审题路线中寻求解题策略

五 审图表找规律
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的 目标和方向.在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常 可以找到解决问题的思路和方法.
7.(2018·全国Ⅱ)右图是某地区2000年
至2016年环境基础设施投资额y(单位：
亿元)的折线图.
为了os
CB＝－2ab＋c
―隐―正―含、―的―余―三弦―角―定形―理―内转―角―化―和→
△ABC边或角的关系
→ 角B的三角函数值 ―角――B―的―范――围→ 角B ―应――用―余――弦―定―理―→ 求ac
→ △ABC的面积
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
解 (1)由余弦定理知，cos B＝ 2ac ，cos C＝ 2ab ，
3.(2017·全 国 Ⅰ) 如 图 ， 在 四 棱 锥 P － ABCD 中 ， AB∥CD ， 且 ∠BAP ＝ ∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为 83， 求该四棱锥的侧面积.
审题路线图 (1) 欲证平面PAB⊥平面PAD ―面――面―垂找――直线―的 面―判 垂――定直―定――理→ 只需证AB⊥平面PAD ―找――线―线―垂――直→ 条件中的∠BAP＝∠CDP＝90°
x＝my－2， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立x62＋y22＝1， 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 所以 y1＋y2＝m42＋m 3，y1y2＝m－2＋23，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝m－2＋123. 因为四边形OPTQ是平行四边形， 所以O→P＝Q→T，即(x1，y1)＝(－3－x2，m－y2).
施投资额，建立了y与时间变量t的两
个线性回归模型.根据2000年至2016年
的数据(时间变量t的值依次为1，2，
…，17)建立模型①：
^
y
＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量
t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：y^＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
8.已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为
F(－2，0)，离心率为
6 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设O为坐标原点，T为直线x＝－3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，
Q两点.当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积.
审题路线图 (1) 焦点，离心率 ―→ c，a的值 ―→ b的值 ―→ 椭圆的标准方程 (2) ▱OPTQ → S▱OPTQ＝2S△OPQ → S△OPQ＝12·|OF||y1－y2| → y1和y2关系 → 直线PQ的方程与椭圆C的方程联立
4.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为
审题路线图 图象的位置 ―→ 图象的对称、升降 ―→ 图象的特殊点 ―→ 极端趋势
答案 D 解析 y＝f(x)＝2x2－e|x|为偶函数， 当x>0时，f′(x)＝4x－ex， 作y＝4x与y＝ex的图象如图所示， 故存在实数x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0， 则当x∈(0，x0)时，f′(x0)<0， 当x∈(x0，2)时，f′(x0)>0， 所以f(x)在(0，x0)内单调递减，在(x0，2)内单调递增， 又f(2)＝8－e2≈8－7.4＝0.6，故选D.
解 (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 所以当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)， 两式相减，得(2n－1)an＝2， 所以 an＝2n2－1(n≥2).
又由题设可得a1＝2，满足上式， 所以{an}的通项公式为 an＝2n2－1(n∈N*).
(2)记2na＋n 1的前 n 项和为 Sn， 由(1)知2na＋n 1＝2n＋122n－1＝2n1－1－2n1＋1， 则 Sn＝11－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1＝2n2＋n 1(n∈N*).
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.
审题路线图 已知折线图 ―审――视―数―据―的――意―义→ 基础设施投资额的变化规律 ―比―较――两―种―模―型――预―测→ 得到更可靠的模型
解 (1)利用模型①， 可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y^ ＝－30.4＋13.5×19 ＝226.1(亿元). 利用模型②， 可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y^＝99＋17.5×9＝ 256.5(亿元).
5.如图，在半径为 r 的定圆 C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个 动点，若A→B＋A→C＝A→D，且点 D 在圆 C 上，则A→B·A→C＝_____.
审题路线图 A→B＋A→C＝A→D ―→ 四边形ABDC为平行四边形 ―结――合―图――形―中―圆――的―特――征→ △ABC为正三角形 ―→ 计算A→B·A→C
一 审条件挖隐含
题目的条件是解题的主要素材，条件有明示的，也有隐含的，审视条件 时更重要的是充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，对条件进行再认 识、再加工，注意已知条件中容易疏忽的隐含信息、特殊情形，明晰相 近概念之间的差异，发挥隐含条件的解题功能.
1.在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且ccooss CB＝－2ab＋c. (1)求 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积.
(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下： (ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线 y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型① 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基 础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线附近， 这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010年至2016年的数据建立的线性模型 y^＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以 后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠. (ⅱ)从(1)的计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模 型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而由模型②得到的预测值256.5亿元 的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.
∴S△ABC＝12acsin
B＝3
4
3 .
二 审结论会转换
解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，因而解题的 思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审视结论，就是 在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于 从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近已知条件， 从而发现和确定解题方向.
又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
设 AB＝x，则由已知可得 AD＝
2x，PE＝
2 2 x.
故四棱锥 P－ABCD 的体积 VP－ABCD＝13AB·AD·PE＝13x3.
由题设得13x3＝83，故 x＝2.
从而 PA＝PD＝2，AD＝BC＝2 2，PB＝PC＝2 2.
第三篇 渗透数学思想，提升学科素养
(四)审题路线中寻求解题策略
审题是解题的前提，只有认真阅读题目，提炼关键信息，明确题 目的条件与结论，才能通过分析、推理启发解题思路，选取适当的解 题方法.最短时间内把握题目条件与结论间的联系是提高解题效率的保 障.审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答 后的反思回顾.正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论， 由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向.事实上，很多考 生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误 而丢分.下面结合实例，教你正确的审题方法，制作一张漂亮的“审题 路线图”，助你寻求解题策略.
解 (1)由已知可得，ac＝ 36，c＝2，所以 a＝ 6. 又由 a2＝b2＋c2，解得 b＝ 2， 所以椭圆 C 的标准方程是x62＋y22＝1. (2)设T点的坐标为(－3，m)，
m－0 则直线 TF 的斜率 kTF＝－3－－2＝－m. 当 m≠0 时，直线 PQ 的斜率 kPQ＝m1 ，直线 PQ 的方程是 x＝my－2. 当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式.
可得四棱锥 P－ABCD 的侧面积为21PA·PD＋12PA·AB＋21PD·DC＋12BC2sin 60° ＝6＋2 3.
三 审图形抓特点
在一些数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条 件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含 的特殊关系、数值的特点、变化的趋势.抓住图形的特征，运用数形结合 的数学思想方法，是破解题目的关键.
六 审细节更完善
审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些 细节上的问题.例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等.因为标注、 范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制 条件，审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向. 所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性.
(2) 求四棱锥P－ABCD的侧面积 ―各――侧各―面―边多―的―边关―形―系―内明―角―确可――知→ 只需求出一边长 ―已―知――四―棱――锥―的―体――积→ 列方程求出AB即可
(1)证明 由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD， 故AB⊥PD，又AP∩PD＝P， AP，PD⊂平面APD， 从而AB⊥平面PAD. 又AB⊂平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAD. (2)解 如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E. 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，
答案
r2 2
解析 根据向量加法的平行四边形法则知，
四边形ABDC为平行四边形， 而|C→D|＝|A→C|＝|B→C|＝|A→B|＝r，
∴△ABC为正三角形，
∴A→B·A→C＝r22.
四 审结构定方案
数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现 的.在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数 式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，和我们熟悉的数 学结构联想比对，就可以寻找到解决问题的方案.
将上式代入ccooss CB＝－2ab＋c，
得a2＋2ca2c－b2·a2＋2ba2b－c2＝－2ab＋c，
整理得a2＋c2－b2＝－ac，
∴cos B＝a2＋2ca2c－b2＝－2aacc＝－12.
∵B 为三角形的内角，∴B＝23π.
(2)将 b＝ 13，a＋c＝4，B＝23π 代入b2＝a2＋c2－2accos B， 得 13＝42－2ac－2accos 23π， 解得ac＝3.
2.已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝______.
审题路线图 欲求tanθ－π4 ―→ sinθ－π4，cosθ－4π ――θ―＋―π4―－―θ―－―π4―＝―→π2 利用sinθ＋π4＝35易求
答案 －43 解析 ∵sinθ＋π4＝35>0，且 θ 是第四象限角，易知 cosθ＋π4＝45， ∵θ－π4＝θ＋π4－π2， ∴sinθ－π4＝sinθ＋π4－π2＝－cosθ＋π4＝－45， cosθ－π4＝cosθ＋π4－π2＝sinθ＋π4＝35， ∴tanθ－π4＝－43.
6.(2017·全国Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)·an＝2n. (1)求{an}的通项公式；
(2)求数列2na＋n 1的前 n 项和.
审题路线图 (1) a1＋3a2＋…＋2n－1an＝2n ―和――式―特――征→ 作差法求an (2) 2na＋n 1＝2n－122n＋1 ―结――构―特――征→ 裂项法求和