人教版高中数学必修4学案 1.4 正切函数的图像与性质
人教版高中数学高一A版必修4导学案 1.4.4正切函数的图象与性质
课堂导学三点剖析1.正切函数的图象和性质. 【例1】 已知函数y=tan )621(π-x ,（1）作此函数在一个周期开区间上的简图； （2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标. 思路分析：解决本题的关键是利用换元法（令x 21-6π=z ）将问题转化到正切函数y=tanZ 的图象和性质上处理，在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法. x-π32 … -6π 3π π65 … π34 x 21-6π -2π (4)π- 0 4π (2)π tan （x 21-6π）-∞…-11…+∞描点作线画图：（2）∵x 21-6π≠2π+kπ,k ∈Z . ∴x≠π34+2kπ,从而函数的定义域是{x ∈R ｜x≠34π+2kπ,k ∈Z }. 函数的周期是T=21π=2π. 又∵-2π+kπ＜x 21-6π＜2π+kπ,k ∈Z ,∴-π32+2kπ＜x ＜34π+2kπ.故函数的单调增区间是（-π32+2kπ，34π+2kπ），k ∈Z ；无减区间. （3）由x 21-6π=2π+kπ，k ∈Z 得x=ππk 234+, 故函数图象的渐近线为x=34π+2kπ,k ∈Z ； 再由x 21-6π=2πk ，k ∈Z ，得x=3π+kπ,故函数图象的对称中心为（3π+kπ，0），k ∈Z . 2.正切函数图象与性质的应用【例2】求满足下面条件的x 的集合3tan(2x-3π)+3＞0. 思路分析：本题可将2x-3π看作一个整体，利用y=tanx 的图象及单调性求解. 解：原不等式可化为tan （2x-3π）＞3-，设z=2x-3π.如下图，在（-2π，2π）上满足tanz ＞3-的角的范围是-3π＜z ＜2π,所以在整个定义域上有-3π+kπ＜z ＜2π+kπ,k ∈Z ,即-3π+kπ＜2x-3π＜2π+kπ,k ∈Z . 解得2πk ＜x ＜125π+2πk ,k ∈Z .所以原不等式的解集是 {x ｜2πk ＜x ＜125π+2πk ,k ∈Z }. 温馨提示本题是运用整体换元思想与数形结合思想解决的.首先将2x-3π看作一个变量Z ，然后结合正切函数的图象得到Z 的范围，最后用2x-3π替换Z ，解得x 即可. 3.对正切函数的定义域及其单调区间的理解. 【例3】若A={x ｜tanx ＞0}，B={x ｜33tan tan -+x x ≥0}， 试求A∩B.解：由B 得⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥,033tan ,0tan x x ∴tanx≥33. ∴A∩B={x ｜tanx≥33}， 而正切函数在每一个区间（kπ-2π,kπ+2π)(k ∈Z )上是增函数， 所以tanx≥33的解为 kπ+6π≤x ＜kπ+2π,k ∈Z ， 故A∩B={x ｜kπ+6π≤x ＜kπ+2π,k ∈Z }.温馨提示 由tanx≥33易解得x≥kπ+6π，k ∈Z.此种解法认为正切函数是增函数，是错误的.正切函数应在每一区间（kπ-2π,kπ+2π），k ∈Z 上是增函数. 各个击破类题演练1求下列函数的定义域 （1）y=tan （2x-3π）; (2)y=xtan 11+.解：（1）函数的自变量x 应满足：2x-3π≠kπ+2π,k ∈Z , 即x≠2πk +π125(k ∈Z ). 所以,函数的定义域为{x ｜x≠2πk +125π,k ∈Z }. (2)要使函数y=xtan 11+有意义，则有⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠+).(2,0tan1Zkkxxππ即x≠kπ-4π，且x≠kπ+2π(k∈Z).∴函数的定义域为，{x｜x∈R且x≠kπ-4π,x≠kπ+2π,k∈Z}.变式提升1y=｜tanx｜的最小正周期为（）A.2πB.πC.2πD.4π解析：作出y=｜tanx｜的图象，如下图所示.故y=｜tanx｜的周期为π.答案：B温馨提示（1）y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期都是y=sinx,y=cosx的周期缩短了一半，而y=｜tanx｜的周期与y=tanx的周期相同，同学们不要盲目地由y=｜sinx｜,y=｜cosx｜的周期是由原函数的周期缩短了一半推到y=｜tanx｜的周期是2π.（2）注意正切函数的定义域、单调性.尽管y=tanx在每一个开区间(kπ-2π,kπ+2π)(k∈Z)内都是增函数，但在整个定义域内不是增函数.类题演练2求函数y=xtan3-的定义域.解：⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥-).(2,0tan3Zkkxxππ∴tanx≤3,如右图∴kπ-2π＜x≤kπ+3π(k ∈Z ). ∴函数的定义域为{x ｜kπ-2π＜x≤kπ+3π,k ∈Z}.变式提升2 在区间（-23π，23π）范围内，函数y=tanx 与函数y=sinx 的图象交点的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：在同一坐标系中，首先作出y=sinx 与y=tanx ，在（-2π，2π）内的图象，须明确x ∈（0，2π）时，有sinx ＜x ＜tanx （利用单位圆中的正弦线，正切线就可证明），然后利用对称性作用x ∈（-23π，23π）的两函数的图象如下图，由图象可知它们有三个交点. ∴应选C.答案：C类题演练3以下三个描述不正确的是（ ） ①正切函数为定义域上增函数②正切函数存在闭区间［a,b ］,使y=tanx 为其上增函数 ③正切函数存在闭区间［a,b ］,使y=tanx 为其上减函数A.0个B.1个C.2个D.3个 解析：只有②正确. 答案：C 变式提升3比较tan1,tan2,tan3,tan4的大小. 解：tan2=tan （2-π),tan3=tan(3-π), tan4=tan(4-π), 又∵-2π＜2-π＜3-π＜4-π＜1＜2π,且y=tanx 在（-2π，2π）上是增函数. ∴tan(2-π)＜tan(3-π)＜tan(4-π)＜tan1. 即tan2＜tan3＜tan4＜tan1.。
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象教案 新人教A版必修4
1.4.3正切函数的性质与图象教学目的：知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。
教学过程： 一、复习引入：问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：．下面我们来作正切函数的图象． 二、讲解新课：1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ 2．正切函数是不是周期函数？()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ的图象说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π； （2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。
（3）正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； （2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
（3）周期性：π=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间zk k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象教案 新人教A版必
正切函数的性质与图像一教材分析：《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展，是对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫。
一般说来，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述.但对正切函数，教材先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象. 主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的体现得更加全面. 在此也向学生进一步说明华罗庚先生的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数学的美无处不在，数学无处不美。
为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的值域和周期性变化，正切曲线的作图过程，采用《几何画板》自制课件进行演示，以提高了学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
二教学目标（一）知识与技能目标：1.在对正切函数已有认知的基础上，理解正切函数的性质。
2.通过已知的性质，利用正切线，得到正切曲线。
3.根据正切曲线，完善正切函数的性质。
（二）过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．（三）情感态度价值观目标在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．三教学重点利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质.四教学难点正切函数的单调性和值域五学法与教法学生已基本掌握正切函数的定义、诱导公式等知识；基本掌握了从代数角度研究函数单调性、奇偶性、周期性的方法.但是由于该课涉及到的知识内容较多，特别是涉及到正切线时，学生会感到困难.我班学生有扎实的知识基础，学习的主动性和积极性也较高，已基本形成自主学习的习惯和能力.有合作学习的经验和氛围.因此学生学法为合作交流，教法为探究与发现式。
高中数学必修4人教新课标a版1.4.3正切函数的图像与性质教案
§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。
在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x 的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
人教版数学必修四第一章1.4.3 正切函数的性质和图象 导学案
1.4.3正切函数的图像与性质【学习目标】1、能正确作出正切函数图像；2、借助图像理解正切函数的性质；3、进一步研究正切函数的综合运用.【重点难点】正切函数的图像与性质【学习过程】一、复习旧知1.画出下列各角的正切线：2.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？3.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？二、自主学习预习教材P42~ P45思考以下问题：知识探究（一）：正切函数的图象思考1：类比正弦函数图象的作法,利用正切线在下图中作正切函数tan ((,))22y x x ππ=∈-图象，具体应如何操作？思考2：上图中,直线2π-=x 和2π=x 与正切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？A 思考4：正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象叫做正切曲线.它是由被相互平行的直线Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支完成相同的曲线组成的。
因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？ 知识探究（二）：正切函数的性质观察正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，完成下列思考：思考1：正切函数的定义域是 , 用区间表示为 思考2：根据诱导公式与周期函数的定义结合正切函数Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期是什么？思考3：根据图像你能判断正切函数具有奇偶性吗？思考4：观察右图中的正切线,当角x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内增加时, 正切函数值发生什么变化?由此反映出一个什么性质?思考5：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？思考7：正切函数的值域是什么?三、典型例题例1:比较下列两个三角函数值的大小．（1）710tan 72tan)1(ππ与（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan 413tan )2(ππ与变式练习1：比较下列两个三角函数值的大小．（1）815tanπ 914tan π （2）ο240tan ο260tan例2：根据正切函数图象，分别写出满足下列条件的x 的集合：（1）0tan >x （2）tan x >（3）0tan 1≥+x变式练习2：（1）函数1tan 2-=x y 的定义域是（2）函数)tan 1lg(x y -=的定义域是 例3：研究函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的基本性质变式训练3：（1）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42tan πx y 的基本性质 （2）求函数)32tan(ππ+=x y 的定义域、周期和单调区间.课后思考：研究函数x y tan =的相关性质课后练习与提高1. 下列函数不等式中正确的是（ ）.A ．43tan tan 77ππ>B ．23tan tan 55ππ<{}C.|22,|2,2x k x k k x x k k Z ππππππ⎧⎫≤<+∈⋃=+∈⎨⎬⎩⎭ C ． 1315tan()tan()78ππ-<- D ．1312tan()tan()45ππ-<-2. 若,则（ ）.A ．B ．C ．D ．3.函数y = ）.A ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．|22,2x k x k k ππππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭D ．|222x k x k πππ⎧≤<+⎨⎩且}2,x k k Z ππ≠+∈4. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是( )A ．32πB ．2πC ．3πD ．6π5. 函数x y π3tan =的最小正周期是（ ）A ．31B ．32C ．π6D ．π36. 函数tan()(0)6y ax a π=+≠的周期为（ ）.A ．2a πB ．2a πC ．a πD ．a πtan 0x ≤22,2k x k k Z πππ-<<∈2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈,2k x k k Z πππ-<≤∈,2k x k k Z πππ-≤≤∈7. 直线y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ）.A ．πB ．2πω C ．πω D ．与a 值有关8. 函数)4tan(x y -=π的定义域是（ ）A. {R x x ∈|且4π-≠x } B. {R x x ∈|且43π≠x }C. {R x x ∈|且z k k x ∈-≠,4ππ}D. {R x x ∈|且z k k x ∈+≠,43ππ}9. 在下列函数中，同时满足：①在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（）.A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan 2xy = D ．tan y x =-10. 3tan ,2tan ,1tan 的大小关系是 .11. 函数)42tan(1π-=x y 的定义域为 .12. 函数sin y x =与tan y x =的图像在[]1,1-上有 个交点。
高中数学 正切函数的性质与图像学案 新人教A版必修4
数学必修4学案 第三章 1.4.3 正切函数的性质与图象.
一、学习目标：
1、知识与技能：理解正切函数中的自变量取值范围；掌握正切线的画法；
2、过程与方法：类比正弦函数图象的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图象
3、情感态度与价值观：对正切函数的性质有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性.
二、重点与难点：
重点：正切函数的性质与图象。
难点：熟练运用正切函数的性质与图象分析问题
三、课前学习：
观察单位圆的三角函数线的变化，从中能发现什么？
四、课中学习：
对课前的实验的数据，进一步分析：
1、观察正切函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
2、正确理解正切函数引出的奇、偶函数定义的含义。
3、正切函数的图象
4、根据正切函数的图象推导出正切函数的性质，解释函数y=x, y=
x 1 都是奇函数。
5、总结正确理解正切函数引出的单调性、奇偶性w 。
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6、利用三角函数的简图画正切函数图像。
五、课后反思
对这一节的收获是什么？有什么问题期待解决？
六、作业设计：
P45的练习1、2、3、4、5、6。
人教版数学必修四第一章1.4.3 正切函数的性质和图象 经典教案
1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．二、教学目标（一）知识与技能1．理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；2．能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；3．能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题．（二）过程与方法1．通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；2．利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质；3．经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力；4．在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；5．通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题．（三）情感态度与价值观在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣．通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣．三、学情分析学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，三角函数线，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．四、教学重难点教学重点：正切函数的性质，用单位圆中的正切线作正切函数图象．教学难点：1．利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性；2．利用正切线及正切函数的奇偶性、单调性作⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 图象； 3．正切函数性质的简单应用．五、教学用具直尺，三角板，圆规，多媒体设备（PPT ）．六、教学过程（一）复习回顾（0.5分钟）回忆：在前面已经学习了哪几种三角函数的图象和性质?研究了它们的哪些性质?学生自由发言，互相补充，之后教师作口头梳理．设计意图：复习巩固已学知识，为后面教学作铺垫．（二）问题引入（4.5分钟）思考1：我们是先研究的正余弦函数的图象还是性质?能否采用同样的方法研究正切函数的图象与性质呢?学生口答后，教师指出：本节课我们将不从图象研究性质，而是从一个“全新”的角度来研究正切函数的性质．(给出课题，同时板书课题)设计意图：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面，同时培养学生的类比思维能力，引出这节课的课题和明确研究方向．思考2：我们学过有关正切函数的哪些性质？学生简单的口答后，提问学生回顾正切函数的定义、诱导公式、正切线等，教师在PPT 上给出单位圆，引导学生进行回顾，同时板书正切函数的定义域并强调用集合或区间表示．设计意图：为后面研究正切函数的性质、画图象作铺垫．思考3：要研究一个函数的性质，我们一般从哪些方面入手？学生自由发言，互相补充，之后教师给出下一个问题．思考4：在这众多的性质中，我们先研究哪个性质更好呢？教材中是先研究的哪个性质？（周期性）学生自由发言，教师稍作等候后对给出不同回答的同学进行提问，并做补充解释，让学生明白先研究周期性的原因：如果一个函数具有周期性，那么当研究清楚该函数在一个周期内的性质之后，就可以推广到整个定义域上，可以降低探究难度．在本节中，对探究单调性和图象等有所帮助．．设计意图：周期性是学生刚刚接触到的一个函数性质，相对其他性质还比较陌生，这样设计能让学生进一步体会到周期性在函数性质研究中的地位与作用．（三）探究新知1．性质（共12分钟）（1）周期性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有周期性？→周期是多少？→如何得到的？（tanx π)tan(x =+）→正切函数的周期是π．学生自由口答，教师可视情况进行提问，引导学生结合周期性的定义对正切函数的周期是π做一强调，指出与正余弦函数周期的不同，并板书性质．（2）奇偶性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有奇偶性？→是奇函数还是偶函数，为什么？→I x x x ∈∀=-，tan )tan(，→定义域关于原点对称→正切函数是奇函数．学生自由口答，若学生没提到检验定义域，则教师提醒学生要先检验定义域是否关于原点对称，并师生共同完成正切函数定义域的检验，为直观起见，可借助数轴．设计意图：强调判断奇偶性要先看定义域，同时先探究奇偶性对探究单调性有所帮助． （3）单调性（5分钟）思考5：既然正切函数的周期是π，那么我们只需要研究一个长度为多少的区间上的单调性？选择哪个区间好呢？ 学生思考后自由回答，若回答不准确，则教师引导学生选择包含原点的区间⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，因为原点附近的角是我们常见的角．思考6：这个区间能否根据我们已经得到的某一条性质进一步缩小呢？学生自由口答，教师较有指向性的提问，能使学生很容易发现“由于正切函数是奇函数，只需要探究它在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性”． 思考7：如何探究正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性？已掌握的有关正切函数的知识中，可以用来比较正切值大小是什么？给学生充足的时间相互探讨，由于已学过的有关正切函数的知识只有“定义、诱导公式和正切线”，所以学生在简单的讨论交流之后应该很容易想到是正切线．教师引导学生借助正切线探究正切函数在单调性⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性，再根据奇偶性将结论推广到⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，再根据周期性将结论推广到整个定义域．设计意图：正切函数单调性的探究是本节课的难点，在本节课中利用已经得到的奇偶性和周期性，将需要研究的单调区间一步步缩小，之后再利用奇偶性和周期性，还原出正切函数在定义域上的单调情况，让学生体会到函数性质之间的联系，培养学生“从特殊到一般”“从局部到整体”的数学思维．另外，当明确了单调性之后，值域也能很容易得到．（4）值域（1分钟）正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的值域是R→正切函数的值域是R→无最大值和最小值． 2．图象（共11分钟）猜想：根据我们已经探究出的正切函数的性质，请同学们先猜想、想象一下正切函数的图象会如何呢？学生想象，稍后教师提问一名学生，让他口头表述自己想象的正切函数的图象，之后教师引导学生画图验证猜想．设计意图：猜想图象可使学生对性质进行整合，培养学生的想象能力．思考8：利用已知的性质，如何画函数的图象？可以先画怎样的一个区间内的图象？ 教师较有提示性的提问，学生很容易做出回答：由于正切函数的是周期为，所以只需要画出一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象．由于在探究单调性时就选取的⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，所以学生也能很容易想到先画出⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的函数图象． 类比正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线绘制()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ图象．（1）教师借助PPT ，引导学生按照下列步骤作图：（5分钟）①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆； ②选取特殊角：34606-4-3-ππππππ，，，，，，，分别在单位圆中作出正切线，以6π为例进行详细的步骤说明；③描点；（纵坐标是相应的正切线）④连线：当x 趋近于22-ππ或时，图象的走势如何？思考之后学生自由回答，教师引导学生理解22-ππ==x x 和是正切函数的两条渐进线．思考9：有时不需要画出正切函数精确的图象，只需画出简图，只需确定哪些点或线就能画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=22-,tan ππ，x x y 的简图？ 学生可看出有三个点很关键（0，0），），（14--π，），（14π，还有两条渐近线：2π-=x ，2π=x ．即“三点两线”．学生回答之后，教师板演画出草图．思考10：如何得到函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的图象？整个定义域上的图象呢？ 学生自由回答，根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象左右平移，得到正切函数()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，称为“正切曲线”．教师板演画出⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的草图．这时，学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比，自己找出问题，加以体会．设计意图：培养学生运用类比的方法解决问题的能力，形成对正切函数图象的感知．（2）观察图象，验证、丰富性质（4分钟）从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线()Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；图象关于原点中心对称，得到它的哪一性质——奇函数；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,22-ππππ，，没有减区间． 设计意图：形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图象，分析各个性质在图象上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图象，函数的图象是其性质的直观反应，培养学生的识图能力，利用正切函数的图象进一步加深对性质的理解，体会“数形结合”的思想，同时，由渐近线感知无限逼近的思想．追问：在整个定义域上是增函数吗？注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增．设计意图：避免一些错误认识，进一步加深对正切函数单调性的理解．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？ 通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，，02π，无对称轴． 强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x 轴的交点．3．例题分析（8分钟）例1．求函数y ＝tan （2πx ＋3π）的定义域、周期和单调区间． 教师板演讲解，说明可将2πx ＋3π作为一个整体来处理，而不必设元，并写出解题过程，以规范学生的解题步骤． 设计意图：巩固正切函数的定义域、周期性和单调性，渗透换元的思想．例2．比较大小()︒167tan 1︒173tan ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-411tan 2π 513tan π 学生思考后，举手发言，说明理由．教师提醒学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较，并结合正切函数的图象加以说明．设计意图：深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想．练习：（5分钟）1．观察正切函数的图象，写出使不等式3tan ≥x 成立的x 的集合．2．求函数x y 3tan =的定义域、值域、周期和单调区间．（学生板演）（四）小结1．正切函数的性质与图象；2．性质有助于更有效的作图，图象有助于更直观的研究性质；3．数形结合的思想方法；设计说明：从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结．（五）布置作业习题1．4，A组，8，9题，B组2题：其他题完成在书上．七、板书设计。
最新人教版必修四高中数学1.4.3《正切函数的图像与性质》导学案
143《正切函数的图像与性质》导案【习目标】：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题 【重点难点】正切函数的图象及其主要性质 【法指导】利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质 【知识链接】1画出下列各角的正切线：2类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：3把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”4观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域： 值域： 最值： 渐近线： 周期性： 奇偶性 单调性： 图像特征： 三、提出疑惑同们，通过你的自主习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中【习过程】例1讨论函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的性质变式训练1 求函数y ＝tan2的定义域、值域和周期例2求函数y ＝2tan x 1－的定义域变式训练2 y例3 比较tan 27π与tan 107π的大小变式训练3 tan 65π与tan (－135π)【习反思】 1、数知识： 2、数思想方法： 【基础达标】 一、选择题 1 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π ()3π (D)6π2函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π() },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3下列函数中同时满足(1)在(0 2π)上递增(2)以2π为周期(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = ()x y 21tan = (D)x y tan -= 二、填空题4tan1tan2tan3的大小关系是_______________________ 5给出下列命题（1）函数y =sin||不是周期函数; (2)函数y =|cs2+1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+)是偶函数; (5)函数y =tan(2+π/6)图象的一个对称中心为(π/60)其中正确命题的序号是_______________(注把你认为正确命题的序号全填上) 三、解答题6求函数y=lg(1-tan)的定义域 [] [||]【拓展提升】 一、选择题 1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数 ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2、下列各式正确的是（ ）A ．1317tan()tan()45ππ-<- B ．1317tan()tan()45ππ->- ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定3、若tan 0x ≤则（ ） A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈二、填空题 4、函数tan 2()tan xf x x=的定义域为5、函数y 的定义域为 三、解答题[_____][+++++]6、 函数tan()4y x π=-的定义域是（ ）。
人教版高中数学必修4学案 1.4.3正切函数的性质与图象
第一章 三角函数三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.3 正切函数的性质与图象1．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．基础梳理 一、 正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期是π．3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称．4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数．练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z ，在开区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增． 二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交．思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？ 分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝3.∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C ) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C ) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数 解析： 正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4的定义域是(D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠π4 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z)D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B.2．tan 600°的值是(D )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C )A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A)A ．f (0)>f (－1)>f (1)B ．f (0)>f (1)>f (－1)C ．f (1)>f (0)>f (－1)D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－3π4， ∴1－3π4，－1，0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2x tan x的定义域为(A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z . (2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数． 解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2，即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2.1．正切函数单调区间的求法：求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，再由不等式k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z)求得x的范围即可．2．比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小．如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小．高中数学-打印版3．解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集．精校版。
高中数学学案4：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象【课前准备】 1．课时目标（1）掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性及值域等相关性质；（2）了解利用正切线作出正切函数，并会作简单的正切函数的图象；（3）利用正切函数的图象来研究相关的函数 性质． 2．基础预探（1）正切函数的性质：正切函数是周期函数，其周期是_______；就奇偶性而言，正切函数是_______； 正切函数在开区间_______（k ∈Z ）内都是增函数；正切函数的值域是_______． （2）正切函数y =tan x 的定义域为_______． 【知识训练】1．已知函数y =tan （2x +φ）的图象过点（12π，0），则φ可以下面中的（ ） A ．－6πB ．6πC ．－12πD ．12π2．下列函数中，是奇函数的是（ ） A ．y =sin x B ．y =sin x +1 C ．y =cos xD ．y =1－tan x3．若tan x =1，则x =（ ）A ．π4 B ．2k π+π4，k ∈Z C ．k π+π4，k ∈Z D ．k π±π4，k ∈Z4．函数y =tan （2x －3π）的最小正周期是_______．5．关于函数f （x ）= tan （2x －4π），有以下命题：①函数f （x ）的周期是π2；②函数f （x ）的定义域是{x |x ≠21k π+π8，k ∈Z }；③函数f （x ）是奇函数；④函数f （x ）的图象关于点（π8，0）对称；⑤函数f （x ）的一个单调递增区间为（－π2，π2）．其中，正确的命题序号是_______．6．求函数y=2tan2x的定义域．【学习引领】正切函数的图象是借且于正切线来作的，观察图形的形状，理解并掌握其相关性质．由正切函数的定义域知正切函数的图象被直线x=kπ+π2，k∈Z隔开，所以正切函数的图象是间断的，在每个开区间（－π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内，正切函数都是增函数，但不能说正切函数在定义域内是增函数．由于正切函数定义域不是R，因此一些性质与正弦函数、余弦函数的性质有了较大的差别．如正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；正、余弦函数是连续函数，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线x=kπ+π2，k∈Z；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个开区间（－π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内都是增函数；正、余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π；正、余弦函数的值域为[－1，1]，而正切函数的值域为（－∞，+∞）．【典例导析】题型一：函数的定义域问题例1．求函数y=xtan+lg（1－tan x）的定义域．点评：函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是函数的灵魂．求定义域实质就是使函数有意义的的x 取值范围，要注意使整个式子有意义的x 取值范围．当有几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域．变式练习1：求函数y =2tan （2x －π4）的定义域．题型二：函数图象问题例2．作出函数y =|tan x |的图象，并根据图象求单调区间．点评：根据图象可以发现y =|tan x |的最小正周期为π，一般的，函数y =A |tan （ωx +φ）|的最小正周期与y =A tan （ωx +φ）的最小正周期相同，均为||π ．作函数图象时，要注意对函数式进行化简，同时要注意函数的定义域． 变式练习2：若tan x ≤－1，则x ∈（ ）A ．（2k π－π2，2k π－π4），k ∈Z B ．（2k π+π2，2k π+3π4），k ∈Z C ．（k π－π2，k π－π4]，k ∈ZD ．[k π－π2，k π+π4]，k ∈Z题型三：比较函数值的大小例3．比较下列四个数的大小关系：tan1，tan2，tan3，tan4．点评：有关正、余切函数大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理，若遇到不同函数之间的比较，则最好通过变换化为同名函数再作比较． 变式练习3：比较大小：tan （－21π4）与tan （－17π5）．题型四：判断函数的单调性 例4．已知函数y =tan x ，x ∈（0，π2）是增函数，求证：函数y =1－tan x ，x ∈（－π2，0）是减函数．点评：判断此类函数的单调性问题，可以结合上述的函数单调性的定义来处理，在一些填空题或解答题中往往可以直接根据数形结合的方法，通过草图来加以处理，必要时再加以科学论证．变式练习4：已知函数f （x ）=tan45x ，则f （x ）（ ） A ．是定义域上的增函数，周期为π B ．是定义域上的增函数，周期为54π C ．在[－π2，π2]上为增函数，周期为π D ．在[－2π5，2π5]上为增函数，周期为54π【随堂练习】1．在下列函数中，同时满足下列三个条件的函数是（ ）①在（0，π2）上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数； A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 21x D ．y ＝－tan x2．函数f （x ）=tan （x +π4）的单调增区间为（ ） A ．（k π－π2，k π+π2），k ∈Z B ．（k π，（k +1）π），k ∈Z C ．（k π－3π4，k π+π4），k ∈Z D ．（k π－π4，k π+3π4），k ∈Z3．下列不等式中正确的是（ ）A ．tan53π>tan 52π B ．tan4>tan3C ．tan281º>tan665ºD ．tan （－413π）<tan （－512π）4．若x ∈[0，2π]，函数y =x sin +x tan 的定义域为__________．5．在区间（－3π2，3π2）范围内，函数y =tan x 与函数y =sin x 的图象交点的个数为 个． 6．求函数y = tan （－2x +π8）的周期与单调性．【课后作业】1．观察正切函数的图象，满足|tan x |≤1的x 取值范围是（ ）A ．[2k π－π4，2k π+π4]，k ∈Z B ．[k π，k π+π4]，k ∈Z C ．[k π－π4，k π+π4]，k ∈Z D ．[k π+π4，k π+3π4]，k ∈Z2．函数y ＝sin x ＋tan x －|sin x －tan x |在区间（π2，3π2）内的取值范围是（ ）A ．（－∞，0]B ．[0，＋∞）C ．[－2，0]D ．[0，2] 3．已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，则它的最小值为________． 4．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T）=0； 其中正确命题的序号是____________．5．若x∈[－π3，π4]，求函数y=tan2x+2tan x+3的值域．6．求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间［－π，π］内的图象．参考答案【课前准备】 2．基础预探 （1）π，奇函数，（－π2+k π，π2+k π），实数集R ；（2）{x |x ≠π2+k π，k ∈Z }． 【知识训练】 1． A 【解析】将（12π，0）代入原函数可得，tan （6π+φ）=0，再将选项A 、B 、C 、D 代入检验即可. 2． A【解析】A 是奇函数，B 、D 是非奇非偶函数，C 是偶函数. 3． C【解析】当tan x =1，在（－π2，π2）内对应的值是π4，而其周期是π，则有k π+π4，k ∈Z . 4．2π【解析】根据正切函数的性质知其最小正周期为T =ωπ=2π. 5．①【解析】对f （x ）=tan （2x －4π），T =π2，故①对；定义域为2x －4π≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，故②错；由于f （－x ）= tan （－2x －4π）=－tan （2x +4π）≠tan （2x －4π）=f （x ），故③错；由k π－π2<2x －4π<k π+π2，k ∈Z 知函数的单调增区间为（21k π－π8，21k π+3π8），k ∈Z ，故⑤错. 6．【解】要使函数y =2tan2x 有意义，则有2x ≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+π4，k ∈Z ，所以函数y =2tan2x 的定义域为{x |x ≠21k π+π4，k ∈Z }．【典例导析】例1．【解】函数y =x tan +lg （1－tan x ）有意义，则⎩⎨⎧>-≥0tan 10tan x x ，解得0≤tan x <1，结合正切函数的图象可得k π≤x <k π+π4，k ∈Z ，所以原函数的定义域为{x |k π≤x <k π+π4，k ∈Z }． 变式练习1：【解】要使函数y =2tan （2x －π4）有意义，则有2x －π4≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，所以函数y =2tan （2x －π4）的定义域为{x |x ≠21k π+3π8，k ∈Z }．例2．【解】由于y =|tan x |=πtan ,[π,π)2πtan ,(π,π)2x x k k x x k k ⎧∈+⎪⎪⎨⎪-∈-⎪⎩，k ∈Z ，单调增区间为[k π，k π+π2），k ∈Z ；单调减区间为（k π－π2，k π]，k ∈Z ．变式练习2：C【解析】如图，在（－π2，π2）这个周期内，tan x ≤－1所对应的区间是（－π2，－π4]，故在R 上，tan x ≤－1的解为（k π－π2，k π－π4]，k ∈Z .例3．【解】由于tan2=tan （2－π），tan3=tan （3－π），tan4=tan （4－π）， 又因为－π2<2－π<3－π<4－π<1<π2，而y =tan x 在（－π2，π2）上是增函数， 所以tan （2－π）<tan （3－π）<tan （4－π）<tan1，即tan2<tan3<tan4<tan1． 变式练习3：【解】由于tan （－21π4）=－tan π4，tan （－17π5）=－tan 2π5，又0<π4<2π5，而y =tan x 在（0，π2）内单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，则有－tan π4>－tan 2π5，即tan （－21π4）>tan （－17π5）．例4．【解】设任意x 1、x 2∈（－π2，0），且x 1<x 2，则有π2>－x 1>－x 2>0，由于函数y =tan x ，x ∈（0，π2）是增函数，所以tan （－x 1）>tan （－x 2），而正切函数y =tan x 是奇函数，则有－tan x 1>－tan x 2， 从而1－tan x 1>1－tan x 2，所以函数y =1－tan x ，x ∈（－π2，0）是减函数． 变式练习4：D【解析】正切函数不是在其定义域内单调，而是在区间（5π4k －2π5，5π4k +2π5）（k ∈Z ）上单调，周期为54π. 【随堂练习】 1． C【解析】对y ＝tan 21x ，在开区间（－π+2k π，π+2k π），k ∈Z 内，函数单调递增； 又tan （－21x ）= －tan 21x ，是奇函数；且周期T =π12=2π.2． C【解析】根据函数y =tan x 的单调性，由k π－π2< x +π4<k π+π2，k ∈Z ，得k π－3π4< x <k π+π4，k ∈Z . 3． B【解析】根据正切函数y =tan x 的单调性加以分析. 4．（π2，π] 【解析】函数y =x sin +x tan -的定义域为⎩⎨⎧≥-≥0tan 0sin x x ，即⎩⎨⎧≤≥0tan 0sin x x ，又x ∈[0，2π]，那么结合草图，可知x ∈（π2，π]. 5．3【解析】结合函数y =tan x 与函数y =sin x 的图象，在区间（－3π2，3π2）范围内，知它们的交点分别为（－π，0），（0，0），（π，0）；6．【解】周期为T =π|2|-=π2； 令u =－2x +π8，则y =tan u 在（－π2+k π，π2+k π），k ∈Z 上单调递增， 即－π2+k π<－2x +π8<π2+k π，解得：－3π16－21k π<x <5π16－21k π，k ∈Z ，又u =－2x +π8在R 上递减，故y = tan （－2x +π8）在区间（－3π16－21k π，5π16－21k π），k ∈Z 上单调递减．【课后作业】 1． C【解析】结合正切函数的图象可以判断出来. 2． A【解析】由于y ＝⎩⎨⎧2tan x ，π2<x ≤π，2sin x ，π<x <3π2，当π2<x ≤π时，y ≤0；当π<x <3π2时，－2<y <0；综上，y ≤0. 3．2【解析】由于y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝（tan x －1）2＋2，当tan x =1时，函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3的最小值为2. 4．④【解析】结合正切函数的图象与性质知①是错误的，同时y =|tan x |的周期为π，即②也是错误的；结合正弦函数的图象与性质知是③错误的；由于f （x ）是R 上的奇函数，则有f （0）=0，且有f （－2T ）=－f （2T ），而由其最小正周期为T 知f （－2T ）= f （2T ），则有f （－2T）=0.5．【解】函数y =tan x 在（－π2，π2）这个周期内是单调递增的， 因而当x ∈[－π3，π4]时，y =tan x 的最小值在x =－π3取到，且最小值为tan （－π3）=－3，y =tan x 的最大值在x =π4取到，且最大值为tan π4=1，又y =tan 2x +2tan x +3=（tan x +1）2+2，当tan x =－1时，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最小值2；高中数学优质学案11 当tan x =1，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最大值6；故函数y =tan 2x +2tan x +3的值域为[2，6]．6．【解】（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 即x ≠π4＋π2k ，k ∈Z ， ∴函数y ＝tan2x 的定义域为{x ∈R ｜x ≠ππ42k +，k ∈Z }； （2）设t ＝2x ，由x ≠ππ42k +，k ∈Z 知t ≠π2＋k π，k ∈Z ， ∴y ＝tan t 的值域为（－∞，＋∞），即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞）；（3）由tan2（x ＋π2）＝tan （2x ＋π）＝tan2x ， ∴y ＝tan2x 的周期为π2； （4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图：。
高中数学1.4.3正切函数的图像与性质导学案新人教版必
1.4.3正切函数的图像与性质课前预习学案一、预习目标利用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质二、预习内容1.画出下列各角的正切线：2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数x y tan =图象：3.把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”4.观察正切曲线，回答正切函数的性质： 定义域： 值域： 最值： 渐近线：周期性： 奇偶性 单调性： 图像特征： 三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标：会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
学习重难点：正切函数的图象及其主要性质。
二、学习过程例1.讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质变式训练1. 求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期例2.求函数y ＝2tan x 1－的定义域变式训练2. y例3. 比较tan 27π与tan 107π的大小变式训练3. tan 65π与tan (－135π)三、反思总结 1、数学知识： 2、数学思想方法： 四、当堂检测 一、选择题1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A) 32π (B) 2π (C)3π (D)6π2.函数)4ta n (x y -=π的定义域为( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 1tan = (D)x y tan -= 二、填空题4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.5.给出下列命题:（1）函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) 三、解答题6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域课后练习与提高一、选择题1、tan (,)2y x x k k Z ππ=≠+∈在定义域上的单调性为（ ）.A ．在整个定义域上为增函数B ．在整个定义域上为减函数C ．在每一个开区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数 D ．在每一个开区间(2,2)()22k k k Z ππππ-++∈上为增函数2、下列各式正确的是（ ）.A ．1317tan()tan()45ππ-<-B ．1317tan()tan()45ππ->-C ．1317tan()tan()45ππ-=- D ．大小关系不确定3、若tan 0x ≤,则（ ）.A ．22,2k x k k Z πππ-<<∈ B ．2(21),2k x k k Z πππ+≤<+∈C ．,2k x k k Z πππ-<≤∈ D ．,2k x k k Zπππ-≤≤∈二、填空题 4、函数tan 2()tan xf x x=的定义域为 .5、函数y =的定义域为 . 三、解答题6、 函数tan()4y x π=-的定义域是（ ）.。
高中数学《1.4.3正切函数的性质与图象》教案新人教版必修4
正切函数性质与图像说课材料开场：题目的变化教材变要求教法变：细心的老师会发现新课程中的正切函数这一节与旧教材有了变化，从题目上看，新教材把“图象与性质”改成了“性质与图象”；从内容上看，教材也有了很大的变化，这既体现了新课程理念在教材中的渗透，又要求我在教学过程中应采取不同的教法。
Ⅰ设计背景：学生认知规律已形成：通过学生高中阶段以来对函数的研究，包括前两节关于正余弦函数的学习，学生已经形成了研究函数的主要方法，即由函数的图像得到性质。
教法为何变：在今后的研究函数的过程中，许多函数的图象是无法直接描绘出来的，此时就需要通过函数的解析式分析函数某些性质如：定义域，值域，奇偶性等等。
这样画函数的图像也就有了大体方向，也能描绘出大致的函数图象。
另外，也是基于正切函数图象的复杂性，相对正余弦函数图象的连续性来讲，正切函数是不连续的。
所以教法需要变。
教法如何变：这节课，我采用的方法是先让学生从已学正切函数的相关知识的基础上研究该函数的主要性质，然后在此基础上描绘出函数的大致图像，再由图像完善函数的性质。
Ⅱ教材中的地位和作用：重要且有长远意义：本节课是继正余弦函数之后的又一三角函数，它与正余弦函数一样，是重要的三角函数中之一。
学习正切函数有利于学生进一步掌握研究函数的基本方法，有利于学生掌握解决函数问题时，采用由性质到图象的不同的学习方法，并运用到今后的函数学习中去。
体现了新课程“注重培养学生分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力，进一步发展学生的数学实践能力”的要求。
Ⅲ教学目标：（1）掌握由正切函数性质描绘图象的方法。
（2）正确理解正切函数的性质，实现图象与性质的统一。
Ⅳ重点难点重点：正切函数的性质与图象 难点：如何用性质得到图象Ⅴ教学过程——三个重要方面一、 正切函数性质的研究为什么：1、（学生）由于学生在本节课之前已经学习了正余弦函数的五个方面的性质，故正切函数的性质可以由学生已经掌握的三角函数知识来解决，当我们从已有性质出发去研究它的图象时，可以让学生有效地避免以前走的弯路。
1.4.3 正切函数的性质与图象 教案(新人教A版必修4)
1.4.3 正切函数的性质与图象整体设计教学分析本节课的背景是:这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式.一般来说,对函数性质的研究总是先作图象,通过观察图象获得对函数性质的直观认识,然后再从代数的角度对性质作出严格表述.但对正切函数,教科书换了一个新的角度,采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质,然后再根据性质研究正切函数的图象.这样处理,主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角,在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象,加强了理性思考的成分,并使数形结合的思想体现得更加全面.教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法.通过多媒体教学,让学生通过对图象的动态观察,对知识点的理解更加直观、形象.以提高学生的学习兴趣,提高课题教学质量.从学生的实际情况为教学出发点,通过各种数学思想的渗透,合理运用各种教学课件,逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力,学会运用数学思想解决实际问题的能力.这样既加强了类比这一重要数学思想的培养,也有利于学生综合运用能力的提高,有利于学生把新旧知识前后联系,融会贯通,提高教学效果.由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中,因此,我们可以通过“探究”提出,引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质,让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法.三维目标1.通过对正切函数的性质的研究,注重培养学生类比思想的养成,以及培养学生综合运用新旧知识的能力.学会通过对图象的观察来整理相应的知识点,学会运用数学思想解决实际问题的能力.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.重点难点教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课.思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.推进新课新知探究提出问题①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R ,x≠2π+k π,k∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2πk ,0)k∈Z . (3)单调性通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π-+k π,2π+k π),k∈Z 内都是增函数.(4)定义域根据正切函数的定义tan α=xy,显然,当角α的终边落在y 轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π+2π,k∈Z ,所以正切函数的定义域是{α|α≠k π+2π,k∈Z },而不是{α≠2π+2k π,k∈Z },这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.(5)值域由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x 大于2π-且无限接近2π-时,正切线AT 向Oy 轴的负方向无限延伸;当x 小于2π且无限接近2π时,正切线AT 向Oy 轴的正方向无限延伸.因此,tanx 在(2π-,2π)内可以取任意实数,但没有最大值、最小值. 因此,正切函数的值域是实数集R .问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论,这也体现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生可能选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的体现.此时,教师应调整计划,把课件中先作出［-2π,2π］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个定义域内函数的图象,让学生观察思考.最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质,让学生通过分析得到先作区间(-2π,2π)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.根据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠2π+k π(k∈Z )的图象,我们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生观察正切曲线,点拨学生讨论思考,只需确定哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的简图.学生可看出有三个点很关键:(4π-,-1),(0,0),(4π,1),还有两条竖线.因此,画正切函数简图的方法就是:先描三点(4π-,-1),(0,0),(4π,1),再画两条平行线x=2π-,x=2π,然后连线.教师要让学生动手画一画,这对今后解题很有帮助.讨论结果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法. 提出问题①请同学们认真观察正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象讨论它的性质. ②设问:每个区间都是增函数,我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子.活动:问题①,从图中可以看出,正切曲线是被相互平行的直线x=2π+k π,k∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.教师引导学生进一步思考,这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线,我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位,对应的函数值相等,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(2π-+k π,2π+k π),k∈Z ,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.通过图象我们还能发现是中心对称,对称中心是(2πk ,0),k∈Z . 问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性. 讨论结果:①略. ②略. 应用示例例1 比较大小.(1)tan138°与tan143°；(2)tan(413π-)与tan(517π-). 活动:利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.教师可放手让学生自己去探究完成,由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较,学生不难解决,主要是训练学生巩固本节所学的基础知识,加强类比思想的运用.解:(1)∵y=tanx 在90°<x<180°上为增函数, ∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.(2)∵tan(413π-)=-tan 413π=-tan(3π+4π)=-tan 4π, tan(517π-)=-tan 517π=-tan(3π+52π)=-tan 52π.又0<4π<52π<2π,而y=tanx 在(0, 2π)上是增函数, ∴tan 4π<tan 52π.∴-tan 4π>-tan 52π,即tan(413π-)>tan(517π-).点评:不要求学生强记正切函数的性质,只要记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=3tan -的定义域.活动:如图4,本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题.不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决,教师在引导学生探究活动中,也应以两种方法提出解决方案,但要有侧重点,应体现函数图象应用的重要性.图4 图5解:由tanx-3≥0,得tanx≥3, 利用图4知,所求定义域为［k π+3π,k π+2π)(k∈Z ). 点评:先在一个周期内得出x 的取值范围,然后再加周期即可,亦可利用单位圆求解,如图5.本节的重点是正切线,但在今后解题时,学生哪种熟练就用哪种. 变式训练根据正切函数的图象,写出使下列不等式成立的x 的集合. (1)1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0. 解:(1)tanx≥-1,∴x∈［k π-4π,k π+2π),k∈Z ; (2)x∈［k π-2π,k π-3π),k∈Z .例3 求函数y=tan(2πx+3π)的定义域、周期和单调区间.活动:类比正弦、余弦函数,本例应用的是换元法,由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法,所以这里也就不用再介绍换元法,可以直接将2πx+3π作为一个整体.教师可让学生自己类比地探究,只是提醒学生注意定义域. 解:函数的自变量x 应满足2πx+3π≠k π+2π,k∈Z , 即x≠2k +31,k∈Z . 所以函数的定义域是{x|x≠2k+31,k∈Z }. 由于f(x)=tan(2πx+3π)=tan(2πx+3π+π)=tan[2π(x+2)+ 3π]=f(x+2), 因此,函数的周期为2. 由-2π+k π<2πx+3π<2π+k π,k∈Z ,解得35-+2k<x<31+2k,k∈Z .因此,函数的单调递增区间是(35-+2k,31+2k ),k∈Z .点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研究一样,这里可引导学生探究y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=ωπ. 变式训练求函数y=tan(x+4π)的定义域,值域,单调区间,周期性. 解:由x+4π≠k π+2π,k∈Z 可知,定义域为{x|x∈R 且x≠k π+4π,k∈Z }.值域为R .由x+4π∈(k π-2π,k π+2π),k∈Z 可得,在x∈(k π-43π,k π+4π)上是增函数. 周期是π,也可看作由y=tanx 的图象向左平移4π个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4按照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生利用函数y=tanx 的单调性探究解题方法.也可利用单位圆中的正切线探究解题方法.但要提醒学生注意本节中活动的结论:正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数,但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数.学生可能的错解有: 错解1:∵函数y=tanx 是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx 是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探究问题的解法.发现错解后不要直接纠正,立即给出正确解法,可再让学生讨论分析找出错的原因.图6 解法一:∵函数y=tanx 在区间(2π,23π)上是单调递增函数, 且tan1=tan(π+1),又2π<2<3<4<π+1<23π,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1,AT 2,AT 3,AT 4, ∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生澄清正切函数单调性问题,这属于学生易错点.把正切函数y=tanx 的单调性简单地说成“在定义域内是增函数”是不对的. 知能训练课本本节练习1—5. 解答:1.在x 轴上任取一点O 1,以O 1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x 轴的直径,将⊙O 1分成左右两个半圆,过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线,然后从圆心O 1引7条射线把右半圆分成8等份,并与切线相交,得到对应于83π-,4π-,8π-,0,8π,4π,83π等角的正切线.相应地,再把x 轴上从2π-到2π这一段分成8等份.把角x 的正切线向右平行移动,使它的起点与x 轴上的点x 重合,再把这些正切线的终点用光滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(2π-,2π)的图象. 点评:可类比正弦函数图象的作法. 2.(1){x|k π<x<2π+k π,k∈Z };(2){x|x=k π,k∈Z };(3){x|2π-+k π<x<k π,k∈Z }.点评:只需根据正切曲线写出结果,并不要求解三角方程或三角不等式. 3.x≠6π+3πk ,k∈Z . 点评:可用换元法. 4.(1)2π;(2)2π. 点评:可根据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R 的周期T=ωπ得解. 5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tan π=0.(2)不会.因为对于任何区间A 来说,如果A 不含有2π+k π(k∈Z )这样的数,那么函数y=tanx,x∈A 是增函数;如果A 至少含有一个2π+k π(k∈Z )这样的数,那么在直线x=2π+k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:理解正切函数的单调性. 课堂小结1.先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法,有哪些启发、收获.本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后,研究的又一个具体的三角函数,与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研究正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质,并在此基础上得到图象,最后用图象又验证了函数的性质.2.(教师点拨)本节研究的过程是由数及形,又由形及数相结合,也是我们研究函数的基本方法,特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法.请同学们课后思考总结:这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？ 作业课本习题1.4 A 组6、8、9.。
高中数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案
高中数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案正切函数的性质和图象【学习目标】1.能借助单位圆中正切线画出y=tanx的图象.2.理解正切函数在上的性质.（预习课本第页42----44页的内容）【新知自学】知识回顾：1、周期性2、奇偶性3.单调性：x在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；x在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；最值：当且仅当x=_______时，y=sinx取最大值___，当且仅当x=______ _时，y=s inx取最小值______.当且仅当x=_______时，取最大值____，当且仅当x=_______时，y=cosx取最小值______.新知梳理：1.正切函数的性质（1）周期性：正切函数的最小正周期为_____;y=tanx( )的最小正周期为_____.（2）定义域、值域：正切函数的定义域为_________,值域为_________.（3）奇偶性：正切函数是__ ____函数.（4）单调性：正切函数的单调递增区间是______________________.2．正切函数的图象：正切函数y=tanx,x R且的图象，称“正切曲线”.探究：1. 正切函数图象是被平行直线y= 所隔开的无穷多支曲线组成。
能否认为正切函数在它的定义域内是单调递增的？2.正切曲线的对称中心是什么？对点练习：函数的周期是（）A. B. C. D.2.函数的定义域为 ( )A.BD下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2 为周期,(3)是奇函数的是( )A. BD求函数y＝的定义域【合作探究】典例精析：题型一：与正切函数有关的定义域问题例1.求函数的定义域.变式1.求函数的定义域.题型二：正切函数的单调性例2.（1）求函数y=tan(3x- )的周期及单调区间.（2）比较tan 与tan 的大小.变式2.(1)求函数y=tan( -x)的周期及单调区间.(2)比较大小：tan 与tan (－ ).【课堂小结】【当堂达标】1.下列各式正确的是（）A．B．C．D．大小关系不确定2.函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为________．3.函数y＝tan 的单调区间是____________________，且此区间为函数的________区间（填递增或递减）．4.写出函数y=|tanx|的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期.【课时作业】1、在定义域上的单调性为（）.A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个上为增函数D．在每一个上为增函数2、若 ,则（）.A．B．C．D．与函数的图象不相交的一条直线是（）4. 已知函数的图象过点，则可以是．tan1,tan2,tan3的大小关系是_________________________________.6.下列四个命题：①函数y＝tan x在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tan x的图象关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tan x的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为__________________．7.求函数y=3tan(2x+ ),( )的值域、单调区间。
高中数学必修四学案 1.4.3 正切函数的性质与图象
1．4.3 正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z . 思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 周期性．思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 奇偶性．思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？ [答案] 是．梳理 函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：知识点二 正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？[答案] 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象．作法如下： (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y 轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ [答案] 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × )提示 正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.类型一 正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z [解析] 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的值域 解 由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3， 则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．类型二 正切函数的单调性问题 命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性 解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π. 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2017·太原高一检测)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性 解 y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－π8＋k π2<x <3π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )． 命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小 例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. [考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] (1)< (2)<[解析] (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.(2)tan 18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思与感悟 运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.[考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] >[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三 正切函数综合问题 例4 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． [考点] 正切函数的综合应用 [题点] 正切函数的综合应用解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3； 令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．反思与感悟 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .跟踪训练4 画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．[考点] 正切函数的综合应用[题点] 正切函数的综合应用解 f (x )＝tan |x |化为f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [考点] 正切函数的单调性[题点] 判断正切函数的单调性[答案] C2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的奇偶性[答案] A[解析] 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数． 3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接)[考点] 正切函数的单调性[题点] 正切函数单调性的应用[答案] tan 2<tan 3<tan 1[解析] tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2， 且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． [考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的周期性[答案] π3[解析] T ＝π|ω|＝π3. 5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． [考点] 正切函数的定义域、值域[题点] 正切函数的值域[答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析] 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.。
1.4.3正切函数的性质与图象 教案
1.4.3正切函数的性质与图象教案（人教A版必修4）授课题目授课时间课型新授课授课地点授课教师授课班级授课方法启发和探究教学相结合教学辅助手段多媒体课件教学目标1．掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质的同时学会本节课研究数学问题的方法，培养积极主动的学习态度。
2．利用迁移、类比的方法提高分析、探究问题的能力，拓展研究数学问题的视角，加强理性思考，体验数学的严谨之美.3．领悟和内化数形结合的思想，让学生在学习中收获成功和快乐，感受到数学的无穷魅力.教学重点正切函数的性质与图象. 教学难点利用正切线研究函数的单调性及值域.教学过程教学流程教学内容教师活动学生活动学情预设设计意图复习引入1．正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？2．正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？提出问题引导学生回忆，迁移到对正切函数的研究中.1．学生和老师一起回忆研究正弦函数余弦函数的思路与方法.学生易于得到描点作图和函数的性质.激发学生的学习兴趣和探究欲望.探究一正切函数y=tan x的定义域.强调研究函数定义域优先. 2．学生回忆正切函数的定义.类比正、余弦函数定义学生容易遗漏定义域，老师提醒.培养学生缜密的思维. 探究二1．当x大于-2π且无限接近-2π时，正切线AT向y轴负方向无限延伸；2．当x小于2π且无限接近2π时，正切线AT向y轴正方向无限延伸；因此，正切函数没有最大值、最小值；所以，正切函数的值域是实数集R.展示正切线的变化规律，引导学生观察正切函数的值域；指定学生回答．3．学生观察探究正切函数的值域.学生会想到正切函数线，老师再引导和动画演示.展示单位圆中三角函数线的重要性，进一步让学生体会数形结合的思想.探究三诱导公式tan(-x)= -tan x，x R∈,,2x k k Zππ≠+∈知，正切函数是奇函数.让学生类比研究正、余弦函数奇偶性的方法，自己探究正切函数的奇偶性．4．利用诱导公式探究正切函数的奇偶性.学生可能遗漏函数奇偶性对定义域的要求.展示数学中的对称美. 探究四诱导公式tan( x+π)=tan x ，x R∈,,2x k k Zππ≠+∈)可知：正切函数是周期函数，周期为π.让学生类比研究弦函数的方法来研究正切函数的周期性．5．学生类比思考探究正切函数是否为周期函数.学生会想到诱导公式，老师需要解释是最小正周期.让学生感受类比，体会类比在研究问题中的重要性.。
高中数学 1.4.2《正切函数的性质与图象》教学设计 新人教A版必修4
1.4.2《正切函数的图象与性质》教学设计【教学目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.3.掌握正切函数的基本性质. 【导入新课】 复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图象，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图象，并研究和讨论它的性质.新授课阶段 一、正切函数的图象：当α在第一象限时， 正弦线sinα=BM>0 余弦线cosα=OM>0 正切线tanα=AT>0那么，当α在其他三个象限 的情况呢？请同学们画 出其他三个象限的正切线. 我们将区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭进行 八等分，9个点分别为3284πππ---，， ,0,,88ππ-3,.482πππ，分别画出其中384ππ--，，,0,,88ππ-348ππ，的正切线， MAO然后利用描点法画出正切函数的大致图象.由正切三角比的诱导公式可知：tan()tan παα+= 那么y =tan()tan παα+=，可知π为y=tanx 的一个周期. 由此，我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图象如下：例1 （1）比较tan1670与tan1730的大小; （2）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小. 解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx 在900～1800上单调增函数， ∴tan1670<tan1730. (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π 4π，52tan517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-， 又：20,tan 0,4522y x ππππ⎛⎫<<<= ⎪⎝⎭在内单调递增， ⎪⎭⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即. 二、正切函数的性质观察正切函数的图象，引导学生得正切函数的性质： 1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2.值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ， 2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan Y =tan α，α∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭当x 从大于()2k k z ππ+∈，2x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan . 3.周期性：π=T .4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数.5.单调性：在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增. 从图象上看出函数y=tanx 的单调区间是,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？考察0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内的函数y=tanx 的单调性. 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12x x 、，且12x x <，y 1-y 2=tanx 1-tanx 2 =1212sin sin cos cos x x x x -=1212121212sin cos cos sin sin()cos cos cos cos x x x x x x x x x x --=. 因为1202x x π≤<<，所以120.2x x π-<-<则cosx 1、cosx 2>0， sin(12x x -)<0,从而tanx 1-tanx 2<0，y 1<y 2.即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.由奇函数的性质可知，在,02π⎛⎤-⎥⎝⎦上正切函数y=tanx 也是增函数.由于y=tanx 的周期为π，则函数y=tanx 在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增. 除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx ，你还有什么方法能够证明它在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增吗？证法2：在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12,x x ，且12x x <,tanx 1-tanx 2=1212tan()1tan tan x x x x -+⋅.因为120,2x x π-<-<所以tan(x 1-x 2)<0，tanx 1≥0，tanx 2>0.因此1+tanx 1·tanx 2>0.则tanx 1-tanx 2<0, tanx 1<tanx 2, 即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.接下来的证明同前一种方法.[说明]在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭每一个单．．．．调区间上．．．．是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明. 例2 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质. 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且; 值域：R;它是非奇非偶函数; 在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数; 令f (x)=tan(x+4π)=tan(x+4π+π)=tan[(x+π)+4π]=f(x+4π)， 因此，函数f(x)的周期是π.例3 求下列函数的单调区间：13tan().24y x π=+解：1,3tan 24u x y u π=+=令那么， 124u x π=+是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈1:24u x π∴=+由得12242k x k πππππ-<+<+；13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222k k k Z ππππ-+∈（，）.变式训练1：求函数3tan()24x y π=-+的单调区间.解：因为原函数可以化为：3tan();24y ππ=--;tan 24x u y u π=-=令所以的单调递增区间为：(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24u x π∴=-由得1.2242k x k πππππ-<-<+13tan()24y x π∴=-+的单调递减区间为3(2,2)22k k k Z ππππ-+∈.例4 求下列函数的周期：3tan(2).4y x π=+解：()3tan(2)4f x x π=+3tan(2)4x ππ=++3tan[2()]24x ππ=++()2f x π=+，2T π∴=周期.变式训练2：求解13tan()24y x π=+的周期. 解：1()3tan()24f x x π=+13tan()24x ππ=++13tan[(2)]24x ππ=++(2)f x π=+，2T π∴=周期.（||T πω=周期） 例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期.解：令u=3x-3π,则y=tanu ，由u≠2k k Z ππ+∈可得：5()318k x k Z ππ≠+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，. y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为R . 存在x=9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3π],所以，y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是非奇非偶函数. 由,22k u k ππππ-<<+可以得到5()318318k k x k Z ππππ-<<+∈. ∴y=tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭在5(,)()318318k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭=tan 33x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)， ∵f(x)=f(x+3π)，∴函数f(x)=y= tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是3π.课堂小结小结和归纳这节课所学习的内容： 正切函数y=tanx 的性质： 定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域：全体实数R 周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=π 奇偶性：奇函数单调性：正切函数在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数.我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx 的周期是π的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+T)，求出函数的周期.作业 见同步练习1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π 2.函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -=4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________.5.给出下列命题:(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +12|的周期是π2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π6)图象的一个对称中心为(π6,0)，其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上). 6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域.1.C2.D3.C4. tan2<tan3<tan15.(1)(4)( 5)6.,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭。
高中人教版数学必修4学案：第1章 1.4.3 正切函数的性质与图象 【含答案】
1.4.3 正切函数的性质与图象学习 目 标核 心 素 养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点) 1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质 解析式 y ＝tan x图象定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 单调性在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB.()k π，k π＋π，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z C [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．] 2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为 ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z.] 3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是 ． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是 ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＜x ＜π4，且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域：①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→ 求1tan x 的范围(2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1； 当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )， 所以函数的定义域是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．[跟进训练]1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．[解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎨⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z. 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3的周期为 ．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为 ．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出． (3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解]①定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称， 又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )， 所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用[探究问题]1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上→ 根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→→求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4， tan 17π5＝tan 2π5， 又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5， 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5， 所以－tan π4＜－tan π5， 即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得， －π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ， 所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )． 2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”，结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y＝lg tan x的单调递增区间就是函数y＝tan x(tan x＞0)的单调递增区间，令kπ＜2x－π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2＋π8＜x＜kπ2＋3π8(k∈Z)，故y＝lg tan⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ2＋π8，kπ2＋3π8，k∈Z.1．求函数y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan(ωx＋φ)转化为y＝A tan[－(－ωx－φ)]＝－A tan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝A tan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数的图象正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－π2，x＝π2，然后描出三个点(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.]3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为 ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.- 11 - ]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。
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【解】1换元的思想在数学解题中是常用的数学思想；2在特定区间值的问题时，注意运用数形结合的思想；（3）若题意改为“已知 (|x|≤ )的最小值-4，求a的值．”如何解呢？
作业
布置
习题1-4 6，7,8,9
学习小结/教学
反思
5．单调性：正切函数在每一个开区间 （ｋ∈Ｚ）上单调增函数．
6.直线x=1，x=-1与函数y=tanx在区间（ ， ），（ ， ）之间的图形的面积
是______________
思考：正切函数在整个定义域内是单调增函数吗？
答：__________________________
精讲互动：
例：求函数y=tan(2x- 的定义域、周期、单调区间．
12正切函数的图像与性质
授课
时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
数学教研组
学习
目标
1.能正确作出正切函数曲线；
2.借助图象理解正切函数的性质；
3.进一步研究正切函数的综合运用
重点难点
正切函数的概念、图像与性质
学习
过程
与方
法
自主学习
1．定义域：2．值域3．周期性：
4奇偶性：y=tanx是奇函数其图象关于________对称，它的对称中心为__________________
.看书并填写下表：
函数
正切函数y=tanx的性质
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
达标训练
1、观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的x的集合:
①tanx=0②tanx<1
2、求下列函数的定义域：
①y=tan3x②y=tan(x+
3.比较下列两个三角函数值的大小．
①tan2400、tan2600②
4.求函数y=tan 的定义域、值域，并指出它的