二次函数与圆的综合

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二次函数与圆的综合5．（2012济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B

（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O

1

为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．（1）求抛物线的解析式；

（2）求cos∠CAB的值和⊙O

1

的半径；

（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

考

点：

二次函数综合题．

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO

1

C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；

（3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N 的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），

∴，

解得a=1，b=4，

∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3，

∵令x=0，得y=3，

∴C（0，3），

∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，

∴∠CAB=45°，

∴cos∠CAB=．

在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC==．

如答图1所示，连接O

1

B、O

1

C，

由圆周角定理得：∠BO

1

C=2∠BAC=90°，

∴△BO

1

C为等腰直角三角形，

∴⊙O

1的半径O

1

B=BC=．

（3）抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2﹣1，

∴顶点P坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为x=﹣2．

又∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），可知点A、B关于对称轴x=﹣2对称．如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，

∴D（﹣4，3）．

又∵点M为BD中点，B（﹣1，0），

∴M（，），

∴BM==；

在△BPC中，B（﹣1，0），P（﹣2，﹣1），C（0，3），

由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=．

∵△BMN∽△BPC，

∴，即，

解得：BN=，MN=．

设N（x，y），由两点间的距离公式可得：

，

解之得，，，

∴点N的坐标为（，）或（，）．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N 的坐标．

6．（2011遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

考

点：

二次函数综合题．

分析：（1）根据A（3，0），B（4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（2）从当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°与当△PAB 是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，分别求出符合要求的答案；

（3）根据当OE∥AB时，△FEO面积最小，得出OM=ME，求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，∴，

解得：，

∴y=x2﹣x+3；

∴点C的坐标为：（0，3）；

（2）假设存在，分两种情况：

①当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PAB=90°，

如图1，过点B作BM⊥x轴于点M，

∵A（3，0），B（4，1），

∴AM=BM=1，

∴∠BAM=45°，

∴∠DAO=45°，

∴AO=DO，

∵A点坐标为（3，0），

∴D点的坐标为：（0，3），

∴直线AD解析式为：y=kx+b，将A，D分别代入得：

∴0=3k+b，b=3，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+3，

∴y=x2﹣x+3=﹣x+3，

∴x 2﹣3x=0，

解得：x=0或3，

∴y=3，y=0（不合题意舍去），

∴P点坐标为（0，3），

∴点P、C、D重合，

②当△PAB是以AB为直角边的直角三角形，且∠PBA=90°，如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，

由（1）得，FB=4，∠FBA=45°，

∴∠DBF=45°，

∴DF=4，

∴D点坐标为：（0，5），B点坐标为：（4，1），

∴直线BD解析式为：y=kx+b，将B，D分别代入得：

∴1=4k+b，b=5，

∴k=﹣1，

∴y=﹣x+5，

∴y=x2﹣x+3=﹣x+5，

∴x2﹣3x﹣4=0，

解得：x

1=﹣1，x

2

=4（舍），

∴y=6，

∴P点坐标为（﹣1，6），

∴点P的坐标为：（﹣1，6），（0，3）；（3）如图3：作EM⊥AO于M，

∵直线AB的解析式为：y=x﹣3，

∴tan∠OAC=1，

∴∠OAC=45°，

∴∠OAC=∠OAF=45°，

∴AC⊥AF，

∵S

△FEO

=OE×OF，

OE最小时S

△FEO

最小，

∵OE⊥AC时OE最小，

∵AC⊥AF

∴OE∥AF

∴∠EOM=45°，

∴MO=EM，

∵E在直线CA上，

∴E点坐标为（x，﹣x+3），

∴x=﹣x+3，

解得：x=，

∴E点坐标为（，）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．