随机过程总复习

所以S.P.的一维分布为 的一维分布为X(t) ～N(0,1+t2) 所以 的一维分布为 又对任意的t1≥0, t2≥0, X(t1)=A+Bt1 ～N(0,1+t12), X(t2)=A+Bt2 ～N(0,1+t22),
即
1 1 ( X (t1) X (t2 )) = ( A B) t1 t2
a2 ∴ DX (t ) = C X (t , t ) = 2
− ∞ < s, t < +∞
− ∞ < t < +∞
第二章 随机过程
3. 判断一个过程为正态过程
举例（书上例题） 举例（书上例题）Page51
设S.P. { X (t ) = A cos ω t + B sin ω t , t ∈ R} 其中 ,其中 其中A,B为相互 为相互 独立的r.v.，且都服从正态分布 是常数． 独立的 ，且都服从正态分布N(0,σ2), 是常数． σ ),ω是常数 该过程是正态过程，并求它的有限维分布． 试证明 该过程是正态过程，并求它的有限维分布．
∂ ∂ RX ′ ( s , t ) = RX ( s , t ) = RX ( s, t ), s, t ∈ T . ∂s∂t ∂t ∂s
2 2
均方可积准则
{ f (t , u ) X (t ), t ∈ [a, b]}
上均方可积的充分条件 在[a,b]上均方可积的充分条件是下列二重积分存 上均方可积的充分条件是下列二重积分存 在
( λt ) k e − λt P( N (t ) = k ) = , k = 0,1,2, ⋯ k!
则称计数过程{N(t),t≥0}是参数 强度 比率 为λ 的 是参数(强度 比率)为 则称计数过程 是参数 强度,比率 Poisson过程 过程. 过程
是参数为λ 定理 设 {N(t),t≥0} 是参数为 的Poisson 过程， 过程，则 1) mN (t ) = λt , t ≥ 0, DN (t ) = λt , t ≥ 0,
第二章课后作业题
例2. 设 S.P.X(t) = Acos t, t ≥ 0其中A具有以下概率分布
1 P( A = i) = , i =1,2,3. 3
试求 (1)该S.P.的一维分布函数 F( , x), F( , x)
4
π
π
(2)该S.P.的二维分布函数 F(0, ; x1, x2 ) 3 解（） X (π ) = Acos π = 2 A, 1∵ 4 4 2
令X (t ) = ∑ Yk , t ≥ 0
k =1
N (t )
为复合Poisson过程 过程. 称 {X(t),t≥0}为复合 为复合 过程
EY < ∞, 则m X (t ) = λtEYn , DX (t ) = λtEY
2 n
2 n
例子：（课后作业题） 例子：（课后作业题） ：（课后作业题
一家庭主妇用邮局订阅来销售杂志， 一家庭主妇用邮局订阅来销售杂志，她的顾 客每天按比率ω＝ 的 过程来订约， 客每天按比率 ＝6的Possion过程来订约， 过程来订约 他们分别1/2, 1/3, 1/6的概率订阅一年，二 的概率订阅一年， 他们分别 的概率订阅一年 年或三年，每个人的选择是相互独立的， 年或三年，每个人的选择是相互独立的， 对于每次订阅，在安排了订阅后， 对于每次订阅，在安排了订阅后，订阅一 她得到1元手续费 元手续费， 表示她在[0,t] 年，她得到 元手续费，令X(t)表示她在 表示她在 内从销售订阅得到的总手续费， 内从销售订阅得到的总手续费，求X(t)的均 的均 值函数和方差函数
第三章 随机分析
1. 均方连续、均方可导、均分积分的判别准 均方连续、均方可导、 则以及三者之间的关系
均方连续准则
{X(t), t∈T}在t0处均方连续的充要条件是其相关函数 ∈ 在 在 处连续. RX(s, t)在(t0, t0)处连续 处连续
均方可导准则
{X(t),t∈T}均方可导的充要条件是 对任意的 ∈T, ∈ 均方可导的充要条件是 对任意的t∈ RX(s, t)在（t, t)处一阶偏导数存在，二阶偏导数存在且 在 处一阶偏导数存在， 连续． 连续． mX ′ (t ) == m′ (t ) X
= 1 − e − λt
得证
平稳性
第二章 随机过程
5. 复合 复合Possion 过程的数字特征
是参数为λ 过程, 定义 设 {N(t),t≥0} 是参数为 的Poisson过程 过程 {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量 且与 是一列独立同分布的随机变量,且与 是一列独立同分布的随机变量 {N(t),t≥0}独立 独立
RN ( s, t ) = λ 2 st + λ min( s, t ), s, t , ≥ 0 CN ( s, t ) = λ min( s, t ), s, t , ≥ 0
2)
对∀0 ≤ s ≤ t , N (t ) − N ( s )服从参数为
λ (t − s)的poisson分布
到达时间间隔分布) 定理 (到达时间间隔分布 到达时间间隔分布 是参数为λ 过程， 设{N(t),t≥0} 是参数为 的Poisson过程， 过程 是其到达时间间隔序列， {Tn , n = 1, 2,⋯}是其到达时间间隔序列，则
( X (t1) X (t2 )) ~ N(µ, M), t1 ≥ 0, t2 ≥ 0
第二章 随机过程
2 求随机过程的数字特征 均值函数， 均值函数，相关函数
例1： 第二章作业题 ：
设X (t ) = At + W (t ), t ≥ 0, 其中{W (t ), t ≥ 0}是参数为
σ 的Wiener过程，A ~ N (0, σ ), 且与{W (t ), t ≥ 0}
∫ R (u, v)dudv, s,t ∈[a,b]
X
t
设X (t ) = A cos αt + B sin αt , t ≥ 0, A, B相互独立 同服从区间[−1,1]上的均匀分布， 令Y (t ) = ∫ X ( s )ds,
0 t
求{Y (t ), t ≥ 0}的均值函数和协方差函数.
独立知, 由A,B独立知 (A,B)服从二维正态分布 独立知 服从二维正态分布 (定理 正态变量的线性变换是正态变量 定理 正态变量的线性变换是正态变量)
page24 定理 定理1.5.3(3)
所以( 所以 X(t1), X(t2) ) 也服从二维正态分布
又 (X(t1), X(t2 )) = E[X(t1)X(t2 )] − E[X(t1)]E[X(t2 )] Cov
x1 <1
2x2 <1
( x1 > 2 x2 )
其中A,B 是相互 例3 设随机过程 X(t)=A+Bt, t≥0,其中 其中 随机变量,且都服从标准正态分布 独立的随机变量 且都服从标准正态分布N(0,1).求 独立的随机变量 且都服从标准正态分布 该随机过程的一维和二维分布
对任意的t≥0, X(t)=A+Bt, 由题意知 由题意知X(t)是正态分布 是正态分布. 解 对任意的 是正态分布 又 E[X(t)]=0, D[X(t)]=1+t2
分布律为 2 2 1 3 2 1 3 3 2 2 1 3
π
2
∴ 分布函数为 0, 1 , π 3 F( ; x ) = 4 2 , 3 1,
x< 2 2Байду номын сангаас
（2）F (0, ; x1 , x2 ) = P( X (0) ≤ x1 , X ( ) ≤ x2 ) 3 3 A = P ( A ≤ x1 , ≤ x2 ) 2 = P ( A ≤ x1 , A ≤ 2 x2 )
证明Wiener过程为正态过程 过程为正态过程 证明
第二章 随机过程
4. Possion 过程的数字特征 时间间隔的分布
Poisson过程定义 过程定义 过程
若计数过程 {N(t),t≥0} 满足
a. N (0) = 0
b.
c.
{ N (t ), t ≥ 0} 是平稳的独立增量过程
∀t ≥ 0, N (t )服从参数是λt 的Poisson分布 即 分布,即 分布
T1 , T2 ,⋯ , Tn ,⋯ 是相互独立同服从参数为 是相互独立同服从参数为λ
的指数分布． 的指数分布．
证明 由于poisson过程是平稳的独立增量过程 过程是平稳的独立增量过程, 独立性 由于 过程是平稳的独立增量过程 所以相邻两随机点到达时间间隔是相互独立的， 所以相邻两随机点到达时间间隔是相互独立的，故
π
2 ≤x< 2 2 3 2≤x< 2 2 3 x≥ 2 2
π
P ( A ≤ x1 ) x1 ≤ 2 x2 = P ( A ≤ 2 x2 ) x1 > 2 x2
0, 1 , 3 = 2 , 3 1,
1≤ x1 <2 ( x1 ≤ 2 x2 ) 1≤2x2 <2 或 2≤2x2 <3 2≤ x1 <3 2x2 ≥3 x1 ≥3
∫∫
a
b
b
a
t
f (s, u) f (t, u)RX (s, t)dsdt
Y (t ) = ∫ X ( s )ds, t ∈ [a, b],
a
(1)
(2)
(3)
P(Y′(t) = X (t)) =1
m (t) = ∫ mX (s)ds, t ∈[a, b] Y
a t
RY (s, t) = ∫
s
a a
= E[(A + Bt1)(A + Bt2 )] =1+ t1t2
所以协方差矩阵为