高三数学一轮复习专题突破训练直线与圆 Word版含答案
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
高三数学一轮同步训练直线与圆的综合(1) Word版含答案
. 直线与圆的综合（）
【典型例题】
例()已知直线的方程为θ＋)－(θ∈)，则直线的倾斜角的取值范围是.
()若直线与曲线＝－)恰有一个公共点，则的取值范围是.
例求适合下列条件的直线方程：
（）经过点（，），且在两坐标轴上的截距相等；
（）经过点（，），倾斜角等于直线的倾斜角的倍.
例平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为
（）求圆的方程；
（）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于，，当长最小时，求直线的方程；
（）设，是圆上任意两点，点关于轴的对称点为，若直线、分别交于轴于点（，０）和（，０），问是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【巩固练习】
．过点（，）引一直线，使它的横截距是纵截距的倍，则直线的方程是.
．若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为.
．已知直线：和直线：()，若⊥，则的值为.。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020届高考数学一轮复习人教A版直线与圆作业Word版含答案
2020届一轮复习人教A 版 直线与圆 作业1．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．【答案】：4π【解析】：圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.2．(2019·云南十一校跨区调研)已知动圆C 过A (4，0)，B (0，－2)两点，过点M (1，－2)的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．【答案】：2 33．已知圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1，则实数a 的取值范围为________．【答案】：(－15，1)【解析】：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝10－a ，故10－a >0，即a <10.圆心(1，2)到直线3x －4y －15＝0的距离为4.数形结合可得，当圆x 2＋y 2－2x －4y ＋a －5＝0上有且仅有两个点到直线3x －4y －15＝0的距离为1时，圆的半径r 满足3<r <5，即3<10－a <5，即－15<a <1.4．已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．【解析】：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165. 5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 【解析】：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.[能力提升]1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋y ＋a ＝0与点A (0，2)，若直线l 上存在点M 满足|MA |2＋|MO |2＝10(O 为坐标原点)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5－1，5－1) B ．[－5－1，5－1]C ．(－22－1，22－1)D ．[－22－1，22－1]【答案】D.【解析】设M (x ，y )，因为|MA |2＋|MO |2＝10，所以x 2＋(y －2)2＋x 2＋y 2＝10，即x 2＋(y －1)2＝4，由于点M在直线l 上，所以直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋(y －1)2＝4相交或相切时满足题意，即|1＋a |2≤2，解得－22－1≤a ≤22－1.2．已知过定点P (2，0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB ＝1时，直线l 的倾斜角为__________．【答案】：150°【解析】：由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示． 设过点P (2，0)的直线为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k21＋k2， 所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k2×22－2k 21＋k 2＝1， 解得k 2＝13， 由图可得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33应舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.3．已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．【解析】：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝（y 1y 2）24＝4. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB . 故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516. 4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，直线l ：y ＝kx ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(0，b )，且满足MA →⊥MB →.(1)当b ＝1时，求k 的值； (2)当b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，求k 的取值范围． 【解析】：(1)圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，故圆心为C (1，1)，半径r ＝1，当b ＝1时，点M (0，1)在圆上，又MA →⊥MB →，故直线l 过圆心C (1，1)，所以k ＝1.由判别式Δ>0得k >0，且有x 1＋x 2＝2＋2k 1＋k 2，x 1x 2＝11＋k2，② 将②式代入①式整理得1－2kb （1＋k ）1＋k2＋b 2＝0，从而1＋b 2b ＝2k ＋2k 21＋k 2， 又b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 所以2<2k ＋2k 21＋k 2<136， 可得k 的取值范围是(1，6－23)∪(6＋23，＋∞)．。
名校推荐江苏省南京师范大学附属中学高三数学一轮同步训练：直线与圆的位置关系2 含答案
10. 直线与圆的位置关系（2）1．已知圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，半径为5，且该圆与直线x －y ＝0相交所得的弦长为223，求圆C 的方程．2．已知直线l 过点M (12，1)，与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，求∠ACB 取得最小值时，直线l 的方程．3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求系数b 的取值范围．4．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．5．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P 、Q 两点且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求m 的值．6．已知与圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切的直线交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，O 为原点，|OA |＝a ，|OB |＝b ，(a ＞2，b ＞2).（1）求证：(a －2)(b －2)＝2； （2）求△AOB 的面积的最小值．7. 若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，求直线l 的倾斜角的取值范围．8．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有4个不同的交点，求实数m 的取值范围．9．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1,2)，过点M 的圆的两条弦AC 、BD 互相垂直，求AC ＋BD 的最大值．※10．设集合A ＝{(x ,y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ,y ∈R }，B ＝{(x ,y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ,y ∈R }， 若A ∩B ≠ ，求实数m 的取值范围．[反思回顾]10. 直线与圆的位置关系（2）1. (x －1)2＋(y ＋1)2＝25或(x －5)2＋(y －7)2＝25．2. 要使∠ACB 最小，则需弦长最小，需圆心到直线的距离最大．所以当直线与CM 垂直时，∠ACB 取得最小值，此时直线l 方程为2x －4y ＋3＝0．3. 解一：可直接画出图形来判断.即在同一坐标系内作出l ：y ＝x ＋b及C ：y ＝1－x 2的图形(如图)易得b 的取值范围是1≤b ＜2．解二：由方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b x 2＋y 2＝1(y ≥0)，消去x 得2y 2－2by ＋b 2－1＝0 (y ≥0)，l 和C 有两个公共点等价于此方程有两个不等的非负实数解，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧△＝4b 2－8(b 2－1)＞0b ＞0b 2－1≥0， 解得1≤b ＜2．4.解：经配方，已知圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1， 它关于x 轴的对称圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1， 设光线l 所在直线方程为y －3＝k (x ＋3)，由题设，对称圆的圆心(2,－2)到直线l 的距离为1.即|5k ＋5| 1＋k 2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或－43．故所求直线方程为3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0．5. 解法1：将x ＝3－2y 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，得5y 2－20y ＋12＋m ＝0．设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2)，则y 1,y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝m ＋125，∵ OP ⊥OQ , ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0,而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2，∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2) ＋4y 1y 2，∴m ＝3，此时△＞0.∴m 的值为3．解法2: 把圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0化为(x ＋12)2＋(y －3)2＝37－4m 4，∴圆心C (－12，3)，半径r ＝37－4m 2．过点C 作直线x ＋2y －3＝0的垂线为2x －y ＋4＝0． 由⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x ＋2y －3＝0解得线段PQ 的中点M 为(－1，2)． ∵OP ⊥OQ ，在Rt △POQ 中，斜边PQ 上的中线|OM |＝12|PQ |＝5．圆C 的半径r ＝(12|PQ |)2＋|CM |2＝52，∴37－4m 2＝52，解得m ＝3． 6. 解：（1）曲线C 可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 直线l 方程为：x a ＋yb＝1，即：bx ＋ay －ab＝0， ∵圆与直线l 相切．∴|a ＋b －ab |a 2＋b 2＝1， 化简整理得：(a －2)(b －2)＝2．（2）∵(a －2)(b －2)＝2，∴ab ＝2(a ＋b )－2＝2[(a －2)＋(b －2)]＋6， S △AOB ＝21ab ＝(a －2)＋(b －2)＋3≥2 (a －2) (b －2)＋3＝2 2＋3， ∴当且仅当a ＝b ＝2＋ 2时，S △AOB 最小＝22＋3． 3. [π12，5π12]．4. 解：曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，为圆心(1,0)，半径为1的圆． 曲线C 2：y ＝0或y －mx －m ＝0，其中直线y －mx －m ＝0恒过点(－1,0)， 即C 2为x 轴所在直线和恒过点(－1,0)的两条直线． 作图分析：k 1＝tan30°＝33，k 2＝－tan30°＝－33，又直线l 1（或直线l 2）、x 轴与圆共有四个不同 的交点，结合图形可知m ＝k ∈(－33,0)∪(0, 33)．5. 解法一：设O 到直线AC 、BD 的距离分别为d 1、d 2（d 1，d 2≥0），则d 12＋d 22＝OM 2＝3．于是AC ＝2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom，BD ＝2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom．所以AC ＋BD ＝2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom＋2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom．则(AC ＋BD )2＝4(4－d 12＋4－d 22＋2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom\s\up 6(24－dan" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom )＝4(5＋2d 1216－4(d 错误!) ＝4(5＋2\s\up 6(24＋d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom)．因为2d 1d 2≤d 12＋d 22＝3，所以d 12d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝32时取等号， 所以\s\up 6(24＋d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom≤52．所以(AC ＋BD )2≤4×(5＋2×52)＝40，所以AC ＋BD ≤210，O xy11 1ll即AC ＋BD 的最大值为210．（另解2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom \s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom≤(4－d 12)＋(4－d 22)＝8－(d 12＋d 22)＝8－3＝5，当且仅当d 1＝d 2＝32时取等号．所以(AC ＋BD )2＝4(4－d 12＋4－d 22＋2\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom\s\up 6(24－d an" \* hps13 \o(\s\up 6(2s New Rom)≤4(5＋5)＝40，所以AC ＋BD ≤210，即AC ＋BD 的最大值为210．）解法二：当AC 、BD 有一条经过点O 时，AC 、BD 有一条为4，另一条为2， AC ＋BD ＝6．当AC 、BD 均不过点O 时，O 在AC 、BD 的射影与O 及M 构成一矩形． 所以可设d 1＝3sin β，d 2＝3cos β．则AC ＝24－3sin 2β，BD ＝24－3cos 2β． 所以AC ＋BD ＝24－3sin 2β＋24－3cos 2β． 以下参照解法一．解法三：当AC 的斜率为0或不存在时，可求得AC ＋BD ＝2(2＋3)． 当AC 斜率存在且不为0时，设直线AC 的方程为y －2＝k (x －1)，直线BD 的方程为y －2＝－1k (x －1)． 根据弦长公式l ＝2r 2－d 2，可得AC ＝23k 2＋22k ＋2k 2＋1，BD ＝22k 2－22k ＋3k 2＋1．因为AC 2＋BD 2＝4(3k 2＋22k ＋2k 2＋1＋2k 2－22k ＋3k 2＋1)＝20，所以(AC ＋BD )2＝AC 2＋BD 2＋2AC ×BD ≤2(AC 2＋BD 2)＝40． 故AC ＋BD ≤210，即AC ＋BD 的最大值为210．6. 分析：若直线x ＋y ＝k 与圆(x －2)2＋y 2＝m 2相切，则|k －2|2＝m ， 所以k ＝2±2m ，所以与圆有公共点的直线满足{(x ,y )|2－2m ≤ x ＋y ≤ 2＋2m ，x ,y ∈R }． 因为与{(x ,y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ,y ∈R }有交集，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥2－2m 2m ≤2＋2m，又因为m 2≤m 2，解得12≤m ≤2＋2.。
2025年高考数学一轮复习-直线与圆-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-直线与圆-专项训练一、基本技能练1.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝02.已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x＋3y－2＝0，则“r>3”是“直线l与圆C 相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝2，则k 的取值范围为()A.[3－2，3＋2]B.(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)C.[2－3，2＋3]D.(－∞，3－2]∪[3＋2，＋∞)4.已知直线l：ax＋by＝1是圆x2＋y2－2x－2y＝0的一条对称轴，则ab的最大值为()A.1 4B.1 2C.1D.25.过点P(5，1)作圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的割线l交圆C于A，B两点，点C 到直线l的距离为1，则PA→·PB→的值是()A.32B.33C.6D.不确定6.已知直线x＋y＋1＝0与x＋2y＋1＝0相交于点A，过点A的直线l与圆M：x2＋y2＋4x＝0相交于点B，C，且∠BMC＝120°，则满足条件的直线l的条数为() A.0 B.1C.2D.37.已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为()A.(y－1)2－x2＝65B.x2－(y－1)2＝65C.y2－(x＋1)2＝65D.(x＋1)2－y2＝658.已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是()A.[3－1，23＋1]B.[2－1，32＋1]C.[2－1，22＋1]D.[2－1，33＋1]9.(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则()A.l1恒过点(2，－2)B.若l1∥l2，则a2＝12C.若l1⊥l2，则a2＝1D.当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限10.(多选)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为圆M的内接四边形，OB为直径，|OC|＝3|OA|＝3，过直线2x＋y－4＝0上一点P作圆M 的两条切线，切点分别为E，F，则下列结论正确的是()A.圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1B.直线AB的斜率为2C.四边形PEMF的最小面积为2D.PA→·PC →的最小值为4511.已知直线l 1：y ＝(2a 2－1)x －2与直线l 2：y ＝7x ＋a 平行，则a ＝________.12.过点M (0，－4)作直线与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相切于A ，B 两点，则直线AB 的方程为________.二、创新拓展练13.(多选)已知圆C 1：(x －3)2＋(y －1)2＝4，C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1，直线l ：y ＝k (x －1)，点M ，N 分别在圆C 1，C 2上.则下列结论正确的有()A.圆C 1，C 2没有公共点B.|MN |的取值范围是[1，7]C.过N 作圆C 1的切线，则切线长的最大值是42D.直线l 与圆C 1，C 2都有公共点时，k ≥2314.(多选)过点P (1，1)的直线与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，线段MN 是圆C 的一条动弦，且|MN |＝42，则()A.△ABC 面积的最大值为92B.△ABC 面积的最大值为14C.|AB |的最小值为27D.|PM →＋PN →|的最小值为22－215.在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝1交x 轴于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，若直线x ＋3y ＋m ＝0上存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，则实数m 的取值范围为________.16.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (0，－3)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝9相交于M ，N 两点，若S △AON ＝65S △ACM ，则直线l 的斜率为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案D解析当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，∵直线过(1，2)，∴1a－2a＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D.2.答案A解析由题意知圆心(0，0)到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|1＋3＝1，当r>3时，直线与圆相交，当直线与圆相交，则d＝1<r，故“r>3”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.3.答案C解析点O(0，0)到直线l：y＝kx＋(2－2k)的距离d＝|2－2k| k2＋1.由题意得坐标原点到直线l距离d≤|OP|，所以|2－2k|k2＋1≤2，解得2－3≤k≤2＋3，故k的取值范围为[2－3，2＋3]，故选C.4.答案A解析圆x2＋y2－2x－2y＝0的圆心为(1，1)，直线l：ax＋by＝1是圆x2＋y2－2x－2y＝0的一条对称轴.可得a＋b＝1，则ab ＝14，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.所以ab 的最大值为14，故选A.5.答案B解析由题意，可得向量PA →与PB →共线且方向相同，圆C 的圆心为(－1，2)，半径为2，如图所示，其中PD 为切线，根据切割线定理，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|＝|PD →|2＝|PC →|2－|CD →|2＝62＋12－22＝33.故选B.6.答案B解析由题意得点A (－1，0)，圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心(－2，0)，半径r ＝2，由∠BMC ＝120°，可得圆心M 到直线l 的距离d ＝1，直线l 过点A (－1，0)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，圆心M 到直线l 的距离d ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.圆心M (－2，0)到直线l 的距离d ＝|－2k －0＋k |k 2＋1＝|－k |k 2＋1＝1，此方程无解.故满足条件的直线l 的条数为1，故选B.7.答案D解析设动圆圆心P (x ，y )，半径为r ，则P 到l 1的距离d 1＝|2x －3y ＋2|13，P 到l 2的距离d 2＝|3x －2y ＋3|13，因为l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.∴2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，化简后得r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，相减得d 22－d 21＝25，将d 1，d 2代入距离公式后化简可得(x ＋1)2－y 2＝65，故选D.8.答案B解析依题意，直线l 1：m (x －3)－n (y －1)＝0恒过定点A (3，1)，直线l 2：n (x －1)＋m (y －3)＝0恒过定点B (1，3)，显然直线l 1⊥l 2，因此，直线l 1与l 2交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：(x －2)2＋(y －2)2＝2，圆心N (2，2)，半径r 2＝2，而圆C 的圆心C (0，0)，半径r 1＝1，如图：|NC |＝22>r 1＋r 2，所以两圆外离，由圆的几何性质得：|PM |min ＝|NC |－r 1－r 2＝2－1，|PM |max ＝|NC |＋r 1＋r 2＝32＋1，所以|PM |的取值范围是[2－1，32＋1].故选B.9.答案BD解析l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0⇔a (x ＋y )＋x ＋2＝0，＋y ＝0，＋2＝0，＝－2，＝2，即直线恒过点(－2，2)，故A不正确；若l1∥l2，则有(a＋1)(1－a)＝a2，解得a2＝12，经检验满足条件，故B正确；若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2恒过点(1，1)且不经过第三象限，则当1－a≠0时，aa－1<0，解得0<a<1，当a＝1时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，当a＝0时，直线l2：y＝1，也不过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限，故D正确.10.答案AD解析由题意可得圆M的直径|OB|＝2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，故A正确；易知∠AOB＝π3，从而可得∠xOC＝π3，所以直线OC的斜率为k OC＝tan π3＝3，由AB∥OC可得直线AB的斜率为k AB＝k OC＝3，故B错误；连接PM，可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S＝2S Rt△PME＝|ME|·|PE|＝|PE|＝|PM|2－1，当直线PM与直线2x＋y－4＝0垂直时，|PM|最小，即|PM|min＝|2×0＋1－4|5＝355，所以S min＝255，故C错误；因为PA→·PC→＝(PM→＋MA→)·(PM→＋MC→)＝(PM→＋MA→)·(PM→－MA→)＝PM→2－MA→2＝PM→2－1≥95－1＝45，故D正确.故选AD.11.解析∵两直线平行，a2－1＝7，≠－2，解得a＝2.12.答案x－7y＋18＝0解析圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，圆心为C(－1，3)，半径为2，由圆的切线的性质可得MA⊥AC，则|MA|＝|MC|2－22＝（－1－0）2＋（3＋4）2－22＝46，所以，以点M为圆心、以|MA|为半径的圆M的方程为x2＋(y＋4)2＝46，将圆M的方程与圆C的方程作差并化简可得x－7y＋18＝0.因此直线AB的方程为x－7y＋18＝0.二、创新拓展练13.答案AC解析圆C1的圆心C1(3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，－3)，半径r2＝1.对于选项A，圆心距d＝（0－3）2＋（－3－1）2＝5>r1＋r2，所以圆C1，C2外离，选项A正确；对于选项B，|MN|的最小值为d－(r1＋r2)＝2，最大值为d＋(r1＋r2)＝8，选项B 错误；对于选项C，连接C1C2与圆C2交于点N(外侧交点)，过N作圆C1的切线，切点为P，此时|NP|最长，在Rt△C1PN中，|NP|＝（d＋r2）2－r21＝62－22＝42，选项C 正确；对于选项D，直线l方程化为kx－y－k＝0，圆心C1到直线l的距离|2k－1|k2＋1≤2，解得k≥－3 4，圆心C2到直线l的距离|3－k|k2＋1≤1，解得k≥43所以直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥43，选项D错误.故选AC.14.答案BCD解析设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d ≤2，|AB |＝29－d 2，则S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×29－d 2·d ＝9d 2－d 4当d 2＝2时，(S △ABC )max ＝14，故A 错误，B 正确；由0≤d ≤2，|AB |＝29－d 2知|AB |min ＝29－2＝27，C 正确；过圆心C 作CE ⊥MN 于点E ，则点E 为MN 的中点，又|MN |＝42，则|CE |＝9－8＝1，即点E 的轨迹为圆(x －2)2＋y 2＝1.因为|PM →＋PN →|＝2|PE →|，且|PE →|min ＝|PC |－1＝2－1，所以|PM →＋PN →|的最小值为22－2，故D 正确.因此应选BCD.15.答案－133，1解析由题意得A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，得（x ＋1）2＋y 2＝2（x－1）2＋y 2，＋y 2＝169，＋y 2＝169与直线x ＋3y ＋m ＝0有交点，即|53＋m |2≤43，解得－133≤m ≤1.故实数m 的取值范围为－133，1.16.答案±3147解析由题意得C (0，2)，直线MN 的斜率存在，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为y ＝kx －3，与x 2＋(y －2)2＝9联立，得(k 2＋1)x 2－10kx ＋16＝0，Δ＝100k 2－64(k 2＋1)＝36k 2－64>0，得k 2>169，x 1＋x 2＝10k k 2＋1，x 1x 2＝16k 2＋1.因为S △AON ＝65S △ACM ，所以12×3×|x 2|＝65×12×|2－(－3)|×|x 1|，则|x 2|＝2|x 1|，于是x 2＝2x 1，x 1＝10kk 2＋1，x 21＝16k 2＋1两式消去x 1得k 2＝187，满足Δ>0，所以k ＝±3147.。
2018届高考数学一轮复习精选试题直线与圆(解答题) Word版含答案
直线与圆
解答题(本大题共个小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
． ()求经过直线与的交点，且平行于直线的直线方程。
()在直线上求一点, 使它到点（，）、()的距离相等。
【答案】()联立与得解得
直线与的交点是
将代入求得
所求直线方程为
(法二）易知所求直线的斜率，由点斜式得
化简得
()解：由直线－＋＝，得＝＋，点在该直线上．
∴可设点的坐标为(，＋)．
∴
解得＝－，从而＋＝－＋＝．∴
．已知椭圆的一个顶点为（，－），焦点在轴上，若右焦点到直线－＋＝的距离为．（）、求椭圆的方程；()、设直线与椭圆相交于不同的两点、, 直线的斜率为（≠），当｜｜＝｜｜时，求直线纵截距的取值范围．
【答案】（）、椭圆方程为＝ (）设为弦的中点．由得（＋）＋＋（－）＝．由Δ＞，
得＜＋①，∴＝，从而，＝＋＝．∴＝．由⊥，得
＝－，即＝＋②．将②代入①，得＞，解得＜＜．由②得＝()＞．解得＞．故所求的取值范围为（，）．
．已知直线方程为.
(）证明：不论为何实数,直线恒过定点.
(）直线过（）中的定点且在两坐标轴的截距的绝对值相等，求满足条件的直线方程.
【答案】（）
令
故直线过定点
(）当截距为时，直线的方程为
当截距不为时，设直线的方程为，
则
故直线的方程为.
．已知：以点 (, )(∈ , ≠ )为圆心的圆与轴交于点, ，与轴交于点, ，其中为原点．
(Ⅰ）当时，求圆的方程；
(Ⅱ）求证：△的面积为定值；。
高考数学一轮复习精选试题：直线与圆(选择与填空) Word版含答案
直线与圆01一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．两直线与平行，则它们之间的距离为( )A ．B C D【答案】D2．圆：和圆：交于两点，则直线的的方程是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】A3．已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为( )A ．7B ．-5C ．3D ．-1 【答案】A4．“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B5．过点（1，2）且与原点的距离最大的直线方程是( )A ．2x+y-4=0B ． x+2y-5=0C ．x+3y-7=0D ．3x+y-5=0 【答案】B330x y +-=610x my ++=421313513267102006422=+-+y x y x 0622=-+x y x ,A B AB 30x y +=3+0x y =30x y -=350y x -=216．已知直线与直线相互垂直，则实数的值为( )A ．9B ．—9C ．4D ．—4【答案】D7．若表示圆，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．R【答案】C8．如果两条直线l 1:与l 2:平行，那么 a 等于( )A ．1B ．-1C ．2D ． 【答案】B9．直线与直线之间的距离是( )A ．B ．2C ．D ． 【答案】C10．已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为( )A ．+=1B ．+=1C ．+=1D ．+=1 【答案】B1:2310l x y +-=2:650l x my ++=m 22(1)20x y x y λλλ++-++=λ(0)+，∞114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1(1)()5+-，∞∞，260ax y ++=(1)30x a y +-+=233470x y +-=6830x y ++=5417101751C 2(1)x +2(1)y -2C 1C 10x y --=2C 2(2)x +2(2)y -2(2)x -2(2)y +2(2)x +2(2)y +2(2)x -2(2)y -11．曲线|x ―1|+|y ―1|=1所围成的图形的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．【答案】B12．设直线过点，且与圆相切，则的斜率是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．点分别在直线上，则线段长度的最小值是 .【答案】14．已知曲线y ＝3x2＋2x 在点(1，5)处的切线与直线2ax －y －6＝0平行，则a ＝ ．【答案】415．已知圆交于A 、B 两点，则AB 所在的直线方程是 。
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 word版含答案
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识点一 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d ) 相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d >rd ＝rd <r易误提醒 对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在情形．必备方法 求圆的弦长的常用方法：(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式． |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．[自测练习]1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．与m 的取值有关解析：圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m 2＋1＝|m |m 2＋1<1＝r ，故选A.答案：A2．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( )A.12 B ．1 C.22D. 2解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. 答案：D3．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，又直线x ＝2也是圆的切线，所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝0 知识点二 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) 相离外切相交内切内含图形量的关系d >r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|易误提醒 两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．[自测练习]4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切D ．内切解析：圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．答案：B考点一 直线与圆的位置关系|1．对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交，故选C.答案：C2．(2015·皖南八校联考)若直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，则k ，b 的值分别为( )A.12，－4 B ．－12，4C.12，4 D ．－12，－4解析：因为直线y ＝kx 与圆(x －2)2＋y 2＝1的两个交点关于直线2x ＋y ＋b ＝0对称，所以直线y ＝kx 与直线2x ＋y ＋b ＝0垂直，且直线2x ＋y ＋b ＝0过圆心，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，2×2＋0＋b ＝0，解得k ＝12，b ＝－4.答案：A3．若直线x －my ＋1＝0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．±3D. 3解析：由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝±3. 答案：C判断直线与圆的位置关系常见的两种方法(1)几何法：利用d 与r 的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．考点二 切线、弦长问题|(1)(2015·高考重庆卷)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210(2)(2016·太原一模)已知在圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0内，过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．3 5B ．6 5C ．415D ．215[解析] (1)由题意得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆C 的圆心为(2,1)，半径为2.因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB |＝6，故选C.(2)将圆的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆心坐标为F (2，－1)，半径r ＝5，如图，显然过点E 的最长弦为过点E 的直径，即|AC |＝25，而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦，|EF |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，|BD |＝2r 2－|EF |2＝23，∴S 四边形ABCD＝12|AC |×|BD |＝215. [答案] (1)C (2)D处理切线、弦长问题的策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题．1．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)，所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1，所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0，故选C.答案：C2．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为________．解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，过P 作圆O 的切线P A ，连接OA (图略)，易知此时|P A |的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5.又|OA |＝1，所以|P A |＝|OP |2－|OA |2＝2.答案：2考点三 圆与圆的位置关系|1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．答案：B2．若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆．依题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线)．答案：C3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 解析：两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图象(图略)，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝22－(3)2＝1⇒a ＝1.答案：1求解两圆位置关系问题的两种方法(1)两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．19.直线与圆的位置关系中的易错问题【典例】对于任意实数m，直线l：y＝m(x－1)＋b恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，则a，b满足的条件是________．[易错点析]对直线l方程分析不彻底，盲目利用Δ法或几何法无法判断导致失误．[解析]由题意知，①直线l经过定点M(1，b)．又直线l恒与圆O：x2＋y2＝a2(a>0)有两个交点，所以，②点M在圆的内部，所以，12＋b2<a2，即a2－b2>1.[答案]a2－b2>1[方法点评]点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[跟踪练习](2016·大连双基)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－3，3)．法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝2k2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即2k2＋1>1，解得k∈(－3，3)．答案：(－3，3)A组考点能力演练1．(2016·洛阳二练)已知圆C：x2＋y2＝4，若点P(x0，y0)在圆C外，则直线l：x0x＋y0y ＝4与圆C的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．不能确定解析：由题意：圆C的圆心到直线l的距离d＝4x20＋y20，∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4外，∴x20＋y20>4，∴d＝4x20＋y20<2，∴直线l与圆相交．答案：C2．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1,1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案：B3．(2015·长春二模)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)B ．(－∞，－22]∪[22，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：由直线与圆相切可知 |m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2， 整理得mn ＝m ＋n ＋1，由mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可知m ＋n ＋1≤14(m ＋n )2，解得m ＋n ∈(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)，故选A. 答案：A4．过点(－2,3)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |取得最小值时l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．2x ＋y ＋1＝0解析：本题考查直线与圆的位置关系．由题意得圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，则圆心C (－1，2)，过圆心与点(－2,3)的直线l 1的斜率为k ＝3－2－2－(－1)＝－1.当直线l 与l 1垂直时，|AB |取得最小值，故直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －(－2)，即x －y ＋5＝0，故选A.答案：A5．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：(x －2)2＋y 2＝5上的任意一点，点Q (2a ，a ＋2)，其中a ∈R ，则线段PQ 长度的最小值为( )A.55B. 5C.355D.655解析：设点Q (x ，y )，则x ＝2a ，y ＝a ＋2，∴x －2y ＋4＝0，∴点Q 在直线x －2y ＋4＝0上．由于圆心(2,0)到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|2－0＋4|1＋4＝655，所以PQ 长度的最小值为d －5＝655－5＝55，故选A.答案：A6．圆x 2＋y 2＋x －2y －20＝0与圆x 2＋y 2＝25相交所得的公共弦长为________． 解析：公共弦的方程为(x 2＋y 2＋x －2y －20)－(x 2＋y 2－25)＝0，即x －2y ＋5＝0，圆x 2＋y 2＝25的圆心到公共弦的距离d ＝|0－2×0＋5|5＝5，而半径为5，故公共弦长为252－(5)2＝4 5.答案：4 57．(2016·泰安调研)已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．解析：因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两平行直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.答案：25π8．(2016·福州质检)若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A 、B 两点，则CA →·CB →的值为________．解析：依题意得，点C 的坐标为(3,3)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，(x －3)2＋(y －3)2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3， 可令A (3,5)，B (1,3)，∴CA →＝(0,2)，CB →＝(－2,0)， ∴CA →·CB →＝0. 答案：09.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，求证：k AN ＋k BN 为定值．解：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)，则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋⎝⎛⎭⎫322＝254，解得m ＝52，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋(y －2)2＝254. (2)由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN＝0.当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2tt 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3＝2ty 1y 2－3(y 1＋y 2)(ty 1－3)(ty 2－3)＝－6t t 2＋1＋6tt 2＋1(ty 1－3)(ty 2－3)＝0.综上可知，k AN ＋k BN 为定值．10．已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．解：(1)设圆心M (a,0)，由已知得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝⎛⎭⎫322＝12，∴|8a －3|82＋62＝12.又点M 在直线l 的下方，∴8a －3>0，∴8a －3＝5，a ＝1，∴圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设直线AC 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6，解得C 点的横坐标为6k 1－k 2.∵|AB |＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12×⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18|k 1－k 2|.∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ；同理，k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).∴k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)t 2＋6t，∴S ＝6(t 2＋6t )t 2＋6t ＋1＝6⎝⎛⎭⎫1－1t 2＋6t ＋1，∵－5≤t ≤－2，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4， ∴S max ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝⎛⎭⎫1＋18＝274. B 组 高考题型专练1．(2014·高考浙江卷)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫422得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.答案：B2．(2014·高考重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：易知△ABC 是边长为2的等边三角形，故圆心C (1，a )到直线AB 的距离为3，即|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.经检验均符合题意，则a ＝4±15.答案：4±153．(2014·高考山东卷)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝44．(2015·高考山东卷)过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.解析：在平面直角坐标系xOy 中作出圆x 2＋y 2＝1及其切线P A ，PB ，如图所示．连接OA ，OP ，由图可得|OA |＝|OB |＝1，|OP |＝2，|P A →|＝|PB →|＝3，∠APO ＝∠BPO ＝π6，则P A →，PB →的夹角为π3，所以P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos π3＝32. 答案：325．(2015·高考重庆卷)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线方程的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝0。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题直线与圆的位置关系强化训练含解析
直线与圆的位置关系学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知直线x+y-1=0与圆M:+-2ax-2y=0交于A,B两点,若AMB=4MAB,则a=（）A. 2B. 1C. 2或-1D. 1或-22.已知直线l:x-y+4=0与x轴相交于点A,过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线,切点分别为C,D两点,记M是CD的中点,则|AM|的最小值为( )A. B. 3 C. D. 33.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )A. B. C. D.4.已知直线x＋y－k＝0(k＞0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是( )A. (，＋∞)B. [，＋∞)C. [，2)D. [，2)二、多选题（本大题共6小题，共30.0分。
在每小题有多项符合题目要求）5.已知圆，下列命题正确的是A. 为过点的圆C的一条切线B. 为过点的圆C的一条切线C. 为过点的圆C的一条切线D. 为过点的圆C的一条切线6.已知集合A={(x，y)|x-y+a=0}，B={(x，y)|x=}，若集合A⋂B中只有一个元素，则实数a的可能取值为（）A. -1B. 1C.D.7.已知直线y=x+b与圆+=16交于A、B两点,且|+|=|-|(其中O为坐标原点),则实数b的值可以是（）A. -4B. -2C. 2D. 48.已知圆O的方程为，过第一象限内的点作圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，下列结论中正确的有（）A. 直线AB的方程为B. 四点O、A、P、B共圆C. 若P在直线上，则四边形OAPB的面积有最小值2D. 若，则的最大值为9.已知圆C过点A(1,3)、B(2,2),直线m:3x-2y=0平分圆C的面积,过点D(0,1)且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N,则( )A. 圆心的坐标为C(2,3)B. 圆C的方程为+=1C. k的取值范围为(,)D. 当k=时,弦MN的长为10.P是直线y=2上的一个动点,过点P作圆+=1的两条切线,A,B为切点,则（）A. 弦长|AB|的最小值为B. 存在点P,使得APB=C. 直线AB经过一个定点D. 线段AB的中点在一个定圆上三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.过点且与圆相切的直线方程为.12.已知点P（x，y）是直线l：kx-y+4=0（k＞0）上的动点，过点P作圆C：x2+y2+2y=0的切线PA，A为切点，若|PA|最小为2时，圆M：x2+y2-my=0与圆C外切，且与直线l相切，则m 的值为.13.若在平面直角坐标系xOy中,直线x-y=2与直线x-y=4分别截圆+=(r>0)所得弦长之比为3:1,则r= .14.已知圆，点为直线上的一个动点，过点向圆引两条切线，为切点，则直线经过的定点的坐标为．15.已知圆C的方程为x2+y2=2，点P是直线x-2y-5=0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为；直线AB 过定点.四、解答题（本大题共1小题，共12.0分。
广东广州市天河区普通高中高考数学一轮复习精选试题：直线与圆(解答题) Word版含答案
直线与圆02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1． (1)求经过直线x-y=1与2x+y=2的交点，且平行于直线x+2y-3=0的直线方程。
(2)在直线x-y+4=0 上求一点P, 使它到点 M （-2，-4）、N(4,6)的距离相等。
【答案】(1)联立x-y=1与2x+y=2得⎩⎨⎧=+=-221y x y x 解得0,1==y x∴直线x-y=1与2x+y=2的交点是()0,1将()0,1代入x+2y+m=0求得m=-1∴所求直线方程为x+2y-1=0 (法二）易知所求直线的斜率21-=k ，由点斜式得()1210--=-x y 化简得x+2y-1=0(2)解：由直线x －y ＋4＝0，得y ＝x ＋4，点P 在该直线上．∴可设P 点的坐标为(a ，a ＋4)．∴[]()[]()()()()()()()()()()23a 2482248264444)2(222222222222-=-+-=+++∴-+-=+++-++-=--++--解得a a a a a a a a a a a a 解得a ＝－32，从而a ＋4＝－32＋4＝52． ∴P ⎝⎛⎭⎫－32，522．已知椭圆的一个顶点为B （0，－1），焦点在x 轴上，若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3．（1）、求椭圆的方程；(2)、设直线l 与椭圆相交于不同的两点M 、N, 直线l 的斜率为k （k ≠0），当｜BM ｜＝｜BN ｜时，求直线l 纵截距的取值范围．【答案】（1）、椭圆方程为 x 2+3y 2＝3 (2）设P 为弦MN 的中点．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1y 3x ,m kx y 22得（3k 2＋1）x 2＋6kmx ＋3（m 2－1）＝0．由Δ＞0，得m 2＜3k 2＋1 ①，∴x P ＝1k 3mk 32x x 2N M +-=+，从而，y P ＝kx p ＋m ＝1k 3m 2+．∴k BP ＝km 31k 3m 2++-．由MN ⊥BP ，得km 31k 3m 2++-＝－k 1，即2m ＝3k 2＋1 ②．将②代入①，得2m ＞m 2，解得0＜m ＜2．由②得k 2＝(2m-1)/3＞0．解得m ＞1/2．故所求m 的取值范围为（1/2，2）．3．已知直线方程为07)12()3(=+-++y x λλ.(1）证明：不论λ为何实数,直线恒过定点.(2）直线m 过（1）中的定点且在两坐标轴的截距的绝对值相等，求满足条件的直线m 方程.【答案】（1）07)12()3(=+-++y x λλ073)2(=+-++⇒y x y x λ令⎩⎨⎧=+-=+07302y x y x ⎩⎨⎧=-=∴12y x 故 直线过定点)1,2(- (2）当截距为0时，直线m 的方程为x y 21-= 当截距不为0时，设直线m 的方程为1=+by a x ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=112ba b a ⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-=-=∴3311b a b a 或 31-=--=+∴y x y x 或故直线m 的方程为0301,02=+-=++=+y x y x y x 或.4．已知：以点C (t, 2t)(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O, A ，与y 轴交于点O, B ，其中O 为原点．(Ⅰ）当t=2时，求圆C 的方程；(Ⅱ）求证：△OAB 的面积为定值；(Ⅲ）设直线y = –2x+4与圆C 交于点M, N ，若ON OM =，求圆C 的方程．【答案】（Ⅰ）圆C 的方程是 22(2)(1)5x y -+-=(Ⅱ）O C 过原点圆 ，2224t t OC +=∴．设圆C 的方程是 22224)2()(t t t y t x +=-+- 令0=x ，得t y y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021== 4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值． (Ⅲ）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ．21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=．t t 212=∴，解得：22-==t t 或 当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ， 此时C 到直线42+-=x y 的距离551<=d ，5．已知圆C 通过不同的三点P(m,0)Q(2,0)R(0,1)、、，且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.(1）试求圆C 的方程；(2）若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足CP CA CP CB ⋅=⋅，①试求直线AB 的斜率；②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。
北京市2022届高三数学文一轮复习专题突破训练直线与圆Word版
北京市2022届高三数学文一轮复习专题突破训练直线与圆Word版直线与圆一、填空、选择题1、（2022年北京高考）圆（某+1）2+y2=2的圆心到直线y=某+3的距离为（A）1（B）2（C）2（D）222、（2022年北京高考）圆心为1,1且过原点的圆的方程是（）A．某1y11B．某1y11C．某1y12D．某1y123、（2022年北京高考）已知圆C:某3y41和两点Am,0，Bm,0m0，2222222222若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）5（D）44、（昌平区2022届高三二模）过圆C:某2(y1)24的圆心，且与直线l:3某2y10垂直的直线方程是A．2某3y30B.2某3y30C.2某3y30D.2某3y305、（朝阳区2022届高三二模）已知过点M(1,1)的直线l与圆(某1)(y2)5相切，且与直线a某y10垂直，则实数a；直线l的方程为.6、（东城区2022届高三二模）已知A，B为圆某(y1)4上关于点P(1,2)对称的两点，则直线AB的方程为（A）某y30（B）某y30（C）某3y70（D）3某y107、（丰台区2022届高三一模）已知圆C:(某-1)2+(y-2)2=2，则圆C 被动直线2222l:k某-y+2-k=0所截得的弦长__________．8、（西城区2022届高三二模）设直线l：3某+4y+a=0，圆C：(某-2)2+y2=2，若在直线l上存在一点M，使得过M的圆C的切线MP，MQ（P,Q为切点）满足PMQ 取值范围是（）（A）[-18,6]（C）[-16,4]（B）[6-52,6+52]（D）[-6-52,-6+52]90o，则a的9、（东城区2022届高三上学期期末）经过圆某2y22某2y0的圆心且与直线2某y0平行的直线方程是（A）2某y30（B）2某y10（C）2某y30（D）某2y1010、（丰台区2022届高三上学期期末）已知圆O：某2y21，直线l 过点（-2，0），若直线l上任意一点到圆心距离的最小值等于圆的半径，则直线l的斜率为（A）3（B）3（C）2（D）1311、（石景山区2022届高三上学期期末）若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y某对称，则圆C的标准方程为()A.(某1)y1B.某(y1)1C.某(y1)1D.(某1)y112、（昌平区2022届高三上学期期末）若直线y2某m与圆(某2)(y3)5相切，则m的值是_______13、（大兴区2022届高三上学期期末）若直线l:ym某4被圆C：某y2y80截得的弦长为4，则m的值为．2214、（海淀区2022届高三上学期期末）已知圆(某a)y4截直线y 某4所得的弦的222222222222长度为为22，则a__.15、已知圆的方程为某2y26某8y0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和四边形BD（）,则ABCD的面积为A．106B．206C．306D．4060),(co16、已知点A(1,B,且|AB|3,则直线AB的方程为（）A．y3某3或y3某3C．y某1或y某1二、解答题21、已知圆C:某2y12B．y3333某某或y3333D．y2某2或y2某2（1）求：过点P3,m与圆C相切的切线方程；（2）若点Q是直线某y60上的动点，过点Q作圆C的切线QA,QB，其中A,B为切点，求：四边形QACB面积的最小值及此时点Q的坐标．2、已知△ABC的顶点A，B在椭圆某＋3y＝4上，C在直线l：y＝某＋2上，且AB∥l．22（1）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（2）当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．3、如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为2km、710km．测得tanMON3，OA6km．以点O为坐标原点，射线5OM为某轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．一艘游轮以182km/小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线AB经过Q）．（1）问游轮自码头A沿AB方向开往码头B共需多少分钟？PQOM，km）（2）海中有一处景点P（设点P在某oy平面内，且PQ6，游轮无法靠近．求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.参考答案一、填空、选择题1、【答案】C【解析】圆心坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可知d2、【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r3、【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以m15，故选B.4、A5、|103|2，故选C.22，则圆的标准方程为某1y12.221,2某y106、A7、228、C29、A10、A11、C12、12或213、214、2或615、B16、【答案】B解：|AB|(co1)2in222co3，所以co1，所以2tan3333(某1)，所以直线的方程为y某，即直线的方程为y或3333者y二、解答题33某，选B.33。
高考文科数学一轮复习练习第八篇第3节 直线圆的位置关系
第3节直线、圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆、圆与圆的位置关系2,8,12直线与圆相切问题1,6,7,13与圆的弦长有关问题3,4,9,10综合应用问题5,11,14,15基础巩固(时间:30分钟)1.若直线2x+y+a=0与圆x2+y2+2x4y=0相切,则a的值为( B )(A)± (B)±5 (C)3 (D)±3解析:圆的方程可化为(x+1)2+(y2)2=5,因为直线与圆相切,所以有=,即a=±5.故选B.2.(2018·四川遂宁期末)圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y24x+8y+4=0的位置关系是( B )(A)相交(B)外切(C)内切(D)相离解析:圆C1:x2+y2+2x=0即(x+1)2+y2=1的圆心C1(1,0),半径等于1.圆C2:x2+y24x+8y+4=0化为(x2)2+(y+4)2=16的圆心C2(2,4),半径等于4.两圆的圆心距等于=5,而5=1+4,故两圆相外切,故选B.3.(2018·广西南宁、梧州联考)直线y=kx+3被圆(x2)2+(y3)2=4截得的弦长为2,则直线的倾斜角为( A )(A)或(B)或(C)或(D)解析:由题知,圆心(2,3),半径为2,所以圆心到直线的距离为d==1.即d==1,所以k=±,由k=tan α,得α=或.故选A.4.(2017·河南师大附中期末)已知圆的方程为x2+y26x8y=0.设该圆过点(1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B )(A)15 (B)30 (C)45 (D)60解析:圆的标准方程为(x3)2+(y4)2=25,过点(1,4)的最长弦AC所在的直线过圆心,故AC=10,过点(1,4)的最短弦BD所在直线垂直于AC,由勾股定理得BD=6,故四边形ABCD的面积为S=×6×10=30.故选B.5.已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则a的取值范围为( A )(A)(3,3)(B)(∞,3)∪(3,+∞)(C)(2,2)(D)[3,3 ]解析:由圆的方程可知圆心为O(0,0),半径为2,因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d<2+1=3,即d==<3,解得a∈(3,3),故选A.6.(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心,且与两条直线2xy+4=0与2xy6=0同时相切的圆的标准方程为( A )(A)(x1)2+(y1)2=5 (B)(x+1)2+(y+1)2=5(C)(x1)2+y2=5 (D)x2+(y1)2=5解析:因为两条直线2xy+4=0与2xy6=0的距离为d==2,所以所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2xy+4=0的距离为==,即a=1或a=4,又因为圆心(a,1)到直线2xy6=0的距离也为r=,所以a=1,所以所求的标准方程为(x1)2+(y1)2=5,故选A.7.已知圆C的圆心是直线xy+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为.解析:由题意可得圆心(1,0),圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,故r==,所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.答案:(x+1)2+y2=28.导学号 94626201(2018·湖南郴州质监)过点M(,1)的直线l与圆C:(x1)2+y2=4交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为.解析:由题意得,当CM⊥AB时,∠ACB最小,k CM=2,所以k AB=,从而直线方程为y1=(x),即2x4y+3=0.答案:2x4y+3=09.(2017·深圳一模)直线axy+3=0与圆(x2)2+(ya)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数a的取值范围是.解析:设圆心到直线的距离为d,则d==,由r2=d2+()2知()2=4≥3,解得a≤.答案:(∞,)能力提升(时间:15分钟)10.已知圆(x2)2+(y+1)2=16的一条直径经过直线x2y+3=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为( D )(A)3x+y5=0 (B)x2y=0(C)x2y+4=0 (D)2x+y3=0解析:直线x2y+3=0的斜率为,已知圆的圆心坐标为(2,1),该直径所在直线的斜率为2,所以该直径所在的直线方程为y+1=2(x2),即2x+y3=0,故选D.11.导学号 94626202已知点P的坐标(x,y)满足过点P的直线l与圆C:x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值是( B ) (A)2 (B)4 (C) (D)2解析:根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示,设点P到圆心的距离为d,则求最短弦长,等价于求到圆心的距离最大的点,即为图中的P点,其坐标为(1,3),则d==,此时|AB|min=2=4,故选B.12.(2017·河南豫北名校联盟联考)已知圆C:x2+y2+8x+15=0,若直线y=kx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则实数k的取值范围为.解析:圆C即(x+4)2+y2=1,所以圆心为(4,0),半径r=1,直线即kxy2=0,≤2,解之得≤k≤0,即实数k的取值范围为[,0].答案:[,0]13.过点P(1,)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则·= .解析:由题意,圆心为O(0,0),半径为1.因为P(1,),不妨设PA⊥x 轴,PA=PB=.所以△POA为直角三角形,其中OA=1,AP=,则OP=2,所以∠OPA=30°,所以∠APB=60°.所以·=||||·cos∠APB=××cos 60°=.答案:14.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心C(a,0)(a>),则=2⇒a=0或a=5(舍).所以圆C:x2+y2=4.(2)当直线AB⊥x轴时,x轴上任意一点都满足x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x22k2x+k24=0.所以x1+x2=,x1x2=.若x轴平分∠ANB,则k AN=k BN⇒+=0⇒+=0⇒2x1x2(t+1) (x1+x2)+2t=0⇒+2t=0⇒t=4,所以当点N为(4,0)时,能使得∠ANM=∠BNM总成立.15.(2018·广东汕头期末)在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y212x14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解:圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心在直线x=6上,可设N(6,y0),因为N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7y0=5+y0,解得y0=1,因此,圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2xy+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+()2,所以25=+5,解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以①因为点Q在圆M上,所以(x26)2+(y27)2=25,②将①代入②,得(x1t4)2+(y13)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x(t+4)]2+(y3)2=25上,从而圆(x6)2+(y7)2=25与圆[x(t+4)]2+(y3)2=25有公共点, 所以55≤≤5+5,解得22≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[22,2+2].。
山东省2021届高三数学文一轮复习专题突破训练：直线与圆 Word版
山东省2021届高三数学文一轮复习专题突破训练：直线与圆Word版山东省2021届高三数学文一轮复习专题突破训练：直线与圆word版山东省2022所高中数学文献复习专项突破训练直线与圆一、多项选择题1、（2021年山东高考）已知圆m：x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长如果2度为22度，则圆m和圆n之间的位置关系为：（x-1）+（Y-1）2=1（a）内切（b）相交（c）外切（d）相离2，（济宁2022高级33模型）已知圆C：（x？1）2？（y？3）2？2直线y？3倍？如果被B切割的线段长度等于2，则B等于（）a．?5b．?10c．?25d．?303（模拟菏泽2022高级三在3月）回合（X？1）2？y2？1乘直线x？3岁？0分为两段弧，短弧长与长弧长之比为（）a.1:2b1:3c.1:4d.1:54（枣庄2022高级三模拟3月）轮（x？1）2？Y2=1，圈x2？（y？1）2=2的位置关系为（）a，外距离b，外切线C，交点D，内切线5，圆心（x+1）2+y2=2到直线y=x+3的距离为（a）1（b）2（c）2（d）226、已知圆m：x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆m与2（x-1）+（Y-1）2=1的位置关系是圆n：（a）内切（b）相交（c）外切（d）相离7.如果PQ是一个圆x？Y如果9的弦和PQ的中点是（1,2），那么直线PQ的方程是a.x？2岁？5.0b.x?2y?3?0d.2x?y?022摄氏度。
2倍？Y4.0228、已知p是圆x?y?1上的动点，则p点到直线l:x?y?22?0的距离的最小值通过（a）1（b） 2（c）2（d）229.交叉圆C:x2？（y？1）2？4的圆心和直线L:3x？2岁？1.直线方程是0a．2x?3y?3?0b.2x?3y?3?0c.2x?3y?3?0d.2x?3y?3?010.已知a和B是圆x2？（y？1）2？那么直线AB的方程是（a）x？Y3.0（b）x？Y3.0（c）x？3岁？7.0（d）3x？Y1.0二、填空题1.（2022年高考）通过P（1，=.)围成一个圈的两条切线，切点分别为a，b，则2.（2022年高考）圆心在直线x？2岁？0上的圆C与Y轴的正半轴相切，通过切割圆C的X轴获得的弦长度为23，则圆C的标准方程式为。
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江苏省年高考一轮复习突破训练
直线与圆
一、填空题
、（年江苏高考）在平面直角坐标系
中，以点（）为圆心且与直线
相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为。
、（年江苏高考）在平面直角坐标系中，直线被圆
截
得的弦长为 ▲ ．
、（南京市届高三三模）在平面直角坐标系中，圆：(－)＋(＋－)＝(＞)，点为圆上任意一点．若以为圆心，为半径的圆与圆至多有一个公共点，则的最小值为． 、（南通、扬州、泰州三市届高三二模）在平面直角坐标系中，过点
的直线与圆
相切于点，与圆
相交于点
，且
，则正数
的值为▲．
、（南通市届高三一模）在平面直角坐标系
中，点.若直线
上存在点，使得,则实数的取值范围是
、（苏锡常镇四市届高三一模）在平面直角坐标系中，已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两点，，若点恰为线段的中点，则圆心到直线的距离为
、（苏锡常镇四市市届高三二模）若直线与圆
始终有
公共点，则实数的取值范围是▲． 、
（
镇
江
市
届
高
三
一
模
）
函
数
()
＝>，,()－\\(\\(()＋))，≤，))
若
关于的方程()＝－至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为． 、（常州市届高三上期末）在平面直角坐标系中，已知圆：
，动点在直线
上，过分别作圆，的切线，
切点分别为，若满足＝的点有且只有两个，则实数的取值范围是
、（南京、盐城市届高三上期末）过点
的直线与圆
相交于
两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为 ▲
、（苏州市届高三上期末）若直线和直线
将圆
分成长度相等的四段弧，则
＝ ▲
、（泰州市届高三第一次模拟）已知直线与圆相交于
两点，若，则▲
、（扬州市届高三上期末）已知圆：，若不过原点的直线与圆交于、两点，且满足直线、、的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为▲.
二、解答题
、（年江苏高考）本小题满分分。
如图，在平面直角坐标系中，点，直线
,设圆的半径为，圆心在上。
（）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；
（）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。
、（南京、盐城市届高三上期末）如图所示，是两个垃圾中转站，在的正东方向千米处，
的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发
电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）. 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？。