法）令t x =2tan（2）简单方法（三角变形，换元，分部）3)简单无理函数积分x dcx bax x R nd ),(∫++令t dcx bax n=++例一基本题例3.1∫−=)4(x x dx I 解法1∫∫+−=−−=−=c x x dxx x dxI 22arcsin)2(4422解法2∫+=−=c x xx d I 2arcsin24)(2例3.2cos ∫=xx dxI 解∫∫∫∫−=−===xx d x x x d xx xdx x x dx I 222sin 1sin 2)sin 1(sin sin cos cos sin cos dt t t t t dt t dt t x 1111()1)(1(212 sin 22224++−=+−=−=∫∫∫令例3.3∫+=dxxx I 25解法1令，则 tan t x =tdtdx 2sec =∫∫∫=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I )sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =−=−=∫∫=c u u u ++−253251=c x x x +++−242)348(151解法2∫∫+=+=)(2124224x d x x dx x I =dxx x x x ∫+−+23244=)1(]1)1[(222224x d x x x x ++−+−+∫=cx x x x ++++−+2224)1(34)1(54例3.4e xe I xx ∫−=1解I121212∫∫−−−=−=dx e e x e xd x x x （令）dt t t dx e x∫∫+=−22121t e x =−1=Ct t +−arctan 22则I c e e e x x x x +−+−−−=1arctan 41412例3.5∫+xxx d ln 解法1原式=∫+xxd ln 2=xxx x ∫+−+2ln 2dt t t t x dx x x ∫∫−=++121122=∫∫−+1222t dtdt =C t t t ++−+11ln2原式=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2解法2令，则t x =+1原式=dt t tdt tt ∫∫−=−)1ln(22)1ln(22=t t t t ∫−−−122)1ln(2222=Cx x x x x +++−+−+−+11ln 24ln 2例3.6∫xe e x xd arctan 2解法1原式=∫−−xx de e 2arctan 21=ee e e xx xx ∫++−−−22121arctan 21=∫++−−)1(21arctan 21222x xx xx e e de e e =Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212解法2令，则t e x =原式=∫∫−=231arctan 21arctan t tdt t =∫++−dt t t t t )1(1212arctan 222=c t t t t +−−−arctan 21212arctan 2=Ce e e e x x x x +++−−−]arctan arctan [212例3.7∫+=dx xx I 91解法1（令）∫∫∫+=+=+= )1(81)1()1(8878u u dux x dx x x x dx I u x =8解法2∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1(解法3c x x dx xx dx I ++−=+−=+=∫∫−−−|1|ln 81181)11(88889例3.8∫∫∫∫+++=++−+=++=63262246413111111x dx x dxdx x x x x dx x x I例3.9∫+=xdx I sin 1解法1∫∫∫+=−=x x d x x x I 222cos cos cos 1cos sin 1解法2C x x dx x dx I +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+=∫∫42tan 24cos 22cos 12πππ解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x+=+==C x C t t dt t t t dt I ++−=++−=+=++⋅+=∫∫2tan 1212)1(2121112222例3.10∫++x x xcos sin 1d 解令，则t x=2tan 原式=∫+−+++2222211212t t t t dt =∫++=+C t tdt)1ln(1=Cx++)2tan 1ln(例3.11∫⋅=xx dxI 4cos sin 解法1（令）I ∫∫∫−−=−=⋅= )1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u duxx x d x x xdx u x =cos ∫−+−−=4244)1()1(u u u u 解法2∫∫∫∫⋅++=+=⋅+=cos sin cos sin 3cos 1cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx xx x x x x x dx dx x x x x x x I ∫∫++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123例3.12∫+=dxxb x a I 2222cos sin 1解1）若∫+−===≠c x ax a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222)若∫+==≠=cx b dx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若（令）)tg (cos 0 ,02222222∫∫+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a u x =tan 例3.13。
武忠祥强化笔记中值定理
武忠祥强化笔记中值定理
武忠祥是中国最杰出的数学家之一，他对中值定理的研究成果备受瞩目。
中值定理是微积分中的一个重要定理，它是微分学中的基础定理，对于理解和运用微积分具有重要意义。
武忠祥通过强化笔记的方式，对中值定理进行了深入的研究和总结。
他指出，中值定理是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在某一区间内的平均变化率与其在该区间内某一点的瞬时变化率之间的关系。
这一定理的重要性在于它为我们提供了一种通过函数在一个区间内的平均变化率来推断函数在该区间内某一点的瞬时变化率的方法，这对于解决实际问题具有重要意义。
武忠祥在强化笔记中指出，中值定理有三种形式，分别是拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。
这三种形式可以相互推导，是微积分中的基础定理之一。
在强化笔记中，武忠祥还总结了中值定理的应用领域。
中值定理不仅在微积分中起着重要作用，在其他学科中也有广泛的应用。
例如
在物理学中，中值定理可以用来描述物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度之间的关系；在经济学中，中值定理可以用来描述某一商品在某一市场中的平均价格和瞬时价格之间的关系。
通过强化笔记对中值定理进行深入的研究和总结，武忠祥为学习者提供了一种清晰的思路和方法。
他的研究成果不仅对学生的学习有着积极的促进作用，也为相关领域的研究提供了宝贵的参考和借鉴。
武忠祥对中值定理的深入研究，将为数学领域的发展带来新的启示和突破。
高等数学强化课笔记-武忠祥老师的强化班课程
21高等数学强化课●武忠祥老师的强化班课程笔记●武忠祥老师的强化班课程●函数极限连续●函数●基本要素：定义域，对应规则●函数形态●单调性判定●定义●导数，●单调性应用●根的个数●证明不等式●奇偶性判定●定义●可导●原函数奇函数>导函数偶函数●原函数偶函数>导函数奇函数●连续●周期性判定●定义●可导的周期函数其导函数是周期函数●周期函数的原函数不一定为周期函数●f(x)连续且以T为周期●周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0●有界性判定●定义●闭区间连续●开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在●导数●极限●概念●数列极限●极限值等于多少与数列前有限项无关●与项数无关●函数极限●趋于无穷●趋于有限值●极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关●分左右极限求●分段函数在分段处极限，两侧极限不一样●特殊函数●2●性质●局部有界性●保号性注意等号●与无穷小之间的关系●极限存在准则●夹逼●单调有界●单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界●无穷小●比较●性质●无穷大●常用无穷大比较指幂对（大到小）●无穷大与无界变量●与无穷小互为倒数●求极限方法●有理运算法则●基本极限●等价无穷小●常用●积分情况●代换原则●乘除直接换●加减有条件减不为正 1 ，加不为－1●洛必达●泰勒公式●常用●夹逼●积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间●单调有界●函数极限题型●0/0 0比0型●拉格朗日中值定理●加减 x 来凑常用等价无穷小●无穷 / 无穷●洛必达●分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大●无穷—无穷●0 · 无穷●1 的无穷次方●无穷的0次方，0的无穷次方●数列极限●不定式●和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限●n 项和的数列极限●夹逼定理●定积分定义●级数求和●常用结论●n 项连乘的数列极限●夹逼●取对数化为n项和●递推关系●数列存在单调性●收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A●数列不具有单调性或者单调性很难判定●先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A●单调性判定（直接，比值，函数）●无穷小量阶的比较●洛必达●等价无穷小●泰勒公式●常用结论及举例●连续●连续●间断点●连续函数的性质●连续题型●讨论连续性及间断点类型●函数连续不代表可以取到整个实域的所有值●如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于1，|x|等●间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点●介值定理，最值定理，零点定理证明●一元函数微分●导数微分●导数定义●等价形式●注意分段函数●微分定义●连续、可导、可微之间的关系●求导公式●求导法则●有理运算法则●复合函数求导●隐函数求导●反函数求导●参数方程求导●高阶导数●对数求导法则●多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导●●题型：导数与微分的概念●利用导数定义求极限●利用导数定义求导数●分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求●利用导数定义判定可导性●导数几何意义●导数与微分计算●复合函数求导●导数与奇偶性●复合函数在一点的导数值●乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以●高阶导数●公式●一阶二阶之后归纳●泰勒公式和泰勒级数●导数应用●微分中值定理●罗尔定理●拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系●柯西定理●泰勒定理（拉格朗日余项）●极值最值●极值的必要条件●极值的充分条件●第一充分条件●第二充分条件●第三充分条件●凹向拐点●判定●必要条件●充分条件●渐近线●水平渐近线●垂直渐近线●斜渐近线●方程的根的存在性及个数●方法●注意把函数化到一边来求零点●将含有参数的式子参数分离出来●罗尔定理●证明函数不等式●方式方法●单调性●最大最小值●拉格朗日定理●泰勒公式●凹凸性●注意以及常用基本不等式●不等式●微分中值定理有关的证明题●证明存在一个点●构造辅助函数 P 82●证明存在两个中值点 p 85●方法●证明存在一个中值点 p 87●带拉格朗日余项的泰勒公式●一元函数积分●不定积分●原函数●原函数的存在性●f（x）在区间连续，有原函数●有第一类间断点，f（x）没有原函数●基本公式●公式●积分法●第一类换元法●第二类换元法●分部积分●定积分●概念●与积分变量无关●可积性●必要条件存在必有界●充分条件●连续必存在●有界，有限个间断点必存在●有限个第一类间断点必存在●计算●方法●奇偶性和周期性●公式 sin cos 公式注意上下限●变上限积分 p 105●公式●变上限积分函数及其应用●连续性●可导性●奇偶性●处理变上限积分有关极限问题方法●洛必达法则●等价无穷小代换●积分中值定理●图像●性质●不等式●大小●积分中值定理●广义积分中值定理●积分不等式问题●变量代换●积分中值定理●变上限积分●柯西积分不等式●反常积分●定义●无界函数●常用结论●定积分应用●平面图形面积●空间体体积●计算●曲线弧长●计算就是计算 d s●旋转体侧面积●常微分方程●一阶●齐次●线性方程●全微分方程●可降阶的高阶方程●形式●高阶线性微分方程●解的结构●定理一●定理二●定理三●定理四●常系数齐次线性微分方程●二阶常系数线性齐次微分方程解的形式●常系数非齐次线性微分方程●求特解●一●二●多元函数微分●●重极限●任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在●y = k x y = x x (x的方)●求重极限●连续●性质●偏导数●定义●代表斜率●二阶偏导数连续●全微分●定义非常重要●等价●注意，这个ρ 的高阶无穷小是关于ρ 的函数，但是里面的ρ 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为0值），是高次方的时候直接使用●可微性判定●可微推出偏导数存在●偏导数连续推出可微●可微推出偏导数存在偏导数连续推出可微●计算●连续、可导、可微关系●偏导数与全微分计算●复合函数求导●全微分形式不变●隐函数求导●极值最值●无条件极值●定义对任意p（x,y）●必要条件存在偏导，且点就是极值点●充分条件领域内有二阶连续偏导，一阶导为0●二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值●条件极值二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算●二重积分●二重积分概念●几何意义积分域D为底，曲面 z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积●二重积分性质●不等式性质●函数之间的关系●最大最小值●绝对值●二重积分计算●直角坐标●先 y 后 x●先 x 后 y●极坐标●极坐标计算●适合极坐标计算的被积函数●适合极坐标计算的积分域●对称性和奇偶性●奇偶性●变量对称性●无穷级数●级数的概念●无穷级数●部分和●级数收敛●级数发散●级数性质●收敛级数的倍数是极限s的倍数●收敛级数的求和●级数求和●收敛＋发散 = 发散●发散＋发散 = 敛散性不确定●在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性●收敛级数加括号仍然收敛且和不变●级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛●级数加括号以后发散，原级数不一定发散●级数收敛必要条件（反过来不一定成立）●级数的审敛准则●正向级数 u n > 0●比较判别法●比较法极限形式●使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则●比值法●根值法●交错级数●充分条件●任意项级数●条件收敛●绝对收敛●基本结论●常用结论●等价无穷小代换只适用正向级数●幂级数●定义●阿贝尔定理●绝对收敛（端点收敛则里面收敛）●发散（端点发散则外面发散）●可能性●收敛半径、收敛区间、收敛域●定理3●定理4●有理运算性质●运算●分析性质●连续性●可导性（逐项求导）●可积性●函数的幂级数展开●展开式唯一●泰勒级数●常用展开式●傅里叶级数●定义●展开●方向导数和梯度●方向导数●定义●计算●梯度●定义●多元微分几何应用●曲面的切平面与法线●曲面的切线和法平面●常见曲面●旋转面●柱面平行于 z 轴就是消去 z●多元积分学●三重积分●定义●计算●直角坐标●柱坐标●●线积分●对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关●计算（平面）●利用奇偶性曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性●利用对称性 x y 可以互换●对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关●计算方法●直接法●格林公式●补线用格林公式●利用线积分与路径无关●线积分与路径无关的判定以下四条等价●计算●该换路径●利用原函数●计算方法●斯托克斯公式●面积分●对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关●直接法●利用奇偶性●对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关●性质●计算●直接法●高斯公式●常用●多元积分应用●场论。
数学强化班(武忠祥)-高数第四章 多元函数微分学
第四章 多元函数微分学第一节 重极限、连续、偏导数、全微分（概念，理论）1．重极限 A y x f y y x x =→→),(lim 00 ),(),(00y x y x →是以“任意方式”题型一：求极限常用方法：1） 利用极限性质（四则运算法则，夹逼原理）；2） 消去分母中极限为零的因子（有理化，等价无穷小代换）； 3） 利用无穷小量与有界变量之积为无穷小量. 例4.1求下列极限1. .||||lim2200y x y x y x ++→→ 2. 22220011limyx y x y x +-+→→3. 42200)sin(lim y x xy xy y x +→→ 解：1。
由于y x yy x x y x y y x x y x y x +=+≤+++=++≤2222220， 而0)(lim 0=+→→y x y x ，由夹逼原理知0lim2200=++→→y x y x y x . 2．方法1 将分子有理化原式.0)(2lim )11)((lim22220022222200=+=+++=→→→→y x y x y x y x y x y x y x . 方法2 当0→x ，0→y 时，222221~11y x y x -+，则 原式0)(21lim 222200=+=→→y x y x y x . 3．方法1 由于21422≤+y x xy ，即为有界量，而0s i n l i m 0=→xy x ，即为无穷小量，则原式0=.方法2 由于0s i n 21s i n 0422→≤+≤xy y x xy xy （当0→x ，0→y 时）， 由夹逼原理知0sin lim 42200=+→→y x xyxy y x . 题型二 证明重极限不存在常用方法:沿两种不同路径极限不同（通常可取过点),(00y x 的直线） 例4.2 证明下列重极限不存在1) ;lim 2200y x xyy x +→→ 2) ;lim 42200y x xy y x +→→ 证明：1）取直线kx y =，让点),(y x 沿直线kx y =趋于)0,0(点，此时有2222202201lim lim k kx k x kx y x xy x x kx y +=+=+→→=. 则重极限2200limyx xyy x +→→不存在. 注：本题中的方法是证明重极限不存在的常用方法. 2）取直线kx y =，则01lim lim lim 24204423204220=+=+=+→→→=x k x k x k x x k y x xy x x x kx y . 若沿过原点的抛物线2y x =趋于)0,0(点时，就有21lim lim 444042202=+=+→→=y y y y x xy y y y x . 故 极限4220lim y x xy y x +→→不存在.2.连续 ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→例4.3 判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),()0,0(),(),(22y x a y x y x xy y x f 的连续性.解 因为 y yx xy ≤+≤220，则.0lim22=+→→yx xy y x若),(,0y x f a =处处连续；若),(,0y x f a ≠除点)0,0(外处处连续。
数学强化班（武忠祥）-高数第八章向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用
数学强化班（武忠祥）-⾼数第⼋章向量代数与解析⼏何及多元微分在⼏何上应⽤第⼋章向量代数与空间解析⼏何及多元微分学在⼏何上的应⽤第⼀节向量1．数量积1）⼏何表⽰：αcos ||||b a b a =?. 2) 代数表⽰: z z y y x x b a b a b a ++=?b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ?=?ii) 分配律: .)(c a b a c b a ?+?=+? 4) ⼏何应⽤:i) 求模: a a a ?=||ii) 求夹⾓: ||||cos b a ba ?=α iii) 判定两向量垂直: 0=??⊥b a b a 2.向量积1) ⼏何表⽰ b a ?是⼀向量. 模: αsin ||||||b a b a =?. ⽅向: 右⼿法则.2) 代数表⽰: zyx z y xb b b a a a k j ib a =?. 3) 运算规律 i) b a ?= )(a b ?-ii) 分配律: ?a (c b +)=b a ?+c a ?. 4)⼏何应⽤:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ?.ii) 求以a 和b 为邻边的平⾏四边形⾯积:=S |b a ?|.iii)判定两向量平⾏: ?b a //0=?b a . 3.混合积: c b a abc ??=)()( 1) 代数表⽰:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) ⼏何应⽤i) 平⾏六⾯体V =|)(|abc .ii)判定三向量共⾯: c b a ,,共⾯?(abc )=0.题型⼀向量运算例8.1 设,2)(=??c b a 则=+?+?+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +?+?+)(][a c c b b b c a b a +??+?+?+?=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ??+??+??+??+??+??=)()()()()()( a c b c b a ??+??=)()( 4)(2=??=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=??+))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ?+?=??+ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=?b a ,则=?||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解由于2),cos(==?∧b a b a b a ，⽽2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从⽽4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=?==?∧b a b a b a题型⼆向量运算的应⽤及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的⾓平分线向量且使其模为32。
数学强化班(武忠祥)-高数第八章 向量代数与解析几何及多元微分在几何上应用
第八章 向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用第一节 向 量1．数量积1）几何表示：αcos ||||b a b a =⋅. 2) 代数表示: z z y y x x b a b a b a ++=⋅b a . 3) 运算规律:i) 交换律: a b b a ⋅=⋅ii) 分配律: .)(c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅ 4) 几何应用:i) 求模: a a a ⋅=||ii) 求夹角: ||||cos b a ba ⋅=α iii) 判定两向量垂直: 0=⋅⇔⊥b a b a 2.向量积1) 几何表示 b a ⨯是一向量. 模: αsin ||||||b a b a =⨯. 方向: 右手法则.2) 代数表示: zyx z y xb b b a a a k j ib a =⨯. 3) 运算规律 i) b a ⨯= )(a b ⨯-ii) 分配律: ⨯a (c b +)=b a ⨯+c a ⨯. 4)几何应用:i) 求同时垂直于a 和b 的向量: b a ⨯.ii) 求以a 和b 为邻边的平行四边形面积:=S |b a ⨯|.iii)判定两向量平行: ⇔b a //0=⨯b a . 3.混合积: c b a abc ⋅⨯=)()( 1) 代数表示:zyxz y xz y xc c c b b b a a a =)(abc . 2) 运算规律:i) 轮换对称性: )()()(cab bca abc ==. ii) 交换变号: )()(acb abc -=. 3) 几何应用i) 平行六面体V =|)(|abc .ii)判定三向量共面: c b a ,,共面⇔(abc )=0.题型一 向量运算例8.1 设,2)(=⋅⨯c b a 则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a .解 )()]()[(a c c b b a +⋅+⨯+)(][a c c b b b c a b a +⋅⨯+⨯+⨯+⨯=a cbc c b a c a c c a a b a c b a ⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=)()()()()()( a c b c b a ⋅⨯+⋅⨯=)()( 4)(2=⋅⨯=c b a .例8.2 已知3||,2||==b a ,则=⋅⋅+⨯⋅⨯))(()()(b a b a b a b a .解 22)())(()()(b a b a b a b a b a b a ⋅+⨯=⋅⋅+⨯⋅⨯ ),(c o s ),(s i n 222222∧∧+=b a b a b a b a 3622==b a .例8.3 已知2||,2||==b a ,且2=⋅b a ,则=⨯||b a.A)2 B)22 C)22D)1 解 由于2),cos(==⋅∧b a b a b a ，而2,2==b a ，则21),cos(=∧b a ，从而4),(π=∧b a .故 22122),s i n (=⋅==⨯∧b a b a b a题型二 向量运算的应用及向量的位置关系例8.4 已知}4,4,2{-=a ,}2,2,1{--=b ,求a 与b 的角平分线向量且使其模为32。
武忠祥高数强化讲义注解p210
武忠祥高数强化讲义注解p210武忠祥高数强化讲义是一本经典的高数教材，主要针对高中生和大学生学习高等数学的需要而编写。
在这本讲义的第210页，作者主要讲述了函数的极值和拐点的概念及其应用。
首先，函数的极值是指函数在某一区间内取到的最大值或最小值。
具体来说，函数的极大值是指函数在某一区间内取到的最大值，而函数的极小值则是指函数在某一区间内取到的最小值。
函数的极值是非常重要的概念，因为它可以帮助我们了解函数的特性和性质，并且在解决实际问题时也有很大的应用价值。
其次，函数的拐点是指函数图像的拐弯处。
具体来说，当函数的图像从某一点开始向下弯曲时，这个点就是函数的下拐点；当函数的图像从某一点开始向上弯曲时，这个点就是函数的上拐点。
函数的拐点是非常重要的概念，因为它可以帮助我们了解函数图像的形状，并且在解决实际问题时也有很大的应用价值。
在这本讲义的第210页，作者还介绍了如何利用极值和拐点的性质解决实际问题。
例如，我们可以利用函数的极值性质来求解最值问题；也可以利用函数的拐点性质来求解不等式问题。
此外，作者还介绍了如何利用极值和拐点的性质来分析函数的特殊性质。
例如，我们可以利用函数的极值性质来分析函数是否单调递增或递减；也可以利用函数的拐点性质来分析函数是否有拐点。
总的来说，武忠祥高数强化讲义的第210页讲述了函数的极值和拐点的概念及其应用，并给出了一些实例来帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
在阅读这一章节时，读者需要对函数的定义和图像的概念有所了解，并且要掌握一些基本的数学知识，如不等式、单调性和连续性等。
在学习这一章节时，读者还需要注意一些细节问题。
例如，在求解函数的极值时，需要注意函数的单谷点、双谷点和驼峰点的区别，并且要熟练掌握一些基本的判定法。
此外，在分析函数的拐点时，也要注意函数的拐点的种类和性质，并熟练掌握一些基本的判定法。
通过对武忠祥高数强化讲义第210页的学习，读者将能够掌握函数的极值和拐点的概念及其应用，并能够运用这些知识来解决实际问题。
武忠祥高等数学辅导讲义149页注
武忠祥高等数学辅导讲义149页注
【原创版】
目录
一、武忠祥讲义与李永乐全书的比较
二、武忠祥讲义的使用建议
三、22 版与 21 版讲义的差异
四、武忠祥高等数学辅导讲义的重要性
正文
一、武忠祥讲义与李永乐全书的比较
武忠祥高等数学辅导讲义与李永乐的全书综合篇是考研数学领域中
颇具影响力的两本参考书。
它们在例题和体系上有很大的不同，不存在谁是谁的替代品的问题。
武忠祥的讲义在研究的优先度上高于李永乐全书，因为李王全书现在越来越趋向于字典式的使用，即偏向于公式方面的补充，而武讲义在例题和习题的设计上更为深入。
二、武忠祥讲义的使用建议
对于考研的学生来说，武忠祥讲义是一本非常重要的参考书。
在基础阶段，学生可以先了解武讲义中的知识点，但不必急于做题。
在武的强化班时，学生可以开始使用讲义和习题册，按照讲义例题、习题册选填和习题册大题的顺序进行学习。
在这个过程中，学生要注意适当放弃某些难度过高的题目。
三、22 版与 21 版讲义的差异
尽管武忠祥更换了机构，但 22 版讲义与 21 版讲义的内容没有太大变化。
新大纲中的反常积分判敛等内容是 22 版讲义的新增部分。
附送的学霸养成笔记是 21 版课后题的重新编排，没有删改。
因此，二战党可以直接使用 21 版讲义。
四、武忠祥高等数学辅导讲义的重要性
武忠祥高等数学辅导讲义对于考研学生来说是一本非常重要的参考书。
它既注重知识点的讲解，又提供了丰富的例题和习题，帮助学生深入理解数学概念，掌握解题方法。
高数武忠祥笔记
高数武忠祥笔记高数武忠祥笔记是一份适用于数学基础及强化阶段的备考笔记，具有大而全的特点。
笔记左侧为基础重点的知识梳理，适合第一遍学习知识的时候对基础内容有大致的了解；右侧是该类知识点对应题型和方法的归纳，适合强化阶段熟悉各种题目的类型和考法，并将老师讲的内容用自己的语言内化知识，最终形成属于自己的方法体系。
此外，笔记使用思维导图的方式，方便在后期刷题的时候不断巩固知识点，并可以随时补充相关的题型和对应的方法。
在冲刺阶段，笔记还可以突出复习重点，使得笔记更有侧重点、针对性，更便于后期的突破和提分。
武忠祥的教材包括《数一》、《数二》、《线代》和《概率论》。
这些教材是他在高等数学领域的教学经验和知识的结晶，具有系统性和全面性。
这些教材的内容涵盖了高等数学的基础知识，包括微积分、线性代数和概率论等，适合学生在学习和备考过程中使用。
武忠祥的教材特点如下：系统性：他的教材按照高等数学的知识体系进行编排，从基础知识到高级应用，内容连贯、完整。
全面性：他的教材涵盖了高等数学的所有重要知识点和考点，包括各种题型和解题方法，有助于学生全面掌握高等数学的知识和技能。
易懂性：他的教材注重解释和说明，通过具体的例子和图表来帮助学生理解和掌握高等数学的概念和方法。
实用性：他的教材针对学生的实际需求进行编写，注重培养学生的应用能力和解题能力，有助于学生提高学习效果和考试成绩。
总之，武忠祥的教材是学习和备考高等数学的优秀资源，可以帮助学生系统地掌握高等数学的知识和技能，提高学习效果和考试成绩。
武忠祥的教材主要适合以下人群学习：数学专业学生：作为数学专业的学生，需要系统掌握高等数学的知识和技能，武忠祥的教材可以帮助他们全面深入地学习高等数学，为未来的学习和研究打下坚实的基础。
考研学生：考研数学是必考科目之一，武忠祥的教材涵盖了考研数学的所有重要知识点和考点，可以帮助考研学生全面复习和备考，提高考试成绩。
工程技术人员：工程技术人员需要掌握一定的数学知识，特别是高等数学的基础知识，武忠祥的教材注重实际应用和工程实践，可以帮助他们更好地理解和应用高等数学的知识。
武忠祥高等数学强化课教材
武忠祥高等数学强化课教材《武忠祥高等数学强化课教材》正文：封面上方：武忠祥高等数学强化课教材封面下方：作者：***第一页（空白页）目录：1. 强化课简介2. 前言3. 第一章极限与连续3.1 极限的引入3.2 极限的性质3.3 无穷小量与无穷大量...4. 第二章微分与导数4.1 导数的定义4.2 基本导数公式4.3 高阶导数与高阶导数公式...5. 第三章积分与定积分5.1 积分的引入5.2 不定积分与定积分的概念和性质 ...6. 第四章微分方程6.1 一阶微分方程及其解法...7. 第五章无穷级数...8. 第六章空间解析几何和变量变线 ...9. 第七章多元函数及其应用...（以此类推，列出所有章节和小节）（在每个小节的开头，以一段话简短介绍该小节的主要内容，例如：）3. 第一章极限与连续3.1 极限的引入极限是高等数学中的重要概念之一，它在揭示函数性质和计算中有着广泛的应用。
本节将引入极限的概念，从数列极限和函数极限两个方面进行详细讲解，帮助学生全面理解极限的概念及其特性。
（在每个小节的结尾，以一段话总结该小节的重点内容，例如：）4. 第二章微分与导数4.1 导数的定义导数作为微积分的核心概念，具有重要的几何和物理意义。
本节详细介绍导数的定义及其几何意义，并通过大量的例题演示导数的计算方法，帮助学生掌握导数的概念与计算技巧。
（在每个章节的结尾，以一段话概括该章节的主要内容，例如：）第三章积分与定积分本章主要介绍积分与定积分的概念、计算方法和应用。
通过对不定积分与定积分的详细讲解，以及一些典型应用问题的实例分析，使学生理解积分的几何意义和应用背景，掌握定积分的计算技巧。
结尾（空白页）。
数学强化班(武忠祥)-高数第七章 无穷级数
第七章 无 穷 级 数第一节 常数项级数1．概念与性质（1）定义：∑∞=∞→=1lim n n n n S u（2）性质1）若∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 分别收敛于σ,s ，则)(1n n n v u ±∑∞=收敛于σ±s .2)改变级数前有限项不影响级数的敛散性. 3)收敛级数加括号仍收敛且和不变.4) ∑∞=1n n u 收敛0lim =∞→n n u2.判敛准则(1)正项级数(∑∞=1n n u ,0≥n u )基本定理：∑∞=1n n u 收敛⇔n S 上有界。
1)比较判别法：设n n v u ≤,则 ∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛.∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散.2)比较法极限形式：设∞→n lim)0(+∞≤≤=l l v u nn①若+∞<<l 0,则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 同敛散.②若0=l ,则∑∞=1n n v 收敛⇒∑∞=1n n u 收敛,∑∞=1n n u 发散⇒∑∞=1n n v 发散.③若+∞=l ,则∑∞=1n n v 发散⇒∑∞=1n n u 发散,∑∞=1n n u 收敛⇒∑∞=1n n v 收敛.3)比值法:设ρ=+∞→nn n u u 1lim,则∑∞=1n n u ⎪⎩⎪⎨⎧=><,1,,1,,1,ρρρ不一定发散收敛 4)根值法: 设ρ=∞→n n n u lim ,则∑∞=1n n u ⎪⎩⎪⎨⎧=><,1,,1,,1,ρρρ不一定发散收敛 (2)交错级数(∑∞=->-110,)1(n n n n u u )莱不尼兹准则: 若：(1)n u 单调减; (2) 0lim =∞→n n u ,则∑∞=--11)1(n n n u 收敛.(3)任意项级数(∑∞=1n n u ,n u 为任意实数)1)绝对收敛与条件收敛概念 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论①绝对收敛的级数一定收敛,即||1∑∞=n n u 收敛∑∞=⇒1n n u 收敛.②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散.即: ∑∞=1n n u 条件收敛∑∞=+⇒12||n n n u u 和∑∞=-12||n n n u u 发散.题型一 正项级数敛散性的判定例7.1判定下列级数的敛散性.1) );0(11>⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=a n na nn 2) )0(!1>∑∞=a nn a n n n3) ;)cos1(1∑∞=-n n π4) ;)11ln()1(1∑∞=+-+n p n n n解 1）a n nau n n n n =+=∞→∞→1limlim ，则（1）当10<<a 时，原级数收敛； （2）当1>a 时，原级数发散； （3）当1=a 时，01)1(lim lim ≠=+=∞→∞→en n u n n n n ，原级数发散。
数学强化班(武忠祥)-高数第三章 一元函数积分学
第三章 一元函数积分学第一节 不定积分1．两个概念: 1）原函数： )()(x f x F =' 2）不定积分：⎰+=C x F x x f )(d )( 2．基本积分公式： 1) .arcsin d 22C a x x a x +=-⎰2)⎰+±+=±C a x x ax x ||ln d 22223).arctan 1d 22C ax a x a x +=+⎰ 4) ⎰+-+=-.||ln 21d 22C x a xa a x a x 5) .|tan sec |ln d sec ⎰++=C x x x x 6) ⎰++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 3．三种主要积分法1）第一类换元法（凑微分法）若C x F x x x f C u F u u f +='+=⎰⎰))((d )())((则,)(d )(ϕϕϕ 2）第二类换元法：C x F C t F dt t t f t x x x f +=+='=-⎰⎰))(()()())(()(d )(1ϕϕϕϕt a x a x t a x x a t a t a x x a sec ,iii)tan ,ii))cos (sin ,i)222222=-=+=-3）分部积分法 ⎰⎰-=vdu uv udv “适用两类不同函数相乘”⎰⎰⎰⎰x x e x x x x x x e x xn n xn d sin ,cos )(p ,d sin )(p ,d )(p βαααα， ⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x xe nnnxd arcsin )(p ,d tan arc )(p ,d ln )(p ,d cos βα4．三类常见可积函数积分 1）有理函数积分 ⎰x x R d )(（1）部分分式法（一般方法）； （2）简单方法（凑微分绛幂）； 2) 三角有理式积分 ⎰x x x R d )cos ,(sin （1）万能代换（一般方法） 令t x =2tan（2）简单方法 （三角变形，换元，分部） 3) 简单无理函数积分 x dcx bax x R nd ),(⎰++令 t dcx bax n=++ 例一 基本题 例3.1 ⎰-=)4(x x dxI解法1 ⎰⎰+-=--=-=c x x dx x x dx I 22arcsin)2(4422解法2 ⎰+=-=c xx x d I 2arcsin 24)(2 例3.2 .sin cos ⎰=x x dxI解 ⎰⎰⎰⎰-=-===x xd x x x d x x xdx x x dx I 222sin 1sin 2sin )sin 1(sin sin cos cos sin cosdt t t t t dt t dt t x )1111()1)(1(212 sin 22224++-=+-=-=⎰⎰⎰令 例3.3 ⎰+=dx xx I 251解法1 令 tan t x =，则tdt dx 2sec =⎰⎰⎰=⋅⋅=⋅=)(sec tan )sec (tan tan sec sec tan 4425t td dt t t t ttdtt I)sec ( )1()(sec )1(sec 2222t u du u t d t =-=-=⎰⎰=c u u u ++-253251=c x x x +++-2421)348(151解法2 ⎰⎰+=+=)1(12124224x d x x dx x I=dx x x x x ⎰+-+2324141=)1(1]1)1[(2122224x d x x x x ++-+-+⎰=c x x x x ++++-+23225224)1(34)1(541 例3.4 dx e xe I xx⎰-=1解 I 121212⎰⎰---=-=dx e e x e xd x x xdt tt dx e x⎰⎰+=-22121 （令t e x=-1） =C t t +-arctan 22则 I c e e e x x x x +-+---=1arctan 41412 例3.5⎰+x xxd 1ln 解法1 原式=⎰+x xd 1ln 2 =dx xxx x ⎰+-+12ln 12dt t t t x dx x x ⎰⎰-=++121122=⎰⎰-+1222t dtdt=C t t t ++-+11ln2 原式=C x x x x x +++-+-+-+1111ln 214ln 12解法2 令t x =+1，则原式=dt t tdt t t ⎰⎰-=-)1ln(22)1ln(22 =dt t t t t ⎰---122)1ln(2222=C x x x x x +++-+-+-+1111ln214ln 12例3.6 ⎰x ee xxd arctan 2 解法1 原式=⎰--x x de e 2arctan 21=dx e e e e xx xx ⎰++---22121arctan 21 =⎰++--)1(21arctan 21222x x x xx e e de e e=C e e e e x x x x +++---]arctan arctan [212 解法2 令t e x =，则 原式=⎰⎰-=231arctan 21arctan t td dt t t =⎰++-dt t t tt )1(1212arctan 222 =c t t tt +---arctan 21212arctan 2=C e e e e x x x x +++---]arctan arctan [212例3.7 ⎰+=dx x x I 91解法1 ⎰⎰⎰+=+=+= )1(81)1()1(8878u u du x x dx x x x dx I （令u x =8） 解法2 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=dx x x x x x dx x x I 8788811)1()1( 解法3 c x x dx xx dxI ++-=+-=+=⎰⎰---|1|ln 81181)11(88889 例3.8 ⎰⎰⎰⎰+++=++-+=++=63262246413111111xdx x dx dx x x x x dx x x I 例3.9 ⎰+=xdxI sin 1解法1⎰⎰⎰+=-=x xd dx x dx xx I 222cos cos cos 1cos sin 1 解法2C x x dx x dx I +⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰⎰42tan 24cos 22cos 12πππ 解法3令2212sin 12 2tant t x t dt dx t x +=+== C x C t t dt t t t dt I ++-=++-=+=++⋅+=⎰⎰2tan 1212)1(2121112222 例3.10 ⎰++x x xcos sin 1d解 令t x=2t a n ，则原式=⎰+-++++2222112112t t t t dt t =⎰++=+C t t dt)1ln(1=C x++)2tan 1ln(例3.11 ⎰⋅=xx dxI 4cos sin 解法1I ⎰⎰⎰--=-=⋅=)1(cos )cos 1(cos cos sin sin 424242u u dux x x d x x xdx （令u x =cos ）⎰-+--=4244)1()1(uu u u 解法2⎰⎰⎰⎰⋅++=+=⋅+= cos sin cos sin 3cos 1 cos sin cos sin cos sin cos sin 222324422dx x x x x x x x dx dx x x x x x x I⎰⎰++=xdxx xdx x sin cos sin cos 3123 例3.12 ⎰+=dx xb x a I cos sin 1解 1）若⎰+-===≠c x a x a dx I b a ctg 1sin 0 ,02222) 若⎰+==≠=c x bdx x b I b a tg 1cos 1 0 ,02223）若 )tg (cos 0 ,02222222⎰⎰+=+=≠≠u a b dux a b x dx I b a （令u x =tan ）例3.13⎰-+x x x x d 111。
武忠祥高等数学辅导讲义注里面的题目讲解
武忠祥高等数学辅导讲义注里面的题目讲解
“武忠祥高等数学辅导讲义”可以说是高校教学中的一份非常有效的辅导书，它为学生们提供了多种题型的练习，让他们能够更好地提升自身数学水平。
最近《武忠祥高等数学辅导讲义》中出现了一道几何问题：若AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，CD是该矩形直径，求CD的长度。
解：由于AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，所以其对角线CD的长度可以使用勾股定理求得。
即CD的长度为$\sqrt{a^2+b^2}$。
因此，若AB是矩形一边长为$a$，另一边长为$b$，CD是该矩形直径，其长度为$\sqrt{a^2+b^2}$。
从上述例题可以看出，《武忠祥高等数学辅导讲义》不仅基础满足了学生的数学学习需求，还为学生们提供了实践性的技能训练课程，它能够有效帮助学生们掌握和提升数学知识。
此外，书中数学题目考查学生们的推理能力和抽象思维，从而促进学生们学习好原理，后了解和深入发展数学。
在总结来看，《武忠祥高等数学辅导讲义》真正做到了让数学知识可以更贴近学生的实际有效的付出，为学生们的高等数学之路添加了许多课外的知识点，对学生们提升自身数学水平有着重要作用，让学生们在学习中发挥才华，充分挖掘自身潜能。
数学强化班(武忠祥)-高数第六章 常微分方程
b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
c) 非齐次特解I — 非齐次特解II = 齐次特解
2)常系数:
a) 齐次
特征方程
设是特征方程两个根
1）不等实根：，
；
2）相等实根：， ；
3）共轭复根：， ；
b) 非齐次：
令 等于作为特征方程根的重数.
令 3） 欧拉方程 （仅数一要求）
令，
4． 差分方程（仅数三要求）
(7)
解（1） （2） 令，， （3）解 令. 令得 （4）解 （线性） （5）解 令， （6）解 令，则 （线性）
由 知， .
（7）解
1） 求方程的通解 2） 求方程的特解. 1）解法1 可降阶方程 令，则，
（线性）
解法2
.
2）解 令
令，，
显然，均为原方程解，但由，知，
，即
，，
由知，，.
例6.3求解下列各题(高阶线性方程)
1。一阶常系数线性齐次差分方程
（1）
通解为
2。一阶常系数线性非齐次差分方程
（2）
通解为
其中是非齐次差分方程（2）的特解。
1)
（1）若 令
（2）若 令
2），
（1）若 令
（2）若 令
例 差分方程的通解为
.
解： 原方程的一般形式为 ，
其对应的齐次差分方程为
其通解为
（为任意常数）.
因为是的一次多项式，且，故设原方程的特解为
为非齐次解.
为齐次解.
则齐次方程特征方程为
即
则齐次方程为
设所求的二阶线性非齐次方程为
将代入该方程得 .
故所求方程为
6.若是方程的解,求及该方程通解。
高数武忠祥笔记
高数武忠祥笔记高数（高等数学）对于很多学生来说是一门难以逾越的学科，然而，通过武忠祥老师的授课和笔记整理，我发现高数并没有我想象中那么难。
在这篇文章中，我将分享我的高数笔记，希望对正在学习高数的同学有所帮助。
1. 初识高数高数作为大学数学的重要组成部分，严谨性和抽象性常常使人望而却步。
然而，在武忠祥老师的授课中，他以通俗易懂的语言解释抽象概念，让我迅速掌握了高数的基本概念。
2. 函数与极限在高数的学习中，函数与极限是基础而重要的知识点。
武忠祥老师在讲解这部分内容时，采用了丰富的实例和图像辅助，使我更加直观地理解了函数和极限的概念。
特别是在极限的计算方面，他强调了极限的性质和运算规则，为我后续的学习打下了坚实的基础。
3. 导数与微分导数与微分是高数中的一个重要内容。
武忠祥老师以生动形象的比喻和例子，生动地解释了导数和微分的含义和应用。
尤其是在应用求导数解决实际问题时，他揭示了思考的方法和技巧，使我能够更好地将理论知识应用于实际问题的解决中。
4. 积分与应用积分是高数的核心概念之一，并且应用广泛。
在这部分内容中，武忠祥老师通过引出定积分的概念和性质，使我逐渐理解了积分的应用和意义。
同时，他讲解了不定积分和定积分的计算方法，并提供了大量的习题来巩固理论知识。
5. 多元函数多元函数是高数中的扩展内容，涉及到高维空间的概念与运算。
在这部分内容中，武忠祥老师注重培养我们的空间想象力和几何直观，通过图像和实例的讲解，帮助我更好地理解多元函数的性质与应用。
6. 微分方程微分方程是高数的重要应用之一，也是工科学生必备的工具。
武忠祥老师采用了解释透彻的方式讲解了一阶微分方程和二阶微分方程的求解方法，并提供了大量的典型例题和实际应用问题的解析，使我在应对微分方程问题时更加得心应手。
通过武忠祥老师的授课和笔记整理，我渐渐克服了对高数的恐惧心理，更加喜欢并懂得了高数的魅力。
他的授课风格既严谨又幽默，让我在学习高数的过程中乐在其中。
武忠祥高数强化83页例题
武忠祥高数强化83页例题
【实用版】
目录
1.武忠祥高数强化 83 页例题概述
2.83 页例题的主要内容
3.例题的解题思路和方法
4.例题的启示和价值
正文
一、武忠祥高数强化 83 页例题概述
武忠祥高数强化 83 页例题是一本针对高等数学的学习辅导资料，通过 83 页的例题详细讲解了高等数学的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握高数知识，提高解题能力。
二、83 页例题的主要内容
这 83 页例题涵盖了高等数学的各个方面，包括函数、极限、导数、积分、微分方程等。
每个例题都精选自经典题目，具有很强的代表性，可以帮助学生全面了解高数的知识体系。
三、例题的解题思路和方法
每个例题都配有详细的解题过程和思路分析，让学生能够清晰地看到解题的思路和方法。
同时，这些解题过程也提供了多种解题方法，让学生能够从多个角度理解和掌握知识点。
四、例题的启示和价值
这些例题不仅能够帮助学生巩固所学知识，提高解题能力，还能够激发学生的学习兴趣，培养他们的独立思考能力和创新能力。
因此，这 83 页例题对于学习高等数学的学生来说，具有很高的学习价值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
21高等数学强化课●武忠祥老师的强化班课程笔记●武忠祥老师的强化班课程●函数极限连续●函数●基本要素：定义域，对应规则●函数形态●单调性判定●定义●导数，●单调性应用●根的个数●证明不等式●奇偶性判定●定义●可导●原函数奇函数>导函数偶函数●原函数偶函数>导函数奇函数●连续●周期性判定●定义●可导的周期函数其导函数是周期函数●周期函数的原函数不一定为周期函数●f(x)连续且以T为周期●周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0●有界性判定●定义●闭区间连续●开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在●导数●极限●概念●数列极限●极限值等于多少与数列前有限项无关●与项数无关●函数极限●趋于无穷●趋于有限值●极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关●分左右极限求●分段函数在分段处极限，两侧极限不一样●特殊函数●2●性质●局部有界性●保号性注意等号●与无穷小之间的关系●极限存在准则●夹逼●单调有界●单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界●无穷小●比较●性质●无穷大●常用无穷大比较指幂对（大到小）●无穷大与无界变量●与无穷小互为倒数●求极限方法●有理运算法则●基本极限●等价无穷小●常用●积分情况●代换原则●乘除直接换●加减有条件减不为正 1 ，加不为－1●洛必达●泰勒公式●常用●夹逼●积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间●单调有界●函数极限题型●0/0 0比0型●拉格朗日中值定理●加减 x 来凑常用等价无穷小●无穷 / 无穷●洛必达●分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大●无穷—无穷●0 · 无穷●1 的无穷次方●无穷的0次方，0的无穷次方●数列极限●不定式●和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限●n 项和的数列极限●夹逼定理●定积分定义●级数求和●常用结论●n 项连乘的数列极限●夹逼●取对数化为n项和●递推关系●数列存在单调性●收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A●数列不具有单调性或者单调性很难判定●先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A●单调性判定（直接，比值，函数）●无穷小量阶的比较●洛必达●等价无穷小●泰勒公式●常用结论及举例●连续●连续●间断点●连续函数的性质●连续题型●讨论连续性及间断点类型●函数连续不代表可以取到整个实域的所有值●如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于1，|x|等●间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点●介值定理，最值定理，零点定理证明●一元函数微分●导数微分●导数定义●等价形式●注意分段函数●微分定义●连续、可导、可微之间的关系●求导公式●求导法则●有理运算法则●复合函数求导●隐函数求导●反函数求导●参数方程求导●高阶导数●对数求导法则●多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导●●题型：导数与微分的概念●利用导数定义求极限●利用导数定义求导数●分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求●利用导数定义判定可导性●导数几何意义●导数与微分计算●复合函数求导●导数与奇偶性●复合函数在一点的导数值●乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以●高阶导数●公式●一阶二阶之后归纳●泰勒公式和泰勒级数●导数应用●微分中值定理●罗尔定理●拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系●柯西定理●泰勒定理（拉格朗日余项）●极值最值●极值的必要条件●极值的充分条件●第一充分条件●第二充分条件●第三充分条件●凹向拐点●判定●必要条件●充分条件●渐近线●水平渐近线●垂直渐近线●斜渐近线●方程的根的存在性及个数●方法●注意把函数化到一边来求零点●将含有参数的式子参数分离出来●罗尔定理●证明函数不等式●方式方法●单调性●最大最小值●拉格朗日定理●泰勒公式●凹凸性●注意以及常用基本不等式●不等式●微分中值定理有关的证明题●证明存在一个点●构造辅助函数 P 82●证明存在两个中值点 p 85●方法●证明存在一个中值点 p 87●带拉格朗日余项的泰勒公式●一元函数积分●不定积分●原函数●原函数的存在性●f（x）在区间连续，有原函数●有第一类间断点，f（x）没有原函数●基本公式●公式●积分法●第一类换元法●第二类换元法●分部积分●定积分●概念●与积分变量无关●可积性●必要条件存在必有界●充分条件●连续必存在●有界，有限个间断点必存在●有限个第一类间断点必存在●计算●方法●奇偶性和周期性●公式 sin cos 公式注意上下限●变上限积分 p 105●公式●变上限积分函数及其应用●连续性●可导性●奇偶性●处理变上限积分有关极限问题方法●洛必达法则●等价无穷小代换●积分中值定理●图像●性质●不等式●大小●积分中值定理●广义积分中值定理●积分不等式问题●变量代换●积分中值定理●变上限积分●柯西积分不等式●反常积分●定义●无界函数●常用结论●定积分应用●平面图形面积●空间体体积●计算●曲线弧长●计算就是计算 d s●旋转体侧面积●常微分方程●一阶●齐次●线性方程●全微分方程●可降阶的高阶方程●形式●高阶线性微分方程●解的结构●定理一●定理二●定理三●定理四●常系数齐次线性微分方程●二阶常系数线性齐次微分方程解的形式●常系数非齐次线性微分方程●求特解●一●二●多元函数微分●●重极限●任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在●y = k x y = x x (x的方)●求重极限●连续●性质●偏导数●定义●代表斜率●二阶偏导数连续●全微分●定义非常重要●等价●注意，这个ρ 的高阶无穷小是关于ρ 的函数，但是里面的ρ 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为0值），是高次方的时候直接使用●可微性判定●可微推出偏导数存在●偏导数连续推出可微●可微推出偏导数存在偏导数连续推出可微●计算●连续、可导、可微关系●偏导数与全微分计算●复合函数求导●全微分形式不变●隐函数求导●极值最值●无条件极值●定义对任意p（x,y）●必要条件存在偏导，且点就是极值点●充分条件领域内有二阶连续偏导，一阶导为0●二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值●条件极值二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算●二重积分●二重积分概念●几何意义积分域D为底，曲面 z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积●二重积分性质●不等式性质●函数之间的关系●最大最小值●绝对值●二重积分计算●直角坐标●先 y 后 x●先 x 后 y●极坐标●极坐标计算●适合极坐标计算的被积函数●适合极坐标计算的积分域●对称性和奇偶性●奇偶性●变量对称性●无穷级数●级数的概念●无穷级数●部分和●级数收敛●级数发散●级数性质●收敛级数的倍数是极限s的倍数●收敛级数的求和●级数求和●收敛＋发散 = 发散●发散＋发散 = 敛散性不确定●在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性●收敛级数加括号仍然收敛且和不变●级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛●级数加括号以后发散，原级数不一定发散●级数收敛必要条件（反过来不一定成立）●级数的审敛准则●正向级数 u n > 0●比较判别法●比较法极限形式●使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则●比值法●根值法●交错级数●充分条件●任意项级数●条件收敛●绝对收敛●基本结论●常用结论●等价无穷小代换只适用正向级数●幂级数●定义●阿贝尔定理●绝对收敛（端点收敛则里面收敛）●发散（端点发散则外面发散）●可能性●收敛半径、收敛区间、收敛域●定理3●定理4●有理运算性质●运算●分析性质●连续性●可导性（逐项求导）●可积性●函数的幂级数展开●展开式唯一●泰勒级数●常用展开式●傅里叶级数●定义●展开●方向导数和梯度●方向导数●定义●计算●梯度●定义●多元微分几何应用●曲面的切平面与法线●曲面的切线和法平面●常见曲面●旋转面●柱面平行于 z 轴就是消去 z●多元积分学●三重积分●定义●计算●直角坐标●柱坐标●●线积分●对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关●计算（平面）●利用奇偶性曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性●利用对称性 x y 可以互换●对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关●计算方法●直接法●格林公式●补线用格林公式●利用线积分与路径无关●线积分与路径无关的判定以下四条等价●计算●该换路径●利用原函数●计算方法●斯托克斯公式●面积分●对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关●直接法●利用奇偶性●对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关●性质●计算●直接法●高斯公式●常用●多元积分应用●场论。