人教A版选修4-4极坐标系ppt课件
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1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ π 5π ，化简 sin ∠OPM sin ∠OMP sin 6－θ sin 6 1 1 得 ρ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin 6－θ sin 6－θ 1 答案： π sin 6－θ
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
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标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程ຫໍສະໝຸດ ，ρ的取值范围是什么？提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
2
[答案]
3
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标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教A版高中数学选修4-4课件：1.2.2极坐标与直角坐标的互化 (共17张PPT)
(2) 将点M的直角坐标( 3， 1)化成极坐标.
练习：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 ( 2 3 ,2) 极坐标
(4, ) 6
(0,1)
(3,0)
( 3, )
(1, ) 2
直角坐标 (3, 3 )
极坐标
5 (2 3 , ) 6
( 3 ,1) ( 5,0)
7 ( 2, ) 6
y x y , tan ( x 0) O x
x
M y N x
三、极坐标与直角坐标的互化 公式
y 直化极： x y , tan ( x 0) x
2 2 2
极化直： x cos , y sin
2 例 (1) 将点M 的极坐标(5, )化成直角坐标. 3
P
O X
线上取一点M，使OM= ;
如图示：
M
新课讲解
2、负极径的实例 在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置 [1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一 点M，使OM= 3; 如图示： M（－3，/4）
●
P
= /4
O X
M
新课讲解
3、关于负极径的思考 “负极径”真是“负”的吗？
极坐标与直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴 的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中 取相同的长度单位. 设M是平面内任意一 点，它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,). 从下图可以得出它们之间的关系：
x cos , y sin .
2 2 2
①y 由①又可得到下面的关系式：
于极点对称的点 的一个坐标是 (A)
A.(8, ) 6
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
人教A版高中数学选修4-4极坐标系 名师公开课市级获奖课件(29张)
，π ).
π π 解 (1)∵x＝ρcos θ ＝2cos 6 ＝ 3，y＝ρsin θ ＝2sin 6 π ＝1.∴点的极坐标2， 化为直角坐标为( 3，1). 6 π π (2)∵x＝ρcos θ ＝3cos 2 ＝0，y＝ρsin θ ＝3sin 2 ＝3. π ∴点的极坐标3， 化为直角坐标为(0，3). 2 (3)∵x＝ρcos θ ＝π cos π ＝－π ，y＝ρsin θ ＝π sin π ＝0.∴点的极坐标(π ，π )化为直角坐标为(－π ，0).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 3 表示为(
点 P 的直角坐标为( 2，－ 2)，那么它的极坐标可 )
3π B.2， 4 7π D.2， 4
2
π A.2， 4 5π C.2， 4
2
－ 2 解析 ∵ρ＝ （－ 2） ＋（ 2） ＝2，tan θ＝ ＝ 2 7π 7π －1，点 P 在第四象限，θ＝ .∴极坐标为2， . 4 4
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做 极点 ； 自
极点O引一条射线Ox，叫做 极轴；再选定一个长度单位 、 一 个
角度单位(通常取弧度)及其 正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ，这样 就建立了一个极坐标系. (2) 极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做 点M的 极径 ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的 极角 ，记为θ.有序数对(ρ，θ) 叫 做 点 M 的 极 坐标，记为 M(ρ，θ) . 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ可取 任意实数 .
预习导学
课堂讲义
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
2． 圆心在极点， 半径为 r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点(a， π 2)处且过极点的圆的方程又是什么？
提示：圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r；圆心 π 在点(a，2)处且过极点的题] [例1] 设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹
[通一类] π 2．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3，3)，半径为 3，Q 点在 圆周上运动． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹．
解：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连结 DQ、OQ， 则|OD|＝6， π ∠DOQ＝3－θ，
π π 或∠DOQ＝θ－3，∠DQO＝2. π 在 Rt△ODQ 中，|OQ|＝|OD|cos (θ－3)， π 即 ρ＝6cos (θ－3)． (2)若 P 的极坐标为(ρ，θ)，则 Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． π π ∴2ρ＝6cos (θ－3)，∴ρ＝3cos (θ－3)． ∴P 的轨迹是圆．
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[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
[精讲详析]
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos ∠COP， ∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)． 故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2＝1， 1＋cos θ ∴ρ· 2 ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2. ∴ x2＋y2＋x＝2.化简，得 y2＝－4(x－1)．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-3第一讲-坐标系
2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化 与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样， 以平面直角坐标系 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的 长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也 可以进行互相转化，设曲线上任意一点 M 的直角坐标与极坐标分 别为(x，y)和(ρ，θ)，则极坐标方程与直角坐标方程的互相转化公 式为：y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2.
【例 3】
π 在极坐标系中，圆 ρ＝4sinθ 的圆心到直线 θ＝6(ρ
∈R)的距离是________．
【解析】
圆 ρ＝4sinθ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，其
π 圆心为 C(0,2)，直线 l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0； 6 |0－2 3| 所以点 C 到直线 l 的距离是 d＝ ＝ 3. 2
【例 1】
求圆心在
并把它化为直角坐标方程． 【分析】 数形结合，先描绘圆的大致位置，找出圆上任一点 满足的几何条件．
【解】
如图，设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任意一点，连
3 接 OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－ π，∠BMO＝ 2 π 2.
从而△BOM 为直角三角形， 所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB. 即
与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|.
【解】
x＝ρcosθ， (1)因为 y＝ρsinθ，
所以 ρ2＝x2＋y2，
由 ρ＝2sinθ＋4cosθ，得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
1.2.2《极坐标和直角坐标的互化》 课件(人教A版选修4-4)
2.直角坐标系中，点（1， 3）的极坐标可以是( -
)
【解析】
3.把点的直角坐标(3,-4)化为极坐标(ρ ,θ )(ρ ≥0,0≤θ ＜
2π )，则( ) （B）ρ =5,θ =4
（A）ρ =3,θ =4
（C）ρ =5,tanθ = 4
3
（D）ρ =5,tanθ =-
4 3
x 3
【解析】选D.由公式得ρ= x 2 +y 2 = 32 +(-4) 2 =5, tanθ = y =- 4 ,
4 3
＜θ ＜π ,则 2
点M的直角坐标为_______.
【解析】∵tanθ= - ,
5 5 4 3 ＜θ＜π, 2
∴cosθ= - 3 ，sinθ= 4 , ∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4, ∴点M的直角坐标为(-3,4). 答案：(-3,4)
三、解答题（共40分）
x=2x 10.（12分）已知点P的直角坐标按伸缩变换 变换为点 y= 3y
B(2, 5 5 ),C( 3, ), 极点O(0,0), 6 3
2
(1)判断△OAB的形状; (2)求△ABC的面积. 【解析】方法一：
所给各点的直角坐标分别为A(0,2),B( - 3，1), C( 3 ,- 3 ),
2 2
O(0,0), (1)∵|AB|= (- 3-0) 2 +(1-2) 2 =2, |OA|=|OB|=2, ∴△OAB为等边三角形.
2 6 2 3
∠AOB=
设线段AB的中点为C， 则|OC|= 1 ，极径OC与极轴所成的角为 5 ,
2 12
所以线段AB中点C的极坐标为 ( 1 , 5 ).
2 12
人教A版数学选修4-41.3.1圆的极坐标方程课件
( 0, 0 )
0
0
r
P(, )
ห้องสมุดไป่ตู้
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
归纳总结
（1）求曲线的极坐标方程与直角坐标系里的情况一
样，就是找出动点M的坐标与之间的关系，然后列
出方程f (, )=0，再化简并检验特殊点．
（2）极坐标方程涉及的是长度与角度，因此列方程
(x-3)2+y2=9
2、圆心（0，3）半径为3
极坐标系
极坐标图形
圆心（3，0）半径为3
=6cos
O
x
C(3,0)
圆心（3,／2)
C(3, ／2 )
x2+(y-3)2=9
=6sin
O
3、圆心（0，0）半径为3
x2+y2=9
x
圆心在极点，半径为3
=3
3
O
x
探究新知
中心在Ｃ(0,0 )，半径为r的圆的极坐标方程为
中 OM OA cos MOA即＝2a cos ...........(1)
A(6，0)
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标( , )
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合
等式(1)的点都在这个圆上。
一般地，中心在Ｃ（a，０），半径为a的圆的极坐标
（5）化：检验并确认所得的方程即为所求。
探究新知
1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方程为
(x-3)2+y2=9
探究新知
1、圆心坐标为(3,0)且半径为3的圆方程为
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2＝1， 1＋cos θ ∴ρ· 2 ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2. ∴ x2＋y2＋x＝2.化简，得 y2＝－4(x－1)．
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
[精讲详析]
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos ∠COP， ∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)． 故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
2θ
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
选修4-4-极坐标系》课件(共22张PPT)
6
（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
•
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（（（123）））点点点AAA关 关 关于 于 于极 极 直轴点线对对＝称称2的的点点的是的对极_称_(坐点_3_,标的1_16_是极_)__坐__(_标_3_,_7是__6____(_)3___,_5__6__)__ 对称性
(, )关于极轴的对称点为(,2 )
关于极点的对称点为 (, )
关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点
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something
从这向北 2000米。
请问：去菜 市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用方向和距离表 示平面上一点的位置的思想，就是极坐 标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ)
y
θ
O
x
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
π 解：∠AOB =
用余弦定理求
6
A
AB的长即可.
推广：在极坐标下，任意两点P1
o
(1
,1
),
P2
(
2
,2
)
x
之间的距离可总结如下：
P1P2 12 22 212 cos(1 2 )
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选修4-4,极坐标与平面直角坐标的相互转化 (共22张PPT)
思考：
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素 极点；极轴；长度单位；角度单位 及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐 标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求 它们的直角坐标。
人教版选修4-4 极坐标与参数方程(精品课件)共24张PPT
三、极坐标的正式应用和扩展
◆1736年出版的《流数术和无穷级数》一书中，牛顿 第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。牛 顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系。 ◆在1691年出版的《博学通报》一书中伯努利正式使 用定点和从定点引出的一条射线，定点称为极点，射 线称为极轴。平面内任何一点的坐标都通过该点与定 点的距离和与极轴的夹角来表示。伯努利通过极坐标 系对曲线的曲率半径进行了研究。
（2）点P（ρ，θ）与点（ρ，2kπ+θ）（k∈Z）
所表示的是同一个点，即角θ与2kπ+θ的终边是 相同的。 综上所述，在极坐标系中，点与其点的极 坐标之间不是一一对应而是一对多的对应
(ρ，θ)，（ρ，2kπ+θ），（-ρ，（2k+1）π+θ）均 表示同一个点
3.极坐标和直角坐标的互化
y
（1）互化背景：把直角坐标系 的原点作为极点，x轴的正半轴 作为极轴，并在两种坐标系中取 相同的长度单位，如图所示：
极坐标系和参数方程虽为选修内容，高中学生也 应该重视对本专题的学习，既可以体会其中的数 学思想，也能提高对数学的认识，而且可以与已 学知识融会贯通
极坐标系
定义：平面内的一条有规 定有单位长度的射线0x,0 为极点，0x为极轴，选定 一个长度单位和角的正方 向(通常取逆时针方向)， 这就构成了极坐标系。
关于教材编排
参数方程是选修4-4专题的一个重要内容。这一专 题包含、涉及了很多高中内容。利用高二学生已掌 握的直线、圆和圆锥曲线曲线方程为基础，鼓励学 生利用参数的思想对它们进行探究解析，以及能学 习掌握如何优化参数的选择推出已知曲线方程的参 数形式，能等价互化参数方程与普通方程；借助实 际生活例子或相应习题体会参数方程的优势，理解 学习参数方程的缘由。
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
2． 圆心在极点， 半径为 r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点(a， π 2)处且过极点的圆的方程又是什么？
提示：圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ＝r；圆心 π 在点(a，2)处且过极点的圆的方程为 ρ＝2asin θ(0≤θ≤π)．
[研一题] [例1] 设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
[精讲详析]
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos ∠COP， ∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)． 故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
[通一类] π 2．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3，3)，半径为 3，Q 点在 圆周上运动． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹．
解：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连结 DQ、OQ， 则|OD|＝6， π ∠DOQ＝3－θ，
π π 或∠DOQ＝θ－3，∠DQO＝2. π 在 Rt△ODQ 中，|OQ|＝|OD|cos (θ－3)， π 即 ρ＝6cos (θ－3)． (2)若 P 的极坐标为(ρ，θ)，则 Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． π π ∴2ρ＝6cos (θ－3)，∴ρ＝3cos (θ－3)． ∴P 的轨迹是圆．
2θ
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
[悟一法]
(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形
便形成了解题的关键．
[通一类] 1．设 M 是定圆 O 内一定点，任作半径 OA，连结 MA，过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P，求 P 点的轨迹方程． 解：以 O 为极点，射线 OM 为极轴，建立极坐标系，如图．
设定圆 O 的半径为 r，OM＝a，P(ρ，θ)是轨迹上任意一点． ∵MP⊥MA，∴|MA|2 ＋|MP|2 ＝|PA|2.由余弦定理，可知|MA|2 ＝a2＋r2－2arcos θ，|MP|2＝a2＋ρ2－2aρcos θ.而|PA|＝r－ρ， 由此可得 a2＋r2－2arcos θ＋a2＋ρ2－2aρcos θ＝(r－ρ)2. aa－rcos θ 整理化简，得 ρ＝ . acos θ－r
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2θ
(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即 x2－y2＝4. 1 (5)∵ρ＝ ， 2－cos θ ∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2 x2＋y2－x＝1.化简，得 3x2＋4y2－2x－1＝0.
[悟一法]
直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角 坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同 乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程 进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．
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24
2
半径为 5 的圆。 2
7、把极坐标 ＝2方 －c4程 os化为直角坐
解：方程可化为 2－ cos 4 即2＝4＋x 两边平方得：4 2＝(x 4)2
4x2 4 y2 x2 8x 16 3x2 8x 4 y2 16
9、确定极坐标方程 4sin( )与
3
3cos sin 80所表示的曲线
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和 计算角度的正方向（通 常取逆时针方向）。
O X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上异于极点的任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示以OX为始边、 OM为终边 的角度。 叫做M的极径， 叫 做点M的极角，有序实数对（，）就叫做M 的极坐标。记作M （，）。
问题：如何规定ρ、θ的范围，使平 面内确定的一点的极坐标是唯一的？
ρ>0，θ∈ [0，2π）时点的极坐 标与平面上的点一一对应（极点除 外）。
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定极坐标M（，）,在平面上 可以确定唯一一点。
[2]给定平面上一点，却有无数个极 坐标。
特别的，极点（0，θ），θ取一切 实数。
A、 10cos( ),B、 10cos( )
6
6
C、 10cos( ),D、 10cos( )
32
点M的直角坐标为_______.
【解析】∵tanθ= - ,4 ＜θ＜π,
32
∴cosθ= - ，3 sinθ= , 4
5
5
∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4,
∴点M的直角坐标为(-3,4).
答案：(-3,4)
10、已知曲C线与曲线＝5 3cos 5sin关
于极轴对称，则曲 C的线方程是( B )
x
②
y
0x
M
y
Nx
三 知识应用
例 1：将M点 的极坐5， 标 2） （化成直角
3
解：x5cos2，y5sin2 5 3
3
32
所以，M 点的直角坐标5（，5 3）。 22
例2：将M的 点直角坐 3， 标 1） （化成极
解： （ 3）2 （ 1）2 3 1 2， tan 1 1 3 。
从这向南 走2000米.
请问：去屠宰场怎么走？
思考:“从这向南走2000米”这句话包含哪些要素? 它为何能使问路人明确屠宰场的位置?
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
M
特别规定：
O
当M在极点时，它的极 坐标=0，可以取任意 X 值。
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
特别规定： 当M在极点时，它的极 坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
3 3 3
因为点 M 在第三象限，所以 7 。
6
因此，点 M 的极坐标为（ 2，7 ）。
6
5.已知点的直角坐标 为(分 3, 别 3),
(0, 5),(7,0),(2,2 3),求它 32
们的极坐. 标
(1) 在极坐标系中 , 与圆
4 sin 相切的一条直线的方程 是 ( )
A. cos 2
与角α终边相同的角： β=α+2kπ,k∈Z 平面直角坐标系中的点P与坐标(a ,b)是 _一__一__对应的.
平面直角坐标系是最简单
y
b
P(.a,b)
最常用的一种坐标系，但不是 唯一的一种坐标系. 有时用别
O
a x
的坐标系比较方便.
还有什么坐标系呢？
我们先看下面的问 题.
如何确定以下两船 的位置关系呢？
4极坐标 方 sin程 2co所 s 表示的
曲线是
解：将极坐标方程化为 直角坐标方程即可判断
曲线的形状，因为给定 的不恒等于零，用 同
乘方程的两边得 2＝ sin 2 cos
化成直角坐标方程为 x2 y 2 y 2x
即(x 1)2 ( y 1 )2 5 这是以点 (1, )为圆心，
由 3 cos sin 8 0
化直角坐标方程：3x y 8 0, 表示直线
圆心到直线距离：d 3 1 8 2 31
所给极坐标方程分别表示圆与直线， 它们的位置关系是相切。
6.在极坐标系中，点 A( 2,),B( 2,2) ，则线段AB中点的
26 2 3
极坐标为( )
9.已知点M的极坐标为(5,θ)，且tanθ= - 4 , ＜θ＜π,则
（1）距离：5 海里 （2）方向：东偏北20º.
发现走私!!!
拯救船
20º
O
x
距离40 km
方向：π
4
O
x
以天河路为X轴
请问：
以广州大道为Y轴... 去广州塔怎么走？
以天河路为X轴 以广州大道为Y轴...
请分析这句话，他告诉了问路人什么？
从这向东走2000米！
出发点 方向 距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。 这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是 极坐标的基本思想。
及位置关系。
解：由 4 sin( ) 4 cos[ ( )]
3
2
3
4 cos( ) 4 cos( )
6
6
即表示以 A(2, )为圆心，以 2为半径的圆
6
将极坐标 A化为直角坐标 A( 3 ,1)
整理得：( x 3 ) 2 ( y 1) 2 4，表示圆
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？ 有。（ρ，2kπ+θ）
2、极坐标和直角坐标的互化
二 新知探究 极坐标与直角坐标的互化公式。
xco ， s ysin①
2x2y2 ， tan y(x0)
B . sin 2
C . cos 4
D . cos 4
(2 ) 已知直线的极坐标方程 为
sin( ) 2 , 则极点到该直线
42 的距离是 __________ _ .
3. 3的直角坐标方程是
4
解：根据极坐标的定义
tan y tan 3 y
x
4x
即y x( y 0)