三角形不等式的应用举例(含练习题)

三角形不等式的应用举例

根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.

类型一：证明形如a b c +>型的不等式

例1、已知x y z 、、

> 证明:作角∠120AOB = ，∠120BOC = ，则∠120AOC = ， 设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：

==

又OA OB OC,+>所以原不等式成立.

例2、已知x y z 、、

> 证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，

则BC C A ==

又AB BC C,A +>所以原不等式成立.

类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式

例3、已知x y z 、、

y z).>++ 证明：以x y z ++为边作正方形，

).BC CD AB x y z =++≥++ D

A

x y

z

x y z

类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式

例4、设01,01x y <<<<求证：

≥

证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和.

另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.

由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=知原不等式成立.

应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.

例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥

分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝

这个条件进行化简.

证明：2,

只要证22224,x y y ++++≥x

即证22224,x y y ++++≥x

即证22224,x y y ++++x

即证22[()2]x y xy x y +-+++

注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++

即证14,xy ≥+

即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++

即证287,xy -≥-1,4

xy ≤ 而21(),24x y xy +≤=故14

xy ≤成立. 所以原不等式成立.

如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：

证明：左边==

=

设(,0)P x ，1(,44A ，3(,)44

B ，则

|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.

1A B ==2.≥左边即原不等式成立

比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.

但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.

下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：

1、求y =.（答案：5）

2、已知a b ≠，求证：||.a b <-

3、 求证：01≤.

4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>

（2）|<