高考圆锥曲线大题速解技巧

一.引子
例.(浙江高考模拟)已知椭圆C：x2 y2 1,若动直线 54
l : y 2tx t2 1(t R)与椭圆C交于不同的两点P、Q，
设点M(0,- 4 ),求MPQ面积的最大值. 5
一.圆锥曲线计算题秒杀技巧之理论
设椭圆C: x2 a2
+
y2 b2
1,直线l：y
kx m.直线l与椭圆C相
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
AB =
1 k2
b2
2ab a2k2
b2 a2k2 m2 .
结论：焦点在x轴上椭圆：x a
2 2
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y2 b2
1,直线l :
y
kx m.
直线与椭圆相交 0 b2 a2k 2 m2 0.
直线与椭圆相切 0 b2 a2k 2 m2 0.
P
A
l2
（ 第 21
题图）
例1.(2015浙江)已知椭圆 x2 +y2 =1上两个不同的点A、 2
B关于直线l : y mx 1 对称．(1)求实数m 的取值范围； 2
(2)求AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
例2（. 2012浙江理)如图，椭圆C：x2 + y2 1,点P(2， 1)．不 43
过原点O的直线l与C相交于A，B 两点，且线段AB 被直
直线与椭圆相离 0 b2 a2k 2 m2 0.
弦中点坐标公式：x1 x2 2
mka2 b2 a2k
2
；y1
2
y2
mb2 = b2 a2k2
线长公式：AB = 1 k 2 2ab b2 a2k 2 m2 . b2 a2k2
ab m SOAB b2 a2k 2
b2 a2k2 m2 .
交于A(x1, y1)、B(x2 , y2 )两点.
则将直线l：y
kx
m，代入椭圆C:
x2 a2
+
y2 b2
1,
整理得：(b2 a2k 2 )x2 2mka2 x a2m2 a2b2 0;
然后需满足=(2mka2 ) 4(b2 a2k 2 )(a2m2 a2b2 ) 0;
化简得：b2 a2k 2 m2 0.
再由：(b2 a2k 2 )x2 2mka2 x a2m2 a2b2 0;
得：x1 x2 = （b22 mkaa22k 2）；x1x2 =（a2bm2 2aa2k2b2）2
AB中点M ( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
x1 x2 2
b
mka2 2 a2k
2
；y1
2
y2
mb2 = b2 a2k2
线OP平分.求ABP的面积取最大时直线l 的方程.
例3.(2013浙江)如图,
椭圆C1:
x2 4
+
y2 1
1和圆C2:x2 +y2
4.
l1, l2是过点P(0. 1)且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆
于A, B两点, l2交椭圆于另一点D.求ABD面积取最大值
时直线l1的方程.
y
l1
D
B
O
x