《材料力学》i截面的几何性质习题解
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附录I 截面的几何性质 习题解
[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）
解：)(24000)1020()2040(3
mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=
（b ）
解：)(422502
65
)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）
解：)(280000)10150()20100(3
mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=
（d ）
解：)(520000)20150()40100(3
mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=
[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2
半圆对x 轴的静矩为：
3
2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300
2
r r x d dx x S r r
x =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰
πθθθπ
π
因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π
34r
y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ）
解：
习题I-3(a): 求门形截面的形心位置
矩形 L
i B
i
Ai
Y ci AiYci
Yc
离顶边
上 400 2
8000 160 1280000
左 150 2
3000
7
5 225000
右
150
2
0 3000
7
5 225000
14000
1730000
Ai=Li*Bi
Yc=∑AiYci/∑Ai
(b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置
矩形 L i B i
Ai Y ci AiYc i Y c
X ci AiX ci X c
下
1
60
10 160
5
8000
8
128
000
左
9
10 900
5
5
49500 5
4500
250
5750
2
3
132
500
5
3
Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai
(c)
解：
习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置
型钢号 Ai (cm2)
Yc i(cm)
AiYci (cm3) Y c(cm)
Xc i(cm)
AiXci (cm3) X c(cm)
槽钢20 10 等边角钢80*10
Yc=∑AiYci/∑Ai
Xc=∑AiXci/∑Ai
[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(
四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰
⎰
-⋅==
2/0042
/0
2
3
2
2cos 1]4[sin ππθθ
θθd x d dx x I r r
x
)]2(2cos 21[2142/02
/0
4θθθππd d r ⎰⎰-⋅=
}]2
[sin 2
12{82
/04πθπ-=r 16
4
r ⋅=
π
由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：
16
4
r I I x y ⋅=
=π
微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：
xydA dI xy =
8
)42(21]42[21)(2144404222
20
2
2r r r x x r dx x r x ydx xdx I r r
x r r
xy =-=-=-==⎰⎰
⎰
- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为
mm 20=δ
的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
解：圆的方程为：
222r y x =+
如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：
dy y r dA 222-=
切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：
dy y r y I r r x 22sin sin 22-=⎰
-α
α
α
αsin sin 42
222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=
)4sin 4
1
(24αα-=r