高中数学复合函数练习题

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B ，若A ⊇Ｂ，

则y 关于ｘ函数的y=ｆ[ｇ（ｘ）]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题: (一）例题剖析: (1)、已知

f x ()的定义域,求[]f

g x ()的定义域

思路：设函数

f x ()的定义域为D,即x D ∈,所以f

的作用范围为D ，又ｆ对g x ()作用，作用范围

不变，所以D x g ∈)(，解得x

E ∈,Ｅ为[]f g x ()的定义域。

例1. 设函数

f u ()的定义域为（0，１)，则函数f x (ln )的定义域为_______＿＿_＿__。

解析:函数

f u ()的定义域为(０，1）即u ∈()01，,所以f

的作用范围为（0,1)

又ｆ对ｌｎx 作用，作用范围不变,所以01<

解得x

e ∈()1，，故函数

f x (ln )的定义域为(1,e ）

例2． 若函数f x x ()=

+1

1

，则函数[]f f x ()的定义域为___＿________＿＿。 解析：由

f x x ()=

+1

1

,知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f （x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1,即[]f f x ()中ｘ应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩

1

1(){}x R x x ∈≠-≠-|12且

（２)、已知[]f g x ()的定义域,求f x ()的定义域

思路:设

[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈,所以f 的作用范围为Ｅ，又f 对x 作

用,作用范围不变，所以x

E E ∈，为f x ()的定义域。

例3． 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_______＿＿。

解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ，

即函数

f x ()的定义域为[]-15，

例４. 已知f x x

x ()lg 22

2

48

-=-,则函数

f x ()的定义域为______＿_____＿_。

解析：先求f 的作用范围，由

f x x x ()l

g 2

2248-=-，知x x 2

2

8

0->f x ()的定义域为

()4，+∞

(3）、已知

[]f g x ()的定义域,求[]f h x ()的定义域

思路:设

[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈,由此得g x E ()∈,f

的作用范围为E,又f 对h x ()作用,

作用范围不变,所以h x E ()

∈,解得x F ∈,F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数

f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (lo

g )2的定义域为___＿＿_＿＿＿__＿。

解析:

f x ()2的定义域为[]-11，,即[]x ∈-11，，由此得2

122x

∈⎡⎣⎢⎤

⎦

⎥， f

的作用范围为

122，⎡⎣⎢⎤⎦

⎥又f 对log 2x 作用,所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，,解得[

]

x ∈24

，

即

f x (lo

g )2的定义域为

[

]

24

，

（二）同步练习:

1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数

)x (f 2

的定义域。答案:]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。答案:]9,3[-

3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-,求|)1x 2(|f -的定义域。答案:

)23,1()0,21(⋃- 三、复合函数单调性问题

（1)引理证明

已知函数

))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数,其值域为(c ，ｄ)，又函数

)(u f y =在区间(ｃ，ｄ)上是减函数,那么,原复合函数))((x g f y =在区间b a ,(

）上是增函数.

证明:在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ,使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,()上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )

(22x g u =即),(,21,21

d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，

故函数

))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.

（２)．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表：