弹塑性力学 第二章 应变与几何方程

ui ' ui ui , j dx j
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u u u u u dx dy dz x y z v v v v v dx dy dz x y z w w w w w dx dy dz x y z
axy+ ayx axy
r
ayx
y x
r’
1 v u r ( ) 2 x y
• 上式为绕oz轴的转动，令 z 2r
v u z x y
• 同理，绕ox,oy轴的转动为：
w v x y z
u w y z y
• x , y , z 称为转动分量
几何方程
v u z x y w v x y z u w y z y
u xy z 2 y u 1 ( xy z ) y 2
由几何方程和转动分量可求出三个 位移分量u,v,w的9个偏导数。
u x v x w x
z C
A
P
B
O
y
(2) 一点应变状态
z
其中
C
注：
应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数，即
x
A
P
B
O
z
y
4. 位移
一点的位移 —— 矢量S 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量；
O
x
w
S u
P v
位移分量： v —— y方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。
y
§3-2.几何方程
有正应变，而剪应变为零。即沿该坐标系轴方 向的3个正交线元只有相对伸长，
• 如存在上述性质坐标系，则将该坐标系的3个轴 方向称为应变主方向，沿该坐标系轴方向的3个正 交线元的相对伸长称为主应变
• 和主应力计算相同
特征方程
式中
由上式可求出应变张量的三个主应变 1 , 2 , 3 ， 且三个主应变方向相互正交。 对各向同性体，主应力方向和主应变方向重 合！ • 其中第一应变不变量是体积应变！
yz zx xy 2 v x y z 2 zx y y yz zx xy 2 w x y z 2 xy z z
向量
表示为
三阶线性方程组
可表示为 缩写为
2.爱因斯坦求和约定 在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表 示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复 指标称为哑指标（简称哑标）
例
求和指标
来自百度文库
§3-4.应变张量性质
一、应变张量的坐标变换
旧坐标下应变张量
x 1 xy 2 1 2 xz
x 1 xy 2 1 2 xz
1 xy 2
y
1 yz 2
1 xy 2
u y v y w y
u x z v 1 ( xy z ) 2 z w 1 ( ) xz y 2 z x 1 xy 2 1 2 xz 1 xy 2
n1 n2 n3
应变张量的坐标变换与应力变换相似

T
二、主应变
应变张量不变量
• 一点的应变状态由6个应变分量确定，但应变 分量的数值与选定的坐标系有关，即一点的应 变分量随坐标系的变换而变化。
• 问：是否存在一个坐标系，在该坐标系下，只
§3-8 弹性力学参量的指标表示法
• 前几节中给出的力分量、应力分量、应变 分量和位移分量，其表示方法引用的是记 号法； 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。 • 近年来，数学理论中的指标表示法开始出现 在力学文献及教科书中。 • 指标表示法书写简洁，便于力学问题的理论 推导。
一.指标表示法 1. 指标符号
PA=dx C C’ P P’ A A’ B B’ PB=dy PC=dz
研究在oxy平面 内投影的变形，
一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； O 考察P点邻域内线段的变形：
v
变形前 P 变形后
x P dy
u
dx A
u
B
y
v
A
B
注：这里略去了二阶 以上高阶无穷小量。
PA的正应变：
O
具有相同性质的一组物理量，可以用一个带 下标的字母表示：
如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3） 坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。 单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。
应力分量：
可表示为：
缩写为： 同理，应变分量可表示为：
连续性方程
• 连续性方程是单连体小变形连续的必要和 充分条件。 • 如应变分量满足连续性方程，可保证位移 分量存在。
§3-6.应变率和应变增量
§3-7 位移边界条件
在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边 界条件 在给定位移的表面Su上
注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移； 反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即 混合边界条件。
2 2 2 x y xy 2 2 y x xy 2 z 2 x 2 zx 2 2 x z zx 2 y 2 z 2 yz 2 2 z y yz yz zx xy 2 u x y z 2 yz x x
第三章 应变与几何方程
§3-1 变形和应变的概念
(1) 一点形变的度量
形变 —— 物体的形状改变 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变ε度量 （2）两线段间夹角的改变。 ——用剪应变γ度量 （剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量）
三个方向的线应变：
三个平面内的剪应变： 应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负； 剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
ij 称为应变张量
ij 称为转动张量
• 相邻两点P，Q间的位移变化量（即相对位移）
ui ui 'ui ui , j dx j ij dx j ij dx j
Q点的位移 P点的位移
1 xy 2
ui ' ui ui , j dx j
1 xz 0 2 dx 1 1 yz dy z 2 2 dz 1 y z 2 1 z 2 0 1 x 2 1 y 2 dx 1 x dy 2 dz 0
1 xz 2 1 yz 2 z
1 xz 2 1 yz 2 z
新坐标下应变张量
y
1 yz 2
新坐标轴在旧坐标 下的方向余弦
l1 l2 l 3
m1 m2 m3
第1式对y求两阶偏导
第2式对x求两阶偏导 两式相加：
将第4式代入得：
• 同理：
2 z 2 x 2 zx 2 2 x z zx
y
2
z yz 2 2 z y yz
2 2
后三式分别对z、y 、x求偏导得：
• 同理：
yz zx xy 2 v x y z 2 zx y y yz zx xy 2 w x y z 2 xy z z
x
u
P
dx A
v PB的正应变：
y dy B
P点的剪应变：
P点两直角线段夹 角的变化
整理得：
——几何方程
O x
u
P
dx
v
dy B
A
y
• 同样方法研究另外两平面yoz和zox上投影线元的变形可 得到类似的方程。综合起来，得弹性力学几何方程。也 称柯西(Cauchy)方程
几何方程
说明：
（1）几何方程反映任一点的位移(3个分量)与该点应变(6个分量) 间的关系，是弹塑性力学的基本方程之一。 （2）当 位移分量u、v 、 w已知，则6个应变分量可完全确定； 反之，已知6个应变分量，不能确定位移分量。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。） （3） 几何方程是纯几何变形分析结果，不涉及产生运动的原因 和材料的物理性能，对一切连续介质力学问题都适用。
§3-3.转动张量
一. 单元的转动
• 单元e不变形时，由相邻单元变形引起单元e绕oz轴的 转动（方位变化）
1 r (a yx a xy ) 2 • 注：a xy为负
单元e的剪应变
axy r
xy a yx a xy 0
y x
ayx
• 单元e有变形时，由相邻单元的变形引起的单 元e的方位变化 1 r ' ( a yx a xy ) 2 2 1 1 r ( a yx a xy ) a yx (a yx a xy ) 2 2 4 2 1 v u ( ) 2 x y
D1 , D2 , D3 称为 应变张量的三个不变量。
max ( 1 3 ) 与应力张量 ij分解相似，应变张量 ij 也可分解
最大剪应变为： 为应变球形张量和应变偏量两个张量之和，
应变球形张量只代表体积改变部分， 应变偏量代表形状改变部分， 应变偏量在塑性力学中很重要，
§3-5.变形协调方程 （连续性方程）
• 应变分量与位移分量之间的关系由几何方程表示； • 已知位移分量,可通过求偏导数得到6个应变分量；这是唯一 确定的。 • 反之,已知应变分量求位移分量,需通过积分运算。 • -------从数学上看，6个方程求3个未知量，如有解，则6个方 程是相关的，即应变之间必须满足某种关系才有可能得到唯 一的位移解。 • -------从物理上看，为保证变形后物体连续和单值，应变间 必须满足一定关系。称为相容性。 • 表示应变分量间的这种关系的方程称为变形连续性方 程，也称为变形相容方程或变形协调方程。
x u' u 1 v ' v xy w / w 2 1 2 xz
y
1 yz 2
刚体的平动部 分。
线元PQ自身变 形部分。
绕P点的刚性转动 部分，由相邻单元 的变形引起。
简记为
ui , j ij ij
ui , j
ui x j
ui , j ij ij
• ui , j 为ui 对作标的一阶偏导数，为二阶张量， 称为相对位移张量。 1 ij (ui , j u j ,i ) 2 1 ij (ui , j u j ,i ) 2
1 ( xy z ) 2
y
1 ( yz x ) 2
1 ( xz y ) 2 1 ( yz x ) 2 z
y
1 yz 2
对称部分， ij
1 1 1 xz 0 z y 2 2 2 1 1 1 yz z 0 x 2 2 2 1 1 z x 0 2 y 2 反对称部分， ij