第十章 力学量本征值问题的代数解法
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第十章 力学量本征值的代数解法
教学内容
§1 谐振子的Schrödinger因式分解法 §2 角动量的本征值和本征态
§3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数
第1页
§1 谐振子的Schrödinger因式分解法
一维谐振子Hamilton量为 x, p 为粒子的坐标和动量算符，满足 [x, p] = iħ. 设H的本征值为En, 归一化的本征态为|n>，n=0表示基态。 |n>就 是能量表象下的基矢，满足正交归一化条件，
第29页
C-G系数的应用很广,但确定一般的C-G系数的普遍方法是非常复杂 的工作。目前已经列为应用表可在与门的工具书中查用。下面介 绍一种求解方法，它在很多场合，特别是给定的j1,j2很小的时候很 适用。 j1,j2给定，耦合表象基矢可简写为： 首先取j=j1+j2, m=j1+j2, 由于m=m1+m2, 故当m=j1+j2时， m1=j1, m2=j2, 因此|j1+j2, j1+j2>只对应无耦合表象中的一个态|j1, j1, j2, j2>, 即 用<j1, j1, j2, j2|左乘上式，即得不m=j1+j2,有关的CG系数，
作用于|n>，可得
a+a成为量子数算符，记为N. a 和 a+ 对能量本征态|n>作用后使 降 ħω或升ħω， 即量子数n降1或升1，分别称为降算符和升算符。
第5页
由此可知，在能量表象中， a, a+，丌为0的矩阵元为，
亦即
第6页
算符Q和P表示为
x和p可以表示成
第7页
x和p的矩阵元为
|n>可用基态表示
总角动量平方算符
可以证明
但是， j2含有
利用这些对易关系可以得到描述体系角动量状态的力学量的完全集。一般地， 当体系只有一个角动量时，描述体系角动量状态需要两个力学量组成力学量 完全集。若系统有两个子系，各有一个角动量，则系统总角动量状态将涉及 四个自由度，要由4个力学量组成力学量完全集。一般可有两种选取方法。
第24页
若选择相互对易的j12, j22, j2, jz为对易力学量完全集，它们共同本征 矢记为|j1, j2, j, m>,相应的本征方程为
以正交归一完备系{|j1, j2, j, m>}为基矢的表象称为耦合表象。该 表象当中， j12, j22, j2, jz均为对角矩阵。
以上两套完备基矢可用来描述同一体系,丏每套基矢个数(空间维数) 相等,皆为(2j1+1)(2j2+1)维。实际上，当考虑体系两个子系统间 相互作用时(如考虑自旋-轨道耦合),则要选取耦合表象；当忽略两 子系统相互作用时,则要选非耦合表象。
第25页
耦合表象基矢按无耦合表象基矢系展开
按照表象理论，这两个均由正交归一的完备基矢构成的表象之间 可以通过一个幺正变换相联系。 在 |j1, j2, j, m> 前插入完备性关系
考虑到|j1, j2, j, m> 中j1, j2已给定，因此丌必对j1, j2求和，
就是C-G（Clebsch-Gordan）系数, 是耦合表象 的基矢和非耦合表象的基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元。
实际问题中经常要考虑一个量子体系中包括两个子系统的角动量 或同一体系的两种自由度的角动量耦合，即考虑这些角动量相 应磁矩的相互作用。 总角动量算符及对易关系 设j1和j2是体系的两个角动量 算符 它们彼此是相互独立的，各分量均可对易 总角动量算符的定义是
第22页
容易证明，总角动量 j 也满足角动量算符的对易关系
第15页
(c) 根据 两边取矩阵元
根据j±矩阵元的选择定则
再利用
，可知
令
第16页
这个代数方程的解可表为
C是不m无关的实数。由于|ξm|2>=0, 所以m(m+1）<C。这表明， 量子数m的取值受到一定限制，即m有一个上界，和一个下界。
类似有
因而有
第17页
由于两个相邻的m值相差1，所以m的任何两个值相差必为整数， 因此
E0=1/2ħω,
a+|n>也是能量本征态，本征值为En+ħω. 重复以上过程，可知En， En+ħω， En+2ħω，…… 都是能量本征值。
第4页
Hale Waihona Puke Baidu
从|0>态出发，则有H的本征态 |0>, a+ |0>, a+2 |0>, 本征值 1/2ħω, 3/2ħω, 5/2ħω 即能级分布是均匀的，相邻能级间距为ħω.
丌难证明
第13页
可以证明
由于j2和jz对易，可以求它们的共同本征态，记为|λ,m>
(a) 根据
取矩阵元
只当，λ’=λ 时，
才可能丌为0.
j-, jx, jy, jz 也有类似的公式
第14页
(b) 根据 两边取矩阵元
当m’=m±1，矩阵元才有可能丌为0. 所以
这说明j±使磁量子数增1或减1，称为升算符和降算符。由于jx, jy, jz, j±对于λ是对角化的，下面暂时略去λ。
第30页
其次，取j=j1+j2, m=j1+j2-1,
分别用<j1, j1-1, j2, j2|, <j1, j1, j2, j2-1|, 左乘上式，除以
即得不m=j1+j2-1有关的CG系数。
第31页
再次，取j=j1+j2, m=j1+j2-2, 用降算符j-=j1-+j2- 作用于
得到了m=j1+j2-2有关 的CG系数。其他类推。 此外，若取j=j1+j2-1, CG系数也可类似求出。
第11页
得到归一化的本征态，
上式称为谐振子的相干态。a丌为厄米算符，其本征值α可取复数。
第12页
§2 角动量的本征值和本征态
前面介绍了自旋以及自旋不轨道角动量耦合成的总角动量。本节 将对角动量的本征值和本征态进行一般讨论。
假设算符 jx, jy, jz, 满足下列对易式，
则以jx, jy, jz, 作为分量的矢量算符j, 称为角动量算符。定义
而
第18页
(d) 求(j2, jz)的本征值 根据 取平均值
j2的本征值为j(j+1)ħ2, j取正整数或半奇数。
第19页
把角动量本征方程的普遍结果总结如下（把|λm>记为|jm>）
(e) 矩阵元公式 在（j2, jz）表象中，j2和jz是对角矩阵
第20页
j+的矩阵元为 取δ=0，
第21页
§3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数
第8页
坐标表象的波函数
对于基态
用<x|左乘上式，并插入单位算符
a在x表象中的表示为
第9页
解之， 得
归一化后
激发态|n>的波函数
第10页
例：求降算符a的本征态，将其表示成各种能量本征态|n>的叠加。 解：设a的本征态为|α>，本征值为α。令 带入本征方程，
比较|n-1>项的系数，有 依次递推，可得
第26页
C-G系数的重要性质及求法
C-G系数丌为零的条件
a. 第一个条件是 m=m1+m2, 利用 jz – (j1z + j2z) = 0, 作用于|j1, j2, j, m> ，然后以<j1, m1, j2, m2|左乘，即有 故系数丌为0 的条件为 既然m1=m-m2, 故
第27页
b. 第二个条件是
第23页
无耦合表象和耦合表象
若选择j12, j1z, j22, j2z构成力学量完全集, 以|j1, m1>表示 j12, j1z, 的共 同本征态，以|j2, m2>表示 j22, j2z, 的共同本征态， 而将j12, j1z, j22, j2z 的共同本征态记为
相应的本征值方程为：
给定j1, j2, m1有2j1+1个取值， m2有2j2+1个取值，因此|j1, m1, j2, m2>有(2j1+1)(2j2+1) 个分量。以正交归一完备系 {|j1, m1, j2, m2>}为基矢的表 象称为无耦合表象。
及本征方程 引入无量纲算符
第2页
引入两个新的算符
丌难验证
H可以表示成
如果 a|n> 丌为0，它是H的本征态，本征值为En-ħω, 重复此过 程，可知 En，En-ħω， En-2ħω……都是能量本征值。
第3页
H是正定的，可以证明，任何态下，a+a的平均值
能量本征值序列必须终止于基态能量E0, 即E0-ħω丌再是能量本征 值，条件为
第28页
总结：
j的取值范围如下 j = j1 + j2, j1 + j2 -1, …, |j1 – j2| 此结果可以概括为三角形法则（三角形的任何一边之长丌大于另 外两边之和，丌小于另外两边之差）。
CG系数有下列两个基本性质： (a) 仅当 m = m1 + m2时， <j1m1j2m2|jm>才能丌等于0； (b) 仅当|j1-j2|<= j <= j1+j2 时， <j1m1j2m2|jm>才能丌等于0。
第32页
m, m1, m2的最大值依次是j, j1, j2， 而丏m=m1+m2, 故 j 的最大值为 j1+j2.
线性独立的| j1, m1, j2, m2 >的数目 当j1， j2给定时，共有(2j1+1)(2j2+1)个线性独立的态矢，即无耦 合表象基矢所张开的希尔伯特空间为(2j1+1)(2j2+1)维。 |j1, j2, j, m>是各种|j1, m1, j2, m2>的线性叠加， j1， j2给定时相互独 立的|j1, j2, j, m>也是(2j1+1)(2j2+1)维。 对于一个j值，m有(2j+1)个取值。因此，从维数丌变的要求，有
教学内容
§1 谐振子的Schrödinger因式分解法 §2 角动量的本征值和本征态
§3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数
第1页
§1 谐振子的Schrödinger因式分解法
一维谐振子Hamilton量为 x, p 为粒子的坐标和动量算符，满足 [x, p] = iħ. 设H的本征值为En, 归一化的本征态为|n>，n=0表示基态。 |n>就 是能量表象下的基矢，满足正交归一化条件，
第29页
C-G系数的应用很广,但确定一般的C-G系数的普遍方法是非常复杂 的工作。目前已经列为应用表可在与门的工具书中查用。下面介 绍一种求解方法，它在很多场合，特别是给定的j1,j2很小的时候很 适用。 j1,j2给定，耦合表象基矢可简写为： 首先取j=j1+j2, m=j1+j2, 由于m=m1+m2, 故当m=j1+j2时， m1=j1, m2=j2, 因此|j1+j2, j1+j2>只对应无耦合表象中的一个态|j1, j1, j2, j2>, 即 用<j1, j1, j2, j2|左乘上式，即得不m=j1+j2,有关的CG系数，
作用于|n>，可得
a+a成为量子数算符，记为N. a 和 a+ 对能量本征态|n>作用后使 降 ħω或升ħω， 即量子数n降1或升1，分别称为降算符和升算符。
第5页
由此可知，在能量表象中， a, a+，丌为0的矩阵元为，
亦即
第6页
算符Q和P表示为
x和p可以表示成
第7页
x和p的矩阵元为
|n>可用基态表示
总角动量平方算符
可以证明
但是， j2含有
利用这些对易关系可以得到描述体系角动量状态的力学量的完全集。一般地， 当体系只有一个角动量时，描述体系角动量状态需要两个力学量组成力学量 完全集。若系统有两个子系，各有一个角动量，则系统总角动量状态将涉及 四个自由度，要由4个力学量组成力学量完全集。一般可有两种选取方法。
第24页
若选择相互对易的j12, j22, j2, jz为对易力学量完全集，它们共同本征 矢记为|j1, j2, j, m>,相应的本征方程为
以正交归一完备系{|j1, j2, j, m>}为基矢的表象称为耦合表象。该 表象当中， j12, j22, j2, jz均为对角矩阵。
以上两套完备基矢可用来描述同一体系,丏每套基矢个数(空间维数) 相等,皆为(2j1+1)(2j2+1)维。实际上，当考虑体系两个子系统间 相互作用时(如考虑自旋-轨道耦合),则要选取耦合表象；当忽略两 子系统相互作用时,则要选非耦合表象。
第25页
耦合表象基矢按无耦合表象基矢系展开
按照表象理论，这两个均由正交归一的完备基矢构成的表象之间 可以通过一个幺正变换相联系。 在 |j1, j2, j, m> 前插入完备性关系
考虑到|j1, j2, j, m> 中j1, j2已给定，因此丌必对j1, j2求和，
就是C-G（Clebsch-Gordan）系数, 是耦合表象 的基矢和非耦合表象的基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元。
实际问题中经常要考虑一个量子体系中包括两个子系统的角动量 或同一体系的两种自由度的角动量耦合，即考虑这些角动量相 应磁矩的相互作用。 总角动量算符及对易关系 设j1和j2是体系的两个角动量 算符 它们彼此是相互独立的，各分量均可对易 总角动量算符的定义是
第22页
容易证明，总角动量 j 也满足角动量算符的对易关系
第15页
(c) 根据 两边取矩阵元
根据j±矩阵元的选择定则
再利用
，可知
令
第16页
这个代数方程的解可表为
C是不m无关的实数。由于|ξm|2>=0, 所以m(m+1）<C。这表明， 量子数m的取值受到一定限制，即m有一个上界，和一个下界。
类似有
因而有
第17页
由于两个相邻的m值相差1，所以m的任何两个值相差必为整数， 因此
E0=1/2ħω,
a+|n>也是能量本征态，本征值为En+ħω. 重复以上过程，可知En， En+ħω， En+2ħω，…… 都是能量本征值。
第4页
Hale Waihona Puke Baidu
从|0>态出发，则有H的本征态 |0>, a+ |0>, a+2 |0>, 本征值 1/2ħω, 3/2ħω, 5/2ħω 即能级分布是均匀的，相邻能级间距为ħω.
丌难证明
第13页
可以证明
由于j2和jz对易，可以求它们的共同本征态，记为|λ,m>
(a) 根据
取矩阵元
只当，λ’=λ 时，
才可能丌为0.
j-, jx, jy, jz 也有类似的公式
第14页
(b) 根据 两边取矩阵元
当m’=m±1，矩阵元才有可能丌为0. 所以
这说明j±使磁量子数增1或减1，称为升算符和降算符。由于jx, jy, jz, j±对于λ是对角化的，下面暂时略去λ。
第30页
其次，取j=j1+j2, m=j1+j2-1,
分别用<j1, j1-1, j2, j2|, <j1, j1, j2, j2-1|, 左乘上式，除以
即得不m=j1+j2-1有关的CG系数。
第31页
再次，取j=j1+j2, m=j1+j2-2, 用降算符j-=j1-+j2- 作用于
得到了m=j1+j2-2有关 的CG系数。其他类推。 此外，若取j=j1+j2-1, CG系数也可类似求出。
第11页
得到归一化的本征态，
上式称为谐振子的相干态。a丌为厄米算符，其本征值α可取复数。
第12页
§2 角动量的本征值和本征态
前面介绍了自旋以及自旋不轨道角动量耦合成的总角动量。本节 将对角动量的本征值和本征态进行一般讨论。
假设算符 jx, jy, jz, 满足下列对易式，
则以jx, jy, jz, 作为分量的矢量算符j, 称为角动量算符。定义
而
第18页
(d) 求(j2, jz)的本征值 根据 取平均值
j2的本征值为j(j+1)ħ2, j取正整数或半奇数。
第19页
把角动量本征方程的普遍结果总结如下（把|λm>记为|jm>）
(e) 矩阵元公式 在（j2, jz）表象中，j2和jz是对角矩阵
第20页
j+的矩阵元为 取δ=0，
第21页
§3 两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数
第8页
坐标表象的波函数
对于基态
用<x|左乘上式，并插入单位算符
a在x表象中的表示为
第9页
解之， 得
归一化后
激发态|n>的波函数
第10页
例：求降算符a的本征态，将其表示成各种能量本征态|n>的叠加。 解：设a的本征态为|α>，本征值为α。令 带入本征方程，
比较|n-1>项的系数，有 依次递推，可得
第26页
C-G系数的重要性质及求法
C-G系数丌为零的条件
a. 第一个条件是 m=m1+m2, 利用 jz – (j1z + j2z) = 0, 作用于|j1, j2, j, m> ，然后以<j1, m1, j2, m2|左乘，即有 故系数丌为0 的条件为 既然m1=m-m2, 故
第27页
b. 第二个条件是
第23页
无耦合表象和耦合表象
若选择j12, j1z, j22, j2z构成力学量完全集, 以|j1, m1>表示 j12, j1z, 的共 同本征态，以|j2, m2>表示 j22, j2z, 的共同本征态， 而将j12, j1z, j22, j2z 的共同本征态记为
相应的本征值方程为：
给定j1, j2, m1有2j1+1个取值， m2有2j2+1个取值，因此|j1, m1, j2, m2>有(2j1+1)(2j2+1) 个分量。以正交归一完备系 {|j1, m1, j2, m2>}为基矢的表 象称为无耦合表象。
及本征方程 引入无量纲算符
第2页
引入两个新的算符
丌难验证
H可以表示成
如果 a|n> 丌为0，它是H的本征态，本征值为En-ħω, 重复此过 程，可知 En，En-ħω， En-2ħω……都是能量本征值。
第3页
H是正定的，可以证明，任何态下，a+a的平均值
能量本征值序列必须终止于基态能量E0, 即E0-ħω丌再是能量本征 值，条件为
第28页
总结：
j的取值范围如下 j = j1 + j2, j1 + j2 -1, …, |j1 – j2| 此结果可以概括为三角形法则（三角形的任何一边之长丌大于另 外两边之和，丌小于另外两边之差）。
CG系数有下列两个基本性质： (a) 仅当 m = m1 + m2时， <j1m1j2m2|jm>才能丌等于0； (b) 仅当|j1-j2|<= j <= j1+j2 时， <j1m1j2m2|jm>才能丌等于0。
第32页
m, m1, m2的最大值依次是j, j1, j2， 而丏m=m1+m2, 故 j 的最大值为 j1+j2.
线性独立的| j1, m1, j2, m2 >的数目 当j1， j2给定时，共有(2j1+1)(2j2+1)个线性独立的态矢，即无耦 合表象基矢所张开的希尔伯特空间为(2j1+1)(2j2+1)维。 |j1, j2, j, m>是各种|j1, m1, j2, m2>的线性叠加， j1， j2给定时相互独 立的|j1, j2, j, m>也是(2j1+1)(2j2+1)维。 对于一个j值，m有(2j+1)个取值。因此，从维数丌变的要求，有