最大公约数与最小公倍数讲义

最大公约数与最小公倍数

一、基本概念

质数——只有两个约数。

自然数（按约数的个数分为）合数——两个以上的约数

1——只有1个约数

1、约数与倍数

若数a能被b整除，则称数a是数b的倍数，数b是数a的约数。

其中，一个数的最小约数是1，最大约数是它本身。

练一练：

下面的数中，哪些是12的约数，哪些是2的倍数？

1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、……

12的约数有：。

2的倍数有：。

2、公约数与最大公约数

几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。

例如：

12的约数有________________________；

30的约数有________________________;

12和30的公约数有_________________，

其中6是12和30的最大公约数。

一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。

如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。

3、公倍数与最大公倍数

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如：12的倍数有______________________________

18的倍数有______________________________

12和18的公倍数有：_______________

其中12和18的最小公倍数是___________。

一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。

4、最大公约数与最小公倍数的求法

（1）枚举法；（2）分解质因数法（3）短除法。（4）辗转相除法

当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。

5、最大公约数和最小公倍数的关系：

两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

a×b=（a,b）×[a,b]

例如：（18，12）= ，[18，12]= ，

（18，12）×[18，12]=

二、求最大公约数与最小公倍数

例1、求24、36的最大公约数与最小公倍数。

1、用枚举法求最大公约数与最小公倍数

2、用分解质因数求最大公约数与最小公倍数

3、用短除法求最大公约数与最小公倍数

练一练

1、口答：说说下面每组中的两个数有什么关系？很快说下面每组数的最大公约数和最小公倍数

7和21 8和15 42和14 17和19 12和36 4和5

2、把下面各数分解质因数。

65 56 94 76 135 105 87 93

3、求下面每组数的最大公约数和最小公倍数。

45和18 51和17 28和96 60和36 1、用枚举法求

2、用分解质因数求

3、用短除法求

例2 求24、36、90这三个数最大公约数和最小公倍数

练一练

1、用短除法求最小公倍数

42、105和56 24、36和48

2、用分解质因数的方法求24与60最大公约数

3、3用短除法求180、840、300的最小公倍数

4、4、用分解质因数的方法求12、1

5、18的最小公倍数

5、直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。

26和13 13和6 4和6 5和9 29和87

*6、三个连续的自然数的最小公倍数是168，那么这三个自然数的和等于。

解： 168=23×3×7，因此这三个连续自然数是6，7，8。和为6+7+8=21.

例3 用辗转相除法求437与323的最大公约数是多少？

分析与解：求两个数的最大公约数常用辗转相除法，先将大叔除以小数，如果整除，那么小数就是它们的最大公约；如果不能整除，就记下余数，用前面的除数（即小数）除以这个余数。以下类推，每次都用前一个除式的除数除以自己的余数，直到有一个除法能整数，这时，最后能整数的除式的除数就是这两个数的最大公约数。

横式法：437÷323=1…114, 323÷114=2…95 114÷95=1…19, 95÷19=5

所以(437,323)=19

综合练习

一、填空题。

1. ab和都是自然数，如果a÷b=10，ab和的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

2. 甲=2×3×5，乙=2×3×7，甲和乙的最大公约数是（），甲和乙的最小公倍数是（）。

3. 所有自然数的公约数为（）。

4. 如果m和n是互质数，那么它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

5. 在4、9、10和16这四个数中，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数，（）和（）是互质数。

6. 用一个数去除15和30，正好都能整除，这个数最大是（）。

*7. 两个连续自然数的和是21，这两个数的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

*8. 两个相邻奇数的和是16，它们的最大公约数是（），最小公倍数是（）。