第三章 光的波动性+波前

T = 1 = 2π = λ νωv
λ0 = n λ
k = 2π λ
波动的频率（或时间周期）仅仅与振源有关，而波长（即 空间周期）不仅与振源的振动频率有关，而且与介质有关。
波场的几何描述：
(1) 波面与波线
波面：波场中振动相位相同的点的轨迹，一般波面表现为空间三维曲面族 波线：表示波动能量传播的几何径迹
第三章 光的波动性质
§3.1 光波的描述
3.1.1 波动概述 3.1.2 光的波动性 3.1.3 光波的电磁性质 3.1.4 定态光波及其复振幅描述
3.1.1 波动概述
波动：振动状态在空间的传播。 波动的实质：能量以振动的方式在空间传播，使空间各点的
物理状态呈现空间和时间上的周期性分布，但承 担传播任务的物质本身并不随波移动。 波动产生的条件：存在一个能够由于外界的某种能量供给而
ϕ0
Q
K
rK
•
P
k
7
会聚球面波：
rK = rrKˆ
=
−rkK
KK rk
•
K k
=
kkKˆ
P
ϕ (P)
=
K k
⋅
K r
+ϕ0
=
±kr
+ϕ0
(3) 振幅的特点
证明：
由能量守恒定律：
A(P) = a r
I1 ⋅ 4πr12 = I 2 ⋅ 4πr22
设： r1 = 1
I1 = a 2 r2 = r
A(P) = a r
任何一个波源，都可以看成是由若干点波源组成的集合；构成任何 复杂波面的基元是球面波或平面波。
(4) 标量波和矢量波
标量波：空间各点的扰动不具有方向性的波场，如密度波、温度波等； 矢量波：空间各点的扰动具有方向性的波场，如电磁波、水波等；
一般情况下，矢量波要用矢量场理论描述；当矢量波场中各点的扰动 具有同一方向时，可将其简化为标量波处理。
产生（机械的或电磁的）振动的波源。 具有时空双重周期性运动形式和能量的传输，是一切波动 的基本特性。不具备这种特性的事物，不能成为严格意义 下的波动。
1
基本特征量：
振幅A(P)、相位ϕ (P)、速度v； 周期（时间周期）T、频率（时间频率）ν（或圆频率ω）； 波长（空间周期）λ、波数k 。
各量间相互关系：
其中： −ikx sinθ = ikx sin(−θ ) = ikx sin(π + θ )
我们约定波及其共轭波都来至波前的同一侧，则其共轭波是
U~ * (P) = A exp(ikx sin(−θ ))
r
r
ϕ(P)
=
K k
⋅
K r
+ ϕ0
=
kr
O
z
(b) 轴外源点
r = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2
z = 0 平面上有: x0 = x1 y0 = y1 z0 = −R
z=0
Ui 2 (x, y) =
a exp(ik
(x − x1)2 + ( y − y1)2 + R2
(x − x1)2 + ( y − y1)2 + R2 )
2) 相位共轭波 复振幅互为复数的光波称为共轭波。
考察内容：某个特定平面（波前）上的共轭波，如
已知： z = 0 平面上的复振幅分布为 Ui(P) = a exp(ikx sinθ )
求其共轭光波？
Ui *(P) = Aexp(−iϕ(P)) = Aexp(−ikx sinθ )
(5) 纵波和横波 a) 纵波及其特点
振动方向与传播方向相同，振动状态 相对于传播方向具有轴对称性。
b) 横波及其特点
振动方向与传播方向正交，振动状态相 对于传播方向不具有轴对称性。
振动方向 传播方向 纵波的传播特征
传播方向 振动方向 横波的传播特征
3
3.1.2 光的波动性
光具有波动的一切特征：如频率、波长、速度、振幅、相位等，且能在 真空中传播。
I2 = A2 (P)
ϕ0
Q
I1 r1
Q I2 r2
(4) 球面波的复振百度文库表达式
Ui(P) = a eiϕ(P) = a exp(iϕ(P))
ϕ (P)
rK =k
⋅
rK
r
+ ϕ0
=
±kr
+ϕ0
r = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2
特点： 振幅和相位因子均为坐标的二次函数
A(P) = A
(4) 平面波的复振幅表达式
Ui(P) = Aeiϕ(P) = A exp[iϕ (P)]
ϕ(P)
=
K k
⋅ rK
+ ϕ0
=
(kx x
+
ky
y
+
kz z)
+ ϕ0
特点：振幅是常数，相位因子是坐标的线性函数
9
例题分析
1、(a) 给出会聚于点Q(x0,y0,z0)的球面波的复振幅； (b) 给出从 点Q(x0,y0,z0)发出的球面波的复振幅； (c) 给出空间方向角分别 为α、β、γ传播的平面波的复振幅。
(
kr
−
ϕ
0
)]
(b) 同理：
复振幅为：
Ui ( P )
=
a r
exp[i(kr
+ ϕ0 )]
(c) 任取一场点P(x,y,z)，则源点(坐标原点)到场点的距离为
r = x2 + y2 + z2
源点Q处的初相位
点ϕ (PP处)的=相kK位⋅ rK分+布ϕ为0 ：= k (x cosα + y cos β + z cos γ ) + ϕ0
振幅大小为： A(P) = a
复振幅为：
Ui(P) = a exp{i[k(x cosα + y cos β + z cosγ ) +ϕ0 ]}
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§3.2 波前
3.2.1 波前的概念 3.2.2 傍轴条件与远场条件（轴上物点） 3.2.2 傍轴条件与远场条件（轴外物点）
3.2.1 波前的概念
波前：波场中的任一被考察平面，如物平面、像平面、 透镜平面，以及波场中任意被考察的平面。
+
K zk
K k
=
kkKˆ
=
K
k
x
i K
+
ky
K j
+
K
k K
z
k
K
= k (cosα i + cos β j + cos γ k )
ϕ
(
P)
=
K k
⋅
K r
+
ϕ0
= k(x cosα + y cos β + z cos γ ) + ϕ0
= (kxx + ky y + kz z) + ϕ0
(3) 振幅的特点
6）球面光波的波函数及其复振幅表示：
(1) 选振源处为计算起点
rK
=
JJJG QP
=
rrKˆ
=
r
kK
设：
E(Q,t) = A(Q) cos(ωt −ϕ0 ) K E(P,t) = A(P) cos[ωt − (k
⋅
K r
+
ϕ0
)]
(2) 初相位的特点
发散球面波：
rK =
rrKˆ
=
rkK
K k
=
kkKˆ
=
λ0 = n λ
2π kK ⋅ rK =
K k
⋅
rK
vλ
ϕ(P)
U
(
P,
t
)
= =
AA((PP))ccooss[[ωω(tt−−(τkK)⋅−rKϕ+0ϕ] 0
)]
初相位的物理意义：
（1）初相位表示一个振动的状态（振动方向，大小，变化趋势）； （2）通过比较初相位确定两个振动的超前与落后 —— 初相位越小
分布。
x
K
解：
k
振幅：
A(P) = a
位相分布：
ϕ(P) = k(x cosα + y cos β + z cosγ ) + ϕ0
Pθ
O
z
Σ Σ1
2
cosα = sinθ β = 900 z = 0 ϕ0 = 0
ϕ(P) = kx sinθ
z = 0平面上的复振幅分布: Ui (P) = a exp(ikx sinθ )
ω ：简谐振动的频率
3）光波场的标量化处理
a) 只考虑光波中振动矢量的某一分量； b) 在各向同性媒质中满足傍轴近似条件。
U ( p,t) = A( p) cos[ωt −ϕ( p)]
振幅分布
位相分布
4）定态光波的初位相：
ϕ0
振源处：
Q
U (Q,t ) = A(Q) cos (ωt − ϕ0 )
则P点振动表达式为：
引入波前的意义：实际问题中常常无需关心一个波场的实际 波面形状或波线轨迹，而只关心波场在某 一个特定波前上的复振幅分布。
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1) z=0平面波前上平面波和球面波的复振幅分布
已知一列平面波的传播方向平行于x-z面，与z 轴成倾角θ，设坐标原点
O所在波面的位相为 ϕ0 = 0 ，写出它在波前 z = 0 平面上的复振幅
解: (a) 任取一场点P(x,y,z)，则源点到场点的距离为
r = (x − x0)2 + ( y − y0)2 + (z − z0)2
点ϕP(处P的) =相kK位⋅分rK +布ϕ为0：= −kr + ϕ0
点源Q处的初相位
振幅大小为：
复振幅为：Ui (
E0 P)
(P) = a
=
a
r exp[−i
r
光波场的能流密度：
KK S = E×H =
εrε0 E2 ≈ n E2
µr µ0
cµ0
简谐波的光强度：
I
=
S
=
n 2cµ0
E02
∝
E02
4
3.1.4 定态光波及其复振幅描述
1）定态光波定义——满足条件a), b)的光波场
a) 空间各点均为同频率的简谐振动; b) 空间各点扰动的振幅形成稳定的空间分布而不随时间变化。
理想的定态光波是波列无限长的单色波。实际波源发出的波场并不 是严格意义上的定态波场，当波源发出的波列的持续时间远大于波 的振动周期时，才可以将其近似看作定态波场。
2）定态光波的波函数：
K
K
E( p,t) = E0 ( p) cos[ωt −ϕ( p)]
K
E0 ( p) ：电场矢量的瞬时值； ϕ ( p) ：初相位，与时间无关；
光波是一种电磁波，它是矢量横波。
对眼睛及其他光探测器有视觉反应的，主要是光波的电场强 度矢量E，故光波场的振动状态一般可由其电矢量表示，简称 为光波电矢量或光矢量。
在标量场近似下，光波场的波函数就是光矢量的复振幅，单色光波即简谐波。
真空中的光速：
c= 1 ε 0 µ0
介质中的光速：
v= c =c εrµr n
U (P,t) = A(P) cos[ωt − ϕ(P)]
复振幅与波形具有一一对应的关系
Ui (P,t) = A(P)ei[ϕ( e P)] −iωt
单色波场中： Ui(P) = A(P)eiϕ (P) = A(P) exp[iϕ(P)]
定态光波的复振幅
光强度：
I = A( p)2 = Ui(P) ⋅Ui*(P)
分别写出z 轴上物点O1(0, 0, −R)和z 轴外物点O1(x1, y1,−R)发出的发散球
面波在平面 z = 0 上的复振幅分布，设初位相均为 ϕ0 = 0 。
解：
x
Ui(P) = a eiϕ(P) = a exp[iϕ(P)]
r
ϕ(P)
=
K k
⋅
rK
r
+ ϕ0
=
kr
O1 R
O
z
(a) 轴上源点
8
7）平面光波的波函数及其复振幅表示：
x
(1) 选坐标原点为计算起点
K r
=
JJJG OP
=
rrKˆ
设： E(O,t) = A(O) cos(ωt −ϕ0 )
O
E ( P, t )
=
A(P)
cos[ωt
−
K (k
⋅ rK
+ ϕ0 )]
K
k
K r
P
z
(2)
初相位的特点
rK = rrKˆ
=
K xi
+
K yj
3.1.3 光的电磁性质
光波和电磁波都可以在真空中传播，且传播速度与电磁波相同； 介质对光波以及电磁波的折射特性同样起因于介质的介电性质； 光波具有偏振性质，是一种横波，而电磁波的电场强度矢量及磁场 强度矢量均正交于传播方向，表明电磁波也是一种横波，具有偏振 性质； 用电磁场理论对光的各种偏振现象所作的理论解释均与实验观察结 果相符合。
各向同性介质中，波线为与波面处处正交的三维曲线族。
(2) 平面波和球面波
平面波——波面为平面
球面波——波面为球面
y, z k, r
k
x
等相面 平面波的波面和波线
发散球面波的波面和波线
2
(3) 平面波和球面波的特征
平面波对应于无限远处理想点源发出的波； 球面波对应于有限远处理想点源发出的波。 平面波是波面曲率半径趋于无限大时的球面波。 说明： 讨论球面波和平面波问题具有普遍意义
r = (x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2
z = 0 平面上有:
Ui1(x, y) =
z0 = −R
x0 = y0 = z = 0
a
exp(ik x2 + y2 + R2 )
x2 + y2 + R2
12
x
Ui (P) = a eiϕ(P) = a exp[iϕ (P)] O2 R
（或者越负）振动越超前，初相位越大（或者越正）振动越落后。
相位与光程的关系：
光程：
ϕ
(
P)
=
K k
⋅
rK
+
ϕ0
(QP)
=
nkKˆ0
⋅
K r
ϕ(P)
=
K k
⋅
K r
+ ϕ0
=
2π λ0
(nkK
⋅
K r)
+ ϕ0
=
k0 (QP)
+ ϕ0
6
5）定态光波的复振幅表示及其光强表示式：
将简谐式对应成复指数形式——运算方便
U (P,t) = A(P) cos[ω(t −τ ) −ϕ0 ]
Kτ rP
Ξ1 x Ξ2
Q′
τK r
P
Q
z
5
波矢：
G k
=
kkKˆ
=
2π
kKˆ
λ
G k0
=
k 0 kKˆ0
单位矢量
kKˆ=或2λπ0kKˆ0kKˆ的0 方向(真为空波中的的传波播矢方)向
k = nk0
ωτ
v= =ω
λν
kK
⋅
K r