Chapter13 VARMA模型
ARMA模型
通过OLS法估计 Yt = + Yt-1+ t
计算t 统计量的值，与DF分布表中给定显著性 水平下的临界值比较：
如果：t < 临界值（左尾单侧检验），则拒绝 原假设H0： =0，认为时间序列不存在单位根， 是平稳的。
(2) ADF检验
DF检验的问题：在上述使用 Yt= +Yt-1+ t
水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非
平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反
映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅 仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明 模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变 量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分，
以使残差序列达到平稳。
一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列 通过某种变换化成一个平稳序列。
• 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳序 列，也称原序列是1阶单整(integrated of 1)序列, 记为I(1)过程。如果经过d 次差分后变成平稳序 列, 则称原序列是d 阶单整(integrated of d), 记为 I(d)。 • I(0)代表平稳时间序列。
• 多次差分无法变为平稳的时间序列称为非单 整的(non-integrated)。
2. 平稳性与经典回归
经典计量模型的数学基础是极限法则，以独立随机 抽样为样本，如果模型设定正确，模型随机误差项 满足极限法则和由极限法则导出的基本假设，继而 进行的参数估计和统计推断是可靠的。 以时间序列数据为样本，破坏了随机抽样的假定， 则经典计量模型的数学基础能否被满足成为一个重 要问题。 对照极限法则和时间序列的平稳性条件研究发现， 如果模型设定正确，并且所有时间序列是平稳的， 时间序列的平稳性可以替代随机抽样假定，模型随 机误差项仍然满足极限法则。
ARMA模型的概念和构造
33
ARMA模型的预测
二. 基于MA过程的预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期的记忆力
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ARMA模型的预测
三. 基于ARMA过程的预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
35
五、实例：ARMA模型在金融数 据中的应用
数据：
1991年1月到2005年1月的我国货币供应量（广 义货币M2）的月度时间序列数据
15、我就像一个厨师，喜欢品尝食物。如果不好吃，我就不要它。2021年8月下午1时3分21.8.2513:03August 25, 2021
16、我总是站在顾客的角度看待即将推出的产品或服务，因为我就是顾客。2021年8月25日星期三1时3分54秒13:03:5425 August 2021
17、利人为利已的根基，市场营销上老是为自己着想，而不顾及到他人，他人也不会顾及你。下午1时3分54秒下午1时3分13:03:5421.8.25
ARIMA模型的诊断
1. Q统计量
m
Q=n
ˆ 2 k
，近似服从 2 (m)（大样本中）
分布 k=1
其中n为样本容量，m为滞后长度
2. LB统计量
m
LB=n(n+2)
(ˆ 2k
(n-k)) ，服从 2 (m) 分布，其
k=1
中n为样本容量，m为滞后长度。
3. LB统计量的特点
30
ARMA模型的诊断
偏自相关函数(partial autocorrelation function,简 记为PACF)
以及它们各自的相关图（即ACF、PACF相对
于滞后长度描图）。
16
ARMA模型的识别
MA和ARMA模型估计
*
对上式两端求逆z变换
左端 Z [ S x ( z ) A( z )] Rxx ( m ) * am ak Rxx ( m k )
k 0 p
2
1
右端 Z [ B( z ) H (1 / z )]
1 2 * *
Z [ B( z ) H ( z )]
1 2 1
得
p N (z) p ni z i / ai z i r ( k ) z k A( z ) i 0 i 0 k 0
上式中两端同乘以
i 0
p
ai z i
得：
17
i 0
p
ni z i a i z i r ( k ) z k
i 0 k 0
k 1
p
m 0,1,2...q m q 1
----ARMA模型参数与自相关函数之间的关系
4
当a0 1，且ak 0(k 1,2... p)时
Rxx (m )
2
k m
q
bk h( k m )
令 k-m=l l=k
qm 2
k 0
bk m h( k )
m 0,1,2...q m q 1
q
A( z ) A(1 / z ) ai z i a j z j
i 0 j 0 i 0
p
p
p
ai a j z j i
j 0
p
ck z k
p k q i 0
q
a a z R (l )z
j i j 0 i j
p
l
VaR模型及其在金融风险管理中的应用(doc 20)
VaR模型及其在金融风险管理中的应用引言国际金融市场的日趋规范、壮大，各金融机构之间的竞争也发生了根本性变化，特别是金融产品的创新，使金融机构从过去的资源探索转变为内部管理与创新方式的竞争，从而导致了各金融机构的经营管理发生了深刻的变化，发达国家的各大银行、证券公司和其他金融机构都在积极参与金融产品（工具）的创新和交易，使金融风险管理问题成为现代金融机构的基础和核心。
随着我国加入WTO，国内金融机构在面对即将到来的全球金融一体化的挑战，金融风险管理尤显其重要性。
传统的资产负债管理（Asset-Liability Management）过份依赖于金融机构的报表分析，缺乏时效性，资产定价模型（CAPM）无法揉合新的金融衍生品种，而用方差和β系数来度量风险只反映了市场（或资产）的波动幅度。
这些传统方法很难准确定义和度量金融机构存在的金融风险。
1993年，G30集团在研究衍生品种基础上发表了《衍生产品的实践和规则》的报告，提出了度量市场风险的VaR（ Value-at-Risk ）模型(“风险估价”模型)，稍后由JP.Morgan推出了计算VaR的RiskMetrics风险控制模型。
在些基础上，又推出了计算VaR的CreditMetricsTM风险控制模型，前者用来衡量市场风险；JP.Morgan公开的CreditmetricsTM技术已成功地将标准VaR模型应用范围扩大到了信用风险的评估上，发展为“信用风险估价”（Credit Value at Risk）模型，当然计算信用风险评估的模型要比市场风险估值模型更为复杂。
目前，基于VaR度量金融风险已成为国外大多数金融机构广泛采用的衡量金融风险大小的方法。
VaR模型提供了衡量市场风险和信用风险的大小，不仅有利于金融机构进行风险管理，而且有助于监管部门有效监管。
⒈1995年巴塞尔委员会同意具备条件的银行可采用内部模型为基础，计算市场风险的资本金需求，并规定将银行利用得到批准和认可的内部模型计算出来的VaR值乘以3，可得到适应市场风险要求的资本数额的大小。
向量自回归(VAR)模型和向量误差修正(VEC)模型理论及EVIEWS操作
当AIC与SC的最小值对应不同的p值时，只能用LR 检验法。
18
（2）用似然比统计量LR选择p值。LR定义为 ：
LR 2ln l(p) ln l( p i) : 2( f ) (11.2)
-4.3194
-5.4324 -5.7557
5% 临界值
-2.9202 -2.9202 -2.9202
模型形式 （C t p）
(c 0 3) (c 0 0) (c 0 0)
DW值
1.6551 1.9493 1.8996
结论
LGDPt ～I(1) LCt ～I( 1)
LIt～I(1)
注 C为位移项， t为趋势，p为滞后阶数。
可以用如下向量形式表达， 即 B0 yt=Γ0 +Γ1 yt-1 + μt
13
2. VAR模型的特点
VAR模型较联立方程组模型有如下特 点： （1）VAR模型不以严格的经济理论为 依据。在建模过程中只需明确两件事： 第一，哪些变量应进入模型（要求变量 间具有相关关系——格兰杰因果关系 ）； 第二，滞后阶数p的确定（保证残差刚好 不存在自相关）；
2
一、VAR模型及特点
1. VAR模型—向量自回归模型
经典计量经济学中，由线性方程构成的联立方程
组模型，由科普曼斯（poOKmans1950）和霍德－科普曼 斯（Hood-poOKmans1953）提出。联立方程组模型在20 世纪五、六十年代曾轰动一时，其优点主要在于对每个方
程的残差和解释变量的有关问题给予了充分考虑，提出了
VAR模型应用案例-(完成).doc
VAR 模型应用实例众所周知，经济的发展运行离不开大量能源的消耗，尤其是在现代经济发展的过程中，能源的重要性日益提升。
我国自改革开放以来，经济发展取得长足的进步，经济增长率一直处于较高的速度，经济的高速增长带来了能源的大量消耗，进而带来了我国能源生产的巨大提高。
因此，研究经济增长率与能源生产增长率之间的关系具有重要的意义，能为生源生产提供一定的指导意义。
1.基本的数据我们截取具体数据如下：1978 — 2015 年中国经济增长速度（GDP增速）和中国能源生产增长速度数据，表1 1978—— 2016 年中国经济和能源生产增长率年份国内生产总值增能源生产增长速年份国内生产总值增能源生产增长速长速度（ %）度（ %）长速度（ %）度（ %）1978 11.7 10.4 1997 9.2 0.3 1979 7.6 3.7 1998 7.8 -2.7 1980 7.8 -1.3 1999 7.7 1.6 1981 5.1 -0.8 2000 8.5 5 1982 9 5.6 2001 8.3 6.4 1983 10.8 6.7 2002 9.1 6 1984 15.2 9.2 2003 10 14.1 1985 13.4 9.9 2004 10.1 15.6 1986 8.9 3 2005 11.4 11.1 1987 11.7 3.6 2006 12.7 6.9 1988 11.2 5 2007 14.2 7.9 1989 4.2 6.1 2008 9.7 5 1990 3.9 2.2 2009 9.4 3.1 1991 9.3 0.9 2010 10.6 9.1 1992 14.2 2.3 2011 9.5 9 1993 13.9 3.6 2012 7.9 3.2 1994 13 6.9 2013 7.8 2.2 1995 11 8.7 2014 7.3 0.9 1996 9.9 3.1 2015 6.9 1.22.序列平稳性检验（单位根检验）使用 Eviews9.0 来创建一个无约束的VAR模型，用 gdp 表示的是中国经济的增长率，用nysc 表示中国能源生产的增长率，下面分别对 gdp 和 nysc 进行单位根检验，验证序列是否平稳，能否达到建立 VAR模型的建模前提。
VARMAX
Vector Autoregressive Process
( )
( )
proc iml; sig = {1.0 0.5, 0.5 1.25}; phi = {1.2 -0.5, 0.6 0.3}; /* to simulate the vector time series */ call varmasim(y,phi) sigma = sig n = 100 cn = {'y1' 'y2'}; create simul1 from y[colname=cn]; append from y; quit;
PROC VARMAX
May 8, 2002 Charlie Hallahan
1
Overview
- PROC VARMAX estimates model parameters and generates forecasts associated with Vector AutoRegressive and Moving Average processes with eXogenous regressors (VARMAX) models. - The AR and MA orders can be user-specified or automatically determined by various criteria * Akaike Information Criterion (AIC) * Corrected AIC (AICC) * Hannan-Quinn (HQ) Criterion * Final Prediction Error (FPE) * Schwartz Bayesian Criterion (SBC), aka Bayesian Information Criterion (BIC) - Provides order identification diagnostics: partial cross-correlations, Yule-Walker estimates, partial autoregressive coefficients, and partial canonical correlations.
VAR模型PPT演示课件
E(t ) 0
E(
t
t
)
E(
t
s
)
0,
对于t
s
5
一个两变量(VAR)模型的例子
Yt C Yt1 t ,
y1t y2t
c1 c2
11 21
12 22
y1,t 1 y2,t 1
y1,t 2 y2,t 2
1t 2t
0 y1,t2
(2) 22
y2,t
2
26
LR 检验:
如果拒绝原假设，则称 y2t是y1t的格兰杰 因果关系。
与此不同，
y1t C1 1 y1,t1 2 y1,t2 L p y1,t p 1 y2,t1 2 y2,t2 L p y2,t- p 1t
y1t
Yt
y2t
,
t
1, 2,
,T
ynt
4
• 那么，一个p阶VAR模型，即VAR(p)，定义为：
Yt C 1Yt1 2Yt2 pYt p t
• C系为数n矩×阵1维。常t 为数n向×量1，维向i 为量n白×噪n音维，自满回足归如
平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估 计结果分析经济、金融含义。 • 但是，如果利用VAR模型分析实际问题时， 使用非平稳序列变量，却会带来统计推断 方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计 推断要求分析的所有序列必须都是平稳序 列。
具有VaR约束的不相关资产可能性投资组合模型及算法
宁第13卷夏工技术具有VaR 约束的不相关资产可能性投资组合模型及算法李婷（宁夏大学数学计算机学院，宁夏银川750021）摘要：利用模糊可能性均值和方差的概念，假设资产的收益率为模糊数时，提出具有VaR 约束的不相关资产可能性投资组合模型.该模型更好地反映了在非随机因素影响的金融市场下，具有风险厌恶特征的投资者不仅要求投资组合的实际收益率能够达到给定的期望收益率，同时也能够以较大的可能性保证未来遭受的最大可能损失不超过某一值.当证券收益率服从模糊正态分布时，给出了该模糊可能性投资组合模型的有效投资比例的解析形式，同时给出了可能性有效前沿.最后选取上海证券交易所不同行业的部分股票进行了实证分析.结果表明，该模型不仅能够更好地反映现实经济环境中影响资产投资收益的模糊不清晰因素，而且在VaR 约束下，投资者能够选择更适合自己的投资组合.关键词：模糊数；风险价值；可能性均值；可能性方差；投资组合中图分类号：F830.59；F224文献标志码：A收稿日期：2014-01-15基金项目：宁夏大学科研基金资助项目(ndzr09-30)作者简介：李婷（1974－），女，副教授，博士，主要从事金融工程方面的研究.H.Markowitz 于1952年最早提出了关于证券组合的均值－方差方法[1—2]，它是金融投资定量化研究的开端，成为金融投资理论研究的主要论题和决策实践的重要工具，构成了现代投资组合理论的核心基础.该理论将资产收益看作随机变量，运用概率论和最优化技术模型化了不确定条件下的投资行为.以后的许多学者都在此理论基础上开展投资组合理论的研究工作，包括W.F.Shape [3]，R.C.Merton [4]，A.F.Perold [5]，J.S.Pang [6]等.但H.Markowitz 资产组合优化模型在实际运用时，需要估算出每一种资产的均值、方差和协方差，虽然可应用的估算方法很多，但协方差的估算量仍很大，另外相关资产的模型算法复杂度高于不相关资产，通常不相关资产模型能得到更简明的解析式，而相关资产模型很难求出解析解，因此我们有必要研究不相关资产组合投资的优化及应用[7—9].在实际中我们可选择不同行业、种类的资产进行组合，这些资产投资收益之间的相关性很小，可以认为是不相关资产.VaR(Value at Risk ，简称VaR)是金融机构在市场正常波动情形下衡量证券组合可能损失的一个统计测度，亦称风险价值[10].它是指在正常的市场条件下，资产组合在给定置信区间的一个持有期内潜在的最大损失.例如，持有期为1d ，置信水平为99%的VaR 是10万元，是指在未来的24h 内组合价值的最大损失超过10万元的概率应该小于1%.P.Artzner [11]，S.Basak 和A.Shapiro [12]等研究了以VaR 作为风险度量指标的投资组合问题.尤其，G.J.Alexandert 和A.M.Baptista [13—14]分析了均值－VaR 证券组合模型的经济应用和具有VaR 约束的均值－方差模型的证券组合选择问题.目前，大多数资产组合模型都是建立在此基础之上．但现实的金融市场受一些非概率因素的影响，决策者所得到的信息通常是模棱两可、含糊的．因此对于这种非随机因素影响的金融市场，通常不能用随机事件描述，而模糊集（数）是刻画模糊信息的一种重要方式.近来，一些学者研究了模糊资产组合问题，J.Watada [15]和S.Ramaswamy [16]利用模糊决策理论提出了资产组合模型.H.Tanaka 和P.Guo [17]提出了模糊概率的资产组合模型.L.A.Zadeh [18]提出了可能性理论.D.Dubois 和H.Prade [19]进一步发展了可能性理论.C.Carlsson [20]等将投资收益看成梯形模糊数，提出了不允许卖空情况下的模糊可能性资产组合模型.W.G.Zhang [21—23]宁夏工程技术Ningxia Engineering Technology Vol．13No．1Mar ．2014第13卷第1期2014年3月文章编号：1671－7244（2014）01－0008－05第1期在上、下可能性均值、可能性方差和可能性协方差的基础上，将资产收益当作模糊数处理，进一步研究资产组合选择问题，提出了选择资产组合的上、下可能性均值－方差模型.本文在W.G.Zhang 的基础上，将证券的收益率设为模糊数，构建一新的具有VaR 约束的不相关资产可能性投资组合模型，该模型可以更好地描述非随机因素影响的金融市场下的投资风险环境.当证券收益率服从模糊正态分布时，给出了不相关资产可能性投资组合模型的有效投资比例的解析形式，同时给出了可能性有效前沿.最后本文选取上海证券交易所不同行业的部分股票进行了实证分析，结果表明，该模型不仅能够更好地反映现实经济环境中影响资产投资收益的模糊不清晰因素，而且在VaR 的约束下，投资者能够选择更适合自己的投资组合.1可能性概念及性质模糊数是刻画模糊信息的重要方式.模糊数是实直线R 上的一个具有正规、凸及有界支撑集和连续隶属函数的模糊集.我们使用F 表示R 的所有模糊数的集合.设A 軒是一个模糊数，A (t )是A 軒的隶属函数，[A 軒]γ=t ∈R |A (t )≥≥≥γ，(γ>0)，表示模糊数A 軒的一个水平集，设A 軒的水平集[A 軒]γ=[a 1(γ),a 2(γ)][21].C.Carlsson 和R.Full ér [20]给出的上、下可能性均值定义如下：定义1.1模糊数A 軒∈F 的上可能性均值为M U (A軒)=21乙γa 2（γ）d γ,下可能性均值为M L (A軒)=21乙γa 1（γ）d γ.定义1.2[21]设A軒是一模糊数，称M 軓（A 軒）=M U（A 軒）+M L (A 軒)2，为模糊数A軒的可能性均值.定义1.3[22]模糊数A軒∈F 的上可能性方差为σ2U (A軒)=21乙γ(M U (A軒)-a 2(γ))2d γ,下可能性方差为σ2L (A軒)=21乙γ(M L(A軒)-a 1(γ))2d γ.定义1.4[22]设A軒是一模糊数，称σ2(A 軒)=σ2U (A 軒)+σ2L (A 軒)2,为模糊数A軒的可能性方差.设B軒∈F,B 軒的水平集[B 軒]γ=[b 1(γ),b 2(γ)]．定义1.5[22]模糊数A 軒，B 軒的上可能性协方差为Cov U (A軒,B 軒)=21乙γ(M U(A軒)-a 2(γ))(MUB軒)-b 2(γ)d γ,下可能性协方差为Cov L (A軒,B 軒)=210乙γ(M L(A軒)-a 1(γ))(M L(B 軒)-b 1(γ))d γ.定义1.6[22]设A軒，B 軒是两模糊数，称Cov (A 軒,B 軒)=Cov U (A 軒,B 軒)+Cov L (A 軒,B B 軒)2,为模糊数A軒和B 軒的可能性协方差.性质1：设A 軒，B 軒是两模糊数，λ1，λ2∈R 则M 軓(λ1A 軒+λ2B 軒)=λ1M 軓(A 軒)+λ2M 軓(B 軒).性质2：设A 軒，B 軒是两模糊数，且λ1,λ2∈R 且λ1,λ2>0(λ1,λ2<0)，则σ2(λ1A 軒+λ2B 軒)=λ21σ2(A 軒)+λ22σ2(B 軒)+2λ1λ2Cov (A 軒,B 軒).2具有VaR 约束的不相关资产可能性证券组合优化模型2.1建立模型假设有n 个不相关风险资产和一个无风险资产可以进行投资组合，设风险资产i 的收益率为ξ軇i ，是一个模糊数，x i 是风险资产i 上的投资比例，i=1,…,n,r f ，是无风险资产的利率，则投资组合的收益为r 軇p =ni =1Σx i ξ軇i =r f (1-ni =1Σx i),其中，r 軇p 也是一个模糊数．根据定义，投资组合收益的可能性均值是M 軓(r 軇p )=ni =1Σx i M U (ξ軇i )+M L (ξ軇i )2+r f (1-ni =1Σx i ),投资组合收益的可能性方差是σ軍2=ni =1Σx 2iσ2U（ξ軇i）+ni =1Σx 2i σ2L (ξ軇i)2.则具有VaR 约束的不相关资产可能性证券组合优化模型李婷:具有ＶａＲ约束的不相关资产可能性投资组合模型及算法9第13卷宁夏工程技术min σ軍2=ni=1Σx2i σ2U (ξ軇i )+ni =1Σx 2i σ2L(ξ軇i )2,（1）（Ⅰ）s.t.ni =1Σx i M U (ξ軇i )+M L (ξi)2+r f (1-ni =1Σx i )≥r 軃，（２）Cr (ni =1Σξ軇i x i≤VaR )≤1-β,（3）ni =1Σx i≤１,（4）其中，r 为投资者给定的期望收益率，β为置信水平，Cr 表示可信性测度.2.2模糊正态下的具有VaR 约束的不相关资产可能性证券组合优化模型设资产收益率ξ軇i ~FN (μi,σ2i )，隶属函数为A ξ軇i(t )=exp [-(t-μi )2/σ2i ]，ξ軇i 的水平集为[ξ軇i]γ=[μi -σi·ln γ-1姨,μi +σi ln γ-1姨]，γ∈[0，1]，i=1，2，…，n.定理1若不相关资产收益率服从模糊正态分布，即ξ軇i ~FN (μi，σ2i )，i=1，2，…，n ，则ni =1Σx iξ軇i~FN （ni =1Σx iμi ，（12-π8）ni =1Σx 2i σ2i）.证明根据性质1知M 軓（ni =1Σx i ξ軇i ）=ni =1Σx i M 軓(ξ軇i )=ni =1Σx i μi ,根据定义1.1式可得M U （ξ軇i ）＝２１０乙γ（μi＋σiｌｎγ－１姨）ｄγ＝μi ＋２σi π姨４２姨，同理得M L （ξ軇i ）＝μi -2σiπ姨42姨.根据定义1.3可得σ２U （ξ軇i ）＝σ２L （ξ軇i ）＝（１２－π８）σ２i .根据定义1.4，则模糊正态下的可能性方差为σ２（ξ軇i ）＝σ２U （ξ軇i ）＋σ２L （ξ軇i ）２＝（１２－π８）σ２i ,因为资产收益率不相关，根据性质2，我们可得σ２＝ni ＝１Σx ２i σ２（ξ軇i ）+2ni>j=1Σx i x j Cov （ξ軇i ，ξ軇j ）=（12-π8）ni =1Σx 2i σ2i .证毕.下面对收益率服从模糊正态的情况下，对(3)式进行化简.根据可信性测度可知Cr （ni =1Σξ軇i x i ≤VaR ）=12sup A ξ軇'x（t ）+1-sup A ξ軇TX （t ）t ≤-VaR t>-VaR ≤≤=12exp[-（VaR-n i =1Σx i μi ）2/（12-π8）ni =1Σx 2i σ2i ],ni =1Σx i μi >VaR ;1-12exp[-（VaR-ni =1Σx i μi ）2/（１２-π8）ni =1Σx 2i σ2i ],ni =1Σx i μi≤VaR ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤.则由上式和(3)式可得-（VaR-ni =1Σx i μi ）2≤（12-π8）ln 2（1-β≤≤）·（ni =1Σx 2i σ2i ），β>0.5;或-（VaR-ni =1Σx i μi ）2≥（12-π8）（ln 2β）（ni =1Σx 2i σ2i ）,β≤0.5.根据实际情况，只考虑β>0.5的情况.当β>0.5时，模糊正态下的具有VaR 约束的不相关资产可能性证券组合优化模型min （σ軍）2=12-π8ππni =1Σσ軍2ix 2iππ，（Ⅱ）s.t.ni =1Σ（μi-r f）x i+r f≥r 軃,-（VaR-ni =1Σx i μi ）２≥１２-π8ππln 2（1-βπ≤）·（ni =1Σx 2i σ2i ）,ni =1Σx i≤１.令X=（x １，x ２…，x n ）′，μ軌＝（μ１，μ２，…，μn ）′，E 軒＝（μ１－r f ，μ２－r f ，…，μn －r f ）′，V軒＝σ２１σ22σ２n軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒，（σi ≠０，i ＝１，２，…，n ）．则模型（Ⅱ）等价于ｍｉｎσ2＝１２－π８ππX ′V 軒X , (10)第1期（Ⅲ）ｓ．ｔ．E 軒′X ≥r 軃-r f ,-（VaR-μ軌′X ）２≤１２-π８軌軌[ln 2（1-β）]X ′V 軒X ，F ′X ≤１.定理2当β≤1-12exp -（VaR-λ１μ軌′V 軒-1E+λ２μ軌′V 軒-1F ）2（12-π8）（λ21A-2λ1λ2B+λ22C）軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒时，模糊正态下的具有VaR 约束的不相关资产可能性证券组合优化模型的解为X=（r 軃-r f ）C 軒-B 軒A 軒C 軒-B 軒2V 軒-1E 軒-（r 軃-r f ）B 軒-A 軒A軒C 軒-B 軒2V 軒-1F ,其中：λ１＝２［（r 軃－r f ）C 軒-B 軒］A 軒C 軒-B 軒２，λ２＝２［（r 軃-r f ）B 軒-A 軒］A軒C 軒-B 軒２，A 軒=E 軒′V 軒－１·E 軒，B軒＝E 軒′V 軒-1F ，C 軒＝F ′V 軒－１F ．证明考虑ｍｉｎσ2=X軒′V 軒X 軒,（Ⅳ）s.t.E 軒′X ≥r 軃-r f ,F ′X ≤1.定义拉格朗日函数L 軌（X ，λ1，λ2）=X ′V 軒X-λ1[E 軒′X-（r 軃-r f ）]-λ2（1-F ′X ）,对X 求梯度，对λ1，λ2求偏导荦L 軌（X,λ1,λ2）=2V 軒X-λ1E 軒+λ2F=0,(5)坠L 軌坠λ1=E 軒′X-r 軃+r f=0,(6)坠L 軌坠λ2=1-F ′X=0.(7)因为V軒是正定矩阵，将（5）式左乘V 軒-1，得X =12（λ1V 軒-1E 軒-λ2V 軒-1F ）.(8)将（8）式代入（6）式和（7）式可求得λ1=2[（r 軃-r f ）C 軒-B 軒]A軒C 軒-B 軒2,λ2=2[（r 軃-r f ）B 軒-A 軒]A軒C 軒-B 軒2．则模型（Ⅳ）的解为X=（r 軃-r f ）C 軒-B 軒A 軒C 軒-B 軒2V 軒-1E 軒-（r 軃-r f ）B 軒-A 軒A軒C 軒-B 軒2V 軒-1F.如果β≤1-12exp -（VaR-λ1μ軌′V 軒-1E 軒+λ2μ軌＇V 軒-1F ）2（12-π8）（λ21A 軒-2λ1λ2B 軒+λ22C 軒）軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒軒，可得-（VaR-λ1V 軒-1E 軒+λ2μ軌′V 軒-1F ）2≤12-π8軌軌ln 2（1-β軌軌）（λ21A 軒-2λ1λ2B 軒+λ22C 軒.证毕．3数值分析为了说明笔者提出的具有ＶａＲ约束的不相关资产可能性证券组合优化模型，笔者考虑一个实际的投资组合选择问题．假定投资者根据历史数据、专家的经验、市场信息及投资者的分析，获得５只股票２００８年１０月１７日至２００９年１２月１１日的６０个周收益率，见表１．表1模糊正态下收益率的均值与方差如果选择银行活期储蓄为无风险资产投资，根据当年活期储蓄年利率r f ＝０．３６%．令β＝０．９，VaR ＝－０．２３４１%，表２给出不同的期望收益率下，具有ＶａＲ约束不相关资产可能性证券组合优化模型的最优值及相应的投资比例．由表２可知，当给定的r 值很小时，有效前沿与纵轴相交，此时的风险σ2为零，表明投资者只投资于无风险资产，期望收益率为无风险资产的利率r f ＝０．３６%．随着期望收益率的增加，对风险证券的投资比例也随之增加，当r ＝２．３４%时，对证券的投资比例之和为１，表明此时将所有资金投资于风险资产．以表２为基础，可以得到具有VaR 约束和存在无风险投资的不相关资产可能性有效组合的有效前沿（图１），该有效前沿和我们的投资的实际情况相符合．4结语本文在模糊理论基础上建立了具有ＶａＲ约束不相关资产可能性证券组合模型．该模型可以更好地描述非随机因素影响的金融市场下的投资风险环境．当资产收益率服从模糊正态时给出了模型的有效投资比例．为了更好地说明我们方法的有效性，选择了５只不相关股票进行验证，另外给出了具有ＶａＲ约束不相关资产可能性证券组合可能性有效前沿．结果表明，该模型不仅能够更好地反映现实经济环境中影响资产投资股票股票1股票2股票3股票4股票5均值μi /% 1.76 1.74 1.95 2.150.99方差σ2i /%0.620.700.780.970.47李婷:具有ＶａＲ约束的不相关资产可能性投资组合模型及算法11第13卷宁夏工程技术r 軇／%０．３６１．３８１．８２２．０１２．４３２．９８３．２４３．７８σ２００．０３７３０．０７６５０．１３０００．５３００１．６１００２．３４００４．３０００x １００．２４１８０．３４６１０．３５６９０．３５２１０．３４９４０．３４８６０．３４４２x ２００．１９１００．２７３４０．２６６７０．２３１１０．１８４５０．１６０５０．１０８２x ３００．１５０６０．２１５５０．２８１３０．４４０８０．６５０８０．７５２００．９６３４x ４００．０９９２０．１４２００．２３７２０．４９３４０．８２５７０．９８２１１．３０９４x ５００．００１５０．００２１－０．１４２０－０．５１７５－１．０１０４－１．２４３２－１．７２５３５i ＝１Σxｉ００．２４４６０．６８４００．９７９１１１１１表2模糊正态下的具有VaR 约束的不相关资产可能性有效证券组合注：β＝０．９０，VaR ＝－０．２３４１，r f ＝０．３６%．收益的模糊不清晰因素，而且在ＶａＲ的约束下，投资者能够选择更适合自己的投资组合．参考文献：[1]MARKO WITZ H.Portfolio seletion [J].Journal of Finance ，1952,7(1)：77-91.[2]MARKOWITZ H.Portfolio selection ：efficient diversification of investments[M].New York ：Wiley ，1959.[3]SHARPE W F.Portfolio theory and capital markets[M].New York ：McGraw-Hill ，1970.[4]MERTON R C.An analytic derivation of the efficient portfolio frontier [J].Journal of Finance and Quantitative Analysis ，1972,7(4)：1851-1872.[5]rge-scale portfolio optimization[J].Management Science ，1984,4(30)：1143-1160.[6]PANG J S.A new efficient algorithm for a class of portfolio 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applications to decision making [J].Tatra Mountains MathematicalPublication ，1997(13)：19-248.[16]RAMASWAMY S.Portfolio selection using fuzzy decision theory[DB/OL].[2014-01-15]./publ/work 59.htm.[17]TANAKA H ，GUO P ，T ürksen I B.Portfolio selection based on fuzzy probabilities and possibility distributions[J].Fuzzy Sets and Systems ，2000,111(3)：387-397.[18]ZADEH L A.Toward a generalized theory of uncertainty (GTU)an outline[J].Information Sciences ，2005(1)：1-40.[19]DUBOIS D ，PRADE H.The mean value of a fuzzy number [J].Fuzzy Sets and Systems ，1987,24(3)：279-300.[20]CARLSSON C ，Full ér R.On possibilistic mean value and variance of fuzzy numbers [J].Fuzzy Sets and Systems ，2001,122(2)：315-326.[21]ZHANG W G ，XIAO W L ，XU W J.A possibilistic portfolio adjusting model with new added assets [J].Economic Modelling ，2010,361(1)：208-213.[22]ZHANG W G ，NIE Z K.On possibilistic variance of fuzzy numbers [C]//Lecture Notes in Computer Science ，2003：398-402.[23]ZHANG W G ，WANG Y L ，CHEN Z P ，et al.Possibilistic mean-variance models and efficient frontiers for portfolio selection problem [J].Information Sciences ，2007,177(13)：2787-2801.（下转第１７页）图1具有VaR 约束的不相关资产可能性证券组合有效前沿离差VaR ＝０．２３４１０．０４００．０３５０．０３００．０２５０．０２００．０１５０．０１００．００５０期望收益率０．００５０．０１００．０１５０．０２００．０２５12第1期Zircon SHRIMP U-Pb dating of the Haiyuan rock group:With adiscussion of the forming ageWANG Cheng,LI Mingtao,MA Yanyun（ＮｉｎｇｘｉａＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＧｅｏｌｏｇｉｃａｌＳｕｒｖｅｙ，Ｙｉｎｃｈｕａｎ７５００２１，Ｃｈｉｎａ）Abstract:ＢｙＳＨＲＩＭＰＵ－Ｐｂｚｉｒｃｏｎｄａｔｉｎｇ，ｔｈｅａｇｅｏｆ（１９２５±８）Ｍａｆｒｏｍｔｈｅｍｅｔａｍｏｒｐｈｉｃｂａｓｉｃｖｏｌｃａｎｉｃｓ（ｇｒｅｅｎｓｃｈｉｓｔ）ｏｆＮａｎｈｕａｓｈａｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆＨａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄ，ｉｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｆｏｒｍｉｎｇａｇｅｏｆＨａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐｗａｓｌａｔｅｒｔｈａｎｔｈｅＰａｌｅｏｐｒｏｔｅｒｏｚｏｉｃ．ＴｈｒｏｕｇｈｔｈｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｉｓｏｔｏｐｉｃｄａｔｉｎｇｄａｔａｆｒｏｍＨａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐｏｖｅｒｔｈｅｙｅａｒｓ，ｉｔｉｓｃｏｎｃｌｕｄｅｄｔｈａｔｔｈｅＳｍ－Ｎｄｍｏｄｅｌａｇｅｏｆ１７００ＭａｉｓｇｅｎｅｒａｌｌｙｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｔｈｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｇｅｏｆｔｈｅｍｅｔａｍｏｒｐｈｉｃｂａｓｉｃｖｏｌｃａｎｉｃｓｉｎＨａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐ；ｔｈｅａｇｅｏｆ１４００Ｍａｉｓｔｈｅｅｍｐｌａｃｅｍｅｎｔａｇｅｏｆｄｉａｂａｓｅｄｙｋｅ（ｏｒｉｇｉｎａｌｒｏｃｋ）ｏｆＨａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐ；ｔｈｅＲｂ－Ｓｒｉｓｏｃｈｒｏｎａｇｅｓｆｒｏｍ８００Ｍａｔｏ１１００ＭａａｒｅｍｅｔａｍｏｒｐｈｉｃａｇｅｓｏｆＨａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐ；ｔｈｅＳｍ－Ｎｄｍｏｄｅｌａｇｅｏｆ２３１７Ｍａｏｆｆｅｌｓｉｃｓｃｈｉｓｔ（ｏｒｉｇｉｎａｌｒｏｃｋｗａｓｇｒａｙｗａｃｋｅ）ｉｓｔｈｅａｇｅｏｆｔｅｒｒｉｇｅｎｏｕｓｄｅｔｒｉｔｕｓｍａｔｅｒｉａｌｓｏｆＨａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐ．ＩｔｉｓｆｕｒｔｈｅｒｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄｔｈａｔｔｈｅＨａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐｗａｓｆｏｒｍｅｄｉｎｔｈｅＭｅｓｏｐｒｏｔｅｒｏｚｏｉｃＣｈａｎｇｃｈｅｎｇＰｅｒｉｏｄｃｏｍｂｉｎｉｎｇｗｉｔｈｔｈｅｄａｔｉｎｇｒｅｓｕｌｔｓｏｆｚｉｒｃｏｎＳＨＲＩＭＰＵ－Ｐｂｉｎｔｈｅｍｅｔａｍｏｒｐｈｉｃｂａｓｉｃｖｏｌｃａｎｉｃｓｂｙｔｈｉｓｗｏｒｋ．Key words ：Ｈａｉｙｕａｎｒｏｃｋｇｒｏｕｐ；ｚｉｒｃｏｎ；ＳＨＲＩＭＰＵ－Ｐｂｄａｔｉｎｇ；ｆｏｒｍｉｎｇａｇｅ（责任编辑、校对王德平）本次于海原岩群南华山岩组绿片岩（变质基性火山岩）中，所获得的1925±8Ma 的碎屑锆石U-Pb 同位素年龄值，同样也说明测试对象绿片岩形成时代晚于古元古代，也就是说海原岩群形成时代应晚于古元古代.结合已有研究成果在绿片岩和绿帘角闪岩中所获得的Sm-Nd 模式年龄为1700Ma ，可进一步判断出海原岩群的形成时代为中元古代长城纪.参考文献:[1]宁夏地质局区域地质测量队.1∶20万海原幅区域地质测量报告[R].银川：宁夏地质局区域地质测量队，1960.[2]宁夏回族自治区地质矿产局.宁夏回族自治区区域地质志[M].北京：地质出版社，1990：21-25.[3]霍福臣，郑昭昌.宁夏海原地区海原群的时代对比[J].地质论评，1988，34（1）：1-9.[4]宁夏地质矿产局区域地质调查队.1∶5万蒿川、盐池乡、海原县、大嘴幅区域地质调查报告[R].银川：宁夏地质矿产局区域地质调查队，1992.[5]甘肃省地质矿产局区域地质调查队.1∶5万碾壕湾、打拉池幅地质图及区域地质调查报告[R].兰州：甘肃省地质矿产局区域地质调查队，1992.[6]王崇礼，李厚民，孙继东，等.海原群变质地质及含矿性研究[M].西安：陕西科学技术出版社，1996：12-19.[7]宁夏回族自治区地质调查院.1∶25万固原市幅区域地质调查报告[R].银川：宁夏回族自治区地质调查院，2004：174-186.[8]宁夏回族自治区地质矿产局.全国地层多重划分对比研究：宁夏回族自治区岩石地层[M].武汉：中国地质大学出版社，1996:6-15.[9]周剑雄，陈振宇.电子探针下锆石阴极发光的研究[M].成都:电子科技大学出版社，2007:51-55.Possibilistic portfolio model for uncorrelated assets with VaR constraint and itsAlgorithmLI Ting(School of Mathematics and Computer Science,Ningxia University ，Yinchuan 750021,China)Abstract:Based on fuzzy possibilistic mean and variance,a possibilistic portfolio model for uncorrelated assets with VaR constraint wasproposed while return on assets is fuzzy number.The model shows more clearly that,in the financial market affected by non-random factors,risk-averse investors wish not only to reach the expected rate of returns in their actual investment,but also to assure maximum possible for future maximum loss is lower than a certain value.Under the condition of that securities yields obediences fuzzy normal distribution,the formula for effective investment ratio of fuzzy possibilistic portfolios model was derived,possibilistic efficient frontier was also given.Finally,an empirical study is carried out by using some stocks data of various industries listed at the Shanghai Stock Exchange.Conclusion shows that the model not only reflects uncertain factors affected asset investment income in reality of the economic environment,but also helps investors to choose more suitablea portfolio under the VaR constraint.Key words:fuzzy number;value at risk;possibilistic mean;possibilistic variance;portfolio（责任编辑、校对王德平）（上接第１２页）王成等:海原岩群锆石ＳＨＲＩＭＰＵ－Ｐｂ测年及时代归属讨论17。
第8章VaR模型(金融工程与风险管理南京大学,林辉)
衰减因子
2(2/ ) (1/
[
) ]1/ 2
(3 / )
为重尾参数， 2为重尾， 2为瘦尾
13
14
15
RiskMetric-正态分布
▪ 标准的RiskMetric模型的估计是基于正态分布的
rt tt ,t ~ iidN (0,1)
E
(rt
)
0,Var
(rt
)
t2Var
(
t
)
2 t
2 t
2 t 1
EWMA (1 )
x i1 t i
i 1
17
xˆt (1 )
x i1 t i
i 1
2 t
(1 )
i1(rti r )2
i 1
(1 )
r i1 2 t i
i 1
(1
)(rt
2 1
rt
2 2
2
rt
2 3
,
...)
(1
)rt 21
(1
) (rt 22
rt
2 3
,
...)
Yg,h (Z )
A
B(exp(gZ ) g
1) exp( hZ 2
2
)
A
BX
g,h (z)
lim
g 0
Yg
,0
(Z
)
A
BZ
~
N ( A,
B2)
g 1, h 0 Y1,0 (z) A B[exp(Z ) 1]
Y1,0 (z) A 1 exp(Z ) ln(Y1,0 (z) A 1) Z
2
350
300
250
200
150
八章 VAR模型课件
第八章向量自回归模型第一节平稳的V AR过程第二节 非限制性向量自回归模型的估计第三节 V AR模型的应用第四节 协整与误差校正模型第一节平稳的V AR过程一、 V AR过程的基本概念1980年Sims首先提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。
这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础。
在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后项进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
1单变量时间序列的AR(p)模型很容易推广到多元情形，这就是V AR(p)模型，它的定义为11t t p t p t y v A y A y u −−=++++ , 0,1,2,,t =±±… (8.1)这里t 1(,,)t t K y y y ′=…是一个1K ×维的随机向量，i A 是固定的K K ×维的系数矩阵，1(,,)K v v v ′=…是一个1K ×维的截距向量。
t 1(,,)t t K u u u ′=…是一个1K ×维的白噪声新息过程，亦即，()0t E u =()t t u E u u ′=Σ且()0t sE u u ′=(当s t ≠时)、||0u Σ≠。
两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的V AR 模型2111111122112221112221t t t t tt t t y v a y a y u y v a y a y u −−−−=+++⎧⎨=+++⎩其中u 1 t , u 2 t ∼ IID (0, σ 2), Cov(u 1 t , u 2 t ) = 0。
写成矩阵形式为11t t t y v A y u −=++，1,2,t =… 于是一般的V AR(1)模型如下（t y 可能包含不止两个变量）11t t t y v A y u −=++，1,2,t =… (8.2)容易推得21101y v A y u =++211211012()y v A y u v A v A y u u =++=++++2110112()K I A v A y Au u =++++类似地，可得1111101t i 0()t t t i t K i y I A A v A y A u −−−==+++++∑ 0()jj j i t K t j i i (8.3)从(8.3)式可以得到111111t y I A A v A y A u +−−−==+++++∑类似于一维情形，如果矩阵1A 的行列式的特征值都在单位圆外，则矩阵序列1iA ，0,1,i =…是绝对可和的，所以无限和式10it i i A u ∞−=∑存在均方极限。
第13章 资本资产定价模型(金融学,厦门大学)
• 计算公式的 beta值
b company wequity b equity wbond b bond b company 0.80 *1.3 0.20 * 0 b company 1.04
16
收益率的评估和管制
• 应用CAPM计算新项目要求收益率
r rf b rm rf
15.4%
0.05 1.040.15 0.05
17
收益率的评估和管制
• 假设该新项目由你公司来完成，没有债务 ，股票的beta值为
b company wequity b equity wbond b bond
1.04 0.60 * b equity 0.40 * 0
11 2 2 n n 1 2 n
i
i
14
Beta的计算
• 一些有用的公式：
b i b i,M
i
i , M i M i , M i i , M 2 2 M M M
r rf bi M rf
15
收益率的评估和管制
• 假设市场收益率为15%, 无风险收益率为5%
12
Security Market Line
20% 15%
Market Portfolio
Expected Risk Premium
10% 5% 0% -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 -5% -10% -15% -20% Beta (Risk)
13
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
组合的 Beta值
portfioio exemplar exemplar ,exemplar
180-演示文稿-ARMA模型
必须收敛1 ，即
必| 1须|满1 足
。
10
2. 移动平均模型 (MA) 概述
（ 1 ）移动平均模型的定义
若时间序列 xt 为它的当期和滞后若干期随机扰动项的线 性组合，即：
xt ut q1ut1 q2ut2 qqutq
(12.3.8)
其中，q1,q2 ,,qq
是参数， ut 是均值为u2 0 ，方差
从图 12.5 可以看出， ARMA(1,1) 模型的自相 关图和偏自相关图均是在 k=1 达到峰值后呈现出按指数 衰减的拖尾特征。
22
图 12.6 ARMA(2,2) 模型 xt=0.8xt-1-0.3xt-2+ut-0.5ut-1+0.7ut-2 的自相关图和偏自相关图
从图 12.6 可以看出， ARMA(2,2) 模型的自相关 图和偏自相关图在 k=1 、 2 达到两个峰值后按指数或正 弦衰减。
xt 1xt1 ut ut 1(1xt2 ut1)
… u…t 1ut1 12 (1xt3 ut2 ) ut 1ut1 12ut2 13ut3
j S u ﾥ i i0 1 ti
(12.3.7)
可以看出，一阶自回归模型 (12.3.5) 实际上是白噪声序列的线性组
合。若保证 AR(1) 模型具有平稳性，Siﾥ0j1i
ARMA(p,q) 模型的偏自相关函数，也是无限延长的 ，其表现形式与 MA(q) 模型的偏自相关函数类似。 根据 q 的取值不同以及参数 θi 的不 同， ARMA(p,q) 模型的偏自相关函数呈指数衰减 或正弦衰减混合形式。
21
图 12.5 ARMA(1,1) 模型 xt=0.8xt-1+ut-0.3ut-1 的自相关图和偏自相关图
第14章-市场风险-VaR-历史模拟法
以得到我们所关心的变量第n+1天可能值 v n 1
的经验分布。 最后通过经验分布计算其风险价值度VaR
Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright © John C. Hull 2012
9.11
2.2 例14.1
假如采用历史模拟法从500个观测值中求取的0.99分位数 的估计值为 2 500万美元
我们可以采用标准分布来对经验分布进行匹配，并由此求 得f(x)的近似值。假定经验分布服从正态分布，其期望值 为0，标准差为1 000万美元
在Excel中，0.99分位数所对应的数值为 NORMINV(0.01,0,10) = 2 326 万(美元)， f(x) 的数值为 NORMDIST(23.26,0,10,FALSE)=0.0027
历史模拟法的一个关键假设过去几年的收 益率是同分布（即分布是静止不变的）
但是市场变量并非静态，有时市场的波动 率会很高，有时很低。
因此，有必要进行改进。
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情景编号 DJIA
FTSE
11,02.20611,17.359 11,21.938
CAC
Nikkei
投资组合价 值
损失
1
10,977.08 9,569.23 6,204.55 115.05
10,014.334 -14.334
2
10,925.97 9,676.96 6,293.60 114.13
(完整word版)VAR模型及其在投资组合中的应用
二〇一五年七月VAR模型及其在投资组合中的应用内容提要20世纪90年代以来，随着金融衍生产品市场的迅猛发展，加剧了金融市场的波动，2008年的金融危机使得大量的金融机构和投资者破产，风险管理再一次成为金融活动的核心内容。
基于VaR的风险管理理论也在巴塞尔协议II的推广下开始广泛地被金融机构所运用，成为目前市场上主流的风险管理工具。
本文将VaR及其延伸概念边际VaR和成分VaR的风险管理理论运用到证券市场的投资组合风险调整过程中，选取能够覆盖多数行业的40只个股构成一个投资组合，运用蒙特卡洛法分别计算投资组合在95%的置信水平和持有期为1天的条件下组合的VaR，以此来分析投资组合的风险分布及单只个股的风险贡献度；同时将VaR运用均值-VaR的组合优化理论确定投资组合的最小VaR投资组合，对比调整前后的损益走势图来说明VaR在投资组合风险调整优化过程中的有效性。
【关键词】投资组合风险管理VaR 均值-VaR 组合优化理论一、序言（一）研究背景及意义20 世纪90 年代以来，随着世界金融市场在业务范围和产品规模上的急剧扩张，使得世界各国经济体之间的一体化和联动性不断增强，近些年的金融危机在国家之间的传导也更为迅速，往往带来整个行业的衰退和大量金融机构的破产。
08 年的全球金融危机最初只是美国房地产市场上的次债危机，但由于涉及大量金融衍生产品如CDO、MBO 和全球范围内的大量机构投资者，使得次债危机最终演变为全球范围内的金融危机，雷曼兄弟等众多金融机构破产倒闭，全球经济也迅速进入衰退周期。
因此可以总结出：世界经济一体化和联动性的增强在横向上扩大了金融风险影响的范围。
对此，以巴塞尔委员会为首的全球金融监管机构开始重新制定金融风险管理标准，风险管理再次成为金融活动的核心内容。
尤其对于证券公司、基金公司来说，他们持有的不再是单一的一种资产，而是众多资产组成的一揽子投资组合，如何运用一种有效的风险管理标准全面地衡量组合的风险，成为他们首要考虑的问题，VaR 正是在这种背景下产生并快速发展起来的。
ARMA模型
截尾性、拖尾性图示
判断ARMA(p,q)的阶
• 通过试验确定ARMA模型的阶数(p,q)：试取一组 (p,q)进行拟合估计(一般取(偏)自相关数明显非零 的延时期数k做p、q)，计算出残差序列，检验残 差是否为白噪声，若非白噪声仍有自相关性,则换 一组(p,q)继续试验。 • 另一种确定ARMA模型的阶数(p,q)的方法是：若 序列非AR(p)、MA(q)情况,则用AR(1)拟合序列{yt }, 再考察其残差序列的样本自相关函数是否截尾， 若q1步截尾,则模型为ARMA(1,q1),否则,再用AR(2) 拟合序列{yt},考察其残差序列的样本自相关函数 是否截尾,若q2步截尾,则模型为ARMA(2,q2);否则, 再继续增大p,重复上述的做法,直至残差序列的样 本自相关函数截尾为止。
ˆ t (k ) , k 1 y ˆ t (k ) 式中：y yt k , k 0
预测的置信区间
• 对于ARMA(p,q)模型，我们可以得到yt+l预测 的95%的置信区间: yt(l)1.96*se(l), 式中se(l)是误差标准差 .
R程序—预测
• • • • • • • • ufore = predict(usol, n.ahead =6) #预测未来6期 U = ufore$pred+1.96*ufore$se #算出95%置信上限 L = ufore$pred-1.96*ufore$se #算出95%置信下限 #下面作时序图,含原序列、拟合值预测值序列、95%置信区间 uuf=ts(c(u-usol$residuals,ufore$pred)) # 合并拟合值与预测值 ts.plot(u,uuf,col=1:2) # 画原序列、拟合值预测值序列时序图 lines(U, col="blue", lty="dashed") #在图中补充95%置信上限 lines(L, col="blue", lty="dashed") #在图中补充95%置信下限
最全的VAR模型理论基础及其Eviews实现ppt课件
三、VAR模型的检验
（3）滞后排除检验
滞后排除检验 （Lag Exclusion Tests） 是对VAR模型中的每一阶数的 滞后进行排除检验。如右图所示。 第一列是滞后阶数， 第二至五列是方程的χ 2统计量， 最后一列是联合的χ 2统计量。
18
三、VAR模型的检验
（4）滞后阶数标准
滞后长度标准（Lag Length Criteria）是计算出各种标准，选择无约 束VAR模型的滞后阶数，可以填入确切的最大的滞后阶数来检验。 表中将显示出直至最大滞后阶数的各种信息标准（如果在VAR模 型中没有外生变量 ，滞后从1开始，否则从0开始）。表中用“*” 表示从每一列标准中选的滞后阶数。
向量自回归(VAR)模型
——VAR及其Eiews实现
1
克里斯托弗•西姆2 斯
1. 向量自回归理论 向量自回归理论导入 2. VAR的建立与识别 VAR的表示与建立以及SVAR的识别
3. VAR模型的检验 Granger因果检验及滞后阶数p的确定
4. 脉冲响应函数
脉冲响应函数的基本思想及其Eiews实现
1987年Engle和Granger提出的协整理论及其方法，为非平稳 序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量的本身 是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序 列。这种平稳的线性组合被称为协整方程且可被解释为变 量之间的长期稳定的均衡关系。
25
六、协整检验
协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回 归残差的协整检验，如DF检验和ADF检验等；另一种 是基于回归系数的协整检验，如Johansen检验。
xt=b10 + b12zt +γ11xt-1 +γ12 zt-1 + μxt zt=b20 + b21xt +γ21xt-1 +γ22 zt-1 + μzt
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19 VARMA 模型1980年Sims 提出向量自回归模型（vector autoregressive model ）。
这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。
8.1 基本概念8.1.1 向量平稳过程设X t = (x 1t , x 2t , …, x Nt )由N 个随机过程构成的多维随机过程。
如果X t 的一阶矩（均值）和二阶矩（协方差）()[()()']t t k t t t k t k E E --==--μX ΓX μX μ为时不变的，即,t k μΓ与t 没有关系，则称X t 为弱平稳过程。
当k =0时，0[()()']t t t t E =--ΓX μX μ表示X t 的同期协方差矩阵，对角线元素Γii (0)表示过程{x it }的方差，非对角线元素Γij (0)表示过程{x it }与{x jt }的协方差。
当k ≠0时，对角线元素Γii (k)表示{x it }与{x i, t-k }的协方差，非对角线元素Γij (k)表示{x it }与{x j, t-k }的协方差。
8.1.2跨相关矩阵令D 表示X t = (x 1t , x 2t , …, x Nt )标准差构成的对角矩阵，则X t 与X t-k 的相关系数矩阵为：11k k --=ρD ΓD其中，第i 行第j 列的元素具体为：cov(,)cov(,)()()()()()it jt k it jt k ij it jt k it jt x x x x k std x std x std x std x ρ---==当k=0时，ρ0=D -1Γ0D -1表示X t 的同期相关系数矩阵。
对角线元素ρii (0)表示过程{x it }的同期相关系数1，非对角线元素ρij (0)表示过程{x it }与{x jt }的同期跨相关系数。
当k≠0时，对角线元素ρii (k)表示{x it }与{x it-k }的自相关系数，非对角线元素ρij (k)表示{x it }与{x jt-k }的跨相关系数。
显然，ρij (k)与ρji (k)表示不同的线性依存关系，一般情况下，ρij (k)≠ρji (k)。
因此，Γij (k)和ρij (k)不是对称矩阵。
由,,cov(,)cov(,)it j t k j t k it x x x x --=以及平稳条件可得：,,,,()cov(,)cov(,)cov(,)j t k it j t i t k jt i t k x x x x x x -+--==即：Γij (k)= Γji (-k)，Γij (k)表示矩阵Γ(k)的第i 行第j 列元素，Γji (-k)表示矩阵Γ(-k)的第j行第i 列元素。
因此，Γ(k) ≠Γ(-k)，而是Γ(k) = Γ(-k)'。
同样地，ρij (k)≠ρ(-k)，而是ρ(k)=ρ(-k)'。
将多维相关矩阵总结如下。
ρij (k)（k=0,1,…）表示{x it }的自相关函数。
ρij (k)（k=0,1,…）表示{x it }与{x jt }的同期相关系数。
ρij (k)（k=0,1,…）表示{x it }与{x j,t-k }的跨期相关系数。
样本相关系数矩阵估计公式为：11ˆˆˆˆk k--=ρD ΓD 其中，11ˆ/ˆˆ()()'ˆTt t T t t k t kT T k=-==--=-∑∑μX X μX μΓ Kosking （1980，1981）和Li and McLeod （1981）将单变量情形下的Ljung-Box Q 统计量推广到多元情形。
原假设为：ρ(k)=0，k=1, 2, …m 。
即不存在自相关和跨相关。
检验统计量为：2110011ˆˆˆˆ()('')mk k k Q m TTrace T k--==-∑ΓΓΓΓ 在原假设成立的条件下，22()~()Q m Nm χ。
其中，N 表示变量的个数。
例：1926年1月至1999年11月，SP500指数收益率和IBM 股价收益率的自相关和跨相关。
例：石油期货与现货价格8.1.3 多维变量滤子设A (L )和B (L )表示两个滤子。
{A j }和{B j }表示m r 和r s 矩阵。
滤子的积为D (L )=A (L ) B (L )0000110102112020110j j j j-=+=++=+++=A B D A B A B D A B A B A B D A B A B A B D如果A (L ) B (L )=I ，则称B (L )为A (L )的逆，或者A (L )为B (L )的逆。
从卷积公式可以看出，只要A 0≠0，A (L )的逆就存在。
比如，求一阶多项式Φ(L ) = I -Φ1L 的逆。
A 0≠I ，A 1=-Φ1。
B 0≠IB 1+ A 1=0 → B 1=-A 1 = Φ1B 2 + A 1B 1 + A 2 = 0 → B 2 =-A 1B 1 = Φ12 ... B j = Φ1j 8.2向量自回归模型设定VAR 模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。
假设y 1t ，y 2t 之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型y 1, t = f (y 1, t -1, y 1, t -2, …) y 2, t = f (y 2, t -1, y 2, t -2, …)则无法捕捉两个变量之间的关系。
如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。
VAR 模型的结构与两个参数有关。
一个是所含变量个数N ，一个是最大滞后阶数k 。
含有N 个变量滞后k 期的VAR 模型表示如下：Y t = c + Φ1 Y t -1 + Φ2 Y t -2 + … + Φk Y t -k + u t , u t ~ IID (0, Ω) (8.4) 其中，11.12.1.11121.22.2.2221. 2..;;;j j N j t t j j N j t t t t j t N j N j NN j N Nt Nt Y u c Y c u c Y u φφφφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥== ;==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y c Φu Y t 为N ⨯1阶时间序列列向量。
c 为N ⨯1阶常数项列向量。
Φ1, … , Φk 均为N ⨯N 阶参数矩阵，u t ~ IID (0, Ω) 是N ⨯1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。
用滞后算子的表述为：（I-Φ1L -Φ2L 2-…-Φp L p ）Y t = Φ(L )Y t = c + u t此处，c 表示的不是Y t 的均值。
对于平稳过程来讲，Y t 的均值为：E(Y t ) =μ= Φ(1)-1c ，其中Φ(1)= I-Φ1-Φ2-…-Φp 以两个变量y 1t ，y 2t 滞后1期的VAR(1)模型为例， y 1, t = c 1 + φ11 y 1, t -1 + φ12 y 2, t -1 + u 1ty 2, t = c 2 + φ21 y 1, t -1 + φ22 y 2, t -1 + u 2 t (8.1)其中u 1t , u 2 t 为独立白噪声过程，但u 1t 与u 2 t 存在相关关系。
φ11体现了y 1的滞后项对其当期项的影响，φ12体现了y 2的滞后项对y 1当期项的影响；φ21体现了y 1的滞后项对y 2当期项的影响，φ22体现了y 2的滞后项对y 2当期项的影响。
如果φ12=0，φ21≠0，说明从y 1到y 2存在单向影响关系；如果φ21=0，φ12≠0，说明从y 2到y 1存在单向影响关系。
如果φ21=0，φ12=0，说明y 2与y 1不存在反馈关系。
如果φ21≠0，φ12≠0，说明y 2与y 1存在双向反馈关系。
y 2与y 1的当期相关关系通过σ12体现。
如果σ12=0，说明y 2与y 1不存在当期相关。
21122212var()var(')t t t σσσσ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦u u u 其矩阵形式是， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21=12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+11.112.121.122.1φφφφ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1,21,1t t y y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21 (8.2) 设， Y t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t y y 21, c =12c c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, Φ1 =11.112.121.122.1φφφφ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, u t =⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u u 21, 则， Y t = c + Φ1 Y t -1 + u t (8.3)因VAR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与u t 是渐近不相关的，所以可以用O L S 法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。
VAR 模型的特点是：（1）不以严格的经济理论为依据。
在建模过程中只需明确两件事：①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR 模型中；②确定滞后期k 。
使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。
（2）VAR 模型对参数不施加零约束。
（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析回归参数的经济意义。
）（3）VAR 模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR 模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。
（4）VAR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。
比如一个V AR 模型含有三个变量，最大滞后期k = 3，则有k N 2 = 3 ⨯ 32 = 27个参数需要估计。
当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。
（5）无约束VAR 模型的应用之一是预测。
由于在VAR 模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。
（6）用VAR 模型做样本外近期预测非常准确。
做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。
西姆斯（Sims ）认为VAR 模型中的全部变量都是内生变量。
近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR 模型。
附录：（file:B8c1）8.3 VAR 模型的平稳条件根据齐次差分方程理论，VAR(p)模型平稳性的充分必要条件为：如下特征方程的特征根落在单位圆之外。
| I-Φ1L -Φ1L 2-…-Φp L p | = 0或者等价地表述为：如下特征方程的特征根落在单位圆之内。