2020年高考理科数学专题训练 小题满分限时练(一)

限时练(一) (限时：40分钟)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( ) A.A ∩B ＝{x |x <0} B.A ∪B ＝R C.A ∪B ＝{x |x >1}

D.A ∩B ＝∅

解析 A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}＝{x |x <0}，∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}. 答案 A

2.设i 为虚数单位，若复数

i

1＋i

的实部为a ，复数(1＋i)2的虚部为b ，则复数z ＝a －b i 在复平面内的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析 ∵

i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）

＝12＋12i ，∴a ＝12， ∵(1＋i)2＝2i ，∴b ＝2，

则z ＝a －b i 对应点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，－2，位于第四象限.

答案 D

3.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A.充分条件 B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 “不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件. 答案 B

4.已知f (x )满足∀x ∈R ，f (－x )＋f (x )＝0，且当x ≤0时，f (x )＝1

e x ＋k (k 为常数)，则

f(ln 5)的值为()

A.4

B.－4

C.6

D.－6 解析∵f(x)满足∀x∈R，f(－x)＋f(x)＝0，

故f(－x)＝－f(x)，则f(0)＝0.

∵x≤0时，f(x)＝1

e x＋k，

∴f(0)＝1＋k＝0，k＝－1，

所以当x≤0时，f(x)＝1

e x－1，

则f(ln 5)＝－f(－ln 5)＝－4.

答案 B

5.某程序框图如图所示，该程序运行后若输出S的值是2，则判断框内可填写()

A.i≤2 015

B.i≤2 016

C.i≤2 017

D.i≤2 018

解析由程序框图，初始值S＝2，i＝1.

循环一次后，S＝－3，i＝2；

循环两次后，S＝－1

2，i＝3；

循环三次后，S＝1

3，i＝4；

循环四次后，S＝2，i＝5；循环五次后，S＝－3，i＝6；…

依次类推，S 的值呈周期性变化，周期为4.

如果i ≤2 015，则循环结束S ＝1

3；如果i ≤2 016，则循环结束S ＝2.因此条件判断框中的条件是“i ≤2 016”. 答案 B

6.下列命题，其中说法错误的是( )

A.双曲线x 22－y 2

3＝1的焦点到其渐近线距离为 3

B.若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2

C.若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题

D.设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α 解析 双曲线x 22－y 2

3＝1的焦点(5，0)到其渐近线3x －2y ＝0的距离为d ＝|3·5－0|

3＋2

＝3，故A 正确.

若命题p ：∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ≥2，则綈p ：∀x ∈R ，都有sin x ＋cos x <2，B 正确.

若p ∧q 是假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故C 不正确.

设a ，b 是互不垂直的两条异面直线，由a ，b 是互不垂直的两条异面直线，把它放入长方体中，如图，则存在平面α，使得a ⊂α，且b ∥α，故D 正确. 答案 C

7.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ

＝3π

4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210

B.－325

C.－7212

D.－8213

解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝4

5， x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－4

5×22＝－7210.

答案 A

8.圆O 的半径为3，一条弦|AB |＝4，P 为圆O 上任意一点，则AB →·BP →

的取值范围为( ) A.[－16，0] B.[0，16] C.[－4，20]

D.[－20，4]

解析 以圆心O 为原点，两条互相垂直的直径所在直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系.设P (x ，y )(－3≤x ≤3)，由题意知x 2＋y 2＝9，A (－2，－5)，B (2，－5)，则AB →·BP →＝(4，0)·(x －2，y ＋5)＝4(x －2)∈[－20，4]. 答案 D

9.若(2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的展开式中的各项系数和为243，则a 1＋2a 2＋…＋na n ＝( ) A.405

B.810

C.243

D.64

解析 (2x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，两边求导得2n (2x ＋1)n －1＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n xn －1，取x ＝1，则2n ×3n －1＝a 1＋2a 2＋…＋na n ，

(2x ＋1)n 的展开式中各项系数和为243，令x ＝1，可得3n ＝243，解得n ＝5. ∴a 1＋2a 2＋…＋na n ＝2×5×34＝810. 答案 B

10.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( ) A.7π

B.14π

C.7

2π

D.714π3

解析 三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝

⎛⎭⎪⎫1422

＝14π. 答案 B

11.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度后得到函数g (x )

的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π

6，则φ＝( )