随机变量及其概率分布
概率论中的随机变量及其分布的特点和性质
概率论中的随机变量及其分布的特点和性质随机变量是概率论与数理统计中的一个重要概念，它可用于描述某种随机过程中，可能出现的各种数值结果。
其定义包括两个方面，即具有某种分布规律和可能取相应数值。
下面就随机变量及其分布的特点和性质，进行介绍和探讨。
一、随机变量的定义和基本概念随机变量是将随机试验的结果映射到一组实数，即使试验的结果不确定，随机变量却具有确定性的特征。
常用符号包括X、Y等，大写表示随机变量本身，小写表示特定的取值。
随机变量仅是映射结果，而不是试验过程本身。
随机变量可以是离散型和连续型两种。
如果随机变量只能取离散值，称为离散随机变量，如掷骰子、投硬币等试验结果；如果随机变量是在一连续的区间上变化的，称为连续随机变量，如电压、温度等。
概率分布是随机变量取各种可能值的可能性大小，通常由概率密度函数或累积分布函数来描述。
概率密度函数是表示连续随机变量X 可能取到某个数值的概率分布，表示为f(x)，满足非负性、归一性和可积性。
累积分布函数是表示随机变量X小于等于x的概率分布，表示为F(x)，具有单调不降性和右连续性。
二、离散型随机变量及其分布的特点和性质离散型随机变量指只可能取离散值的随机变量，取值只能是有限或无限个数，但个数可以是可数的。
例如，某班学生的身高和体重等指标就是离散型随机变量。
离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数表示，通常记为P(X=x)，表示随机变量X取值为x的概率，满足非负性和归一性。
离散随机变量的特点和性质如下：1. 概率非负性：对于任意一个取值x，有P(X=x)≥0。
2. 归一性：所有可能取值x的概率之和为1，即∑P(X=x)=1。
3. 可数性：离散随机变量的取值是有限个或可数无限个。
4. 期望与方差：离散随机变量的期望和方差分别为E(X)=∑xP(X=x)和Var(X)=E[X-E(X)]^2=∑(x-E(X))^2P(X=x)。
5. 独立性：如果两个离散随机变量X和Y，对于任何一组实数x 和y，都有P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)，则称X和Y是独立的。
随机变量及其概率分布典型例题
概率与数理统计课件
天津科技大学理学院数学系
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
第8讲 随机变量及其概率分布习题课
教学目的：通过对随机变量(一维,二维为主)及其概率分布的归纳总结, 及典型
知识要点回顾：
1. 一维随机变量及其分布函数. 2. 离散型随机变量及其概率分
5. 二维随机变量(X,Y)及其分布
函数F(x,y).
6. 二维随机变量的边际分布函
布列.
3. 连续型随机变量及其概率密
数及边际概率密度.
7. 随机变量的独立性. 8. 随机变量函数的分布.
度函数.
4. 常用的随机变量.
1 1
0 0
e
x y
dxdy 1 e1 .
2
随机变量及其概率分布典型例题解析
X \Y 7.设二维随机变量 X , Y 的联合概率分布为 1 2 1 1
5 20 3 20 2 20 3 20
返回
2
6 20 1 20
.求(1) X Y ; (2) X Y 的概率分布.
1 1 P X k 2 1 k 3. 3 ,故 P X k 3 ,即 F k 3 ,从而
5) 3 x 6时，F x dx
dx 0dx 1.
6
0 x
1
解
1) 1
f x, y dxdy
题的分析讲解,使学生对概部分内容有较深的理解与认识.
教学重点：随机变量(离散型,连续型),分布函数,六个重要的分布(两点, 二
2.1随机变量及其概率分布
例1
袋中有3只红球， 只白球 从中任意取出3只球 只白球， 只球， 袋中有 只红球，2只白球，从中任意取出 只球， 只红球 写出所有的基本事件，并观察取出的3只球中的红 写出所有的基本事件，并观察取出的 只球中的红 球的个数． 球的个数． 我们将3只红球分别记作 只红球分别记作1， ， 号 我们将 只红球分别记作 ，2，3号，2只白球分别 只白球分别 记作4，5号，则该试验的所有基本事件为： 记作 ， 号 则该试验的所有基本事件为： ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，2，3）（ ，2，4）（ ，2，5） ， ， ）（ ）（1， ， ）（ ）（1， ， ） （1，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ ）（2， ， ）（ ）（2， ， ） （2，3，4）（ ，3，5）（ ，4，5） ， ， ）（ （3，4，5） ， ， ）
例题分析：
例 4、同时掷两颗质地均匀的骰子， 、同时掷两颗质地均匀的骰子， 观察朝上一面出现的点数。求两颗骰 观察朝上一面出现的点数。 的概率分布， 子中出现的最大点数 X 的概率分布， 并求 X 大于 2 小于 5 的概率 P(2<X<5).
例题分析：
个灯泡， 例 5、已知盒中有 10 个灯泡，其 、 个正品， 个次品.需要从中 中 8 个正品，2 个次品 需要从中 取出 2 个正品，每次取出 1 个， 个正品， 取出后不放回， 取出后不放回，直到取出 2 个正 品为止.设 为取出的次数， 品为止 设ξ为取出的次数，求ξ 的分布列
此表称为随机变量X的概率分布表。它和① 此表称为随机变量 的概率分布表。它和①都叫做随 机变量X的概率分布。 机变量 的概率分布。
随机变量X的概率分布列：
X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
首页 返回 退出
§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
首页 返回 退出
定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
首页 返回 退出
这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
首页 返回 退出
常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
概率分布与随机变量的分布函数计算
概率分布与随机变量的分布函数计算随机变量是概率论和统计学中一个重要的概念，它被用来描述随机试验的结果。
概率分布是随机变量的可能取值及其相应概率的分布。
在本文中，我们将讨论如何计算概率分布和随机变量的分布函数。
一、概率分布的计算概率分布可以通过概率质量函数（probability mass function，简称PMF）或概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。
这取决于随机变量是离散型还是连续型。
1. 离散型随机变量的概率分布计算对于离散型随机变量，其概率分布可以通过概率质量函数来计算。
概率质量函数给出了每个可能取值的概率。
假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ... , xn}，对应的概率分布为{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}。
其中P(X=xi)表示X取值为xi的概率。
2. 连续型随机变量的概率分布计算对于连续型随机变量，其概率分布可以通过概率密度函数来计算。
概率密度函数是一个函数，描述了随机变量在某个取值点附近的概率密度。
假设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X在区间[a, b]上的概率可以通过计算f(x)在该区间上的面积来得到，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b)f(x)dx。
二、随机变量的分布函数计算随机变量的分布函数是一种用来描述随机变量取值分布情况的函数。
对于离散型随机变量和连续型随机变量，它们的分布函数的计算方式是不同的。
1. 离散型随机变量的分布函数计算离散型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）定义为随机变量小于等于某个取值的概率。
CDF可以通过累加概率质量函数来计算。
对于随机变量X的概率分布{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}，其对应的分布函数为F(x) = P(X≤x) = ∑(xi≤x) P(X=xi)。
概率论与数理统计随机变量及其分布
问题三 随机变量的一些例子
在随机试验中，试验结果很多本身就由数量表示 每天进入教室的人数X 某个时间段吃饭排队的人数X 电灯泡使用的寿命T 而在另一些随机试验中，比如检查一个产品是否合格，此时样本空间
S=｛合格品，不合格品｝，若用1对应合格品，-1对应不合格品，这 样就都有唯一确定的实数与之对应。
P { 而a 且 Xx i所 成b } 的 任P 何{ a 事 x i 件 b { 的X 概 率x 都i} 能} 够a 求 x i出 b 来p i，
2.2 离散型随机变量及其概率
分P {X 布 I} P {Xxi} p i
xi I
xi I
2.2 离散型随机变量及其概率分布
3 常用离散分布 两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X只有两个可能
1.随机变量的引入
从上面的例子可以看出随机试验的结果都可用一个实数 来表示，这个数随着试验的结果不同而变化，它是样本
点的函数，这个函数就是我们要引入的随机变量。
2 随机变量的定义
随机变量：设随机试验的样本空间为S，称定义在样本空间S 上的实值函数X=X( )为随机变量。
随机变量的表示： 常用大写字母X,Y,Z或希腊字母
时，
b(k,n, pn)=
lim
讲课本n 例6，例7
l i m k
n
Cnkpnk(1pn)nk
e k!
2.3 随机变量的分布函数
随 机 变( 量 的 分布x函数)
定义1 设X是一个随机变量，称F(x)=P{X≤x} 为X的分布函数。有时记作X~F（x） 这个概率具有什么特点呢? 具有累积性 这个概率与x有关，不同的x此累积概率的值也不同。 注：①X是数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)的值就表示X落在区间
概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布
6 6 X ~ ( ), 且 P X 0 e 即 e e 6
P { X 2 } 1 P { X 2 } 1 P { X 0 } P { X 1 }
6 6 1 e 6 e 0 . 9826
A={X=1}，B={X=2}，C={X=0}
② 设Y为进行5次试验中成功的次数，则 D={Y=1}，F={Y1},G={Y3}
随机变量的分类
离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型）
§2 离散型随机变量的分布律(P27)
定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … ，且取这些 值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律。 可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )， 或…
k k n
k 0 , 1 , , n
若以X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数， P(A)=p, 则称X服从参数为n,p的二项分布。 记作X~b(n,p), 其分布律为：
P { X k } p ( 1 p ), ( k 0 , 1 ... n ) C n
kk
n k
例2 掷一颗骰子10次，求（1）双数点出现6次的概率？ （2）“3”点出现两次的概率？ 解：(1)设X表出现双数点的次数，则X~b(10，1/2） 6 6 10 6 6 10 1 1 1 所求概率： P ( X 6 ) C ( ) ( ) C ( ) 10 10 2 2 2 (2) 设Y表出现“3”点的次数，则Y~b(10，1/6） 2 1258 所求概率为： P ( Y 2 ) C () () 10
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
随机变量及其分布
f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F
随机变量及其概率分布
随机变量及其概率分布随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，描述了随机事件的数值特征。
概率分布则用于描述随机变量取值的概率情况。
本文将介绍随机变量及其概率分布的基本概念和常见的概率分布模型。
一、随机变量的定义与分类随机变量是对随机事件结果的数值化描述。
随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
1. 离散型随机变量离散型随机变量只能取有限个或可数个值，常用字母X表示。
例如，抛掷骰子的点数就是一个离散型随机变量，可能取1、2、3、4、5、6之一。
2. 连续型随机变量连续型随机变量可以取某个区间内的任意值，通常用字母Y表示。
例如，测量某个物体长度的随机误差就可看作是一个连续型随机变量。
二、概率分布的概念与性质概率分布描述了随机变量取值的概率情况。
常见的概率分布包括离散型分布和连续型分布。
1. 离散型概率分布离散型概率分布描述了离散型随机变量取值的概率情况。
离散型概率分布函数可以用概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示。
PMF表示了随机变量取某个特定值的概率。
离散型概率分布函数具有以下性质：①非负性，即概率大于等于0；②归一性，即所有可能取值的概率之和等于1。
常见的离散型概率分布有：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布描述了连续型随机变量取值的概率情况。
连续型概率分布函数可以用概率密度函数（probability density function，PDF）来表示。
PDF表示在随机变量取某个特定值附近的概率密度。
连续型概率分布函数具有以下性质：①非负性；②积分为1。
常见的连续型概率分布有：均匀分布、正态分布、指数分布等。
三、常见的1. 伯努利分布伯努利分布描述了一次随机试验中两个互斥结果的概率情况，取值为0或1。
其概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，k=0或1其中，p为成功的概率，1-p为失败的概率。
概率论与数理统计第2章随机变量及其分布
1 4
)0
(
3 4
)10
C110
(
1 4
)(
3 4
)9
0.756.
(2)因为
P{X
6}
C160
(
1)6 4
(
3 4
)4
0.016
,
即单靠猜测答对 6 道题的可能性是 0.016,概率很小,所
以由实际推断原理可推测,此学生是有答题能力的.
二项分布 b(n, p) 和 (0 1) 分布 b(1, p ) 还有一层密切关
P{X 4} P(A1 A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.48 ,
P{X 6} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.08 , P{X 10} P(A1A2 ) P(A1)P(A2 ) 0.32 , 即 X 的分布律为
X 0 4 6 10
P 0.12 0.48 0.08 0.32
点 e, X 都有一个数与之对应. X 是定义在样本空间 S 上的
一个实值单值函数,它的定义域是样本空间 S ,值域是实数
集合 {0,1,2},使用函数记号将 X写成
0, e TT , X＝X (e) 1, e HT 或TH ,
2, e HH.
▪
例2.2 测试灯泡的寿命.
▪
样本空间是 S {t | t 0}.每一个灯泡的实际使用寿命可
(2)若一人答对 6 道题,则推测他是猜对的还是有答 题能力.
解 设 X 表示该学生靠猜测答对的题数,则
X
~
b(10,
1) 4
.
(1) X 的分布律为
P{X
k}
C1k0
(
1)k 4
(
3 4
概率论与数理统计：随机变量及其分布
以X记 A在 n 次试验中发生 的次数,X为一个随机变量 其分布律为
n k P( X = k ) = p (1 p) n k 记 q = 1 p k
n k nk P( X = k ) = p q k
n k n k L p q L k 称这样的分布为二项分布 二项分布.记为 称这样的分布为二项分布 记为 X ~ b(n, p).
X
0
1
1
2
2
3
5 3 2 0.6 0.4 3
4
5
pk (0.4)6 0.4 0.65 4
二项分布随机数演示 二项分布随机数演示
例3 某人进行射击 , 设每次射击的命中率为 0.02, 独立射击 400 次 , 试求至少击中两次的概 率 . 解 设击中的次数为 X ,
X
pk
1 1 6
2 1 6
3 1 6
4 1 6
5 1 6
6 1 6
均匀分布随机数演示 均匀分布随机数演示
3.二项分布 二项分布
n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A, 设 P ( A) = p (0 < p < 1), 此时P( A) = 1 p.
将 将 E 独立地重复地进行 n 次 , 则称这一串重 复的独立试验为 n 重伯努利试验 .
(3)随机变量与随机事件的关系 随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概 念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究 念之内 或者说 随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随 随机现象 而随机变量则是从动态的观点来研究随 机现象. 机现象 (4) 随机事件可以用随机变量表示
4. 泊松分布
概率论与数理统计第二章--随机变量及其分布
第十四页，编辑于星期二：四点 四十二分。
由于 X的取值点 3,4,5,6将R分成五个区间，
因此我们分段讨论可得，
?0,
x ? 3,
F( x )
F (x) ? ????00..02,5,
3 ? x ? 4, 4 ? x ? 5,
1
0.5
?0.5, 5 ? x ? 6,
0.2
?
0.05
??1,
x ? 6.
且每台设备在一天内发生故障的概率都是
0.01. 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修人员.假设一台设备的故障可由一人 来处理，且每人每天也仅能处理一台设备. 试分别在以下两种情况下求该公司设备发生 故障而当天无人修理的概率。 （1）三名修理工每人负责包修 60台 （2）三名修理工共同负责 180台
则称 X服从参数为 p的两点 (或0-1)分布.
第十九页，编辑于星期二：四点 四十二分。
?二项分布
例4. 设射手每一次击中目标的概率为 p，现连 续射击n次，求击中次数 X 的概率分布 .
若随机变量X的概率分布为
Pn (k)
?
P
(
X
?
k)?C
k
n
p
k
(1
?
p)n?k ,
k ? 0,1,? , n
其中 0< p<1,称X服从参数为n和 p的二项分布，
第二十一页，编辑于星期二：四点 四十二分。
?泊松分布
若随机变量 X的概率分布为
P( X ? k) ?e? ? ? k , k?0,1,2,? ? ,
k!
其中λ>0为常数，则称X服从参数为λ的泊松
分布，简记为 X ~ P (? )
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结
概率与统计中的随机变量及其分布知识点总结在概率与统计学中，随机变量是一种具有概率分布的变量，它可以用来描述不确定性的现象和事件。
随机变量的理论是概率论的核心内容之一，掌握随机变量及其分布知识点对于理解概率与统计学的基本原理及应用具有重要意义。
本文将对概率与统计中的随机变量及其分布进行知识点总结。
一、随机变量的概念与分类随机变量（Random Variable）是指对于随机试验结果的数值描述。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两类。
1. 离散型随机变量离散型随机变量（Discrete Random Variable）的取值为有限个或可数个。
常见的离散型随机变量有伯努利随机变量、二项分布随机变量、泊松随机变量等。
2. 连续型随机变量连续型随机变量（Continuous Random Variable）的取值可以是任意的实数。
通常用于表示测量结果或特定区间内的变化。
常见的连续型随机变量有均匀分布随机变量、正态分布随机变量等。
二、随机变量的分布函数与概率函数随机变量的分布函数和概率函数是描述随机变量的重要工具。
1. 分布函数分布函数（Distribution Function）是随机变量取值小于或等于某个值的概率，通常记作F(x)，其中x为随机变量的取值。
分布函数的性质包括：非递减性、右连续性、左极限性质。
2. 概率函数（密度函数）概率函数（Probability Density Function）用于描述连续型随机变量的概率分布情况，通常记作f(x)，其中x为随机变量的取值。
概率函数的性质包括：非负性、归一性。
三、常见的随机变量及其分布在概率与统计学中，有一些常见的随机变量及其分布是被广泛应用的。
1. 伯努利随机变量伯努利随机变量（Bernoulli Random Variable）是最简单的离散型随机变量，它只有两个取值，通常用来描述成功或失败的情况。
2. 二项分布随机变量二项分布随机变量（Binomial Random Variable）描述了n个独立的伯努利试验中成功的次数，其中n为试验次数，p为单次成功的概率。
随机变量及其概率分布
第二章随机变量及其概率分布【内容提要】一、随机变量及其分布函数设是定义于随机试验的样本空间上的实值函数，且，是随机事件，则称为随机变量，而称为其概率分布函数。
随机变量的概率分布函数具有如下性质:⑴．非负性:，有；⑵．规范性:；⑶．单调性: 若，则；⑷．右连续性:，有。
二、离散型随机变量1．离散型随机变量及其概率分布律若随机变量只取一些离散值，且取到这些值的概率满足，则称为离散型随机变量，而称为其概率分布律，记为，也可用下表来表示:而其概率分布函数是单增、右连续的阶梯形函数。
2．常用离散型分布⑴．单点分布:为常数；⑵．二项分布:；特别当时，二项分布退化为两点分布；⑶．超几何分布:；⑷．分布:；特别当时，分布退化为几何分布；⑸．分布:。
三、连续型随机变量1．连续型随机变量及其概率密度函数若随机变量的一切可能取值充满了某一区间，且存在一个实值函数，使其概率分布函数，且，则称为连续型随机变量，而称为其概率密度函数，记为。
连续型随机变量的密度函数与分布函数之间有满足。
2．常用连续型分布⑴．分布:设为常数，则分布的密度函数为:,特别当时，分布即均匀:；⑵．分布:设为常数，则分布的密度函数为:,特别当时，分布即指数分布:；⑶．正态分布:。
四、随机变量函数的分布设为随机变量，而为连续的确定型函数。
⑴．若为离散型随机变量，且，则也是离散型随机变量，其概率分布律为: ；⑵．若为连续型随机变量，且，则也是连续型随机变量，其概率密度函数为:。
【第二章作业】1、从的自然数中随机地取出个数，用表示所取的个数中的最大值，求其概率分布。
解:发生所取的个数中有一个是，其余个是从中取到的，故，，即2、将一枚均匀的硬币连掷次，用表示出现的正、反面次数之差，求其概率分布。
解:用表示将一枚均匀的硬币连掷次时，正面出现了次，则，即3、设随机变量的概率分布如下，求:0 1 2 3 4 5解:由题设知所求概率为:，，。
4、设随机变量的概率分布为，求常数。
第四章 随机变量及其概率分布
HaiNan University
6
第二章 随机变量及其概念分布
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
X
(e
)
1,
0,
e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 ={红色，白色} 数量化了.
HaiNan University
7
第二章 随机变量及其概念分布
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
P{ x1 X x2} P{ X x2}P{ X x1}
?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
函数
HaiNan University
22
第二章 随机变量及其概念分布
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数 F(x) P{X x}
={1，2，3，4，5，6}
样本点本身就是数量 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
HaiNan University
8
第二章 随机变量及其概念分布
实例3 结果:
掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 e1 (反面朝上), e2 (正面朝上),
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
X (e)
0 X (e1) 0
e2 (正面朝上)
1 X (e2 ) 1
即 X (e) 是一个随机变量.
HaiNan University
随机变量及其概率分布
考试内容
随机变量随机变量的分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布
连续型随机变量的概率密度常见随机变量的概率分布随机变量函数的概率分布
考试要求
1．理解随机变量及其概率分市的概念．理解分布函数F（x）=P{X≤x}(－∞<x<+∞）的概念及性质，并会计算与随机变量相联系的事件的概率。
理解各种分布的背景和主要特征；
注意随机变量和随机事件的转化〔等价性〕。
7、函数分布
离散型：已知 的分布列为
，
的分布列（ 互不相等）如下：
，
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
例2．23：已知随机变量 的分布列为
，
其中 。求 的分布列。
解：
连续型：先利用X的概率密度 写出Y的分布函数， ，再利用变上下限积分的求导公式求出 。
具有如下性质：
1° 的图形是关于 对称的；
2°当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
标准化公式及其应用：〔正态分布的概率计算一定要化为标准正态分布〕
一、主要内容讲解
1、分布函数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数
称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（–∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
随机变量及其概率分布
(1)非负性 f(x)≥0 ;
(3)
P{x
1<X≤x
2}=
x2
x1
f
(
x)dx
;
(2)归一性 f ( x)dx =1 ; (4)若 f (x)在点 x 处连续,则 f (x)=F/ (x) .
注意：连续型随机变量 X 取任一指定实数值 a 的概率为零,即 P{X= a}=0 .
3.三种重要的连续型随机变量的分布
(1)X～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布
f
(
x)
1 b
a
0
a xb 其它 .
(2)X
服从参数为的指数分布.
f
x
1
e x /
0
若x 0 若x 0
(>0).
(3)X~N (,2 )参数为,的正态分布 f ( x)
1
( x)2
e 2 2
2
-<x<,
>0.
特别, =0, 2 =1 时,称 X 服从标准正态分布,记为 X~N (0,1),其概率密度
三.连续型随机变量 1. 定 义 如 果 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 F(x) 可 以 表 示 成 某 一 非 负 函 数 f(x) 的 积 分
F(x)= x f t dt ,-∞< x <∞,则称 X 为连续型随机变量,其中 f (x)称为 X 的概率密度(函数).
1
2.概率密度的性质
Xk x
其跳跃值为 p k=P{X=x k} .
3.三种重要的离散型随机变量的分布
(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(3)右连续性:
x0 R,
有 lim
xx0
F
(
x)
F
(
x0
)
.
注: 对任一满足上述三个性质的函数, 都可以作为某
随机变量的分布函数.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
例1. 判断下列函数是否为分布函数:
F ( x)
o
xx
注: 连续型随机变量的分布函数 F(x) 是连续函数.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
3.概率密度函数 f (x)的性质:X
x
《概率统计》电子教案
二、随机变量的分类
第二章 随机变量及其概率分布
离散型随机变量: 取值为有限个或可列无穷多个. 例如:抛掷一枚色子出现的点数.
连续型随机变量: 取值为某一区间上的值. 例如:零件尺寸与规定尺寸的偏差.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
②引入随机变量是为了将试验结果数量化, 这样 就可以用微积分的理论对随机现象的规律性进行研究.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
则X的分布函数为:
0,
x3
F ( x)
PX
x
1/10, 1/10 3/10,
3 x 4
4 x5
pi
i: xi x
1/10 3/10 6/10, x 5
F ( x)
1
4/1 0 1/10
O
3
4
5
x
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
是
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
例2. 设随机变量X的分布函数为
F (x) A B arctan x x ,
求A和B的值.
解: 由规范性知 F lim F (x) A B 0
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
0,
x0
例4.
设
X
~
F (x)
x / 2, 2 / 3,
0 x1 1 x
11/12, 2 x 3
1,
x3
求 PX 1, PX 3, P{X 1/ 2}, P2 X 4 .
x
f
(t)dt
（2）规范性:
+
f (x)dx 1;
注: 任一满足以上两条性质的函数, 都可以作为某连续型
随机变量的概率密度函数.
（3）Pa
X
b
F (b)
F (a)
b
a
f
(x)dx
;
（4）若f (x)在x处连续, 则 F(x) f (x) .
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
第二章 随机变量及其概率分布
例如: 若用X表示掷一枚色子的试验中出现的点数, 则
{X 5} { X () 5} 表示掷出点数小于5这一事件,
{X 3} 表示掷出的点数为3点这一事件.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
三、离散型随机变量及其分布列
1.定义: 设 xi (i 1,2,L )为离散型随机变量X的所有可
能取值, 事件 X xi的概率 PX xi pi,i 1,2,L
称为X的分布列(律), 常写成表格形式:
X x1 x2
xn
P p1 p2
pn
2.分布列的性质:
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
四、连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F (x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x)称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
y y f (x)
F (x2 ) F (x1)
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
2.性质:
F (x) P{X x}
(1)单调非降性: 若 x1 ,x2 则 F (x1) ;F (x2 )
(2)规范性: F lim F (x) 0; x F lim F (x) 1 x
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
一、试验结果的数量化
有些随机试验的结果是一个数值.
例如: 掷色子试验、产品的次品率检验等.
有些试验的结果不是数值, 但可转化为数值表示.
例如: 掷硬币试验, 可以用1表示正 0表示反面. 面,
综上所述, 所有随机试验的结果均可用数值表示,
因此, 可以引入一个变量来表示随机试验的结果.
x
F(x) f (t)dt
f
x
6x
1
0,
x,
0 x 1 其它
x
0dt 0,
0
0dt
x
0
6t
1
t
dt
3x2 2x3,
0
0dt
1
0 6t
1
t
dt
x
1 0dt
1,
x0 0 x1
x 1
注: 概率密度函数
分布函数
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
第二节
第二章 随机变量及其概率分布
第二章
随机变量的概率分布
一、随机变量的分布函数 二、随机变量的分类 三、离散型随机变量的分布列 四、连续型随机变量的密度函数
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
一、随机变量的分布函数
例1. 设离散型随机变量X的分布列为:
X -1 0
12
p 0.2 0.3 0.1 0.4
则Y X 2 1 的分布列为:
Y1 p 0.3
25 0.3 0.4
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
二、连续型随机变量函数的分布
(1)非负性: pi 0 ; (2)规范性: pi 1. i
注: 任一满足以上两条性质的数列, 都可作为某离散型
随机变量的分布列.
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
例5. 袋中有编号为1-5的5个球, 从中任取3个球, 求取出 球的最大号X的分布列和分布函数.
x
2
F lim F (x) A B 1
x
2
解得 A 1 , B 1 .
2
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
例3. 设某随机变量的分布函数为
0,
F
x
Ax2
,
x0 0 x 1
x1
求A及 P{0.3 X 0.7}.
解: 利用右连续性知
lim F x F 1, 即 1 A12 , A 1.
x1
P0.3 X 0.7 F 0.7 F 0.3 0.72 0.32 0.4
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
解: X的可能取值为3,4,5,
PX
3
1 C53
1; 10
PX
5
C42 C53
6. 10
PX
4
C32 C53
3; 10
所以X的分布列为: X 3
4
5
p1
3
6
10 10
10
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
《概率统计》电子教案
第二章 随机变量及其概率分布
第二章 随机变量及其概率分布
3.计算:
设 X ~ F x, a b R , 则有
PX b ˆ lim F x F b xb
PX b PX b PX b F b F b
PX a 1 PX a 1 F a
PX a 1 PX a 1 F a
Pa X b PX b PX a F (b) F (a)