《材料力学》i截面的几何性质习题解
材料力学 中国建筑工业出版社 第五章 截面的几何性质 习题解答
5-1 试用积分法确定图示平面图形的形心位置。
解：（1）建立极坐标极坐标（α，ρ），取微面积dA d d ραρ=⋅。
则cos y ρα=， （2）求形心位置222322cos ()cos 43434rrACd d d d ydA r r r y AArππραρραρρααπππ⋅⋅⋅⋅=====⎰⎰⎰⎰⎰由对称性可知：43C rz π=。
图形形心为（43r π，43r π）。
700图题5-1b 图题5-2b5-2 确定图示平面图形力的形心位置。
解：（1）选取通过矩形I 的形心C 1，矩形II 形心C 2，矩形III 形心C 3 （2）求形心位置 由于截面左右对称，故：400mm Cz =。
3131150400150150800200400150500150700222mm=305mm 150800200400500150i Cii C ii A yy A==⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⨯+⨯++⨯∑∑图形形心为（305，400）。
5-4(a)题5-4图解：（1）矩形341212z bh a I ==（2）箱形箱形与方形面积，即：22226 5.4 5.4a a bt at t ==→=333322224(0.9)(1.8)(0.9)(1.8)()(2)()(2)5.4 5.4 5.4 5.4121212120.4567z a a a a a a a a b t b t b t b t I a ++--++--=-=-= （3）工字形截，即：面23332 1.62 5.2a a at at t =⨯+→= 工字形截面方形面积33333341.6(22)(1.6)81.6(22)(1.6)8 5.2 5.2121212120.8695z a a a a a a a a t a t aI a +⨯-+-=-=-=10.45670.869515.4810.4312z z z I I I ==工方箱：：：：：：5-8图示矩形h=2b=200mm ，（1）试求矩形通过坐标原点O 1的主惯性轴的位置及主惯性矩。
材料力学 截面的几何性质
1、矩形截面 h
Iz
y2dA
A
2 h
y 2bdy
h
2
dy y
b y 3 2 1 bh3 3 h 12
2
同理
Iy
z2dA 1
A
12
hb3
b h z
y
26
2、实心圆截面
y
已知
IP
A2dA
D 4 32
D
z
则 I P A2 d A A y 2 d A A z 2 d I A z I y
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z
y
o
A dA
z
y
惯性积
定义
Iyz
yzdA
A
z y
A dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
4.3 形心主惯性轴和形心主惯性矩
若主惯性轴通过形心，则该轴称为形心主惯性轴(principal centroidal axis)。
图形对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。 由于图形对于对称轴的惯性积等于零，而对称轴又过形心，所以，图形 的对称轴就是形心主惯性轴。
形心主惯性轴的特点可归纳为以下几点： ⑴形心主惯性轴是通过形心，由角定向的一对互 相垂直的坐标轴。
32
32
圆环形对y(或z)轴的惯性矩为
IyIz1 2Ip6 D4414
由于y轴为对称轴，故
Iyz 0
z
y
d D
材料力学 截面几何性质 习题及参考答案
截面几何性质 作业1. 判断题（1）任意平面图形至少有1对形心主惯性轴，等边三角形有3对形心主惯性轴。
（ × ） （2）平面图形的几何性质中，静矩和惯性矩的值可正、可负、可为零。
（ × ） （3）平面图形中，使静矩为零的轴必为对称轴。
（ × ） 2. 选择题（1）若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。
A. 静矩为零，惯性矩不为零B. 静矩和惯性矩均不为零C. 静矩和惯性矩均为零D. 静矩不为零，惯性矩为零（2）设图形具有三个以上（含三个）对称轴时，对某一形心轴的惯性矩I 1 ，对某一对正交形心轴的惯性积为I 2。
则当形心轴绕形心旋转时（ A ）。
A. I 1值不变，I 2恒等于零B. I 1 值不变，I 2不恒等于零C. I 1值变化，I 2恒等于零D. I 1值变化，I 2不恒等于零（3）任意图形的面积为A ，x C 轴通过形心C ，x 1轴和x C 轴平行，并相距a ，已知图形对x 1轴的惯性矩是I 1，则对x C 轴的惯性矩为（ A ）。
A. 21xC I I Aa =-B. 0xC I =C. 21xC I I Aa =+D. 1xC I I Aa =+C x 1（4）图示等底等高的矩形和平行四边形，对其形心轴y 的惯性矩I a 和I b 满足（ A ）。
A. I a = I bB. I a > I bC. I a < I bD. 不能确定（a ）（b ）（5）设矩形对其对称轴z 的惯性矩为I ，当其长宽比保持不变，面积增加1倍时，该矩形对其对称轴z 的惯性矩将变为（ A ）。
A. 4IB. 2IC. 8ID. 16I（6）图示任意形状图形，形心轴z 将图形分为两部分，则一定成立的是（ A ）。
A. S z 1 + S z 2 = 0B. I z 1 = I z 2C. A 1 = A 2D. S z 1 = S z 2（7）图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定（ A ）。
材料力学 附录_2
267 104 mm4
附录I 截面的几何性质
于是有组合截面对于两主轴x轴和y轴的惯性矩分别为
I x I x1 2 I x2 3690 10 4 mm 4 2 2110 10 4 mm 4 7910 10 4 mm 4 I y I y1 2 I y2 431 10 4 mm 4 2 267 10 4 mm 4 965 10 4 mm 4
附录I 截面的几何性质
解：将原平面图形分成上中下三个矩形。过形心建立参考坐标 系
40 53 5 603 I x 2I x1 I x2 2 40 5 27.52 12 12 y 4 4 393333 mm 39.33cm I y 2 I y1 I y2
I yC 218.415 cm 形心位置如图所示 90 mm×90 mm×12 mm 等边角钢截面
4
A 20.30 cm 2 I xC I yC 149.22 cm 4
形心位置如图所示
附录I 截面的几何性质
组合截面的形心C在对 称轴x上。以两个角钢截面的 形心连线为参考轴,只需求组 合截面形心C以该轴为基准 的横坐标 x ：
a
x
附录I 截面的几何性质
例题
图示组合截面由一个 25c号槽钢截面和两个 90 mm×90 mm×12 mm等边角钢截面组成。 试求此截面分别对于形 心轴x和y的惯性矩Ix 和 Iy 。
附录I 截面的几何性质
解: 1. 求组合截面的形心位置
由型钢规格表查得：25c号槽钢截面 A 44.91cm 2， I xC 3 690.45 cm4
I x1 y1 dA
2 A
x1 x cos y sin y1 x sin y cos
材料力学习题解答3
2． 如图所示半径为R的半圆截面，试求截面对平 行于直径且过截面形心的轴K的惯性矩。
解： 半圆形心的位置：
y
yC
4R 3
C
yC
R
K z
O
1 D 4 116 R4 R4
Iz26
42
64 8
Iz IK yC2A
IKIz yC2A2
R4 (4R)2R2 8 3 2
( 8 )R4 8 9
IK(898 )R40.1R 14
7． 试计算如图所示截面对形心轴y,z的惯性矩。
解： 求截面形心的位置。
y
Iz1'
1(4R)4
2 64
2R46.2R 84
Iz1'Iz1C (83R)2A1
Iz1C
Iz1'(8 3R)2(22R)2
(2
12
9
8)R4
1.75R4
Iz2'1 2(6 2R)44R 840.39R 2 4 5
Iz2'Iz2C (43R)2A2
Iy2C
R4
8
0.392R54
Iy3C
R4
8
0.392R54
R O
y
y1
8R 3
4R
C
z y2 3
R
y3
4R 3
Iy1 I6y.1 2C 8 R(4z1 zR C 4)2A 1 6.6 67R .24 8 R4(R 4)2(22R)2 Iy2 I0y.2 3C 9(2zR254z8C 2)2 35A R2240.23.894R R 2 64 4 5(RR 4)2R 22
R yC
zC
R 4
Iz3C 0.11R4
《材料力学》附录I截面的几何性质习题解
附录I 截里的几许本量 习题解之阳早格格创做[习题I-1]试供图示各截里的阳影线里积对付x 轴的静积.（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅= （b ） 解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅=（c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅= （d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅= [习题I-2]x 轴的静矩，并决定其形心的坐标.解：用二条半径线战二个共心圆截出一微分里积如图所示.dx xd dA ⋅=)(θ；微分里积的纵坐标：θsin x y =；微分里积对付x 轴的静矩为：半圆对付x 轴的静矩为：[习题I-3]试决定图示各图形的形心位子. （a ） 解：(b) 解：(c) 解：[习题I-4]解：用二条半径线战二个共心圆截出一微分里积如图所示.为：[习题I-5].解：圆的圆程为：里积，微分里积为：[习题I-6] 试供图示正圆形对付其对付角线的惯性矩.解：正圆形四条边的曲线圆程如图所示（设火仄坐标轴为.[习题I-7] 试分别供图示环形战箱形截里对付其对付称轴x 的惯性矩. (a) 解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-⨯⨯=-=απ(b)[习题I-8]试供图示三角形截里对付通过顶面A 并仄止于底边BC 的轴的惯性矩.解：已知三角形截里对付以BC 边为轴的惯性矩是，利用仄止轴定理，可供得截里对付形心轴的惯性矩 所以再次应用仄止轴定理，得[习题I-9]试供图示的半圆形截里对付于轴的惯性矩，其中轴取半圆形的底边仄止，相距1 m. 解：已知半圆形截里对付其底边的惯性矩是，用仄止轴定理得截里对付形心轴的惯性矩 再用仄止轴定理，得截里对付轴的惯性矩[习题I-10] 试供图示拉拢截里对付于形心轴x 的惯性矩. 解：由于三圆曲径相等，并二二相切.它们的圆心形成一个边少为的等边三角形.该等边三角形的形心便是拉拢截里的形心，果此底下二个圆的圆心，到形心轴的距离是上头一个圆的圆心到轴的距离是d 632.利用仄止轴定理，得拉拢截里对付轴的惯性矩如下： [习题I-11]试供图示各拉拢截里对付其对付称轴的惯性矩. 解：（a ）22a 号工字钢对付其对付称轴的惯性矩是.利用仄止轴定理得拉拢截里对付轴的惯性矩（b ）等边角钢的截里积是，其形心距中边沿的距离是28.4 mm ，供得拉拢截里对付轴的惯性矩如下：习题I-11（b ）图图形 b h Ixc a A Ix中间矩形 10 600 180000000 0 6000 180000000 上矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 下矩形 250 10 20833 305 2500 232583333 左上L 形 1795100 1926 143869495 左上L 形 1795100 1926 143869495 左下L 形 1795100 1926 143869495 左下L 形17951001926143869495 A a I I xc x 2+=1220644645[习题I-12]试供习题I-3a 图所示截里对付其火仄形心轴的惯性矩.闭于形心位子，可利 用该题的截止.解：形心轴位子及几许尺寸如图所示.惯性矩估计如下：试供图示各截里对付其形心轴x的惯性矩.习题I-13(a)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)上矩形1000 100 100000 650 65000000 225 83333333 5145833333 下矩形300 600 180000 300 54000000 125 5400000000 8212500000 齐图280000 119000000 425习题I-13(c)图形bi hi r Ai Yci AiYci Yc Ixc(mm4) ai Ix(mm4)矩形2140 1150 2461000 575 1415075000 271222708333 159 333213698275 半圆790 -980333 335 -328692667 42750202791 399齐图1480667 1086382333 734半圆：π3/4ryc=半圆：ππ9/88/44rrIxc-=习题I-13(d)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixci Ix(mm4)从下往上2216 3520 8 28160 37475093 4924386131814 2520 23 57960 35941160 324821280 16 674 10784 367 3957728 0 408242699 408242699 2214 3080 711 2189880 32950307 333432587 449 4005 2893613 3427034 464367735习题I-13( b)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc ai Ixc Ix(mm4)上图(3) 25 150 3750 275 1031250 148 7031250 89601489 中图(2) 200 150 30000 125 3750000 2 56250000 56328044 下图(1) 100 50 5000 25 125000 102 1041667 52667577 齐图38750 4906250 127 1985971105 123909 9127341 382 202330291 4[习题I-14] 正在曲径aD8=圆截里中，启了一个aa42⨯的矩形孔，如图所示.试供截里对付其火仄形心轴战横曲轴形心的惯性矩xI战y I.解：先供形心主轴的位子截里图形对付形心轴的静矩（里积矩）等于整：（y轴背下为正）（拉拢图形对付过圆心轴x1的惯性矩）（拉拢图形对付形心轴x的惯性矩）习题I-14b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixc ai Ix(a4) 矩形4 2 -8.00 1 -8 2.667 1.1893 14.0圆 4 50.27 0 0 201.062 -0.1893 202.942.27 -8 -0.1893 188.9 [习题I-15]正圆形截里中启了一个曲径为mmd100=的半圆形孔，如图所示.试决定截里的形心位子，并估计对付火仄形心轴战横曲形心轴的惯性矩.解：习题I-15图形 bi hi rAiYci AiYciYcIxci ai Ix正圆形 200 20040000 100 4000000 133333333 2 133546801 半圆 50 -3927 79 -30936568597724 2860346 齐图360733690635 102130686455π34100r y c -=ππ98844r r I xc -⋅=A a I I xc x 2+=形心位子：X （0，102）.对付火仄形心轴的惯性矩：4130686455m m I x =.对付横曲形心轴的惯性矩：习题I-15图形 a r Iy （mm 4） 正圆形 200半圆 50 2454367齐图13087896681244r a I y ⋅-=π[习题I-16] 图示由二个a 20号槽钢组成的拉拢截里，若欲使截里对付二对付称轴的惯性矩x I 战y I 相等，则二槽钢的间距a 应为几？解：20a 号槽钢截里对付其自己的形心轴、的惯性矩是，；横截里积为；槽钢背到其形心轴的距离是.根据惯性矩定义战仄止轴定理，拉拢截里对付，轴的惯性矩分别是 ；若即等式二边共除以2，而后代进数据，得 于是所以，二槽钢相距[习题I-17] 试供图示截里的惯性积xy I解：设矩形的宽为b 下为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则由仄止移轴公式得：故，矩形截里对付其底边取左边所形成的坐标系的惯性积为：2241h b I xy =[习题I-18] 图示截里由二个mm mm mm 10125125⨯⨯的等边角钢及缀板（图中实线）拉拢而成.试供该截里的最大惯性矩max I 战最小惯性矩习题I-17 图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形: 100 10 250000 沉复加的矩形 10102500齐图上图+下图-沉复图= 497500解：从图中可知，该截里的形心C位于二缀板共共的形心上.过C C.C后所得到的坐标系是截里的的二条对付称轴，也便是该截查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：，，，角钢形心主惯性轴取截里形心主惯性轴之间的距离：（注：缀板用实线绘出，表示其里积可忽略没有计）[习题I-19].论断：1、过正圆形形心的一对付相互笔曲的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为整；2、过正圆形形心的一对付相互笔曲的轴，绕形心转化之后，惯性矩、惯性积脆持没有变.[习题I-20]决定图示截里的形心主惯性轴的位子，并供形心主惯性矩.（a ）解：截里的形心主惯性轴取横曲矩形的形心主惯性轴沉合.Ix Iy Ixy-259200000 Ix0= 704109187-259200000Iy0=54184146224)(2120xy y x yx y x I I I I I I I +-±+=(b)解：以20号槽钢（图I ）的下边沿为x 轴，左边沿为y 轴，修坐坐标系.8号槽钢编号为图II.则拉拢截里的形心估计如下：习题I-20(b) 少度单位:cm图形 Ai Xci Yci AiXci AiYci Xc Yc I 10 64 II 16 -15 齐图习题I-20（b ）图形 Ai iabiIxci' Iyci' Ixci Iyci Ixciyci' Ixciyci tan2a0a0Ix0Iy0I 1981 165 0 II齐2296249[习题21]试用近似法供习题I-4出的透彻值相比较.解：圆的圆程为：把y轴的半径10过仄分面，做x轴的仄止线.从下往上，每个分块的中面的y坐标取x坐标如下表所示.[习题I-22]（提示：最简朴的证法是利用惯性积的仄止移轴公式，并利用一对付相互笔曲的坐标轴中有一为截里的对付称轴时，其惯性积为整的特性.）解。
材料力学习题解答(组合变形)
N Mz
D C
D z 150 100
C z
My
Q
解：(1) 将力 P 和 H 向截面形心简化
M = 25 × 103 × 0.025 = 625 N .m
(2) 截面 ABCD 上的内力
N = − P = −25 kN M y = M = 625 N .m M z = H × 0.6 = 3 kN .m
N
如图作截面取上半部分，由静力平衡方程可得
N = P = 15kN
所以立柱发生拉弯变形。 (2) 强度计算 先考虑弯曲应力
上海理工大学 力学教研室
M = 0.4 P = 6kNm来自4σ t max =
d≥
M 32 M = ≤ [σ t ] πd3 W
3
π [σ t ]
32 M
=
3
32 × 6 × 103 = 120.4 mm π × 35 × 106
yc =
A1 y1c + A2 y2 c A
1.4 − 0.05 − 0.016 ⎞ ⎛ 1.204 × 0.7 + 1.105 × ⎜ 0.05 + ⎟ 2 ⎝ ⎠ = 0.51 m = 0.099
截面对形心轴的惯性矩
1 2 × 0.86 × 1.43 + ( 0.7 − 0.51) × 1.204 = 0.24 m 4 12 1 3 II I zc = × ( 0.86 − 2 × 0.016 ) × (1.4 − 0.05 − 0.016 ) 12
ZA YA P2
YC = P1a / 2 ZC = P2 a / 2
YA = P1a / 2 Z A = P2 a / 2
MzI
(2) 截开 I-I 截面，取左面部分 P1 QzI TI QyI MyI
材料力学截面图形的几何性质习题
附录Ⅰ 截面图形的几何性质
I-1 填空题： I-1(1) 当一个正方形的边长和一个圆形的直径相等时，两图形对 其形心轴的惯性矩之比应为 16 。
3π
I-1(2) 若已知图示平面图形对 A 轴的惯性矩为 27 bh3 ，则图 4
形对 C 轴的惯性矩为 3 bh3 ，对 D 轴的惯性矩为 9 bh3 。
y xC
−α
0
α
= 2 R3 sin α 。 3
x Oα C
R
A = R 2α 。
xC
=
2R3 sin α 3R 2α
=
2 R sinα 3α
。
题 I-4 图
I-5 如图的截面由一个直径为 D 的半圆和一个矩形组成。如果图形的形心位于半圆的水
平直径处，求矩形的高 a。
解：上半圆对形心轴的静矩：
S1
=
12
-1-
B
A
题 I-1(6) 图
工程力学习题解答
I-2 单选题：
I-2(1) 边长为 4a 的正方形，在如图位置挖去一个边长为 a
的小正方形，余下的阴影图形对坐标轴 x、y、x′、y′的静
矩分别为 S x , S y , S x′ , S y′ ，其中只有 C 是对的。
A． S x
=
a3 2
B． S y =
C． I x = I x′ + (a2 + a′2 ) A D． I x = I xC + (a + a′)2 A E． I x = I x′ + 2aa′A + a2 A F． I x = I x′ + 2aSx′ + a2 A
b′ C a′
材料力学 截面的几何性质
O1 O 2
O
x
O3
x 1
C
课堂练习
I.
&
任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零， 则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。
B
A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ 为一对主轴。
y
）时，y-z轴始终保持
A. y轴不动，x轴平移； B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动；
y b C 1x C 2x O a x
æ 1 öæ 2 ö æ 1 öæ h ö = ç bh ÷ç h ÷ + ç ah ÷ç ÷ è 2 øè 3 ø è 2 øè 3 ø
h 2 = (a + 2 b ) 6
形心位置
h
x = 0
h 2 (a + 2 b ) h a + 2 b S x y = = பைடு நூலகம்· = 6 A h 3 a + b (a + b ) 2
主惯性矩:
图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩
形心主轴:
过形心的主轴称为形心主轴
形心主矩:
图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩
课堂练习
I.
&
在下列关于平面图形的结论中，（
）是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 在平面图形的几何性质中，（
y
dA y
ü2、惯性矩和极惯矩永远为正，
惯性积可能为正、为负、为零。
x 1
ü3、任何平面图形对于通过其形
材料力学 附录 截面的几何性质
(Properties of Plane Areas) 三、组合截面的静矩和形心 (The first moments ¢roid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面.
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩.
(Properties of Plane Areas)
§1-1 截面的静矩和形心 (The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩(The first moment of the area ）
截面对 y , z 轴的静矩为
z
S y
zdA
A
Sz
ydA
A
dA z
静矩可正，可负，也可能等于零.
1
矩形 2
A2 10 80 800mm2
y2
10
80 2
50mm
z2 5mm
所以 y A1 y1 A2 y2 23mm A1 A2
z A1z1 A2z2 38mm A1 A2
y1
z1
2 z2
10
O y2
y
90
(Properties of Plane Areas)
方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
yC , zC￣ 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行
的坐标轴(形心轴）
z
Iy , Iz , Iyz — 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积.
zC
IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩
n
Ai zi
z
附录I-截面几何性质-习题答案
习题I −1 试求平面图形的形心位置。
解：由对称 m 3.0c =z m 357.02.04.04.02.02.06.07.02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y解：m 093.04.01.01.03.005.04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z m 193.04.01.01.03.03.04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=yI −2 试求平面图形的形心坐标。
解：O(c)(a)z(b)l n n dzz zdzz z lnln2100c ++==⎰⎰()2c +=-=⎰⎰n ldzz ydyy l y nlnl n n解：由对称 r z =cπππ342322223222cr rr rydyy ry r==-=⎰I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。
（图中C 为截面形心）解：3c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S zzO(d)(a)(b)解：3c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S zI −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。
（z 轴通过截面形心） 解：()64646442414241d d d d I z -=-=πππ解：12121242414241a a a a I z -=-=I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。
解： 432bh y bdy h y I hz =⎪⎭⎫⎝⎛⋅=⎰I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。
其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。
(a)a(b)C解： 444m 3927.06422164211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππd I z由（I-2）知z 1、 z 0之间的距离π34cr y =所以由2c1Ay I I z z += 得 4222cm1098.0314213927.01=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯-=-=ππAy I I z z于是 4222m30.33141211098.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯+=+=ππAaI I z zI −7 在直径D =8a 的圆截面中，开了一个2a ×4a 的矩形孔，如图所示。
材料力学i 截面的几何性质 习题解
附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ） 解：(b)解：(c)解：[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322cos 1]4[sin ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅= }]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
附录I_截面的几何性质(3学时)
④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — 0
3
y
h/2 h/2 b/2 b/2
dy
hb 3 I y z dA z 2 bdz A b 2 12
b 2
y z
I yz
A
yzdA
h/ 2
h/ 2
ydy
b/ 2
b / 2
zdz 0
h/2
y z
dz
z
如果截面图形有一个对称轴，截 面图形对与对称轴组成正交坐标 系的轴的惯性积为零。
100
z1
２、求静矩
z
20
Sz = yCAi
＝80 × 2 × 100 × 20＝32 × 10４
8
dfafdf
Dept. of Mech.
•法二：若不求形心
Sz = AiyCi＝20× 100 × 110＋20 × 100 × 50 ＝32 × 10４mm3 法三： Sz =120 × 100 × 60-2 × 100 × 40 × 50 = 32 × 10４mm3
Iz I y 2
2
y
y1
z z1 y
dA
y1
z1
z
Iz I y 2
cos 2 I y z sin 2 I
2 cos 2 I y z sin 2 I 90
I y1
Iz I y
Iz I y
I y1 I z1 I y I z C I z 1 y1
I-1 截面的静矩和形心位置
【材料力学】第五章 截面的几何性质习题答案
5-1 试用积分法确定图示平面图形的形心位置。
解：（1）建立极坐标极坐标（α，ρ），取微面积dA d d ραρ=⋅。
则cos yρα=，（2）求形心位置222322cos ()cos 43434r r AC d d d d ydA rrr y AA rππραρραρρααπππ⋅⋅⋅⋅=====⎰⎰⎰⎰⎰由对称性可知：43Cr z π=。
图形形心为（43r π，43r π）。
y700图题5-1b 图题5-2b5-2 确定图示平面图形力的形心位置。
解：（1）选取通过矩形I 的形心C 1，矩形II 形心C 2，矩形III 形心C 3 （2）求形心位置 由于截面左右对称，故：400m mCz=。
3131150400150150800200400150500150700222m m =305m m150800200400500150i C ii C ii A y y A ==⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⨯+⨯++⨯∑∑图形形心为（305，400）。
5-4(a)题5-4图解：（1）矩形341212z bhaI ==（2）箱形箱形与方形面积，即：22226 5.4 5.4a a bt at t ==→=333322224(0.9)(1.8)(0.9)(1.8)()(2)()(2)5.45.45.45.4121212120.4567z a a a a a a a a b t b t b t b t I a++--++--=-=-=（3）工字形截，即：面23332 1.62 5.2a a at at t =⨯+→=工字形截面方形面积33333341.6(22)(1.6)81.6(22)(1.6)8 5.25.2121212120.8695z a aa a a aa a t a t aI a+⨯-+-=-=-=10.45670.869515.4810.4312z z z I I I ==工方箱：：：：：：5-8图示矩形h=2b=200mm ，（1）试求矩形通过坐标原点O 1的主惯性轴的位置及主惯性矩。
材料力学-截面几何特性
I 0 xC 2 yC 2
IxC IxC1 A1 yc21 IxC2 A2 yc22 1104 mm4 1200mm2 (15mm)2 28.58mm4 700mm2 (25mm)2 100.33mm4
64
9 /2
Ix2 Ix2C A2 (a xc2 )2 28mm 4 (80mm )2 (100 17)2 8 3467mm4
组合截面对x轴的惯性矩为
I x I x1 2I x2 5333mm4 23467mm4 12270mm4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 ·截面 的主惯性轴和主惯性矩
A
A ( yC b)2 dA
A ( yC2 2byC b2 )dA
I xC 2bSxC b2 A
Ix IxC 2bSxC b2 A
因为C为形心
SxC AyC 0
y
yC
x
dA
a
r
bC y
xC
x
I x I xC b2 A 同理：
I y I yC a2 A I xy I xC yC abA I p I pC (a2 b2 ) A
C1
80
x
图(b)
x
xi
Ai
x 1
A1x
2
A2
A
A1A2
409600 45 7700 19.7mm 9600 7700
y
yi Ai
y 1
A1
y
2
A2
A
A1 A2
609600 65 7700 39.7mm 9600 7700
材料力学-截面的几何性质
1 2
(
I
y
Iz)
1 2
(
I
y
Iz )cos 2
I yz sin
2
I z1
1 2
(
I
y
Iz)
1 2
(
I
y
Iz )cos 2
I yz sin
2
(a)
I y1z1
1 2
(
I
y
Iz )sin
2
I yz sin
2
4.2 主惯性轴和主惯性矩(principal moment of inertia)
A
y2dA
A
z2dA
A
Iz Iy
此式说明了极惯性矩与轴惯性矩之间的关系。
z y
o
A dA
z y
惯性积
定义
I yz
yzdA
A
z A
y
dA
为图形对y、z轴的惯性积 。
z
o
y
惯性积的数值可正，可负，也可为零。惯性积的量纲是[长 度]4 ，常用单位为m4和mm4。
定理：若有一个轴是图形的对称轴，则图形对这对轴 的惯性积必然为零。
例题 试求图示图形对形心轴的惯性矩和 惯性积。
解：将图形看作是两个矩形的结合。 形心坐标为
yc 0
zc
A1z1 A1
A2 z2 A2
103.3mm
z 100
20
I CI
C
140
CII
103.3
II
a1 a2 y
y
20
求图形对y、z轴的惯性矩
z 100
I z I zI I zII
201003 140 203
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附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ）解：习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形 Li BiAiY ci AiYciYc离顶边上 400 28000 160 1280000左 150 2300075 225000右15020 300075 225000140001730000Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑Ai(b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置矩形 L i B iAi Y ci AiYc i Y cX ci AiX ci X c下16010 160580008128000左910 9005549500 5450025057502313250053Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai(c)解：习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置型钢号 Ai (cm2)Yc i(cm)AiYci (cm3) Y c(cm)Xc i(cm)AiXci (cm3) X c(cm)槽钢20 10 等边角钢80*10Yc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322cos 1]4[sin ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅=}]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
解：圆的方程为：222r y x =+如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：dy y r dA 222-=切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：dy y r y I r r x 22sin sin 22-=⎰-ααααsin sin 42222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=)4sin 41(24αα-=r)4sin 4(84αα-=r 2221100)20100(=-+x360021=x )(601mm x =346020100tan =-=α )(927.013.5334arctan 0rad ===α)(10963.3)52.212sin 927.04(81004704mm I x ⨯=-⨯=[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。
dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z az a Az ⎰⎰⎰⎰⎰+--+---+==2202222222222222][22202202220222dy y dz dy y dz a a z a z a ⎰⎰⎰⎰+-+-+⋅=[][]][322202203222203⎰⎰+--++⋅=a a z aa z dz y dz y])22()22()22()22([3222030223⎰⎰+-+--++⋅=-a a a z d a z a z d a zaaazaz2242244)22(324)22(32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+16163244aa124a=故正方形对其的对角线的惯性矩为：124aIz=。
[习题I-7]试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。
(a)解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mmDIx=-⨯⨯=-=απ(b))(9044999915090121210150121433mmIx=⨯⨯-⨯⨯=[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩所以再次应用平行轴定理，得[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。
解：由于三圆直径相等，并两两相切。
它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。
该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是上面一个圆的圆心到 轴的距离是d 632。
利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。
解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是 。
利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 )(657600002)1012011510120121(104.34237mm I z =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯= （b ）等边角钢 的截面积是，其形心距外边缘的距离是 mm ，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：习题I-11（b ）图图形 b h Ixc a A Ix中间矩形16000 0 6000上矩形250120833 30525003下矩形250120833 30525003左上L形17951019265右上L形17951019265左下L形17951019265右下L形17951019265AaIIxcx2+=45[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。
关于形心位置，可利用该题的结果。
解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。
惯性矩计算如下：[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。
习题I-13(a)图形bihiAi YciAiYci YcaiIxc Ix(mm4)上矩形100010010000065022533下矩形30060018000030012500 00全图2800000 425习题I-13(c)图形bihir AiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形21401150246100057500 83331598275半圆790-980333335-7 791399习题I-13( b)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxc Ix(mm4)上图(3)25150375027510312501487031250中图(2)2001503000012537500002下图(1)10055000251250001021041667全图387504906250127全图148066733734半圆：π3/4r y c =半圆：ππ9/88/44r r I xc-=习题I-13(d)图形b ih iA iY ciAiY ciY caiIxciIx(mm 4)从下往上22016352082816037475093318014 25202357960359 4116016674107843673957728992201430807112189880329 50307744594005289361334127034523909912734138214[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42⨯的矩形孔，如图所示。
试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。
解：先求形心主轴 的位置截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：（y 轴向下为正）（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）（组合图形对形心轴x 的惯性矩）习题I-14b (a) h (a) r (a) Ai (a2) Yc i(a) A iYci Y c(a)I xca iIx (a4)矩形4 2 1 -8 圆 4 0 0-8[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100=的半圆形孔，如图所示。
试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。
解：习题I-15图形b ihir AiY ciAiYciYcIxci a iIx 正方形20020040000 100 40000003 21 半圆5-3927 79 -309365 685977 24 2860346全图3607336906351025 π34100r y c -= ππ98844r r I xc -⋅=A a I I xc x 2+=形心位置：X （0，102）。
对水平形心轴的惯性矩：4130686455mm I x =。
对竖直形心轴的惯性矩：)(13087896685014159.31220081244444mm r a I y =⨯-=⋅-=π习题I-15图形 a r Iy （mm 4） 正方形200半圆50 2454367全图6 81244r a I y ⋅-=π[习题I-16] 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩x I 和y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴、 的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。