福建省2014春季高考数学试卷
14年高考真题——文科数学(福建卷)-推荐下载
：
（D）240 元
x y 7 0
x
y 0
y
3
0
（D） 4OM
。若圆年高考真题文科数学（解析版） 卷
福建
只有一个正确，则100a 10b c 等于________。
三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
|| P1P2 ||| x1 x2 | | y1 y2 | ，则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1, F2 的“ L 距离”之和
等于定值（大于 || F1F2 || ）的点的轨迹可以是（ ）
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案写在答题卡相应位置上。
19．（本小题满分 12 分）如图 16 所示，三棱锥 A BCD 中，
M
AB ⊥平面 BCD ， CD ⊥ BD 。⑴求证： CD ⊥平面 ABD ；⑵若
AB BD CD 1 ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体 B
D
积。 20．（本小题满分 12 分）根据世行 2013 年新标准，人均
17．（本小题满分 12 分）在等比数列an中， a2 = 3 ， a5 = 81 。⑴求 an ；⑵设
bn log3 an ，求数列bn的前 n 项和 Sn 。
18．（本小题满分 12 分）已知函数 f x 2 cos x sin x cos x。⑴求 f 5 4的值；
福建
2014 年高考真题文科数学（解析版） 卷
下列函数正确的是（ ）
9．要制作一个容积为 4 m3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器。已知该容器的底面造价是每
平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是( )
2014年普通高等学校招生全国统一考试福建卷
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文史类）第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。
1. 若集合}42|{<≤=x x P ，}3|{≥=x x Q ，则=Q P 等于（ ）A ．}43|{<≤x xB ．}43|{<<x xC ．}32|{<≤x xD ．}32|{≤≤x x 2. 复数i i )23(+等于（ ）A ．i 32--B ．i 32+-C ．i 32-D ．i 32+3. 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A ．π2B ．πC ．2D ．14. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出n 的值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 5. 命题“0),,0[3≥++∞∈∀x x x ”的否定是（ ）A ．0),0,(3<+-∞∈∀x x x B ．0),0,(3≥+-∞∈∀x x x C ．0),,0[0300<++∞∈∃x x x D ．0),,0[0300≥++∞∈∃x x x 6. 已知直线l 过圆4)3(22=-+y x 的圆心，且与直线01=++y x 垂直，则直线l 的方程是（ ）A ．02=-+y xB ．02=+-y xC ．03=-+y xD ．03=+-y x 7. 将函数x y sin =的图像左移2π个单位，得到函数)(x f y =的图像，则下列说法正确的是（ ） A ．)(x f y =是奇函数 B ．)(x f y =的周期是πC ．)(x f y =的图像关于直线2π=x 对称 D ．)(x f y =的图像关于直线)0,2(π-对称8. 若函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（）A B C D9. 要制作一个容积为34m ，高为m 1的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元10. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→→→→+++OD OC OB OA 等于（ ）A ．→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM11. 已知圆1)()(:22=-+-b y a x C ，平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+Ω00307:y y x y x ，若圆心Ω∈C ，且圆C 与x轴相切，则22b a +的最大值为（ ）A ．5B ．29C ．37D ．4912. 平面直角坐标系中，两点),(111y x P ，),(222y x P 间的“-L 距离”定义为||||||212121y y x x P P -+-=，则平面内与x 轴上两个不同的定点21,F F 的“-L 距离”之和等于定值（大于||21F F ）的点的轨迹可以是（ ）A B C D第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学文
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学文一.选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1.若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P⋂Q等于( )A.{x|3≤x＜4}B. {x|3＜x＜4}C. {x|2≤x＜3}D. {x|2≤x≤3}解析：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P⋂Q={x|3≤x＜4}.答案：A.2.复数(3+2i)i等于( )A. -2-3iB. -2+3iC. 2-3iD. 2+3i解析：(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.答案：B.3.以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A. 2πB. πC. 2D. 1解析：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，答案：A.4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4.不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2.答案：B.5.命题“∀x∈[0，+∞)，x3+x≥0”的否定是( )A.∀x∈(-∞，0)，x3+x＜0B.∀x∈(-∞，0)，x3+x≥0C.∃x0∈[0，+∞)，x03+x0＜0D.∃x0∈[0，+∞)，x03+x0≥0解析：∵命题“∀x∈[0，+∞)，x3+x≥0”是一个全称命题.∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞)，x03+x0＜0答案：C.6.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是( )A. x+y-2=0B. x-y+2=0C. x+y-3=0D. x-y+3=0解析：由题意可得所求直线l经过点(0，3)，斜率为1，故l的方程是 y-3=x-0，即x-y+3=0，答案：D.7.将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f(x)的函数图象，则下列说法正确的是( )A. y=f(x)是奇函数B. y=f(x)的周期为πC. y=f(x)的图象关于直线x=对称D. y=f(x)的图象关于点(-，0)对称解析：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin(x+)=cosx.即f(x)=cosx.∴f(x)是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos(-)=0，∴y=f(x)的图象关于点(-，0)、(，0)成中心对称.答案：D.8.若函数y=log a x(a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )A.B.C.D.解析：由对数函数的图象知，此函数图象过点(3，1)，故有y=log a3=1，解得a=3，对于A，由于y=a-x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=(-x)a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=log a(-x)与y=log a x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错.答案：B.9.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A. 80元B. 120元C. 160元D. 240元解析：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80，∵a+b≥2=4，∴当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，答案：C.10.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于( )A.B. 2C. 3D. 4解析：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4答案：D.11.已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为( )A. 5B. 29C. 37D. 49解析：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为(a，b)，半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B(6，1)，∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，答案：C12.在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( )A.B.C.D.解析：设F1(-c，0)，F2(c，0)，再设动点M(x，y)，动点到定点F1，F2的“L-距离”之和等于m(m＞2c＞0)，由题意可得：|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=m，即|x+c|+|x-c|+2|y|=m.当x＜-c，y≥0时，方程化为2x-2y+m=0；当x＜-c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当-c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当-c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c-；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y-m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x-2y-m=0.结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求.答案：A.二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13.(4分)如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为.解析：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，答案：0.1814.(4分)在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于.解析：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA，即3=4+c2-2c，解得：c=1，则AB=c=1，答案：115.(4分)函数f(x)=的零点个数是.解析：当x≤0时，由f(x)=0得x2-2=0，解得x=或x=(舍去)，当x＞0时，由f(x)=0得2x-6+lnx=0，即lnx=6-2x，作出函数y=lnx和y=6-2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，故函数f(x)的零点个数为2，答案：216.(4分)已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于.解析：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，答案：201.三.解答题：本大题共6小题，共74分.17.(12分)在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81.(Ⅰ)求a n；(Ⅱ)设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n.解析：(Ⅰ)设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的a n代入b n=log3a n，得到数列{b n}的通项公式，由此得到数列{b n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案.答案：(Ⅰ)设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得.∴；(Ⅱ)∵，b n=log3a n，∴.则数列{b n}的首项为b1=0，由b n-b n-1=n-(n-1)=1，可知数列{b n}是以1为公差的等差数列.∴.18.(12分)已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx).(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析：(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=sin(2x+)+1，从而求得f()的值.(Ⅱ)根据函数f(x)=sin(2x+)+1，求得它的最小正周期.令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间.答案：(Ⅰ)∵函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)=sin2x+1+cos2x=sin(2x+)+1，∴f()=sin(+)+1=sin+1=+1=2.(Ⅱ)∵函数f(x)=sin(2x+)+1，故它的最小正周期为=π.令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ-≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z.19.(12分)如图，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.(Ⅰ)求证：CD⊥平面ABD；(Ⅱ)若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积.解析：(Ⅰ)证明CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；(Ⅱ)利用转换底面，V A-MBC=V C-ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A-MBC的体积.答案：(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；(Ⅱ)∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD.∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴V A-MBC=V C-ABM=S△ABM•CD=.20.(12分)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：(Ⅰ)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(Ⅱ)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.解析：(Ⅰ)利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；(Ⅱ)利用古典概型概率公式，即可得出结论.答案：(Ⅰ)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；(Ⅱ)从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.(12分)已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.解析：(Ⅰ)设S(x，y)曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；(Ⅱ)通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度不变.答案：(Ⅰ)设S(x，y)曲线Γ上的任意一点，由题意可得：点S到F(0，1)的距离与它到直线y=-1的距离相等，曲线Γ是以F为焦点直线y=-1为准线的抛物线，∴曲线Γ的方程为：x2=4y.(Ⅱ)当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度不变，证明如下：由(Ⅰ)可知抛物线的方程为y=，设P(x0，y0)(x0≠0)则y0=，由y得切线l的斜率k==∴切线l的方程为：，即.由得，由得，又N(0，3)，所以圆心C()，半径r==∴点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度不变.22.(14分)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，+∞)时，恒有x2＜ce x.解析：(1)利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数g(x)=e x-x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；(3)利用(2)的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x2＜ce x.即得结论成立.答案：(1)由f(x)=e x-ax得f′(x)=e x-a.又f′(0)=1-a=-1，∴a=2，∴f(x)=e x-2x，f′(x)=e x-2.由f′(x)=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；∴当x=ln2时，f(x)有极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4.f(x)无极大值. (2)令g(x)=e x-x2，则g′(x)=e x-2x，由(1)得，g′(x)=f(x)≥f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′(x)＞0，∴当x＞0时，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜e x；(3)对任意给定的正数c，总存在x0=＞0.当x∈(x0，+∞)时，由(2)得e x＞x2＞x，即x2＜ce x.∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，+∞)时，恒有x2＜ce x.。
2014年福建省高考数学试卷及解析(理科)
2014年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、144、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、406、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、610、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的、1、（5分）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A、﹣2﹣3iB、﹣2+3iC、2﹣3iD、2+3i分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简z，则其共轭可求、解答：解：∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴、故选：C、点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题、2、（5分）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A、圆柱B、圆锥C、四面体D、三棱柱分析：直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状，即可、解答：解：圆柱的正视图为矩形，故选：A、点评：本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题、3、（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A、8B、10C、12D、14分析：由等差数列的性质和已知可得a2，进而可得公差，可得a6解答：解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C、点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题、4、（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A、B、C、D、分析：由题意可得a=3，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可、解答：解：由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=（）x单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误、故选：B、点评：本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题、5、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A、18B、20C、21D、40分析：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，计算满足条件的S值，可得答案、解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15、∴输出S=20、故选：B、点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键、6、（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB 的面积为”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分又不必要条件分析：根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论、解答：解：若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立、若△OAB的面积为，则S==×2×==，即k2+1=2|k|，即k2﹣2|k|+1=0，则（|k|﹣1）2=0，即|k|=1，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立、故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件、故选：A、点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键、7、（5分）已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A、f（x）是偶函数B、f（x）是增函数C、f（x）是周期函数D、f（x）的值域为[﹣1，+∞）分析：由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可、解答：解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确、故选：D、点评：本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题、8、（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A、=（0，0），=（1，2）B、=（﹣1，2），=（5，﹣2）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，﹣3），=（﹣2，3）分析：根据向量的坐标运算，，计算判别即可、解答：解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能、选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能、选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能、故选：B、点评：本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题、9、（5分）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q 两点间的最大距离是（）A、5B、+C、7+D、6分析：求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离、解答：解：设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为==≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6、故选：D、点评：本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题、10、（5分）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A、（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B、（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C、（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D、（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）分析：根据“1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来”，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决、解答：解：从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1+b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1+c+c2+c3+c4+c5=（1+c）5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5、故选：A、点评：本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题、二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置11、（4分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为1、分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值、解答：解：作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小、此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法、12、（4分）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于2、分析：利用三角形中的正弦定理求出角B，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积、解答：解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=、故答案为：、点评：本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积、正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题、13、（4分）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160（单位：元）分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求、解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题、14、（4分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为、分析：利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率、解答：解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为、故答案为：、点评：本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到、15、（4分）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6、分析：利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论、解答：解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个、点评：本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键、三、解答题：本大题共4小题，共80分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16、（13分）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣、（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间、分析：（1）根据题意，利用sinα求出cosα的值，再计算f（α）的值；（2）化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期与单调增区间即可、解答：解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z、点评：本题考查了三角函数的化简以及图象与性质的应用问题，是基础题目、17、（13分）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图、（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值、分析：（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系、设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出、解答：（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD、（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系、∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M、∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=、设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1、∴=（1，﹣1，1）、设直线AD与平面MBC所成角为θ、则sinθ=|cos|===、点评：本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sinθ=|cos|=，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题、18、（13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由、分析：（1）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出P（X=60），P（X=20），画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望；（2）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到（10，10，50，50），（20，20，40，40）两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决、解答：解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X6020P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案、对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X16020100PX1的数学期望为E（X1）=、X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=、由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2、点评：本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想、19、（13分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x、（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由、分析：（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1、当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，程联立，利用由S△OAB从而可得答案、解答：解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2、所以=2、故c=a，从而双曲线E的离心率e==、（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1、设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=4a，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1、以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E的方程为﹣=1也满足条件、设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，=|OC|•|y1﹣y2|得：由S△OAB|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）、由得：（4﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣16=0，因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点、因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1、点评：本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、在21-23题中考生任选2题作答，满分21分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换20、（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1、（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数的符号变化可求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，求出导数，利用（1）问结论可得到函数的符号，从而判断g（x）的单调性，即可得出结论；（3）首先可将要证明的不等式变形为x2＜e x，进而发现当x＞时，x2＜x3，因此问题转化为证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax，得f′（x）=e x﹣a、又f′（0）=1﹣a=﹣1，解得a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2、由f′（x）=0，得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4、f（x）无极大值、（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）首先证明当x∈（0，+∞）时，恒有x3＜e x、证明如下：令h（x）=x3﹣e x，则h′（x）=x2﹣e x、由（2）知，当x＞0时，x2＜e x，从而h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减，所以h（x）＜h（0）=﹣1＜0，即x3＜e x，取x0=，当x＞x0时，有x2＜x3＜e x、因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x、点评：该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识，考查学生的运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、属难题、21、（7分）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）、（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量、分析：（1）利用AA﹣1=E，建立方程组，即可求矩阵A；（2）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量、解答：解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为、点评：本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题、五、选修4-4：极坐标与参数方程22、（7分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）、（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围、分析：（1）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程；（2）求出圆心到直线的距离d，再根据直线l与圆C有公共点⇔d≤r即可求出、解答：解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4、由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=、∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2、点评：熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键、六、选修4-5：不等式选讲23、已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a、（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3、分析：（1）由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|，当且仅当ab≤0，取等号；（2）由柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，即可证得、解答：（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3、点评：本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、。
2014年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年福建，文1，5分】若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q = （ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤ 【答案】A【解析】{|34}P Q x x ≤ ＝＜，故选A ． （2）【2014年福建，文2，5分】复数()32i i +等于（ ）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i + 【答案】B【解析】232i i 3i 223()i i ＋＝＋＝－＋，故选B ． （3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）（A ）2π（B ）π （C ）2 （D ）1【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212ππ⨯=，宽1，∴212S ππ=⨯=，故选A ． （4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】第一次循环1n =，判断1221>成立，则112n =+=；第二次循环，判断2222>不成立，则输出2n =，故选B ．（5）【2014年福建，文5，5分】命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ）（A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥（C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是[)00,x ∃∈+∞，3000x x +<，故选C ．（6）【2014年福建，文6，5分】直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）（A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+= 【答案】D【解析】直线过圆心()0,3，与直线10x y ++=垂直，故其斜率1k =．所以直线的方程为()310y x -=⨯-，即30x y -+=，故选D ．（7）【2014年福建，文7，5分】将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）（A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()f x 是偶函数，A 不正确；()f x 的周期为2π，B 不正确；()f x 的图象关于直线()x k k π=∈Z 对称，C 不正确；()f x 的图象关于点(),02k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，当1k =-时，点为π(,0)2-，故选D ．（8）【2014年福建，文8，5分】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】由题中图象可知log 31a =，所以3a =．A 选项，133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，在R 上单调递减，故A 不正确．B 选项，3y x =为幂函数，图象正确．C 选项，()33y x x =-=-，其图象和B 选项中3y x =的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，()3log y x =-，其图象与3log y x =的图象关于y 轴对称，故D选项不正确，故选B ．（9）【2014年福建，文9，5分】要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 【答案】C【解析】设容器的底长x 米，宽y 米，则4xy =．所以4y x=，则总造价为：()()80420211080202080f x xy x y x x x x ⎛⎫=++⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞． 所以()20160f x ≥⨯=，当且仅当4x x=，即x ＝2时，等号成立，所以最低总造价是160元，故选C ．（10）【2014年福建，文10，5分】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）（A ）OM （B ）2OM （C ）3OM （D ）4OM【答案】D【解析】因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得2OA OC OM += ，2OB OD OM +=，所以4OA OB OC OD OM +++=，故选D ．（11）【2014年福建，文11，5分】已知圆C ：()()221x a y b -+-=，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩．若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（ ）（A ）5 （B ）29 （C ）37 （D ）49 【答案】C【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以1b =，所以圆心在直线1y =上，求得与直线30x y -+=，70x y +-=的两交点坐标分别为()2,1A -，()6,1B ，所以[]2,6a ∈-．所以[]22211,37a b a +=+∈，所以22a b +的最大值为37，故选C ．（12）【2014年福建，文12，5分】在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于 12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】不妨设()1,0F a -，()2,0F a ，其中0a >，点(),P x y 是其轨迹上的点，P 到1F ，2F 的“L -距离”之和等于定值b （大于12||||F F )，所以x a y x a y b +++-+=，即2x a x a y b -+++=．当x a <-，0y ≥时，上式可化为2b y x －=；当a x a -≤≤，0y ≥时，上式可化为2by =a -； 当x a >，0y ≥时，上式可化为2b x+y =；当x a <-，0y <时，上式可化为2bx+y =-；当a x a -≤≤，0y <时，上式可化为2b y a =-；当x a >，0y <时，上式可化为2bx y =-，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2014年福建，文13，5分】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ． 【答案】0.18【解析】由几何概型可知18010001S S S ==阴影阴影正方形，所以0.18S 阴影＝．故答案为0.18． （14）【2014年福建，文14，5分】在ABC ∆中，060A =，2AC =，BC =AB = ．【答案】1【解析】由余弦定理可知：2222431cos 2222b c a c A bc c +-+-===⨯，所以1c =，故答案为1．（15）【2014年福建，文15，5分】函数()()()22026ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数是 ．【答案】2【解析】当0x ≤时，令()220f x x =-=，得x =x =．当0x >时，()26ln f x x x =-+，()12+0f x x'=>．所以()f x 单调递增，当0x →时，()0f x <；当x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在()0,+∞上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2．（16）【2014年福建，文16，5分】已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于 ． 【答案】201【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：（1）当①成立时，则2a ≠，2b ≠，0c =，此种情况不成立； （2）当②成立时，则2a =，2b =，0c =，此种情况不成立；（3）当③成立时，则2a =，2b ≠，0c ≠，即2a =，0b =，1c =， 所以1001010021001201a b c ++=⨯+⨯+=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年福建，文17，12分】在等比数列{}n a 中，23a =，581a =．（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此13n n a -=．（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==． （18）【2014年福建，文18，12分】已知函数()()2cos sin cos f x x x x =+．（1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：（1）55552cos sin cos 2cos sin cos 24444444f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=---=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，故周期T π=．由222242k x k πππππ-≤+≤+得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈．因此()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（19）【2014年福建，文19，12分】如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．解：（1）因AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，故A B C D ⊥．又CD BD ⊥，AB BD B = ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ．（2）由AB ⊥平面BCD ，得A B B D ⊥．因1AB BD ==，故12ABD S ∆=．因M 是AD 中点，故124ABD ABM S S ∆∆==． 由（1）知，CD ⊥平面ABD ，故三棱锥C ABM -的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积1312ABM A MBC C ABM S h V V ∆--⋅===．（20）【2014年福建，文20，12分】根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP为13054085-美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为408512616-美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616GDP 如下表．（1（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为：()80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a a⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为[)64004085,12616∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：{}{}{}{},,,,,,,,A B A C A D A E {}{}{},,,,,,B C B D B E{}{}{},,,,,C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{}{}{},,,,,A C A E C E 共3个，所以所求概率为()310P M =． （21）【2014年福建，文21，12分】已知曲线Γ上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =- 的距离小2．（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ．以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ．试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合） 时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：（1）设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =． （2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =．由'12y x =得切线l 的斜率012k x =， 故切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即20042y x x x =-．由200420y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由200423y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径r =00||3||24x MN x =+，||AB ==所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．（22）【2014年福建，文22，14分】已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有x x ce <． 解：（1）由题()x f x e a '=-，故()101f a '-==-，得2a =．故()2x f x e x =-，()2x f x e '=-．令()0f x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所 以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，其值为()ln 22ln 4f =-，()f x 无极大值．（2）令()2x g x e x =-，则由（1）得()()()2ln 22ln 40x g x e x f x f '=-=≥=->，故()g x 在R 上单调递增．又()010g =>，故当时，()()00g x g >>，即2x x e <．（3）①若1c ≥，由（2）知，当0x >时，2x x e <，故当0x >时，2x x x e ce <≤．取00x =，当()0,x x ∈+∞时，恒有2xx ce <；②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立，即要()2ln 2ln ln x kx x k>=+ 成立．令()2ln ln h x x x k =--，则()21h x x=-．所以当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞单增．取01616x k =>，故()h x 在()0,x +∞单增．又()()()()0162ln 16ln 8ln 23ln 50h x k k k k k k k =--=-+-+>，即存在016x c=，当()0,x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上得证．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷)理 (2)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014福建,理1)复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于( ). A .-2-3i B .-2+3iC .2-3iD .2+3i答案:C解析:因为z=(3-2i)i =3i -2i 2=2+3i,所以z =2-3i .故选C .2.(2014福建,理2)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ). A .圆柱B .圆锥C .四面体D .三棱柱答案:A解析:因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,所以选A .3.(2014福建,理3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ). A .8 B .10C .12D .14答案:C解析:因为S 3=3a 1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a 6=a 1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C .4.(2014福建,理4)若函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( ).答案:B解析:由图象可知log a 3=1,所以a=3.A 选项,y=3-x =(13)x 为指数函数,在R 上单调递减,故A 不正确.B 选项,y=x 3为幂函数,图象正确.C 选项,y=(-x )3=-x 3,其图象和B 选项中y=x 3的图象关于x 轴对称,故C 不正确.D 选项,y=log 3(-x ),其图象与y=log 3x 的图象关于y 轴对称,故D 选项不正确.综上,可知选B .5.(2014福建,理5)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于( ).A.18B.20C.21D.40答案:B解析:该程序框图为循环结构,由S=0,n=1得S=0+21+1=3,n=1+1=2,判断S=3≥15不成立,执行第二次循环,S=3+22+2=9,n=2+1=3,判断S=9≥15不成立,执行第三次循环,S=9+23+3=20,n=3+1=4,判断S=20≥15成立,输出S=20.故选B.6.(2014福建,理6)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为12”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:k=1时,图象如图(1),此时△OAB的面积S=12×1×1=12,所以k=1是△OAB面积为12的充分条件;而当△OAB面积为12时,直线l有l1或l2两种可能,如图(2),k=1或k=-1.综上,可知选A.图(1)图(2)7.(2014福建,理7)已知函数f(x)={x2+1,x>0,cosx,x≤0,则下列结论正确的是().A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案:D解析:由题意,可得函数图象如下:所以f(x)不是偶函数,不是增函数,不是周期函数,其值域为[-1,+∞).故选D.8.(2014福建,理8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是().A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案:B解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A 中e 1=0·e 2,B 中e 1,e 2为两个不共线向量,C 中e 2=2e 1,D 中e 2=-e 1.故选B .9.(2014福建,理9)设P ,Q 分别为圆x 2+(y-6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是( ). A .5√2 B .√46+√2 C .7+√2 D .6√2答案:D 解析:设Q (x ,y ),则该点到圆心的距离d=√(x -0)2+(y -6)2=√x 2+(y -6)2=√10(1-y 2)+(y -6)2=√-9y 2-12y +46,y ∈[-1,1], ∴当y=--122×(-9)=-23时, d max =√-9×(-23)2-12×(-23)+46=√50=5√2.∴圆上点P 和椭圆上点Q 的距离的最大值为d max +r=5√2+√2=6√2.故选D .10.(2014福建,理10)用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a )(1+b )的展开式1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ).A .(1+a+a 2+a 3+a 4+a 5)(1+b 5)(1+c )5B .(1+a 5)(1+b+b 2+b 3+b 4+b 5)(1+c )5C .(1+a )5(1+b+b 2+b 3+b 4+b 5)(1+c 5)D .(1+a 5)(1+b )5(1+c+c 2+c 3+c 4+c 5) 答案:A解析:本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a 2+a 3+a 4+a 5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b 5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c )5种取法.所以共有(1+a+a 2+a 3+a 4+a 5)(1+b 5)(1+c )5种取法.故选A .第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2014福建,理11)若变量x ,y 满足约束条件{x -y +1≤0,x +2y -8≤0,x ≥0,则z=3x+y 的最小值为 .答案:1解析:由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示.由线性目标函数z=3x+y ,得y=-3x+z ,可知其过A (0,1)时z 取最小值,故z min =3×0+1=1. 故答案为1.12.(2014福建,理12)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC 的面积等于 . 答案:2√3解析:由题意及余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=c 2+16-122×4×c=12,解得c=2.所以S=12bc sin A=12×4×2×sin 60°=2√3.故答案为2√3.13.(2014福建,理13)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (单位:元). 答案:160解析:设池底长x m,宽y m,则xy=4,所以y=4x,则总造价为:f (x )=20xy+2(x+y )×1×10=80+80x+20x=20(x +4x)+80,x ∈(0,+∞). 所以f (x )≥20×2√x ·4x+80=160,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立. 所以最低总造价是160元.14.(2014福建,理14)如图,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .答案:2e2解析:根据题意y=e x 与y=ln x 互为反函数,图象关于y=x 对称,所以两个阴影部分的面积相等.联立y=e 与y=e x 得x=1,所以阴影部分的面积S=2∫ 1(e -e x )d x=2(e x-e x )|01=2[(e -e)-(0-1)]=2,由几何概型可知所求概率为2e2.故答案为2e 2. 15.(2014福建,理15)若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b ≠1;③c=2;④d ≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是 . 答案:6解析:根据题意可分四种情况:(1)若①正确,则a=1,b=1,c ≠2,d=4,符合条件的有序数组有0个;(2)若②正确,则a ≠1,b ≠1,c ≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4); (3)若③正确,则a ≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4);(4)若④正确,则a ≠1,b=1,c ≠2,d ≠4,符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2). 所以共有6个. 故答案为6.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)(2014福建,理16)已知函数f (x )=cos x (sin x+cos x )-12. (1)若0<α<π2,且sin α=√22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.分析:首先结合已知角的范围,利用同角三角函数的基本关系式及已知的正弦值,求出余弦值,注意符号的判断,然后代入已知的函数关系式,得出结果.在第(2)问中,结合式子特点,利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式,得出最终的目标——y=A sin(ωx+φ)+B 形式,运用T=2πω得出周期,再结合三角函数的图象与性质等基础知识求得单调区间,此时要注意复合函数的单调性.另外,也可先化简再分别求解.解法一:(1)因为0<α<π2,sin α=√22,所以cos α=√22.所以f (α)=√22(√22+√22)−12=12.(2)因为 f (x )=sin x cos x+cos 2x-12=12sin 2x+1+cos2x 2−12 =12sin 2x+12cos 2x =√22sin (2x +π4), 所以T=2π2=π.由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z .解法二:f (x )=sin x cos x+cos 2x-12=12sin 2x+1+cos2x 2−12=12sin 2x+12cos 2x =√22sin (2x +π4). (1)因为0<α<π2,sin α=√22,所以α=π4,从而f (α)=√22sin (2α+π4)=√22sin 3π4=12.(2)T=2π2=π.由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z .17.(本小题满分13分)(2014福建,理17)在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB ⊥BD ,CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图. (1)求证:AB ⊥CD ;(2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.分析:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面垂直去证明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n ,再在直线上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面角的正弦值.解:(1)∵平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD=BD ,AB ⊂平面ABD ,AB ⊥BD ,∴AB ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ,∴AB ⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ,如图.由(1)知AB ⊥平面BCD ,BE ⊂平面BCD ,BD ⊂平面BCD , ∴AB ⊥BE ,AB ⊥BD.以B 为坐标原点,分别以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意,得B (0,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),A (0,0,1),M (0,12,12),则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1).设平面MBC 的法向量n =(x 0,y 0,z 0),则{n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 0+y 0=0,12y 0+12z 0=0, 取z 0=1,得平面MBC 的一个法向量n =(1,-1,1).设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则sin θ=|cos <n ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63,即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为√63.18.(本小题满分13分)(2014福建,理18)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: ①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.分析:在第(1)问中,主要考查古典概型概率问题,60元的组成为50+10,而摸到每个球都是等可能的,所以只要代入公式即可求得获得60元奖励的概率.而要求得分布列及期望值,依然利用古典概型,把X 的所有取值对应概率准确求出,再利用期望公式求出即可.(2)先根据两种方案中小球的面值估算期望值为60的各种可能:(10,10,50,50)和(20,20,40,40),再利用古典概型求出两种可能性方案对应的分布列和期望值进行验证;若两者的期望值相同,则需求出它的方差,利用方差大小确定更为合适的设计方案. 解:(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意,得P (X=60)=C 11C 31C 42=12,即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60. P (X=60)=12,P (X=20)=C 32C 42=12,即X 的分布列为X 2060P 0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),1的分布列为X 1的期望为E (X 1)=20×16+60×23+100×16=60,X 1的方差为D (X 1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=1 6003. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)=40×16+60×23+80×16=60,X 2的方差为D (X 2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19.(本小题满分13分)(2014福建,理19)已知双曲线E :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l 1:y=2x ,l 2:y=-2x.(1)求双曲线E 的离心率;(2)如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线l 1,l 2于A ,B 两点(A ,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ?若存在,求出双曲线E 的方程;若不存在,说明理由.分析:在第(1)问中,已知渐近线方程,即a 与b 的关系,再结合双曲线本身a ,b ,c 的关系及离心率e=ca,便可求得离心率.(2)首先根据渐近线方程设双曲线方程,然后根据动直线l 的斜率是否存在进行分类讨论.显然斜率不存在时,由直线l 和双曲线有且只有一个公共点可知其方程为x=a ,此时只需检验△OAB 的面积是否为8即可;当直线l 的斜率存在时,设其方程为y=kx+m ,首先由△OAB 的面积为8求出k ,m 的关系式,然后根据直线和圆锥曲线有且只有一个公共点,利用判别式的符号判断其存在性. 解法一:(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y=2x ,y=-2x ,所以b a=2, 所以√c 2-a 2a=2,故c=√5a ,从而双曲线E 的离心率e=ca=√5.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a2=1. 设直线l 与x 轴相交于点C.当l ⊥x 轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点, 则|OC|=a ,|AB|=4a , 又因为△OAB 的面积为8,所以12|OC|·|AB|=8,因此12a ·4a=8,解得a=2,此时双曲线E 的方程为x 24−y 216=1. 若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为x 24−y 216=1. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时,双曲线E :x 24−y 216=1也满足条件. 设直线l 的方程为y=kx+m ,依题意,得k>2或k<-2,则C (-mk,0).记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{y =kx +m ,y =2x得y 1=2m 2-k ,同理得y 2=2m 2+k ,由S △OAB =12|OC|·|y 1-y 2|得,12|-m k |·|2m 2-k -2m2+k|=8,即m 2=4|4-k 2|=4(k 2-4).由{y =kx +m ,x 24-y 216=1得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2-16=0.因为4-k 2<0,所以Δ=4k 2m 2+4(4-k 2)(m 2+16)=-16(4k 2-m 2-16),又因为m 2=4(k 2-4),所以Δ=0,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1. 解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a 2=1. 设直线l 的方程为x=my+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 依题意得-12<m<12.由{x =my +t ,y =2x 得y 1=2t 1-2m ,同理得y 2=-2t 1+2m.设直线l 与x 轴相交于点C ,则C (t ,0). 由S △OAB =12|OC|·|y 1-y 2|=8,得12|t|·|2t 1-2m +2t1+2m|=8, 所以t 2=4|1-4m 2|=4(1-4m 2). 由{x =my +t ,x 2a2-y 24a2=1得,(4m 2-1)y 2+8mty+4(t 2-a 2)=0.因为4m 2-1<0,直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m 2t 2-16(4m 2-1)(t 2-a 2)=0, 即4m 2a 2+t 2-a 2=0,即4m 2a 2+4(1-4m 2)-a 2=0,即(1-4m 2)(a 2-4)=0, 所以a 2=4,因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1. 解法三:(1)同解法一.(2)当直线l 不与x 轴垂直时,设直线l 的方程为y=kx+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).依题意得k>2或k<-2. 由{y =kx +m ,4x 2-y 2=0得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2=0,因为4-k 2<0,Δ>0,所以x 1x 2=-m 24-k2,又因为△OAB 的面积为8, 所以12|OA|·|OB|·sin ∠AOB=8, 又易知sin ∠AOB=45,所以25√x 12+y 12·√x 22+y 22=8,化简得x 1x 2=4.所以-m 24-k2=4,即m 2=4(k 2-4).由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a2=1,由{y =kx +m ,x 2a2-y 24a2=1得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2-4a 2=0,因为4-k 2<0,直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k 2m 2+4(4-k 2)(m 2+4a 2)=0, 即(k 2-4)(a 2-4)=0,所以a 2=4, 所以双曲线E 的方程为x 24−y 216=1. 当l ⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于8可得l :x=2,又易知l :x=2与双曲线E :x 24−y 216=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1.20.(本小题满分14分)(2014福建,理20)已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ,曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值;(2)证明:当x>0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .分析:(1)由题意可知点A 的横坐标为0,先求出f (x )的导函数f'(x ),则曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为f'(0),由f'(0)=-1可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.对于(2),常对此类问题构造新函数g (x )=e x -x 2,只需g (x )>0在(0,+∞)上恒成立即可,利用导数得到g (x )的单调性,从而得证.(3)根据c的值与1的大小关系分类进行证明.当c≥1时,可直接根据(2)中的结论得证;当0<c<1时,证明的关键是找出x0.先将不等式转化为e x>1c x2,利用对数的性质,进一步转化为x>ln(1cx2)=2ln x-ln c,即可构造函数h(x)=x-ln x+ln c,然后利用导数研究其单调性,在该函数的增区间内找出一个值x0,使h(x0)>0即可得证.也可结合(2)的结论,合理利用e x>x2将x2中的一个x赋值,利用不等式的传递性来解决问题.解法一:(1)由f(x)=e x-ax,得f'(x)=e x-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln2)>0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.(3)①若c≥1,则e x≤c e x.又由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>0时,x2<c e x.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.②若0<c<1,令k=1c>1,要使不等式x2<c e x成立,只要e x>kx2成立.而要使e x>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h'(x)=1-2x =x-2x.所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k,易知k>ln k,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=16c,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)对任意给定的正数c,取x0=√c, 由(2)知,当x>0时,e x>x2,所以e x=e x2·ex2>(x2)2(x2)2,当x>x0时,e x>(x2)2(x2)2>4c(x2)2=1cx2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有13x3<e x.证明如下:令h(x)=13x3-e x,则h'(x)=x2-e x.由(2)知,当x>0时,x2<e x,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即13x3<e x.取x0=3c ,当x>x0时,有1cx2<13x3<e x.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.21.(2014福建,理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵A -1=(2 11 2).①求矩阵A ;②求矩阵A -1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 分析:①求得|A -1|的值,利用求逆矩阵的公式便可求得A .②结合A -1的特征多项式,解方程,从而求得A -1的特征值. 解:(1)因为矩阵A 是矩阵A -1的逆矩阵,且|A -1|=2×2-1×1=3≠0,所以A =13(2 -1-1 2)=(23 -13-13 23). (2)矩阵A -1的特征多项式为f (λ)=|λ-2 -1-1 λ-2|=λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),令f (λ)=0,得矩阵A -1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1=( 1-1)是矩阵A -1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2=(11)是矩阵A -1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为{x =a -2t ,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为{x =4cosθ,y =4sinθ(θ为参数).①求直线l 和圆C 的普通方程;②若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.分析:①通过消参,直线是代入消去法,圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程.在②中,利用直线和圆的位置关系,得d ≤r ,从而求得a 的范围. 解:(1)直线l 的普通方程为2x-y-2a=0,圆C 的普通方程为x 2+y 2=16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点, 故圆C 的圆心到直线l 的距离d=√5≤4, 解得-2√5≤a ≤2√5.(3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )=|x+1|+|x-2|的最小值为a. ①求a 的值;②若p ,q ,r 是正实数,且满足p+q+r=a ,求证:p 2+q 2+r 2≥3.分析:①利用绝对值不等式的性质容易得证,但要注意利用|a|+|b|≥|a±b|中的哪一个.②利用柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(m 2+n 2+s 2)≥(am+bn+cs )2,结合所给式子特点,合理赋值,可得证结果. 解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x ≤2时,等号成立,所以f (x )的最小值等于3,即a=3.(2)由(1)知p+q+r=3,又因为p ,q ,r 是正实数,所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r )2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.。
2014年福建省高考数学试卷(理科)学生版
2014年福建省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）（2014•福建）复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i2．（5分）（2014•福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．（5分）（2014•福建）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8B．10C．12D．144．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．5．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于（）A．18B．20C．21D．406．（5分）（2014•福建）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）（2014•福建）已知函数f（x）=，＞，，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）8．（5分）（2014•福建）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）9．（5分）（2014•福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．610．（5分）（2014•福建）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c）5C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5）D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置11．（4分）（2014•福建）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为．12．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．13．（4分）（2014•福建）要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）14．（4分）（2014•福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15．（4分）（2014•福建）若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（13分）（2014•福建）已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．17．（13分）（2014•福建）在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD ⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．18．（13分）（2014•福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19．（13分）（2014•福建）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O点为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．20．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜ce x．在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题右边的方框涂黑，并将所选题填入括中.选修4-2：矩阵与变换21．（7分）（2014•福建）已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．五、选修4-4：极坐标与参数方程22．（7分）（2014•福建）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C 的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．六、选修4-5：不等式选讲23．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．。
2014年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分3．（5分）（2014•福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋4．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）36．（5分）（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，7．（5分）（2014•福建）将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x ）的函对称）的图象关于点（﹣，cos （﹣）的图象向左平移）cos=cos ））的图象关于点（﹣，8．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（ ）B ．9．（5分）（2014•福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器210．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）B点，则的对角线的交点，∴=211．（5分）（2014•福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，22，解得，即12．（5分）（2014•福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”．B．．D．；﹣二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2014•福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．14．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．，15．（4分）（2014•福建）函数f（x）=的零点个数是2．x=（舍去）16．（4分）（2014•福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①•a≠2；②‚b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2014•福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．，解得；（Ⅱ）∵18．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．sin2x+）2x+2x+≤，=sin2x+1+cos2x=））+）sin+1=2x+=﹣≤+﹣，﹣]19．（12分）（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．S，SCD=20．（12分）（2014•福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．=6400共有=10入国家标准，共有=3都达到中等偏上收入国家标准的概率21．（12分）（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．，=的方程为：，即，，（r=22．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．，则＞=＞。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建文)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}2．复数(3＋2i) 等于()A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2π B．π C．2 D．14．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()A．1 B．2 C．3 D．45.命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥06．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝07．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2 个单位，得到函数y ＝f (x ) 的图象，则下列说法正确的是 ( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称 8．若函数 y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是 ( )9.要制作一个容积为 4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 ( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元11．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2 ＝1，设平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( )A ．5B ．29C ．37D ．4912．在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) 间的“L －距离”定义为 ||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点 F 1，F 2的“L －距离”之和等于定值(大于||F 1F 2|| )的点的轨迹可以是( )二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．14．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．15．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0 的零点个数是________．16. 已知集合{a ，b ，c }＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0 有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．(本小题满分12分)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设 b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前 n 项和S n . 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x ) . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4 的值；(2)求函数f (x ) 的最小正周期及单调递增区间． 19．(本小题满分12分)如图，三棱锥 A -BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．20．(本小题满分12分)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1 035美元为低收入国家；人均GDP为1 035～4 085元为中等偏下收入国家；人均GDP为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A25%8 000B30% 4 000C15% 6 000D10% 3 000E20%10 000(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．(本小题满分12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1) 的距离比它到直线y＝－3 的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y＝3 分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B．试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ax (a为常数)的图象与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1 .(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0 时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0 ，使得当 x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .答案1．解析：选A 因为P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，所以P ∩Q ＝{x |3≤x <4}，故选A. 2．解析：选B 复数z ＝(3＋2i)i ＝－2＋3i ，故选B.3．解析：选A 所得圆柱体的底面半径为1，母线长为1，所以其侧面积S ＝2π×1×1＝2π，故选A.4．解析：选B 当n ＝1时，21>12成立，当n ＝2时，22>22不成立，所以输出n ＝2，故选B.5.解析：选C 把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C. 6解析：选D 依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D.7．解析：选D 函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f (x )＝cos x 为偶函数，排除A ；f (x )＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0，所以f (x )＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D. 8．解析：选B 因为函数y ＝log a x 过点(3,1)，所以1＝log a 3，解得a ＝3，y ＝3－x 不可能过点(1,3)，排除A ；y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1)，排除C ；y ＝log 3(－x )不可能过点(－3，－1)，排除D ，故选B.9.解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4x m ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x ＝160(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号)．所以该容器是最低总造价为160元．10．11．解析：选C 平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD ，因圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C.12．解析：选A 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c >0，则||F 1F 2||＝2c ，依题意，得||PF 1||＋||PF 2||＝2d (d 为常数且d >c )，所以|x ＋c |＋|y －0|＋|x －c |＋|y －0|＝2d ，即|x ＋c |＋|x －c |＋2|y |＝2d .①当－c ≤x ≤c 时，(x ＋c )＋c －x ＋2|y |＝2d ，即y ＝±(d －c )； ②当x <－c 时，－(x ＋c )＋c －x ＋2|y |＝2d ，即x ±y ＋d ＝0； ③当x >c 时，(x ＋c )＋x －c ＋2|y |＝2d ，即x ±y －d ＝0. 画出以上三种情形的图象，即可知选项A 正确.13．解析：依题意，得S 阴影S 正方形＝1801 000，所以S 阴影1×1＝1801 000，解得S 阴影＝0.18.答案：0.1814．解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B＝1，因为B ∈(0°，180°)，所以B ＝90°，所以AB ＝22－(3)2＝1.答案：115．解析：当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2；当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，因为f ′(x )＝2＋1x >0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，因为f (1)＝2－6＋ln 1＝－4<0，f (3)＝ln 3>0，所以函数f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)有且只有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.答案：216.解析：可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.答案：20117．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2.18．解：解法一：(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4 ＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 解法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .19．解：解法一：(1)∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ， AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD ， ∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积 V A -MBC ＝V C -ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.解法二：(1)同解法一．(2)由AB ⊥平面BCD 知，平面ABD ⊥平面BCD ，又平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，如图，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ，则MN ⊥平面BD ，且MN ＝12AB ＝12，又CD ⊥BCD ，BD＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A -MBC 的体积 V A -MBC ＝V A -BCD －V M -BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8 000×0.25a ＋4 000×0.30a ＋6 000×0.15a ＋3 000×0.10a ＋10 000×0.20aa＝6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{C ，D }，{C ，E }，{D ，E }，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{A ，C }，{A ，E }，{C ，E }，共3个，所以所求概率为P (M )＝310.21．解：解法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点、直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)， 则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0,3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0，|AB |＝|AC |2－r 2＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 解法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点， 则|y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y >－3， 所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1， 化简得，由线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同解法一．22．解：解法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f (x )有极小值， 且极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f (x )无极大值．(2)令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x .由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln 2)＝2－ln 4>0，即g ′(x )>0. 所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1>0， 所以当x >0时，g (x )>g (0)>0，即x 2<e x . (3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x >0时，x 2<e x . 所以当x >x 0时，e x >x 2>1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法二：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)令k ＝1c(k >0)，要使不等式x <c e x 成立，只要e x >kx 成立． 而要使e x >kx 成立，则只需要x >ln(kx )，即x >ln x ＋ln k 成立．①若0<k ≤1，则ln k ≤0，易知当x >0时，x >ln x ≥ln x ＋ln k 成立．即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .②若k >1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以当x >1时，h ′(x )>0，h (x )在(1，＋∞)内单调递增．取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln (4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln 2)，易知k >ln k ，k >ln 2，所以h (x 0)>0.因此对任意c ∈(0,1)，取x 0＝4c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .解法三：(1)同解法一．(2)同解法一．(3)①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知，e x >2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x >2x >x ，即x <c e x . ②若0<c <1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1.令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c. 当x >ln 1c时，h ′(x )>0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c， h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c>0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )>h (x 0)>0，即x <c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x <c e x .。
2014福建春季高考数学试题
2014福建春季高考数学卷（高职单招面向普高）一、单项选择题（70分）1、设集合{}{}1,2,3,1,2,4A B A B ===则 （ ）A{1，2} B ＝{1，2，3} C ＝{1，2，4} D{1，2，3，4}2、函数f(x)=2x 的图象大致为（）3、下列平面图形绕着直线l 旋转一周，能得到右图○1边几何体的是（ ）4、函数1y x =- 的定义域是（ ） .{|1}A x x > .{|1}B x x ≥ .{|1}C x x < .{|1}D x x ≤5、复数(1)i i -等于 （ ）.1A i - .1B i + .1C i -- .1D i -+6、2"1""1"x x ==是的 （ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7、如图所示的图形上随机丢一杖黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ） A 、58 B 、12 C 、38 D 、 148、已知2πα∈（0，），1sin(),cos 2παα-==则 （ ） A 、 12 B 、12- C 、32 D 、 －32 9、执行如图的程序框图，若输入的x=1，则畋出的x 的值为（ ）A ．2B 3C 4D 510、已知风和向量(1,),(2,3)//a k b a b ==-且 则k=( )A23 B 、23- C 、32 D 、 －3211、函数()47( 2.71828)xf x e x e =+-≈的零点所在的区间是（ ）A ．（－1，0）B （0，1）C （1，2）D （2，3）12、以（0，2）为圆心，1为半径的圆的方程为（ ） A221y +=（x-1） B 221y +=（x+1） C 22(1)1y +-=x D 22(1)1y ++=x13、函数1()1f x x x =+-（x>1）的最小值是（ ） A 、0 B 、 1 C 、2 D 、 314、某城市为节约用水，在保证居民正常用水的前提下制定了如下收费方案，每户居民每月用水量不超地5吨是，水费按基本价每吨1.5元计算，超过部分按基本价的5倍收费，若某居民12月份的水费为45元，则该户居民12月份的水的吨数为（ ）A 、6B 、10C 、25D 、 30二、填空题（总分20分）15、某志愿者服务队有男队员48人，女队员36人，为了了解志愿者的工作情况，用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为21的样本，由抽取女队员的人数为___________16、设x,y 满足约束条件20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则12x y +的最大值为 ___________ 17、已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c 且1,2,60oa b C === 则c=______ 18、已知函数32log ,1,1x x x x >⎧⎨≤⎩则[(3)]f f = ________________ 三、解答题（共60分）19（本小题满分8分）在等差数列{}n a 中，公差241,8d a a =+=且(I)求等差数列{}n a 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前10项和S 1020（本题满分8分）已知函数()sin 2f x xcox x =+ （1）求()4f π的值 （2）求()f x 的最小正周期21（本题满分10分）某铁制零件是如图所示的几何体，其底面是边长为为6cm 的正方形，高为5cm ，内孔半径为1cm.（1）求该零件的体积 （2）已知铁的密度为7.8g/cm 3, 问制造1000个这样的零件，需要多少千克的铁。
2014年福建省高考数学试卷(文科)教师版
2014年福建省高考数学试卷（文科）一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2014•福建）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P∩Q={x|3≤x＜4}．故选：A．2．（5分）（2014•福建）复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．故选：B．3．（5分）（2014•福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2D．1【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：A．4．（5分）（2014•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．故选：B．5．（5分）（2014•福建）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选：C．6．（5分）（2014•福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0B．x﹣y+2=0C．x+y﹣3=0D．x﹣y+3=0【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故选：D．7．（5分）（2014•福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．8．（5分）（2014•福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log a3=1，解得a=3，对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．故选：B．9．（5分）（2014•福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，∴当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C．10．（5分）（2014•福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．11．（5分）（2014•福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．49B．37C．29D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：B．12．（5分）（2014•福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2014•福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18．14．（4分）（2014•福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：115．（4分）（2014•福建）函数f（x）=，，＞的零点个数是2．【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点．故函数f（x）的零点个数为2，故答案为：216．（4分）（2014•福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2014•福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n代入b n=log3a n，得到数列{b n}的通项公式，由此得到数列{b n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n=log3a n，∴．则数列{b n}的首项为b1=0，=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），由b n﹣b n﹣1可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．∴．18．（12分）（2014•福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值．（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．19．（12分）（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；（Ⅱ）利用转换底面，V A=V C﹣ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体﹣MBC积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S=，△ABD∵M为AD中点，=S△ABD=，∴S△ABM∵CD⊥平面ABD，=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．∴V A﹣MBC20．（12分）（2014•福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．（12分）（2014•福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S 满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P 在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．【解答】解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线，∴曲线Γ的方程为：x2=4y．（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，设P（x0，y0）（x0≠0）则y0=，由y得切线l的斜率k==∴切线l的方程为：，即．由得，，由得，，又N（0，3），所以圆心C（，），半径r==∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．22．（14分）（2014•福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x ＜ce x．【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文史类)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(文史类)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014福建,文1)若集合P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则P∩Q等于().A.{x|3≤x<4}B.{x|3<x<4}C.{x|2≤x<3}D.{x|2≤x≤3}答案:A解析:结合数轴,得P∩Q={x|3≤x<4}.故选A.2.(2014福建,文2)复数(3+2i)i等于().A.-2-3iB.-2+3iC.2-3iD.2+3i答案:B解析:(3+2i)i=3i+2i2=-2+3i.故选B.3.(2014福建,文3)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于().A.2πB.πC.2D.1答案:A解析:根据题意,可得圆柱侧面展开图为矩形,长为2π×1=2π,宽为1,∴S=2π×1=2π.故选A.4.(2014福建,文4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为().A.1B.2C.3D.4答案:B解析:第一次循环n=1,判断21>12成立,则n=1+1=2;第二次循环,判断22>22不成立,则输出n=2.故选B.5.(2014福建,文5)命题“∀x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是().A.∀x∈(-∞,0),x3+x<0B.∀x∈(-∞,0),x3+x≥0C.∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0D.∃x0∈[0,+∞),x03+x0≥0答案:C解析:全称命题的否定是特称命题,故该命题的否定是∃x0∈[0,+∞),x03+x0<0.故选C.6.(2014福建,文6)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是().A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案:D解析:直线过圆心(0,3),与直线x+y+1=0垂直,故其斜率k=1.所以直线的方程为y-3=1×(x-0),即x-y+3=0.故选D.7.(2014福建,文7)将函数y=sin x的图象向左平移π个单位,得到函数y=f(x)的图象,则下列说法正确的是().A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于直线x=π2对称D.y=f(x)的图象关于点-π2,0对称答案:D解析:y=sin x的图象向左平移π个单位,得y=f(x)=sin x+π=cos x的图象,所以f(x)是偶函数,A不正确;f(x)的周期为2π,B不正确;f(x)的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称,C不正确;f(x)的图象关于点 kπ+π2,0(k∈Z)对称,当k=-1时,点为-π2,0,故D正确.综上可知选D.8.(2014福建,文8)若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是().答案:B解析:由题中图象可知log a3=1,所以a=3.A选项,y=3-x=13x为指数函数,在R上单调递减,故A不正确.B选项,y=x3为幂函数,图象正确.C选项,y=(-x)3=-x3,其图象和B选项中y=x3的图象关于x轴对称,故C不正确.D选项,y=log3(-x),其图象与y=log3x的图象关于y轴对称,故D选项不正确.综上可知选B.9.(2014福建,文9)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是().A.80元B.120元C.160元D.240元答案:C解析:设容器的底长x米,宽y米,则xy=4.所以y=4,则总造价为:f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80+80x+20x=20 x+4x+80,x∈(0,+∞).所以f(x)≥20×2x·4x+80=160,当且仅当x=4,即x=2时,等号成立,所以最低总造价是160元.故选C.10.(2014福建,文10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则OA+OB+OC+OD等于().A.OMB.2OMC.3OMD.4OM答案:D解析:因为M是AC和BD的中点,由平行四边形法则,得OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,所以OA+OB+OC+ OD=4OM.故选D.11.(2014福建,文11)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:x+y-7≤0,x-y+3≥0,y≥0.若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为().A.5B.29C.37D.49答案:C解析:由题意,画出可行域Ω,圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,所以b=1.所以圆心在直线y=1上,求得与直线x-y+3=0,x+y-7=0的两交点坐标分别为A(-2,1),B(6,1),所以a∈[-2,6].所以a2+b2=a2+1∈[1,37],所以a2+b2的最大值为37.故选C.12.(2014福建,文12)在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为||P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是().答案:A解析:不妨设F1(-a,0),F2(a,0),其中a>0,点P(x,y)是其轨迹上的点,P到F1,F2的“L-距离”之和等于定值b(大于||F1F2|),所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.当x<-a,y≥0时,上式可化为y-x=b2;当-a≤x≤a,y≥0时,上式可化为y=b2-a;当x>a,y≥0时,上式可化为x+y=b2;当x<-a,y<0时,上式可化为x+y=-b;当-a≤x≤a,y<0时,上式可化为y=a-b2;当x>a,y<0时,上式可化为x-y=b;可画出其图象.(也可利用前三种情况,再关于x轴对称)故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2014福建,文13)如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 . 答案:0.18解析:由几何概型可知180=S 阴影正方形=S 阴影,所以S 阴影=0.18.故答案为0.18.14.(2014福建,文14)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则AB 等于 . 答案:1解析:由余弦定理可知:cos A=b 2+c 2-a 22bc=4+c 2-32×2c=12,所以c=1.故答案为1.15.(2014福建,文15)函数f (x )= x 2-2,x ≤0,2x -6+ln x ,x >0的零点个数是 .答案:2解析:当x ≤0时,令f (x )=x 2-2=0,得x=± ∴x=- .当x>0时,f (x )=2x-6+ln x ,f'(x )=2+1x>0.所以f (x )单调递增,当x →0时,f (x )<0;当x →+∞时,f (x )>0,所以f (x )在(0,+∞)上有一个零点. 综上可知共有两个零点.故答案为2.16.(2014福建,文16)已知集合{a ,b ,c }={0,1,2},且下列三个关系:①a ≠2;②b=2;③c ≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c 等于 . 答案:201解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时,则a ≠2,b ≠2,c=0,此种情况不成立; (2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立; (3)当③成立时,则a=2,b ≠2,c ≠0,即a=2,b=0,c=1, 所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)(2014福建,文17)在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81. (1)求a n ;(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .分析:(1)等比数列中已知两项,从而求得公比q ,结合通项公式a n =a 1q n-1或a n =a m q n-m 得a n 的通项公式. (2)借助(1)的结论,先求得b n ,可得b n 为等差数列,利用等差数列求和公式S n =n (a 1+a n )2,求得S n .解:(1)设{a n }的公比为q ,依题意,得 a 1q =3,a 1q 4=81,解得 a 1=1,q =3.因此,a n =3n-1.(2)因为b n =log 3a n =n-1, 所以数列{b n }的前n 项和S n =n (b 1+b n )2=n 2-n2. 18.(本小题满分12分)(2014福建,文18)已知函数f (x )=2cos x (sin x+cos x ).(1)求f 5π4的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.分析:对于(1),可把x=5π4代入f (x )的解析式,认真运算,便可求得结果,另外也可先化简再求值,化简时要把两角和与差的三角函数、二倍角公式、辅助角公式及诱导公式利用好,注意化简的最终形式一般为f (x )=A sin(ωx+φ).对于(2),根据化简的结果结合三角函数的图象与性质以及三角函数的单调性,准确求出周期与单调区间. 解法一:(1)f 5π =2cos5π sin 5π+cos 5π=-2cos π4-sin π4-cos π4=2.(2)因为f (x )=2sin x cos x+2cos 2x =sin 2x+cos 2x+1 = 2sin 2x +π+1,所以T=2π=π. 由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为 kπ-3π,k π+π,k ∈Z . 解法二:f (x )=2sin x cos x+2cos 2x=sin 2x+cos 2x+1= 2sin 2x +π+1.(1)f 5π=2sin 11π+1= 2sin 3π+1=2.(2)T=2π2=π.由2k π-π≤2x+π≤2k π+π,k ∈Z ,得k π-3π≤x ≤k π+π,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为 kπ-3π,k π+π,k ∈Z . 19.(本小题满分12分)(2014福建,文19)如图,三棱锥A-BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD. (1)求证:CD ⊥平面ABD ;(2)若AB=BD=CD=1,M 为AD 中点,求三棱锥A-MBC 的体积.分析:(1)线面垂直的证法有线线垂直与面面垂直两种,结合本题条件,可证明CD 垂直于平面ABD 内的两条相交直线即可证得CD 垂直于平面ABD.(2)三棱锥体积V=13Sh ,但要注意转换顶点和底面,对于本题,可将S △ABM 求出,高即为CD=h ,代入公式可求得,也可借助图中关系,利用V A-MBC =V A-BCD -V M-BCD 求得. 解法一:(1)∵AB ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,∴AB ⊥CD.又∵CD ⊥BD ,AB ∩BD=B ,AB ⊂平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,∴CD ⊥平面ABD. (2)由AB ⊥平面BCD ,得AB ⊥BD , ∵AB=BD=1,∴S △ABD =1.∵M 是AD 的中点,∴S △ABM =12S △ABD =14. 由(1)知,CD ⊥平面ABD , ∴三棱锥C-ABM 的高h=CD=1, 因此三棱锥A-MBC 的体积 V A-MBC =V C-ABM =13S △ABM ·h=112. 解法二:(1)同解法一.(2)由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD , 又平面ABD ∩平面BCD=BD ,如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N, 则MN⊥平面BCD,且MN=1AB=1.又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=12.∴三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V A-BCD-V M-BCD=13AB·S△BCD-13MN·S△BCD=112.20.(本小题满分12分)(2014福建,文20)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家;人均GDP为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4085~12616美元为中等偏上收入国家;人均GDP 不低于12616GDP如下表:(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.分析:(1)该城市人均GDP即为求平均值,利用公式代入认真运算,可得人均GDP,判断其所在范围,可知是否达到中等偏上收入国家标准.(2)从5个行政区中随机抽取2个,列出所有基本事件,再找出抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的基本事件.利用古典概型概率公式可求得其概率.解:(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为8000×0.25a+4000×0.30a+6000×0.15a+3000×0.10a+10000×0.20aa=6400.因为6400∈[4085,12616),所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,则事件M包含的基本事件是:{A,C},{A,E},{C,E},共3个,所以所求概率为P(M)=310.21.(本小题满分12分)(2014福建,文21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.分析:(1)根据题意,可知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离等于它到直线y=-1的距离,结合抛物线的定义可得曲线Γ的方程;或利用求方程的一般做法,设点坐标,建立几何关系,转化为代数关系,整理便可得到其方程.对于(2),先求导,得斜率,利用点斜式可得直线l的方程,与y=0联立,得A点坐标,与y=3联立,得M点坐标,直线y=3与y轴的交点N易知,进而得出圆心和半径,结合勾股定理可得|AB|为定值,问题得证.解法一:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等,所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线, 所以曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=1x2,设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=14x02,由y'=12x,得切线l的斜率k=y'|x=x0=12x0,所以切线l的方程为y-y0=1x0(x-x0),即y=1x0x-1x02.由y=1x0x-1x02,y=0得A12x0,0.由y=12x0x-14x02,y=3得M1x0+6,3.又N(0,3),所以圆心C1x0+3,3,半径r=1|MN|=1x0+3,|AB|=|AC|2-r2=1x0-1x0+302+32-1x0+32=.所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.解法二:(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,则|y-(-3)|-(x-0)2+(y-1)2=2,依题意,点S(x,y)只能在直线y=-3的上方,所以y>-3,所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.(2)同解法一.22.(本小题满分14分)(2014福建,文22)已知函数f(x)=e x-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x2<e x;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.分析:(1)由题意可知点A的横坐标为0,先求出f(x)的导函数f'(x),则曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为f'(0),由f'(0)=-1可求得a的值.再利用求极值的步骤求解即可.对于(2),常对此类问题构造新函数g(x)=e x-x2,只需g(x)>0在(0,+∞)上恒成立即可,利用导数得到g(x)的单调性,从而得证.(3)中存在性问题处理,可结合(2)的结论,合理利用e x>x2,只是将e x>x2的x2中一个x赋值即可,所以可令x0=1,当x>x0时,e x>x2>1x,利用不等式的传递性来解决问题.或根据c的值与1的大小关系分类进行证明.当c≥1时,可直接根据(2)中的结论得证;当0<c<1时,证明的关键是找出x0.可构造函数,然后利用导数研究其单调性,在该函数的增区间内找出一个值x0满足条件即可得证.解法一:(1)由f(x)=e x-ax,得f'(x)=e x-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)有极小值,且极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1)得,g'(x)=f(x)≥f(ln2)=2-ln4>0,即g'(x)>0.所以g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.(3)对任意给定的正数c,取x0=1c,由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>x0时,e x>x2>1cx,即x<c e x.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)令k=1(k>0),要使不等式x<c e x成立,只要e x>kx成立.而要使e x>kx成立,则只需要x>ln(kx),即x>ln x+ln k成立.①若0<k≤1,则ln k≤0,易知当x>0时,x>ln x≥ln x+ln k成立.即对任意c∈[1,+∞),取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.②若k>1,令h(x)=x-ln x-ln k,则h'(x)=1-1x =x-1x,所以当x>1时,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)内单调递增.取x0=4k,h(x0)=4k-ln(4k)-ln k=2(k-ln k)+2(k-ln2),易知k>ln k,k>ln2,所以h(x0)>0.因此对任意c∈(0,1),取x0=4,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)①若c≥1,取x0=0,由(2)的证明过程知,e x>2x,所以当x∈(x0,+∞)时,有c e x≥e x>2x>x,即x<c e x.②若0<c<1,令h(x)=c e x-x,则h'(x)=c e x-1.令h'(x)=0,得x=ln1.当x>ln1c时,h'(x)>0,h(x)单调递增.取x0=2ln2c ,h(x0)=c e2ln2c-2ln2c=22c-ln2c,易知2-ln2>0,又h(x)在(x0,+∞)内单调递增,所以当x∈(x0,+∞)时,恒有h(x)>h(x0)>0,即x<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x<c e x.。
2014年高考理科数学福建卷-答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）答案解析2.【答案】A【解析】因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.【提示】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状即可. 【考点】三视图还原实物图 3.【答案】C【解析】因为313(31)323321222S a d d ⨯-⨯=+=⨯+=，所以2d =，所以61(61)25212a a d =+-=+⨯=，故选C.【提示】由等差数列的性质和已知可得2a ，进而可得公差，可得6a . 【考点】等差数列的前n 项和【提示】由题意可得3a =，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 【考点】对数函数的图像与性质5.【答案】B【解析】该程序框图为循环结构，由01S n ==，得10213112S n =+==++=，，判断315S =≥不成立，执行第二次循环，23229213S n +=+==+=，，判断915S =≥不成立，执行第三次循环，392320314S n +=+==+=，，判断2015S =≥成立，输出20S =.故选B.【提示】根据程序框图将01S n ==，代入执行第一次运算，不满足则进行第二次循环，以此类推，计算满足条件的S 值，可得答案. 【考点】带有循环结构的程序框图【提示】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.【答案】D【解析】由题意，可得函数图象如下：所以()f x 不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为[1,)-+∞.故选D. 【提示】由三角函数和二次函数的性质，将函数图像画出，即可分别对各个选项判断. 【考点】函数的奇偶性，单调性，周期性，值域 8.【答案】B【解析】根据12e e αλμ=+，选项A ：(3,2)(00)(1,2)λμ=+,，则322μμ==， ，无解，故选项A 不能. 选项B ：(3,2)(1,2)(5,2)λμ=-+-，则35222λμλμ=-+=-， ，解得，21λμ==，，故选项B 能. 选项C ：(3,2)(3,5)(6,10)λμ=+，则3362510λμλμ=+=+， ，无解，故选项C 不能. 选项D ：(3,2)(2,3)(2,3)λμ=-+-，则322233λμλμ=-=-+， ，无解，故选项D 不能. 故选：B.【提示】根据向里的坐标运算，12e e αλμ=+，计算判别即可.【考点】平面向量的基本定理及其意义【提示】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离. 【考点】椭圆的简单性质，圆的标准方程 10.【答案】A【解析】本题可分三步：第一步，可取0，1，2，3，4，5个红球，有23451a a a a a +++++种取法；第二步，取0或5个篮球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有5(1)c +种取法.所以共有234555()()(111)a a a a a b c +++++++种取法.故选A.【提示】根据“1a b ab +++”表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ” 则表示把红球和蓝球都取出来，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【考点】归纳推理，进行简单的合情推理第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】1【解析】由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示.由线性目标函数3z x y =+，得3y x z =-+，可知其过)(0,1A 时z 取最小值，故min 3011z ⨯+==. 故答案为1.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值【考点】简单线性规划12.【答案】1sin 2bc A =⨯【提示】利用三角形中的正弦定理求出角B ，再利用三角形的面积公式求出ABC △的面积 【考点】正弦定理 480160xx+=【提示】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a b ，，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求. 【考点】棱柱，棱锥，棱台的侧面积和表面积14.【答案】22e【解析】根据题意e xy =与ln y x =互为反函数，图象关于y x =对称，所以两个阴影部分的面积相等.联立e y =与e x y =得1x =，所以阴影部分的面积11002(e e )2(e e )|[(2e )()e 01]2x x S dx x =-=-==---⎰，由几何概型可知所求概率为22e .故答案为22e . 【提示】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率 【考点】几何概型 15.【答案】6【解析】根据题意可分四种情况：（1）若①正确，则1124a b c d ==≠=，，，，符合条件的有序数组有0个； （2）若②正确，则1124a b c d ≠≠≠=，，，，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)； （3）若③正确，则1124a b c d ≠===，，，，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)； （4）若④正确，则1124a b c d ≠=≠≠，，，，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2).所以共有6个. 故答案为6.【提示】利用集合的相等关系，结合①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，即可得出结论.【考点】集合的相等 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）1()2f α=（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】（Ⅰ）因为π02α<<，sin α，所以cos α=.所以11()22f α=+-=⎝⎭所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【提示】（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得cos α的值，分别代入函数解析式即可求得()f a 的值（Ⅱ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间.【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法 17.【答案】（Ⅰ）∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，AB ⊂平面ABD ，AB BD ⊥，∴AB ⊥平面BCD . 又CD ⊂平面BCD ， ∴AB CD ⊥.（Ⅱ）过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图：由（Ⅰ）知AB ⊥平面BCD ∴AB BE AB BD ⊥⊥，.为坐标原点，分别以BE ，BD ，BA 的方向为则(1,1,0BC =，110,,22BM ⎛⎫= ⎪⎭，(0,1,AD =-设平面MBC 的法向量00(,,)n x y =，则0,0,n BC n BM ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即MBC 的一个法向量1,1()1,n =-||6,3||||n AD n AD n AD ==【提示】（Ⅰ）利用面面垂直的性质定理即可得出.（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，利用线面角的计算公式||sin |cos ,||||n AD n AD n AD θ==即可得出.【考点】直线与平面所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X 得所有可能取值为20，60，分别求出(60)P X =，(20)P X =，画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望. （Ⅱ）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到(10,10,50,50)，(20,20,20,40)两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列19.【答案】（Ⅰ）因为双曲线E 的渐近线分别为2y x =，2y x =-，所以2b a =，2=，故c =，从而双曲线E的离心率ce ==4a a|||8OC AB =，因此48a a =，解得12|||y y -得，2222m m k --+因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为1416x y -=.【提示】（Ⅰ）依题意，可知2ba=，易知c =，从而可求双曲线E 的离心率.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=，设直线l 与x 轴相交于点C ，分l x ⊥轴与直线l 不与x 轴垂直讨论，当l x ⊥轴时，易求双曲线E 的方程为221416x y -=，当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线E 的方程联立，利用由12|1||82|OAB S OC y y -=△=可证得：双曲线E 的方程为，221416x y -=从而可得答案. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题20.【答案】（Ⅰ）由()e x f x ax =-，得()e xf x a '=-.又(0)11f a '=-=-，得2a =.所以()e 2()e 2x xf x x f x '=-=-，.令()0f x '=，得ln 2x =当ln 2x <时，()0()f x f x '<，单调递减； 当ln 2x >时，()0()f x f x '>，单调递增.所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 4()f f x =-=-，无极大值.（Ⅱ）令2()e x g x x =-，则()e 2xg x x '=-.由（Ⅰ）得()()(ln 2)0g x f x f '=≥>，故()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2e x x <. （Ⅲ）①若1c ≥，则e e x x c ≤.又由（Ⅱ）知，当0x >时，2e x x <. 所以当0x >时，2e x x c <.取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <. ②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2e x x c <成立，只要2e x kx >成立.而要使2e x kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--，则22()1x h x x x-'=-=. 所以当2x >时，()0()h x h x '>，在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知ln ln250k k k k >>>，，.所以0()0h x >.即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <. 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.【提示】（Ⅰ）由题意可知点A 的横坐标为0，先求出()f x 的导函数()f x ，则曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为(0)f ，由(0)1f =-可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.（Ⅱ）常对此类问题构造新函数2()e x g x x =-，只需()0g x >在0(,)x +∞上恒成立即可，利用导数得到()g x 的单调性，从而得证.（Ⅲ）根据c 的值与1的大小关系分类进行证明.当1c ≥时，可直接根据（Ⅱ）中的结论得证；当01c <<时，证明的关键是找出0x ，先将不等式转化为21e x x c>，利用对数的性质，进一步转化为21ln 2ln ln x x x k c ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，即可构造函数()2ln ln h x x x k =--，然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x 0，使0()0h x >即可得证.也可结合（Ⅱ）的结论，合理利用2e x x >将2x 中的一个x 赋值，利用不等式的传递性来解决问题.【考点】导数在最大值，最小值问题中的应用，利用导数研究函数的单调性21.【答案】（Ⅰ）因为矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵，且1||221130A -=⨯-⨯=≠，所以22.【答案】（Ⅰ）2216x y +=（Ⅱ）a -≤≤11 / 11【提示】（Ⅰ）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程.（Ⅱ）求出圆心到直线的距离d ，利用直线和圆的位置关系，得d r ≤，从而求得a 的范围.【考点】圆的参数方程，直线的参数方程23.【答案】（Ⅰ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3p q r ++=，又因为p q r ，，是正数，所以 22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥.【提示】（Ⅰ）由绝对值不等式||||||a b a b +≥-，当且仅当0ab ≤，取等号.（Ⅱ）利用柯西不等式2222222()()()a b c m n s am bn cs ++++≥++，结合所给式子特点，合理赋值，可证得结果.【考点】二维形式的柯西不等式，绝对值不等式的解法。
2014年福建高考理科数学试卷(带详解)
2014年福建高考数学试题(理)第Ｉ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于( )A.23i --B.23i -+C.23i -D.23i+ 【测量目标】复数代数形式的四则运算 【考查方式】给出简单复数进行简化 【难易程度】容易题. 【参考答案】C【试题解析】由复数z ＝(3－2i)i ＝2＋3i ，得复数z 的共轭复数z ＝2－3i. 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 【测量目标】三视图【考查方式】给出一正视图判断其不可能是什么几何体 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形 3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A.8B.10C.12D.14【测量目标】等差数列的通项公式及前n 项和. 【考查方式】给出约束条件求等差数列某项值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得3S ＝3×2＋322⨯d ＝12，解得d ＝2，则6a =a 1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是( )OW42(第4题图)OW43 OW44 OW45 OW46A B C D 【测量目标】对数函数、指数函数图象 【考查方式】图象是否正确的判断 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由函数log a y x =的图像过点(3，1)，得a ＝3. 选项A 中的函数为y ＝13x （），则其函数图像不正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为3()y x =-则其函数图像不正确；选项D 中的函数为3log ()y x =-，则其函数图像不正确． 5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于( ) A.18 B.20 C.21 D.40OW47(第5题图)【测量目标】带有循环结构的程序框图. 【考查方式】给定程序框图，判断输出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】输入S ＝0，n ＝1，第一次循环，S ＝0＋2＋1＝3，n ＝2；第二次循环，S ＝3＋22＋2＝9，n ＝3；第三次循环，S ＝9＋32＋3＝20，n ＝4，满足S ≥15，结束循环，输出S ＝20. 6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC △的面积为12”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 【测量目标】充分条件、必要条件 【考查方式】判断命题的充要性 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离d ＝2111k +＜，解得k ≠0.当k ＝1时，d ＝12，|AB |＝222r d -＝2，则△OAB 的面积为12×2×12＝12；当k ＝－1时，同理可得△OAB 的面积为12，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．7.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨⎩…则下列结论正确的是( )A.()x f 是偶函数B. ()x f 是增函数C.()x f 是周期函数D.()x f 的值域为[)+∞-,1【测量目标】函数的奇偶性、单调性、周期性、值域【考查方式】判断函数的奇偶性、单调性、周期性、值域. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝2x ＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．8.在下列向量组中，可以把向量()2,3=a 表示出来的是( ) A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e eC.)10,6(),5,3(21==e eD.)3,2(),3,2(21-=-=e e 【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】将一个向量用两个向量表示出来 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B.9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是( ) A.25 B.246+ C.27+ D.26【测量目标】圆与椭圆的基本性质【考查方式】给出圆和椭圆的标准方程求分别在圆和椭圆上两点的最远距离 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】设圆心为点C ，则圆22(6)2x x +-=的圆心为C (0，6)，半径r ＝2.设点Q ()00,x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-∴|CQ |＝22001010(6)y y -+-＝20091246y y --+＝2029()50,3y -++，当0y ＝－23时，|CQ |有最大值52，则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.10.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来,依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++C.()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c cc b a +++++++ 【测量目标】随机事件.【考查方式】由随机事件判断所有取法. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a 2345a a a a ++++；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋5a ；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C C C C C c c c c c +++++＝5(1),c +根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是 ()()()555432111c b a a a aa +++++++.第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量y x ,满足约束条件102800x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………,则y x z +=3的最小值为________.【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考察方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性目标函数的最大值.【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z ，则当直线y ＝3x ＋z 经过点(0，1)时，z 最小，将点(0，1)代入z ＝3x ＋y ，得min z ＝1，即z ＝3x ＋y 的最小值为1.OW48(第11题图)12.在ABC △中，60,4,23A AC BC =︒== ,则ABC △的面积等于________. 【测量目标】三角函数的基本运算、正弦定理.【考查方式】给出约束条件利用正弦定理求三角形面积. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题解析】由sin sin BC AC A B =，得sin B ＝4sin 6023＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则ABC S △＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于23.13.要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______(单位：元). 【测量目标】基本不等式.【考查方式】给出约束条件求最低总造价. 【难易程度】容易 【参考答案】160【试题解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m 得，另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋24x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭×1×10＝80＋204x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥80＋20×24x x ⋅＝160(元)，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．14.如图，在边长为e (e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.OW49(第14题图)【测量目标】几何概率【考查方式】根据图形解落在阴影部分的概率 【难易程度】中等 【参考答案】22e 【试题解析】因为函数y ＝ln x 的图像与函数y ＝xe 的图像关于正方形的对角线所在直线y ＝x 对称，则图中的两块阴影部分的面积为S ＝21e⎰ln xdx ＝2(x ln x －x )1|e＝2[(e ln e －e )－(ln 1－1)]＝2，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率P ＝22e . 15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.【测量目标】数组【考查方式】给出条件判断哪些是符合条件的数组 【难易程度】中等 【参考答案】6【试题解析】若①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d ＝4；由a ≠1，b ≠1，c ≠2，得满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝4或a ＝2，b ＝3，c ＝1，d ＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d ＝4；由②不正确，得b ＝1，则满足条件的有序数组为a ＝3，b ＝1，c ＝2，d ＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b ＝1，由a ≠1，c ≠2，d ≠4，得满足条件的有序数组为a ＝2，b ＝1，c ＝4，d ＝3或a ＝3，b ＝1，c ＝4，d ＝2或a ＝4，b ＝1，c ＝3，d ＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分)已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-.(1)若π02α<<，且2sin 2α=，求()f α的值；(2)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和与差的三角函数及三角函数的 图象与性质等基础知识.【考查方式】给出约束条件求解、求函数最小正周期和单调区间. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)因为π0,2α<<2sin ,2α=所以2cos 2α=. 所以22211()()22222f α=+-=. (2)因为21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-112πsin 2cos 2sin(2)2224x x x =+=+,所以2ππ2T ==.由πππ2π22π,,242k x k k -++∈Z 剟得3πππ,88k x k k π-+∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z . 解法二：21()sin cos cos 2f x x x x =+-11cos 21sin 2222x x +=+-11sin 2cos 222x x =+ 2πsin(2)24x =+.(1)因为π0,2α<<2sin ,2α=所以π4α=,从而2π23π1()sin(2)sin 24242f αα=+==.(2)2ππ2T ==,由πππ2π22π,,242k x k k -++∈Z 剟得3ππππ,88k x k k -+∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间为3ππ[π,π],88k k k -+∈Z .17.(本小题满分12分)在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥.将ABD △沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图. (1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.OW51(第17题图)【测量目标】空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识【考查方式】考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想来证明线线垂直，以及线面余弦值.【难易程度】中等【试题解析】(1)因为平面ABD ⊥平面B C D ,平面ABD 平面,B C DB D A B =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥.(2)过点B 在平面BCD内作B E B D ⊥,如图. 由(1)知AB ⊥平面,B C D B E ⊂平面,B C D B D ⊂平面,B C D 所以,A B B E A B B D ⊥⊥.以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA的方向为x 轴, y 轴, z 轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意,得(0,0,0),(1,1,0),B C 11(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22D A M .则(1,1,0),BC = 11(0,,),22BM =(0,1,1)AD =- .设平面M B C 的法向量000(,,)n x y z = .则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0000011022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩.取01,z =得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-.设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则6sin cos ,,3n AD n AD n ADθ⋅=<>==即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63.OW50(第17题图)18.(本小题满分13分)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【测量目标】古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识 【考查方式】给出事件求概率、分布列及数学期望、利用方差大小判断合理性. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设顾客所获的奖励为X . ①依题意,得111324C C 1(60)C 2P X ===.即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12.②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.2324C 11(60),(20)2C 2P X P X =====.即X 的分布列为:X 20 60P 0.5 0.5所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=(元). (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X20 60 100 P1623161X 的期望为112()206063E X =⨯+⨯+1100606⨯=,1X 的方差为1()D X =21(2060)6-⨯+22(6060)3-⨯211600(10060)63+-⨯=. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为:2X40 60 80P1623162X 的期望为21()406E X =⨯+2160806036⨯+⨯=,2X 的方差为221()(4060)6D X =-⨯+22(6060)3-⨯+21400(8060)63-⨯=. 由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19.(本小题满分13分)已知双曲线22221(0,0)x y E a b a b-=>>：的两条渐近线分别为122,2l y x l y x ==-：：. (1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于B A ,两点(B A ,分别在第一，四象限)，且OA B △的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.【测量目标】双曲线的 方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识. 【考查方式】给出约束条件求离心率、判读符合条件的直线是否存在 【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-.所以222,2,b c a a a -=∴=5c a ∴=,从而双曲线E 的离心率5e =.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为222214x y a a-=. 设直线l 与x 轴相交于点C .当l x ⊥轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点,则,4OC a AB a ==,又因为OAB △的面积为8,所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=.此时双曲线E 的方程为221416x y -=.若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为221416x y -=. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件.Ow52(第19题图)设直线l 的方程为y kx m =+,依题意,得k >2或k <-2.则(,0)mC k -，记1122(,),(,)A x y B x y .由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩,得122m y k =-,同理得222my k =+.由1212OAB S OC y y =-△得, 1228222m m m k k k-⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-.由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得, 222(4)2160k x kmx m ----=.因为240k -<,所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---,又因为224(4)m k =-.所以0∆=,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为221416x y -=Ow53（第19题图）20. (本小题满分14分)已知函数()ax e x f x -=(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.(Ⅰ)求a 的值及函数()x f 的极值；(Ⅱ)证明：当0>x 时，2e xx <；(Ⅲ)证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有xce x <2.【测量目标】导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用【考查方式】利用导数的运算及导数的应用、全称量词来求未知量的值、和函数的极值、证明相关结论.【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)由()x f x e ax =-，得'()xf x e a =-.又(0)11f a '=-=-,得2a =.所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-.令'()0f x =,得ln 2x =.当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减;当ln 2x >时, '()0,()f x f x >单调递增.所以当ln 2x =时, ()f x 取得极小值,且极小值为l n 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值.(Ⅱ)令2()xg x e x =-,则'()2x g x e x =-.由(Ⅰ)得'()()(ln 2)0g x f x f =>…,故()g x 在R 上单调递增,又(0)10g =>,因此,当0x >时,()(0)0g x g >>,即2x x e <.(Ⅲ) 解法一：①若1c …,则x xe ce ….又由(Ⅱ)知，当0x >时, 2x x e <.所以当0x >时, 2x x ce <.取00x =,当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<,令11k c=>,要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立.而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >,只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--,则22'()1x h x x x-=-=.所以当2x >时,'()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增.取01616x k =>,所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知l n ,l n 2,50k k k k>>>.所以0()0h x >.即存在016x c=,当0(,)x x ∈+∞时，恒有2xx ce <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2xx ce <.解法二：对任意给定的正数c ，取04x c=,由(Ⅱ)知，当x >0时，2x e x >，所以2222,()()22x xx x x e e e =>,当0x x >时， 222241()()()222x x x x e x c c >>=,因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ,当0(,)x x ∈+∞时,恒有2xx ce <.21.本题设有(1)，(2)，(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵A 的逆矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-21121A . (Ⅰ)求矩阵A ；(Ⅱ)求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【测量目标】逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量等基础知识【考查方式】利用逆矩阵求矩阵，求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)因为矩阵A 是矩阵1A -的逆矩阵,且1221130A -=⨯-⨯=≠,所以2121133 1212333A ⎛⎫-⎪-⎛⎫== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭.(Ⅱ)矩阵1A -的特征多项式为21() 12f λλλ--==-- 243(1)(3)λλλλ-+=--,令()0f λ=,得矩阵1A -的特征值为11λ=或23λ=,所以111ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量. 211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵1A -的属于特征值23λ=的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t y ta x 42，(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x ，(θ为参数). (Ⅰ)求直线l 和圆C 的普通方程；(Ⅱ)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 【测量目标】直线与圆的 参数方程等基础知识.【考查方式】利用参数方程求直线和圆的普通方程、给出约束条件求实数a 的取值范围 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)直线l 的普通方程为220x y a --=.圆C 的普通方程为2216x y +=.(Ⅱ)因为直线l 与圆有公共点,故圆C 的圆心到直线l 的距离245a d -=…,解得2525a -剟.(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若r q p ，，为正实数，且a r q p =++，求证：2223p q r ++…. 【测量目标】绝对值不等式、柯西不等式等基础知识【考查方式】利用不等式求函数的最小值、证明相关结论. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)因为12(1)(2)3x x x x ++-+--=…,当且仅当12x-剟时,等号成立,所以()f x 的最小值等于3,即3a =.(Ⅱ)由(I)知3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,所以222222()(111)p q r ++++…2(111)p q r ⨯+⨯+⨯2()9p q r =++=,即2223p q r ++….。
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2014春季高考数学试卷福建省
一、单项选择题
1、设集合{1,2,3}A =，{1,2,4}B =，则A B =…………………………………（ ）
A 、{1,2}
B 、{1,2,3}
C 、{1,2,4}
D 、{1,2,3,4}
2、函数()2x f x =的图像大致为…………………………………………………………（ ）
3、下列平面图形绕直线l 旋转一周，能得到下图①所示的几何体的是……………（ ）
4、函数y = ）
A 、{|1}x x >
B 、{|1}x x ≥
C 、{|1}x x <
D 、{|1}x x ≤
5、复数(1)i i -等于………………………………………………………………………（ ）
A 、1i -
B 、1i +
C 、1i --
D 、1i -+
6、“1x =”是“21x =”的……………………………………………………………（ ）
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件
C 、充分且必要条件
D 、既不充分也不必要条件
7、在如图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率
是……………………………………………………………………（ ）
A 、58
B 、12
C 、38
D 、14
8、已知0,2a π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin()2
πα-=，则c o s α=…………………（ ）
A 、12
B 、12-
C
D 、9、执行如图的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的x 值
为…………………（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
10、已知向量(1,)a k →=，(2,3)b →=-，且//a b →→，则实数k 等于……………………（ ）
A 、23
B 、23-
C 、32
D 、32
- 11、函数()47x f x e x =+-( 2.71828)e ≈的零点所在区间是………………………（ ）
A 、(1,0)-
B 、(0,1)
C 、(1,2)
D 、(2,3)
12、以抛物线24y x =的焦点为圆心，1为半径的圆的方程为………………………（ ）
A 、22(1)1x y -+=
B 、22(1)1x y ++=
C 、22(1)1x y +-=
D 、22(1)1x y ++=
13、函数1()1
f x x x =+-(1)x >的最小值是…………………………………………（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3
14、某城市为节约用水，在保证居民正常用水的前提下制定了如下收费方案：每户居民每月用小量不超过5吨时，水费按基本价每吨1.5元计算，部分每吨按基本价的5倍收费。
若某户居民12月的水费为45元，则该户居民12月份用水的吨数为……………………（ ）
A 、6
B 、10
C 、25
D 、30
二、填空题
15、某志愿者服务队员48人，女队员36人，为了解志愿者的工作情况，用分层抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为21的样本，则抽取女队员的人数为_____________。
16、设x ，y 满足约束条件20x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则12z x y =+的最大值为____________。
17、已知△ABC 的内角A ，B ，C 分别为a ，b ，c ，且1a =，2b =，060C =，则c =___
18、已知函数32log ,1(),1x x f x x
x >⎧=⎨<⎩，则[(3)]f f =__________ 三、解答题
19、在等差数列{}n a 中，公差1d =，且248a a +=，
（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前10项和10S 。
20
、已知函数()sin cos 2f x x x x = （1）求()4
f π
的值；（2）求()f x 的最小正周期T 。
21、某铁制零件是如图所示的几何体，其底面是边长为6cm 的正方形，高为5cm 。
内孔半径为1cm 。
（1）求该零件的体积；
（2）已知铁的密度为37.8/g cm ，问制造1000个这样的零件，需要铁多少千克？
（注：π取3.14；质量=密度×体积）
22、某工厂生产一种内径为5.40mm 的零件1000个，为了对该批零件的质量进行检测，随机抽取5个零件，量得其内径如下（单位：内径如下（单位：mm ）：
5.41 5.44 5.39 5.42 5.38
规定内径尺寸落在区间[5.37,5.43]的零件为合格品。
（1）若将频率视为概率，试用样本估计总体的思想，估计这批零件中合格品的数量；
（2）从这5个零件中随机抽取2个，求投到的2个零件均为合格品的概率。
23、已知函数3()f x x ax =+在1x =处取得极值。
（1）求实数a 的值；
（2）若()f x 在[,1]k k +上是单调函数，求实数k 的取值范围。
24、已知椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点1()2P ，且其一个焦点为1(f （1）求椭圆M 的方程；
（2）设O 为坐标原点，过椭圆的另一个焦点2F 且斜率为k 的直线l 交椭圆M 于A ，B 两点。
①证明：对于任意给定的(0)k k ≠，在线段2OF 上总存在十一日点C ，使得CA ，CB 为邻边的平行四边形CADB 为菱形；
②试探究：是否存在k ，使得（1）中的菱形CADB 的顶点D 也在椭圆M 上？说明理由。