线性代数在实际生活中的应用

线性代数在生活中的实际应用

大学数学就是自然科学的基本语言,就是应用模式探索现实世界物质运动机理的主要手段。学习数学的意义不仅仅就是学习一种专业的工具而已。 ;;;初等的数学知识 学习线性代数数学建模 函数模型的建立及应用,作为变化率的额倒数在几何学、物理学、经济学中的应用,抛体运动的数学建模及其应用,最优化方法及其在工程、经济、农业等领域中的应用,逻辑斯谛模型及其在人口预测、新产品的推广与经济增长预测方面的应用,网络流模型及其应用,人口迁移模型及其应用,常用概率模型及其应用,等等。

线性代数中行列式 实质上就是又一些竖直排列形成的数表按一定的法则计算得到的一个数。早在1683年与1693年,日本数学家关孝与与德国数学家莱布尼茨就分别独立的提出了行列式的概念。之后很长一段时间,行列式主要应用与对现行方程组的而研究。大约一个半世纪后,行列式逐步发展成为线性代数的一个独立的理论分支。1750年瑞士数学家克莱姆也在她的论文中提出了利用行列式求解线性方程组的著名法则——克莱姆法则。随后1812年,法国数学家柯西发现了行列式在解析几何中的应用,这一发现机器了人们对行列式的应用进行探索的浓厚兴趣。如今,由于计算机与计算软件的发展,在常见的高阶行列式计算中,行列式的数值意义虽然不大,但就是行列式公式依然可以给出构成行列式的数表的重要信息。在线性代数的某些应用中,行列式的只就是依然非常重要。

例如:有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥每千克含氮70克,磷8克,钾2克;乙种、 化肥每千克含氮64克,磷10克,钾0、6克;丙种化肥每千克含氮70克,磷5克,钾1、4克.若把此三种化肥混合,要求总重量23千克且含磷149克,钾30克,问三种化肥各需多少千克？ 解:

题意得方程组

依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥３２,1x x x

⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++.

304.16.02,1495108,23321

321321x x x x x x x x x ,527-

=D 此方程组的系数行列式81275

81

321-=-=-=D D D ，，又 由克莱姆法则,此方程组有唯一解:3=x １;52=x ;.153=x 即甲乙丙三种化肥各需 3千克 5千克 15千克、

矩阵实质上就就是一张长方形的数表,无论就是在日常生活中还就是科学研究中,矩阵就是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度

表、车站时刻表、价目表、故事中的证劵价目表、科研领域中的数据分析表,它就是表述或处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重要作用主要就是它能把头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出来,使我们不至于背一些表面瞧起来杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系,并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。它也就是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。矩阵的运算就是非常重要的内容。

例:计算⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----------⨯n n n

n n

n n n n n n n

n n

n 11111

1

11

112

解:

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------

-

-n n n n n

n n n n n n n n 111111

1

1

1

1 ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛---------=11

1

11111112

n n n n

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛---------=

1111111

1112

2

n n n n

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛---------=)1()1()

1(12n n n n n n n n

n n n n n

⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-------

-

-=n n n n n n n n n n n n 111111111

.,,2是幂等矩阵所以在此例中A A A =

矩阵的初等变化,矩阵的秩,初等矩阵,线性方程组的解。向量组的线性相关,向量空间,向量组的秩,n 维向量。这些都就是线性代数的核心概念。线性代数在应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长。而这一性能伴随着计算机软硬件的不断创新提升,最终,计算机并行处理与大规模计算的迅猛发展将会吧计算机科学与线性代数紧密的联系在一起并广泛应用于解决飞机制造,桥梁设计,交通规划,石油勘探,经济管理等科学领域。线性模型比复杂的非线性模型更易于用计算机进行计算。线性方程组应用广泛。主要有网络流模型,人口迁移模型,基因问题,求血液的流率与血管分支点出的压强等等。线性方程组的解法其中至关重要的

例如 求解齐次线性方程组

.0

34022202432

143214321⎪⎩⎪

⎨⎧=---=--+=+++x x x x x x x x x x x x 解:施行初等行变换：对系数矩阵A

⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=34112212122

1A 1312~

2r r r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------46304630122

1)3(~

2

23-÷-r r r ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛00003421012

21 ~221r r -⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

--0000342

1035201即得与原方程组同解的方程组⎪⎩

⎪⎨⎧=++=--,0342,0352432431x x x x x x 由此即得⎪⎩

⎪⎨

⎧

--=+=,

34

2,352432431

x x x x x x ).,(43可任意取值x x 形式，把它写成通常的参数令2413,c x c x ==

⎪⎪⎪⎩⎪⎪

⎪⎨⎧

==--=+=,

,

,

342,3

522413222

221

c x c x c c x c c x

方阵的特征值、特征向量理论及方阵的相似对角化的问题,这些内容不仅在数学本身的研究中具有重要的作用,在其她的许多科学领域中也有重要的应用。例如,在生物信息学中,人类基因的染色体图谱在进行DNA 序列对比就是就用到了矩阵的相似,这个概念。线性代数学习对数学建模十分必要。那么, 为什么线性代数得到广泛运用, 也就就是说, 为什么在实际的科学研究中解线性方程组就是经常的事, 而并非解非线性方程组就是经常的事呢? 这就是因为, 大自然的许多现象恰好就是线性变化的。按照辩证唯物主义的观点, 世间的一切事物都就是在不断地运动着的、所谓运动, 从数学上描述, 就就是随时间而变化, 因此, 研究各个量随时间的变化率, 即导数, 与各个量的大小之间的关系, 就就是非常重要的、 以下为线性代数实际解决的应用问题: 例1: 基因间“距离”的表示

在ABO 血型的人们中,对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A 1,A 2,B,O 区别开,有人报道了如下的相对频率,见表1、1。

表1、1基因的相对频率

.1034350122214321⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪

⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∴c c x x x x