2017年江苏省南通市高考数学二模试卷
江苏省普通高等学校2017年高三招生考试20套模拟测试数学试题二 含解析 精品
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：1. 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x －)2，其中x －＝1n ∑i ＝1nx i ；2. 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合A ＝{x|－1≤x ≤1}，则A ∩Z ＝______________．2. 若复数z ＝(1－i)(m ＋2i)(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为____________．3. 数据10，6，8，5，6的方差s 2＝____________．4. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记落在桌面的底面上的数字分别为x ，y ，则xy为整数的概率是________．(第6题)5. 已知双曲线x 2－y 2m2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝______________．6. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是__________．7. 底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的体积为____________．8. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝__________．9. 已知|a|＝1，|b|＝2，a ＋b ＝(1，2)，则向量a ，b 的夹角为____________． 10. 直线ax ＋y ＋1＝0被圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0截得的弦长为2，则实数a 的值是____________．11. 已知函数f(x)＝－x 2＋2x ，则不等式f(log 2x)＜f(2)的解集为__________．12. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，则φ的最小值为____________．13. 在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为____________．14. 已知函数f(x)＝e x －1＋x －2(e 为自然对数的底数)，g(x)＝x 2－ax －a ＋3，若存在实数x 1，x 2，使得f(x 1)＝g(x 2)＝0，且|x 1－x 2|≤1，则实数a 的取值范围是____________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝4，c ＝6，且asinB ＝2 3. (1) 求角A 的大小；(2) 若D 为BC 的中点，求线段AD 的长．16.(本小题满分14分)如图，在四棱锥PABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于点O ，且平面PAC ⊥底面ABCD ，E 为棱PA 上一点．(1) 求证：BD ⊥OE ；(2) 若AB ＝2CD ，AE ＝2EP ，求证：EO ∥平面PBC.已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋k(n ∈N *，k ∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4. (1) 若k ＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2) 若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .18. (本小题满分16分)如图，墙上有一壁画，最高点A 离地面4 m ，最低点B 离地面2 m ，观察者从距离墙x m(x ＞1)，离地面高a m(1≤a ≤2)的C 处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ.(1) 若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？ (2) 若tan θ＝12，当a 变化时，求x 的取值范围．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF.(1) 若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2) 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3) 求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP.20. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝cosx ＋ax 2－1，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 当a ＝1时，求函数f(x)在[－π，π]上的最值； (3) 若对于任意的实数x 恒有f(x)≥0，求实数a 的取值范围.(二)1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题．2. －2 解析：z ＝(1－i)(m ＋2i)＝ m ＋2＋(2－m)i 是纯虚数，则m ＝－2.本题主要考查纯虚数的概念及四则运算等基础知识．本题属于容易题．3. 165 解析：平均数为7，由方差公式得方差s 2＝165.本题考查了平均数及方差的概念及计算公式．本题属于容易题．4. 12 解析：本题的基本事件数为16，x y 为整数的的基本事件数为8，则所求的概率是12.本题考查古典概型，属于容易题．5. 33 解析：双曲线x 2－y 2m 2＝1(m ＞0)的一条渐近线方程为x ＋y m＝0，与x ＋3y ＝0是同一条直线，则m ＝33.本题考查了双曲线方程与其渐近线的方程之间的关系．本题属于容易题．6. －1 解析：由流程图知循环体执行8次，第1次循环S ＝12，n ＝2；第2次循环S＝－1，n ＝3；第3次循环S ＝2，n ＝4，…，第8次循环S ＝－1，n ＝9.本题考查了算法及流程图的基本内容．本题属于容易题．7. 43 解析：底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥的高为1，底面积为4，则体积为43.本题考查了正四棱锥的体积公式．本题属于容易题．8. 4 解析：由a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，得q 3＝2，则a 7 ＝a 1(q 3)2＝4.本题考查了等比数列通项公式，以及项与项之间的关系．本题属于容易题．9. 23π 解析：由a ＋b ＝(1，2)，得(a ＋b )2＝3，则1＋4＋2a·b ＝3，a ·b ＝－1＝|a||b|cos θ，cos θ＝－12，则θ＝23π.本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系．本题属于容易题．10. －2 解析：由圆x 2＋y 2－2ax ＋a ＝0的圆心(a ，0)，半径的平方为a 2－a ，圆心到直线ax ＋y ＋1＝0的距离的平方为a 2＋1，由勾股定理得a ＝－2.本题考查了点到直线的距离公式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题．本题属于容易题．11. (0，1)∪(4，＋∞) 解析：∵ 二次函数f(x)＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1，∴ f(0)＝f(2)，结合二次函数的图象可得log 2x<0或log 2x>2，解得0<x<1或x>4，∴ 解集为(0，1)∪(4，＋∞)．本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法．本题属于中等题．12. π6 解析：易知y ＝sin2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)，∵ 图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2φ＝32，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π6.本题考查了三角函数的图象变换与性质．本题属于中等题．13. 58 解析：∵ AO 为△ABC 的角平分线，∴ 存在实数λ(λ≠0)使AO →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →||AB→＋AC →||AC →，即AO →＝12λAB →＋13λAC →，∴ ⎩⎨⎧12λ＝x ，13λ＝y ①.若AB 边上的中线与AB 交于点D ，则AO →＝2xAD→＋yAC →.∵ C 、O 、D 三点共线，∴ 2x ＋y ＝1 ②，由①②得x ＝38，y ＝14，∴ x ＋y ＝58.本题考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理．本题属于难题．14. [2，3] 解析：易知函数f(x)＝e x －1＋x －2在R 上为单调增函数且f(1)＝0，∴ x 1＝1，则|1－x 2|≤1解得0≤x ≤2，∴ x 2－ax －a ＋3＝0在x ∈[0，2]上有解，∴ a ＝x 2＋3x ＋1在x ∈[0，2]上有解．令t ＝x ＋1∈[1，3]，则x ＝t －1，a ＝（t －1）2＋3t ，即a ＝t ＋4t－2 在[1，2]上递减，在[2，3]上递增，则当t ＝2时a 的最小值为2，当t ＝1时a 的最大值为3，∴ a 的取值范围为[2，3]．本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以及换元的应用．本题属于难题．15. 解：(1) 由正弦定理，得asinB ＝bsinA ，(2分)因为b ＝4，asinB ＝23，所以sinA ＝32.(4分)又0＜A ＜π2，所以A ＝π3.(6分)(2) 若b ＝4，c ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝16＋36－2×24×12＝28，所以a ＝27.(8分)因为asinB ＝23，所以sinB ＝217，从而cosB ＝277.(10分)因为D 为BC 的中点，所以BD ＝DC ＝7.在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB·BD ·cosB ，即AD 2＝36＋7－2×6×7×277＝19，所以AD ＝19.(14分)16. 证明：(1) 因为平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC ∩底面ABCD ＝AC ，BD ⊥AC ，BD 平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAC.因为OE ⊂ 平面PAC ，所以BD ⊥OE.(6分)(2) 因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，AC 与BD 交于O ， 所以CO ∶OA ＝CD ∶AB ＝1∶2.因为AE ＝2EP ，所以CO ∶OA ＝PE ∶EA ，所以EO ∥PC. 因为PC ⊂平面PBC ，EO ⊄ 平面PBC ， 所以EO ∥平面PBC.(14分)17. 解：(1) 当k ＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以数列{a n }是等差数列．(2分)设数列{a n }公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－43.(4分)所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝2n ＋n （n －1）2×⎝⎛⎭⎫－43＝－23n 2＋83n.(6分)(2) 由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋k ，即－2＝－4＋k ，所以k ＝2.(8分) 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3.由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2，所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3.(10分)当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3，于是a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3，…，a 3－a 2＝－2×2＋3，a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加，得a n －a 1＝－2[1＋2＋…＋(n －1)]＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n （n －1）2＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2)．(13分)又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *.(14分)18. 解：(1) 当a ＝1.5时，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ＝0.5 m ，且θ＝∠ACD－∠BCD ，由已知观察者离墙x m ，且x ＞1，则tan ∠BCD ＝0.5x ，tan ∠ACD ＝2.5x，(2分)所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD)＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255，当且仅当x ＝52＞1时，取“＝”．(6分) 又tan θ在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调增，所以，当观察者离墙52m 时，视角θ最大．(8分)(2) 由题意，得tan ∠BCD ＝2－a x ，tan ∠ACD ＝4－a x ，又tan θ＝12，所以tan θ＝tan(∠ACD－∠BCD)＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12，(10分)所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x ，当1≤a ≤2时，0≤a 2－6a ＋8≤3，所以0≤－x 2＋4x ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ≤0x 2－4x ＋3≥0，解得0≤x ≤1或3≤x ≤4.(14分) 因为x ＞1，所以3≤x ≤4，所以x 的取值范围为[3，4]．(16分)19. (1) 解：因为点P(3，1)，所以k OP ＝13.因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1，所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2.(2分) 又点P(3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，解之得a 2＝133，b 2＝134.故椭圆C 的方程为x 2133＋y2134＝1.(4分)(2) 解：由题意，直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，与椭圆C 的方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立消去y ，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c ＝0，解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c 2－a 2）a 2＋c 2，(7分)所以直线BQ 的斜率为k BQ ＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2＋b2a 2c a 2＋c2＝bca 2. 由题意得cb ＝2bca2，所以a 2＝2b 2，(9分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝22.(10分)(3) 证明：因为线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为y ＝cx b ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立，解得两直线交点的坐标⎝⎛⎭⎫b 2c a 2，bc 2a 2.因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2b 2c a 2，2bc 2a 2.(12分)由点P 在椭圆上，得4b 4c 2a 6＋4b 2c 4a 4b 2＝1，又b 2＝a 2－c 2，设c2a 2＝t ，得4[(1－t)2·t ＋t 2]＝1. (*)(14分)令f(t)＝4[(1－t)2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t)－1，因为f′(t)＝4(3t 2－2t ＋1)＞0，所以函数f(t)单调增． 又f(0)＝－1＜0，f(1)＝3＞0，所以f(t)＝0在区间(0，1)上有解，即(*)式方程有解， 故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．(16分) 20. (1) 证明：函数f(x)的定义域为R ，因为f(－x)＝cos(－x)＋a(－x)2－1＝cosx ＋ax 2－1＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3分)(2) 解：当a ＝1时，f(x)＝cosx ＋x 2－1，则f′(x)＝－sinx ＋2x ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2x ，则g′(x)＝－cosx ＋2＞0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，π]上是增函数． 又函数f(x)是偶函数，故函数f(x)在[－π，π]上的最大值是π2－2，最小值为0.(8分) (3) 解：f′(x)＝－sinx ＋2ax ，令g(x)＝f′(x)＝－sinx ＋2ax ，则g′(x)＝－cosx ＋2a ，① 当a ≥12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≥0，所以f′(x)是增函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，故f(x)≥0恒成立．(12分)② 当a ≤－12时，g ′(x)＝－cosx ＋2a ≤0，所以f′(x)是减函数．又f′(0)＝0，所以f′(x)≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而f(0)＝0，f(x)是偶函数，所以f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．(14分)③ 当－12＜a ＜12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g′(x 0)＝0，因为g′(x)＝－cosx ＋2a在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x)＜0，即f′(x)在(0，x 0)上是减函数．又f ′(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)＜0，即f(x)在(0，x 0)上是减函数．而f(0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)时，f(x)＜0，与f(x)≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.(16分)。
江苏省南通市海门中学2017届高三第二次教学质量调研数学试题Word版含答案
海门中学2017届高三第二次教学质量调研数学试卷一、填空题：每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}3,2,0,1{,02|-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=B x x x A ，则=B A ▲ ． 2.已知复数z 满足i z i =+)43(（i 为虚数单位），则=||z ▲ ． 3.函数x x x x f ln )23()(2++=的零点的集合为 ▲ ．4.若31tan ),2,0(,=∈απβα，21)tan(=+βα，则=+βα2 ▲ ． 5.将函数)32sin(π+=x y 图像上的点),12(t P π-，向右平移)0(>k k 个单位长度得到点'P ，若'P 在函数x y 2sin =的图像上，则k 的最小值为 ▲ ．6.已知函数⎩⎨⎧<++-≥+=0),cos(0,sin )(22x x x x x x x f α是奇函数，则=αcos ▲ ． 7.若双曲线),(132222R n m nm y n m x ∈=--+的焦距为4，则实数n 的取值范围为 _____▲ ．8.若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤+-40301y y x y x ，则y x -2)21(的最大值为 ▲ ． 9.设n S 是公差不为零的等差数列}{n a 的前n 项和，若25242322a a a a +=+，且279=S ，则数列}{n a 的通项公式=n a ▲ ．10.已知圆:C 0422=-+x y x 及点)2,1(),0,1(B A -，直线l 平行于AB ，与圆C 相交于N M ,两点，AB MN =若直线l 与直线AB 在圆心C 的同侧，则直线l 的方程为____▲ ．11.若0,0>>b a ，且直线06=-+by ax 与直线052)3(=+--y x b 垂直，则b a 2131+的最小值为 ▲ ．12.设R m ∈，若过点),2(m 存在三条直线与曲线x x y 33-=相切，则实数m 的取值范围是 ▲ ．13.在ABC ∆中，2=AB ，060=∠A ，点D 满足DB CD 2=，且337=AD ，则=∙ ▲ ．14.在ABC ∆中，2tan 2tan 2tan222CB A ++的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若bc A 23)3sin(=+π （1）求角B 的大小；（2）若2,32==c b ，求ABC ∆的面积。
江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(3) Word版含答案
第7题PD A BCE 2017年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 已知集合{1234}A =，，，，{147}B =，，，则A B = ▲ ． 2． 已知复数z 满足i i z =（i 为虚数单位），则||z 3． 已知样本数据12,,n x x x 的均值5x =，则样本数据13x +231,,31n x x ++ 的均值为 ▲ ．4． 执行如图所示的伪代码，则输出的结果为 ▲ ．5． 随机从1,2,3,4,5五个数中取两个数,取出的恰好都为偶数的概率为 ▲ ．6． 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．则数列第10项10a = ▲ ． 7． 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E －P AB 的体积为4，则PA 的长为 ▲ ．8．函数2log y x =，1,324x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为 ▲ ．9． 如果函数3sin(2)y x ϕ=+的图象关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,OA t =- ，()2,2OB =，若OBA ∠为直角三角形，则实数t 的值为 ▲ ．11．若存在实数x ，使不等式2e 2e 10xx a +≥-成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．12．已知正数,a b 满足13a b+=，则ab 的最小值为 ▲ ． 13．已知点(2,3)A ，点(6,3)B -，点P 在直线3430x y -+=上，若满足等式20AP BP λ⋅+=的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ▲ ．14．设函数()33,2,x x x a f x x x a ⎧-<=⎨-≥⎩，，若关于x 的不等式()4f x a >在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，3B π=． （1）若AC =2BC =，求AB ；（2）若cos A =tan C ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD ,//2DC AB DC AB =，,E 为棱PA 上一点.（1）设O 为AC 与BD 的交点, 若2PE AE =, 求证://OE 平面PBC ； （2）若DE AP ⊥, 求证：PB DE ⊥．17．(本小题满分14分）南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于t 的近似函数的关系为321124100010(t)4(t 10)(3t 41)1001012t t t t V t ⎧-+-+<=⎨--+<⎩，≤，，≤． （1）该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以1i t i -<<表示第i 月份（1212i = ，，，），问一年内哪几个月是衰退期？ （2）求一年内该地区冰川的最大体积．D O PB 第16题 AC E18．(本小题满分14分）已知圆222:(0)O x y r r +=>与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于点()0,1M ,()01N -，，且椭圆的离心率为2. （1）求r 值和椭圆C 的方程；（2）过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A，① 若23MB MA =，求直线l 的方程；② 设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为问:21k k 是否为定值,如果是,求出定值;19．(本小题满分16分）设函数()e ||x f x x a =--，其中a 是实数．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 各项均为正数，2122a a ==，且312n n n na a a a +++=对*n ∀∈N 恒成立，记数列{}n a的前n 项和为n S . （1）证明：数列212{}n n a a -+为等比数列；（2）若存在正实数t ，使得数列{}n S t +为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅． B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵12-14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量32α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算3A α．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ,1cos2x y αα=⎧⎨=-⎩（α为参数），求直线l与曲线C 交点P 的直角坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ∈R ，e a b >>(其中e 是自然对数的底数)，求证:ba ab >．(第21－A 题)【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局比赛中小明获胜的概率为34．(1)求第三局结束后小明获胜的概率；(2)设比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．23．设0()(1)nk knk m P n m C m k==-+∑，，()nn m Q n m C +=，，其中*m n ∈N ，． （1）当1m =时，求(1)(1)P n Q n ⋅，，的值； （2）对m +∀∈N ，证明：()()P n m Q n m ⋅，，恒为定值．2017年高考模拟试卷(3)参考答案一、填空题1.{1,4}2.23.164.115.1106.227.48.[0,5]9.3π. 由题意可知当56x π=时，0y =，即有5sin()03πϕ+=，解得5,3x k k Z ππ=-∈，化简得()2,3x k k Z ππ=-+∈，所以ϕ的最小值为.3π 10.5. OBA ∠为直角，有0OB AB ⋅= ，即有()0OB OB OA ⋅-= ，所以2OA OB OB ⋅= ;代入坐标得228t -+=，所以 5.t =11.[1,)-+∞12.因为,a b 为正数，13a b =+≥，即有ab ≥当且仅当1313a ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即a b ==时，取“=”.13. (,2)-∞.设(,)P x y ，则()2,3A P x y =--，()6,3BP x y =-+，根据20AP BP λ⋅+= ，带入坐标化简有()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭.由题意圆：()221341322x y λλ⎛⎫-+=-< ⎪⎝⎭圆与直线3430x y -+=相交，圆心到直线的距离3d ==< 2.λ<14. )1,2⎛⎫-∞∞⎪⎝⎭.当1a ≤-，函数()f x 有最大值2a -，此时24a a ->， 解得0a <，又因为1a ≤-，所以1a ≤-；当12a -<≤，函数()f x 有最大值2，此时24a >解得12a <，又12a -<≤，所以112a -<<当2a >，函数()f x 无最大值，因为取不到33a a -，所以334a a a -> 即370aa ->解得0,a <<或a >又因为2a >，所以a >综上所述，a 的取值范围是)1,2⎛⎫-∞∞ ⎪⎝⎭.二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，3B π=,AC =2BC =. 由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅,得21242AB AB =+-，即2280AB AB --=解之得4AB =，2AB =-（舍去）．（2）cos 013A =>，得 02A π<<，sinA 13==tan cos SinA A A ==3B π=,所以tan tan tan tan()1tan tan A B C A B A B +=-+=--5==． 16．（1）在AOB ∆与COD ∆中，因为//,2DC AB DC AB =， 所以12AO AB CO CD ==，又因为2PE AE =， 所以在APC ∆中,有12AO AE CO PE ==，则//OE PC . 又因为OE ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以//OE 平面PBC ． （2）因为AB ⊥平面PAD ， DE ⊂平面PAD ， 所以AB DE ⊥. 又因为AP DE ⊥,AB ⊂平面PAB ,AP ⊂平面PAB ,AP AB A = ， 所以DE ⊥平面PAB ， PB ⊂平面PAD ，所以.DE PB ⊥ 17. (1)当010t <≤时，32(t)1124100100V t t t =-+-+<， 化简得 211240t t -+> ，解得3t <或8t > ， 又010t <≤，故04t <<或810t <≤，当1012t <≤时， (t)4(t 10)(3t 41)100100V =--+<，解得 41103t <<，又1012t <≤，故1012t <≤． 综上得 04t <<，或812t <≤．所以衰退期为1月，2月，3月，4月， 9月，10月，11月，12月共8个月． (2)由(1)知：(t)V 的最大值只能在()4,9内取到．由()''32V (t)1124100t t t =-+-+232224t t =-+-令`(t)0V =，解得6t = 或43t =(舍去)． 当t 变化时，`(t)V 与(t)V 的变化情况如下表：由上表，(t)V 在t ＝6时取得最大值 (6)136V = (亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．（1）因为圆222:O x y r +=与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>相交于点()0,1M所以1b r == . 又离心率为2c e a ==,所以a =所以椭圆22:12x C y +=． （2）因为过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于,A B 两点，所以设直线l 的方程 为()10y kx k =+≠，由22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()222140k x kx ++=，所以222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 同理2211y kx x y =+⎧⎨+=⎩得到()22120k x kx ++=， 所以22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 因为23MB MA = ， 则224223211k kk k --=++则因为0k ≠，所以2k =±，即直线l的方程为12y x =±+. ②根据①222421,2121k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭，22221,11k k A k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭， 221211121A N NAA N k y y k k k k x x k -++-+===--+ 1k =-，222221121421B NNB B N k y y k k k k x x k -++-+===--+12k =-， 所以2112k k =为定值. 19．（1）因为e ()e ||e x xx x a x a f x x a x a x a ⎧-+⎪=--⎨+-<⎪⎩，≥，=，，则e 1()e 1x x x a f x x a ⎧-⎪'⎨+<⎪⎩，≥，=，，因为()f x 在R 上单调递增，所以()0f x '≥恒成立，当x a <时，()e 110x f x '+>=≥恒成立，当x a ≥时，()e 10x f x '-=≥恒成立， 故应()0f a '≥，即0a ≥．（2）由（1）知当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，不符题意，所以有0a <． 此时，当x a <时，()e 110x f x '+>=≥，()f x 单调递增，当x a ≥时，()e 1x f x '-=，令()0f x '=，得0x =，所以()0f x '<在(),0a 上恒成立，()f x 在(),0a 上单调递减，()0f x '>在()0,+∞恒成立，()f x 在上单调()0,+∞递增.所以()=()e a f x f a =极大，()=(0)1+f x f a =极小，即0a <符合题意.由2121()()()f x f x k x x --≥恒成立，可得e 1a a ka --≥对任意0a <恒成立， 设()e (1)1a g a k a =-+-，求导，得()e (1)a g a k '=-+，① 当1k -≤时，()0g a '≥恒成立，()g a 在(0)-∞，单调递增，又因为1(1)0g k -=+<，与()0g a >矛盾；②当0k ≥时，()0g a '≤在(0)-∞，上恒成立，()g a 在(0)-∞，单调递减， 又因为(0)0g =，所以此时()0g a ≥恒成立，符合题意；③当10k -<<时，令()0g a '>在(0)-∞，上的解集为(ln(1)0)k +，， 即()g a 在(ln(1)0)k +，上单调递增，又因为(0)0g =，所以)(ln(1)0g k +<不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0)+∞，． 20．（1）证明：由312n n n n a a a a +++=，可知323311n n n n a a aa a a a +++==== ， 所以212232123212212()n n n n n n n na a a a a a a a a a ++---++==++，当1n =时，123a a +=，即数列212{}n n a a -+是以3为首项，3a 为公比的等比数列．（2）法一, 由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列．故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++ ．333(1)1k a a -=-故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++ ． 333(2)(1)11k a a a +-=+-． 又因为{}n S t +为等比数列，故有()()()221n n n S t S t S t ++++=+,对n +∀∈N 恒成立，所以()()()222221k k k S t S t S t ++++=+和()()()2212322k k k S t S t S t +++++=+对k +∀∈N 恒成立，即()()()2133********333333332(1)3(1)3(1)11112(1)2(1)3(1)11111k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a +++⎧⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫--⎪++=++ ⎪⎪⎪---⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪+-+-⎛⎫-++++=+⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩对k +∀∈N 恒成立,解得34a =，1t =，此时()()()2132111S S S ++=+也成立. 所以34a =，1t =，即21n n S =-得到12n n a -=．法二,由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列． 故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++333(1)1k a a -=- 333311k a a a =--- 要使得{}n S t +为等比数列必有2{}k S t +为等比数列,即有331t a =-成立① 故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++ ． 333(2)(1)11k a a a +-=+-． 333322111k a a a a a ++=-+-- 要使得{}n S t +为等比数列必有21{}k S t ++为等比数列,即有33211a t a +=--成立② 联立①②得31,4t a ==以下同解法一法三,由（1），同理可知，数列221{}n n a a ++是以32a +为首项，3a 为公比的等比数列． 故当2n k =时，()()()21234212k k k S a a a a a a -=++++++ ．333(1)1k a a -=-故当21n k =+时，()()()21123451k n n S a a a a a a a +-=+++++++ ． 333(2)(1)11k a a a +-=+-． 要使得{}n S t +为等比数列必有()()()2243S t S t S t ++=+和()()()2132S t S t S t ++=+解得31,4t a ==,通过验证31,1t a ==时, {}n S t +为等比数列. 以下同解法一第II 卷（附加题，共40分）21.A . 连接AD ，因为AB 为圆O 的直径， 所以0=90ADB ∠,又0=90EF AB AFE ⊥∠，，则,,,A D E F 四点共圆，,BD BE BA BF ∴⋅=⋅,又ABC ∆～AEF ∆，即AB AF AE AC ⋅=⋅.BE BD AE AC BA BF AB AF ∴⋅-⋅=⋅-⋅()AB BF AF =⋅-2AB =.B ．因为212()5614f λλλλλ--==-+- ，由()0f λ=，得=2λ或=3λ． 当=2λ时，对应的一个特征向量为12=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当=3λ时，对应的一个特征向量为21=1α⎡⎤⎢⎥⎣⎦．设321=211m n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得11m n =⎧⎨=⎩, 所以()3312A A ααα=+3312A A αα=+ 332143=12+13=1135⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ C ．因为直线l 的极坐标方程为π()3θρ=∈R ，所以直线l的直角坐标方程为y =， 又因为曲线C 的参数方程为2cos ,1cos2x y αα=⎧⎨=-⎩所以曲线C 的普通方程为[]212,2,22y x x =-+∈-,联立解方程组2122y y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ .解得3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩所以点P的直角坐标为(3-.D ．0,0a b b a >> ， ∴要证b a a b >，只要证ln ln a b b a > 只要证ln ln b a b a >， 构造函数()()ln ,,x f x x e x=∈+∞. ()()21ln ,,x f x x e x-'=∈+∞， ()0f x '<在区间(),e +∞恒成立， 所以函数(),x e ∈+∞在上是单调递减，所以当e a b >>时，有()()f b f a >即ln ln b a b a>，得证. 22．(1) 记“第三局结束后小明获胜”为事件A ， 则3327()()464P A ==． (2) 由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()+()4416P X ===， 131333311345(4)()()+()()4444128P X C C ===，27(5)1(3)(4)128P X P X P X ==-=-==． 所以比赛局数X 的分布列为74527483()345.16128128128E X =⨯+⨯+⨯= 23．（1）当1m =时，1100111(1)(1)(1)111n n k kk k n n k k P n C C k n n ++===-=-=+++∑∑，， 又11(1)1n Q n C n +==+，，显然(1)(1)1P n Q n ⋅=，，. （2）0()(1)n k k n k m P n m C m k ==-+∑，111111(1)()(1)n k k k n n n k m m C C m k m k ----==+-++-++∑1111111(1)(1)n n kk k k n n k k m m C C m k m k ----===+-+-++∑∑111(1,)(1)n k k n k m P n m C m k --==-+-+∑0(1,)(1)n k k n k m m P n m C n m k==-+-+∑ (1,)(,)m P n m P n m n =-+即()(1)n P n m P n m m n =-+，，， 由累乘，易求得!!1()(0)()!n n m n m P n m P m n m C +==+，，， 又()n n m Q n m C +=，，所以()()1P n m Q n m ⋅=，，．。
(江苏)高三数学-江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研数学试卷 Word版含解析
2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B=．2．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是．3．函数的单调增区间为．4．函数的定义域为．5．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为．6．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=．8．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．9．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=．10．已知椭圆C：=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为．11．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．12．已知函数f（x）=，当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是．13．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=，则AB的长为．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求角B的值．17．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B 在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？18．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y ﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）•是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f （x ）的图象在点（x 0，f （x 0））和点处的切线互相垂直，求a 的取值范围；（3）若函数f （x ）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m ，使f （x ）＜m 对任意的x ∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知点P 是直线2x ﹣y +3=0上的一个动点，定点M （﹣1，2），Q ，是线段PM 延长线上的一点，且PM=MQ ，求点Q 的轨迹方程．22．设圆x 2+y 2+2x ﹣15=0的圆心为A ，直线l 过点B （1，0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．23．已知函数f （x ）=ln （1+x ），x ∈[0，+∞），f'（x ）是f （x ）的导函数．设g （x ）=f （x ）﹣axf'（x ）（a 为常数），求函数g （x ）在[0，+∞）上的最小值． 24．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A （﹣1，1），P 是动点，且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP +k OA =k PA （1）求点P 的轨迹C 的方程（2）若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点，且=λ，直线OP 与QA 交于点M ．问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省南通市如东高中高三（上）第二次调研数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．若集合A={﹣1，0，1}，B={x|0＜x＜2}，则A∩B={1} ．【考点】交集及其运算．【分析】根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，由交集的意义可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，集合B为（0，2）之间所有的实数，而A中的元素在（0，2）之间只有1，故A∩B={1}．2．若命题“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是[﹣1，3] ．【考点】特称命题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0”，则相应二次方程有重根或没有实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（1﹣a）x+1＜0是假命题，∴x2+（1﹣a）x+1=0没有实数根或有重根，∴△=（1﹣a）2﹣4≤0∴﹣1≤a≤3故答案为：[﹣1，3]．3．函数的单调增区间为．【考点】复合函数的单调性．【分析】根据正切函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：由kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，k∈Z，即函数的单调递增区间为；故答案为：．4．函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，3）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＜3且x≠2，故函数的定义域是（﹣∞，2）∪（2，3），故答案为：（﹣∞，2）∪（2，3）．5．若幂函数f（x）=x a的图象经过点A（4，2），则它在A点处的切线方程为x ﹣4y+4=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出幂函数的解析式，然后根据题意求出解析式，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=4处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可．【解答】解：∵f（x）是幂函数，设f（x）=xα∴图象经过点（4，2），∴2=4α∴α=∴f（x）=f'（x）=它在A点处的切线方程的斜率为f'（4）=，又过点A（4，2）所以在A点处的切线方程为x﹣4y+4=0故答案为：x﹣4y+4=06．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=9．【考点】函数的值．【分析】由条件利用指数函数、对数函数的运算性质，求得f（﹣2）+f（log212）的值．【解答】解：由函数f（x）=，可得f（﹣2）+f（log212）=（1+log24 ）+=（1+2）+=3+6=9，故答案为：9．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）=sin（2x﹣）．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象求出函数f（x）的解析式即可得到结论．【解答】解：由图象知A=1，，即函数的周期T=π，∵T=，∴ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴+φ=+2kπ，即φ=+2kπ，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=sin（2x+），将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣），故答案为：sin（2x﹣）8．已知函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，在[0，3]上单调递减，并且f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），则m的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的定义先求出a的值，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：因为函数f（x）在定义域[2﹣a，3]上是偶函数，所以2﹣a+3=0，所以a=5．所以f（﹣m2﹣）＞f（﹣m2+2m﹣2），即f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2），所以偶函数f（x）在[﹣3，0]上单调递增，而﹣m2﹣1＜0，﹣m2+2m﹣2=﹣（m ﹣1）2﹣1＜0，所以由f（﹣m2﹣1）＞f（﹣m2+2m﹣2）得，解得．故答案为．9．若双曲线的离心率为3，其渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，则m=8．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于双曲线的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2x，渐近线与圆x2+y2﹣6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵双曲线的离心率为3，∴c=3a，∴b=2a，取双曲线的渐近线y=2x．∵双曲线的渐近线与x2+y2﹣6y+m=0相切，∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，∴，∴m=8，故答案为：8．10．已知椭圆C：=1的左焦点为F，点M是椭圆C上一点，点N是MF的中点，O是椭圆的中点，ON=4，则点M到椭圆C的左准线的距离为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，由已知求得M到右焦点的距离，然后结合三种圆锥曲线统一的定义得答案．【解答】解：如图，由椭圆C：=1，知a2=25，b2=9，∴c2=a2﹣b2=16，∴c=4．则e=，∵点N是MF的中点，O是椭圆的中心，ON=4，∴|MF′|=8，则|MF|=2a﹣|MF′|=10﹣8=2，设点M到椭圆C的左准线的距离为d，则，得d=．故答案为：．11．设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α﹣）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用整体构造思想，将cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]利用诱导公式和同角三角函数关系即可求解．【解答】解：∵0，∴，．sin（α+）=∵sin（α+）=故，∴．∴cos（α+）=；又∵，sin（α+）=cos[﹣（α+）]=cos（α）=，∴sin（α）=﹣．cos（2α﹣）=cos[（α+）+（α﹣）]=cos（α+）cos（α）﹣sin（α+）sin（α）=×+=．故答案为：0．12．已知函数f（x）=，当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是[﹣2，8] ．【考点】分段函数的应用．【分析】x＜﹣2时，函数单调递减，﹣2＜x≤0时，函数单调递增，可得当x=﹣2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值﹣16，又当x=8时，y=﹣2x=﹣16，结合条件，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：x≤0时，f（x=12x﹣x3，∴f′（x）=﹣3（x+2）（x﹣2），∴x＜﹣2时，函数单调递减，﹣2＜x≤0时，函数单调递增，∴当x=﹣2时，图象在y轴左侧的函数取到极小值﹣16，∵当x=8时，y=﹣2x=﹣16，∴当x∈（﹣∞，m]时，f（x）的取值范围为[﹣16，+∞），则实数m的取值范围是[﹣2，8]．故答案为：[﹣2，8]．13．在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若•=，则AB的长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件并结合图形可得到，，这样代入进行数量积的运算即可得出，解该方程即可求出AB的长．【解答】解：根据条件：====；∴；解得．故答案为：．14．设函数f（x）=（a∈R，e为自然对数的底数）．若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，则实数a的取值范围是[1，e] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a，x∈[0，1]．利用导数可得函数的单调性，根据单调性求函数的值域，可得a的范围．【解答】解：由题意可得y0=sinx0∈[﹣1，1]，f（y0）=，∵曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，∴存在y0∈[0，1]，使f（y0）=y0成立，即f（x）=x在[0，1]上有解，即e x+x﹣x2=a 在[0，1]上有解．令g（x）=e x+x﹣x2，则a为g（x）在[0，1]上的值域．∵当x∈[0，1]时，g′（x）=e x+1﹣2x＞0，故函数g（x）在[0，1]上是增函数，故g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤a≤e，故答案为：[1，e]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写成文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，点D为BC边上一点，且BD=1，E为AC的中点，．（1）求sin∠BAD；（2）求AD及DC的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，由∠BAD=∠B+∠ADB，利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可求AD，得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理即可解得DC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABD中，因为，所以，即sinB=，…3分所以sin∠BAD=sin（∠B+∠ADB），因为：∠ADB=，所以：sin∠BAD=×=…7分（2）由正弦定理，得…依题意得AC=2AE=3，在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD•CDcos ∠ADC，即，所以DC2﹣2DC﹣5=0，解得：（负值舍去）．…16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求△ABC的面积；（2）设向量，，且，求角B的值．【考点】正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）根据题意，由平面向量的数量积的计算公式，变形化简可得ab=15，借助三角函数基本关系计算可得sinC的值，由三角形面积公式计算可得答案；（2）由向量平行的坐标计算公式可得2sinB（1﹣2sin2）﹣（﹣）cos2B=0，化简可得，进而可得，即可得B的值，分析B、C 的大小关系，可得答案．【解答】解：（1）根据题意，∵，∴，∴ab=15，又∵，C∈（0，π），．所以．（2）根据题意，∵，∴2sinB（1﹣2sin2）﹣（﹣）cos2B=0，即，，即，显然cos2B≠0，所以，所以或，即或，因为，所以，所以（舍去），即．17．如图，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B 在圆的直径上，C，D，E在圆周上．（1）设∠BOC=θ，征地面积记为f（θ），求f（θ）的表达式；（2）当θ为何值时，征地面积最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型．，可求f（θ）的表达式；【分析】（1）利用f（θ）=2S梯形OBCE（2）求导数，确定函数的单调性，即可求得最值．【解答】解：（1）连接OE，OC，可得OE=R，OB=Rcosθ，BC=Rsinθ，θ∈（0，）=R2（sinθcosθ+cosθ）；∴f（θ）=2S梯形OBCE（2）求导数可得f′（θ）=﹣R2（2sinθ﹣1）（sinθ+1）令f′（θ）=0，则sinθ=∵θ∈（0，）∴θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，θ∈（，）时，f′（θ）＜0，∴θ=时，f（θ）取得最大，即θ=时，征地面积最大．18．如图所示，已知圆A的圆心在直线y=﹣2x上，且该圆存在两点关于直线x+y ﹣1=0对称，又圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l 与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．（1）求圆A的方程；（2）当时，求直线l的方程；（3）（+）•是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．【考点】向量在几何中的应用．（1）设出圆A的半径，根据以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0【分析】相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程；（2）根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线l过点B（﹣2，0），求出直线的斜率，进而得到直线l的方程；（3）由直线l过点B（﹣2，0），我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论（+）•是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论．【解答】解：（1）由圆存在两点关于直线x+y﹣1=0对称知圆心A在直线x+y﹣1=0上，由得A（﹣1，2），设圆A的半径为R，因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，∴，∴圆A的方程为（x+1）2+（y﹣2）2=20，（2）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣2符合题意，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0连接AQ，则AQ⊥MN，∵，∴，由，得，∴直线l的方程为3x﹣4y+6=0，∴所求直线l的方程为x=﹣2或3x﹣4y+6=0，（3）∵AQ⊥BP，∴•=0，∴（+）•=2•=2（）•=2（+•）=2•，当直线l与x轴垂直时，得，则=（0，），又=（1，2），∴（+）•=2•=2•=0，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），由，解得，∴=（，），∴（+）•=2•=2•=2（+）=﹣10综上所述，（ +）•是定值，且为﹣1019．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．【解答】解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率．由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以，于是，从而，即，则直线ON的斜率，又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m．从而，即k OT=k ON，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1（a∈R）．（1）若，求a的值；（2）若存在，使函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））和点处的切线互相垂直，求a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，则是否存在实数m，使f（x）＜m对任意的x∈[1，+∞）恒成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）若，代入计算，建立方程，即可求a的值；（2）利用切线互相垂直，整理得，设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，即可解得a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有两个极值点，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，求出a的取值范围，即可得出结论．【解答】解：（1）由得，，解得…（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，，由题意得，即，…整理得，设，由，得t∈（2，3），则有8t2﹣6at+a2+5=0，…设f（t）=8t2﹣6at+a2+5，则f（t）在t∈（2，3）上有零点，考虑到f（2）=32﹣12a+a2+5=（a﹣6）2+1＞0，所以或，解得或8≤a＜11，所以a的取值范围是…（3），令g（x）=﹣2x2+ax﹣4，由题意，g（x）在区间（1，+∞）上有两个不同零点，则有，解得…设函数f（x）的两个极值点为x1和x2，则x1和x2是g（x）在区间（1，+∞）上的两个不同零点，不妨设x1＜x2，则①，得且关于a在上递增，因此…又由①可得②，当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减；x∈（x1，x2）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（x2，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减，结合②可得=…设，则，所以h（x）在上递增，所以，从而，所以，又f（1）=0，所以存在m≥3﹣4ln2，使f（x）＜m，综上，存在满足条件的m，m的取值范围为[3﹣4ln2，+∞）…数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题0分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．已知点P是直线2x﹣y+3=0上的一个动点，定点M（﹣1，2），Q，是线段PM延长线上的一点，且PM=MQ，求点Q的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】利用代入法，即可求点Q的轨迹方程．【解答】解：由题意知，M为PQ中点，…设Q（x，y），则P为（﹣2﹣x，4﹣y），代入2x﹣y+3=0，得2x﹣y+5=0…22．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程．【解答】解：因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，又圆A的标准方程为（x+1）2+y2=16，从而|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4…由题设得A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：…23．已知函数f（x）=ln（1+x），x∈[0，+∞），f'（x）是f（x）的导函数．设g （x）=f（x）﹣axf'（x）（a为常数），求函数g（x）在[0，+∞）上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值．【解答】解：由题意，…令g'（x）＞0，即x+1﹣a＞0，得x＞a﹣1，当a﹣1≤0，即a≤1时，g（x）在[0，+∞）上单调递增，g min（x）=g（0）=ln（1+0）﹣0=0…当a﹣1＞0即a＞1时，g（x）在[a﹣1，+∞）上单调递增，在[0，a﹣1]上单调递减，所以g（x）min=h（a﹣1）=lna﹣a+1…综上：…24．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA（1）求点P的轨迹C的方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=λ，直线OP与QA交于点M．问：是否存在点P ，使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；平行向量与共线向量．【分析】（1）设点P （x ，y ）．由于k OP +k OA =k PA ，利用斜率计算公式可得，化简即为点P 的轨迹方程．（2）假设存在点P ，Q ．使得△PQA 和△PAM 的面积满足S △PQA =2S △PAM ，分两种情况讨论：一种是点M 为线段AQ 的中点，另一种是点A 是QM 的一个三等分点．利用=λ，可得PQ ∥OA ，得k PQ =k AO =﹣1．再利用分点坐标公式，解出即可判断是否符合条件的点P 存在．【解答】解：（1）设点P （x ，y ）．∵k OP +k OA =k PA ，∴，化为y=x 2（x ≠0，﹣1）．即为点P 的轨迹方程．（2）假设存在点P，Q ．使得△PQA 和△PAM 的面积满足 S △PQA =2S △PAM ，①如图所示，点M 为线段AQ 的中点．∵=λ，∴PQ ∥OA ，得k PQ =k AO =﹣1． ∴，解得．此时P （﹣1，1），Q （0，0）分别与A ，O 重合，因此不符合题意．故假设不成立，此时不存在满足条件的点P ．②如图所示，当点M 在QA 的延长线时，由S △PQA =2S △PAM ，可得，∵=λ，∴，PQ∥OA．由PQ∥OA，可得k PQ=k AO=﹣1．设M（m，n）．由，，可得：﹣1﹣x2=2（m+1），﹣x1=2m，化为x1﹣x2=3．联立，解得，此时，P（1，1）满足条件．综上可知：P（1，1）满足条件．。
江苏省南通市、扬州市、泰州市2017-2018学年高三数学二模试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为______．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为______．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿h5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是______．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是______．7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为______．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是______．9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为______．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为______．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是______．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是______．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．20．设数列{a n}的各项均为正数，{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）等比数列{b n}的各项均为正数，，n∈N*，且存在整数k≥2，使得．（i）求数列{b n}公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．2016年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）•z=3，得，∴复数z的实部为．故答案为：．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={a﹣1，a+}，A∩B={0}，∴a﹣1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿h的灯泡只数是1400．【考点】频率分布表．【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000×=1400．故答案为：1400．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率．【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n==10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率p=1﹣=．故答案为：．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出ω+=+2kπ，k∈Z，求出ω的值即可．【解答】解：∵函数，且0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx+＜ωπ+，又当且仅当时，y取得最大值，∴＜ωx+＜ωπ+＜，∴ω+=，解得ω=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得．【解答】解：∵在等比数列{a n}中a2=1，公比q≠±1，a1，4a3，7a5成等差数列，∴8a3=a1+7a5，∴8×1×q=+7×1×q3，整理可得7q4﹣8q2+1=0，分解因式可得（q2﹣1）（7q2﹣1）=0，解得q2=或q2=1，∵公比q≠±1，∴q2=，∴a6=a2q4=故答案为：9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．【解答】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sinB=，∴cosB=．当cosB=时，CD2=22+32﹣2×2×3×=7，则CD=；当cosB=﹣时，CD2=22+32﹣2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，∴=1，解得k=，不妨取k=，PT==，∴PT=RS=，∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，由a＞0，解得a=4．故答案为：4．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x ∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由﹣y2=1，可设x=2secα，y=tanα，则3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=﹣==+，其中﹣1＜sinα＜1，[（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+）=12++≥12+2=12+8，当且仅当=，解得sinα=3﹣2（3+2舍去），取得最小值．则3x2﹣2xy的最小值是6+4．故答案为：6+4．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1]．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）==1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．（2）若A=15°，则B=30°，∵，则由正弦定理可得===2，求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=，b=•2=1，故△ABC的周长为a+b+c=+1+=．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN．（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点，∴AM=PC1，又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，∴四边形AMC1P为平行四边形，∴AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，∴AP∥平面C1MN．（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，而DD1∩DB=D，DD1、DB⊂平面BDD1B1，∴MN⊥平面BDD1B1，又MN⊂平面C1MN，∴平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤ []2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（﹣2x1，﹣2y1），（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），从而得到（）+（）﹣（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为﹣，得到=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），∴A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，①∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，②联立①②，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=2，∴P（﹣2x1，﹣2y1），∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），∴，∴，代入椭圆，得=1，即（）+（）﹣（）=1，③∵A，B在椭圆上，∴+=1，=1，④∵直线OA，OB的斜率之积为﹣，∴=﹣，结合②，知=0，⑤将④⑤代入③，得=1，解得m=．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，化简方程f（x）=x•g（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论．【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式•f（x）≥•g（x）等价为•（x+1）≥•，此时，即x≥0，此时不等式等价为（x+1）x≥（x+3），即2x2+x﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x≥0，∴x≥1，即不等式的解集为[1，+∞）．（2）若k≥0，由f（x）=x•g（x）得（x+k+1）=x，①．由得，即x≥k，∴当x≥0时x﹣k+1＞0，方程①两边平方整理得（2k﹣1）x2﹣（k2﹣1）x﹣k（k+1）2=0，（x≥k），②当k=时，由②得x=，∴方程有唯一解，当k≠时，由②得判别式△=（k+1）2（3k﹣1）2，1）当k=时，判别式△=0，方程②有两个相等的根x=，∴原方程有唯一解．2）0≤k＜且k≠时，方程②整理为[（2k﹣1）x+k（k+1）]（x﹣k﹣1）=0，解得x1=，x2=k+1，由于判别式△＞0，∴x1≠x2，其中x2=k+1＞k，x1﹣k=≥0，即x1≥k，故原方程有两解，3）当k＞时，由2）知，x1﹣k=＜0，即x1＜k，故x1不是原方程的解，而x2=k+1＞k，则原方程有唯一解，综上所述，当k≥或k=时，原方程有唯一解，当0≤k＜且k≠时，原方程有两解．20．设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列；（2）等比数列{b n }的各项均为正数，，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得．（i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）；（ii ）当n ≥2时，，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【分析】（1）数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．利用递推关系可得：a n ﹣a n ﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）（i ）由（1）可得：a n =2n ﹣1，S n =n 2．根据存在整数k ≥2，使得．可得b 1=．b n =k 2•．由，n ∈N *，可得：q n ﹣k ≥，当n=k时，上式恒成立．当n ≥k +1时，可得：（n ﹣k ）lnq=2，利用导数研究其单调性可得：的最大值为k ，q ≥．当n ≤k ﹣1时，q ≤．可得q 的最小值为（整数k ≥2）．（ii ）由题意可得：q ∈N *，由（i ）可知：q ∈，（k ≥2），可得：q ≥＞1，q ≤≤4，q ∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．∴当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n +a n ﹣1＞0（n ≥2），a n ﹣a n ﹣1=2， ∴数列{a n }是等差数列，公差为2． （2）解：（i ）由（1）可得：a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，S n =n 2．∵存在整数k ≥2，使得．∴，可得b1=．∴b n==k2•，∵，n∈N*，∴k2•q n﹣k≥n2，∴q n﹣k≥，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n﹣k）lnq=2，∴≥，令f（x）=，（x＞1），则f′（x）=，令g（t）=1﹣t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，∴的最大值为k，∴≥k，∴q≥．当n≤k﹣1时，q≤．∴q的最小值为（整数k≥2）．（ii）由题意可得：q∈N*，由（i）可知：q∈，（k≥2），∴q≥＞1，q≤≤4，∴q∈{2，3，4}，当q=2时，≤2≤，只能取k=3，此时b n=，舍去．当q=3时，≤3≤，只能取k=2，此时b n=4，舍去．当q=4时，≤4≤，只能取k=3，此时b n=22n﹣3，符合条件．综上可得：b n=22n﹣3．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设B′（x，y），=，求得A′的坐标，写出向量，，=，即可求得x和y，求得点B′的坐标．【解答】解：设B′（x，y），由题意可知：=，得A′（1，2），则=（2，2），=（x﹣1，y﹣2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B′的坐标为（﹣1，4）．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线（θ为参数），利用倍角公式可得y=1﹣2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．由曲线（θ为参数），可得y=1﹣2sin2θ=1﹣2x2（﹣1≤x≤1），联立（﹣1≤x≤1），解得，或，．∴A（﹣1，﹣1），B（0，1），∴|AB|==．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3×=．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=﹣1）=（）3=，P（X=1）=3×=，P（X=0）=3×=，∴参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）==，为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，∴k的最小值为110．24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．【考点】整除的定义．【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m（3）．【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，∴m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，∴m（3）=，同理得：m（1）=，∵，∴m（1）=m（3）．又m（1）+m（3）==24k﹣1，∴m（3）=24k﹣2=42k﹣1．2016年9月20日。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(三)-答案
为直角，有0=OB AB ，即有()0-=OB OB OA ，∴2=OA OB OB ； ， 5． ．[1,)-+∞． 13a b， b时，即，则(=-AP x ，(=-BP x ，根据2+=AP BP λ 2234403|334-+=<+)(7,)+∞1，函数f ， )(7,)+∞15．解：(1)∵在△ABC 中，3=B ，2=AC 2=BC ， 由余弦定理得2222cos =+-AC AB BC AB BC B ， 得21242=+-AB AB ，即2280--=AB AB 解之得4=AB ，2=-AB （舍去）．(2)cos 0=>A ，得π02<<A ，sin ==A sintan cos ==AA A ，又∵π3=B ，∴tan tan 333tan tan()1tan tan 33++=-+=-==-A B C A B A B ． 16．解：(1)在△AOB 与△COD 中， ∵∥DC AB ，2=DC AB ， ∴12==AO AB CO CD ， 又∵2=PE AE ， ∴在△APC 中，有12==AO AE CO PE ，则∥OE PC ． 又∵⊄OE 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ， ∴∥OE 平面PBC ．(2)∵⊥AB 平面PAD ，⊂DE 平面PAD ， ∴⊥AB DE ．又∵⊥AP DE ，⊂AB 平面PAB ，⊂AP 平面PAB ，⋂=AP AB A ， ∴⊥DE 平面PAB ，⊂PB 平面PAD ， ∴⊥DE PB ．17．解：(1)当010<≤t 时，32()1124100100=+-+<V t t t t ， 化简得211240-+<t t ， 解得3<t 或8>t ，又∵010<≤t ，故04<<t 或810<≤t ，当1012<≤t 时，()4(10)(341)100100=--+<V t t t ，得41103<<t ， 又∵1012<≤t ，故1012<≤t ． 综上得04<<t ，或812<≤t ．∴衰退期为1月，2月，3月，4月，…9月，10月，11，12月共8个月． (2)由(1)知：()V t 的最大值只能在(4,9)内取到． 由322()(1124100)32224''=-+-+=+-V t t t t t t 令()0'=V t ， 得6=t 或43=t （舍去）． 当t 变化时，()'V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()V t 在6=t 时取最大值(6)136()=亿立方米V ． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．解：(1)∵圆222:+=x y r O与椭圆22221(0):+=>>x y ab a C b相交于点(0,1)M∴1==b r ．又∵离心率为e 2==c a ， ∴=a∴椭圆22:12+=y C x ．(2)∵过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，∴直线l 的方程为1(0)=+≠y kx k ，由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22(21)40++=k x kx ， ∴222421(,)2121--+++k k B k k ， 同理2211=+⎧⎨+=⎩y kx x y 得到22(1)20++=k x kx ， ∴22221(,)11--+++k k A k k ，∵23=MB MA ，则224223211--=++k kk k ∵0≠k ，∴=k ，即直线l 的方程为1=+y ．②根据①222421(,)2121--+++k k B k k ，22221(,)11--+++k k A k k ，222111121-++-+====---+A N NAA N k y y k k k k x x k k ，22222111214221-++-+====---+B N NB B N k y y k k k k x x k k ， ∴2112=k k 为定值．19．解：(1)∵e ,()e |e ,⎧-+≥⎪=--=⎨+-<⎪⎩x xx x a x af x x a x a x a ，则e 1,()e 1,⎧-≥⎪'=⎨+<⎪⎩x x x a f x x a ，∵()f x 在R 上单调递增， ∴()0'≥f x 恒成立，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x 恒成立， 当≥x a 时，()e 10'=-≥x f x 恒成立， 故()0'≥f a ，即0≥a ．(2)由(1)知当0≥a 时，()f x 在R 上单调递增，不符题意， ∴有0<a ．此时，当<x a 时，()e 110'=+≥>x f x ，()f x 单调递增， 当≥x a 时，()e 1'=-x f x ，令()0'=f x ，得0=x ， ∴()0'<f x 在(,0)a 上恒成立，()f x 在(,0)a 上单调递减，()0'>f x 在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()e ==极大af x f a ，()(0)1==+极小f x f a ，即0<a 符合题意．由2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，可得e 1--≥a a ka 对任意0<a 恒成立， 设()e (1)1=-+-a g a k a ，求导，得()e (1)'=-+a g a k ， ①当1≥-k 时，()0'≥g a 恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递增， 又∵1(1)0e-=+<g k ，与()0>g a 矛盾； ②当0≥k 时，()0'≤g a 在(,0)-∞上恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递减， 又∵(0)0=g ，∴此时()0≥g a 恒成立，符合题意；③当10-<<k 时，令()0'>g a 在(,0)-∞上解集为(ln(1),0)+k ， 即()g a 在(ln(1),0)+k 上单调递增， 又∵(0)0=g ，∴(ln(1))0+<g k 不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0,)+∞． 20．证明：(1)由312+++=n n n n a a a a ，可知323311...+++====n n n n a a aa a a a ，∴212232123212212()++---++==++n n n n n n n na a a a a a a a a a ， 当1=n 时，123+=a a ，即数列212{}-+n n a a 是以3为首项，3a 为公比的等比数列．(2)法一：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 又∵{}+n S t 为等比数列，故有221()()()++++=+n n n S t S t S t ，对+∀∈N n 恒成立， ∴222221()()()++++=+k k k S t S t S t 和222322()()()++++=+k k k S t S t S t 对+∀∈N k 恒成立，即123333333112333333333(1)3(1)(2)(1)()()(1)111(2)(1)(2)(1)3(1)(1)(1)()111+++⎧--+-++=++⎨---⎩+-+--++++=+---k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a 对+∀∈N k 恒成立， 解得34=a ，1=t ，此时2132(1)(1)(1)++=+S S S 也成立．∴34=a ，1=t ，即21=-nn S 得到12-=n n a ．法二：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，3212342123333(1)33()()...()111--=++++++==----k kk k ka S a a a a a a a a a a 要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有331=-t a 成立① 故当21=+n k 时，333321123451333(2)(1)22()()...()11111+-+-++=+++++++=+=-+---k k k n n a a a a S a a a a a a a a a a a ．要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有33211+=--a t a 成立② 联立①②得1=t ，34=a 以下同解法一法三：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 要使得{}+n S t 为等比数列必有2243()()()++=+S t S t S t 和2132()()()++=+S t S t S t 解得1=t ，34=a ，通过验证1=t ，31=a 时，{}+n S t 为等比数列．以下同解法一第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径， ∴90∠=︒ADB ，又∵⊥EF AB ，90∠=︒AFE ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， ∴=BD BE BA BF ，又~△△ABC AEF ，即=AB AF AE AC ．∴2()-=-=-=BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ．B ．∵212()5614--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦f λλλλλ，由()0=f λ，得2=λ或3=λ． 当2=λ时，对应的一个特征向量为121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当3=λ时，对应的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；设321211⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m n ，解得11=⎧⎨=⎩m n ，∴33333312122143()12131135⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A αααααC ．∵直线l 的极坐标方程为π()3=∈θρR ，∴直线l的直角坐标方程为y ，又∵曲线C 的参数方程为2cos 1cos2=⎧⎨=-⎩x y αα，∴曲线C 的普通方程为212,[2,2]2=-+∈-y x x ，联立解方程组2122⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y y x ．解得3⎧=⎪⎨=-+⎪⎩x y3⎧=⎪⎨=-⎪⎩x y∴点P的直角坐标方程为(3-+． D ．∵0>a b ，0>b a ， ∴要证>a b b a ， 只要证ln ln >a b b a只要证ln ln >b ab a，构造函数ln (),(e,)=∈+∞x f x x x ． 21ln (),(e,)-'=∈+∞x f x x x，()0'<f x 在区间(e,)+∞恒成立， ∴函数()f x 在(e,)∈+∞x 上是单调递减，∴当e >>a b 时，有()()>f b f a 即ln ln >b ab a，得证． 22．解：(1)记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464==P A ．(2)由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()()4416==+=P X131333311345(4)()()()()4444128==+=P X C C ，27(5)(3)(4)128===-==P X P X P X ．∴比赛局数X 的分布列为∴比赛局数X 的数学期望是74527483()34516128128128=⨯+⨯+⨯=E X ．23．解：(1)当1=m 时，1100111(,1)(1)(1)111++--=∑-=∑-=+++nn kkk k nn k k P n C C k n n ， 又∵11(,1)1+==+n Q n C n ，显然(,1)(,1)1=P n Q n ． (2)0(,)(1)-=∑-+nk knk mP n m C m k111111(1)()(1)-----=+∑-++-++n k k k nn n k m mC C m k m k111(1,)(1)---=-+∑-+n k k n k m P n m C m k 0(1,)(1)-=-+∑-+n k knk m m P n m C n m k (1,)(,)=-+mP n m P n m n即(,)(1,)=-+nP n m P n m m n， 由累乘，易求得!!1(,)(0,)()!+==+n n mn m P n m P m n m C ，又∵1(,)+=nn Q n m C ，∴(,)(,)1=P n m Q n m ．。
【江苏省南通市】2017届高三年级第二次模拟考试理科数学试卷(附答案与解析)
江苏省南通市2017届高三第一次调研测试理科数学试卷参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．棱锥的体积公式：1V Sh =棱锥，其中S 为棱锥的底面积，h 为高．{3}AB =，则A B =________为虚数单位，则z 的实部为________．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．已知摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为________．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为________．6．若实数x ，y 满足24,37,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则32z x y =＋的最大值为________．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：8．如图，在正四棱柱1111–ABCD A B C D 中，3cm AB =，11cm AA =，则三棱锥11D A BD -的体积为 ______3cm ．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +=为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为________升． 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC12．已知两曲线()2sin f x x =，()cos g x a x =，π(0,)2x ∈相交于点P ．若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．13．已知函数()|||4|f x x x =+-，则不等式2(2)()f x f x +>的解集用区间表示为________．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且A B A C ⊥，则线段BC 的长的取值范围为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A ．以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，5AB =． （1）求cos β的值； （2）若点A 的横坐标为513，求点B 的坐标．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E PC 为的中点，OP OC =，PA PD ⊥．求证：（1）直线PA BDE ∥平面； （2）平面BDE PCD ⊥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O OP 作的垂线交直线y 于点Q ，求2211OP OQ +的值． 18．（本小题满分16分）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F AD 为的中点，点E BC 在边上，裁剪时先将四边形CDFE EF MNFE 沿直线翻折到处（点C ，D BC M 分别落在直线下方点，N 处，FN BC P 交边于点），再沿直线PE 裁剪．（1）当4EFP ∠=π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积； （2）若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）当38a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若10a -≤≤，证明：函数()f x 有且只有一个零点；（3）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，n k a ，…(12k k <<…n k <<…)成等比数列，公比为q ． （1）若11k =，23k =，38k =，求1a d的值； （2）当1a d为何值时，数列{}n k 为等比数列； （3）若数列{}n k 为等比数列，且对于任意n *∈N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立，求1a 的取值范围．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积．B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在棱长为11112ABCD A B C D -的正方体中，11P C D 为棱的中点，1Q BB 为棱上的点，且1(0)BQ BB λλ=≠．（1）若12λ=，求AP AQ 与所成角的余弦值； （2）若直线1AA APQ 与平面所成的角为45︒，求实数λ的值． 23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)x py p =>上的点(,1)M m 到焦点2F 的距离为． （1）求抛物线的方程；（2）如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E x P 处的切线与轴相交于点，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求EAB △面积的最小值．江苏省南通市2017届高三第一次调研测试数学试卷∞2)(2,+)+2,62]二、解答题：本大题共∠OA OB AOBcos2-ABOA OB3，PC PD P=，PCD．PN MN=2m ）解法一：=0 EFDθ(<19．【解】（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)()144x x f x x x x+-'=--=，（0x >）．2分令()0f x '=，得2x =，当(0,2)x ∈时，()0f x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增． 所以当2x =时，()f x 有最小值1(2)ln 22f =--．4分（2）由2()ln f x ax x x =--，得2121()21,0ax x f x ax x x x--'=--=>．所以当0a ≤时，221()<0ax x f x x--'=，函数()f x 在(0,+)∞上单调递减，所以当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 6分因为当10a -≤≤时，(1)1<0f a =-，221e e ()>0e e af -+=，所以当10a -≤≤时，函数()f x 在(0,+)∞上有零点．综上，当10a -≤≤时，函数()f x 有且只有一个零点．8分（3）解法一：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln f x ax x x =--，得221(),(0)ax x f x x x--'=>，令2()21g x ax x =--．因为(0)10g =-<，2>0a ，所以函数()g x 在(0,)+∞上只有一个零点，设为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<；当0(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '>>． 所以函数()f x 在0(0,)x 上单调递减；在0(,)x +∞上单调递增．要使得函数()f x 在(0,+)∞上有两个零点，只需要函数()f x 的极小值0()0f x <，即200ln 0ax x x --<． 又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +->， 又因为函数h()=2ln 1x x x +-在(0,+)∞上是增函数，且h(1)=0， 所以01x >，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a <<．13分以下验证当01a <<时，函数()f x 有两个零点． 当01a <<时，21211()10a a g a a a a-=--=>， 所以011x a <<． 因为22211e e ()10e e e e a af -+=-+=>，且0()0f x <．所以函数()f x 在01(,)ex 上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=----=>≥（因为ln 1x x ≤-），且0()0f x <．所以函数()f x 在02(,)x a上有一个零点．所以当01a <<时，函数()f x 在12(,)e a内有两个零点．综上，实数a 的取值范围为(0,1)．16分下面证明：ln 1x x ≤-．设()1ln t x x x =--，所以11()1x t x x x-'=-=，（0x >）． 令()0t x '=，得1x =．当(0,1)x ∈时，()0t x '<；当(1,)x ∈+∞时，()>0t x '． 所以函数()t x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以当1x =时，()t x 有最小值(1)0t =． 所以()1ln 0t x x x =--≥，得ln 1x x ≤-成立． 解法二：由（2）知，当0a ≤时，函数()f x 在(0,+)∞上最多有一个零点． 因为函数()f x 有两个零点，所以>0a ．9分由2()ln 0f x ax x x =--=，得关于x 的方程2ln x xa x +=，（0x >）有两个不等的实数解． 又因为ln 1x x ≤-，所以222ln 211(1)1x x x a x x x+-=≤=--+，（0x >）． 因为0x >时，21(1)11x--+≤，所以1a ≤．又当1a =时，1x =，即关于x 的方程2ln x xa x +=有且只有一个实数解．所以<<1a 0．13分（以下解法同解法1）20．【解】（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+， 2分 整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．4分（2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =． 又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-． 整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+． 因为2213k k k =，所以1213213(2)(2)a k k k d k k k --=--． 因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=． 6分当11a d=时，1(1)n a a n d nd =+-=，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列． 8分（3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，11(1)n a a n d na =+-=． 因为对于任意n ∈*N ，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a q k q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n nn k q q na k q k q --+<<=+恒成立．10分下面证明：对于任意的正实数(01)εε<<，总存在正整数1n ，使得11n n εq <． 要证11n n εq <，即证11ln ln ln n n q ε<+． 因为11ln e 2x x x ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取20]1n =+，则当10n n >时，原式得证．所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2,)+∞．16分21．A ．[选修41-：几何证明选讲]（本小题满分10分）已知圆O 的直径4AB =，C AO 为的中点，弦2DE C CE CD =过点且满足，求OCE △的面积． 【解】设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得CA CB CD CE =， 所以21322x x x ⨯==，所以2x =． 2分取DE 中点H ，则OH DE ⊥． 因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．6分又因为2CE x ==，所以OCE △的面积1122S OH CE ==⨯ 10分B ．[选修42-：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值–1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy 中，点11P （，）在矩阵A对应的变换作用下变为(3,3)P '，求矩阵A ．【解】设ab Acd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵–1A 的属于特征值的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩，．4分因为点(1,1)P 在矩阵A 对应的变换作用下变为(3,3)P '，所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以+3+3a b c d =⎧⎨=⎩，．8分解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 10分C ．[选修44-：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，求直线.π()4θρ=∈R .被曲线4sin ρθ=所截得的弦长． 【解】解法一：在4sin ρθ=中，令π4θ=，得π4sin 4ρ=AB =． 10分解法二：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4θρ=∈R 的直角坐标方程为y x =①， 3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +-=②．6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩，，或22x y =⎧⎨=⎩，，8分所以(0,0),(2,2)A B ，所以直线π()4θρ=∈R 被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =． 10分D ．[选修45-：不等式选讲]（本小题满分10分）求函数3sin y x =+【解】3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，8分所以max 5y =，此时3sinx =． 22．【解】以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为=(1,2,2)AP ，=(2,0,1)AQ ，所以cos =||||AP AQ AP AQ AP AQ <>==，．所以AP 与AQ ． 4分（2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为(,,)x n y z =，则0,0,AP AQ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即220,220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩．令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以(2,2,2)n λλ=--．6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒，所以111||=||||||2,AA AA AA cos n <>==n n ， 23．【解】（1）抛物线22(0)x py p =>的准线方程为2py =-， 因为(,1)M m ，由抛物线定义，知12p MF =+， 所以122p+=，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =．3分（2）因为214y x =，所以12y x '=． 设点2(,),04t E t t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，(0,1)F ，所以直线PF的方程为2()2ty x t =--，即20x ty t +-=．则点2(,)4t E t 到直线PF 的距离为3|2|t t t d +-= 5分联立方程2,420,x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(216)0t y t y t -++=． 因为2242(216)464(4)0t t t ∆=+-=+>，所以1y =2y =所以221212222164(4)1122tt AB y y y y t t ++=+++=++=+=． 7分所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22||t t S t t ++=⨯=⨯．不妨设322(4)()x g x x +=(0)x >，则12222(4)()(24)x g x x x+'=-．因为x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在上单调递减；)x ∈+∞上，()0g x '>，所以()g x 在)+∞上单调递增．所以当x 32min 4)()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分。
2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷(2)(解析版)
2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（2）一、填空题（本题共14个小题，每小题5分，共70分）1．复数（i为虚数单位）的模为．2．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），则•（﹣）=．3．在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是．4．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为．5．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．6．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为．7．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f （x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为．9．在正项等比数列{a n}中，若3a1，成等差数列，则=．10．给出下列等式：=2cos，=2cos，=2cos…请从中归纳出第n（n∈N*）个等式：=．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y=0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2， (10)记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为．13．已知实数x，y满足，设z=max{3x﹣y，4x﹣2y}，则z的取值范围是（max{a，b}表示a，b两数中的较大数）14．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是．二、填空题（本大题共6小题，共90分）15．在平面直角坐标系中，设向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），其中A，B为△ABC 的两个内角．（1）若，求证：C为直角；（2）若，求证：B为锐角．16．在三棱锥P﹣SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA⊥BC．（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．17．如图，摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，设摄影爱好者的眼睛（S）离地面的高度为m．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN，绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点Q（﹣2，0），x轴上方的动点P使直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列．（1）求证：动点P的横坐标为定值；（2）设直线PA，PB与圆O的另一个交点为S，T，求证：点Q，S，T三点共线．19．已知定义在R上的函数f（x）=，（其中a≠0）的图象不间断．（1）求m，n的值；（2）若a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；（3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点个数，并说明理由．20．若存在非零常数p，对任意的正整数n，a n+12=ana n+2+p，则称数列{a n}是“T数列”．（1）若数列{a n}的前n项和S n=n2（n∈N*），求证：{a n}是“T数列”；（2）设{a n}是各项均不为0的“T数列”．①若p＜0，求证：{a n}不是等差数列；②若p＞0，求证：当a1，a2，a3成等差数列时，{a n}是等差数列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，已知△ABC的两条内角平分线AD，BE交于点F，且∠C=60°．求证：C，D，E，F四点共圆．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤∠AOx≤，以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求点B的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c，d满足a+b=cd=1，求证：（ac+bd）（ad+bc）≥1．【必做题】25．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为P（0＜P＜1）．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是（1）求P的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E（ξ）26．设函数f n（θ）=sin nθ+cos nθ，n∈N*，且f1（θ）=a，其中常数a为区间（0，1）内的有理数．（1）求f n（θ）的表达式（用a和n表示）（2）求证：对任意的正整数n，f n（θ）为有理数．2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（2）参考答案与试题解析一、填空题（本题共14个小题，每小题5分，共70分）1．复数（i为虚数单位）的模为．【考点】A8：复数求模．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：=，则复数的模为：．故答案为：．2．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），则•（﹣）=4．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的坐标表示，进行计算即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣3，2），∴﹣=（4，0），∴•（﹣）=1×4+2×0=4．故答案为：4．3．在标号为0，1，2的三张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据题意可得：所有的基本事件有3个，再计算出符合条件的事件数为2个，进而结合古典概率的计算公式得到答案．【解答】解：根据题意可得此概率模型是古典概率模型，从53张卡片中随机抽取2张共有的取法有C32=3种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法为0，1与1，2，2种，所以根据古典概率的计算公式可得：取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为．故答案为：．4．已知一组数据3，5，4，7，6，那么这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出这组数据的标准差．【解答】解：∵一组数据3，5，4，7，6，∴这组数据的平均数=（3+5+4+7+6）=5，∴这组数据的方差为：S2= [（3﹣5）2+（5﹣5）2+（4﹣5）2+（7﹣5）2+（6﹣5）2]=2，∴这组数据的标准差S=．5．如图是一个算法流程图，则输出的x的值为．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行算法流程，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=6时，满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．【解答】解：模拟执行算法流程，可得n=1，x=1x=，n=2不满足条件n＞5，x=，n=3不满足条件n＞5，x=，n=4不满足条件n＞5，x=，n=5不满足条件n＞5，x=，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出x的值为．故答案为：．6．若函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数m的值为1．【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性易得f（﹣1）=﹣f（1），解m的方程可得．【解答】解：∵函数f（x）=（e为自然对数的底数）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∴=﹣，∴m=1．故答案为：1．7．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE=AB=1，则侧高SE==，故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．故答案为：4+4．8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据条件f（x0）≤f（x）≤f（x1+2016π）成立得到函数的最大值和最小值，结合三角函数的周期的性质建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则f（x0）为函数的最小值，f（x0+2016π）为函数的最大值，则x0+2016π﹣x0 =n•=2016π，∵T=，∴=2016π，即ω=×=，∵n∈N•，∴当n=1时，ω=为最小值，故答案为：．9．在正项等比数列{a n}中，若3a1，成等差数列，则=．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，根据3a1，成等差数列，可得：2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q，解出q，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵3a1，成等差数列，∴2×=3a1+2a2，即=3a1+2a1q，∴q2﹣2q﹣3=0，q＞0，解得q=3．则==．故答案为：．10．给出下列等式：=2cos，=2cos，=2cos…请从中归纳出第n（n∈N*）个等式：=2cos．【考点】F1：归纳推理．【分析】通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n个等式即可．【解答】解：因为=2cos，=2cos，=2cos…，等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为角的余弦值，角满足：，所以=2cos．故答案为：2cos．11．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x+2y=0与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=5相切，且圆心C在直线l的上方，则ab最大值为．【考点】J7：圆的切线方程．【分析】根据直线和圆相切求出a，b的关系式，结合基本不等式进行求解即可．【解答】解：∵直线和圆相切，∴，∵圆心C在直线l的上方，∴a+2b＞0，从而a+2b=5，∴ab，当且仅当a=2b，即a=，b=时取等号，故ab的最大值为，故答案为：12．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B3C3上有10个不同的点P1，P2， (10)记m i=•（i=1，2，3，…，10），则m1+m2+…+m10的值为180．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），求出直线B3C3的方程，可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A为坐标原点，AC1所在直线为x轴建立直角坐标系，可得B2（3，），B3（5，），C3（6，0），直线B3C3的方程为y=﹣（x﹣6），可设P i（x i，y i），可得x i+y i=6，即有m i=•=3x i+y i=（x i+y i）=18，则m1+m2+…+m10=18×10=180．故答案为：180．13．已知实数x，y满足，设z=max{3x﹣y，4x﹣2y}，则z的取值范围是[﹣10，8] （max{a，b}表示a，b两数中的较大数）【考点】7C：简单线性规划．【分析】设z1=3x﹣y，z2=4x﹣2y，作出可行域，平移直线y=3x可得z1∈[﹣10，6]，同理可得z2=4x ﹣2y∈[﹣16，8]，综合可得z的取值范围．【解答】解：由题意设z1=3x﹣y，z2=4x﹣2y，作出约束条件所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=3x﹣z1，平移直线y=3x可知，当直线经过点A（﹣2，4）时，截距﹣z1取最大值，z取最小值﹣10，当直线经过点B（2，0）时，截距﹣z1取最小值，z取最大值6，∴z1∈[﹣10，6]，同理可得z2=4x﹣2y∈[﹣16，8]，∴z的取值范围为：[﹣10，8]故答案为：[﹣10，8]14．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在x0∈[0，]，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是[1，] ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为﹣1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为k1=（ax0+a﹣1）e x0，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为k2=（x0﹣2）e﹣x0，由题设有k1•k2=﹣1从而有（ax0+a﹣1）e x0•（x0﹣2）e﹣x0=﹣1，∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵x0∈[0，]，得到x02﹣x0﹣2≠0，所以a=，又a′=﹣，令导数大于0得，1＜x0＜5，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为；x0=1时取得最小值为1．∴1≤a≤．故答案为：[1，]．二、填空题（本大题共6小题，共90分）15．在平面直角坐标系中，设向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），其中A，B为△ABC 的两个内角．（1）若，求证：C为直角；（2）若，求证：B为锐角．【考点】9R：平面向量数量积的运算；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】（1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合两角和的余弦公式和诱导公式即可得证；（2）运用两向量共线的条件和两角和的正弦公式和诱导公式即可得证．【解答】证明：（1）向量=（cosA，sinA），=（cosB，﹣sinB），若，则=0，即cosAcosB﹣sinAsinB=0，即有cos（A+B）=0，即cos（π﹣C）=0，则cosC=0，即有C为直角．（2）若∥，则sinAcosB=﹣3cosAsinB，即sinAcosB+cosAsinB=﹣2cosAsinB，sin（A+B）=﹣2cosAsinB，即sinC=﹣2cosAsinB，由sinB＞0，sinC＞0，则cosA＜0，由sinA＞0，sinB＞0，则cosB＞0，则有B为锐角．16．在三棱锥P﹣SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且AB=3，BC=8，CD=5．PA⊥BC．（1）求证：平面PSB⊥平面ABCD；（2）若平面PAD∩平面PBC=l，求证：l∥BC．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）由已知及勾股定理可证BC⊥SB，结合已知PA⊥BC，可证BC⊥平面PSB，从而可证平面PSB⊥平面ABCD；（2）可证BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，即可证明l∥BC．【解答】证明：（1）∵A，D分别为边SB，SC的中点，且BC=8，∴AD∥BC且AD=4，∵AB=SA=3，CD=SD=5，∴SA2+AD2=SD2，∴∠SAD=90°，即SA⊥AD，∴BC⊥SB，…∵PA⊥BC，PA∩SB=A，PA，SB⊂平面PSB∴BC⊥平面PSB，∵BC⊂平面ABCD，∴平面PSB⊥平面ABCD；…（2）在梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD，又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，所以l∥BC．…17．如图，摄影爱好者在某公园A处发现正前方B处有一根立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，设摄影爱好者的眼睛（S）离地面的高度为m．（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN，绕其中点O在SA与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB 中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣cosθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，﹣），利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN∈[，1]，结合余弦函数的性质可求答案．【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．又SA=，故在Rt △SAB 中，可求得BA==3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．…由SC=3，∠CSO=30°，在Rt △SCO 中OC=SC•tan30°=，又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度为2米．…（2）如图，以O 为原点，以水平方向向右为x 轴正方向建立平面直角坐 标系．设M （cosθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N （﹣cosθ，﹣sinθ），由（1）知S （3，﹣）．…故=（cosθ﹣3，sinθ+），=（﹣=，﹣sinθ+），∴•=（cosθ﹣3）（﹣cosθ﹣3）+（sinθ﹣）（﹣sinθ﹣）=11||•||=∈[11，13]…所以cos ∠MSN ∈[，1]，∴∠MSN ＜60°恒成立故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2+y 2=1与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点Q （﹣2，0），x 轴上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差数列． （1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点为S ，T ，求证：点Q ，S ，T 三点共线．【考点】JE：直线和圆的方程的应用．【分析】（1）求得A，B的坐标，设P（x0，y0）（y0≠0），运用直线的斜率公式，由等差数列的性质，化简整理，计算即可得到动点P的横坐标为定值；（2）求出PA，PB的斜率，将PA的直线方程代入圆的方程，化简可得S的坐标，同理可得T的坐标，求得QS，QT的斜率，即可得到三点Q，S，T共线．【解答】证明：（1）由题意可知A（﹣1，0），B（1，0），设P（x0，y0）（y0≠0），则k PQ=，k PB=，k PA=，直线PA，PQ，PB的斜率存在且依次成等差数列，即有2k PQ=k PA+k PB，即=+，由y0≠0，解得x0=﹣，则动点P的横坐标为定值﹣；（2）由（1）知，P（﹣，y0），k PA==2y0，k PB==﹣y0，直线PA：y=2y0（x+1），代入圆x2+y2=1得（1+4y02）x2+8y02x+4y02﹣1=0，由于﹣1和x S是方程的两根，可得﹣x S=，即有x S=，y S=，同理可得x T=，y T=，由==，=═=，即有直线QS，QT的斜率相等，则S，T，Q共线．19．已知定义在R上的函数f（x）=，（其中a≠0）的图象不间断．（1）求m，n的值；（2）若a，b互为相反数，且f（x）是R上的单调函数，求a的取值范围；（3）若a=1，b∈R，试讨论函数g（x）=f（x）+b的零点个数，并说明理由．【考点】5B：分段函数的应用；52：函数零点的判定定理．【分析】（1）由f（x）的图象不间断，可得f（0）=1，f（4）=0，解方程可得m，n；（2）运用指数函数的单调性，可得a＜0，求出三次函数的导数，求出对称轴，判别式小于等于0，解不等式可得a的范围；（3）由题意可得y=x3+（b﹣4）x2﹣（4b+）x+1，y′=3x2+2（b﹣4）x﹣（4b+），△=4（b﹣4）2+12（4b+）=4b2+16b+67＞0，求得函数y的单调区间和极值，对b讨论，①当b＞0时，②当b＜﹣1时，③当﹣1＜b＜0时，④当b=0时，⑤当b=﹣1时，运用解方程和函数零点存在定理，即可得到零点个数．【解答】解：（1）由f（x）的图象不间断，可得f（0）=1，f（4）=0，即为n=1，64a+16（b﹣4a）﹣4（4b+m）+n=0，解得m=，n=1；（2）由y=2﹣x在R上递减，可得f（x）是R上的单调函数，则在y=a（log4x﹣1）中，y′=＜0，故a＜0；在y=ax3+（b﹣4a）x2﹣（4b+）x+1中，由a+b=0，y′=3ax2﹣10ax+4a﹣，对称轴为x=，△=100a2﹣12a（4a﹣）≤0，解得﹣≤a＜0；（3）由题意可得y=x3+（b﹣4）x2﹣（4b+）x+1，y′=3x2+2（b﹣4）x﹣（4b+），△=4（b﹣4）2+12（4b+）=4b2+16b+67＞0，所以关于x的方程，y′=0有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），当x＜x1时，y′＞0，函数y递增；当x1＜x＜x2时，y′＜0，函数y递减；当x＞x2时，y′＞0，函数y递增．即有函数y在x1处取得极大值，在x2处取得极小值．①当b＞0时，2﹣x+b=0无解，log4x﹣1+b=0无解．又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＞0，f（2）+b=8+4（b﹣4）﹣2（4b+）+1+b=﹣﹣3b＜0，f（x）+b=0在（0，4）有两解，则g（x）=f（x）+b共有2个零点；②当b＜﹣1时，2﹣x+b=0有一解x=log（﹣b），log4x﹣1+b=0有一解x=41﹣b，又f（0）+b=1+b＜0，f（4）+b=b＜0，f（）+b=+（b﹣4）﹣（4b+）+1+b=﹣b＞0，则f（x）+b=0在（0，4）有4解，则g（x）=f（x）+b共有4个零点；③当﹣1＜b＜0时，2﹣x+b=0无解，log4x﹣1+b=0有一解x=41﹣b，又f（0）+b=1+b＞0，f（4）+b=b＜0，则f（x）+b=0在（0，4）有2解，则g（x）=f（x）+b共有2个零点；④当b=0时，有x=4和x=两个解；⑤当b=﹣1时，有x=0，x=16，x=三个解．综上可得，当b＞﹣1时，g（x）有2个零点；当当b=﹣1时，g（x）有3个零点；当b＜﹣1时，g（x）有4个零点．20．若存在非零常数p，对任意的正整数n，a n+12=ana n+2+p，则称数列{a n}是“T数列”．（1）若数列{a n}的前n项和S n=n2（n∈N*），求证：{a n}是“T数列”；（2）设{a n}是各项均不为0的“T数列”．①若p＜0，求证：{a n}不是等差数列；②若p＞0，求证：当a1，a2，a3成等差数列时，{a n}是等差数列．【考点】8F：等差数列的性质；8H：数列递推式．【分析】（1）由S n=n2求出数列的通项公式，代入a n+12=a n a n+2+p成立，说明数列{a n}是“T数列”；（2）①由反证法，若{a n}是等差数列，代入a n+12=ana n+2+p得到小于0的p不存在，说明假设错误；②由a1，a2，a3成等差数列，代入a n+12=ana n+2+p得到p=d2，由同一法说明{a n}是等差数列．【解答】证明：（1）由S n=n2，得a n=2n﹣1，a n+12=（2n+1）2=4n2+4n+1，a n a n +2=（2n ﹣1）（2n +3）=4n 2+4n ﹣3， ∴a n +12=a n a n +2+4， ∴{a n }是“T 数列”；（2）①由a n +12=a n a n +2+p ，p ＜0，若{a n }是等差数列，则，代入a n +12=a n a n +2+p ，得，即，∵p ＜0，此式显然不成立， ∴{a n }不是等差数列；②由a n +12=a n a n +2+p ，得+p ，当a 1，a 2，a 3成等差数列时，则，即p=d 2．∴a n +12=a n a n +2+d 2．假设{a n }是公差为d 的等差数列， 则a n +1=a n +d ，a n +2=a n +2d ， 代入a n +12=a n a n +2+d 2成立．∴假设成立，即{a n }是公差为d 的等差数列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，已知△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点F ，且∠C=60°．求证：C ，D ，E ，F 四点共圆．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【分析】首先利用三角形内角和定理的应用和角平分线定理求出：∠DFE +∠C=180°，进一步利用四边形对角互补求出四点共圆．【解答】证明：知△ABC 的两条内角平分线AD ，BE 交于点F ，且∠C=60°所以：∠AFB=180°﹣（∠BAC+∠ABC）=180°﹣=120°由于：∠AFB=∠DFE，所以：∠DFE+∠C=180°故：C，D，E，F四点共圆．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=满足AX=B，求矩阵X．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】由AX=B，得=，求解即可．【解答】解：设x=，由=得解得此时x=[选修4-4：坐标系与参数方程]23．设点A为曲线C：ρ=2cosθ在极轴Ox上方的一点，且0≤∠AOx≤，以A为直角顶点，AO为一条直角边作等腰直角三角形OAB（B在A的右下方），求点B的轨迹方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】首先根据题意建立等量关系：ρ0=2ρcosθ0，进一步建立，最后建立方程组求得结果，要注意条件的应用．【解答】解：设A（ρ0，θ0），且满足ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ），依题意，即代入ρ0=2cosθ0并整理得，，，所以点B的轨迹方程为，．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c，d满足a+b=cd=1，求证：（ac+bd）（ad+bc）≥1．【考点】R6：不等式的证明．【分析】展开，利用基本不等式，结合a，b，c，d满足a+b=cd=1，即可证明结论．【解答】证明：（ac+bd）（ad+bc）=（a2+b2）cd+ab（c2+d2）≥（a2+b2）cd+2abcd=（a+b）2cd，因为a，b，c，d满足a+b=cd=1，所以（a+b）2cd=1，所以：（ac+bd）（ad+bc）≥1．【必做题】25．假定某篮球运动员每次投篮命中率均为P（0＜P＜1）．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是（1）求P的值；（2）设该运动员投篮命中次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望E（ξ）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用对立事件，结合恰用完3次投篮机会的概率是，求P的值；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求ξ的概率分布及数学期望E（ξ）．【解答】解：（1）设事件A：“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件A：“前两次投篮均不中”由题意，P（A）=1﹣（1﹣p）2=，∴p=；（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，则P（ξ=0）=（1﹣p）2=，P（ξ=1）=p（1﹣p）2+（1﹣p）p（1﹣p）=，P（ξ=3）=p3=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，∴ξ的概率分列为数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．26．设函数f n（θ）=sin nθ+cos nθ，n∈N*，且f1（θ）=a，其中常数a为区间（0，1）内的有理数．（1）求f n（θ）的表达式（用a和n表示）（2）求证：对任意的正整数n，f n（θ）为有理数．【考点】DC：二项式定理的应用；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用sinθ+cosθ=a，sin2θ+cos2θ=1，求出sinθ，可得f n（θ）的表达式（用α和n表示）（2）利用二项式的展开式，即可得出结论．【解答】（1）解：由题意，sinθ+cosθ=a，sin2θ+cos2θ=1，所以2sin2θ﹣2asinθ+a2﹣1=0，所以si nθ=，所以f n（θ）=（）n+（）n；（2）证明：f n（θ）=（）n+（）n=2•+2•+…+…∈Q．2017年5月30日。
江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(7)有答案
2017年高考模拟试卷(7) 南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1． 已知集合A ={2，3，5}，B ={|13x x ≤≤}，则A B = ． 2． 若复数z 满足(1i)2i z -= (i 为虚数单位)，则z = ． 3． 如图是某班8位学生诗朗诵比赛成绩的茎叶图，那么这8位学生成绩的平均分为 ．4． 如右图所示的流程图的运行结果是 ．5． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2214yx a -=的一条准线的方程为3x =，则实数a 的值是 ．6． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则恰有两个盒子各有1个球的概率为 ．7． 已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为 ． 8． 已知奇函数()f x 在(,)-∞+∞上为单调减函数，则不等式(lg )(1)0f x f +>的解集为 ． 9． 已知各项均为正数的数列{}n a 满足2n n a qa +=（1q ≠，*n ∈N ），若213a a =，且233445a a a a a a +++，，成等差数列，则q 的值为 ．10．如图，在扇形AOB 中，4OA =，120AOB ∠=°，P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C ，若8OP OA ⋅=，则OC AP ⋅的值为 ．11．定义在区间()π02，上的函数5cos2y x =的图象与2sin y x =-的 图象的交点横坐标为0x ，则0tan x 的值为 ．12．已知定义在R 上的函数2480()(2)0x x x f x f x x ⎧-=⎨+<⎩，≥，，，则方程6()1log (1)f x x +=+的实数解的个数为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知动直线1y kx k =+-与曲线21x y x +=-交于A B ，两点，平面上的动点()P m n ，满足4PA PB +≤22m n +的最大值为 ．14．若对于[)2x y ∀∈-+∞∀∈R ，，，不等式e +e 2(1)x y x y ax a +-+-≤恒成立，则实数a 的取值范围 是 ．5 6 8 0 1 2 2 68 9（第3题）（第4题） （第10题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2cos b c a B +=．（1）求证：2A B =；（2）若△ABC 的面积214S a =，求角A 的大小．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， E 为PB 上一点，G 为PO 中点.（1）若PD // 平面ACE ，求证：E 为PB 的中点； （2）若ABPC ，求证：CG ⊥平面PBD .17．（本小题满分14分）如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m ，东西向渠宽2m （从拐角处，即图中A B ，处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．（1）在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P Q ，两点，且与水渠的一边的夹角为θ()π02θ<<，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数； （2）若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为的椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，且A 到右准线的距离为6，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，当P 、O 、Q 共线时，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：AM AN ⋅为定值；（3）设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1•k 2=﹣1时，证明直线PQ 经过定点R ．（第17题）（第16题）ABCDPOEG（第21-A 题）19．（本小题满分16分）已知函数3()2ln f x ax x x =--，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y b =，求a b +的值； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 零点的个数；（3）若不等式()2()1f x x a ++≥对任意(01]x ∈，都成立，求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意正整数n ，当n ≥2时，22121n n n a b a n -+=+．（1）若(1)n n b =-，求222213511a a a a ++++的值； （2）若1nb =-，12a =，且数列{}n a 的各项均为正数．① 求数列{}n a 的通项公式；② 是否存在*k ∈N ，且2k ≥，使得2122k k --为数列{}n a 中的项？ 若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵21a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，其中a b ，均为实数，若点(31)A -，在矩阵M 的变换作用下得到点(35)B ，， 求矩阵M 的特征值．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）( 第22题 )ABCD F E在平面直角坐标系xOy 中，若直线321x t y t=-⎧⎨=-⎩，（t 为参数）与圆55cos 35sin x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩，（ϕ为参数）相交于A B ，两点，求AB 的长度． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知关于x 的不等式20x ax b -+<的解集为(12)，，其中a b ∈，R ，求函数()((f x a b =--最大值．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//AB CD ，AD CD ⊥，12AB AD CD ==．（1）求直线EC 与平面BDF 所成角的正弦值；（2）线段EC 上是否存在点P ，使得二面角F BD P --的余弦值为13？若存在，求出EP EC 的值；若不存在，说明理由．23．已知函数2()ln(1)2x f x x x =+-+．（1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）请用数学归纳法证明：当3n n ∈N ，≥时， 231ln ni n i =<∑．2017年高考模拟试卷(7)参考答案一、填空题1． {2，3} 2． 1i -+3． 90 4． 245．12 .由双曲线2214y x a -=的一条准线的方程为3x =3=，所以12a =． 6．23.所有的基本事件的总数为339⨯=，“恰有两个盒子各有1个球”的对立事件是“甲、乙两个不同的球在同一个盒子”，有3种可能，所以“恰有两个盒子各有1个球”的概率为32193-=．7．8． ()1010，.由条件，不等式(lg )(1)0f x f +>即为(lg )(1)f x f >-，所以lg 1x <-， 解得1010x <<．9． 3 .由条件，234534()()2()a a a a a a +++=+，所以2312(1)()2()q a a q a a ++=+， 所以11(1)(3)8q q a qa ++=，因为10a >，1q ≠，所以3q =．10． 4 .由16cos 8OP OA AOP ⋅=∠=，得1cos 2AOP ∠=，所以60AOP ∠=，所以42cos604OC AP OC OB ⋅=⋅=⨯⨯=．11． 34.令5cos22sin x x =-，即25(12sin )2sin x x -=-，所以210sin sin 30x x --=，因为()π02x ∈，，所以3sin 5x =，即03sin 5x =，从而03tan 4x =． 12． 7.如图所示，函数()1y f x =+与6log (1)y x =+ 的图象有7个不同的交点，所以原方程有7个不同的解．13． 18.直线1y kx k =+-过定点(1,1)M 恰为曲线21x y x +=-所以M 为AB 的中点，由4PA PB +≤2PM ≤， 所以动点()P m n ，满足22(1)(1)8m n -+-≤， 所以22m n +的最大值为18． 14． 2a ≤ .由e+e2(1)x yx yax a +-+-≤，得(2)e+e2x yx ya x +-++≤当2x =-时，不等式为220e +e 2y y -+--+≤恒成立，a ∈R ；当2x >-时，不等式为1e (e +e )22x y y a x -⎡⎤+⎣⎦+≤， 设1()e (e +e )22x y y f x x -⎡⎤=+⎣⎦+，()2x ∈-+∞，，则2(e 1)()2x f x x ++≥，当且仅当0y =时取“=”， 再设2(e 1)()2x g x x +=+，则222[e (2)(e 1)]2[e (1)1]()(2)(2)x x x x x g x x x +-++-'==++，设()e (1)1x t x x =+-，由于()e (1)e e (2)0x x x t x x x '=++=+>，所以()t x 在()2-+∞，上单调增， 因为(0)0t =，所以当(20)x ∈-，时，()0t x <，即()0g x '<；当(0)x ∈+∞，时，()0t x >，即()0g x '>，所以()g x 在(20)x ∈-，上为减函数，在(0)x ∈+∞，上为增函数， 所以()g x 在0x =时取得最小值，且最小值为2．综上，当0x =且0y =时，()f x 取最小值为2，所以2a ≤．二、解答题 15．（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，则2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 所以sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-． 因为0πA B <<，，所以ππA B -<-<，所以B A B =-或π()B A B =--，即2A B =或πA =（舍）， 所以2A B =．（2）由214S a =，得21sin 124ab C a =，所以1sin sin sin 2B C A =，由（1）知，1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =．因为sin 0C >，所以cos 0B >，即B 为锐角，若C 为锐角，则πsin sin()2C B =-，即π2C B =-，可知π2A =；若C 为钝角，则πsin sin()2C B =+，即π2C B =+，可知π4A =．综上，π4A =或π2A =．16. （1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点， 因为PD // 平面ACE ，PD ⊂面PBD ，面PBD 面ACE OE =，所以//PD OE .因为O 为BD 中点，所以E 为PB 的中点.PEG（2）在四棱锥P －ABCD 中，AB ，因为四边形ABCD 是正方形，所以OC AB =， 所以PC OC =.因为G 为PO 中点，所以CG PO ⊥. 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ， 所以PC ⊥BD .而四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 因为,AC CG ⊂平面PAC ，AC CG C =，所以BD ⊥平面PAC ，因为CG ⊂平面PAC ，所以BD CG ⊥. 因为,PO BD ⊂平面PBD ，PO BD O =，所以CG ⊥平面PBD .17. （1）由题意，PA ，4cos QA θ=，所以l PA QA =+，即4cos l θ+（π02θ<<）．（2）设4()cos f θθ+，π(0,)2θ∈．由3322(22sin cos )2cos 4sin ()cos f θθθθθθ-'=+，令()0f θ'=，得0tan θ=．且当0(0,)θθ∈，()0f θ'<；当0π(,)2θθ∈，()0f θ'>，所以，()f θ在0(0,)θ上单调递减；在0π(,)2θ上单调递增，所以，当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当0tan θ=时，0sin θ=0cos θ=，所以()f θ的最小值为，即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m ．因为7>，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．18.（1） 由题意，且，解得a=2，c=1．∴b=．∴椭圆的标准方程为．（2）证明：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），又A （﹣2，0），∴直线AP 的方程为y=（x +2），得M （0，），∴=（2，）．同理可得N （0，），=（2，），∴•=4+．又点P 在椭圆C 上，故，即，∴•=4+=1（定值）；（3）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），将直线AP 的方程y=k 1（x +2）与椭圆方程联立得：，即（3+4k 12）x 2+16k 12x +16k 12﹣12=0．∴﹣2+x 1=，x 1=，y 1=，∴P （，）．∵k 1•k 2=﹣1，∴Q （，）．当时，点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x=﹣，由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为﹣．当时，，直线PQ 的方程为y ﹣=（x ﹣），令x=﹣得：=0．∴直线PQ 过定点R （﹣，0）． 19． （1）21()32f x ax x'=--，由题意，(1)0f '=，(1)f b =，解得，1a =，1b =-，所以0a b +=．（2）由（1）知，3()2ln f x x x x =--，232(1)(331)1321()32x x x x x f x x x x x-++--'=--==， 令()0f x '=，得1x =，且当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．因为(1)10f =-<，3112()10e e e f =-+>，3(e)e 2e 10f =-->，函数()f x 在区间[1,1e]和[1,e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数()f x 有两个零点． （3）设()()2()g x f x x a =++，即3()2ln g x ax a x =+-，(01]x ∈，． 32131()3ax g x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(01]，单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =≤，不合题意；当0a >时，()g x '=，令()0g x '=，得1x =．1，即103a <≤时，函数()g x 在(01]，单调递减，所以()g x 最小值为(1)30g a =>，只需31a ≥，即13a ≥，所以13a =符合；1，即13a >时，函数()g x 在上单调减，在上单调增，所以()g x 的最小值为112ln 3133g a a =++>，所以13a >符合．综上，a 的取值范围是13a ≥．20． （1）由条件，22213a a +=，22327a a -=，226513a a +=，227615a a -=， 2210921a a +=，22111023a a -=，所以22221351182a a a a ++++=.（2）①由22121(2)n n a a n n --=+≥，22215a a -=，22327a a -=，22439a a -=，…，22121n n a a n --=+.将上面的式子相加，得221(215)(1)2nn n a a ++--=，所以22(215)(1)4(1)(2)2n n n a n n ++-=+=+≥.因为{a n }的各项均为正数，故1n a n =+(2)n ≥. 因为12a =也适合上式，所以1n a n =+（*n ∈N ）.② 假设存在满足条件的k ,m a ，1m =+， 平方得22(21)19(1)k k m -+=+，（*） 所以222(21)2(21)(1)19(2)k k k m k -<-=+-<，所以2222(1)(21)19(1)(2)19m k m k ⎧+-->⎪⎨+-<⎪⎩， 即(2)(22)191(12)(12)192m k m k m k m k ++->⎧⎨+++-<⎩（）（）由（1）得，221m k +-≥，即120m k +-≥， 若120m k +-=，代入（*）式，求得19182m k ==，不合，舍去； 若120m k +->，结合（2）得1219m k ++≤， 所以21192k m k <+-≤，即194k <，又k ∈*N 且2k ≥， 所以k 的可能取值为2，3，4， 代入（*）式逐一计算，可求得3k =.第II 卷（附加题，共40分）21.A . 因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠．因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线． B ． 由题意，233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即63315a b -=⎧⎨-=⎩，，， 解得，32a b =⎧⎨=⎩，，所以2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ．设23()(2)(1)6021f λλλλλ--==---=--， 解得1λ=-或4λ=，所以矩阵M 的特征值为1-和4．C ． 由321x t y t=-⎧⎨=-⎩，消参数t ，得210x y --=．由55cos 35sin x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩，消参数ϕ，得22(5)(3)25x y -++=．所以圆心(53)-，到直线210x y --=的距离d ==，所以2AB ==D ． 因为不等式20x ax b -+<的解集为(12)，，所以可得，3a =，2b =．又函数()((f x a b =--=由柯西不等式可得，22222(21]5++=，当且仅当16[34]5x =∈，时取等号． 所以，当165x =时, 函数()f x．22． 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，CD AD ⊥，所以CD ⊥平面ADEF ，因为DE ⊂平面ADEF ，所以CD DE ⊥． （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设1AD =，则(000)D ，，，(110)B ，，， (020)C ，，，(001)E ，，，(101)F ，，，所以(021)EC =-，，，(101)DF =，，，(110)DB =，，． 设平面BDF 的法向量()x y z =，，n ， 则0DF DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-，所以(111)=--，，n ， 设直线EC 与平面BDF 所成角为θ，则sin EC EC θ⋅===⨯n n ，即直线EC 与平面BDF ． （2）假设线段EC 上是否存在点P 满足题意，设(01)EP EC λλ=≤≤， 则(021)P λλ=-，，，所以(021)DP λλ=-，，． 设平面BDP 的法向量()x y z ''''=，，n ，P则00DP DB ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩n n ，即2(1)00y z x y λλ''+-=⎧⎨''+=⎩， 令1x '=，则1y '=-，21z λλ'=-，所以2(11)1λλ'=--，，n ． 设二面角F BD P --的平面角为α， 则21111cos 3λλα+-'⋅-==='⨯n n n n ， 解得13λ=或57λ=． 经检验，符合条件的13λ=， 即当13EP EC =时，二面角F BD P --的余弦值为13． 23． （1）由22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=++++≥， 知函数()f x 在定义域(1,)-+∞上为增函数，由于(0)0f =， 所以不等式()0f x >的解集为(0,)+∞．（2）① 当3n =，不等式左边1111571ln 3345660=+++=<<，所以不等式成立； ② 假设当(3)n k k =≥时，不等式成立，即231ln ki k i =<∑； 则当1n k =+时， 左边2(1)233111111ln 21222122k k i i k i i k k k k +====++<++++++∑∑． 下面证明11ln ln(1)2122k k k k +++++≤，只需证111ln 2122k k k k++++≤（*）． 由（1）知，0x >时，()0f x >，即2ln(1)2x x x +>+，所以212ln(1)1212k k k k +>=++， 由于112212221k k k +<+++，所以（*）不等式成立， 当1n k =+时，原不等式仍然成立．由①②知，原不等式对任意3n n ∈N ，≥都成立．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(十)-答案
易得2===AC CB AB ， 又∵E 为PB 的中点，N 为PA 的中点， ∴∥NE CD 且=NE CD ∴四边形CDNE 是平行四边形 ∴∥DN CE ； 又∵⊂CE 平面PBC ，⊄DN 平面PBC ∴∥DN 平面PBC (2)连接AM ，PM ．∵=PB PC ，M 为BC 的中点 ∴⊥PM BC ，∵=AC AB ，M 为BC 的中点 ∴⊥AM BC ，又∵⋂=AM PM M ，AM ，⊂PM 平面PAM ， ∴⊥BC 平面PAM ． ∵⊂NM 平面PAM ， ∴⊥MN BC ．17．解：(1)连结AC ，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以△ABC 为直角三角形， ∵8=AB ，π6∠=ABC ， ∴π3∠=BAC ，4=AC ， 在△ACE 中由余弦定理2222cos =+-CE AC AE ACAE A ，且13=CE ， ∴213164=+-AE AE ，解得1=AE 或3=AE(2)∵π2∠=ACB ，π6∠=ECF ， ∴π[0,]3∠=∈ACE α，∴πππππ()362∠=-∠-∠=--+=-ACF A ACF αα，在△ACE 中由正弦定理得：πsin sin cos sin()2===∠-CF AC AC ACA CFA αα， ∴23cos =CF α， 在△ACE 中由正弦定理得：πsin sin sin()3==∠+CF AC ACA AEC α， ∴23πsin()3=+CE α，否则，数列{}n a 不是等差数列；(2)∵21231...1(2)-+++++=-≥n n n a a a a ka ta n ， ⑤∴2123211...1(3)---+++++=-≥n n n a a a a ka ta n ， ⑥⑤－⑥得，22111(3)---+-=-≥n n n n n a ka ka ta ta n ， ⑦依题意，设111(,0)-=>n n a a qa q ， 代入⑦得，221(1)[(1)1]0(3)----+=≥g n t a q q k q n ， ⑧若1=q ，则10=（矛盾），若1≠q ，⑧中，令3,4=n 得，21221(1)(1)1,(1)(1)1,⎧-=-+⎪⎨-=-+⎪⎩g g t a q q k q t a q q k q 两式相减得，21(1)(1)0+-=a q q q t ，∵1a ，0>q ，且1≠q ， ∴0=t ，此时1231...10(2)-+++++=-<≥n n a a a a ka n ， 又∵数列{}n a 是正项数列， ∴0<k ，即证．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．∵AT 是切线， ∴⊥OT AP ，又∵∠PAQ 是直角，即⊥AQ AP , ∴∥AB OT ， ∴∠=∠TBA BTO ． 又∵=OT OB ， ∴∠=∠OTB OBT ,0011221112(222...22...2)(22...2)++++=+++++++-+++m m m m n nm m n n n n n n n C C C C C C11(12)(22)++=+--n n m 1132+2++=-n n m。
江苏省南通市高考数学二模试卷(理科)
江苏省南通市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2017·江西模拟) 已知复数z满足•z=3+4i，则|z|=（）A . 2B .C . 5D . 52. （2分） (2017高二下·杭州期末) 设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A . {3}B . {2，3}C . {0，2，3}D . {﹣2，0，2}3. （2分）(2017·辽宁模拟) 若a，b，c，d∈R，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（）A . 2B . 3C .D .5. （2分）数列{an}满足an+1+(-1)nan=2n-1，则{an}的前60项和为（）A . 3690B . 3660C . 1845D . 18306. （2分）设x,y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值是（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是（）A . 0.42B . 0.28C . 0.36D . 0.629. （2分）同时具有性质“（1）最小正周期是；（2）图像关于直线对称；（3）在上是增函数”的一个函数是（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·黄冈模拟) «孙子算经»中有道算术题：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是有100头鹿，每户分1头还有剩余；每3户再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计框图如图，则输出的值是（）A . 74B . 75C . 76D . 7711. （2分） (2016高一上·台州期末) 已知向量，满足| |=2，| + |=2，| ﹣ |=2 ，则向量与的夹角为（）A .B .C .D .12. （2分）电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）在产品检验时，常采用抽样检查的方法．现在从100件产品（已知其中有3件不合格品）中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有________ 种．（用数值作答）14. （1分）(2017·淮安模拟) 已知函数f（x）=x+alnx，若曲线y=f（x）在点（a，f（a））处的切线过原点，则实数a的值为________．15. （1分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝12，则该数列的前4项和为________．16. （1分）双曲线的渐近线方程为x±2y=0，焦距为10，这双曲线的方程为________三、解答题： (共7题；共55分)17. （5分）根据下列算法语句，将输出的A值依次记为a1 ， a2 ，…，an ，…，a2015（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）已知函数f（x）=a2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是a1 ，且函数y=f（x）的图象关于直线x=对称，求函数f（x）=a2sin（ωx+φ）在区间[﹣，]上的值域．18. （5分） (2017高二下·咸阳期末) 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为2，4，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．19. （5分）如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=DC=AC=2，AA1=3，E 为棱A1C1的中点．（Ⅰ）证明：平面A1C1D⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣DE﹣C1的余弦值．20. （10分）(2014·重庆理) 如图，设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，点D在椭圆上．DF1⊥F1F2 ， =2 ，△DF1F2的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．21. （15分） (2016高三上·常州期中) 设函数f（x）=x（x﹣1）2 ， x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；（3）设函数g（x）=lnx﹣2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．22. （10分） (2016高二下·黄骅期中) 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，1），倾斜角，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．23. （5分）(2015·河北模拟) 已知关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．（Ⅰ）求m的最大值；（Ⅱ）已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共55分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。
2017年江苏省南通市如皋市高考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省南通市如皋市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝．2．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，，则x+y＝．3．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为．4．（5分）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．5．（5分）运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为．6．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3＝7，S6＝63．则S9＝．7．（5分）若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为．8．（5分）平面直角坐标系中，角θ满足，，，设点B是角θ终边上一动点，则的最小值是．9．（5分）设不等式组表示的平面区域为a，P（x，y）是区域D上任意一点，则|x﹣2|﹣|2y|的最小值是．10．（5分）已知函数f（x）＝e x（x﹣b）（b∈R）．若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是．11．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点．若，，则＝．12．（5分）动直线y＝kx+4﹣3k与函数的图象交于A、B两点，点P（x，y）是平面上的动点，满足，则x2+y2的取值范围为．13．（5分）已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F2，点M在圆x2+y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点．若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为．14．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量＝（cos A，cos B），＝（b+2c，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，b+c＝8，求AC边上的高h的大小．16．（14分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABC，点M、D 分别是线段AA1、BC的中点．（1）求证：AD⊥CC1；（2）求证：AD∥平面MBC1．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是椭圆+＝1的左右顶点，离心率为，且椭圆过定点，P为椭圆右准线上任意一点，直线P A，PB分别交椭圆于M，N．（1）求椭圆的方程；（2）若线段MN与x轴交于Q点且，求λ的取值范围．18．（16分）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD＝2θ，（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；（2）求商业街的总收益的最大值．19．（16分）数列{a n}对于确定的正整数m，若存在正整数n使得a m+n＝a m+a n成立，则称数列{a n}为“m阶可分拆数列”．（1）设{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，证明{a n}为“3阶可分拆数列”；（2）设数列{a n}的前n项和为（a＞0），若数列{a n}为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；（3）设，试探求是否存在m使得若数列{a n}为“m阶可分拆数列”．若存在，请求出所有m，若不存在，请说明理由．20．（16分）若实数x0满足p（x0）＝x0，则称x＝x0为函数p（x）的不动点．（1）求函数f（x）＝lnx+1的不动点；（2）设函数g（x）＝ax3+bx2+cx+3，其中a，b，c为实数．①若a＝0时，存在一个实数，使得x＝x0既是g（x）的不动点，又是g'（x）的不动点（g'（x）是函数g（x）的导函数），求实数b的取值范围；②令h（x）＝g'（x）（a≠0），若存在实数m，使m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，求证：函数h（x）存在不动点．数学Ⅱ（附加题）[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，A的逆矩阵A﹣1＝（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是ρsin2θ＝6cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程ρsin2θ＝6cosθ化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．23．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB＝90°，A1B1∥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【必做题】本题满分0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．已知函数f（x）＝（x﹣1）e x+1（x＞0）求证：（1）f（x）＞0（2）对∀n∈N*，若，x1＝1，求证：．2017年江苏省南通市如皋市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝{2，3，4}．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{2，3，4}．故答案为：{2，3，4}．2．（5分）已知x，y∈R，i为虚数单位，，则x+y＝2．【解答】解：＝＝1﹣i，∴，解得x＝1，y＝1．则x+y＝2．故答案为：2．3．（5分）一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在[2000，3500）范围内的人数为700．【解答】解：由图[2000，3500）收入段的频率是（0.0005+0.0005+0.0004）×500＝0.7；则在[2000，3500）收入段应抽出人数为0.7×1000＝700．故答案为：700．4．（5分）在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1＞2S2的概率是．【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1＝，S2＝，∵S1＞2S2，∴AP＞2BP，∴S1＞2S2的概率是．故答案为：．5．（5分）运行如图所示的伪代码，其输出的结果S为13．【解答】解：当i＝0时，满足进行循环的条件，S＝1，i＝3；当i＝4时，满足进行循环的条件，S＝7，i＝6；当i＝7时，满足进行循环的条件，S＝13，i＝9；当i＝9时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为13．故答案为：136．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n．若S3＝7，S6＝63．则S9＝511．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n．S3＝7，S6＝63．∴由等比数列的性质得S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，即7，56，S9﹣63，∴562＝7（S9﹣63），解得S9＝511．故答案为：511．7．（5分）若正四棱锥的底面边长为，侧面积为，则它的体积为8．【解答】解：设四棱锥为P﹣ABCD，底面ABCD的中心为O取CD中点E，连结PE，OE．则PE⊥CD．OE＝．∵S侧面＝4S△PCD＝4××CD×PE＝4，∴PE＝．∴PO＝＝3，∴正四棱锥体积V＝＝8．故答案为：8．8．（5分）平面直角坐标系中，角θ满足，，，设点B是角θ终边上一动点，则的最小值是．【解答】解：∵，，∴sinθ＝2sin cos＝﹣2××＝﹣，cosθ＝2cos2﹣1＝﹣，∵点B是角θ终边上一点，不妨设||＝25m（m＞0），则B（﹣7m，﹣24m），∵，∴﹣＝（﹣1+7m，24m），∴2＝（﹣1+7m）2+（24m）2＝625m2﹣14m+1，当m＝时，有最小值，最小值为，故的最小值是，故答案为：．9．（5分）设不等式组表示的平面区域为a，P（x，y）是区域D上任意一点，则|x﹣2|﹣|2y|的最小值是﹣7．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由图象知y≥0，设z＝|x﹣2|﹣|2y|，则z＝|x﹣2|﹣2y，即y＝|x﹣2|﹣z，作出曲线y＝|x﹣2|，平移曲线y＝|x﹣2|﹣z，由图象知当曲线y＝|x﹣2|﹣z，经过点B时，曲线的顶点最大，此时﹣z最小，由得得B（3，4），此时z＝|3﹣2|﹣2×4＝1﹣8＝﹣7，故答案为：﹣710．（5分）已知函数f（x）＝e x（x﹣b）（b∈R）．若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：∵f（x）＝e x（x﹣b），∴f′（x）＝e x（x﹣b+1），若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则若存在x∈[，2]，使得e x（x﹣b）+xe x（x﹣b+1）＞0，即存在x∈[，2]，使得b＜成立，令g（x）＝，x∈[，2]，则g′（x）＝＞0，g（x）在[，2]递增，∴g（x）最大值＝g（2）＝，故b＜，故答案为：（﹣∞，）．11．（5分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点．若，，则＝﹣1．【解答】解：D为BC的中点，E，F为AD上的两个三等分点，∴＝+，＝﹣+，∴•＝﹣＝，∴2＝+＝，∵＝+＝+，＝﹣+，∴•＝﹣＝×﹣＝﹣1，故答案为：﹣1．12．（5分）动直线y＝kx+4﹣3k与函数的图象交于A、B两点，点P（x，y）是平面上的动点，满足，则x2+y2的取值范围为[16，36]．【解答】解：y＝k（x﹣3）+4 必经过点Q（3，4）是以新原点O'（3，4）坐标下的y'＝kx'是以新原点O'（3，4）坐标下的x'y′1所以交点A，B为新原点O'下的A（，），B（﹣，﹣）P A＝（﹣m）+（﹣n）iPB＝（﹣﹣m）+（﹣﹣n）i|P A+PB|＝|﹣2m﹣2ni|＝2|m+ni|＝1即m2+n2＝1 是一个圆，即P的轨迹是以（3，4）为圆心的单位圆，∴x2+y2的取值范围为[16，36]，故答案为[16，36]．13．（5分）已知椭圆C：的离心率为，右焦点为F2，点M在圆x2+y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点．若△PF2Q的周长为4，则椭圆C的方程为＝1．【解答】解：椭圆C：的离心率为，则a＝2c，b＝c，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴|PF2|2＝（x1﹣c）2+y12＝（x1﹣4c）2，∴|PF2|＝2c﹣x1，连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2＝|OP|2﹣|OM|2＝x12+y12﹣3c2＝x12，∴|PM|＝x1，∴|PF2|+|PM|＝2c，同理可求|QF2|+|QM|＝2c，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|＝4c．∵△PF2Q的周长为4，∴c＝1，∴，∴椭圆C的方程为＝1．故答案为＝1．14．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为9．【解答】解：∵a＞0，b＞0，，即＝1．∴＝×＝（2a+b）＝5++≥5+2×＝9，当且仅当a＝b＝12时取等号．若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为9．故答案为：9．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量＝（cos A，cos B），＝（b+2c，a），且⊥．（1）求角A的大小；（2）若a＝4，b+c＝8，求AC边上的高h的大小．【解答】解：（1）△ABC中，向量＝（cos A，cos B），＝（b+2c，a），且⊥，∴•＝（b+2c）cos A+a cos B＝0，由正弦定理得（sin B+2sin C）cos A+sin A cos B＝0，∴sin B cos A+cos B sin A+2sin C cos A＝0，∴sin（A+B）+2sin C cos A＝0，即sin C+2sin C cos A＝0；又C∈（0，π），∴sin C≠0，∴cos A＝﹣；又A∈（0，π），∴A＝；（2）若a＝4，b+c＝8，∴a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣2bc cos＝b2+c2+bc＝48；又（b+c）2＝b2+c2+2bc＝64，∴bc＝16；解得b＝c＝4，∴AC边上的高为h＝4•sin（π﹣）＝2．16．（14分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，平面BB1C1C⊥底面ABC，点M、D 分别是线段AA1、BC的中点．（1）求证：AD⊥CC1；（2）求证：AD∥平面MBC1．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，点D是线段BC的中点，∴AD⊥BC，又平面BB1C1C⊥底面ABC，AD⊂平面ABC，平面BB1C1C∩底面ABC＝BC，∴AD⊥平面BB1C1C，又CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1．（2）连结B1C，与BC1交于点E，连结EM，DE，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1是平行四边形，∴点E为B1C的中点，∵点D是BC的中点，∴DE∥B1B，DE＝B1B，又占M是AA1的中点，AA1∥BB1，∴AM∥B1B，AM＝BB1，∴AM DE，∴四边形ADEM是平行四边形，∴EM∥AD，又EM⊂平面MBC1，AD⊄平面MBC1，∴AD∥平面MBC1．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知A、B是椭圆+＝1的左右顶点，离心率为，且椭圆过定点，P为椭圆右准线上任意一点，直线P A，PB分别交椭圆于M，N．（1）求椭圆的方程；（2）若线段MN与x轴交于Q点且，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由椭圆离心率e＝＝，则a＝2c，则b2＝a2﹣c2＝3c2，将代入椭圆方程：，即，解得：c＝1，则a＝2，b＝，∴椭圆的标准方程：；（2）由（1）可知：则准线方程x＝＝4，设P（4，t），A（﹣2，0），B（2，0）则直线P A的斜率k1＝＝，直线P A的方程y＝（x+2），直线PB的斜率k1＝＝，直线PB的方程y＝（x﹣2），，解得：，则M（，），同理可得：N（，），由设Q（x，0），由，则＝（x﹣，﹣），＝（﹣x，），﹣＝λ，则λ＝＝＝＝3﹣，则＜λ＜3，λ的取值范围（，3）．18．（16分）如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成．若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元．已知，设∠EOD＝2θ，（1）将商业街的总收益f（θ）表示为θ的函数；（2）求商业街的总收益的最大值．【解答】解：（1）①当θ∈（0，]时，ED＝2θ，EF＝+cosθ；∴f（θ）＝2aθ+2a（+2cosθ）；②当θ∈（，）时，ED+F A+BC＝4θ﹣，EF＝2cosθ；∴f（θ）＝（4θ﹣）a+2a（4cosθ）；由①②可得，f（θ）＝；（2）①当θ∈（0，]时，f′（θ）＝2a（1﹣2sinθ）；由a＞0，填表如下：]，∴当θ＝时，f（θ）有最大值为（2+2+）a；②当θ∈（，）时，f′（θ）＝a（4﹣8sinθ）；∵a＞0，且sinθ∈（，1），∴f′（θ）＝a（4﹣8sinθ）＜0，∴f（θ）在θ∈（，）时单调递减，∴f（θ）＜f（）；又∵f（）＜f（），∴当θ∈（0，）时，在θ＝时f（θ）取得最大值为（2+2+）a；即θ＝时，商业街总收益最大，最大值为（2+2+）a．19．（16分）数列{a n}对于确定的正整数m，若存在正整数n使得a m+n＝a m+a n成立，则称数列{a n}为“m阶可分拆数列”．（1）设{a n}是首项为2，公差为2的等差数列，证明{a n}为“3阶可分拆数列”；（2）设数列{a n}的前n项和为（a＞0），若数列{a n}为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；（3）设，试探求是否存在m使得若数列{a n}为“m阶可分拆数列”．若存在，请求出所有m，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：a n＝2+2（n﹣1）＝2n．则a3+n＝2×（3+n）＝6+2n＝a3+a n．∴{a n}为“3阶可分拆数列”．（2）解：（a＞0），a1＝S1＝2﹣a，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣a﹣（2n﹣1﹣a）＝2n﹣1．∵数列{a n}为“1阶可分拆数列”，∴a n+1＝a1+a n，∴2n＝2﹣a+2n﹣1，∴a＝2﹣2n﹣1．令n＝1时，a＝1．（3）解：假设数列{a n}为“m阶可分拆数列”．则a m+n＝a m+a n成立，∴2n+m+（n+m）2+12＝2m+m2+12+2n+n2+12，化为：2n+m+2mn＝2m+2n+12，∴（2m﹣1）（2n﹣1）+2mn＝13．可得：m＝1，n＝3；m＝2，n不存在；m＝3，n＝1．m≥4时n不存在．∴只有两组：m＝1，n＝3；m＝3，n＝1．20．（16分）若实数x0满足p（x0）＝x0，则称x＝x0为函数p（x）的不动点．（1）求函数f（x）＝lnx+1的不动点；（2）设函数g（x）＝ax3+bx2+cx+3，其中a，b，c为实数．①若a＝0时，存在一个实数，使得x＝x0既是g（x）的不动点，又是g'（x）的不动点（g'（x）是函数g（x）的导函数），求实数b的取值范围；②令h（x）＝g'（x）（a≠0），若存在实数m，使m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，求证：函数h（x）存在不动点．【解答】（1）解：由题意可知lnx+1＝x，令φ（x）＝lnx﹣x+1，则φ′（x）＝，当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）为减函数，∴φ（x）先增后减，有极大值为φ（1）＝0．∴函数f（x）＝lnx+1的不动点为x＝1；（2）①解：由题意可知，，消去c，得，x0∈[，2]，∴b∈[]．②证明：h（x）＝g'（x）＝3ax2+2bx+c．由题意知，m，h（m），h（h（m）），h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，故可设公比为q，则，故方程h（x）＝qx有三个根m，h（m），h（h（m）），又∵a≠0，∴h（x）＝g'（x）＝3ax2+2bx+c为二次函数，故方程h（x）＝qx为二次方程，最多有两个不等根，则m，h（m），h（h（m））中至少有两个值相等．当h（m）＝m时，方程h（x）＝x有实数根m，也即函数h（x）存在不动点，符合题意；当h（h（m））＝m时，则qh（m）＝m，q2m＝m，故q2＝1，又各项均为正数，则q＝1，即h（m）＝m，同上，函数h（x）存在不动点，符合题意；当h（h（m））＝h（m）时，则qh（m）＝qm，h（m）＝m，同上，函数h（x）存在不动点，符合题意．综上所述，函数h（x）存在不动点．数学Ⅱ（附加题）[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵A＝，A的逆矩阵A﹣1＝（1）求a，b的值；（2）求A的特征值．【解答】解：（1）因为AA﹣1＝＝＝，所以解得a＝1，b＝﹣．…（5分）（2）由（1）得A＝则A的特征多项式f（λ）＝＝（λ﹣3）（λ﹣1）．令f（λ）＝0，解得A的特征值λ1＝1，λ2＝3．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．若以直角坐标系xOy的O为极点，Ox为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程是ρsin2θ＝6cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程ρsin2θ＝6cosθ化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），当直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρsin2θ＝6cosθ，即ρ2sin2θ＝6ρcosθ，化为直角坐标方程：y2＝6x，表示焦点在x轴上的抛物线、顶点为原点，向右开口．（2）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C可得：t2﹣4t﹣12＝0，解得t＝6或﹣2．∴|AB|＝|﹣2﹣6|＝8．23．如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB＝90°，A1B1∥AB，AB＝AA1＝2A1B1＝2．直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点．（Ⅰ）求证：A1C1⊥AP；（Ⅱ）当点P是线段BB1中点时，求二面角P﹣AM﹣B的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线A1C∥平面AMP？请说明理由．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：由已知∠A1AB＝∠A1AC＝90°，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，所以∠BAC＝90°，即AC⊥AB．又因为AC⊥AA1且AB∩AA1＝A，所以AC⊥平面AA1B1B．由已知A1C1∥AC，所以A1C1⊥平面AA1B1B．因为AP⊂平面AA1B1B，所以A1C1⊥AP．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AC，AB，AA1两两垂直．分别以AC，AB，AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知AB＝AC＝AA1＝2A1B1＝2A1C1＝2，所以A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2）．因为M为线段BC的中点，P为线段BB1的中点，所以．易知平面ABM的一个法向量＝（0，0，1）．设平面APM的一个法向量为＝（x，y，z），由，得取y＝2，得＝（﹣2，2，﹣3）．由图可知，二面角P﹣AM﹣B的大小为锐角，所以＝＝＝．所以二面角P﹣AM﹣B的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）存在点P，使得直线A1C∥平面AMP．设P（x1，y1，z1），且，λ∈[0，1]，则（x1，y1﹣2，z1）＝λ（0，﹣1，2），所以x1＝0，y1＝2﹣λ，z1＝2λ．所以．设平面AMP的一个法向量为＝（x0，y0，z0），由，得取y0＝1，得（显然λ＝0不符合题意）．又，若A1C∥平面AMP，则．所以．所以．所以在线段BB1上存在点P，且时，使得直线A1C∥平面AMP．…（14分）【必做题】本题满分0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．已知函数f（x）＝（x﹣1）e x+1（x＞0）求证：（1）f（x）＞0（2）对∀n∈N*，若，x1＝1，求证：．【解答】证明：（1）∵f（x）＝（x﹣1）e x+1，∴f′（x）＝e x+（x﹣1）e x＝xe x，当x＞0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，因此f（x）＞f（0）＝0；（2）首先用数学归纳法证明x n＞．①当n＝1时，x1＝1＞，∴x1＞成立．②假设n＝k时，x k＞．那么当n＝k+1时，，则，当x＞0时，由不等式e x﹣1＞x得＞1且g（x）＝在（0，+∞）单调递增，∵x k＞，∴＞＞．∴x k+1＞．由①②可知，对任意的正整数n，总有x n＞，则．由（1）知（1﹣x n）＜0，∴＜x n．由，知x n+1＜x n．∴．。
南通市2017届高三第二次调研测试
i ←1While i < 6 i ←i +2 S ←2i +3 End While Print S（第3题）南通市2017届高三第二次调研测试数学Ⅰ参考公式：（1）球的体积公式：34πV R =球，其中R 为球的半径．（2）锥体的体积公式：13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B = ▲ ．2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．4． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组（第4题）及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是 ▲ ． 5． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标 是 ▲ ．7． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实 心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ． 8． 函数()f x 的定义域是 ▲ ．9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值 是 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ．11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7，则 BC →·DC →的值是 ▲ ．12．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ．13．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ．14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最小值 时，a 的值是 ▲ ．(第11题)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知()πsin 4α+=，()ππ2α∈，． 求：（1）cos α的值； （2）()πsin 24α-的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ． 求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →=12OC →，求直线AB 的斜率．C 1ACA 1B 1 D(第16题)E18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30° 方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是 走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．19．（本小题满分16分）已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由；北(第18题)（3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．南通市2017届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ∠=∠． 求证：2AD BC AC CD ⋅=⋅．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）与曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）（第21—A 题）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长． D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz =，求证：333111xy yz zx x y y z z x ++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱． （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为2a ．求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．23．（本小题满分10分）设*2n n ∈N ≥，．有序数组()12n a a a ⋅⋅⋅，，，经m 次变换后得到数组()12m m m n b b b ⋅⋅⋅，，，，，，，其中11i i i b a a +=+，，111m i m i m i b b b --+=+，，，（i =1，2，⋅⋅⋅，n ），11n a a +=，1111m n m b b -+-=，，(2)m ≥．例如：有序数组()123，，经1次变换后得到数组()122331+++，，，即()354，，；经第2次 变换后得到数组()897，，． （1）若 (12)i a i i n ==⋅⋅⋅，，，，求35b ，的值； （2）求证：0C mj m i i j m j b a +==∑，，其中i =1，2，⋅⋅⋅，n ．（注：当i j kn t +=+时，*k ∈N ，t =1，2，⋅⋅⋅，n ，则i j t a a +=．）南通市2017届高三第二次调研测试（第3题）i ←1While i < 6 i ←i +2 S ←2i +3 End While Print S数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B = ▲ ．【答案】{}03， 2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ．3． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．【答案】174． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是 ▲ ． 【答案】1805． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ． 【答案】4（或0.16）6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横 坐标是 ▲ ．【答案】27． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个 实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ．（第4题）8． 函数()f x 的定义域是 ▲ ． 【答案】[]22-，9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ． 【答案】5-10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ． 【答案】2281x y +=11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7， 则BC →·DC →的值是 ▲ ．【答案】912．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ．13．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(01)，14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最 小值时，a 的值是 ▲ ． 【答案】4-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．(第11题)15．（本小题满分14分）已知()πsin 4α+=，()ππ2α∈，． 求：（1）cos α的值； （2）()πsin 24α-的值．解：（1）法一：因为()ππα∈，，所以()π3π5πα+∈，，又()πsin 4α+=，所以()πcos 4α+=． …… 3分所以()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()ππππcos cos sin sin 4444αα=+++=35=-． …… 6分法二：由()πsin 4α+得，ππsin cos cos sin 44αα+，即1sin cos 5αα+=． ① …… 3分又22sin cos 1αα+=. ②由①②解得3cos 5α=-或cos α=45．因为()ππ2α∈，，所以3cos 5α=-． …… 6分 （2）因为()ππα∈，，3cos 5α=-，所以4sin 5α=． …… 8分所以()4324sin22sin cos 25525ααα==⨯⨯-=-，()2237cos22cos 12525αα=-=⨯-=-． …… 12分所以()πππsin 2sin 2cos cos2sin 444ααα-=-()()2472525=--=． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ． 求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，四边形A 1ACC 1为平行四边形． 又E 为A 1C 与AC 1的交点，所以E 为A 1C 的中点． …… 2分同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC ． …… 4分 又BC ⊂平面B 1BCC 1，DE ⊄平面B 1BCC 1，所以DE ∥平面B 1BCC 1． …… 7分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥． …… 9分 又AC BC ⊥，1ACAA A =，1AC AA ⊂，平面11A ACC ，所以BC ⊥平面11A ACC ． …… 12分 因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． …… 14分C 1ACA 1B 1 D(第16题)E17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →=12OC →，求直线AB 的斜率．解：（1）因为椭圆的离心率为23，23=，即2259b a=．①又因为点C ()523，在椭圆上，所以2242519a b +=． ② …… 3分 由①②解得2295a b ==，．因为0a b >>，所以3a b ==， …… 5分（2）法一：由①知，2259b a =，所以椭圆方程为2222915y x a a+=，即222595x y a +=．设直线OC 的方程为x my =()0m >，11()B x y ，，22()C x y ，．由222595x my x y a=⎧⎨+=⎩，得2222595m y y a +=， 所以222559a y m =+．因为20y >，所以2y =…… 8分 因为AB →=12OC →，所以//AB OC ．可设直线AB 的方程为x m y a =-．由222595x my a x y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=， 所以0y =或21059am y m =+，得121059am y m =+． …… 11分因为AB →=12OC →，所以()()11221122x a y x y +=，，，于是212y y =，(第17题)2059am m =+()0m >，所以m =． 所以直线AB的斜率为1m =． …… 14分法二：由（1）可知，椭圆方程为222595x y a +=，则(0)A a -，． 设11()B x y ，，22()C x y ，．由AB →=12OC →，得()()11221122x a y x y +=，，，所以1212x x a =-，1212y y =． …… 8分 因为点B ，点C 都在椭圆222595x y a +=上， 所以()()22222222225951595.22x y a y x a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 解得24a x =，2y =， …… 12分所以直线AB的斜率22y k x == …… 14分18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏 东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由． 解：（1）设缉私艇在C 处与走私船相遇（如图甲），依题意，3AC BC =． …… 2分 在△ABC 中，由正弦定理得，北sin sin BC BAC ABC AC ∠=∠sin1203==．因为sin17°≈，所以17BAC ∠=°． 从而缉私艇应向北偏东47方向追击． …… 5分 在△ABC 中，由余弦定理得，2224cos1208BC AC BC+-=，解得BC 1.68615≈．又B 到边界线l 的距离为3.84sin30 1.8-=．因为1.68615 1.8<，所以能在领海上成功拦截走私船． …… 8分 （2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ． 则(2B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 船相遇，则3PA PB=3=．整理得，()(229944x y -+=， …… 12分所以点()P x y ，的轨迹是以点(94为圆心，32为半径的圆． 因为圆心(94到领海边界线l ： 3.8x =的距离为1.55，大于圆半径3，所以缉私艇能在领海内截住走私船． …… 14分 答：（1）缉私艇应向北偏东47方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． …… 16分19．（本小题满分16分）已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；A BC图甲（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为ln ()()e x xy f x g x ==，所以11e ln e ln e e x x x x xx x y ⋅-⋅-'==，故11e x y ='=． 所以函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程为1(1)ey x =-，即e 10x y --=． …… 2分（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln e x p x g x f x x λλ=+=+，则e ()ex xx p x x λ-'=． …… 4分 假设e λ≤．① 若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． …… 6分 ② 若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-．令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数； 当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥， 所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数．又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．综合①②，假设不成立，所以e λ>． …… 9分 （3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0． 记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1，则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=． ① 当1e a ≤时，因为211ee x x ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥， 所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立． …… 12分 ② 法一：当1e a >时，由（2）知e e x x ≥，3211e e a x F x a x x x-'-=()≤，当()1e 1a x -<<时，0F x '<()，()F x 为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意． 法二：当1ea >时，一方面1=1e 0F a '-<()．另一方面，111e x a ∃=<，()()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．所以01(1)x x ∃∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意．综上，1ea ≤． …… 16分20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．解：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． …… 2分 （2）{}n a 不是等比数列．理由如下： 假设{}n a 是等比数列，公比为q ，当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=，所以2(1)6r q q q ++=， （i ） …… 4分 当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+，所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ） …… 6分由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立．故{}n a 不是等比数列． …… 8分（3）当r =2时，易知3122a a a +=．由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得 2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯--=…… ()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--，所以11121n n a a a a a a----==⋅⋅⋅=，令21a a -=d ，则11n a a d n -=-(2)n ≥． …… 14分 所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式， 所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ∠=∠． 求证：2AD BC AC CD ⋅=⋅． 证明：连结OC ．因为ACB ADC ∠=∠，ABC ADC ∠=∠，所以ACB ABC ∠=∠．3分 因为OC =OD ，所以OCD ADC ∠=∠． 所以ACB OCD ∠=∠．所以△ABC ∽△ODC ． …… 8分 所以AC BC OC CD=，即AC CD OC BC ⋅=⋅．因为12OC AD =，所以2AD BC AC CD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 解：法一：设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1206a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （第21—A 题）所以1a =-，262a b +=-，0c =，263c d +=． …… 4分 解得0b =，12d =，所以10102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． …… 6分 根据逆矩阵公式得，矩阵11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分 法二：在A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦两边同时左乘逆矩阵1-A 得， 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-A 1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …… 4分设1-=A a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1a -=，232a b -+=，0c -=，236c d -+=． …… 6分 解得1a =-，0b =，0c =，2d =，从而11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）与曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =． …… 3分将直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）代入28y x =得，2240l -+=， …… 6分解得1l =2l =则12l l -=所以线段AB的长为 …… 10分 法二：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =， …… 3分将直线32x y ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）化为普通方程为30x y -+=， …… 6分由28302y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得，122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或926.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以AB…… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz =，求证：333111xy yz zx x y y z z x ++++≥． 证明：因为x y z ，，均为正实数，且1xyz =，所以3122xy yz x x y +=≥，3122yz xz y y z+=≥，3122xz xy z z x +=≥． …… 8分 所以333111xy yz zx x y y z z x ++++≥． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱． （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为2a ．求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望． 解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有1首原创新曲被演唱”．所以()4548C 13()1114C P A P A =-=-=．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314． …… 4分（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3． 依题意，()24X ax a x =+-，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则4548C 1(8)(0)14C P X a P x =====，133548C C 3(7)(1)7C P X a P x =====，223548C C3(6)(2)7C P X a P x =====，313548C C 1(5)(3)14C P X a P x =====．从而X 的概率分布为：…… 8分所以X 的数学期望()133191876514771414E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯=．…… 10分23．（本小题满分10分）设*2n n ∈N ≥，．有序数组()12n a a a ⋅⋅⋅，，，经m 次变换后得到数组()12m m m n b b b ⋅⋅⋅，，，，，，，其中11i i i b a a +=+，，111m i m i m i b b b --+=+，，，（i =1，2，⋅⋅⋅，n ），11n a a +=，1111m n m b b -+-=，，(2)m ≥．例如：有序数组()123，，经1次变换后得到数组()122331+++，，，即()354，，；经第 2次变换后得到数组()897，，． （1）若 (12)i a i i n ==⋅⋅⋅，，，，求35b ，的值； （2）求证：0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中i =1，2，⋅⋅⋅，n ．（注：当i j kn t +=+时，*k ∈N ，t =1，2，⋅⋅⋅，n ，则i j t a a +=．） 解：（1）依题意，()12345678n ⋅⋅⋅，，，，，，，，，经1次变换为：()35791113151n ⋅⋅⋅+，，，，，，，，， 经2次变换为：()812162024284n ⋅⋅⋅+，，，，，，，， 经3次变换为：()202836445212n ⋅⋅⋅+，，，，，，，所以3552b =，． …… 3分（2）下面用数学归纳法证明对*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． （i ）当1m =时，11110C j i i i i j j b a a a ++==+=∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，，结论成立； （ii ）假设*()m k k =∈N 时，k i b =，0C kj i jk j a+=∑，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 5分 则1m k =+时，11k i k i k i b b b ++=+，，，10C C kkjj i j ki j k j j a a +++===+∑∑1101C C kk j j i j ki j k j j a a +-++===+∑∑()0111C C C C kj j ki ki j k k i k k j a a a -+++==+++∑0111111C C C kj k i k i j k i k k j a a a +++++++==++∑ 110C k j i j k j a +++==∑，所以结论对1m k =+时也成立．由（i ）（ii ）知，*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 10分。
江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(10) Word版含答案
2017年高考模拟试卷(10)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 设全集{2,1,0,1,2},{2,1,2}U A =--=-，则U A =ð ▲ .2． 设a ∈R ，i 是虚数单位，若()()1a i i +-为纯虚数，则a = ▲ ．3． 在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为__▲______.4. 棱长均为2的正四棱锥的体积为 ▲ .5． 已知m ∈{-1，0，1}，n ∈{-2，2}，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是 ▲ ．6． 如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 7． 已知正数a ，b 满足a 2-ab 10+=，则8a b +8． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线22x y -点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ∆面积为 ▲ ．9． 已知ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且5tan B 则sin B 的值是 ▲ ．10．已知函数2()||2x f x x +=+，x R ∈，则2(2)f x x f -<解集是 ▲ ．11．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列{}nS 也为等差数列，则11a = ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0)(0)A t t ->，，(0)B t ，，点C 满足8AC BC ⋅=，且点C 到直线l ：34240x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是 ▲ ．13. 设函数⎩⎨⎧≥<-=1,21,13)(2x x x x x f ，则满足2))((2))((a f a f f =的a 的取值范围为▲ ．14. 已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x R ∀∈恒成立，则2m a b +-= ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，三个内角分别为A,B,C ，已知sin(A )2cosA 6π+=．（1）若cosC =230a c -=．（2）若(0,)3B π∈，且4cos()5A B -=，求sinB ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒，1,DC AD ==PB =PC .（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ；（2）若M 为BC 的中点，求证：MN ⊥BC ．17.(本小题满分14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是点,E F 在直径AB 上，且（1，求AE 的长；（2求该空地产生最大经济价值时.NDCBAP（第18题）18．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为，点()12 33A ，在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点(4)P t t -，在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C （1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线CD 的斜率为定值．19．(本小题满分16分）设R ∈a ，函数ax x x f -=ln )(． （１）求)(x f 的单调递增区间；（２）设，ax ax x f x ++=2)()(F 问)(F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（３）设),(B ),(A 2211y x y x ，是函数ax x f x g +=)()(图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，),(C 00y x 直线AB 的斜率为k ．证明：)(0x g k '>．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n ，都有123a a a +++⋅⋅⋅1n n a ka -++21n ta =-（k ，t 为常数）成立．（1）若12k =，14t =，问：数列{}n a 是否为等差数列？并说明理由；（2）若数列{}n a 是等比数列，求证：t =0，且0k <．第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图,∠PAQ 是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ,与射线AQ 相交于两点B C 、．求证：BT 平分∠OBA ．B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点P (x ，3)在矩阵M 1234⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点Q (y -4，y +2)，求2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M ．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l ：cos sin x t my t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 5y x （ϕ为参数）的右焦点F ．（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB ⋅的最大值与最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知 a b c ，，均为正数，且a ＋2b ＋3c ＝9．求证：14a ＋118b ＋1108c≥19．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．一个袋中装有黑球，白球和红球共n (n ∈N*)个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若n ＝15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，，集合nA 中满足条件 “121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：nm S 111322n m n +++<+-．2017年高考模拟试卷(10)参考答案一、填空题1.{1,0}-2.1-3.32．4. 5．23. m 、n 的取法共有3×2＝6种，即共有6条直线，其中当m ＝0，n ＝2和m ＝－1，n ＝2，直线10mx ny ++=恰好不经过第二象限，所有经过第二象限的直线有4条，所以P ＝23． 6.54． 7.6.8. ．9. 35.10．（1,2）. 10()4102x f x x x ≥⎧⎪=⎨--<⎪-⎩，由2220234x x x x x ⎧-<⎪⎨-<-⎪⎩得1<x<2. 11． 63 .可设,n S an b ==+平方比较系数得，B=b=0,故知n S =，结合113S a ==，所以23n S n =，则11111063a S S =-=.12.1. 设() C x y ，，则2228AC BC x y t ⋅=+-=，所以点C为半径的圆，故圆心到直线的距离24955d ==+1t =（负舍）.设()t f a =，所以2))((2))((a f a f f =化为()22f t t =由函数式得()23121t t t -=<或()22221t t t =≥，即或，因此a 的取值范围为14．3. 2()()()[(31)(2)]0mxf x f x x b m x a b ma mb x ab '-=--++---≤，可知13m =，进而()[(2)3]0x b a b x ab -+-≤，由于0b ≠得a=b ，所以2m a b +-=2/3 .二、解答题15． 因为sin(A )2cosA 6π+=1A cos A 2cos A 2+=，即sin A =，因为()A 0,∈π，且cosA 0≠，所以tan A A 3π=.（1）因为22sin C cos C 1+=，cosC =()C 0,∈π，所以sin C = 由正弦定理知a csin A sinC =，即32a sin A c sinC ===，即230a c -= （2）因为(0,)3B π∈，所以033A B B ,ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，因为22sin ()cos ()1A B A B -+-=，所以3sin()5A B -=， 所以()()sin sin sin cos()cossin()B A A B A A B A A B =--=---. 16．（1）取PB 的中点E ，连接NE ，CE ，因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，60ABC ∠=︒， 1,DC AD ==易得AC =CB = AB =2，又因E 为PB的中点，N 为PA 的中点， 所以NE ∥CD 且NE =CDB所以四边形CDNE 是平行四边形 所以DN ∥CE ； 又CE ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC … 所以DN ∥平面PBC （2）连接AM ，PM ． 因为PB =PC ，M 为BC 的中点所以PM ⊥BC ， 因为AC =AB ，M 为BC 的中点所以AM ⊥BC ， 又因为AMPM M =， ,AM PM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ． 因为NM ⊂平面PAM ， 所以MN ⊥BC ．17．（1，已知点C 在以AB 为直径的半圆周上，所以ABC ∆为直角三角形， 因为8AB =，，4AC =，在ACE ∆中由余弦定理2222cos CE AC AE ACAE A =+-，且，所以在ACF ∆中由正弦定理得在ACE ∆中，由正弦定理得：，若产生最大经济效益，则CEF ∆的面积ECFS D 最大，MN DCBAP时，ECF S D 取最大值为18．（1）易得()()222212331a b +=，且=解得21a =，212b =，所以椭圆E 的方程为2221x y +=；（2）设00()P x y ，，11( )A x y ，，22( )B x y ，，33( )C x y ，，44( )D x y ，， 则0040x y +=，221121x y +=，222221x y +=， 又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，， 则1013110131(1) (1) x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，，代入椭圆2221x y +=并整理得，22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，从而有 2210001011(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-， ①同理可得，2220002022(1)(2)2(2)1,x y x x y y λλ++-+=-②①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=，因为220021x y +<,所以12λλ=，从而//AB CD ，故2CD AB k k ==. 19（Ⅰ）（1）当0≤a 时，∵0>x ，∴0)(>'x f 恒成立，)(x f 的单调增区间为),0(+∞； （2）当0>a 时，令0)(>'x f ，即∴)(x f 的单调增区间为综上所述：当0≤a 时，)(x f 的单调增区间为),0(+∞；当0>a 时，)(x f 的单调增区间为（Ⅱ） 2ln )(F ax x x +=，得当0≥a 时，恒有0)(F >'x ，∴)(F x 在),0(+∞上为单调增函数， 故)(F x 在),0(+∞上无极值；当0<a 时，令0)(F ='x ，得减．，)(F x 无极小值 综上所述：当0≥a 时，)(F x 无极值；当0<a 时，)(F x 有极大值要证)(0x g k '>，即证不妨设210x x <<，即证，其中),1(+∞∈t ，所以)(t k 在),1(+∞上单调递增，因此0)1()(=>k t k ，即结论成立． 20．（1）当12k =，14t =时，2123111124n n n a a a a a a -+++⋅⋅⋅++=- ()2n ≥，① 所以212321111124n n n a a a a a a ---+++⋅⋅⋅++=- ()3n ≥，②①-②得，2211111112244n n n n n a a a a a ---+-=-()3n ≥，即()()1120n n n n a a a a --+--=()3n ≥， 因为数列{}n a 是正项数列，所以10n n a a -+>，从而12n n a a --=()3n ≥， ①中，令2n =得，212211124a a a +=-， ③若数列{}n a 是等差数列，则必有212a a -=，④由③④得，11a =+（负值已舍），所以，当且仅当11a =时，数列{}n a 是公差为2的等差数列；否则，数列{}n a 不是等差数列；（2）因为212311n n n a a a a ka ta -+++⋅⋅⋅++=- ()2n ≥，⑤ 所以21232111n n n a a a a ka ta ---+++⋅⋅⋅++=- ()3n ≥， ⑥ ⑤-⑥得，22111n n n n n a ka ka ta ta ---+-=-()3n ≥，⑦依题意，设11n n a a q -=()1 0a q >，， 代入⑦得，()[]2211(1)10n t a q q k q -⋅---+=()3n ≥， ⑧ 若1q =，则10=（矛盾），若1q ≠，⑧中，令3n =，4得，()212211(1)1 (1)(1)1 t a q q k q t a q q k q ⎧⋅-=-+⎪⎨⋅-=-+⎪⎩，，两式相减得，()211(1)0a q q q t +-=，因为1 0 1a q q >≠，，且，所以0t =， 此时123110 (2)n n a a a a ka n -+++⋅⋅⋅++=-<≥，又因为数列{}n a 是正项数列，所以0k <，即证．第II 卷（附加题，共40分）21.A . 因为AT 是切线，所以OT ⊥AP ．又因为∠PAQ 是直角，即AQ ⊥AP ,所以AB ∥OT ，所以∠TBA =∠BTO ．又OT =OB ，所以∠OTB =∠OBT ，所以∠OBT =∠TBA ,即BT 平分∠OBA ．B ．依题意，1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦3x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦42y y -⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，即64 3122 x y x y +=-⎧⎨+=+⎩，，解得010x y =⎧⎨=⎩，，21 21 27 103 43 415 22M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 所以，27 1001001022015 22x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦M ．C ．（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=，因为5,3,4a b c ===,则点F 的坐标为(4,0).因为直线l 经过点(,0)m ，所以4m =.（2）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则12||FA FB t t ⋅==22281819cos 25sin 916sin ααα=++．当sin 0α=时，FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，FA FB ⋅取最小值8125．D ． 因为a ，b ，c 都是正数，所以(a +2b +3c )()2111418108a b c+++≥， 因为a +2b +3c ＝9，所以14a +118b +1108c ≥19． 22．（1）设袋中黑球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A ，则2()155x P A ==，∴x ＝6． 设袋中白球的个数为y (个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17y C P B C -=-=，∴y 2－29y ＋120＝0， ∴y ＝5或y ＝24（舍）∴红球的个数为4(个)．∴随机变量ξ的取值为0，1，2，ξ的分布列是数学期望11442560122110535105E ξ=⨯+⨯+⨯=＝158． （2）设袋中有黑球z 个，则z ＝25n (n ＝5，10，15…）．设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C ，则P (C )＝1－2522C n n C =2125+625×1n －1， 当n ＝5时，P (C )最大，最大值为910．23．（1）228S =，4232S = . （2）设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，,中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112nC ， 同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,,n x x x x ，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n nC -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++=，即123,,,n x x x x ，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ，故共有2n m m nC -种可能，即为2m m n C ， 所以1122222n m m mn n n S C C C =++⋅⋅⋅+， 因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k nC -≥, 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(九)-答案
若 2 ，即 p2 mr 时，则 2 ，所以 ，矛盾；
若 2 ，则 2 ( ) 2 0 ，所以 1 ( ) 1， 2
1,
2
得，
x y
12t t2 18
18 t2 t2 18
, .
，故
Q(
t
12t 2 18
,
18 t2 t2 18
)
．
所以直线 PM 的斜率 kPM
t2 t2
2 2
1 2
t
4t 2
2
6 t2 8t
，
直线 QM 的斜率 kQM
18 t2 t2 18
an an1 4Sn 1
a an n1 4Sn 1
所以 4Sn
1
2an an 1 an1 an
①．
所以
4Sn1
1
2a a n1 n2
a a n2
n 1
②，
由 ② ① ，得 2an1
a a n1 n2
a a n2
n 1
a an n1 an1 an
因为 b1
a1 a2 a1
3 4
，所以数列{bn} 的通项公式为 bn
n
1 4
．
（3）由（2）知， an n 1 ，所以 an1 1 1 4n 3 ，
an1 an
4
an
n
1 4
4n 1
2017届南通二模
南通市2017届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ． 【答案】564． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】75006． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】1107． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．（第4题）9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点，则PB的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】3(2)2-，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα-=，(0π)α∈，，求角α的值．（第12题）（第16题）BCDP M N【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =1A =，所以()π()sin 3f x x =+．…… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα++-=，…… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点． 求证：（1）MN ∥平面P AB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，（第17题）又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CDPD D =，所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． (5)分方法二：由题意，知24a ，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为221y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x ==， 所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k -+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，， 由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)x D ，，所以01x FD =+． …… 10分 同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB =． 综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+-22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ， DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以直线为x 轴，OQ 所在直线为y 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， 设直线EF 的方程为1(2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 1|1|21tk -=，解得244t k t =-． …… 3分 O（第18题）代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t+，． …… 5分所以14t tEF =+， 即1EF t =+（02t <<）． …… 7分 方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t =+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分 ② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t ty '=+-+--=， …… 13分 因为12t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)3，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分O答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）．（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为11()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调． 【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当1a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则11ln x x <，即ln x <． …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减， 综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结P A ，PB ，CD ，BC ．因为∠P AB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠P AB =∠PBA ，（第21-A 题）所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-． 令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分 又因为点π)4，在圆C 上，所以πcos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分D ACBSPE方法二：点π)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，所以54a b c d a +++=≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =． （1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，，所以(222)SB =-，，，(012)SC =-，，，(002)DS =，，． 设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由10SB ⋅=n ，10SC ⋅=n ， 得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ．设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n ，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A -- …… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =，，，(111)CE =-，，．设CP CB λ=（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos 5PE CD PE CD PE CD α⋅===，， …… 8分，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP =，，，5CP =所以线段CP …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。
2017届南通二模
南通市2017届高三第三次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 为虚数单位）．若(43i)i z =+，则ab 的值是 ▲ ．【答案】12-2． 已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x ≥，则U A ð= ▲ ．【答案】{|02}x x <<3． 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ▲ ． 【答案】564． 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】35． 为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本．其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人．若其他年级共有学生 3000人，则该校学生总人数是 ▲ ． 【答案】75006． 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若公差2d =，510a =，则10S 的值是 ▲ ． 【答案】1107． 在锐角△ABC 中，3AB =，4AC =．若△ABC 的面积为BC 的长是 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221x y a-=（0a >）经过抛物线28y x =的焦点，则 该双曲线的离心率是 ▲ ．（第4题）9． 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为 ▲ ．【答案】10．若直线2y x b =+为曲线e x y x =+的一条切线，则实数b 的值是 ▲ ． 【答案】111．若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】812．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90ABC ∠=︒，3AB =，2BC DC ==．若E F ，分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]46-，13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)A -，，点(11)B -，，P 为圆222x y +=上一动点，则PB的最大值是 ▲ ． 【答案】214．已知函数3()3 .x x a f x x x x a ⎧=⎨-<⎩≥，，，若函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】3(2)2-，二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα-=，(0π)α∈，，求角α的值．（第12题）（第16题）BCDP M N【解】（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =1A =，所以()π()sin 3f x x =+．…… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα++-=，…… 8分 即()()ππsin 133αα++=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP =AD ， M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点． 求证：（1）MN ∥平面P AB ； （2）AM ⊥平面PCD ．【证】（1）因为M ，N 分别为棱PD ，PC 的中点， 所以MN ∥DC ， …… 2分又因为底面ABCD 是矩形，所以AB ∥DC ，所以MN ∥AB ． …… 4分 又AB ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB ． …… 6分 （2）因为AP =AD ，M 为PD 的中点，所以AM ⊥PD ． …… 8分因为平面P AD ⊥平面ABCD ，（第17题）又平面P AD ∩平面ABCD = AD ，CD ⊥AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ． …… 10分又AM ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AM ． …… 12分 因为CD ，PD ⊂平面PCD ，CDPD D =，所以AM ⊥平面PCD ． …… 14分17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的左焦点为(10)F -，，且经过点3(1)2，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA DB =，求AB DF【解】（1）方法一：由题意，得2222211914c a b a b c ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，，，…… 3分解得2243.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22143y x +=． (5)分方法二：由题意，知24a ，所以2a =． …… 2分 又1c =，222a b c =+，所以b =，所以椭圆的标准方程为221y x +=． …… 5分（2）方法1：设直线AB 的方程为(1)y k x =+．① 若k =0时，AB =2a =4，FD =FO =1，所以4AB DF =； …… 6分② 若k ≠0时， 11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，代入椭圆方程，整理得2222(34)84120k x k x k +++-=，所以12x x ==， 所以202434k x k=-+， …… 8分所以0023(1)34k y k x k =+=+， 所以AB 的垂直平分线方程为()2223143434k k y x k k k -=-+++．因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以22(0)34k D k -+，， 所以22223313434k k DF k k +=-+=++． …… 10分 因为椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+，同理21(4)2BF x =+．所以2120211212()44234k AB AF BF x x x k +=+=++=+=+． …… 12分 所以4AB DF=．综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法2：设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，，① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =； …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，，AB 的中点为00()M x y ，， 由22112222144144x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得22221212043x x y y --+=，所以120120()()043x x x y y y -⋅-⋅+=， 所以直线AB 的斜率为01212034x y y x x y -=--， …… 8分 所以AB 的垂直平分线方程为00004()3y y y x x x -=-． 因为DA =DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以0(0)x D ，，所以01x FD =+． …… 10分 同方法一，有04AB x =+， …… 12分所以4AB =． 综上，得AB DF的值为4． …… 14分方法3：① 若直线AB 与x 轴重合，4AB DF =． …… 6分② 若直线AB 不与x 轴重合，设11()A x y ，，22()B x y ，， 则AB 的中点为1212()22x x y y M ++，， 所以AB 的垂直平分线方程为12121212()22y y x x x xy x y y +-+-=---． 8分 令y =0，得221212122()2D y y x x x x x -+=+-22221212122()y y x x x x -+-=-2222121212113(1)3(1)442()x x x x x x -+-+-=-22121211442()x x x x -=-128x x +=．所以1218x x DF +=+． …… 10分 同方法一，有121()42AB x x =++， …… 12分所以4AB DF=．综上，得AB DF 的值为4． …… 14分18．（本小题满分16分）如图，半圆AOB 是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA 的长为1百米． 为了保护景点，基地管理部门从道路l 上选取一点C ，修建参观线路C -D -E -F ，且CD ， DE ，EF 均与半圆相切，四边形CDEF 是等腰梯形．设DE ＝t 百米，记修建每1百米参 观线路的费用为()f t 万元，经测算150()118 2.3t f t t t ⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t 表示线段EF 的长； （2）求修建该参观线路的最低费用．【解】设DE 与半圆相切于点Q ，则由四边形是等腰梯形知OQ l ⊥，DQ ＝QE ，以直线为x 轴，OQ 所在直线为y 所示的平面直角坐标系xOy ． （1）方法一：由题意得，点E 的坐标为(1)2t ，， 设直线EF 的方程为1(2t y k x -=-（0k <），即1102kx y tk -+-=．因为直线EF 与半圆相切，所以圆心O 到直线EF 1|1|21tk -=，解得244t k t =-． …… 3分 O（第18题）代入1()2t y k x -=-可得，点F 的坐标为1(0)4t t+，． …… 5分所以14t tEF =+， 即1EF t =+（02t <<）． …… 7分 方法二：设EF 切圆O 于G ，连结过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ． 因为EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，所以Rt △EHF ≌Rt △OGF ， …… 3分 所以12HF FG EF t ==-．由222111()2EF HF EF t =+=+-， …… 5分所以14t EF t =+（02t <<）． …… 7分（2）设修建该参观线路的费用为y 万元．① 当103t <≤，122())4355(2t t t y t t ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦++，由235(22)0y t '=-<，则y 在(103⎤⎥⎦，上单调递减． 所以当13t =时，y 取最小值为32.5； …… 11分 ② 当123t <<时，2111632)2()4(1228t t t t t t y t ⎡⎤=-=+⎢⎥⎣--⎦++，所以22334(1)(331)16241t t t t t ty '=+-+--=， …… 13分 因为12t <<，所以23310t t +->，且当1(1)3t ∈，时，0y '<；当(12)t ∈，时，0y '>， 所以y 在1(1)3，上单调递减；在(12)，上单调递增． 所以当1t =时，y 取最小值为24.5．由①②知，y 取最小值为24.5． …… 15分O答：（1）EF 的长为1()4t t+百米；（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元． …… 16分19．（本小题满分16分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列，1q ≠±，正整数组 ()E m p r =，，（m p r <<）．（1）若122331a b a b a b +=+=+，求q 的值；（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且m p a b +=p r a b +=r m a b +，求q 的最大值；（3）若11()n n b -=-，m m a b +=p p a b +=0r r a b +=，试写出满足条件的一个数组E和对应的通项公式n a ．（注：本小问不必写出解答过程）【解】（1）由条件，知21111211112a b q a d b q a d b q a d b ⎧+=++⎪⎨++=++⎪⎩，，即2121()(1).d b q q d b q ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以2210q q --=． …… 2分 因为1q ≠±，所以12q =-． …… 4分（2）由m p a b +=p r a b +，即p m p r a a b b -=-，所以()()p m r m m p m d b q q ---=-，同理可得，()(1)r m m r p d b q --=-． …… 6分 因为m p r ，，成等差数列， 所以1()p m r p r m -=-=-．记p m q t -=，则有2210t t --=，因为1q ≠±，所以1t ≠±，故12t =-，即12p m q -=-． …… 8分所以10q -<<．记p m α-=，则α为奇数，又公差大于1，所以3α≥， …… 10分 所以11311||()()22q α=≥，即131()2q ≤-，当3α=时，q 取最大值为11()2-． …… 12分（3）满足题意的数组(23)E m m m =++，，， 此时通项公式为1133()(1)m n a n m -=---，*m ∈N ． 例如：(134)E =，，，31188n a n =-． …… 16分20．（本小题满分16分）已知函数2()cos f x ax x =+（a ∈R ），记()f x 的导函数为()g x ． （1）证明：当12a =时，()g x 在R 上单调递增；（2）若()f x 在0x =处取得极小值，求a 的取值范围；（3）设函数()h x 的定义域为D ，区间(+)m D ∞⊆，，若()h x 在(+)m ∞，上是单调函数，则称()h x 在D 上广义单调．试证明函数()ln y f x x x =-在(0)+∞，上广义单调． 【解】（1）当12a =时，21()cos 2f x x x =+，所以()sin f x x x '=-，即()sin g x x x =-， …… 2分 所以()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在R 上单调递增． …… 4分 （2）因为()i )2s n (g x x f ax x '=-=，所以2c (s )o a g x x -'=．① 当1a ≥时，()1cos 0g x x '-≥≥，所以函数()f x '在R 上单调递增． 若0x >，则()(0)0f x f ''>=；若0x <，则()(0)0f x f ''<=， 所以()f x 的单调增区间是(0)+∞，，单调减区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意． …… 6分 ② 当12a ≤-时，()1cos 0g x x '--≤≤，所以函数()f x '在R 上单调递减．若0x >，则()(0)0f x f ''<=；若0x <，则()(0)0f x f ''>=， 所以()f x 的单调减区间是(0)+∞，，单调增区间是(0)-∞，， 所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意． …… 8分 ③ 当1122a -<<时，0(0)x ∃∈π，，使得0cos 2x a =，即0()0g x '=，但当0(0)x x ∈，时，cos 2x a >，即()0g x '<，所以函数()f x '在0(0)x ，上单调递减，所以()(0)0f x f ''<=， 即函数()f x 在0(0)x ，单调递减，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是)12⎡+∞⎢⎣，． …… 10分（3）记2()cos ln h x ax x x x =+-（0x >），① 若0a >，注意到ln x x <，则11ln x x <，即ln x <． …… 12分当2x >时，()2sin 1ln 22h x ax x x ax '=--->-0=>．所以2m ∃=，函数()h x 在()m +∞，上单调递增．…… 14分 ② 若0a ≤，当x >1时，()2sin 1ln sin 1ln h x ax x x x x '=---<---<0．所以1m ∃=，函数()h x 在(+)m ∞，上单调递减， 综上所述，函数()ln y f x x x =-在区间(0)+∞，上广义单调． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB 为圆O 的一条弦，点P 为弧AB 的中点，过点P 任作两条弦PC ，PD ， 分别交AB 于点E ，F ． 求证：PE PC PF PD ⋅=⋅． 【证】连结P A ，PB ，CD ，BC ．因为∠P AB =∠PCB ，又点P 为弧AB 的中点，所以∠P AB =∠PBA ，（第21-A 题）所以∠PCB =∠PBA ． …… 4分 又∠DCB =∠DPB ，所以∠PFE =∠PBA+∠DPB =∠PCB+∠DCB =∠PCD ， 所以E ，F ，D ，C 四点共圆．所以PE PC PF PD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1=1a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ，点(11)-，在M 对应的变换作用下得到点(15)--，，求矩阵M的特征值．【解】由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，， 解得2a =，4b =，所以矩阵12=14⎡⎤⎢⎥-⎣⎦M ． …… 5分 矩阵M 的特征多项式为212()5614f λλλλλ--==-+-． 令()0f λ=，得12λ=，23λ=，所以M 的特征值为2和3． …… 10分 C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点π)4，，求圆C 的极坐标方程．【解】方法一：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为=cos a ρθ， …… 4分 又因为点π)4，在圆C 上，所以πcos a 4，解得6a =．所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分D ACBSPE方法二：点π)4，的直角坐标为(33)，， 因为圆C 过点(00)，，(33)，， 所以圆心C 在直线为30x y +-=上． 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=． …… 6分所以圆C 的极坐标方程为=6cos ρθ． …… 10分 D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，求证：5555a b c d a b c d ++++++≥． 【证】因为a ，b ，c ，d 是正实数，且abcd =1，所以54a b c d a +++=≥． ① …… 4分 同理54b c d a b +++≥， ②54c d a b c +++≥， ③ 54d a b c d +++≥， ④将①②③④式相加并整理，即得5555a b c d a b c d ++++++≥． …… 10分 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，90ADC DAB ∠=∠=︒，2SD AD AB ===，1DC =． （1）求二面角S BC A --的余弦值；（2）设P 是棱BC 上一点，E 是SA 的中点，若PE与平面SADCP 的长．【解】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则(000)D ，，，(220)B ，，，(010)C ，，，(002)S ，，，所以(222)SB =-，，，(012)SC =-，，，(002)DS =，，． 设平面SBC 的法向量为1()x y z =，，n ， 由10SB ⋅=n ，10SC ⋅=n ， 得2220x y z +-=且20y z -=． 取1z =，得1x =-，2y =，所以1(121)=-，，n 是平面SBC 的一个法向量． …… 2分 因为SD ⊥平面ABC ，取平面ABC 的一个法向量2(001)=，，n ．设二面角S BC A --的大小为θ，所以1212cos |||θ⋅===n n |n n ，由图可知二面角S BC A --为锐二面角，所以二面角S BC A -- …… 5分（2）由（1）知(101)E ，，，则(210)CB =，，，(111)CE =-，，．设CP CB λ=（01λ≤≤），则(20(210))CP λλλ==，，，，， 所以(1211)PE CE CP λλ=-=---，，．易知CD ⊥平面SAD ，所以(010)CD =，，是平面SAD 的一个法向量． 设PE 与平面SAD 所成的角为α，所以sin cos 5PE CD PE CD PE CD α⋅===，， …… 8分，得13λ=或119λ=（舍）．所以21(0)33CP =，，，5CP =所以线段CP …… 10分23．（本小题满分10分）已知函数0()cx d f x ax b +=+（0a ≠，0ac bd -≠）．设()n f x 为1()n f x -的导数，*n ∈N ．（1）求1()f x ，2()f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论． 【解】（1）102()()()cx d bc ad f x f x ax b ax b '+-⎡⎤'===⎢⎥+⎣⎦+ ，21232()()()()()a bc ad cb ad f x f x ax b ax b '⎡⎤---'===⎢⎥++⎣⎦． …… 2分 （2）猜想111(1)()!()()n n n n a bc ad n f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+，*n ∈N ． …… 4分 证明：① 当1n =时，由（1）知结论正确， ② 假设当n k =，*k ∈N 时结论正确，即有111(1)()!()()k k k k a bc ad k f x ax b --+-⋅⋅-⋅=+．当1n k =+时，1()()k k f x f x +'=111(1)()!()k k k a bc ad k ax b --+'⎡⎤-⋅⋅-⋅=⎢⎥+⎣⎦11(1)(1)()!()k k k a bc ad k ax b ---+'⎡⎤=-⋅⋅-⋅+⎣⎦2(1)()(1)!()k k k a bc ad k ax b +-⋅⋅-⋅+=+．所以当1n k =+时结论成立．由①②得，对一切*n ∈N 结论正确． …… 10分。
江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(9)有答案
4 72
32
2
因为 sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝5×(－ 10 )－(－5)× 10 ＝－ 2 ，
所以 2α－β＝－4．
16.（1）因为 BD 垂直平分 AC ，所以 BA BC ， 在△ ABC 中，因为 ABC 120 ， 所以 BAC 30 ． 因为△ACD 是正三角形，所以 DAC 60 ， 所以 BAD 90 ，即 AD AB ．
|
BP
|≥
(|
MP
|
2
|
BP
|)2
1 16
，
当且仅当
|
MP
||
BP
|
1 4
时取等号，即
OP
BP
的最小值是
1 16
．
13．
3
.（方法一）由题意，得
sin
3 cos
2，
sin 3 cos 2，
所以 ， 是方程 sin x 3 cos x 2 的两根．
即方程 sin
x π 3
2 2
3 x
x
2
3 x
，x≥a ， 2a 2 ，x
a
，
当
x≥a
时，
x
3 x
2
0
，得
x
1
1
，
x
2
3
，
结合图形知，
①
当
a
1 时，
x
3
， 1，3
成等差数列，则
x
3
5
，代入
x
3 x
2a
2
0
得，
a
9 5
；
②
当
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2017年江苏省南通市高考数学二模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=．2．（5分）已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是．4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是．5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．8．（5分）函数f（x）=的定义域是．9．（5分）已知{a n}是公差不为0的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3=a4a5，S4=27，则a1的值是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若•=﹣7，则•的值是．12．（5分）在△ABC中，已知AB=2，AC2﹣BC2=6，则tanC的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是．14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是．二、解答题（本题共6小题，共计90分）15．（14分）已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率．18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．②r（n﹣p）S n+1（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r=2时，数列{a n}是等差数列．[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB=∠ADC．求证：AD•BC=2AC•CD．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵A满足：A=，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证：++≥xy+yz+zx．[附加题]25．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．[附加题]26．设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i=a i+a i+1，b m，i=b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i=1，2，…，n），a n+1=a1，b m﹣1，n+1=b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i=i（i=1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i=a i+j C m j，其中i=1，2，…，n．（注：i+j=kn+t时，k∈N*，i=1，2，…，n，则a i+j=a1）2017年江苏省南通市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）（2017•淮安二模）已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A ∩B={0，3} ．【解答】解：集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={0，3}；故答案为：{0，3}2．（5分）（2017•淮安二模）已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．3．（5分）（2017•淮安二模）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是17．【解答】解：执行程序，有I=1满足条件I＜6，I=3，S=9；满足条件I＜6，I=5，S=13；满足条件I＜6，I=7，S=17，不满足条件I＜6，输出S的值为17．故答案为：17．4．（5分）（2017•淮安二模）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是180．【解答】解：由频率分布表知：纤维长度不小于37.5mm的频率为：=0.18，∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是1000×0.18=180．故答案为：180．5．（5分）（2017•淮安二模）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．【解答】解：在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96共16个，∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个．∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率P==，故答案为：．6．（5分）（2017•淮安二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是2．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=3，∴x=2，故答案为：2．7．（5分）（2017•淮安二模）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．【解答】解：设该铁球的半径为r，∵底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴h==4，锥体体积V=×π×32×4=12π，圆球体积=锥体体积V==12π，解得r=．故答案为：．8．（5分）（2017•淮安二模）函数f（x）=的定义域是[﹣2，2] ．【解答】解：由lg（5﹣x2）≥0，得5﹣x2≥1，即x2≤4，解得﹣2≤x≤2．∴函数f（x）=的定义域是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．9．（5分）（2017•南通二模）已知{a n}是公差不为0的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3=a4a5，S4=27，则a1的值是．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2a3=a4a5，S4=27，∴，解得：a1=，故答案为：．10．（5分）（2017•淮安二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是x2+y2=81．【解答】解：由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，设C（x，0），则（x﹣4）2+（0﹣8）2+1=（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x=0，∴圆C的方程是x2+y2=81．故答案为x2+y2=81．11．（5分）（2017•淮安二模）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若•=﹣7，则•的值是9．【解答】解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，∴+=；若•=﹣7，则（+）•（+）=+•+•+•=+•（+）﹣=32﹣=﹣7；∴=16，∴||=||=4；∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣+•（+）+=﹣42+0+52=9．12．（5分）（2017•淮安二模）在△ABC中，已知AB=2，AC2﹣BC2=6，则tanC的最大值是．【解答】解：∵AB=c=2，AC2﹣BC2=b2﹣a2=6，∴由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC，∴（b2﹣a2）=a2+b2﹣2abcosC，∴（）2﹣2××cosC+=0，∵△≥0，∴可得：cosC≥，∵b＞c，可得C为锐角，又∵tanC在（0，）上单调递增，∴当cosC=时，tanC取最大值，∴tanC===．故答案为：．13．（5分）（2017•淮安二模）已知函数f（x）=其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是（0，1）．【解答】解：由题意，x＜0，f（x）=﹣x+m＞0，f（f（x））=（﹣x+m）2﹣1=0，则x=m±1当1＞x≥0，f（x）=x2﹣1＜0，f（f（x））=﹣x2+1+m=0，x=；当x≥1，f（x）=x2﹣1≥0，f（f（x））=（x2﹣1）2﹣1=0，∴x=∵函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，∴m﹣1＜0∴m＜1，∵m＞0，∴m∈（0，1）．故答案为（0，1）．14．（5分）（2017•淮安二模）已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是﹣．【解答】解：由题意可令sinx+cosx=﹣，两边平方可得1+2sinxcosx=，即有sin2x=﹣，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得﹣a﹣b≤3，可得a+b≥﹣2，当a+b=﹣2时，令t=sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，即有sin2x=t2﹣1，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得﹣2bt2+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[﹣，]恒成立，则△=9（2+b）2+8b（3+2b）≤0，即为（5b+6）2≤0，但（5b+6）2≥0，则5b+6=0，可得b=﹣，a=﹣．而当b=﹣，a=﹣时，3a（sinx+cosx）+2bsin2x=﹣t﹣（t2﹣1）=﹣（t+）2+3≤3．所以当a+b取得最小值﹣2，此时a=﹣．故答案为：﹣．二、解答题（本题共6小题，共计90分）15．（14分）（2017•淮安二模）已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）sin（α+）=，即sinαcos+cosαsin=，化简：sinα+cosα=…①sin2α+cos2α=1…②．由①②解得cosα=﹣或cosα=∵α∈（，π）．∴cosα=﹣（2）∵α∈（，π）．cosα=﹣∴sinα=，那么：cos2α=1﹣2sin2α=，sin2α=2sinαcosα=∴sin（2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=．16．（14分）（2017•淮安二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B 与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1=A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）（2017•淮安二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②解得：a2=9，b2=5，∴a=3，b=，（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：，则直线直线AB的斜率k==．直线AB的斜率．18．（16分）（2017•淮安二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【解答】解：（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC==，∴∠BAC=17°，∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，△ABC中，由余弦定理可得cos120°=，∴BC≈1.68615．B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°=1.8，∵1.68615＜1.8，∴能最短时间在领海内拦截成功；（2）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则PA=3PB，即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2）2]，即（x﹣）2+（y﹣）2=，∴P的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∵圆心到边界线l：x=3.8的距离为1.55，大于圆的半径，∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．19．（16分）（2017•淮安二模）已知函数f（x）=，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）g（x）=，y′=，x=1时，y=0，y′=，故切线方程是：y=x﹣；（2）证明：由g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）=g（x2）+λf（x2），令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+，（x＞0），h′（x）=，令ω（x）=e x﹣λx，则ω′（x）=e x﹣λ，由x＞0，得e x＞1，①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；②λ＞1时，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ﹣λlnλ，令m（λ）=λ﹣λlnλ，（λ＞1），则m′（λ）=﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，又m（e）=0，若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，故λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，即﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=﹣a（x﹣1），x∈（0，1]，F（1）=0，F′（x）=﹣a，F′（1）=﹣a，①F′（1）≤0时，a≥，F′（x）≤递减，而F′（1）=0，故F′（x）≥0，F（x）递增，F（x）≤F（1）=0，成立，②F′（1）＞0时，则必存在x0，使得F′（x）＞0，F（x）递增，F（x）＜F（1）=0不成立，故a≥．20．（16分）（2017•淮安二模）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．②r（n﹣p）S n+1（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r=2时，数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）n=1时，r（1﹣p）（a1+a2）=2a1﹣2a1，其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．∴1﹣p=0，解得p=1．（2）设a n=ka n﹣1（k≠±1），r（n﹣1）S n+1=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴rS3=6a2，2rS4=12a3+4a1，化为：r（1+k+k2）=6k，r（1+k+k2+k3）=6k2+2．联立解得r=2，k=1（不合题意），舍去，因此数列{a n}不是等比数列．（3）证明：r=2时，2（n﹣1）S n=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴2S3=6a2，4S4=12a3+4a1，+16S5=20a4+10a1．化为：a1+a3=2a2，a2+a4=2a3，a3+a5=2a4．假设数列{a n}的前n项成等差数列，公差为d．则2（n﹣1）=（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，=a1+（n+1﹣1）d，化为a n+1因此第n+1项也满足等差数列的通项公式，综上可得：数列{a n}成等差数列．[选修4-1：几何证明选讲]21．（2017•淮安二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB=∠ADC．求证：AD•BC=2AC•CD．【解答】证明：∵∠ACB=∠ADC，AD是⊙O的直径，∴AD垂直平分BC，设垂足为E，∵∠ACB=∠EDC，∠ACD=∠CED，∴△ACD∽△CED，∴，∴AD•BC=AC•CD，∴AD•BC=2AC•CD．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•淮安二模）设矩阵A满足：A=，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：A=，设B=，则丨B丨=6，B*=，则B﹣1=×B*=×=，A=×B﹣1==，A=，丨A丨=﹣，A*=A﹣1=×=，矩阵A的逆矩阵A﹣1=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2017•淮安二模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y=﹣，y2=8x，联立可得x2﹣5x+=0，∴|AB|==4．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•淮安二模）设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证：++≥xy+yz+zx．【解答】证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz=1，∴++=++，∴由柯西不等式可得（++）（xy+yz+zx）≥（++）2=（++）2=（xy+yz+zx）2．∴++≥xy+yz+zx．[附加题]25．（2017•淮安二模）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【解答】解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．P（X=5a）===，P（X=6a）===，P（X=7a）===，P（X=8a）===．E（X）=5a×+6a×+7a×+8a×=a．[附加题]26．（2017•淮安二模）设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i=a i+a i+1，b m，i=b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i=1，2，…，n），a n+1=a1，b m﹣1，n+1=b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i=i（i=1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i=a i+j C m j，其中i=1，2，…，n．（注：i+j=kn+t时，k∈N*，i=1，2，…，n，则a i+j=a1）【解答】解：（1）依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），第二次变换为（8，12，16，20，24，28，…，n+4），第三次变换为（20，28，36，44，52，…，n+12），=52，∴b3，5=a i+j C m j，其中i=1，2，…，n，（2）用数学归纳法证明：对m∈N*，b m，i（i）当m=1时，b1=a i+j C1j，其中i=1，2，…，n，结论成立，，i=a i+j C k j，其中i=1，2，…，n，（ii）假设m=k时，k∈N*时，b k，i=b k，i+b k，i+1=a i+j C k j+a i+j+1C k j=a i+j C k j+a i+j+1C k j﹣1，则m=k+1时，b k+1，i=a i C k0+a i+j（C k j+C k j﹣1）+a i+k+1C k k，=a i C k+10+a i+j C k+1j+a i+k+1C k+1k+1，=a i+j C k+1j，所以结论对m=k+1时也成立，由（i）（ii）可知，对m∈N*，b m=a i+j C m j，其中i=1，2，…，n成立，i参与本试卷答题和审题的老师有：whgcn；sxs123；lcb001；zlzhan；刘老师；gongjy；742048；w3239003；双曲线；左杰；铭灏2016；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年5月5日。