第二章 离散型随机变量(3)

k nk CM CN M P X k , n CN
k 0,1, 2,, min M , n.
我们称 X 服从超几何分布.
M 定理 记 p , 则有 N
C C lim N C
k M
n k N M n N
C p 1 p
k n k
nk
.
在实际应用中, 只要 N
可知 P AB P A P B
但 AB
故两事件“是”相互独立的, “不是”互不相容的.
3.超几何分布 同类产品 N 个, 其中 M 件次品. 现从中任取 n个产品,
（n
N M ）. 则这 n个产品中所含的次品数 X 是一 个离散型随机变量, 且X 的概率分布为
都有”, 事件 B 为“至多一个女孩”. 假设男、女出生
1 率都为 , 则 P A B 2
或“不是”）互不相容的.
（填 A与 B “是”或“不是”）相互独立的; A 与 B （填“是” ,
解 记 X 为有三个孩子的家庭中女孩的个数, 则
1 X ~ B 3, . 2
第二章 离散型随机变量
及其分布
第三节
§2.3 常见离散型随机变量
二项分布
0-1分布 泊松分布
常见离散型 分布
超几何分布
几何分布
均匀分布
1. 0 1分布 如果随机变量 X 的概率函数为
P X 0 1 p, P X 1 p 0 p 1 , 则称 X 服从参数为 p 的0 1分布, 记为 X ~B 1, p . 0 1分布也可用下面的式子或表格表示:
2
4 1000
0.002 0.998
4
996
⑵P
k k 1000 k X 2 C 0.002 0.998 1000 k 0
泊松定理
设
npn 0,0 pn 1,
k n k n nk
对于任意一
个非负整数 k ,
lim C p 1 pn
n


条件的正整数 n.
~ B 10000,0.0004.
将其近似看成参数为4的泊松分布, 问题即求满足以下
P X n 0.99, P X n 1 0.99.
查表可得:
P X 8 0.978637 0.99, P X 9 0.99.
血者中AB型血人数为 X , 则
X ~ B n,0.02
由此解得
X ~ B n,0.02
n
P X 1 1 P X 0 1 0.98 0.95 ln 0.05 n 148.3, ln 0.98
取
n 149.
例4 抽查有3个孩子的家庭, 设事件 A 为“男孩和女孩
(查表可得)
2
k
实例
放射性物质在某个时间段内放射的粒子数服从
泊松分布; 公用电话亭在某时段内打电话的人数服从
泊松分布; 某交通道口在一个时间段内发生交通事故 的次数近似服从泊松分布. 泊松分布的概率函数值可以查表得到.
例7 某物业管理公司负责10000户居民的房屋维修工
作. 假定每户居民是否报修是相互独立的. 且一段时间
k n k n k
P X k C p 1 p
,
k 0,1, 2,, n,
则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布, 记为
X ~B n, p ,
其中
0 p 1.
⑴在 n 次重复独立试验中, 事件 A 发生的次数就服从
二项分布. ⑵利用二项展开定理不难验证:
例10 求方程 t
2
其中 X
解 方程有实根, 当且仅当判别式非负, 即
X 2 4 0. 因此, X 2.3,,6 , 相应的概率为
5 P . 6
例11 某产品的次品率为0.1. 检验员每天检验4次, 每
次随机地取10件产品进行检验, 如果发现其中次品数多
于一件, 就去调整设备. 以 X 表示一天中调整设备的次 数, 试求 X 的概率函数. （设各产品是否为次品是相互 独立的） 解 记 X 为一天中需要调整设备的次数,
C
k 0
n
k n
p 1 p
k
n k
1.
⑶ 0 1分布是二项分布在 n
1时的特例.
例1 设在三次独立试验中, 事件 A 出现的概率相等.
19 若已知 A 至少出现一次的概率为 , 试求事件 A 在 27
一次试验中出现的概率.
A p , 由题意 19 8 P X 0 P X 1 1 P X 1 1 27 27
P A P X 2 0.6767, P B 0.6767
所求即为:
P A B 1 P A P B 0.5421
例8 设每分钟通过某交叉路口的汽车流量
服从泊松 X
分布, 且已知一分钟内没有车辆通过与恰有一辆车通过
的概率相等, 求在一分钟内至少有2辆车通过的概率. 解 由已知条件, 随机变量 X
里不考虑维修时间长短) ⑵如果该物业公司现有4名修理工, 那么居民报修后不 能得到及时维修的概率有多大?
⑶如果采用承包方式, 每两个人负责5000户居民房屋的
维修, 那么居民报修后不能得到及时维修的概率有多大?
解
⑴记 X 为10000户居民中报修的户数,
n 为物业管理
公司至少需配备的工人数, 则 X
解 设P
又 P X 0 C p 1 p 1 p
0 3 0 3
3
所以
1 P A p . 3
例2 设随机变量
1 P X 1 P X 1 P X 2 . 3 记 A X 1.5, 再记 Y 表示在三次重复独立试验中
称具有下列分布律的随机变量
X 服从集合 a1, a2 ,,
a1 a2 an 1, n
古典概型即可用服从均匀分布的随机变量来描述.
例9 设
X , Y 是随机变量,
且
3 P X 0, Y 0 , 7 4 P X 0 P Y 0 . 7 求 P max X , Y 0 .
事件 A 出现的次数, 试求概率 解
X 的概率函数为
P A 和 P Y 2 . 2 P A P X 1 P X 1 . 3
2 2 3
2 1 4 Y ~ B 3, P A , P Y 2 C . 3 3 9
1 7 1 C . 2 8
3 3 3
1 X ~ B 3, . 2
7 3 1 P A B , P A , P B 8 4 2 3 P AB P A P B P A B 8
n 10, p 0.1时近似效果比较理想.
⑴P
X 4 C
4 1000
0.002 0.998
4
996
0.0902,
⑵P
2
2 2 e 4!
4
k k 1000 k X 2 C 0.002 0.998 1000 k 0
2 2 e 0.6767. k 0 k !
解
P max X , Y 0 P X 0 Y 0
P X 0 P Y 0 P X 0, Y 0
4 4 3 5 . 7 7 7 7
Xt 1 0 有实根的概率. 服从集合 1, 2,,6 上的均匀分布.
故取 n 9. ⑵查表可得
P X 4 1 P X 4 0.3711.
(3)记
则
X ,Y ~ B 5000,0.0004 .
X , Y 分别为这两个5000户居民中报修的户数,
可将其近似看成参数为2的泊松分布, 再记
A X 2, B Y 2
3 1 21 P A P X 1, 2 C C3 , 2 2 4 3 3 1 01 11 P B P X 0,1 C3 C3 . 2 2 2
1 3
3
3
P A B P X 0,1,2 1 P X 3
解 记 X 为随机抽取的20件产品中一级品的个数, 这是
N 1000, n 20, M 0.9 1000 900
的超几何分布, 则
⑴
18 2 C900 C100 18 18 2 P X 18 C 0.9 0.1 0.285, 20 20 C1000
⑵
k 20 k 18 C900 C100 k k 20 k P X 18 C 0.9 0.1 20 20 C1000 k 0 k 0 18
1 p
2 p 1 p
3 p 1 p
2

k
k 1

p 1 p
则称 X 服从参数为
p 的几何分布.
背景
足球运动员连续射门, 直到射中为止所需要的射门次
数服从几何分布.
到成功为止所需要的试验次数服从几何分布.
6.均匀分布
an 上的（离散型）均匀分布:
X P 1 n 1 n
~ P .
又
P X 0 P X 1 ,
即:
0
0!
e


1
1!
e

1.
故所求概率为
P X 2 1 P X 0 P X 1
1 2e1 0.264.
5.几何分布 如果随机变量
X 的概率函数为
X Pr .
10n , 就用二项分布来近似
描述抽样检查中的不合格品个数的概率分布. 当产品总
数很大时, 有放回抽样和无放回抽样可近似看作相同.
例5 某条流水线生产的产品, 一级品率为90%. 今从
某天生产的1000件产品中, 随机地抽取20件做检查.
试求: ⑴恰有18件一级品的概率; ⑵一级品不超过18件的概率.
k
k!
e .
4.泊松分布 若随机变量 X 的概率函数为
P X k
k
k!
e ,
k 0,1, 2,; 0.
则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记作X 由无穷级数知识知:
~ P .
k !e
k 0


k

1.
泊松定理告诉我们: 二项概率可以用泊松分布的概率 值来近似. 当
内报修的概率都是0.04%. 另外, 一户居民住房的维修 只需一名修理工来处理. 则在某个时段报修的居民数 按泊松定理,
X ~ B 10000,0.0004. 可以近似认为 X ~ P 4 . 试问:
来自百度文库
⑴该物业管理公司至少需要配备多少名维修工人, 才能
使居民报修后能得到及时维修的概率不低于99%?（这
0.608.
例6 分析病史资料表明: 因患感冒而最终导致死亡的
比例占0.2%. 试求, 目前正在患感冒的1000个病人中:
⑴最终恰有4个人死亡的概率; ⑵最终死亡人数不超过2个人的概率. 解 记 X 为1000个患感冒的病人中最终死亡的人数, 则
X ~ B 1000,0.002
⑴
P X 4 C
P X k p 1 p
k 1 k
, k 0,1 .
X Pr
1 0 . p 1 p
凡是样本空间只含有两个样本点的试验或贝努利试
验都可以用服从
0 1分布的随机变量来刻划. 如产品
的好坏, 婴儿的性别, 天气的晴雨等.
2.二项分布 如果随机变量
X 的概率函数为
例3 某市的血库急需AB型血, 要从体检合格的献血者
中获得AB型血. 已知在体检合格的献血者中, AB型血
的比例为百分之二, 问至少需要多少位体检合格的献血 者才能保证至少获得一份AB型血的概率为0.95? 解 设至少需要 n位体检合格的献血者才能保证至少获
得一份AB型血的概率达到0.95, 记这 n位体检合格的献