高等数学高数2竞赛试题
江苏省第九届淮海工学院高等数学竞赛本科二级模拟试卷(二)答案与评分标准
１江苏省第九届高等数学竞赛淮海工学院本科二级模拟试卷(闭卷二)答案及评分标准一、填充题（本大题共8小题，每题 4 分，共 32 分）1、设)(x f 的反函数为1()f x -，则1(21)[]3f x f --的反函数为11{1[3()]}2f f x -+ ． 2、设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x n n e bax e x x f 连续，则a b +=1．3、某曲线极坐标方程为13ρπθ=-，其斜渐近线的直角坐标方程为23y =+．提示：将极坐标方程化为,x y 关于θ的参数方程，注意仅3πθ→时，x →∞． 4、220022cos cos 2()2()2()()22x t x t dxdx dx x x t t x πππππππππππππ=-+-+===-+-+-+⎰⎰⎰2π．5、已知32(0,0)1,(,)3,(,),22x y x x f f x y x y f x ===则(,)f x y =341x y y -+．6、设曲线2233:1L x y +=，则222Lydx xdyx y -=+⎰ ． 7、幂级数11112nn x n∞=+++∑的收敛域为[1,1)-．8、设直线232,23x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L． 二、计算题（本大题8 分）设()f x 在0x =处具有二阶导数，且有42260()ln(1)2lim 3x x f x x x x →++-=， 求(0),'(0),''(0)f f f ．解（一）：因4226()l n (1)2,3x f x xx x α++-=+其中0lim 0x α→=---------------------------1'则22224ln(1)2(),3x x f x x x x α+-=-++---------------------------------------------------1' 于是，22400ln(1)1(0)lim ()lim,2x x x x f f x x →→+-==-=-------------------------------------2' 2245001ln(1)()(0)2'(0)lim lim 0x x x x x f x f f x x →→+-+-==-=--------------------------2' 故200'()'(0)()(0)2''(0)lim 2lim 3x x f x f f x f f x x →→--===--------------------------------2' 解（二）：因46226ln(1)(),23x x x x x ο+=-++-------------------------------------------1' 则464662001()()()21232lim lim33x x x x x f x x f x x x ο→→-++-==+-----------------------------2' 即201()12lim3x f x x →-=-----------------------------------------------------------------------------1' 于是，01(0)lim (),2x f f x →==0()(0)'(0)lim0x f x f f x →-==----------------------------2' 故200'()'(0)()(0)2''(0)lim2lim 3x x f x f f x f f x x →→--===--------------------------------2'三、问答题（本大题8 分）２设222()(1)(2)(3)f x x x x =---，试问曲线()y f x =有几个拐点？解：'()6(1)(2)(3)f x x x x x x =--------------------1' 则'()f x 有5个零点，由罗尔定理知在其相邻零点之间必有''()f x 的零点-------2' 于是''()f x 至少有4个零点1234x x x x <<<-------------------------------1' 而''()f x 为4次多项式，至多有4个零点，则''()f x 恰有4个零点------------1' 于是，可令1234''()30()()()()f x x x x x x x x x =--------------------------1'注意到'''()30()0,1,2,3,4i ijj if x x x i ≠=-≠=∏，故曲线()y f x =有4个拐点.-------------------------------------------2'四、计算题（本大题8 分）设10(),0,1z xy t f t dt x y =-≤≤⎰，若()f t 为连续函数，求xx yy z z +.解：1()()()()xy xyz xy t f t dt xy t f t dt =---⎰⎰-----------------------------2'1100[()()]()()xy xyxyxyxy f t dt f t dt tf t dt tf t dt =-+-⎰⎰⎰⎰----------------1'1[()()]xy x xyz y f t dt f t dt =-⎰⎰ -------------------------------------2'22()xx z y f xy = --------------------------------------------------1'由对称性知22()yy z x f yx =-----------------------------------------1' 故222()()xx yy z z x y f xy +=+. -------------------------------------1'五、证明题（本大题8 分）设)(x f 在[0,1]上连续, 且10()1f x dx =⎰，若(0,1)λ∈，证明:在(0,1)内存在不同的ηξ,,使()(1)()1f f λξλη+-=. 证明： 设0()()x F x f t dt =⎰，则()F x 在[0,1]上可导，且(0)0,(1)1F F ==-----1' 令()()(1)G x F x x =--，则(0)1,(1)1G G =-=---------------------------1' 由连续函数零点定理知,存在(0,1)λ∈,使()1F λλ=- ------------------------------1' 在区间[0,]λ与[,1]λ上分别用拉格朗日中值定理, 有()(0)1()'(),00F f f F λλξξξλλλ--===<<--------------------------------------2'(1)()()'(),111F F f F λληηληλλ-===<<----------------------------------------2'于是，原题得证-------------------------------------------------------------------------------------1'六、计算题（本大题8 分）设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑．为计算曲面∑的面积，我们用薄铁片制作∑的模型，(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --为∑上三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ,建立平面直角坐标系,使D 位于x 轴正上方，点A 的坐标为(0,5),试写出D 的边界方程，并求D 的面积．七、设计题（本大题8 分）ρ为原点到222222:1,,,0x y y a b c a b c ∑++=>的切平面之距，计算dsI ρ∑=⎰⎰ ．３八、计算题（本大题10分）设()f u 在0x =处可导，且(0)0f =，'(0)5f =，若D ：222,0x y tx y +≤≥求41limt Df y dxdy t +→⎰⎰．解一：原式2arccos 2240001lim()sin t tt f d d tρρρρθθ+→=⎰⎰---------------------------------------------3' 224001lim ()(1)2t t f d tt ρρρρ+→=-⎰------------------------------------------------2' 222300501()()2lim t tt t f d f d t ρρρρρρ+→-=⎰⎰-------------------------------------------1' 2204()lim 5tt f d t ρρρ+→=⎰-----------------------------------------------------------------2'04(2)(0)lim52t f t f t+→-=-----------------------------------------------------------------1' 4'(0)45f ==．-----------------------------------------------------------------------1' 解二：原式2cos 2240001lim ()sin t t d f d t πθθρρθρ+→=⎰⎰------------------------------------------2' 2cos 2230001lim [()sin ]4t t f d d tt πθρρθρθ+→∂=∂⎰⎰ -----------------------------------2' 223001lim 2cos (2cos )(2cos )sin 4t t f t d t πθθθθθ+→=⎰----------------------------2' 2cos 225001lim ()8u t t t u f u du t θ+=→=⎰--------------------------------------------------------2' 04(2)(0)lim 52t f t f t+→-=--------------------------------------------------------------1' 4'(0)45f ==．------------------------------------------------------------------1'九、讨论题（本大题10 分）试根据k 的不同取值，讨论级数21(1)(ln )nk n n n ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？。
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
饶平二中高二级数学竞赛题答案
饶平二中高二级数学竞赛题答案一、填空题：1、充要条件； 2、19 ； 3、钝角三角形；4、270 5、2007；6、100。
二、解答题7、（本题满分10分，（1）题、（2）题各5分）（1）解：函数)(x f 的周期为ωπ2=T ，依题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=+-=+|12127|231ππωπT b A b A ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==212ωb A ， ∴ 1)2sin(2)(-+=ϕx x f ， 由1)12(=πf ，即11)6sin(2=-+ϕπ，得1)6sin(=+ϕπ， ∴Z k k ∈+=+,226ππϕπ，又 πϕ20<≤，故3πϕ=， ∴ 1)32sin(2)(-+=πx x f ， 由23ππ<≤-x ，得：34323πππ<+≤-x ， ∴ 1)32sin(23≤+≤-πx ，∴1 1)32sin(213≤-+≤--πx 即1 )(13≤≤--x f ，∴)(x f 在)2,3[ππ-上的值域是]1,13[--； （2）证明：令32π+=x t ，由 ππ≤<x 127，得：373223πππ<+<x ，即：]37,23(ππ∈t 。
函数1sin 2-=t y 在]37,23(ππ∈t 时是增函数， ∴ 1)32sin(2)(-+=πx x f 在∈x ],127(ππ时是增函数，在这段图象上任取两点),(),,(2211y x Q y x P ，设21x x <，则有21y y <。
此时连线PQ 的斜率02121>--=x x y y k 。
即命题得证。
8、（本题满分12分，其中（1）题4分；（2）题8分）（1）证明：连接BD ，ADB DAB AD AB ∆∴︒=∠=,60, 等边三角形。
E 是边AB 的中点，.DE AB ⊥∴⊥PD 平面ABCD ，PD AB ⊥∴，⊥∴AB 平面PED 。
∴ 平面PED ⊥平面PAB 。
高数竞赛试题及答案
高数竞赛试题及答案在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。
本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
1. 竞赛试题一考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。
(1)求函数f(x)的定义域。
(2)求函数f(x)的最大值和最小值。
解答过程：(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x 的范围。
由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。
通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。
解这个不等式可以得到x ≤ 1或x ≥ 3。
对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。
同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。
解这个不等式可以得到1< x < 3。
综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。
(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。
当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。
代入可得最小值为f(2) = 1。
当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。
代入可得最大值为f(2) = -1。
综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。
2. 竞赛试题二已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。
高数二试题及答案
高数二试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值是：A. 5B. 4C. 3D. 24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 以下哪个选项是定积分∫(0,1) x^2 dx的结果？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，则f'(x) = __________。
7. 函数y = √x的导数是 y' = __________。
8. 曲线y = x^2 + 1与x轴所围成的面积是 __________。
9. 定积分∫(0,2) e^x dx的值是 __________。
10. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f''(x) = __________。
三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. 证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上是增函数。
13. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(1, 4)处的切线方程。
14. 计算定积分∫(1, e) (2x + 1) / x dx。
四、证明题（每题15分，共30分）15. 证明函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-1, 1]上是凹函数。
16. 证明定积分∫(0, 1) x * sin(πx) dx = 1/π。
答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. 3x^2 - 12x + 97. 1/(2√x)8. 1/39. e^2 - 110. -2sin(x) - 2cos(x)三、解答题11. 最大值：f(2) = 11，最小值：f(-1) = -1012. 证明略13. 切线方程：y - 4 = 4(x - 1)，即4x - y - 4 = 014. 结果：1 - 1/e^2四、证明题15. 证明略16. 证明略。
高数2试题及答案
高数2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)等于：A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-3xD. 3x^2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x 的值是：A. 0B. 1C. πD. ∞答案：B3. 若函数f(x)=e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. ln(e^x)D. 0答案：A4. 函数y=x^2-4x+4的图像与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(1)的值为____。
答案：32. 曲线y=x^3-3x在点(1,-2)处的切线斜率为____。
答案：03. 函数y=ln(x)的定义域为____。
答案：(0, +∞)4. 函数y=x^2-4x+4的最小值为____。
答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2x-1的导数。
答案：y'=3x^2-6x+22. 求极限lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)。
答案：lim(x→2) (x^2-4)/(x-2) = lim(x→2) (2x) = 43. 求函数y=e^x+ln(x)的二阶导数。
答案：y''=e^x+1/x4. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的切线方程。
答案：切线方程为y=-3x+85. 求函数y=x^2-4x+4的极值点。
答案：极值点为x=26. 求曲线y=x^3-3x在点(1,-2)处的法线方程。
答案：法线方程为y=x-1四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
答案：略2. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则f(x)在(a,b)上一定存在极值。
答案：略。
高中数学竞赛二试题
高中数学竞赛二试题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 02. 如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=a处一定连续B. f(x)在x=a处不一定连续C. f(x)在x=a处一定不连续D. 以上都不对3. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，那么该数列的第10项是：A. 17B. 19C. 21D. 234. 在一个平面直角坐标系中，点A(1,2)和点B(4,6)，直线AB的斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 45. 一个圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么这个直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的首项为3，公差为2，该数列的第5项是________。
7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的极值点是________。
8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，其外接圆的半径是________。
9. 已知直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，求直线l与x轴的交点坐标________。
10. 将圆x^2 + y^2 = 25沿着x轴正方向平移3个单位后，新的圆的方程是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。
12. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。
13. 已知椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0)，且椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于10。
求椭圆的方程。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：对于任意实数x和y，不等式(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)总是成立。
15. 证明：如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案试题一：1. (10分) 在直角坐标系中，曲线 $y = \sqrt{x}$ 与 $y = -\sqrt{x}$ 交于两点 $A$ 和 $B$，且两点的横坐标之差为 $4$，求 $A$、$B$ 两点的坐标。
试题一答案解析：解析：我们可以通过将两个函数相等，来找到交点的横坐标。
$\sqrt{x} = -\sqrt{x}$将等式两边平方，得到$x = x$因此，两个函数相等的条件是 $x=0$。
又因为两个函数在对称轴 $y$ 轴上对称，所以 $A$、$B$ 两点的横坐标之差为 $4$，即 $B$ 点的横坐标是 $4$。
所以，$A$、$B$ 两点的坐标分别为 $(0, 0)$ 和 $(4, 0)$。
试题二：2. (15分) 计算 $\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$。
试题二答案解析：解析：首先，我们需要对被积函数进行积分。
$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$通过对多项式逐项积分，得到$\int_{0}^{1} x^4 \ dx - \int_{0}^{1} 2x \ dx + \int_{0}^{1} 1 \ dx$根据积分的定义，我们可以进行求解：$\frac{1}{5}x^5 \Bigg|_{0}^{1} - x^2 \Bigg|_{0}^{1} + x\Bigg|_{0}^{1}$代入上下限进行计算，结果为：$\frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5}$所以，$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx = \frac{1}{5}$。
试题三：3. (20分) 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值。
试题三答案解析：解析：对于给定的区间 $[0, 1]$，我们需要找到函数 $f(x) =e^{2x}$ 在该区间上的最小值。
首先，求函数的导数 $f'(x)$：$f'(x) = 2e^{2x}$在 $[0, 1]$ 区间上，我们可以通过求解导数为 $0$ 的点来找到函数的极值点。
高等数学竞赛试题2答案
高等数学竞赛试题2答案一、选择题1. 下列命题中正确的命题有几个？…………………………………………………………（ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个.2. 设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是…………………………（ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x ..3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22limb b ξ→=…………（ C ） (A) 1； (B) 12 ； (C) 13 ； (D) 14.4. 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt =-⎰，10() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 …………………………………… （ D ）(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小. 5. 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--则),(y x f 在点)0,0(处 …………………………………………………………………………………………… （ A ）(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 6. 设()f x 在(,)-∞+∞连续，且导函数()y f x '=的图形如图所示，则()f x 有……………… （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7. 设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰ …………………………… （ B ）(A) 102() d f x x ⎰； (B) 3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .8. 设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1n n c ∞=∑，则1n n b ∞=∑与1n n c ∞=∑……………………（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.二、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试解答下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==；（4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m 、,求证：()()F x f x M m -≤-.解（1）00111()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--==-=+--⎰⎰⎰ （2）11()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a'=+--=+--（3）000()()[()()][()()]lim ()lim lim22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a→→→+--+-+--== 1['()'()]'()()2G x G x G x f x =+== （4）11|()()||()()||[()()]()()|22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a aξ+--=-=+---⎰|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+三、求曲线 ln ln 1x y += 所围成的平面图形的面积. [解1]去掉绝对值曲线为：,11,1,101,0111,0101xy e x y y x x y ey ex x y xy x y e =≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且11111()()e ee x A ex dx dx e ex x e e =-+-=-⎰⎰[解2]令ln ,ln ,,,:||||1,uv x u y v x e y e D u v '====+≤则00uuv u v v uv xx e J e e y y e===⋅. ||DD dxdy J dudv '==⎰⎰⎰⎰u vD e e dudv '⋅=⎰⎰01111111u uu v u v u u e du e dv e du e dv e e+-----+=-⎰⎰⎰⎰.四、设曲面S 为曲线 e 0y z x ⎧=⎨=⎩ (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分24 d d 2 d d (1) d d SI zx y z z z x z x y =-+-⎰⎰[解1]S的方程为22(14)z x y =≤+≤补两平面2222212:(1,):(4,)S z e x y S z e x y =+≤=+≤下侧上侧122S S S VzdV ++=⎰⎰⎰⎰⎰2()2e e D z zdz d σ=⎰⎰⎰224252ln 22e e z zdz e e πππ==-⎰ 1222242(1)(1)(1)(1)xyS D zxdydz zdzdx z dxdy e dxdy e eππ-+-=--=--⋅=-⎰⎰⎰⎰；2121244225(1)4(1);(1)4(1)22xyS D S S S S S e dxdy e I e e e e πππππ44++=-=-=--=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰42332e e πππ13=--2 [解2]2(4,2,1)(,,1)x y DI zx z z z z dxdy =--⋅-⎰⎰222220142221(4cos 2sin 1)(41)1333(:14)22DD r edxdy dxdyd e r rdr e e D x y πθθθππππ⎤⎥=+-⎥⎦=-+--=--≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、设幂级数 0n n n a x ∞=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==;（1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..解（1）令101(),()nn n n n n S x a x S x na x ∞∞-=='==∑∑则22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a xa xa x S x ∞∞∞---===''=-===∑∑∑，()()0S x S x ''-=1201()(0)4,(0)1x x S x c e c e S a S a -'=+====由，求得125353,,()2222x x c c S x e e -===+（2）由000531313()0ln ,()0,()(ln )222525x x S x e e x S x S x S -'''=-==>∴=得又为极小值.六、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12f f x y f x π∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭, 且满足()coty 1 ( 0, )lim e 0,nn f y n f y →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求 (,)f x y . 解 1(0,)(0,)lim (0,)11(0,)(0,)(0,)lim lim 1(0,)(0,)n nnf y f y n f y nn n f y f y f y n n e f y f y →∞+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0,)(0,)y f y f y e = (0,)ln (0,)cot (0,)y f y d f y y f y dy==，对y 积分得ln (0,)lnsin ln (0,)sin f y y c f y c y =+=代入(0,)112f c π==得，(0,)sin ff y y f x∂==-∂又已知(,)()x f x y c y e -⇒=，(0,)sin f y y =，()sin (,)sin .xc y y f x y e y -∴==故七、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。
数学竞赛二试题及答案
数学竞赛二试题及答案试题一：计算下列表达式的值：\[ \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2} \]试题一答案：首先，我们可以对分子进行因式分解：\[ 2x^2 - 3x + 1 = (2x - 1)(x - 1) \]然后，将分子的因式分解结果代入原表达式：\[ \frac{(2x - 1)(x - 1)}{x - 2} \]由于 \( x \neq 2 \)，我们可以将 \( x - 2 \) 约去，得到：\[ 2x - 1 \]所以，表达式的值为 \( 2x - 1 \)。
试题二：解不等式：\( |x - 3| < 4 \)。
试题二答案：首先，我们可以将不等式分为两个部分来考虑：1. 当 \( x - 3 \geq 0 \) 时，不等式变为 \( x - 3 < 4 \)，解得\( x < 7 \)。
2. 当 \( x - 3 < 0 \) 时，不等式变为 \( -(x - 3) < 4 \)，即\( x > -1 \)。
综合两个部分，我们得到不等式的解集为 \( -1 < x < 7 \)。
试题三：证明：\( \sqrt{2} \) 是无理数。
试题三答案：我们采用反证法来证明 \( \sqrt{2} \) 是无理数。
假设 \( \sqrt{2} \) 是有理数，那么存在两个互质的整数 \( m \) 和 \( n \) 使得：\[ \sqrt{2} = \frac{m}{n} \]将等式两边平方，得到：\[ 2 = \frac{m^2}{n^2} \]这意味着 \( m^2 = 2n^2 \)，所以 \( m^2 \) 是偶数。
因此，\( m \) 也是偶数，设 \( m = 2k \)，其中 \( k \) 是整数。
代入上述等式，得到：\[ (2k)^2 = 2n^2 \]\[ 4k^2 = 2n^2 \]\[ 2k^2 = n^2 \]这表明 \( n^2 \) 也是偶数，因此 \( n \) 也是偶数。
高等数学II试题6套(精品文档)
高等数学II 试题解答一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定，则 z x ∂=∂xz xzxe y zey --++-。
2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =(4,0,-12)的方向导数最大。
3．L 为圆周224x y +=，计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π。
4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--。
5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）1．设) ,(y x f连续，交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序。
解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰2．计算二重积分D，其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域。
解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域，试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分。
解：()()drr r f d d dxdydzz y x f I ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=Ω4012220222sin ππφφθ4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)1f =，求()f x 。
解：[()]xP f x e y =-，()Q f x =-。
高中数学竞赛二试试题答案B卷
2021 年全国高中数学联合竞赛加试〔 B 卷〕试题参考答案说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 10 分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、〔此题总分值50 分〕如题一图，ABCD 是圆内接四边形．AC 与 BD 的交点为P ，E 是弧AB上一点，连接 EP 并延长交 DC 于点 F ，点 G , H分别在 CE ， DE 的延长线上，满足 E A G F A D，EBH FBC ，求证： C , D, G , H 四点共圆．[ 证 ]由条件知FAG FAE EAG FAE FAD DAE ．又DAE DCE 180 ，所以FAG DCE 180 ，从而 A, F , C, G 四点共圆，此圆记为 1 ．同理可证：B, F , D , H 四点共圆，此圆记为 2 ．点 E 在圆 1 ， 2 内．延长FE与圆 1 相交于点I，那么IP PF AP PC DP PB ，故 B, F , D , I 四点共圆．所以 I 在BFD 的外接圆上，故I 在 2 上．再用相交弦定理：E C E G EF E I E，故 C , D , G , H 四点共圆．二、〔此题总分值50 分〕求满足以下关系式组题一图答一图x2y22z2 , z y z 50,的正整数解组 ( x, y, z) 的个数．[解 ]令 r y z ，由条件知0r 50 ，方程化为x2( z r ) 22z2，即x22zr r 2z2．〔 1〕因 y z r0 ，故z2x2y2z2x2，从而 z x ．设 p z x0 ．因此〔1〕化为2zp p22zr r 20．〔 2〕下分 r为奇偶讨论，〔ⅰ〕当 r 为奇数时，由〔2〕知p为奇数．令 r2r1 1 ， p 2 p11，代入〔2〕得2( p12p1 zp1zr1r12r1 ) 1 0 ．〔 3〕〔3〕式明显无整数解．故当r为奇数时，原方程无正整数解．〔ⅱ〕当 r 为偶数时，设 r2r1，由方程〔2〕知p也为偶数．从而可设p 2 p1，代入〔2〕化简得p12zp1zr1 r120 ．〔 4〕由〔 4 〕式有z( p1r1 )p12r120 ，故 p1 r1，从而可设p1 r1 a ，那么〔4〕可化为(r1 a)2za r120，2r122ar1 za a20．〔 5〕因 z2r122r1 a 为整数，故a 2r12．a又 z z x 2 p12(r1a) ，因此(r1a)2r12za 2(r1a)a ，得 a22r12，a2r1．因此，对给定的 r11,2,,25 ，解的个数恰是满足条件a2r1的 2r12的正因数 a 的个数N (r1 ) ．因 2r12不是完全平方数，从而N (r1) 为 2r12的正因数的个数(2r12 ) 的一半．即N (r1 )(2r12 ) /2 ．由题设条件， 1 r1 25 ．而25 以内有质数9 个： 2， 3， 5， 7， 11， 13，17， 19， 23．将 25 以内的数分为以下八组：：A{2 0,21 ,2 2,2 3 ,2 4 } ，1A2{23,25,27,211} ，A3{2 23,225} ，A4{2 33} ，A5{232} ，B1{3,5,7,11,13,17,19,23} ，B2{32 ,5 2} ，B3{35,3 7} ，从而易知N ( A1 ) N (20 ) N (21 ) N (22 ) N (23) N (24 ) 1 2 3 4 5 15 ，N ( A2 ) N (2 3) 4 6 4 24 ，N ( A3 )9218，N ( A4 )12 ，N ( A5 )10，N ( B1 )3824 ，N ( B2 )5210 ，N ( B3 )9218 ，将以上数相加，共131 个．因此解的个数共131．三、〔此题总分值50 分〕设a k 0 ， k20211时，存在数列 { x n } 满足以下条件：1,2,, 2021 ．证明：当且仅当a kk 1〔ⅰ〕 0x 0x n x n 1 ， n 1,2,3,；〔ⅱ〕 lim x n 存在；n〔ⅲ〕x n20212007k ， n 1,2,3,．xn 1a k x n ka k 1 xnk 1k 0[ 证 ] 必要性：假设存在{ x n } 满足〔ⅰ〕，〔ⅱ〕，〔 iii 〕．注意到〔ⅲ〕中式子可化为2021 a k ( x n k x n k 1 ) ，nN * ，x nxn 1k 1其中x 00 ．将上式从第 1 项加到第 n 项，并注意到 x 00 得x n a 1 ( x n 1x 1 ) a 2 ( x n 2x 2)a2021( xn2021x2021 )．由〔ⅱ〕可设 blim x n ，将上式取极限得nb a 1 (b x 1) a 2 (b x 2 )a 2021(b x2021 )2021ba k (a 1 x 1 a 2 x 2a2021x2021 )k 12021ba k，k 12021因此a k1．k 12021充分性：假设a k 1．定义多项式函数如下：k12021f ( s)1a k s k ， s [0,1] ，k 1则f ( s) 在 [0,1] 上是递增函数，且f (0)1 0 ， f (1) 12021．a kk 1因此方程 f ( s)0 在 [0,1] 内有唯一的根 s s 0 ，且 0 s 01，即 f (s 0 ) 0 ．下取数列 { x n } 为 x nns 0k ， n 1,2,，那么明显地 { x n } 满足题设条件〔ⅰ〕 ，且k 1nn1x ns 0k s 0 s 0．k11 s 0因0 s0最后验证x n1，故 lim s0n 1 0，因此 lim x n limss0n 1s0，即 { x n } 的极限存在，满足〔ⅱ〕．n n n 1 s01s0{ x n } 满足〔ⅲ〕，因 f (s0 )0，即2021a k s0k1 ，从而k 1202120212021x n k 1)．x n 1 s0n(a k s0k ) s0n a k s0n k a k ( x n kk1k 1k1综上，已证得存在数列{ x n} 满足〔ⅰ〕，〔ⅱ〕，〔ⅲ〕．。
高等数学竞赛训练题(二)
高等数学竞赛训练题（理工类、数学专业适用））1、设0>a ，}{n x 满足：,00>x ,2,1,0),(211 =+=+n x a x x nn n证明：}{n x 收敛，并求。
n n x ∞→lim2、设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且31)(1 lim e x x f x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''. （答案：(0)0f =,(0)0f '=,(0)4f ''=）3、设0>a ，且)(x f 在),[+∞a 满足：),[,+∞∈∀a y x ，有|||)()(|y x K y f x f -≤-（0≥K 为常数）。
证明：xx f )(在),[+∞a 有界。
4、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥++<=0,;0 ,)(2x c bx ax x e x f x且f ''(0)存在, 试确定常数,,a b c .（答案：21=a ，1b =1c =）5、设当1->x 时, 可微函数)(x f 满足条件0d )(11)()( 0=+-+'⎰x t t f x x f x f ，且1)0(=f ，试证: 当0≥x 时, 有1)(≤≤-x f e x成立.6、计算三重积分⎰⎰⎰++=Vdxdydzcz by ax I )(222222。
其中V 是椭球体1222222≤++cz by ax ． （答案：45a b c π）7、讨论积分dxxxx x qp⎰∞++πcos 的敛散性。
（数学专业选做，提示：利用Cauchy 收敛准则，答案：当1),max(>q p 时，收敛；当时1),max(≤q p ，发散） 8、设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '== 求证：( 0, 1 )ξ∃∈ 使()2f ξ''=.9、设f 在],[b a 上可微，且a 与b 同号，证明：存在),(b a ∈ξ，使 （1）)(')()]()([222ξξf a ba fb f -=-；（2）)('ln )()(ξξf a b a f b f ⎪⎭⎫⎝⎛=-.10、设R f →]1,0[:二阶可微，1)1('),1()0(==f f f ，证明：存在)1,0(∈ξ，使2)("=ξf .（提示：令x x x f x F +-=2)()(）11、设)(x f 是定义在),(∞+-∞上的函数，1)0(',0)(=≠f x f .且.)()()(,),(,y f x f y x f y x =+∞+-∞∈∀ 证明：f 在),(∞+-∞上可导，且)()('x f x f = . 12、设),,2,1,(sin sin sin )(221n i R a nxa x a x a x f i n =∈+++=，且|sin ||)(|x x f ≤，证明：1|2|21≤+++n na a a .13、设f 在],[b a 上二阶可微，0)()(==b f a f ，0)(')('>-+b f a f ，则方程0)("=x f 在),(b a 内至少有一个根 .14、设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内的任一点，证明()22b fc a '≤+.15、设13[0,1],(0)1,(1)2,'02f C f f f ⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭. 证明： (0,1)ξ∃∈，使()24f ξ'''≥.16、（2003高数一）将函数xx x f 2121arc tan)(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和. （答案：].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x xn x f n n nnπ0(1)214nn n π∞=-=+∑）17、（2003高数一）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y x f dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+= (1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>18、（2004年上海交通大学）设()d af x x +∞⎰收敛,且)(x f 在[)+∞,a 上一致连续，证明)(lim x f x +∞→= 0. （数学专业选做） 19、（2004年上海交通大学）计算下述积分：d Dx y ⎰⎰，其中D 是矩形区域x 1≤，20≤≤y 。
2021年江苏省高等数学竞赛试题汇总
江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上持续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -边长为2，E 为11D C 中点，F 为侧面正方形11BCC B 中点，（1）试求过点1,,A E F 平面与底面ABCD 所成二面角值。
（2）试求过点1,,A E F 平面截正方体所得到截面面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增长，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n nx a =，鉴别级数1n n x ∞=∑敛散性.江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =拟定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=拟定(),z z x y =，则z zx y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上持续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体体积最大。
全国高中数学联赛二试平面几何赛题精选
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总1 （类似九点圆）如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。
于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。
ABDCEFP1O 2O因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。
高等数学2试题及答案
高等数学2试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. x^3-3C. 3x^2-1D. 3x^2+3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
A. 0B. 1/3C. 1/2D. 2答案：B3. 计算级数∑(1/n^2)（n从1到∞）的和。
A. 1B. π^2/6C. eD. ∞答案：B4. 设函数f(x)=sin(x)，则f'(x)等于：A. cos(x)B. -sin(x)C. cos(x)-xD. -cos(x)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+4，求f(x)的最小值。
答案：02. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
答案：13. 设函数f(x)=e^x，求f''(x)的值。
答案：e^x4. 设函数f(x)=ln(x)，则f(1)的值为：答案：0三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极小值点，x=11/3为极大值点。
2. 计算定积分∫(0,π) sin(x) dx。
解：∫(0,π) sin(x) dx = (-cos(x))|_0^π = 2。
3. 求级数∑((-1)^n * 1/n)（n从1到∞）的和。
解：该级数为交错级数，且满足收敛条件，因此其和为ln(2)。
4. 求函数f(x)=x^2-4x+c的顶点坐标。
解：顶点的x坐标为x=-b/2a=2，将x=2代入函数得y=-4+c，因此顶点坐标为(2, -4+c)。
5. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的切线方程。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-3，将x=2代入得f'(2)=9，f(2)=3。
2010高数2竞赛试题及答案
2010年五邑大学高等数学竞赛(第二组)参考解答填空题（每小题5分，共25分） 1. 21sinlimsin x x x x→的值为______0_________2. 设函数x x y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x ln21-。
3. 设xxy2cos =，则=dydxxx x x xy x)2cos ln 2sin 2(2cos +⋅-=4.设()f x 在2x =处连续,且2()lim3,2x f x x →=- 则(2)3.f '=5. 设函数()x,y z z =由方程52e =++xy z z ，则()=0,2,1d z y x d d 2--。
选择题（每小题5分，共25分）1．若0sin lim(cos )5xx x x b e a→-=-，则 D.()A1a =，4b = ()B 1a =-，4b =-()C 1a =-，4b = ()D 1a =，4b =-2．3211()9132f x x x x =++-的图形在点(0,1)处的切线与x 轴交点的坐标是A .()A1(,0)9-()B (1,0)- ()C 1(,0)9()D (1,0)3．下列各式中正确的是 A .()A1lim (1)1xx x+→+=()B 01lim (1)xx e x+→+=()C 1lim (1)xx e x→∞-=-()D 1lim (1)x x e x-→∞+=4. 函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的 B .A 充分条件,但不是必要条件B 必要条件,但不是充分条件C 充分必要条件D 既不是充分条件,也不是必要条件5. 若()f x 为(,)-∞+∞内的奇函数，在(,0)-∞内()0f x '>，且()0f x ''<，则在(0,)+∞内 有 BA 、()0f x '>，()0f x ''<B 、()0f x '>，()0f x ''>C 、()0f x '<，()0f x ''<D 、()0f x '<，()0f x ''>15分，共75分）1. 已知sin cos t tx e t y e t⎧=⎨=⎩，求22d ydx . cos sin cos sin sin cos sin cos t tt tdy dye t e t t tdt dx dx e t e t t t dt--===++22d y dx=cos sin cos sin 1()()sin cos sin cos sin cos ttdt tdt tdx t tdt t te t e t--=∙+++=3(12sin cos )(12sin cos )(sin cos )tt t t t e t t -+--+=32(sin cos )te t t -+2. 求不定积分1cos x dxx+⎰.21cos 2cos2xx dx dx xx=+⎰⎰=21sec22x x dx⎰=tan2x xd ⎰=tan tan 22x xx dx-⎰=sin 2tan2cos2x x x dx x -⎰=cos2tan 22cos2xd x x x +⎰ =tan2ln |cos|22x x x C++3. 设(,,)z f x u v =而2u x y =+，v xy =，其中f 有二阶连续偏导数，求z x∂∂，2z x y∂∂∂.222222222(2)2z f f f yxx uvz ff f f f f xx y xyx yx ux vu vuvv∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂4. 计算二次积分21120y xdx x e dy -⎰⎰.2211230111131111 ()66663yyytttdy x edx y e dy t te dt ee e------====--=-⎰⎰⎰⎰原式5. 求函数项级数1nx n ne ∞-==∑的收敛域以及和函数()S x ，并计算ln 3ln 2()S x dx ⎰. 111''2111, (1)(1)()(1,1)()()()1(1)110,0,)(0,),()()(1xnxnn n n n n n xnxn x xy eneny f y y y y f y y nyy y y yy ex neex S x f e∞∞--==∞∞-==∞--=--=∈-====---<<>+∞∈+∞==∑∑∑∑∑令则级数可化为的收敛域为(-1,1),设其和函数为由幂级数的性质知，时，解不等式得故的收敛域为（且时2ln 3ln 3ln 32ln 2ln 2ln 2,)11()(1)12xx xxe eS x dx dx e e-----==-=--⎰⎰所以四．证明题10分） 设()f x 与在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在一点(0,1)ξ∈使()()f f ξξξ'=-.证明：令()()x xf x ϕ=，则()x ϕ在[0,1] 上连续，在(0,1)内可导， 且()()()x f x xf x ϕ''=+，又(0)0ϕ=，(1)0ϕ=，所以(0)(1)ϕϕ=由罗尔定理可知，至少存在(,)a b ξ∈使得()0ϕξ'=，因此()()f f ξξξ'+=0所以()()f f ξξξ'=-五．应用题 15分）过抛物线2y x =上点2(,)a a 作切线，问a 为何值时，所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成图形面积最小？解：设切线斜率为k ，则|2|2x a x a k y x a=='===切线方程为22()y a a x a -=-，即22y ax a =-又设该切线与抛物线241y x x =-+-两交点横坐标为0x 和1x ，不妨设01x x < 由 222222(2)1041ax a y x a x a y x x ⎧-=⇒+-+-=⎨=-+-⎩所以012(2)x x a +=-，2011x x a ∙=- 因此122(412)x x S x x ax a dx =-+--+⎰=10322[(2)(1)]3xx xa x a x -+-+-=2102(243)()3a a x x -+-=3224(243)3a a -+1228(243)(1)S a a a '=-+-，令01S a '=⇒=（唯一）当1a <时0S '<，当1a >时0S '>，所以在1a =时S 有唯一极小值，此即为最小值，从而1a =时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成图形面积最小.。
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命题人： 试卷分类（A 卷或B 卷） A
五邑大学高等数学竞赛（第二组） 试 卷
专业：
班级：
姓名： 学号：
填空题（每小题3分，共15分） 1.1
lim
(123).x
x
x
x →+∞
++=
2..x =
⎰
求
3.20000(())()
()lim .x f x x x f x f x x ∆→+∆+∆-'=
∆设存在，求
4.设()f x 在2x =处连续,且2
()
lim
3,2
x f x x →=- 则(2).f '=
5.(
)
cot 110
lim .x
x x
x +-→=
选择题（每小题3分，共15分）(将正确选项的字母填入括号内)
1. 当0x →时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（ ） A 2x B 1cos x - C tan x x - D ln(1)x +.
2.
1
402sin lim ()
1x x x e x x e →⎛⎫
++= ⎪ ⎪+⎝⎭
A 1
B -1
C 0
D 不存在.
3. 设有三非零向量,,a b c 。
若0, 0a b a c ⋅=⨯= ，则b c ⋅=。
A 0
B -1
C 1
D 3
4. 函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).
A 充分条件,但不是必要条件
B 必要条件,但不是充分条件
5.
110
(,)x
dx f x y dy -⎰⎰
=( )
A 1100
(,)x
dy f x y dx -⎰
⎰； B
1
10
0(,)x
dy f x y dx -⎰
⎰
； C
1
10
(,)y dy f x y dx -⎰
⎰
； D
1
10
(,)y
dy f x y dx -⎰
⎰
.
8分，共24分）
1. 求(1)sin ()(1)(1)
x x
f x x x x +=
+- 的间断点, 并判别其类型.
2. 设2
sin x y e =求.y '
3. 计算二重积分2
2
2()d d ,x
y D
I x x ye x y +=+⎰⎰其中:
(1) D 为圆域221;x y +≤
(2) D 由直线,1,1y x y x ==-=围成 .
1. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上, 它的底边高于观察者的眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多 远处看图才最清楚(视角θ 最大) ?
2. 计算半径为 a 的球的表面积.
3.计算三重积分d d d ,x x y z Ω
⎰⎰⎰其中Ω 为三个坐标面及平面21x y z ++=所围成的闭区域.
1.证明02x π<≤时, 成立不等式
sin 2
.x x π
≥
2．()[,](),f x a b a b 设在上连续，在，内可导且0,a b <<试证存在,(,),a b ξη∈
()().2a b
f f ξηη
+''=使。