最大公约数与最小公倍数讲义
最大公约数与最小公倍数(二)
最大公约数与最小公倍数（二）这一讲我们主要介绍最大公约数、最小公倍数的性质以及两者之间的关系。
1． 最大公约数的性质：（1） 两个数的公约数一定是两个数的最大公约数的因数。
（2） 两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定互质。
2． 最小公倍数的性质：（1） 两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
（2） 如果一个数c 能同时被两个自然数a 、b 整除，那么c 一定能被这两个数的最小公倍数整除。
或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。
3． 最小公倍数和最大公约数之间的关系：)(b a ab ， ×］，［b a 或］，［b a =)(b a ab ， 学习例题：例1. 两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？例2. 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，这两个数的和是77，求这两个数。
例3. 两个自然数的和是432，它们的最大公约数是36，求这两个数。
例4.两个数的最大公约数为21，最小公倍数为126，求这两个数。
例5.两个自然数的和是54，它们的最小公倍数与最大公约数的差是114，求这两个自然数。
例6.已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和为84，求这两个数。
例7.三个三位数，它们的最大公约数是26，最小公倍数是10010，满足条件的三位数有几组？思考与练习：1.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。
已知其中一个数为24，求另一个自然数。
2.两个数的最大公约数是18，最小公倍数是180，两个数的差是54，求这两个数的和。
3.两个数的和是70，它们的最大公约数是7，求这两个数是多少？4.两个自然数的最小公倍数是144，它们的最大公约数是24，求这两个数。
5.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是504，其中一个数是42，那么另一个数是多少？6.两个整数的最小公倍数是140，最大公约数是4，这两个数的和为48，这两个数分别是多少？7.两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，这两个数的和是多少？8.两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）是数学中常见的概念。
它们在数论、代数和几何等领域中有广泛的应用。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、最大公约数的定义和计算方法最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
例如，整数12和18的约数有1、2、3、6，其中最大的一个就是6，所以12和18的最大公约数是6。
最大公约数通常用缩写形式GCD表示。
1. 辗转相除法辗转相除法（Euclidean algorithm）是求解两个整数最大公约数的常用方法。
它的基本思想是通过反复用较大的数除以较小的数，直到余数为0为止。
余数为0时，最后一个被除数即为最大公约数。
假设要求解整数a和b的最大公约数，其中a大于等于b。
具体的计算步骤如下：1）用a除以b，得到商q和余数r。
2）如果余数r等于0，则b即为最大公约数。
3）如果余数r不等于0，则重复步骤1，用b除以r，得到商q1和余数r1。
4）重复上述过程，直到余数为0，最后一个被除数即为最大公约数。
2. 更相减损术更相减损术是另一种求解最大公约数的方法。
它的基本思想是通过反复用较大的数减去较小的数，直到两个数相等为止。
相等的数即为最大公约数。
假设要求解整数a和b的最大公约数，其中a大于等于b。
具体的计算步骤如下：1）如果a等于b，那么a即为最大公约数。
2）如果a不等于b，则计算它们的差d=a-b。
3）将差d和较小的数再次进行步骤1和步骤2的操作，直到两个数相等为止。
二、最小公倍数的定义和计算方法最小公倍数是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
例如，整数4和6的倍数有4、8、12、16、...以及6、12、18、...其中最小的一个是12，所以4和6的最小公倍数是12。
最小公倍数通常用缩写形式LCM表示。
最小公倍数可以通过最大公约数来计算，公式如下：LCM(a, b) = a * b / GCD(a, b)三、最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数在实际问题中有广泛的应用。
第五讲--最大公约数与最小公倍数
第五讲最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数(在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
最大公约数:如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b]的约数。
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
1. 求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。
例如：2181239632，所以(12,18)236=⨯=；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。
那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。
例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15。
2. 最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。
3. 求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公约数b ；b a 即为所求。
二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m ，能被n 整除（n/m ）,那么m 就是n 的倍数。
5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数)
第五讲最大公因数与最小公倍数 （教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念，用于计算两个或多个数的公共因数和公共倍数。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）最大公约数指的是两个或多个数中能够同时整除的最大的正整数。
在计算最大公约数时，我们常用到欧几里得算法。
这个算法基于一个简单的原理：两个整数的最大公约数等于其中较小数和两数相除余数的最大公约数。
例如，如果要计算30和45的最大公约数，首先用较大的数除以较小的数：45 ÷ 30 = 1 余 15然后将较小的数（30）与余数（15）进行计算：30 ÷ 15 = 2 余 0余数为0时，计算结束。
此时，最大公约数为较小的数（15）。
当涉及到多个数的最大公约数计算时，可以逐一计算两个数的最大公约数，得到的结果再与下一个数计算最大公约数，以此类推直到最后一个数。
最大公约数在实际问题中常用于简化分数、约简比例以及计算整数倍等方面。
它也是许多算法和数学问题的重要组成部分。
二、最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）最小公倍数指的是两个或多个数中能够被它们同时整除的最小正整数。
计算最小公倍数时，我们可以使用最大公约数来简化计算。
最小公倍数可以通过以下公式计算得到：最小公倍数 = 两数的乘积 / 最大公约数例如，如果要计算12和15的最小公倍数，首先计算它们的最大公约数：12的因数为1、2、3、4、6、1215的因数为1、3、5、15可以看出，它们的最大公约数为3。
然后，将两个数的乘积除以最大公约数得到最小公倍数：（12 × 15）÷ 3 = 60因此，12和15的最小公倍数为60。
最小公倍数在实际问题中常用于解决时间、速度、周期等相关计算。
例如，计算两个车辆同时从起点出发，分别以不同速度绕圈行进，要求它们再次同时回到起点的最短时间，即可使用最小公倍数来得到答案。
最大公约数和最小公倍数课件(10)
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例2 求（319，377）.
解：∵ 377÷319＝1（余58），
∴（377，319）＝（319，58）； ∵ 319÷58＝5（余29）， ∴（319，58）＝（58，29）； ∵ 58÷29＝2（余0）， ∴（58，29）＝29； ∴（319，377）＝29。
可以用下面的简便形式来求（319，377）.
2． 折一个角 谈话：我们已经认识了角，能用自己灵巧的 小手折一个角吗？看谁折得快折得好。（用准 备好的白纸折角） 3． 角的大小比较 （1）提问：能使你折的角变得再大一些吗？你 是怎么办的？能把它变得小一些吗？又是怎么 做到的？ （2）钟面上的时针和分针转动时，形成了大小 不同的角，同学们能比较出哪个角大些吗？用 什么方法比较？ （3）谈话：观察老师手上的这两个三角形（两 个纸做的一大一小的三角形），哪个三 角形大些呢？还是一样大呢？你知道角 的大小和什么有关吗？
∵ [a,b]•(a,b)=a • b, ∴ [a,b]=ab÷(a,b).
求两个数的最小公倍数，可以用两
个数的最大公约数，除两个数的积，所
得的商就是这两个数的最小公倍数。
例2
求[105,42].
解：∵（105,42）=21, ∴ [105,42] =105×42÷21 =210.
1、用分解质因数法求下列各组数的最小公倍数。 （1）36和48 （2）64和72 （3）4、12和42 （4）112、124和420 2、用求最大公约数法求下列各组数的最小公倍数； （1）185和338 （2）46和240 3、指出小明在求三个数的最小公倍数时的错误，并对他作正 确的解释。
（2）391和299
（3）252和180
（4）4935和13912
第4讲 最大公约数和最小公倍数
第4讲最大公约数和最小公倍数（二）解题思路：记住并灵活运用两个定理（定理1两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1 定理2两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积. 定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？例3 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
例4 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
例5 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。
例6 已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。
习题1.已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。
2.已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。
3.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。
4.已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。
5.已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。
6.已知两个自然数的平方和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数.第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。
定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。
证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。
假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。
小学数学中的最小公倍数与最大公约数
小学数学中的最小公倍数与最大公约数最小公倍数（LCM）和最大公约数（GCD）是小学数学中的重要概念，它们在整数运算和分数化简等方面起着关键作用。
本文将介绍最小公倍数与最大公约数的定义、计算方法以及应用场景。
一、最小公倍数（LCM）最小公倍数是指两个或多个数中能被所有这些数整除的最小的正整数。
用符号LCM表示。
计算最小公倍数的方法有两种常见的途径：质因数分解法和公式法。
1. 质因数分解法通过对每个数的质因数分解，求得各个数中所有质因数的最高次幂，然后将这些最高次幂相乘，即可得到最小公倍数。
举例说明：求16和24的最小公倍数。
首先，对16和24进行质因数分解：16 = 2^424 = 2^3 × 3^1接下来，取所有质因数的最高次幂相乘：最小公倍数 = 2^4 × 3^1 = 48因此，16和24的最小公倍数为48。
2. 公式法对于两个数a和b，其最小公倍数可通过以下公式来计算：最小公倍数 = |a × b| / GCD(a, b)其中，GCD(a, b)表示a和b的最大公约数。
举例说明：求28和42的最小公倍数。
首先，计算28和42的最大公约数：28 = 2^2 × 7^142 = 2^1 × 3^1 × 7^1最大公约数为2^1 × 7^1 = 14。
然后，应用公式法计算最小公倍数：最小公倍数 = |28 × 42| / 14 = 84因此，28和42的最小公倍数为84。
最小公倍数的应用：最小公倍数常用于解决关于分数化简、有理数比较和约分等问题。
例如，在分数的加减乘除运算中，需要将分母化为相同的最小公倍数，以便进行运算。
此外，在化简分数时，最小公倍数可以帮助我们找到最简形式的分数。
二、最大公约数（GCD）最大公约数是指两个或多个数中能整除它们的最大的正整数。
用符号GCD表示。
计算最大公约数的方法有两种主要的途径：欧几里得算法和质因数分解法。
求两个数的最大公约数和最小公倍数课件
性质多样
最大公约数和最小公倍数还有许多其他有趣的 性质和定理。
最大公约数和最小公倍数的关系
最大公约数和最小公倍数的乘积
两数的最大公约数乘以最小公倍数等于这两个数 的乘积。
最大公约数和最小公倍数的关系
最大公约数是最小公倍数的因子，最小公倍数是最 大公约数的倍数。
结论和要点
• 最大公约数是两个或多个整数的公共因子中最大的一个。 • 最小公倍数是两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。 • 可以用欧几里得算法、质因数分解法等方法求最大公约数。 • 可以用公式法、分解法等方法求最小公倍数。 • 最大公约数和最小公倍数有许多应用和有趣的性质。
花坛布置
最大公约数和最小公倍数可以帮 助布置花坛，让花朵的位置更加 均匀美观。
最大公约数和最小公倍数的性质
交换律
最大公约数和最小公倍数满足交换律，在计算 中可以任意改变数字的位置。
结合律
最大公约数和最小公倍数满足结合律，计算时 可以先计算一部分数字的最大公约数或最小公 倍数。
单位元
最大公约数和最小公倍数都有一个单位元，即1， 与任何数的最大公约数和最小公倍数都是1。
求两个数的最大公约数和 最小公倍数ppt课件
最大公约数和最小公倍数是数学中常见的概念。本课件将帮助您了解它们的 定义、计算方法、应用以及性质。
最大公约数和最小公倍数的定义
1 最大公约数
2 最小公倍数
是两个或多个整数的公共因子中最大的一个。
是两个或多个整数的公共倍数中最小的一个。
求最大公约数的方法
别取出各个质因数的最高次幂相乘。
3
公式法
最小公倍数等于两数的乘积除以最大公 约数。
相对质数法
首先计算出两个数的最大公约数，然后 将两个数相乘再除以最大公约数。
数论中的最大公约数与最小公倍数
数论中的最大公约数与最小公倍数数论是研究整数的性质和规律的数学分支，其中最大公约数和最小公倍数是数论中常见且重要的概念。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和运用这两个概念。
一、最大公约数的定义与性质最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
对于整数a和b，记作GCD(a,b)，其中a≠0或b≠0。
最大公约数具有以下性质：1. 对称性：GCD(a,b)=GCD(b,a)。
2. 传递性：若a能整除b，b能整除c，则a也能整除c。
即，若a|b 且b|c，则a|c。
3. 相关性：若a|b，b|c，则GCD(a,c)=a或GCD(a,c)=b。
4. 数量性：GCD(a,b)≥1，当且仅当a和b有公共的质数因子。
最大公约数在数论、代数、密码学等领域都有重要的应用。
例如，它可以用来求解线性同余方程，并在密码学中用于数据加密和解密。
二、最小公倍数的定义与性质最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指两个或多个整数公有的倍数中最小的一个。
对于整数a和b，记作LCM(a,b)，其中a≠0且b≠0。
最小公倍数具有以下性质：1. 对称性：LCM(a,b)=LCM(b,a)。
2. 传递性：若a能整除b，b能整除c，则a也能整除c。
即，若a|b 且b|c，则a|c。
3. 相关性：若a|b，b|c，则LCM(a,c)=c或LCM(a,c)=b。
最小公倍数的计算也是很重要的，它常常用于分数的通分、有理数的化简等问题中。
同时，在应用数学、电路设计等领域，最小公倍数也有广泛的应用。
三、最大公约数与最小公倍数的关系最大公约数与最小公倍数之间有一个重要的性质，即对任意两个整数a和b，有以下等式成立：a ×b = GCD(a,b) × LCM(a,b)。
这个等式的推导可以用因数分解的方法来证明，它意味着最大公约数和最小公倍数之间的乘积等于这两个数的乘积。
小学数学五年级讲义13-最大公约数、最小公倍数
最大公约数与最小公倍数一、最大公约数定义如果一个数同时是几个数的约数，那么我们就称它为这几个数的公约数。
几个数的公约数中最大的一个，称为这几个数的最大公约数。
一般地我们用（a，b）表示a，b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）＝6，如果（a，b）＝1，则称a，b两数互质。
二、求最大公约数一般有以下几种方法：1、短除法：求两个（或几个）数的最大公约数一般采用短除法。
例1：有三根铁丝，长度分别120厘米、180厘米和300厘米，现在要把他们截成相等地小段，每根无剩余。
问每段最长多少厘米？一共可截得多少段？解：因为所以（120，180，300）＝30×2＝60120÷60＝2 180÷60＝3 300÷60＝5因此，每段最长60厘米，一共有2＋3＋5＝10（段）答：每小段最长60厘米，一共可截成10段。
2、分解质因数法：分解质因数是求最大公约数的最直接的方法。
例2：将693311555化成最简分数。
解：因为6933＝3×2311 11555＝5×2311所以69333 1155553、将较小数缩小倍数法：当所求两数（或几个数）较小时经常用例3：（1）求12，36和48的最大公约数。
较小数是12，12是36的约数，12也是48的约数，（12，36，48）＝12（2）求18，24和36的最大公约数。
较小数是18，可是18不是24和36的公约数，把18缩小2倍是9也不是24和36的公约数；再将18缩小3倍是6，6是24和36的公约数，所以（18，24，36）＝6三、最小公倍数定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；几个自然数的公倍数（除0以外）中，最小的一个叫做这几个自然数的最小公倍数。
一般地，我们用[a，b]表示自然数a，b的最小公倍数，如[12，18] ＝36。
四、最小公倍数的求法：1、分解质因数：例1：在总站1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆和5路车每隔20分钟发一辆。
第2讲最大公约数与最小公倍数
第二讲 最大公约数与最小公倍数一 基础知识与典型例题知识点1.约数与倍数:若|b a ，则称b 是a 的约数，a 是b 的倍数.知识点2.最大公约数：设c b a ,,, 是（有限个）不全为零的整数，则同时整除c b a ,,, 的整数叫做它们的公约数，非零整数的约数有有限个，故c b a ,,, 的公约数有有限个，其中必有一个最大的，我们称它为c b a ,,, 的最大公约数.记为()c b a ,,.例1.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数.知识点 3.最小公倍数:同时是c b a ,,, 的倍数的整数称为它们的公倍数,最小的正的公倍数叫做最小公倍数,记为[]c b a ,,, .知识点4.素数与合数：一个大于1的整数m ，如果它仅有1和m 这两个约数，则称m 是素数（或质数）；如果它除了1和m 之外还有其他的约数，即m 可表示为b a ⋅的形式,则称m 是合数.1既不是素数，也不是合数.知识点5.素数的性质：(1) 大于1的整数必有素因子(2) 素数与合数都有无数个(3) 既为偶数又为素数的正整数只有一个,它就是2.(4) 设p 为素数,n 是任意整数,则或者n p ,或者()1,=n p(5) 若p 是素数，且|p ab ，则|p a 或|p b ；(6) 若p 是素数，且p ab =，则p a =或p b =；例2.求所有这样的素数,它既是两素数之和,同时又是两素数之差.例3.求三个素数,使得它们的积为和的5倍.例4.设p 是素数，整数z y x ,,满足p z y x <<<<0，若333,,z y x 除以p 的余数相等. 证明：222z y x ++可以被z y x ++整除.知识点 6.欧几里得算法:设b a ,为整数,0>b ,按下述方式反复作带余除法,有限步之后必然停止(即余数为零):用b 除a 得:b r r bq a <<+=0000,;用除b 得:011100,r r r q r b <<+=;用1r 除0r 得:1222100,r r r q r r <<+=;…用1-n r 除2-n r 得:1120,---<<+=n n n n n n r r r q r r ;用n r 除1-n r 得:0,1111=+=+++-n n n n n r r q r r ;则()()()()n n n r r r r r r b b a =====+1100,,,, .特殊的:若r bq a +=,则()()r b b a ,,=.即()()bq a b b a -=,,.知识点7.裴蜀等式设b a ,是整数,且()b a d ,,则()d b a =,的充要条件是存在整数v u ,,使得d vb ua =+. 例5.求下面各组数的最大公约数.(1)36,138==b a ;(2)1859,1573a b ==;(3)108,72,48321===a a a ; 例6.设n 是正整数,证明:(1)()1314,421=++n n ;(2)()()11!1,1!=+++n n知识点8.最大公约数和最小公倍数的性质:(1) a 和b 的任一公约数都是它们最大公约数的约数.a 和b 的任一公倍数都是它们最小公倍数的倍数.(2) 若|b a ，则(,)a b b =，[,]a b a =.(3) +∈N m ,则()()b a m bm am ,,=,[][]b a m bm am ,,=.(4) 若n 是b a ,的公约数，则(,)(,)a ba b n n n =，[,][,]a b a b n n n=. (5) 设n a a a ,,,21 是任意n 个正整数.① 如果()()()n n n c a c c a c c a a ===-,,,,,,1332221 ,则()n n c a a a =,,,21 . ② 如果[][][]n n n m a m m a m m a a ===-,,,,,,1332221 ,则[]n n m a a a =,,,21 .(6) 对任意的正整数,a b ,()[]ab b a b a =,,,若()1,=b a ,则[]ab b a =,.(7) 若|a bc ，且(,)1a b =，则|a c . (8) 若|a c ，|b c ，且(,)1a b =，则|ab c .(9) 若()1,=b a ,则()()b c b ac ,,=. (10) 若[,]a b m =，则(,)1m m a b=. (11) 若b a ,均与m 互素,则ab 也与m 互素.一般的,如果n a a a ,,,21 均与m 互素,则n a a a 21也与m 互素.例7.已知()[]144,,6,==b a b a ,求b a ,.例8．数列1001,1004,1009的通项是10002+=n a n ,其中+∈N n ,对每一个n ,用n d 表示n a 与1+n a 的最大公约数,求n d 的最大值,其中n 取一切正整数.例9.正整数a 和b 互素,证明:b a +与22b a +的最大公约数等于1或2.例10.两数之和为667,它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120,求这两个数. 例11.若在各项都是正整数的数列{}i a 中,对于任何j i ≠,都有()()j i a a j i ,,=. 证明:对一切N i ∈,都有i a i =.知识点9. 因数分解定理（算术基本定理）：每个大于1的正整数均可分解成有限个素数的积,如果不计素因数在乘积中的次序,则其分解方式是唯一的.即k k p p p n ααα 2121=,其中i p 是素数,i α是正整数,k i ≤≤1.知识点10.n 的约数的标准分解：设n 的标准分解为: k k p p p n ααα 2121=,其中i p 是素数,i α是正整数,k i ≤≤1.则正整数d 是n 的约数的充分必要条件是:其标准分解为: k k p p p d βββ 2121=,其中k i i i ≤≤≤≤1,0αβ.知识点11.n 的正约数的个数及正约数的和记:()n r 表示n 的正约数的个数, ()n δ表示n 的正约数的和,且k k p p p n ααα 2121=,则有:()()()()11121+++=k n r ααα ,()111111121211121----⋅--=+++k k p p p p p p n k αααδ 知识点12.n 为完全平方数的充要条件是()n r 为奇数.知识点13.n ！的标准分解:设α是n ！的标准分解中出现的p 的幂,则∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=α1i i p n由于当m p i >时,0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡i p n ,所以上式中的和只有有限多个项不为零. 例12.求自然数N ,使它能被5和49整除,并且包括1和N 在内,它共有10个约数.例13.数20！有多少个正整数的因数?二 巩固练习1.若12+n是质数)1(>n ,则n 是2的方幂.2.求正整数b a ,.使得()[]144,,24,,120===+b a b a b a .3.证明：若n 是正整数，则()1314,421=++n n .4.设c b a ,,是正整数,证明:[]()abc ca bc ab c b a =⋅,,,,.5. 设b a ,是正整数，证明：()[][]b a b a b a b a +⋅=⋅+,,. (,)(,)(,).a b a a b b a b +=+=提示：6.写出51480的标准分解式.7.求!12,!15,!20的标准分解式.。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）和最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是初中数学中常见的概念。
它们在数论、代数学以及计算机科学等领域中都有重要的应用。
本文将详细介绍最大公约数与最小公倍数的定义、性质以及计算方法。
一、最大公约数的定义与性质最大公约数，顾名思义，是指两个或多个数中能够同时整除的最大正整数。
我们通常用gcd(a, b)或(a, b)表示a和b的最大公约数。
最大公约数具有以下性质：1. 对于任意非零整数a，gcd(a, a) = a；2. 如果a和b都能被c整除，则gcd(a, b)也能被c整除，即gcd(a, b)是a和b的公约数的最大值；3. 任意非零整数a和b的最大公约数gcd(a, b)可以用辗转相除法进行计算。
二、最小公倍数的定义与性质最小公倍数是指两个或多个数的公共倍数中的最小正整数。
我们通常用lcm(a, b)或[a, b]表示a和b的最小公倍数。
最小公倍数具有以下性质：1. 对于任意非零整数a，lcm(a, a) = a；2. 如果c能够整除a和b，则c也能够整除lcm(a, b)，即lcm(a, b)是a和b的公倍数的最小值；3. 任意非零整数a和b的最小公倍数lcm(a, b)可以用最大公约数求解公式lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)。
三、最大公约数的计算方法常用的计算最大公约数的方法有辗转相除法和质因数分解法。
1. 辗转相除法：辗转相除法是一种递归计算最大公约数的方法，其步骤如下：a. 令r为a除以b的余数，即r = a % b；b. 若r等于0，则b即为最大公约数，停止计算；c. 若r不等于0，则令a等于b，b等于r，然后回到步骤a。
2. 质因数分解法：质因数分解法是一种通过分解数的质因数来求解最大公约数的方法，其步骤如下：a. 将a和b分别分解为质因数的乘积，例如a = p₁^α₁ * p₂^α₂* ... * pₙ^αₙ，b = q₁^β₁ * q₂^β₂ * ... * qₙ^βₙ；b. a和b的最大公约数gcd(a, b)即为两者质因数的交集，即gcd(a,b) = p₁^min(α₁, β₁) * p₂^min(α₂, β₂) * ... * pₙ^min(αₙ, βₙ)。
最大公约数与最小公倍数
最大公约数与最小公倍数在数学中，最大公约数和最小公倍数是两个常见的概念。
它们在计算、代数和数论等领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍最大公约数和最小公倍数的定义、性质以及它们的计算方法。
一、最大公约数的定义和性质最大公约数，也被称为最大公因数，指的是几个数共有的最大的约数。
对于两个数a和b来说，最大公约数通常用符号（a，b）表示。
最大公约数有以下几个性质：1. 对于任意的正整数a和b，最大公约数（a，b）大于等于1，即最大公约数不会小于1。
2. 若（a，b）=1，则称a和b互质。
互质的两个数的最大公约数为1.3. 若（a，b）=d，则a和b可以被d整除，即d是a和b的公倍数。
二、最小公倍数的定义和性质最小公倍数，也被称为最小公倍数，指的是几个数共有的最小的倍数。
对于两个数a和b来说，最小公倍数通常用符号[a，b]表示。
最小公倍数有以下几个性质：1. 对于任意的正整数a和b，最小公倍数[a，b]大于等于a和b中的最大数，即最小公倍数不会小于a和b中较大的数。
2. 若a和b互质，则它们的最小公倍数为a*b。
3. 若（a，b）=d，则可以用最小公倍数来表示最大公约数，即（a，b）=a*b/[a，b]。
三、最大公约数和最小公倍数的计算方法1. 辗转相除法：利用辗转相除法可以逐步求得最大公约数。
具体步骤如下：a. 用较大数除以较小数，得到余数。
b. 将较小数作为被除数，将余数作为除数，再进行一次相除。
c. 依次类推，直到余数为0，此时的除数就是最大公约数。
2. 公式法：最小公倍数可以通过最大公约数计算得到。
根据[a，b]= a*b / (a，b) 的公式，可以用辗转相除法求得最大公约数，然后将其带入公式计算最小公倍数。
四、最大公约数和最小公倍数的应用最大公约数和最小公倍数在数学中有着广泛的应用，特别是在分数的化简、方程的解法以及倍数关系的确定等方面。
以下是一些具体的应用实例：1. 分数的化简：通过计算分子和分母的最大公约数，可以将分数化简为最简形式，从而方便进行运算和比较大小。
最大公约数和最小公倍数讲解
最大公约数和最小公倍数讲解嘿，朋友们！今天咱们来聊聊两个数学里的小伙伴儿——最大公约数和最小公倍数。
这两个家伙虽然听上去有点复杂，但其实跟我们生活中的许多事儿息息相关呢。
咱们一步步来解开它们的神秘面纱！1. 最大公约数（GCD）1.1 什么是最大公约数？大家可以把最大公约数想象成是一个超强的“分母”大侠。
它是能把两个或更多的数字“平分”的最大数字。
比如说，你有两个数字，15和25，最大公约数就是它们能被同时整除的最大数字。
举个例子，15和25的最大公约数是5，因为5是它们俩都能整除的最大数字。
1.2 如何求最大公约数？有两种方法可以找到最大公约数。
第一种方法是“列举法”：把两个数字的所有公因数列出来，然后找出最大的那个。
第二种方法就是“辗转相除法”，这招有点高级，但特别实用。
你把大数除以小数，得到的余数再用大数去除，以此类推，直到余数为0时，除数就是最大公约数了。
2. 最小公倍数（LCM）2.1 什么是最小公倍数？最小公倍数就像是一个超级万能的“倍数工厂”。
它是能同时被两个或更多的数字整除的最小数字。
简单来说，就是那些数字的共同倍数中最小的一个。
例如，6和8的最小公倍数是24，因为24是既能被6整除，也能被8整除的最小数字。
2.2 如何求最小公倍数？找最小公倍数的方法有点儿像“打擂台”。
第一招是“倍数列举法”：列出两个数字的倍数，然后找出第一个相同的那个，就是最小公倍数。
第二招是利用最大公约数来计算：最小公倍数等于两个数的乘积除以它们的最大公约数。
用这招的话，计算会简单很多！3. 实际应用3.1 生活中的应用说到这里，你可能会问，这些概念跟咱们的生活有什么关系呢？其实大有关系呢！比如，你要和朋友们一起安排一个聚会，大家的时间不一样，这时候找一个共同的日期就用得上最小公倍数。
如果你们要分享一些东西，找一个最公平的分法，那就要用到最大公约数了。
3.2 学习中的应用在学校，最大公约数和最小公倍数也是经常用到的知识点。
最大公约数和最小公倍数讲解
最大公约数和最小公倍数讲解最大公约数和最小公倍数，这是两个让人头疼的概念。
但是，别担心，我来帮你解决这个问题！我们来说说最大公约数。
最大公约数是什么呢？简单来说，就是两个数中最大的那个能被这两个数整除的数。
比如说，12和16的最大公约数就是4,因为4是12和16都能整除的最大数。
那么，最小公倍数又是什么呢？最小公倍数就是两个数中最小的那个能被这两个数整除的数。
还是上面的例子，12和16的最小公倍数就是48,因为48是12和16都能整除的最小数。
现在，你可能会问：“为什么要学最大公约数和最小公倍数呢？”这是因为这两个概念在生活中有很多应用。
比如说，你和你的朋友想一起做一个项目，但是你们的时间安排不一样。
这时候，你就需要找到一个能同时被你们两个人的时间整除的项目时间，这样才能保证大家都能参加。
这个时候，最大公约数就派上用场了。
最大公约数不仅仅局限于生活中的小问题。
在数学、物理、化学等领域，它也有着广泛的应用。
比如说，在研究原子结构的时候，科学家们就会用到最大公约数来计算原子之间的距离。
在研究基因组的时候，科学家们也会用到最大公约数来计算基因之间的相似度。
接下来，我们来说说最小公倍数。
最小公倍数虽然看起来有点复杂，但是其实也很好理解。
它就是两个数中最小的那个能被这两个数整除的数。
比如说，12和16的最小公倍数就是48,因为48是12和16都能整除的最小数。
那么，为什么要学最小公倍数呢？这是因为最小公倍数也有很多应用。
比如说，在生活中，我们经常会遇到这样的问题：我和我的朋友们想要一起去旅游，但是我们的预算不一样。
这时候，我们就需要找到一个既能让我们所有人都能接受的价格，又能让我们所有人都能玩得开心的项目。
这个时候，最小公倍数就派上用场了。
最小公倍数不仅仅局限于生活中的小问题。
在数学、物理、化学等领域，它也有着广泛的应用。
比如说，在研究化学反应的时候，科学家们就会用到最小公倍数来确定反应物的比例。
在研究几何图形的时候，科学家们也会用到最小公倍数来计算图形的周长和面积。
最大的公约数、最小公倍数比较课件
06
总结与回顾
最大公约数
最大公约数的定义
最大公约数是两个或多个整数共 有的最大的一个约数。
最大公约数的性质
最大公约数具有传递性，即如果 a和b的最大公约数是G，b和c的 最大公约数也是G，那么a和c的
最大公约数也是G。
最大公约数的求法
辗转相除法（欧几里得算法）是 求最大公约数的常用方法，其基 本思想是不断用较大数除以较小 数，直到余数为0，此时的除数
最大的公约数、最小公倍数 比较ppt课件
目录
• 最大公约数（GCD）介绍 • 最小公倍数（LCM）介绍 • GCD与LCM的比较 • GCD与LCM的实际应用 • 练习与问题解答 • 总结与回顾
01
最大公约数（GCD）介绍
最大公约数概念
最大公约数定义
两个或多个整数共有的最大的正 整数约数。
举例说明
题目3答案及解析
这两个数分别是15和18，因为已知最大公约数是6，最小 公倍数是90，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X最 小公倍数，所以这两个数分别是6X答案及解析
这两个数分别是49和70，因为已知两数乘积是1260，最 大公约数是14，根据公式aXb=两数乘积=最大公约数X 最小公倍数，所以这两个数分别是14X90/7=49和 14X90/9=70。
求18和24的最小公倍数 。
已知两个数的最大公约 数是6，最小公倍数是
90，求这两个数。
已知两个数的乘积是 1260，最大公约数是14
，求这两个数。
答案及解析
题目1答案及解析
最大公约数是6，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以最 大公约数是2x3=6。
题目2答案及解析
最小公倍数是72，因为18=2x3x3，24=2x2x2x3，所以 最小公倍数是2x2x2x3x3=72。
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最大公约数与最小公倍数
一、基本概念
质数——只有两个约数。
自然数（按约数的个数分为）合数——两个以上的约数
1——只有1个约数
1、约数与倍数
若数a能被b整除，则称数a是数b的倍数，数b是数a的约数。
其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。
练一练：
下面的数中，哪些是12的约数，哪些是2的倍数？
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、……
12的约数有：。
2的倍数有：。
2、公约数与最大公约数
几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。
例如：
12的约数有________________________；
30的约数有________________________;
12和30的公约数有_________________，
其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。
3、公倍数与最大公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有______________________________
18的倍数有______________________________
12和18的公倍数有：_______________
其中12和18的最小公倍数是___________。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。
4、最大公约数与最小公倍数的求法
（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。
（4）辗转相除法
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
5、最大公约数和最小公倍数的关系：
两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
a×b=（a,b）×[a,b]
例如：（18，12）= ，[18，12]= ，
（18，12）×[18，12]=
二、求最大公约数与最小公倍数
例1、求24、36的最大公约数与最小公倍数。
1、用枚举法求最大公约数与最小公倍数
2、用分解质因数求最大公约数与最小公倍数
3、用短除法求最大公约数与最小公倍数
练一练
1、口答：说说下面每组中的两个数有什么关系？很快说下面每组数的最大公约数和最小公倍数
7和21 8和15 42和14 17和19 12和36 4和5
2、把下面各数分解质因数。
65 56 94 76 135 105 87 93
3、求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。
45和18 51和17 28和96 60和36 1、用枚举法求
2、用分解质因数求
3、用短除法求
例2 求24、36、90这三个数最大公约数和最小公倍数
练一练
1、用短除法求最小公倍数
42、105和56 24、36和48
2、用分解质因数的方法求24与60最大公约数
3、3用短除法求180、840、300的最小公倍数
4、4、用分解质因数的方法求12、1
5、18的最小公倍数
5、直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。
26和13 13和6 4和6 5和9 29和87
*6、三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于。
解： 168=23×3×7，因此这三个连续自然数是6，7，8。
和为6+7+8=21.
例3 用辗转相除法求437与323的最大公约数是多少？
分析与解：求两个数的最大公约数常用辗转相除法，先将大叔除以小数，如果整除，那么小数就是它们的最大公约；如果不能整除，就记下余数，用前面的除数（即小数）除以这个余数。
以下类推，每次都用前一个除式的除数除以自己的余数，直到有一个除法能整数，这时，最后能整数的除式的除数就是这两个数的最大公约数。
横式法：437÷323=1…114, 323÷114=2…95 114÷95=1…19, 95÷19=5
所以(437,323)=19
综合练习
一、填空题。
1. ab和都是自然数，如果a÷b=10，ab和的最大公约数是（），最小公倍数是（）。
2. 甲=2×3×5，乙=2×3×7，甲和乙的最大公约数是（），甲和乙的最小公倍数是（）。
3. 所有自然数的公约数为（）。
4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。
5. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。
6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。
*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。
*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。