3理论力学 第八章点的合成运动解析
理论力学_点的合成运动_点的加速度合成定理_
8-4 点的加速度合成定理三种加速度(相对于三种运动,瞬时量)绝对加速度动点相对静系运动的加速度相对加速度动点相对动系运动的加速度牵连加速度牵连点的加速度8-4点的加速度合成定理a a r a e a动点--M 点定系--OXYZ动系--O ˊXˊYˊZˊ牵连点—动系O ˊXˊYˊZˊ上M 点M O r r r ''=+r x i y j z k '''''''=++为常矢量，，其中考虑到考虑到则M a O dr v r x i y j z k x i y j z k dt '''''''''''''==++++++eO O edv dv a a dt dt ''===r rr dv dv a dt dt==点的加速度合成定理—当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
2222222222o M a d r d r d x d y d z a i j k dt dt dt dt dt '''''''==+++a e r a a a =+上式中每一个矢量都有大小和方向两个要素，因此上式总共包含有12个要素，其中若仅有两个要素是未知的，则此矢量式可解。
由于加速度包括沿轨迹切线方向的切向加速度和沿主法线方向的法向加速度两个分量，所以在最一般的情况下练习1凸轮在水平面上向右作减速运动，如图所示。
设凸轮半v a径为R，图示瞬时的速度和加速度分别为和。
求杆AB在图示位置时的加速度。
解：取动点和动系动点：顶杆AB上的A点动系：固结凸轮上的参考系绝对运动：铅垂方向直线运动相对运动：半圆周运动牵连运动：水平直线平移8该瞬时杆AB 的速度方向向上练习1—速度分析绝对速度：大小未知，方向沿杆AB 向上牵连速度：，方向水平向右相对速度：大小未知，方向沿凸轮圆周的切线根据速度合成定理ϕϕsin sin e r vv v ==a v e v r v e v v =练习1—加速度分析绝对加速度：大小未知，方向沿直线AB 牵连加速度：，沿水平方向相对加速度法向分量：，沿着，指向半圆板圆心相对加速度切向分量：大小未知，垂直于，假设指向右下a a e a e a a OA OA O。
理论力学 第八章
x o ' = x o ' (t ) 牵连运动方程 y o ' = y o ' ( t ) = ( t )
动系与定系之间的坐标变换关系
x = xO′ + x′ cos y′sin y = yO′ + x′ sin + y′ cos
沿半径为r的圆 例8-1 点M相对于动系 Ox′y′ 沿半径为 的圆 相对于动系 周以速度v作匀速圆周运动 圆心为O 作匀速圆周运动(圆心为 周以速度 作匀速圆周运动 圆心为 1 ） ，动系x′y′ O Oxy 以匀角速度ω绕点 作定轴转动， 相对于定系 以匀角速度 绕点O作定轴转动， 绕点 作定轴转动 如图所示。 重合， 重合。 如图所示。初始时x′y′ 与 与 重合 O Oxy 重合，点M与O重合。 的绝对运动方程。 求：点M的绝对运动方程。 的绝对运动方程
. 已知: 已知 ω, OA, = r, OO1 = l, OA水平 求: ω1 = ?
解:
1．动点：滑块A ． 动系：摇杆AB 2. 运动分析 绝对运动:绕O点的圆周运动
相对运动:沿O1B的直线运动 牵连运动:绕O1轴定轴转动
√ √ √
3.
ve = va sin = ωr
r
2 2
l +r ve r2ω ∴ω1 = = 2 2 O A l +r 1
4. 绝对运动方程 vt vt x = x′ cos y′ sin = r1 cos r cosωt r sin r sin ωt y = x′ sin + y′ cos = r1 cos vt sin ωt + r sin vt co-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖 M沿水平轴 作往复运动，如图所示。设oxy为定坐 沿水平轴x作往复运动 沿水平轴 作往复运动，如图所示。 为定坐 标系，刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以 标系， 逆时针转向转动。 等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。 车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
理论力学第八章点的合成运动
3
实例三
描述一个长杆在平面内同时作直线运动和回转运动的合成运动，讨论合成运动对 杆心运动特性的影响。
合成运动中的矢量操作
在合成运动中，我们经常需要进行矢量的加法、减法和乘法等操作。这些操作可以帮助我们推导、计算和分析 合成运动的各种特性。
合成运动的应用及展望
应用
合成运动的概念和原理广泛应用于物理学、工程学和运动学等领域，为我们理解和解决复杂 的运动问题提供了有力的工具。
点的合成运动的基本概念
点的合成运动是指多个点以各自不同的速度和方向同时运动，并在同一时间 到达相对位置的运动方式。它是合成运动的基本形式之一。
合成运动的示意图和公式推导
示意图
通过示意图展示合成运动的过程和结果，帮助加深 理解。
公式推导
推导合成运动的公式，使我们能够定量描述和计算 合成运动的各个特性。
质点运动的合成运动
质点的合成运动是指质点在运动过程中，同时具有平移运动和旋转运动的一 种复杂运动形式。在合成运动中，质点的运动轨迹会呈现出特定的形态和规 律。
质点合成运动实例分析
1
实例一
分析一个小球在倾斜平面上同时进行滚动和滑动的合成运动，探讨其运动规律和 性质。
2
实例二
研究一个弹射体在水平飞行过程中受到重力和空气阻力合成运动的影响，揭示合 成运动对物体运动轨迹的影响。
理论力学第八章点的合成 运动
欢迎大家来到本次关于理论力学第八章点的合成运动的精彩演讲。在本次演 讲中，我们将深入探讨合成运动的定义、基本概念、示意图与公式推导，以 及质点运动的合成运动等内容。
合成运动的定义
合成运动是指由多个简单的运动相结合而成的复杂运动。它将两个或多个运 动矢量合成为一个合成矢量，从而形成全新的运动方式。
理论力学之点的合成运动
1
60o
O1
x
点M .
x
va= ve + vr va = 0.2 m/s
0.5cm
解得: ve= 0.17m/s=2× 0.866 ; vr= 0.1m/s ; 2= 0.2r26ad/s
例题. 具有园弧形滑道的曲柄滑道机构,用来使滑 道 BC获得间歇的往复运动.已知曲柄以匀角速 度 =10 rad/s 绕O轴转动, OA=10cm ,园弧道的 半径 r = 7.5cm. 当曲柄转到图示位置sin = 0.6 时, 求滑道BC的速度.
5
例题.曲柄导杆机构 的运动由滑块 A带动,
B
已知OA= r且转动的 角速度为.试分析滑 块 A的运动.
O
C A
D
动点：滑块A；动系：固连在BCD杆
*、机构运动特点：一运动物体上有一固定点始终与另一 运动物体接触，且在其上运动。
则：动点：固定接触点；动系：另一运动物体。
6
例题. 平底凸轮机构 如图示. 凸轮 O 的半径 为R,偏心距OA=e,以匀 角速度绕O转动,并带 B 动平底从动杆 BCD运 动. 试确定动点并分析 其运动.
Va=Ve/cos= … =2; Vr=Ve tan= … =1
22
例题. 斜面CD与水平成 角,并以 v = 10cm/s 沿水平方向运动.求杆AB的速度vA.
C
v
B
A D
23
解:取杆AB的A端为动点. 动系固连在斜面上。
C
动点A的绝对运 v 动---铅垂直线运 动。
B
vr
va
ve
va B
1 O1
ve
vr
A(A´)
绝对运动—以O1为中心 r为半径
理论力学第8章,点的合成运动
速度合成定理
始末状态
8.2
1 定理推导
速度合成定理
运动合成
M’
绝对运动
牵连运动
相对运动
8.2
1 定理推导
速度合成定理
由矢径的关系 除以时间取极限 速度合成定理
MM '' MM ' M ' M ''
MM '' MM ' M ' M '' lim lim lim t 0 t 0 t t 0 t t
目的：牵连点，AB上C点的速度
作 业
P195
7-17 7-19
谢 谢
8.3
加速度合成定理
科氏加速度方向的判断：
(2)从相对速度方向开始，顺着牵连角速度转90度
8.3
加速度合成定理
例3. 摆动导杆机构，已知AB匀速转动，求CD杆的角加速度？
目的：基本使用过程
8.3
加速度合成定理
练习
练习1. （P197 7-26）求小环的速度和加速度。（85分）
目的：熟悉
速度分析
用ADAMS来表示牵连点的运动
思考题. (p194 7-11 ) 求销钉M的速度？（100分）
动画
目的：同用。
8 点的合成运动
0 引言 1 三种运动 2 速度合成定理
3 加速度合成定理
8.3
加速度合成定理
1 加速度合成定理
说明：
加速度比速度更麻烦。速度只有1项，加速度可能存 在向心加速度和切向加速度2项。
注意：牵连点—动系上与动点重合的点。
8.2
速度合成定理
例1 机构如图。三角块移动速度为V，求BC的速度。
理论力学8—点的合成运动.
ve 54 sin a 2 0.669 vr 2 80.72
a 2 42
vA ve vB O x a2 A B R vr 2
y
二、动点、动系选取的一般原则 1、动点与动系不能选在同一物体上 2、要使动点的相对轨迹易于确定
遵循这两条原则，具体问题具体选取。下面分情 况讨论动点、动系的选取方法。
这里涉及“一点”（动点A）、“两系”（xoy和x`oy`），下 面给出具体定义。
动点：有待研究的运动点 动（参考）系：参考系之一，固 定在相对于静系有运动的物体上， 且动点有相对此参考系的运动。
x` o` y o A
静（参考）系：参考系之一，动 点和动系有相对此参考系的运动。
y`
转轮
x
注：其实运动都是相对的，动系有相对静系的运动，静系则必有相对动系的 运动。但我们通常将静系固定在一个便于观察的物体上（例如，工程中静系 一般取为地球），就好象此物体不动，故有上述说法。
(2) 求A相对于B的速度，以A为动点，动系固连于B艇。
ve 2 OA 50 v
va 2 10m / s
ve 2 5 0.5 va 2 10
‘
5m / s
北
vr 2 ve 2 2 vr 2 2 11.2m / s
tana
R B Ve2 Φ =30° α A S 东
ve va sin r sin ve O1 A 1 r 2 (l 2 r 2 )
O1
2 r 2 2 O1 A (l r ) 1 2 2 l r
例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。 试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上， 动点的速度合成矢量图如图。
理论力学点的合成运动
例 8-4 曲柄OA以匀角速度 w绕O轴转动，其上
套有小环 M，而小环 M又在固定的大圆环上运动，大 圆环的半径为 R。
试求当曲柄与水平线成的角 j ωt 时，小环 M
的绝对速度和相对曲柄 OA 的相对速度。
A
M w
R
O
j
C
解：（1）选择动点及 动系： 小环M为动点，动系固连在 OA上。
（2）分析三种运动：绝 对运动为圆周运动，相对运 动为沿OA的直线运动，牵连 运动为定轴转动。
y
OA杆转动的角速度为
O
wOA
ve OC
ve 2r
3u 6r
y
wOA B
j va vr
A
r ve C
x
u x
8.3 牵连运动是平动时点的加速度合成定理
在图8-9中，设 Oxyz为定系，Oxyz为动系且作平
动，M为动点。动点M在动系中的坐标为 x、y 、z， 动系单位矢量为 i、 j、k。动系平动，i、j、k 的
Oxyz 作某种运动，在瞬时t，动系连同相对轨迹AB在
定系中的I位置，动点则在曲线 AB
上的 M 点。经过时间间 隔 t ，动系运动到定系 中的II位置，动点运动到
点 M。 如果在动系上观
察点M 的运动，则它沿 曲线 AB 运动到点 M2。
z B
M2
vr
z
M O
A
O I
x
va
M B
ve M1
z
O x A
例 8-1 汽车以速度 v1 沿直线的道路行驶，雨滴 以速度 v2 铅直下落，试求雨滴相对于汽车的速度。
v1
解： 因为雨滴相对运动的汽车有运动，所以本题 为点的合成运动问题，可应用点的速度合成定理求解。
理论力学8
求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相
对摇杆O1B的相对速度。
运动学/点的合成运动
解：
选取动点： OA 上的A点 动系： O1B 定系： 基座
运 绝对运动：圆周运动 动 分 相对运动：直线运动 析 牵连运动：定轴转动 ：
运动学/点的合成运动
另一方面，在实际问题中，不仅要在固联在地面上
的参考系上还要在相对于地面运动着的参考系上观察和
研究物体的运动。下面先看几个例子。
沿直线轨道纯滚动 的圆轮，研究轮缘上A 点的运动，对于地面上 的观察者，是旋轮线轨 迹，对站在轮心上的观 察者是圆。
A点的运动可看成随轮心的平移与绕轮心转动的合成。
运动学/点的合成运动
MM MM1 M1M 将上式两边同时除以t并取 t0得
lim MM lim MM1 t 0 t t 0 t
lim
M1M
t 0 t
va ve vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于牵连速度与相对速
度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个元素，已知任意四个元素，就能求出其它两个。
运动学/点的合成运动
例如，直管OB以匀角速度绕定轴O转动，小球M
以速度u在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。 将动坐标系固结在OB管上，以小球M为动点。随着动 点M的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。 设小球在t1、t2瞬时分别到达M1、M2位置，则动点的 牵连速度分别为
ve1 OM1
运动学/点的合成运动
第八章
点的合成运动
在前两章中研究点和刚体的运动时，认为地球（ 参考体）固定不动,将坐标系（参考系）固连于地面。 因此，点和刚体的运动是相对固定参考系而言的。
理论力学第8章 点的合成运动
第8章 点的合成运动8-1 如图 8-1 所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动方程为 x = 0， y = a cos(kt +β)如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速v e 向左运动。
求点 M 在记录纸上的轨迹。
解 动系O 'x ' y '固结在纸上，点 M 的相对运动方程x '= v e t ， y '= a cos(kt + β) 消去t 得点 M 在记录纸上的轨迹方程ky '= a cos(x '+β)v e8-2 如图 8-2 所示，点 M 在平面Ox ' y '中运动，图 8-1 运动方程为x '= 40(1− cos t ) ， y '= 40sin t式中t 以 s 计，x '和 y '以 mm 计。
平面Ox ' y '又绕垂直于该平面的轴O 转动，转动方程为 ϕ= t rad ，式中角ϕ为动系的 x '轴与定系的 x 轴间的交角。
求点 M 的相对轨迹和绝对轨迹。
解 由点 M 的相对运动方程可改写为⎛ x ' ⎞⎜⎜⎝40 −1⎟⎟⎠ = −cos ty ' = sin t40上2式两边平方后相加，得点 M 的相对轨迹方程(x '−40)2 + y '2 =1600图 8-2由题得点 M 的坐标变换关系式x = x 'cos ϕ− y 'sin ϕy =x 'sin ϕ+ y 'cos ϕ将ϕ= t 和相对运动方程代入，消去t 得点M 的绝对轨迹方程 (x + 40)2 + y 2 =16008-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度v a =15 m/s ，并与直径成β=60° 角，如图 8-3a 所示，工作轮的半径R = 2 m ，转速n = 30 r/min 。
为避免水流与工作轮叶片相冲击，叶片应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。
山东大学《理论力学》教案第8章 点的合成运动
第8章 点的合成运动一、目的要求1．深刻理解三种运动、三种速度和三种加速度的定义、运动的合成与分解以及运动相对性的概念。
2．对具体问题能够恰当地选择动点、动系和定系进行运动轨迹、速度和加速度分析，能正确计算科氏加速度的大小并确定它的方向。
3．会推导速度合成定理、牵连运动为平动时点的加速度合成定理，理解并掌握牵连运动为转动时点的加速度合成定理。
并能熟练地应用上述三个定理。
二、基本内容1．基本概念点的合成运动的概念；绝对运动、相对运动、牵连运动，以及由此引出的绝对速度、相对速度、牵连速度和绝对加速度、相对加速度、牵连加速度、科氏加速度的概念；点的速度合成定理和加速度合成定理。
2．基本公式速度合成定理：r e a v v v +=加速度合成定理：r e a a a a +=（牵连运动为平动）c r e a a a a a ++=（牵连运动为转动）r c v a ⨯=ω2三、重点和难点1．重点（1）动点和动系的选择；（2）运动的合成与分解；（3）速度合成定理和加速度合成定理的应用和计算。
2．难点（1）动点和动系的选择；（2）加速度合成定理的运用与计算；（3）牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念。
四、教学建议1．教学提示（1）讲清动点、动系的选取原则，通过举例归纳常见机构动点、动系的选取方法。
（2）强化牵连点的概念，熟练掌握牵连速度、牵连加速度的计算。
（3）举例阐明速度合成定理的应用和解题步骤（多用几何法）。
（4）讲清如何用解析法求解加速度合成问题，强调科氏加速度产生的原因与计算（多用投影法）。
本章是运动学重点，也是难点，要求多举例，熟练掌握。
2．例题速度分析可按六种类型举例，即有一个指定动点、有一个运动连接点，有一个固定不变的接触点，没有一个固定不变的接触点，两个互不关联的物体，双动系；在进行加速度分析时，重点是前4类，特别是要注意科氏加速度的分析。
3.建议学时课内（7学时）课外（10.5学时）4．作业布置习题：8-4，8-8，8-10，8-13，6-15，8-17，8-18，8-19，8-21，8-24，8-25，8-27。
理论力学第八章 点的合成运动(Y)
aC
五、牵连运动为定轴转动时的加速度合成定理
aa ae ar ac
点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬 时的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。 科氏加速度
ac 2e vr 大小: ac 2e vr sin
平行时， 00 或 180 0
车轮轮缘上一点M的运动分析
O1
如果站在地面上观察时，车轮边缘上任一点的轨迹都是悬轮线 如果站在汽车上观察时，车轮边缘上任一点的轨迹都是圆
飞机螺旋浆上点P 的运动分析
如果在飞机上观察螺旋桨上P点的运动轨迹是一个圆。 如果在地面上观察，则P点的轨迹就是螺旋线。
2、两种坐标系与三种运动
（1）两种坐标系
60
vA O1 A
ve vC v A
vCD va ve cos O1 A cos 10cm / s
vC
1、加速度分析
牵连运动——AB杆作平动。
aa ae ar
a A aC ae O1 A
2
2
2
aCD aa ee sin O1 A sin 34.6cm / s
一、绝对运动、相对运动与牵连运动 二、速度合成定理 三、矢量表示角速度，角加速度 四、牵连运动是平动时的加速度合成定理 五、牵连运动是定轴转动时的加速度合成 定理
一、绝对运动、相对运动与牵连运动 1、运动的相对性
从不同的参考系观察同一点的运动，其结果是不相同的 物体对于不同的参考系，运动各不相同。
ve
va
va l
——垂直于OA
牵连运动（牵连点的运动）——T 形杆上A点作水平直线运动
ve 大小未知，方向沿水平。
理论力学8—点的合成运动
(2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的 几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左 右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。
7.2 点的速度合成定理
通常选动点和动系主要有以下几种情况： 1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现；
2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点；
3. 没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确 定的点为动点； 4. 必须选某点为动点，而动系要取两次； 5. 根据题意，必须取两次动点和动系； 6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；
＝ωt， 已知：r，相对速度v，
求：点M的绝对运动方程。
t0
0。
解:
动点：M 点 动 系 ： O x y
相对运动方程
OO x O M cos 1 1 O y M sin 1
代入
vt r
＝ωt， 已知：r，相对速度v，
求：点M的绝对运动方程。
vt x r 1 cos r y r sin vt r
第 7 章
点的合成运动
8.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
8.2 点的速度合成定理
8.3 点的加速度合成定理
7.1 相对运动· 牵连运动· 绝对运动
一、方法及思想起源
运动合成的思想我们 大家都很熟悉，比如说右 边直升飞机螺旋桨端的P 点，其运动就可以分解为： “随螺旋桨一起相对飞机 机身的运动”和“随机身 一起在空中的移动”。你 们可以试着点击一下图片， 看看运动合成的情况。
A
y`
转轮
x
现在我们可以这样陈述：动点A相对于坐标架xoy的运动（螺旋 线），可以分解为动点相对于坐标架x`oy`的运动（直线运动）和坐 标架x`oy`相对于坐标架xoy的运动（定轴转动）。
点的合成运动理论力学课件
根据速度和加速度的合成定理，一个点的速度和加速度可以由其相对于不同参考系的速度和加速度进行合成。具体来说，点的速度可以由绝对速度、相对速度和牵连速度进行合成，点的加速度可以由绝对加速度、相对加速度和牵连加速度进行合成。
详细描述
速度和加速度的合成定理在解决实际运动问题中具有广泛的应用。
总结词
通过应用速度和加速度的合成定理，可以解决各种复杂的运动问题，例如行星运动、卫星轨道、机械运动等。该定理可以帮助我们更好地理解点的运动规律，并预测其在不同参考系下的运动轨迹。
03
点的合成运动的应用
刚体的平面运动是指刚体在平面内的运动，包括平移和旋转。点的合成运动理论力学在刚体的平面运动中有着广泛的应用，如分析刚体的速度和加速度、计算刚体的动能和势能等。
刚体的平移运动是指刚体在平面内沿直线或曲线移动，其速度和加速度可以通过点的合成运动理论力学中的速度和加速度合成定理进行分析。
概念
物体在平面内运动，点在该平面内跟随物体一起运动。
平面运动
空间运动
刚体运动
物体在三维空间中运动，点在该空间内跟随物体一起运动。
物体的各部分之间没有相对运动，点跟随整个物体一起做刚体运动。
03
02
01
02
点的合成运动的基本定理
速系的定理。
该理论广泛应用于航天、航海、车辆工程等领域。通过理解和应用点的合成运动理论，工程师们能够更准确地预测和控制物体的运动轨迹。
尽管点的合成运动理论在许多情况下非常有效，但它也有局限性。例如，在处理高速或微观尺度的运动时，该理论可能会出现误差。
点的合成运动理论与经典力学、相对论、量子力学等其他理论有密切的联系。深入理解这些联系有助于推动物理学的发展。
详细描述
知识资料理论力学(八)(新版)
（三）点的速度合成定理可以证实，动点的三种速度v a，v e，v r之间有如下关系式：v a=v e+v r即动点的绝对速度等于它的牵连速度和相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
按照此定理可知v a，v e，v r构成一速度平行四边形，其对角线为绝对速度va。
因为每个速度矢量包含大小和方向二个量，因此上式总共含有六个量，当已知其中随意四个量时，便可求出其余两个未知量。
应该指出，因为存在相对运动，所以不同瞬时，动系上与动点相重合的那一点即牵连点，在动系上的位置也随之而变化的。
（四）点的加速度合成定理动点的加速度合成与牵连运动的性质有关，当牵连运动为平动或转动时，动点的加速度合成定理如下：牵连运动为平动：a a=a e+a r牵连运动为转动：a a=a e+a r+a k式中a k称为科氏加速度。
它是因为牵连运动与相对运动互相影响而产生的。
a k的矢量表达式为a k=2ω×vr其中ω为动系的角速度矢。
设ω与vr间的夹角为θ (图4—2—9)，则a k的大小为ak=2ωvrsinθa k的指向由ω与vr的矢积决定。
对于平面机构，因a a、a e、a r和a k等各加速度矢都位于同一平面中，所以运用加速度合成定理只能求解大小或方向共两个未知量。
因为aa或ae或ar都可能存在切向与法向两个加速度分量，因此在求解中，常应用合矢量投影定理举行详细计算。
（五）应用速度或加速度合成定理解题的普通步骤和主意1．分析机构的运动情况，按照题意适当地选取动点、动系和静系。
它们的选取主意，普通可从两个方面来考虑：其一，动系相对静系有运动，动点相对动系也有运动；其二，除题意异第1 页/共5 页常指明动系或动点外，尽可能使选取的动点对动系有显然而容易的相对运动轨迹。
在普通机构中，通常可选取传递运动的接触点为动点，与其邻接的刚体为动系。
2．分析绝对运动、相对运动和牵连运动。
绝对运动和相对运动都是指动点的运动。
在相对运动的分析中，可设想看见者站在动系上，看见到的动点运动即为它的相对运动。
理论力学第八章点的合成运动.
y O1M sin
vt 代入 y r sin vt r
12
已知：r, 相对速度v， ＝ωt， 求：点M的绝对运动方程。
3 牵连运动方程
t 0
0
xo' xo 0, yo' yo 0, t
导数上加“～”表示相对导数。
drM ve rO x i y j z k dt
M’为动系上的点，其在 动系上的坐标为常数。
drM va rO x i y j z k x i y j z k 得证。 dt 15
当 0 或 180 时(e // v r ), ac 0
2、牵连运动为平动情况：
e 0 ac 0
a
a
ae ar
24
2、例题分析：
[例1] 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定 轴z转动，点M1和点M2分别沿板的对角线 BD和边线CD运动，在图示位置时相对于 A 板的速度分别为 v 1 和 v 2 。 计算：点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并 图示方向。
[注1]此时为动点与动参 考体不重合的情况，须 将动系扩大到参考体之 外。 [注2]特殊问题：特点是相接触两个物体的接触点位置都随 时间而变化.此时, 这两个物体的接触点不宜选为动 点，应选择满足选择原则的非接触点为动点。
17
8-2 点的速度合成定理 恰当地选择动点、动系是求解合成运动问题的关键。
例8-1 点M相对于动系 Oxy 沿半径为r的圆周以 速度v作匀速圆周运动(圆心为O1 ） ，动系 Oxy 相对 Oxy 以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如图 于定系 所示。初始时 Oxy 与 Oxy 重合，点M与O重合。 求：点M的绝对运动方程。 解: 1 动点：M点
理论力学n第八章 点的合成运动
第八章 点的合成运动8-1．已知杆cm AB 40=，以s ra d /31 =ω绕A 轴转动，而杆又绕B 轴以s rad /12 =ω转动，cm BD BC 30==AB ⊥BD ，若取C 点为动点，AB 为动坐标，则此时C 连速度的大小为 150 s cm /。
8-2．图示机构，曲柄OA 以角速度ω转动，带动连杆AB 筒D 中滑动，若取曲柄OA 上A 点为动点，套筒D 在图中画出科氏加速度方向。
8-3．图示运动机构，当杆OA 转动时，推动轮在地面作纯滚动，K 点为杆OA 上与轮的接触点，若取轮心C 为动点，动系在杆OA 上，则用图中所给的字符，写出牵连速度的大小为 2O C ω⋅。
8-4 杆OA 长l ，由推杆推动而在图面内绕点O 转动，如图所示。
假定推杆的速度为v ，其弯头高为a 。
求杆端A 的速度的大小（表示为x 的函数）。
2图8-3图8-4图8-2解：1.取推杆上与OA 杆上的接触点B 为动点，动系在OA 上。
2. 分析三种运动：绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：转动3. 由r e a v v v+=画速度平行四边形 方向√ √ √ 大小√ ？ ？ 22sin ax av v v a e +==α，22ax alv l OBv v e A +=⋅=8-5 在图示机构中，已知O 1O 2=a =200mm ，s rad /31=ω。
求图示位置时杆O 2A 的角速度。
（a ）1.取O 1A 上A 为动点，动系在O 2A 上；2.分析三种运动：绝对运动：圆周运动 1ωa v a = 相对运动：直线运动 牵连运动：转动3. 由r e a v v v+=画速度平行四边形 方向√ √ √ 大小√ ？ ？30cos 30cos 1ωa v v a e ==s r a d a v e5.1230cos 212===ωω8-6 在图示机构中，已知O 1O 2=a =200mm ，s rad /31=ω。
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? ? tg ?1 v?
v平
[例8-2] 曲柄摆杆机构
φ
已知：OA= r , ? , OO1=l 图示瞬时OA? O
求：摆杆O1B角速度? 1
解：取套筒A点为动点，摆杆O1B为动系.基座为静系。
绝对速度va = r ?
相对速度vr = ?
方向? OA 方向//O1B
牵连速度ve = ?
方向? O1B
由速度合成定理 va ? vr ? ve 作出速度平行四边形 如图示。
r
ve ? va sin? ? r? ?
r2? l2
又?ve ? O1 A?? 1,
? ? 1 ? Ov1eA?
1? r 2 ?l2
r 2?
r2?
l2
?
r
r 2?
2 ? l2
（
）
[例8-3]圆盘凸轮机构
已知：OC＝e , R ? 3e , ? （匀角速度）
vr
va
A veva
B
aa
ar
va
A
Baen
ae?
练习三
解:
A
?
?
o
B
A
? ?
o
ve ? OB??
va
B
vr
动系:OA杆； 动点:滑块B
A
? ?
arn
o
aen ? OB?? 2
ar?
B
aa
a?e ? OB??
[例8-1] 桥式吊车。 已知：小 车水平运行，速度为v平， 物块A相对小车垂直上升 的速度为v? 。求物块A的运 行速度。
一、实例 : M点运动
地面: 摆线， 车箱: 圆。
二、复合运动的一般模型
y
y?
M o? ?
o
x?
x
定系(静): 一般为地球，亦可为动系。如：地面
点 动 系: 固连于运动物体。如：车箱 固
体
动 点: 研究对象。如：轮缘M点
牵连点: 某瞬时，动系上与动点重合的点。如
牵连点
? a.某瞬时的固定点
? ?
第八章 点的合成运动
§8–1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动 §8–2 点的速度合成定理 §8–3 牵连运动是平动时点的加速度合成定理 §8–4 牵连运动是转动时点的加速度合成定理
习题课
§8-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
运动的相对性： 物体对于不同的参考体具有不同的运动。
将复杂的运动分解成两个简单运动的组合， 称为点的合成运动（复合运动）
vr
va
aa
ae O
ar
a
练习一、二、三:
A
?
O
C
O
动系:套筒B
动点:铰A。
图4
A
?
?
o
B
动系:OA杆；
动点:滑块B
练习一
解:
O
A
?
C
O1
?
动系:OA 动点:轮心C。
A
A
O
va ve ?
vC r O1
?
O
aan
ae? ?
C
O1
?
练习二
解:
A B
va
动系:套筒B 动点:铰A。
相对 vr
ar
牵连 ve ae
五．动点的选择原则：
一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都 有运动的点。
六．动系的选择原则：
动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或 者能直接看出的。
下面举例说明以上各概念：
动点：AB杆上A点
动系：固结于凸轮Ｏ'上
静系
动系
静系：固结在地面上
动点
1. 若动点A在AB杆上时 动点：A(在AB杆上)
1.分析如下 4图动点的速度和加速度。
o
R
v1
A
v2 B A为动系，B为动点
解：
o R
ve
?
v1 ?OB R
v1 va = v2 B
A
图1
aen
aB
B
A
?
解：
va vr
ve
A
?
动系为滑槽， 动点为滑块A， 三种轨迹
aa
?a
?
r
A
ae
a
n r
图2
O
va
动系为斜面， 动点为轮心O。
解：
图3
va
veO
图示瞬时, OC? CA 且 O,A,B三点共线。 求：从动杆AB的速度。
解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。
绝对速度 va = ? 待求， 相对速度 vr = ? 未知，
牵连速度 ve =OA??=2e? ,
方向//AB 方向? CA 方向? OA
由速度合成定理 va ? vr ? ve
MM ' ＝ MM1 ＋ M1M '
将上式两边同除以? t 后，
取 ?t ?
0
时的极限，得
lim
? t? 0
MM ?t
??
lim
? t? 0
MM ?t
1
?
lim
? t? 0
M
1M ?t
?
? va ? ve ? vr
速度合成定理-------任一瞬时动点的绝对速度等于其 牵连速度与相对速度的矢量和。
刚体的运动
四、三种速度和三种加速度。
1、动点在绝对运动中的速度和加速度称为-----绝对速度 和 绝对加速度。
2、动点在相对运动中的速度和加速度称为-----相对速度和 相对加速度。
3、动坐标系中与动点相重合的点(不是动点)的速度和加 速度称为---------- 牵连速度和牵连加速度
绝对 va
aa
作出速度平行四边形 如图示。
va
?
ve ?tg
30
0
?
2 3
3e?
23
? v AB ? 3 e? (? )
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为： (1) 选取动点，动系和静系。 (2) 三种运动的分析。 (3) 三种速度的分析。
动系：偏心轮
静系：地面 绝对运动：直线 相对运动：圆周（曲线） 牵连运动：定轴转动
2. 若动点A在偏心轮上时 A（在偏心轮上） AB杆
地面 圆周（红色虚线） 曲线（未知） 平动
§８-２点的速度合成定理
当t → t+△t ，AB → A'B' M → M'
也可看成M → M１ → M′ MM ' 为绝对轨迹 MM ' 为绝对位移 M1M ' 为相对轨迹 M1M ' 为相对位移
说明：
(1) va—动点的绝对速度；
(2) vr—动点的相对速度；
(3) ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve 是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
(4) 点的速度合成定理是瞬时矢量式， 共包括大小?方向 六个元素。
b.不同瞬时，点不同
1.参考物与参考系有何区别? 后者包含整个空间。
2.某瞬时，动点与牵连点有无相对运动? 必有。
3.某瞬时，牵连点与动系有无相对运动? 无。
三．三种运动：
１．绝对运动：动点对静系的运动。
２．相对运动：动点对动系的运动。例如：人 在行驶的汽车里走动。
点的运动
３．牵连运动：动系相对于静系的运动。例如：行驶 的汽车相对于地面的运动。
解：选取动点: 物块A 动系: 小车 静系: 地面
相对运动: 直线; 相对速度vr =v? 方向?
牵连运动: 平动; 牵连速度ve=v平 方向?
绝对运动: 曲线; 绝对速度va 的大小,方向待求
由速度合成定理：va ? ve ? vr
作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为
vA ? va ? ve2 ? vr 2 ? v平2 ? v? 2 ,