凸函数极值点的分布问题

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函数凹凸性对极值的影响分析

函数凹凸性对极值的影响分析函数的凹凸性对其极值的存在性、数量以及判断方式都有重要影响。

以下是从几个方面详细分析函数的凹凸性如何影响其极值：1. 极值的存在性●凸函数：对于严格凸函数（即在整个定义域内都保持凸性的函数），如果在某点取得极值，则该极值必然是全局最小值（因为凸函数在任意两点之间的线段上都在函数图像上方或重合，所以在其内部不可能有比该点更低的点）。

同样地，如果函数是凹的，则在该点取得的极值可能是全局最大值。

●非严格凸/凹函数：对于非严格凸函数（即存在直线段与函数图像相切但不相交的凸函数）或非严格凹函数，可能存在多个极值点，但这些极值点可能不是全局最优解，而只是局部最优解。

2. 极值的数量●凸函数：在严格凸函数中，如果函数在某区间内连续可导，且在该区间的端点处函数值趋于无穷大（或满足其他适当的边界条件），则该函数在该区间内至多有一个全局最小值点（没有最大值点，除非定义域有界）。

这是因为凸函数的图像总是在任意两点之间的线段上方或与其重合，所以不可能在同一区间内有两个或更多的全局最小值。

●非凸函数：非凸函数可能具有多个局部极值点（包括局部最小值和局部最大值），这些极值点的数量取决于函数的复杂性和定义域的性质。

3. 极值的判断方式●一阶导数测试：对于可导函数，可以通过检查一阶导数的符号变化来判断极值点。

然而，这种方法在非凸函数上可能不够有效，因为可能存在多个驻点（一阶导数为零的点），其中只有部分是极值点。

●二阶导数测试：在二阶导数存在的情况下，可以利用二阶导数的符号来判断极值点的类型。

对于凸函数，其二阶导数（或海森矩阵对于多元函数）在非极值点处非负；在极小值点处等于零（对于严格凸函数，极小值点处二阶导数严格大于零）。

然而，需要注意的是，并非所有凸函数都是二阶可导的，且二阶导数测试在非凸函数上可能不够可靠。

●凹凸性直接判断：对于凸函数，可以直接利用凸函数的定义来判断极值点。

即，如果函数在某点取得极值，并且该点位于定义域的边界上或其一阶导数在该点附近发生变化（从正变为负或从负变为正），则该点很可能是全局最小值点（对于凹函数，则可能是全局最大值点）。

函数的凹凸性,极值

f
( x0 )
lim
xx_
0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
xx_
0
f ( x) 0 x x0
f ( x) 0 ( x x0 )
f
( x0 )
lim
x x
0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x x
0
f ( x) 0
x x0
f ( x)在x0两侧异号。
如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.
21
y
极大值点 y 极小值点
y 不是极值点
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
16
求曲线 y f ( x) 拐点的一般步骤 :
( 1 ) 求 f ( x) 的定义域 (或确定讨论区间) ; (2) 计算 f ( x) , f ( x) , (如需要可求出 f ( x)) ; (3) 求拐点可疑点 :
f ( x) 0 ( x x0 )
14
例5 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
解 y cos x sin x , y sin x cos x ,
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
x2
7 4
.
f (3) 2 0,

正定矩阵在最优化的凸规划和函数极值点问题中的应用

另类见的次函＝ …＋ｘ＝一常二数ｑ）Ｇｂ＋ｘｘｘＷｃ１∑ｘ ∑ｂ＋。勘ｉｃｘ，ｉ
二ｌ＝ｊｌｉｌ＝
解由件，）ｘ２。：）ｘ＋，（ｘ７从得到条知＝－）（０（１ｘ。而：ｘ｝（ｘ（，：ｘｌ３）－＋ｈｒＴ，
当ｌ４４＞时，ｌ —ｔ０Ｇ正定。即一＜ｌＧ正定，Ｇ＝ｚｌｔ时，＜从而“）ｘ是严格凸
函数。当Ｇ的特征值均为非负数时，Ｇ半正定。即Ｇ的特征多项式
ｂ（。ｂ ∈Ｒ。Ｇ为ｑｘ的Ｈｓｅ＝ｂｂ，ｃ， …，（）ｅｓ矩阵。ｘ＝Ｔｘ表示向量ｘ的转置。，当矩阵Ｇ半正定时ｑｘ凸函数；Ｇ正定时ｑｘ（是）当（）是严格凸函数；当Ｇ半负定时ｑｘ是凹函数；Ｇ是不定矩阵时，（即不是凸函数也不是（）当ｑｘ）凹函数。下面的引理１．和定理１．分别用一阶导数和二阶导数刻．１１．１１画了一般的非线性函数是凸函数的基本特征，定理１．是凸函数的判．１１别定理。引理１．设ｆ）义在凸集Ｄ上的一阶可微连续函数则ｆ）．１（是定１ｘ（是ｘＤ上严格凸函数的充分必要条件是：）（＞ｆ）ｙｘＶ，∈Ｄｘ。一ｘＶ（Ｔ — ）ｘｙｆ）ｘ（，ｙ， ≠ｙ证明必要性：ｆ）设（是凸集Ｄ上的严格凸函数，ｘ则对任意的ｘ ∈Ｄ，ｙ和任意的 ∈（，，ｆｙ（一）＜ｙ（一）ｘ由此得０１有（＋１ｘ）１））ｈ）＋ｆ＋（ｘ）ｆ） “ ））（ｈｙ）（ｙ一ｘｘ－ｘ＜（）５

导数的极值点偏移问题

导数极值点偏移问题如上图所示，0x 为函数的极值点，0x 处对应的曲线的切线的斜率为0极值点左移：0212x x x >+，221x x x +=处切线与x 轴不平行极值点右移：0212x x x <+，221x x x +=处切线与x 轴不平行由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。

当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有()020'21'=<⎪⎭⎫⎝⎛+x f x x f ；当函数图像为凸函数，且极值点右偏时，有()020'21'=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f 。

当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，()020'21'=>⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有()020'21'=<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x x f 。

如图所示，上图的函数图像为凸函数，且极值点右移，1x 和2x 处对应的函数值相等，我们可以作2x 关于0x 的对称点3x ，则12032x x x x >-=，且03x x <，故()()13x f x f >，即()()1202x f x x f >-，故我们可以构造函数()()()1202x f x x f x F --=，只需要判断函数()x F 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足()0min >x F ，我们就可以得到0212x x x <+。

同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。

做题步骤：（1）求极值点0x ；（2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--；（3）判断极值点左移还是右移；（4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论；（5）若极值点求不出来，由'0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.经典题型：1.已知函数()2ln f x x ax =-，其中a R ∈（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 有极大值为12-，且方程()f x m =的两根为12,x x ，且12x x <，证明：124x x a +>.2.已知函数()()xf x e ax a a R =-+∈，其中e 为自然对数的底数.（1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：122ln x x a +<.（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）如果0a >且关于x 的方程()f x m =有两解1x ，2x （12x x <），证明122x x a +>.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()f x 极值点为0x ，若存在()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，使()()12f x f x =，求证：1202.x x x +>（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设()()22ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'02x x h +⎛⎫>⎪⎝⎭.6.设函数()()211ln .2f x x a x a x =--- （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x b =有两个不相等的实数根12,x x ，求证120.2x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭'7.设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x . (1)求满足条件的最小正整数a 的值； (2)求证：1202x x F +⎛⎫> ⎪⎝⎭'.8. （2016年全国卷1）已知函数()()()212-+-=x a e x x f x有两个零点（1）求a 的取值范围；（2）设21,x x 是()x f 的两个零点，证明：221<+x x9.（2018年湖北省七市州联考）已知函数()()R a x axe x f x ∈--=-,1222 （1）当4-=a 时，谈论函数()x f 的单调性；（2）当10<<a 时，求证：函数()x f 有两个不相等的零点21,x x ，且221>+x x10.（广西桂林2017年第一次联合模拟考试）已知函数()()R m x x m x f ∈-+=1ln 21的两个零点为()2121,x x x x <（1）求实数m 的取值范围；（2）求证：e x x 21121>+11.已知函数()ax e x f x -=-有两个零点（1）求实数a 的取值范围；（2）设21,x x 是函数()x f 的两个零点，证明：221-<+x x12.已知函数()k kx e x f x 21--=+（1）讨论函数()x f 的单调性；（2）当函数()x f 有两个零点21,x x 时，证明：221->+x x。

函数的凹凸性与极值点

函数的凹凸性与极值点函数的凹凸性和极值点是微积分中重要的概念。

通过研究函数的凹凸性和极值点，我们可以更加深入地理解函数的性质，进而应用于许多实际问题的求解中。

本文将详细介绍函数的凹凸性和极值点。

一、凹凸性的定义首先我们来定义函数的凹凸性。

假设函数f(x)在区间I上可导，若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＜f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；若对于任意的x1、x2∈I且x1＜x2，有f'(x1)＞f'(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。

凹凸函数很类似于水果篮中的凹凸形状，凹函数可以想象成篮子底部向上凹陷，而凸函数则相反，底部向下凸起。

函数凹凸性的变化有助于我们分析函数的增减性、拐点等特性。

二、凹凸性与导数的关系函数的凹凸性与函数的导数密切相关。

如果函数f(x)在区间I上连续，那么f'(x)的正负性与函数的凹凸性有以下关系：1. 如果f'(x)在区间I上单调递增，那么f(x)在区间I上是凹函数；2. 如果f'(x)在区间I上单调递减，那么f(x)在区间I上是凸函数；3. 若f''(x)存在且在区间I上恒大于零，那么f(x)在区间I上是凸函数；4. 若f''(x)存在且在区间I上恒小于零，那么f(x)在区间I上是凹函数。

通过对函数的导数进行研究，我们可以得到函数的凹凸性质。

这为我们进一步分析函数的特点提供了重要的线索。

三、极值点的定义与判定接着我们来回顾一下极值点的定义。

对于函数f(x)，如果存在某一点x0，使得在x0的某个邻域内，f(x0)是函数的最大值或最小值，则称x0是函数f(x)的极值点。

对于可导的函数f(x)，我们可以通过导数来判断函数的极值点：1. 若f'(x0) = 0，且f''(x0)存在，则x0是函数f(x)的驻点。

2. 若f'(x0) = 0，且f''(x0) > 0，则x0是函数f(x)的极小值点。

凸函数的极值

凸函数的极值凸函数是数学中非常重要的一个概念，其在优化、经济学、物理等领域都有广泛应用。

凸函数不仅具有很好的性质和特性，而且还有一个极值问题。

什么是凸函数？凸函数是一种定义在实数集上的函数。

如果函数的任意两点之间的线段在函数图像上的点的下方，那么这个函数就是凸函数。

具体来说，如果对于任意 $a < b$，都有 $f((1-t)a+tb)\leq (1-t)f(a)+tf(b)$，其中 $0\leq t\leq 1$，那么函数 $f$ 就是凸函数。

凸函数的优良性质凸函数具有很多好的性质，其中最突出的就是对于任意两点之间的线段，它的斜率都是不递减的。

这一性质也被称为弱凸性质，它表明了凸函数在图像上的曲率是向上的，因此可以说凸函数具有一定的“凸出”特性。

凸函数还有许多其他的性质，比如说：- 凸函数的导函数是单调递增的；- 凸函数的下凸包是一个闭合包；- 凸函数的两个相邻的切线之间的区域总是在函数图像上方；- 凸函数的全局极小值只有一个。

在实际应用中，这些性质为凸函数带来了许多优势，比如说可以更容易地找到函数的极值，更加准确地优化问题等等。

凸函数的极值问题对于一个凸函数 $f(x)$，求其在定义域上的最大值或最小值是非常常见的问题。

根据凸函数的性质，在其定义域的边界处或者导函数为零的点处必然存在极值，而且极值点一定是全局极值点。

具体来说，如果在定义域的边界上存在极值点，那么极值点为全局极值点。

如果没有，则需要进一步考虑导函数为零的点。

在导函数为零的点处，需要进一步判断这个点的二阶导数符号。

如果二阶导数大于零，那么此处是函数的局部极小值；如果二阶导数小于零，则为局部极大值。

需要注意的是，在有些情况下，凸函数的极值点可能会有多个。

这时一般需要通过计算二阶导数的符号来判断哪个是全局极小值或极大值。

举个例子，考虑函数 $f(x)=x^2-2x+2$。

通过求导可得其导函数$f'(x)=2x-2$。

导函数为零的点为 $x=1$，而且 $f''(x)=2>0$，因此$x=1$ 是函数的局部极小值点。

《函数凹凸性》课件

几何意义
在函数图像上，凸函数表现为图像位于其连接直线的上方。
凹凸函数的几何意义
凹函数的几何意义
在凹函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线下方。这表明，对于凹函数，中点的函数值总是大于或等于两端点连线上中点的函数值。
凸函数的几何意义
在凸函数的图像上，任意两点之间的线段都位于这两点之间函数的曲线上方。这表明，对于凸函数，中点的函数值总是小于或等于两端点连线上中点的函数值。
几何意义
在函数图像上，凹函数表现为图像位于其连接直线的下方。
凸函数的定义
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1, x_2$（ $x_1 < x_2$）都有$f(x_1) + f(x_2) < 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。Βιβλιοθήκη 4凹凸性在优化问题中的应用
利用凹凸性求解优化问题
01
确定函数的凹凸性
首先需要判断函数的凹凸性，可以通过求二阶导数或观察函数图像来进
行判断。
02 03
利用凹凸性寻找极值点
在确定了函数的凹凸性之后，可以利用凹凸性寻找函数的极值点。在凹函数中，极值点出现在二阶导数为0的点；在凸函数中，极值点出现在边界点或一阶导数为0的点。
有$f(x_1) + f(x_2) < 2fleft(frac{x_1 + x_2}{2}right)$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
二次导数法
总结词
通过判断一阶导数的正负来判断函数凹凸性的常用方法
详细描述
如果函数$f(x)$的二阶导数$f''(x) > 0$，则函数$f(x)$为凹函数；如果二阶导数$f''(x) < 0$，则函数$f(x)$为凸函数。这种方法适用于一阶导数容易计算或形式较为简单的函数。

凸凹性与极大值与极小值

凸凹性与极大值与极小值凸凹性是我们在高中数学学习中就接触到的概念之一，它与函数图像的形状、极值有着密切的关系。

首先，我们来了解一下凸性和凹性的概念。

在数学中，凸性是指函数的图像向上弯曲的程度，也就是说，函数图像的曲率向上。

如果一个函数在其定义域上的图像向上弯曲，我们就称这个函数在这个区间上是凸函数。

反之，如果函数图像向下弯曲，我们则称这个函数在该区间上是凹函数。

研究函数的凸凹性还有另一种方式，即研究其导数。

设函数f(x) 在区间 I 上有定义，且在 I 上有二阶导数，若对于 I 上任意两点 x1、x2（x1<x2），有：f′′(x)>0(x1<x<x2)（或者f′′(x)<0(x1<x<x2)）,则称 f(x) 在区间 [x1,x2] 上为凸函数（或凹函数）。

既然我们现在了解了凸凹的定义，那么判断一个函数图像的凸凹性，就需要对其导数进行计算了。

具体而言，我们需要计算一阶导数和二阶导数，然后判断二阶导数的正负性。

如果二阶导数大于零，则说明函数图像向上弯曲，是凸函数；如果二阶导数小于零，则说明函数图像向下弯曲，是凹函数。

说到这里，我们不难想到极值的概念。

在一个函数的定义域内，如果有一个点 x0，满足f(x0)≥f(x)（或者f(x0)≤f(x)），那么我们就称 x0 是函数的极大值（或极小值）点。

如果一个点既不是极大值，也不是极小值，则称这个点是函数的极值。

那么，在一个函数图像的图像中，如果出现一个极值点，这个点的凸凹性就可以被确定了。

具体而言，如果这个极值点是一个极大值点，那么它的左边是一个凸函数，右边是一个凹函数；如果这个极值点是一个极小值点，那么它的左边是一个凹函数，右边是一个凸函数。

接下来，我们可以通过一个实例来深入掌握凸凹性和极值的概念。

举例：考虑函数 f(x)=x^3 − 3x^2 + 2x。

我们首先可以求出其一阶导数和二阶导数分别为：f′（x）=3x^2 − 6x + 2,f′′（x）=6x − 6.我们发现，二阶导数在整个定义域内都大于零（因为6x-6=6（x-1）-6>0当x>1时），所以函数图像在整个定义域内均为凸函数。

泛函分析中的凸分析理论

泛函分析中的凸分析理论在数学领域中，泛函分析是研究函数空间及其上的泛函的一个重要分支。

而凸分析理论则是泛函分析领域中的一个重要概念，它主要研究凸集合、凸函数以及凸优化等问题。

本文将介绍泛函分析中的凸分析理论，包括凸集合、凸函数、凸性质以及凸优化等内容。

1. 凸集合首先我们来介绍凸集合的概念。

在欧几里德空间中，一个集合被称为凸集合，如果对于该集合中的任意两点，连接这两点的线段仍然完全位于该集合内部。

换句话说，集合中的任意两点的线段都在该集合内部。

凸集合在泛函分析中具有重要的意义，它们在凸优化等问题中起着关键作用。

2. 凸函数接下来我们来讨论凸函数的概念。

在实数域或者欧几里德空间中，一个函数被称为凸函数，如果该函数的定义域是凸集合，且对于定义域内的任意两点，连接这两点的线段位于函数图像的上方。

直观上来说，凸函数的图像上的任意两点之间的线段都位于函数图像的上方。

3. 凸性质凸函数具有许多重要的性质，这些性质在泛函分析中被广泛应用。

其中一个重要性质是凸函数的次微分性质。

对于凸函数，几乎处处都可微，并且在凸函数的极值点处，导数等于零。

这一性质在优化问题中有着非常重要的应用。

4. 凸优化凸优化是凸分析理论的一个重要应用方向。

在凸优化中，研究的是凸优化问题，即目标函数是凸函数，约束条件是凸集合的优化问题。

凸优化是数学规划领域中研究的一个重要问题，它在工程、经济学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。

综上所述，泛函分析中的凸分析理论涉及到凸集合、凸函数、凸性质以及凸优化等内容，这些概念和理论在数学和应用领域中均具有重要意义。

凸分析理论的研究不仅推动了泛函分析领域的发展，也为实际问题的求解提供了重要工具和方法。

希望本文的介绍能够帮助读者更深入地了解泛函分析中的凸分析理论，激发学术研究和实际应用中对于这一领域的兴趣和研究。

凸函数与极值解读

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）题目：凸函数与极值院（系）理学院专业数学与应用数学年级2009级姓名哦哦学号********指导教师啊啊啊职称副教授2013年月日毕业论文（设计）评语及成绩承诺书本人哦哦，哈尔滨学院理学院数学与应用数学专业 09—4 班学生，学号： 09031432 。

本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》，是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。

承诺人：董春年月日目录摘要 (1)Abstract (2)前言 (3)第一章凸函数的定义与性质 (4)1.1 一元凸函数的定义与性质 (4)1.1.1一元凸函数的定义 (4)1.1.2一元凸函数的性质 (4)1.1.3一元凸函数的判定 (7)1.2 多元凸函数的定义与性质 (9)1.2.1多元凸函数的定义 (9)1.2.2多元凸函数的性质 (10)1.2.3多元凸函数的判定 (10)第二章极值的定义与判别法 (14)2.1一元函数极值 (14)2.1.1一元函数极值的定义 (14)2.1.2一元函数极值的判定 (14)2.1.3可导凸函数极值问题 (15)2.1.4一般凸函数极值问题 (17)2.2 多元函数极值 (18)2.1.1多元函数极值的定义 (18)2.1.2多元函数极值的判定 (19)第三章凸函数与极值相关理论 (22)第四章利用凸函数求解极值问题 (24)4.1将极值问题转化为凸函数问题求解 (24)4.2弓形面积的最值 (26)参考文献 (30)后记 (31)摘要本文第一章对凸函数的定义及性质问题作了简单的阐述。

研究一元凸函数和多元凸函数的定义，性质及其判定；刻画了凸函数极值点的分布规律，并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。

第二章介绍了极值的定义与判别法，从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。

第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。

清华微积分(高等数学)课件第十讲极值与凸性

判定条件二
如果对于函数$f(x)$在区间$I$上的任意三点$x_1, x_2, x_3$，都有$frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} geq frac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。
04
极值与凸性的关系
和精度。
06
总结与展望
本讲内容的总结
极值的基本概念
本讲介绍了极值的概念，包括局部极值和全局极值，以及极值的必要条件和充分条件。
凸性的定义与性质
凸性是微积分中的一个重要概念，本讲详细介绍了凸函数的定义、性质以及凸函数的判别方法。
极值与凸性的关系
本讲通过实例说明了极值与凸性的关系，如函数在凸区间上的极值点一定是函数的拐点。
几何意义
在二维空间中，凸函数对应的曲线位于其任意两点连线的下方，即对于任意两点$x_1$和$x_2$，曲线上的点位于这两点连线的下方或恰好在这条直线上。
凸函数的性质
凸函数的导数性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上可导，且为凸函数，那么其导数$f'(x)$在区间 $I$上单调递增。
凸函数的二阶导数性质
极值与最优化问题
本讲还介绍了极值在解决最优化问题中的应用，如利用极值条件求解最优化问题的方法。
未来研究方向的展望
极值理论的进一步
研究
虽然极值的基本理论已经比较完善，但仍有许多值得进一步研究的问题，如多变量函数的极值问题、无穷维空间的极值问题等。
凸性理论的深化
凸性理论在数学和工程领域有着广泛的应用，未来可以进一步研究凸性的性质、凸函数的分类等问题。
极值点一定是凸点
极值点是函数在某点的取值达到局部最大或最小的点，而凸点是函数图像上凸起的部分，因此极值点一定是凸点。

学习活动四：凸函数理论与中学数学中的极值问题

一、凸函数与极值相关理论众所周知，有界闭区域上的连续函数一定能够取到最大值与最小值，但最大值点与最小值点可能在区域的任意点。

但是对于凸函数来说，它的最大（小）值有着一些特殊的性质。

定理1[12] 设n S R ⊂是一非空有界闭凸集，:f S R →是凸函数。

（ⅰ）若0x 是)(x f 在S 上的局部极小值，则0x 是)(x f 在S 上的最小值；（ii ）若)(x f 是严格凸函数，则它在S 上的最小值点是唯一的。

证明：（i ）若0x 是)(x f 的一个局部极小值点，则存在0x 的一个邻域0(,)N x δ，对于0(,)x N x δ∈，有0()()f x f x ≥.1,0<<1,x S αα∀∈有充分小的，使得010)(,)x x N x ααδ+∈（1-从而有000((1))()f x x f x αα-+≥又由)(x f 是凸函数，故有001()(1)()()f x f x f x αα≤-+移项即可得，01()()f x f x ≤，故0()f x 在S 上取最小值；（ii ）假设)(x f 在S 上的两点0x ,1x 取到最小值，即01()()min{()}f x f x f x x S ==∈.因S 是凸集，故对于01(0,1),(1)x x S ααα∈+-∈. 又由)(x f 是严格凸的，则有01010((1))()(1)()()f x x f x f x f x αααα+-<+-=这与0()f x 在S 上取最小值矛盾。

定理2[12] 有界闭凸集S 上的凸函数)(x f 必在S 的边界S ∂上取到最大值。

证明：设00,()max{()}n x S R f x f x x S ∈⊂=∈，若0x S ∈∂则定理得证；否则，0x S ∈的内点，过0x 任做一“直线”，由有界闭凸集的性质，该“直线”必与边界S ∂交于两点，设为12,x x ,于是存在正数, 1αβαβ+=且. 由假设知1020()(),()()f x f x f x f x ≤≤故若20()()f x f x <，则010()()()f x f x f x αβ<+即01(1)()()f x f x βα-<从而有01()()f x f x <，这与点0x 为最大值点矛盾，故20()()f x f x =.同理120()()()max{()}f x f x f x f x x S ===∈.定理3[12] 设n S R ⊂ 为有界凸多面体，12,,,N x x x 为S 的顶点，)(x f 为S 上的凸函数，则)(x f 的最大值必在S 的顶点上取到，即max{()}max{()1}i f x x S f x i N ∈=≤≤证明：由定理2知，存在0x S ∈∂, 使0()max{()}f x f x x S =∈设0x 在S 的某一侧面π上，则π的顶点是S 的顶点中的一部分。

凸函数理论解决数学中极值问题

凸函数是数学函数的一类特征。

凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

凸函数性质定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。

如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x）。

特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。

如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。

例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。

更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。

凸函数的任何极小值也是最小值。

严格凸函数最多有一个最小值。

对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。

然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。

延森不等式对于每一个凸函数f都成立。

如果X是一个随机变量，在f的定义域内取值，那么（在这里，E表示数学期望。

）一般凸函数极值问题，由于在凸函数的定义中并没有对做出连续性和可导性假设，因此一方面凸函数可能是不连续的，进而也是不可导的。

一般凸函数极值问题，由于在凸函数的定义中并没有对做出连续性和可导性假设，因此一方面凸函数可能是不连续的，进而也是不可导的。

证明在上是凸函数，但在上分别是不连续和不可导的，另一方面连续函数和可导函数也可能不是凸函数。

例如在R上是不连续和不可导的，但在R上不是凸函数。

这样，当在I上不可导时，上述定理及推论失效。

第四节函数单调性、凸凹性与极值

数的符号.
例2. 确定函数
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
的单调区间.
2 解: f ( x) 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2)
x
f ( x) f ( x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)

2 0 1
( 2 , )
(2) 令 f '' ( x ) 0, 解出全部实根, 并求出使 f '' ( x )
不存在的点; (3) 对步骤(2)中求出的每一个点, 检查其邻近左、右两侧二阶导数 f '' ( x ) 的符号, 确定曲线的凹凸区间和拐点.
例8. 求曲线解: 1) 求 y
的凹凸区间及拐点.
y 12 x3 12 x 2 ,
y f ( x ) 在 [a , b]上单调增加. 若在 (a , b )内, f ' ( x ) 0, 则 f ' ( ) 0, f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
例 1 讨论函数 y e x 1 的单调性.
y
2
2 的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 1
的单调减区间为 (1 , 2).
o
1 2
x
2 3 y x 例 3 讨论函数的单调区间. 解 D : ( , ). y 32 ( x 0), 3 x 当 x 0 时，导数不存在. 当 x 0 时，y 0, 在 ( ,0] 上单调减少；当 0 x 时，y 0,
2
2 1 f ( x ) ln(1 x ) x x , 2 因为 f ( x ) 在 [0,) 上连续，在 (0, ) 内可导，

凸函数与极值

本人郑重承诺：本人撰写的毕业论文《凸函数与极值》，是个人的研究成果，数据来源真实可靠，无剽窃行为。

研究一元凸函数和多元凸函数的定义，性质及其判定；刻画了凸函数极值点的分布规律，并将所得的结果推广到可导严格凸函数和一般凸函数中。

第二章介绍了极值的定义与判别法，从一元极值的定义与判别法推出可导凸函数的极值问题以至推广到一般凸函数极值问题。

第三章介绍了凸函数与极值的相关理论为后续第四章的利用凸函数求解极值问题作了铺垫。

凸函数驻点

凸函数1. 定义在数学中，凸函数是一类具有特殊性质的函数。

简而言之，凸函数是指定义在实数集上的函数，其图像上的每个点都位于该函数的下方区域。

凸函数的定义可以从两个不同的角度来理解：1.1 函数图像的定义给定定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的实数x1和x2，以及0≤λ≤1，都有以下不等式成立：f(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf(x1) + (1-λ)f(x2)则称函数f(x)为凸函数。

上述不等式表明，对于函数上的任意两点x1和x2，连接这两点的线段上的每个点都位于函数图像的下方。

换句话说，凸函数的图像上的每个点都位于它的切线的下方。

1.2 导数的定义另一种定义凸函数的方法是利用导数。

给定定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的实数x1和x2，以及0≤λ≤1，都有以下不等式成立：f’(λx1 + (1-λ)x2) ≤ λf’(x1) + (1-λ)f’(x2)则称函数f(x)为凸函数。

这个定义表明，函数的导数是递增的，即函数的斜率在整个定义域上是递增的。

换句话说，凸函数的导数是非负的。

需要注意的是，凸函数的定义要求函数在整个定义域上是定义良好的，即函数在定义域上是连续的，且对于任意的实数x1和x2，以及0≤λ≤1，函数在λx1 +(1-λ)x2处是可导的。

2. 特性凸函数具有一些重要的特性，这些特性使得凸函数在数学和实际应用中都有广泛的应用。

以下是几个重要的特性：2.1 凸函数的图像凸函数的图像是向上凸起的，即图像上的每个点都位于函数的下方。

这意味着凸函数的图像是一条连续的曲线，没有拐点或凹陷的部分。

2.2 凸函数的切线凸函数的切线位于函数的图像的下方，且切线的斜率是递增的。

这意味着凸函数的每条切线都位于函数的图像的下方，且切线的斜率随着切点的变化而增加。

2.3 凸函数的极值点对于凸函数，如果存在一个点x0，使得对于任意的x≠x0，都有f(x0)≤f(x)，则称x0为凸函数的极小值点。

经济学中函数的凸凹性质问题

经济学中函数的凸凹性质问题经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。

一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。

凸和凹具有如下性质：凸性： f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y)凹性 f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y)D是f(.)的定义域的一个凸子集。

若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1, y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1, y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。