电子科技大学微积分上册复习1.1精品PPT课件

, 并求极限；
(2)计算
lim
n
xn1 xn
xn2
(1)[分析]
令
lim
n
xn
=a，
2006研
则a sin a a 0, 故需证单调递减有下界.
[证] (用归纳法) 0 x1 , ( x 0：sin x x)
x2 sin x1 x1 , 0 x2 1 , 设 0 xn , xn1 sin xn xn ,
1 x
lim
x
1
sin
2 x
sin
1 x
x
lim
x
x
2
lim
x
1
cos
1 x
1
sin
2 x
sin
2 x
sin
sin
1 2 2x x
x2
2
lim
x
1
sin
1
2 sin 2 x x
2 x
x 2
e
2021/2Baidu Nhomakorabea21
3.求 lim x a x a a 0 .
xa
x2 a2
x x x x
1 2
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单调有界数列必有极限
6.0 x1 3, xn1 xn 3 xn n 1, 2, 证明
数列
lim
n
xn
存在,
并求极限
证明 :由0 x1 3知, x1, 3 x1均为正数,故
0 x2
设0 xk
x1 3 x1
3 k 1则
则存在一个 0,当x x0 , x0 , x x0时,
f x 0 f x 0.
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定理4 若 lim f x A, f x 0 f x 0 , x x0 则A 0 A 0 .
定理5 单调有界数列必有极限.
定理6 夹逼定理
重要公式: 1
lim sin x 1
]
1
e 6
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用单调有界准则证明数列极限存在的基本方法：
(1) 分析数列的变化趋势；
(2) 证明单调性：用归纳法；考察 xn xn1 或
xn 等； xn1
(3) 证明有界性：用归纳法；用常见的不等式，例如
ab a b , sin x x,
1
ln(1
1)
1 ,
lim
t0
m
1 1 tn n 1 1 tm 1 1 tm 1 1 tn
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lim
t0
n
mt
m
m 2
1
t2 mt
o
t2
o
t
m nt
nn
nt
2
ot
1
t
2
o
t2
mn 2
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5.求
lim
x
x
x
x
x
lim
x x
x
呈现出来的一种运算.
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2 利用等价无穷小的运算性质;
注:乘除可用等价无穷小代换,加减运算用合适的 等量代换.
3 变量替换.
2 先转化: 方法有:通分,根式有理化,变量替换.
1.lim x0
1 x3
[
2
cos 3
x
x
1]
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2004
x
2.
lim
x
cos
第一章 知识框图
无穷小的运算与比较
反 函
复 合 函
四 种 性
数数态
无穷小（大）量 定义
两个重要极限 单调有界准则
间断点的分类 定义
映函 射数
极 数函 列数 的的 极极
限 限限
初
连
等
函
数
连
续
续
性
基 本 初 等 函 数
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分 段 函 数
初等
函数
极限的性质
四复 则合 运运 算
算
闭区间连续函数性质
所以数列 xn 单调增加, 又单调有界定理知
lim
n
xn存在.
设 lim n
xn =a, 在xn1
xn 3 xn 边取极限,得
a
a3
a
a
0或a
3 2
,故 lim n
xn
3 2
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7.设 xn满足 0 x1 , xn1 sin xn (n N )
1
(1)
证明
lim
n
xn
2
1
lim 1 x x 1
x0 x
x0
1 lim sin x 1 该极限的特点 :
x0 x
a. 0 型未定式; 0
b. sin 2021/2/21 与分数线另一侧的变量 形式一致.
2
1
lim 1 x x 1
x0
lim
x
1
1 x
x
1该极限的特点 :
a. 1型不定式.
b.括号中1后的变量 包括符号 与幂互为倒数
重要定理与公式
定理1 lim f x A lim f x lim f x A
x x0
x x
0
x x
0
定理2 lim f x A f x A x , x x0
其中 lim x 0 x x0
定理3 保号性定理 若 lim f x A, A 0 A 0 x x0
有界性定理 介值定理
最值定理
零点定理
重点知识回顾:
1 极限的定义; 2函数连续性概念; 3间断点;
4 无穷小的比较 ; 5 无穷大与无穷小的关系 6 无穷小的性质:有限个无穷小的代数和仍为无穷小;
有限个无穷小的乘积仍为无穷小; 无穷小乘以有界变量仍为无穷小. 7 无穷大与无界变量的区别
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lim x a
x a x a
x a
x2 a2
1
x
a
lim x a
xa
1
1
x a xa
x
a
2a
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4.求
lim
x1
1
m x
m
n 1 xn
m1 xn n1 xm
lim
x1
1 xm 1 xn
令t x 1 x 1 t, x 1时, t 0,
注:若极限满足a,但不满足b,则通常凑指数幂使b成立.
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极限的求法:
1 0 型的求解方法: 0
1 通过因式分解或根式有理化,消去"0"因子,
在用极限运算或连续函数极限的求法求解.所谓
根式有理化是指极限式中含有 a b a b
的题型, 在求极限之前先用它们的共轭根式
a b a b 分别乘以分子分母,使其"0"因子
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0 xn1 1 ,
(2) 由(1)得
lim
n
xn
0，
1
lim n
xn1 xn
xn2
lim n
(1 ) 1
sin xn xn
xn2
xn x
1
lim
x0
sin x
x
x
2
1
lim
x0
1
sin
x x
x
x2
sin x x
exp[lim x0
x3
2
1 2
x1 3 x1
3. 2
0 xk1
xk
3
xk
1 2
xk 3 xk
3. 2
由数学归纳法知, 对任意的正整数n 1均有
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xn
3 因而数列 2
xn
有界.
又当n 1时,
xn1 xn
xn 3 xn xn
xn 3 2xn 0 xn 3 xn xn