热力学与统计物理练习题

热力学与统计物理练习题

一、填空题

1、在范德瓦耳斯方程中， 是考虑分子之间的斥力而引进的改正项，

是考虑到分子之间的

V

an

22

而引进的改正项。

2、在等压过程中，引进一个函数H 名为焓则其定义为

，在此过程中焓的变化为

，这正是等压过程中系统从外界吸收的热量。

3、所在工作于一定温度之间的热机，以

的效率为最高，这是著名的

。

4、一个系统的初态A 和终态B 给定后，积分

与可逆过程的路径无关，克劳修斯根据这个性质

引进一个态函数熵，它的定义是 ，其中A 和B 是系统的两个平衡态。

5、在热力学中引入了一个态函数有时把TS 叫做

，由于F 是一个常用的函数，需要

TS U F -=一个名词，可以把它叫做

。

二、判断题

1、系统的各宏观性质在长时间内不发生任何变化，这样的状态称为热力学平衡态。

（ ）

2、温度是表征物体的冷热程度的，温度的引入和测量都是以热力学定律为基础的。

（ ）3、所谓第一类永动机，就是不需要能量而永远运动的机器。

（ ）4、自然界中不可逆过程是相互关联的，我们可以通过某种方法把两个不可逆过程联系起来。

（

）

5、对于处在非平衡的系统，可以根据熵的广延性质将整个系统的熵定义为处在局域平衡的各部分的熵之和。

（

）

三、计算题

（一）已知厄密算符B A ˆ,ˆ，满足1ˆˆ22==B A

，且0ˆˆˆˆ=+A B B A ，求1、在A 表象中算符A

ˆ、B ˆ的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B

ˆ的本征值和本征函数；3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。

（二）线性谐振子在0=t 时处于状态

线性谐振子在0=t 时处于状态

)21exp(3231)0,(2

2x x x ααπαψ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=

，其中

μωα=，求1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。

关高中规范

2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值

（三）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可

能的状态有几个?（四）将质量相同而温度分别为

和的两杯水在等压下绝热的混合，求熵变。

T 1T

2

（五）试计算单原子分子的定压热容量与定容热容量之比。

四、问答题

1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？

2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？

3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。

4、在一维情况下，求宇称算符P

ˆ和坐标x 的共同本征函数。5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。

五、简述题

1、简述理想气体卡诺循环四个过程，并说明其吸或放热的多少。

2、简述热力学第二定律的三种表述。

六、证明题

1、证明1)()((-=∂∂∂∂∂∂V

T T P T V P

V

T

2、证明在理想气体在绝热过程中常量

=PV γ

3、求证绝热压缩系数与等温压缩系数之比等于定容热容量与定压热容量之比。

k S k T

4、试利用固体热容量的爱因斯坦理论，证明

（

为爱因斯坦特征温度）

。)

1()

(2

2

3-=e e

T

C

T E

E Nk T

V

E

θθ

θθE 练习题答案

一、填空题1、nb ，吸收力2、V

P U H ∆+∆=V

P U H ∆+∆=∆3、可逆机，卡诺定理

4、

⎰B

A

T dQ ⎰=-B

A

A B T

dQ

S S 5、束缚能 自由能二、判断

1、√

2、√

3、×

4、√

5、√

三、计算题

（一）、1、由于1ˆ2

=A

，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A

ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A

设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 10012212112=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ，

21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B

ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101212b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010

*12*12b b *

12121b b =∴令δ

i e b =12，（δ为任意实常数）得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00)(ˆδδ

i i e e A B 2、在A 表象中算符B

ˆ的本征方程为：⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-βαλβαδ

δ00

i i e e 即⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛-βαλαβδδi i e e ⇒ ⎩⎨⎧=-=+--00λβαβλαδδi i e e α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 0

=---λ

λ

δ

δi i e

e ⇒ 012

=-λ 1

±=∴λ对1=λ有：

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+

121δϕi B

e ，对1-=λ有：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-

121δϕi B e 所以，在A 表象中算符B

ˆ的本征值是1±，本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121δi e 和⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-121δi e 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B

ˆ在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

-11

21δδ

i i e e S （二）、解：1、0=t 的情况：已知线谐振子的能量本征解为：

ω )21(+=n E n )2,1,0( =n ，

)()exp(!2)(22x H x n x n n n ααπαϕ-=当1,0=n 时有：

)exp()(220x x απαϕ-=

，

)exp()(2)(221x x x ααπα

ϕ-=于是0=t 时的波函数可写成：

)(32

)(31)0,(10x x x ϕϕψ-=

，容易验证它是归一化的波函数，于