6.2 不动点迭代法及其收敛定理
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
一元方程的不动点迭代法
第六章非线性方程组的迭代解法
例6.5 已x知 (x)的 '(x)满足 '(x)31 ,试问如
利用 (x)构造一个收敛的代 简函 单数 迭？
解 由x(x)，可得
x3x(x)3x,
即可得等价方程
因此，令
x 1(3x(x))。 (2x)1(3x(x))
其中 在x与y之间，从而 6.2.4条 ）件 成（ 立。
第六章非线性方程组的迭代解法
由估计式（6.2.5）可知，只要相邻两次计算结果的偏差 xk xk1
足够小，且L不很接近1，既可保证近似值 x k具有足够的精度。因
此，可以通过检查 xk xk1的大小来判断迭代过程是否终止。并
且，由（6.2.5）有
0。因为 (x)是连续函数，[a故 ,b]上 它有 在零点， (x)既 在[a,b]上有不动 x*。点若 (x)在[a,b]上有两个相异的
x1*,x2*,则有
第六章非线性方程组的迭代解法
x 1 * x 2 *( x 1 * ) ( x 2 * ) L x 1 * x 2 * x 1 * x 2 * ,
ek 1 ekp
c
（6.2.8）
则称序 xk是 列 p阶收敛的 p1时 ，， 当称为线
敛。 p 当 1时，称为超线 当 p 性 2时 收， 敛称 。为
方收敛。
式 6 .2 （ .8 ）表 k 明 时 ， e k ， 1 是 e 当 k 的 p 阶无穷 因此，p阶 越数 大，收敛越是 快线 。性 如收 果敛的，
(Lp1 L1)xk1xk。
因 0 L 为 1 ， ( 1 从 L ) 1 而 L k 1 L L p 1 , k 0 xk pxk1 1 Lxk 1xk 1 L Lxkxk 1。
函数迭代与不动点迭代法
函数迭代与不动点迭代法函数迭代和不动点迭代法是数值分析中常用的数值迭代方法，用于求解方程或优化问题。
它们在不同的应用领域都有广泛的应用，并且具有简单易懂、易于实现等优点。
本文将介绍函数迭代的基本原理和步骤，并详细介绍不动点迭代法的定义、性质以及求解过程。
函数迭代函数迭代是一种基本的数值迭代方法，用于求解非线性方程或优化问题。
它的基本思想是通过多次迭代，使得每次迭代得到的结果趋近于方程的根或优化问题的极值点。
函数迭代的基本步骤如下：1.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
2.根据迭代公式x n+1=f(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
3.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第2步。
函数迭代的收敛性与迭代函数f(x)的选择密切相关。
如果函数迭代收敛，即x n收敛于方程的根或优化问题的极值点，那么我们可以通过多次迭代得到近似解。
反之，如果函数迭代发散或者收敛速度非常慢，那么我们需要考虑其他的数值方法。
不动点迭代法不动点迭代法是函数迭代的一种特殊形式，它通过将方程转化为f(x)=x的形式，求解方程的根或优化问题的极值点。
不动点迭代法的基本思想是选择一个适当的迭代函数g(x)，通过迭代公式x n+1=g(x n)，不断迭代，直到找到满足f(x)=x的不动点。
不动点迭代法的步骤如下：1.将方程f(x)=x转化为g(x)=x的形式，即f(x)=x等价于g(x)−x=0。
2.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
3.根据迭代公式x n+1=g(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
4.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第3步。
不动点迭代法的关键是选择合适的迭代函数g(x)。
迭代函数g(x)应该满足以下条件：1.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，迭代函数g(x)的导数g′(x)存在且连续。
2.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，满足|g′(x)|<1。
§2 不动点迭代
(2.7)
则称该迭代法为Q-超线性收敛．
现在来讨论迭代法(2.5)的收敛性和收敛速度问题． 若存在 x* R n ,使得
x* ( x* ),
n n 则称 x* 为映射 : R R 的一个不动点.例如, : R R 定义为 ( x) x 2 ,
f ( x) 0,
其中
(2.2)
x1 f1 ( x1 , , xn ) 0, f1 ( x) 0, x f ( x , , x ) 0, f ( x) 0, 2 n 2 . x , f ( x) 2 1 x f ( x , , x ) 0 f ( x ) 0 n n n 1 n
0,
从而有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x).
* * 设 x 是非线性方程组 f ( x) 0 的一个解,x0 是 x* 的一个近似.令x x x0 ,
则
f ( x0 ) f ' ( x0 )(x* x0 ) 0.
现考虑线性方程组
由于 0 C 1 ,因此 再据不等式
lim xk x* .
k
xk 1 x * C xk x * ,0 C 1,
知,迭代序列 {xk }至少为线性收敛.
关于不动点的存在唯一性以及误差估计,我们有下面的定理． 定理2( 压缩映射原理 ) 射,即它满足条件： 设D为 R n 中的一个闭集 : D D 为压缩映
还有另一个不动点 y* ,则据(2.13)式,必有
x* y * ( x* ) ( y * ) C x* y * .
不动点法原理
不动点法原理不动点法是一种数值计算方法，用于寻找方程$f(x)=x$ 的解，其中 $f(x)$ 是一个给定的函数。
它的原理是通过迭代的方式逼近不动点，即在每一次迭代中，将上一次迭代得到的结果作为输入，通过函数计算得到新的结果，直到满足某个终止条件为止。
具体来说，假设我们要解方程 $f(x)=x$，首先选择一个初始值$x_0$，然后迭代地计算 $x_1=f(x_0), x_2=f(x_1), x_3=f(x_2),\ldots$，直到达到满足终止条件的解。
终止条件可以是两次迭代之间的解的差值小于某个给定的阈值，或者设定一个最大迭代次数。
不动点法的关键是选择一个合适的函数 $f(x)$，使得方程$f(x)=x$ 的解也是 $f(x)$ 的不动点。
这通常可以通过对原方程进行变换得到。
一般来说，选择一个合适的初始值也对迭代的结果产生影响，过大或过小的初始值都可能导致迭代发散或者无法收敛到正确的解。
举个例子来说明不动点法的应用。
假设我们要解方程 $x^2-3x+2=0$，可以将这个方程变形为 $x=g(x)$ 的形式，其中$g(x)$ 是一个适当的函数。
我们可以令 $g(x)=x^2-3x+2$，这样原方程的解也就成了 $g(x)$ 的不动点。
选择一个初始值$x_0=0$，经过迭代计算，我们可以得到 $x_1=g(x_0)=-2,x_2=g(x_1)=0, x_3=g(x_2)=0, \ldots$，当迭代到 $x_2$ 时，解已经收敛，并且满足 $g(x_2)=x_2$，因此 $x_2$ 就是原方程的一个解。
总结来说，不动点法通过迭代计算来逼近方程$f(x)=x$ 的解，关键是选择适当的函数 $f(x)$ 和初始值 $x_0$，从而找到方程的不动点作为解。
《迭代法的收敛定理》课件
探索迭代法的基本概念、原理和应用，了解其令人着迷的收敛性质和常见的 收敛定理，并深入分析和实践应用。
迭代法的基本概念
通过逐步逼近的方式解决学问题。了解如何选取初始值和迭代函数，掌握迭代过程和迭代序列的特点。
迭代法的原理和应用
深入理解迭代法的工作原理，及其在数值计算和优化问题中的广泛应用。探 索迭代算法的灵活性和效率。
收敛定理的证明方法
介绍证明收敛定理的常见方法，如数学归纳法、反证法和递推关系法。演示具体应用并讨论证明的合理性。
例题分析和实践应用
通过实际例题的分析和解决，加深对迭代法和收敛定理的理解。展示迭代法 在实践中的应用和效果。
迭代法的收敛性质
研究迭代法的收敛性质，包括局部收敛、全局收敛和收敛速度。掌握如何评估和优化迭代算法的收敛性。
收敛定理的定义
介绍收敛定理的概念和定义。了解不同类型的收敛定理，如不动点定理、收敛性判别定理等。
常见的收敛定理
详细说明常见的收敛定理，如Banach不动点定理、Newton-Raphson法的收敛 性等。展示定理的应用和实例。
不动点收敛定理
不动点收敛定理引言：在数学中，不动点收敛定理是一种重要的收敛性证明方法，它在多个领域有着广泛的应用。
不动点收敛定理指出，对于某种函数或操作，如果存在一个不动点，即函数或操作的输出与输入相等的点，那么通过迭代运算，可以将输入逐步靠近不动点，从而实现收敛。
本文将介绍不动点收敛定理的基本概念、原理以及应用。
一、不动点的定义：在函数论中，给定一个函数 f(x)，如果存在一个实数 a，使得 f(a) = a，那么 a 就是函数 f(x) 的不动点。
不动点可以看作是函数f(x) 的输入与输出相等的点，即满足 f(a) = a 的点。
二、不动点收敛定理：不动点收敛定理是指，如果一个函数 f(x) 在某个区间上连续且导数存在，且在该区间上 f'(x) 的绝对值小于 1，那么通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，其中 x_0 是初始值，可以将 x_n 逐步靠近不动点 a。
定理的证明如下：假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且导数存在，且在该区间上f'(x) 的绝对值小于 1。
我们设 x_0 是初始值，通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，我们希望证明 x_n 逐步靠近不动点 a。
根据函数的导数存在性，我们可以使用拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，存在一个点c，使得f(c) - f(x_0) = f'(c)(x_0 - c)。
由于 f'(x) 的绝对值小于 1，所以 |f'(c)| < 1，从而我们可以得到 |f(c) - f(x_0)| < |x_0 - c|。
接下来，我们将证明在每一步迭代中，x_n 与不动点 a 的差值不断减小。
假设在第 n 步迭代后，x_n 与不动点 a 的差值为 d_n = x_n - a，那么根据迭代运算有 x_{n+1} = f(x_n)。
我们可以将x_{n+1} 和 a 分别表示为 x_{n+1} = a + d_{n+1} 和 a + d_n，其中 d_{n+1} = x_{n+1} - a。
6.2 一元方程的不动点迭代法
这 种 方 法 称 为 迭 代 法 （ 或 称 为 单 点 迭 代 法 ） , g () x 称 为 迭 代 函 数 。
迭代结果列于表 62 。此方程有唯一实根 x* 1 .324717
5724475 。显然第一个迭代法收 敛，第二个迭代法 。
表 6-2 0 1 k 1.5 1.3572088 3 x 1 k 1 1.5 3 1 xk 2.3750000 0 例 6.3 解 2 1.3308609 6 12.396484 4 11 … 1.32471796 …
6.2 一元方程的不动点迭代法
6.2.1 不动点迭代法及其收敛性
6.2.2 局部收敛性和加速收敛法
迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程， 超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及 收敛快慢的问题。 为用迭代法求解f (x)=0的近似根，首先需将此方程化为 等价的方程 x=g(x) (6.2.1) 然而将 f (x)=0 化为等价方程（1）的方法是很多的。
1.0 0.523599 0.023601 -0.496555 -1.487761
7
x
k
k
3.6 10
例6.2 解
3 求 f (x ) x x 10 的一个实根。
把 f (x) 0转换成两种等价形式
x ( x ) x 1 , x ( x ) x 1 , 1 2
例 ： 对 上 例 中 方 程 考 查 用 迭 代 法 求 根
不动点迭代法 c++
不动点迭代法 c++对于给定的函数f(x)，当x满足f(x)=x时，我们称x为函数f(x)的不动点。
如果一个函数存在不动点，那么我们可以通过不动点迭代法求出这个不动点的近似解。
不动点迭代法的基本思路是，给定一个初值x0，通过迭代计算得到下一个近似解x1=f(x0)，然后用x1代替x0，继续迭代计算直到满足要求或者达到一定的迭代次数。
具体的迭代公式为：xi+1=f(xi)。
不动点迭代法的收敛性分为局部收敛和全局收敛。
局部收敛是指，如果初值x0足够接近不动点，则可以收敛到不动点附近；全局收敛是指，对于任意的初值x0，都能够收敛到不动点。
对于不动点迭代法的实现，需要注意一些问题。
首先，需要选取适当的初始值和迭代次数，以保证方法的有效性和精度。
其次，需要考虑迭代公式的稳定性和收敛速度，采用数值计算常用的牛顿迭代法、简单迭代法等迭代公式可以提高计算效率和准确性。
下面是一段用C++实现的不动点迭代法的示例代码：```cppdouble fixed_point_iteration(double(*f)(double), double x0,int max_iter, double tol) {double x = x0;for (int i = 0; i < max_iter; i++) {double x_next = f(x);if (abs(x_next - x) < tol) {return x_next;}x = x_next;}return x;}```在这段代码中，f是待求的不动点函数，x0是初始值，max_iter 是最大迭代次数，tol是容差限制，用于判断迭代是否达到收敛。
函数返回最终的不动点近似值。
总之，不动点迭代法是数值计算中常用的求解方程的方法之一，其基本思想简单易懂，并且在实际应用中有着广泛的应用。
关于不动点和不动点集的若干定理
不动点是指某一迭代函数的固定点，即对于某个函数f(x)，若存在一个数x0使得f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的不动点。
不动点集是指所有不动点的集合。
关于不动点和不动点集的若干定理如下：
1.单调迭代定理：如果函数f(x)是单调的，且对于任意x均有|f'(x)|<1，
则函数f(x)有唯一不动点。
2.拉格朗日不动点定理：对于函数f(x)，若存在一个不动点x0使得
f(x0)=x0，则x0必定是函数f(x)的拉格朗日不动点。
3.不动点的收敛性定理：如果函数f(x)的不动点集有限，则该函数的
迭代序列必定收敛。
4.不动点的稳定性定理：如果函数f(x)的不动点集有限，则该函数的
不动点必定是稳定的。
以上是关于不动点和不动点集的若干定理。
这些定理在数学和计算机科学等领域有广泛的应用，例如在数值分析中，可以利用不动点定理解决方程组的求解问题；在机器学习中，可以利用不动点集的收敛性
定理来控制学习算法的迭代次数；在图像处理中，可以利用不动点的稳定性定理来保证图像处理算法的稳定性等。
总的来说，不动点和不动点集是数学中重要的概念，它们在许多领域有广泛的应用，对我们解决实际问题具有重要的意义。
泛函分析中的不动点迭代方法
泛函分析中的不动点迭代方法泛函分析是数学的一个分支，研究的是无穷维空间中的函数和算子。
不动点迭代方法是泛函分析中一种重要的解题技术，用于寻找函数的不动点。
本文将介绍不动点迭代方法的基本原理和应用。
一、不动点的定义与性质在泛函分析中，我们考虑函数f：X→X，X是一个完备的度量空间，如果存在一个元素x∈X，使得f(x)=x，则称x为函数f的不动点。
不动点的存在性是泛函分析中一个重要的问题，不动点迭代方法正是为了寻找这些不动点。
对于给定的函数f，如果存在一个映射T：X→X，使得对任意的x∈X，迭代序列xn+1=T(xn)收敛于函数f的不动点x∗，那么我们称T为不动点迭代方法。
二、不动点迭代方法的基本原理不动点迭代方法的基本思想是通过构造一个适当的映射T，使得序列的迭代过程逐渐靠近函数的不动点。
具体来说，我们从一个初始点x0开始，通过迭代公式xn+1=T(xn)不断更新序列的值，直到收敛于函数的不动点x∗。
不动点迭代方法的收敛性分析是泛函分析中的一个重要问题。
根据Banach不动点定理，如果映射T满足以下条件：(1) T是一个压缩映射，即存在一个常数0≤k<1，对于任意的x，y∈X有d(T(x),T(y))≤k·d(x,y)，其中d(·,·)表示X中的度量；(2) X是一个完备度量空间。
那么不动点迭代方法序列xn收敛于T的不动点x∗，且收敛速度是指数级的。
三、不动点迭代方法的应用不动点迭代方法在泛函分析中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 方程求解：对于某些非线性方程，可以通过将其转化为函数的不动点问题，然后利用不动点迭代方法求解。
例如，考虑方程f(x)=0，可以构造映射T(x)=x-g(x)，其中g(x)=f(x)+x，通过迭代序列xn+1=T(xn)求解方程。
迭代过程中，不断逼近方程f(x)=0的解。
2. 最优化问题：不动点迭代方法也可以应用于最优化问题的求解。
不动点迭代法收敛速度判断准则
一、概述不动点迭代法是数值分析中常用的一种数值求解方法，广泛应用于求解方程及优化问题。
而判断不动点迭代法的收敛速度，对于有效地应用该方法具有重要意义。
本文将针对不动点迭代法的收敛速度判断准则展开讨论，以期为相关领域的研究和应用提供一定的参考。
二、不动点迭代法概述不动点迭代法（Fixed-Point Iteration Method）是一种通过不断迭代逼近解的常见求解方法。
其基本思想是利用迭代公式不断更新初始值，直至满足一定的条件为止。
其迭代公式通常具有如下形式：xn+1 = g(xn)其中，xn为第n次迭代的近似解，xn+1为第n+1次迭代的近似解，g(x)为迭代函数。
不动点迭代法的核心在于选择合适的迭代函数g(x)，并通过迭代逼近不动点，即满足x = g(x)的点，从而得到近似解。
三、不动点迭代法的收敛速度不动点迭代法的收敛速度是指在迭代过程中，解逼近真实解的速度。
通常情况下，我们希望迭代能够快速收敛，即在迭代次数较少的情况下就能得到满足精度要求的近似解。
判断不动点迭代法的收敛速度是一个至关重要的问题。
四、判断不动点迭代法收敛速度的准则判断不动点迭代法收敛速度的准则有多种，下面将介绍几种常用且较为实用的方法：1. 利普希茨常数条件利普希茨常数条件是判断不动点迭代法收敛速度的重要准则之一。
对于迭代函数g(x)，如果存在一个常数L，满足对于任意x1和x2有： |g(x1) - g(x2)| <= L|x1 - x2|则称L为迭代函数g(x)的利普希茨常数。
此时，如果L < 1，则不动点迭代法收敛速度较快，反之则收敛速度较慢。
2. 收敛域分析收敛域分析是判断不动点迭代法收敛速度的另一种常用准则。
通过对迭代函数的性质进行分析，可以确定不动点迭代法的收敛速度。
对于某些特定的函数形式，可以利用收敛域的性质来判断不动点迭代法的收敛速度。
3. 收敛速度估计收敛速度估计是通过对迭代过程中的误差进行分析，从而估计不动点迭代法的收敛速度。
迭代法的收敛定理
一、基本收敛定理
The Fundamental convergence theorem
Theorem :for any initial value x (0) R n, the fundamental iterative method defined
by x(k+1)=Bx(k)+f (k=0,1,2,…) converges to the unique solution of x=Bx+f if only if
1.25 x1 3.69 x2 12.37 x3 0.58 10.01x1 9.05 x2 0.12 x3 1.43 1.22 x 4.33x 2.67 x 3.22 1 2 3
无法直接判断Jacobi 迭代法和G-S迭代法的收敛性，但如果 将方程组的次序修改为
对角占优矩阵
diagonally dominant matrix
如果线性方程组AX=b的系数矩阵A具有某种特殊性质 （如对称正定、对角占优等），则可从A本身直接得出某些 迭代法收敛性结论。 定义3.1 如果矩阵A满足条件
aii aij
j i
(i 1,2,
, n)
(2)
则称A是严格对角占优阵(strictly diagonally dominant matrix)； 如果矩阵A满足条件 aii aij (i 1,2, , n) (3)
在偏微分方程数值解中，有限差分往往导出对角占优的 线性代数方程组，有限元法中的刚性矩阵往往是对称正定阵， 因此这两个判断定理是很实用的。 对于给定的线性方程组，借助于定理3.3和定理3.4可 以直接判断Jacobi 迭代法和G-S迭代法的收敛性。 但同时应当注意，迭代法收敛与否与方程组中方程排列 顺序有关，如线性方程组
不动点迭代法的全局收敛性
N (x* ) [x* , x* ]( 0) 使对任意
x0
N (x*),迭代xk1
(x k
),
k
0,1,2,
产生的迭
(x*)
2013/9/30
14
不动点迭代法的一般理论（续）
证明：
1.由于(x)在[a,b] 上连续，作辅助函数 (x) (x) x,
则 (x) C[a,b]且， (a) (a) a 0, (b) (b) b 0
故由连续函数的介值定理，至少存在
x* [a, b]使 (x*) 0,即(x*) x*
2013/9/30
19
不动点迭代法的一般理论（续）
Remark2：不动点定理还可以叙述为：若 (x) 为定义 在区间[a,b]上的压缩映射，则 (x) 在区间[a,b]上存在 唯一的不动点。
Remark3：不动点定理的两个误差估计式实际上给出 了迭代收敛的两个准则：事后误差估计与事先误差估 计（利用估计式预先求出迭代次数k）。
(x1) (x2 ) L x1 x2
则称 (x)为区间[a,b]上的一个压缩映射，L为Lipschitz常 数。关于压缩映射有如下结论：
（1）若 (x) 为区间[a,b]上的压缩映射，则称 (x)必为区 间[a,b]上的连续函数。
（2）若 (x)为区间[a,b]自身上的映射，(x)C[a,b] 且(x) L 1，则 (x) 必是区间[a,b]上的一个压缩映射。
且当x[a, b]时，(x) 1 ，则对任意初值x0 [a,
b]，且x0 x* ，迭代格式 xk1 (xk ) ， k = 0, 1,
2, 发散．
证明 由x0 [a, b]，且x0 x* ，知
x1 x*
(x ) (x*) 0
6.2 不动点迭代法及其收敛定理
e 10
x0
0.1
x1 = 0.1000000 x2 = 0.0894829 x3 = 0.0906391 x4 = 0.0905126 x5 = 0.0905265 x6 = 0.0905250 x7 = 0.0905251
d1 = 0.1000000 d2 = -0.0105171 d3 = 0.1156e-002 d4 = -0.1265e-003 d5 = 0.1390e-004 d6 = -0.1500e-005 d7 = 0.1000e-006
对于预先给定的误差限 即要求|xk x*|
由(6)式,只要
L 1L
xk xk 1
因此,当
xk
xk 1
1 L
L
--------(8)
迭代就可以终止, xk可以作为方程的近似解
定义1：如果存在x* 的某个邻域 R : x x* ， 使迭代过程
xk1 (xk ) 对于任意初值 x0 R均收敛，则称迭代过程 xk1 (xk ) 在根 x* 邻近具有局部收敛性。
2!
( p1)(x*) (x x*) p1 ( p)(x*) (x x*) p
( p 1)!
p!
如果(x*) (x*) ( p1)( x*) 0
而 ( p)( x*) 0
(x) (x*) ( p)(x*) (x x*) p
p!
xk 1
(xk )
(
x
*)
(
p
f
( xn 2!
)
(
x
xn
)2
f ( x) f ( xn ) f '( xn )( x xn ) ——Taylor展开线性化
f(x)=0 近似于 f(xn)+ f′(xn)(x-xn)=0 (1)
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例4. 设f (a) 0,且f (a) 0,证明迭代法
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
至少是平方收敛的
注意例4与例3的迭代法是相同的,两例有何区别?
x0 0
x1 2 x03 1 1 x2 2 x13 1 3
x3 2 x23 1 55
显然迭代法发散
(2) 如果将原方程化为等价方程
x3 x1 2
仍取初值 x0 0
x1 3
x0 1 2
3 1 2
0.7937
x2 3
x1 1 3
2
1.7937 0.9644
2
依此类推,得 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940
f
( xn 2!
)
(
x
xn
)2
f ( x) f ( xn ) f '( xn )( x xn ) ——Taylor展开线性化
f(x)=0 近似于 f(xn)+ f′(xn)(x-xn)=0 (1)
从(1)解出x, 记为xn+1 ,则
xn1 xn
f ( xn ) f ( xn )
(n 0,1,...)
f '' ( x*) 2 f '(x*)
c
证：将f(x)在 xn 处作2阶Taylor展开,并将解x*代入
0
f ( x*)
f ( xn )
f' ( xn )( x* xn
)
f
"(n
2!
)
(
x
*
xn
)2
x*
xn
f ( xn f' ( xn
) )
f"(n
2 f' ( xn
) )
(
x
*
xn
)2
xn1
x n1
x n
f ( xn ) f '( xn )
Newton迭代法又称切线法.
4. Newton迭代法收敛定理
定理 设 f(x*)=0, f '( x*) 0 ,且在 x* 的邻域
上 f ''存在, 连续, 则可得
（1）Newton迭代公式在单根情况下至少2阶收敛;
lim （2） n
( xn1 x*) (xn x*)2
(2) 存在一正数L,满足0 L 1,且x [a, b], 有
|(x)| L
--------(5)
则1o. 方程x ( x)在[a, b]内有唯一解x *
2o.对于任意初值x0 [a, b], 迭代法xk1 ( xk )均收敛于x *
3o.
xk
x*
L 1 L
xk xk1
4o.
xk
x*
Lk 1 L
(1) x 2 x3 1 1( x ) ,迭代法发散.
(2)
x3
x 1 2
2( x ),可验证2( x )
1,x 0,1
迭代法收敛.
Newton 迭代法
1. Newton迭代公式建立
将f(x)在点xn作Taylor展开:
f (x)
f ( xn )
f '( xn )( x xn )
由于|( x)| L
xk 1 xk L xk xk1
xk1 xk L xk xk 1
xk1 x * L xk x * L xk1 x * (xk1 xk )
L xk1 x * L(xk1 xk )
xk 1
x
*
1
L L
xk 1 xk
xk
x
*
L 1L
xk xk 1
称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法
称 ( x)为迭代函数, 称xk为第k步迭代值
如果存在一点x*, 使得迭代序列{ xk }满足
lim
k
xk
x*
--------(4)
则称迭代法(3)收敛,否则称为发散
例1. 用迭代法求解方程 2x3 x 1 0
解: (1) 将原方程化为等价方程
x 2x3 1 如果取初值 x0 0,由迭代法(3), 得
且g(x*) 0, m 2
所以 f ( x) m(x x*)m1 g(x) (x x*)m g(x)
xk 1 xk
f (xk ) f (xk )
xk
m( xk
( xk x*)m g( xk ) x*)m1 g( xk ) ( xk x*)m g( xk )
xk
( xk x*)g(xk ) mg ( xk ) (xk x*)g(xk
y (x)
O x * x2
x1
(
x0
x
)在x
*
O
x1
附近较平缓
y (x)
yx
x3 x * x2 x0
yx
发散
y (x)
O x2
x1 x0 x *
O
x3 x1 x * x0 x2
(x)在x * 附近较陡峭
迭代过程的收敛性 定理1. 设迭代函数( x)在[a, b]上连续, 且满足
(1) 当x [a, b]时, a ( x) b;
0 ex 1, 2 10x 2
因此[0,0.2]为有根区间
本题迭代函数有两种构造形式
x
1(x)
2 ex 10
x 2(x) ln(2 10x)
由于|1( x)|
ex 10
e0.2 10
1
|2 ( x)|
2
10 10x
5
因此采用迭代函数
x
1(x)
2 ex 10
取初值
x0
x1
0
则f (x)在[a,b]上单调递增 , f (x) 0在[a,b]上仅有一个根
所以 1o. 方程x (x)在[a,b]内有唯一解 x *
2o. 对于迭代法 xk 1 ( xk ),
由微分中值定理
xk 1 x * (xk ) (x*) ( )( xk x*)
xk 1 xk (xk ) (xk 1 ) ( )( xk xk 1 )
x4 = 0.9990
同样的方程
不同的迭代格式
有不同的结果
x5 = 0.9998 x6 = 1.0000
迭代函数的构造有关
x7 = 1.0000 已经收敛,故原方程的解为
x 1.0000
什么形式的迭代法
能够收敛呢?
如果将(2)式表示为 yx
yx
y (x)
与方程(2)同解
yx
y (x)
收敛
2
e 10
x0
0.1
x1 = 0.1000000 x2 = 0.0894829 x3 = 0.0906391 x4 = 0.0905126 x5 = 0.0905265 x6 = 0.0905250 x7 = 0.0905251
d1 = 0.1000000 d2 = -0.0105171 d3 = 0.1156e-002 d4 = -0.1265e-003 d5 = 0.1390e-004 d6 = -0.1500e-005 d7 = 0.1000e-006
)(x p!
*)
(
xk
x*) p
xk 1
x
*
(
p)( x*) p!
(
xk
x*) p
(
(
p1)
p
( x*) 1)!
(
xk
x*) p1
xk 1 x * xk x * p
(
p ) ( x*) p!
(
(
p1)
p
( x*) 1)!
(
xk
x*)
( p)(x*) ,(k )
p!
即迭代法 xk 1 (xk )的收敛阶是 p
定理2
若x*是的不动点, 在x*的某邻域上存在 且连续, 并满足 0 | (x*) | 1, 则迭代过程 xk1 (xk ) 在x*的邻域是线性收敛的.
例2. 用迭代法求方程的近似解,精确到小数 点后6位
ex 10x 2 0 解: 由于ex 0,
则2 10x 0 x 0.2
x 0时,
( xn
) )
(
x
*
xn
)2
注意到ξn 在xn 及x*之间,及 lim xn x* ,故 n
xn1 x*
f"(n )
f"( x* )
xn x* 2 2 f' ( xn ) 2 f' ( x* )
0(二阶收敛)若 f "(x*) 0
0(大于二阶收敛)若 f "(x*) 0
所以，Newton法至少二阶收敛.
由于|d7| =0.1000e-006<1e-6
因此原方程的解为 x* x7 = 0.090525
迭代法收敛速度
由定理1的(7)式出,
L或|(x)|在[a,b]上越小, 迭代法收敛就越快
设ek xk x *
定义1.
若存在实数p 1和c 0满足
c lim
k
ek 1 ekp
--------(9)
)
xk 1
x
*
( xk
x*)( 1
mg (xk
)
g(xk ) (xk x*)g(xk
) )
lim xk 1 x * k xk x *
lim(1
g(xk )
)
k mg ( xk ) ( xk x*)g( xk )
1 1 m
m 2时,1 1 0 m
由定义1
该迭代法对 m( 2)重根是线性收敛的
则称迭代法p阶收敛,当p 1时称为线性收敛, p 1时