牛顿莱布尼茨公式的详细证明
牛顿莱布尼公式
牛顿莱布尼公式牛顿 - 莱布尼茨公式学习资料。
一、公式内容。
1. 公式表达式。
- 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。
- 这里F(x)满足F^′(x)=f(x)。
例如，对于函数f(x) = 2x，其一个原函数F(x)=x^2，那么∫_1^22xdx=x^2big_1^2=2^2 - 1^2=3。
二、公式的意义。
1. 计算定积分的有力工具。
- 在牛顿 - 莱布尼茨公式出现之前，计算定积分是非常复杂的事情。
例如，对于∫_a^bx^2dx，如果按照定积分的定义（分割、近似、求和、取极限）来计算，过程十分繁琐。
而牛顿 - 莱布尼茨公式将定积分的计算转化为求原函数在区间端点的值的差，大大简化了定积分的计算过程。
2. 建立了导数与定积分之间的联系。
- 导数表示函数的变化率，定积分表示函数在区间上的累积效应。
牛顿 - 莱布尼茨公式表明这两种看似不同的概念实际上有着紧密的联系。
它是微积分基本定理的重要组成部分，体现了微分和积分这一对矛盾的相互转化关系。
三、公式的使用条件。
1. 函数的连续性。
- 函数f(x)在区间[a,b]上必须连续。
如果函数在区间内有间断点，那么直接使用牛顿 - 莱布尼茨公式可能会得到错误的结果。
例如，对于函数f(x)=(1)/(x)在区间[ - 1,1]上，x = 0是其间断点，不能直接用牛顿 - 莱布尼茨公式计算∫_-1^1(1)/(x)dx。
2. 原函数的存在性。
- 需要找到f(x)在区间[a,b]上的一个原函数F(x)。
有些函数的原函数不能用初等函数表示，如f(x)=e^-x^{2}，虽然它在任何区间[a,b]上连续，但它的原函数不能用我们常见的初等函数表示，这就给使用牛顿 - 莱布尼茨公式带来了一定的困难。
我们可以用数值方法或者其他特殊的函数表示方法来处理这类问题。
四、公式的证明（简单理解）1. 从定积分的定义出发。
微积分三定理 基本公式牛顿—莱布尼茨公式
x4 lim 2 4 x 0 5 x 1 . 10
练一练
1.lim
x 0 x 0
x2
0
arctan tdt x
4
1 2
2
ln 1 t dt 1 2.lim
x
0
x
2
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b] 上连续，则积分上限的函 数 ( x ) a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b] 上的一个 原函数.
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
练一练
x 1. dx 2 0 1 x cos 2 x 2 2. dx 0 cos x sin x
1
2
3. tan d
4 0 2 2
1 e2 x 4. dx x 1 1 e 5. x 1dx
f ( t )dt 在[a , b] 上具有导数，且它的导 d x f ( t )dt f ( x ) (a x b) 数是 ( x ) a dx y x x 证 ( x x ) f ( t )dt a
a
x
( x x ) ( x )
0
2
原式 2 sin x cos x x 0
2
求
2
1
1 x dx x
2
2
3 . 2
1 2 原式 1 x 2 2 dx x
1 x 1 1 4 5. 2 x 8 1 2 2 1 1 6 2 x 1 3 3
数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式
数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式定理9.1：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且⎰ba f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布尼茨公式，常写成：⎰ba f (x)dx=F(x)ba .证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}，在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得F(b)-F(a)=∑=-n1i 1-i i )]x (F )x ([F =i n1i i x △)η(F ∑='=i n1i i x △)η(f ∑=.∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n1i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n1i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n1i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-<a b ε-·∑=n 1i i x △=ε. 由定积分定义，得⎰b a f (x)dx=F(a)-F(b).例1：利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： (1)⎰ba n x dx(n 为正整数)；(2)⎰ba x e dx ； (3)⎰ba 2xdx(0<a<b)； (4)⎰π0sinx dx ；(5)⎰202x -4x dx.解：(1)∵∫x ndx =1n x 1n +++C ，∴⎰b a nx dx=b a1n 1n x ++=1n a b 1n 1n +-++.(2)∵∫e x dx =e x+C ，∴⎰ba x e dx=e x ba =eb -e a .(3)∵∫2x dx =-x 1+C ，∴⎰b a 2xdx =-bax 1=-b 1-(-a 1)=a 1-b1.(4)∵∫sin xdx=-cosx+C ，∴⎰π0sinx dx=-cosx ba =-cos π-(-cos0)=2.(5)∵∫2x -4x dx=-32)x -(431+C ，∴⎰202x -4x dx=-232)x -(431=38.例2：利用定积分求极限：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++++→2n 12n 11n 1lim ∞n.解：原式=n 1ni 11lim n1i ∞n⋅+∑=→=⎰+10x 1dx =ln(1+x)10=ln2. 注：和式n 1ni 11n1i ⋅+∑=是函数f(x)=x 11+在[0,1]上的一个积分和，这里所取的是等分分割，△x i =n 1，ξi =n i∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n in 1-i , i=1,2,…,n.习题1、计算下列定积分：(1)⎰+103)(2x dx ；(2)⎰+1022x 1x -1dx ； (3)⎰2e e xlnx dx ；(4)⎰10-xx 2e -e dx ；(5)⎰32x tan πdx ；(6)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+94x 1x dx ；(7)⎰+40x 1dx ；(8)⎰e e 12x )(ln x 1dx. 解：(1)⎰+103)(2x dx=(x 2+3x)10=4.(2)⎰+1022x 1x -1dx=(2arctanx-x)1=2π-1. (3)⎰2e exlnxdx=lnlnx 2e e=ln2-ln1=ln2.(4)⎰10-x x 2e -e dx=21(e x +e -x )10=21(e+e -1-2).(5)⎰302x tan πdx=(tanx-x)|30π=3-3π.(6)⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+94x 1x dx=|943x 2x 32⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(18+6)-(316+4)=344. (7)令t =x ，则⎰+4x1dx =⎰+4t12tdt=2(t-ln|1+t|)|20=4-2ln3. (8)⎰ee 12x )(ln x 1dx=31(lnx)3|ee1=32.2、利用定积分求极限： (1))n 21(n 1lim334∞n +⋯++→；(2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⋯++++→222∞n n)n (12)n (11)n (1n lim ； (3)⎪⎭⎫⎝⎛+⋯++++→2222∞n2n 12n 11n 1n lim ；(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⋯++→n)1(n sin n2sin nsin n 1lim ∞nπππ. 解：(1)原式=n 1n i lim n1i 3∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=→=⎰103x dx=4x 41=41.(2)原式=n 1n i 11lim n1i 2∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=→=⎰+102)x 1(1dx=-x 11+10=21.(3)原式=n1n i 11lim n1i 2∞n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=→=⎰+102x 11dx=arcttan 10=4π. (4)原式=n n 1)-(i sin lim 1n1i ∞nπππ⋅∑=→=⎰ππx sin 1dx=-cosx1ππ=π2.3、证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ’(x)=f(x)，则有：⎰ba f (x)dx=F(a)-F(b).证：设除有限个点：y 1,y 2,…,y m 外有F ’(x)=f(x).对[a,b]上的任一分割T ’，T={a=x 0,x 1,…,x n =b}是分割T ’添加分点y 1,y 2,…,y m 后所得到的分割. 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得F(b)-F(a)=∑=-n1i 1-i i )]x (F )x ([F =i n1i i x △)η(F ∑='=i n1i i x △)η(f ∑=.∵f 在[a,b]上可积，∴f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|<ab ε-. 于是， 当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n1i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n1i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n1i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-<a b ε-·∑=n 1i i x △=ε. 由定积分定义，得⎰b a f (x)dx=F(a)-F(b).。
牛顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些
⽜顿布莱尼茨公式是什么推导过程有哪些⽜顿布莱尼茨公式通常也被称为微积分基本定理，揭⽰了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
那么，⽜顿布莱尼茨公式是什么呢？下⾯⼩编整理了⼀些相关信息，供⼤家参考！⽜顿布莱尼茨公式⽜顿-莱布尼兹公式,⼜称为微积分基本定理,其内容是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积,且从a到b的定积分（积分号下限为a上限为b）：∫f(x)dx=F(b)-F(a)其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了⼀个完善、令⼈满意的⽅法.⽜顿布莱尼茨公式证明过程证明：设：F(x)在区间(a,b)上可导,将区间n等分,分点依次是x1,x2,…xi…x(n-1),记a=x0,b=xn,每个⼩区间的长度为Δx=(b-a)/n,则F(x)在区间[x(i-1),xi]上的变化为F(xi)-F(x(i-1))(i=1,2,3…)当Δx很⼩时,F(x1)-F(x0)=F’(x1)*ΔxF(x2)-F(x1)=F’(x2)*Δx……F(xn)-F(x(n-1))=F’(xn)*Δx所以,F(b)-F(a)=F’(x1)*Δx+ F’(x2)*Δx+…+ F’(xn)*Δx当n→+∞时,∫(a,b)F’(x)dx=F(b)-F(a)⽜顿布莱尼茨公式意义⽜顿-莱布尼茨公式的发现，使⼈们找到了解决曲线的长度，曲线围成的⾯积和曲⾯围成的体积这些问题的⼀般⽅法。
它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或⼀定精度的近似值。
⽜顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之⼀。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为⼀门真正的学科。
⽜顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主⼲，利⽤⽜顿⼀莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第⼀中值定理和积分型余项的泰勒公式。
牛顿奈布尼兹公式
牛顿奈布尼兹公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，它将导数和积分联系在一起，为计算复杂函数的导数提供了一种便捷的方法。
这个公式是由牛顿和莱布尼茨分别独立发现的，被认为是微积分的基石之一。
牛顿-莱布尼茨公式可以用以下形式表达：∫(a到b) f(x) dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是函数f的原函数，F(x)是f(x)的一个不定积分。
公式的右边表示函数在区间[a, b]上的定积分，也可以理解为函数在a和b 处的原函数值之差。
牛顿-莱布尼茨公式的证明相对复杂，需要借助于一些数学分析的工具和概念。
简单来说，这个公式的核心思想是将函数的变化率和积分联系在一起。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，积分则表示函数在一段区间上的累积变化量。
牛顿-莱布尼茨公式通过将这两个概念联系在一起，使得我们可以通过积分来计算导数。
利用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以更方便地计算一些复杂函数的导数。
以一个简单的例子来说明，假设我们要计算函数f(x) = x^2的导数。
根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以先找到函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算F(x)在某一点的导数即可。
对于f(x) = x^2来说，F(x) = (1/3)x^3就是它的一个原函数。
那么根据牛顿-莱布尼茨公式，f(x)的导数就是F(x)的导数，即f'(x) = d/dx((1/3)x^3) = x^2。
牛顿-莱布尼茨公式在实际应用中有着广泛的用途。
它不仅仅用于计算导数，还可以用于计算一些其他与导数相关的量，比如曲线的斜率、函数的平均值等。
通过将函数的积分和导数联系在一起，牛顿-莱布尼茨公式为我们提供了一种更加便捷和直观的方法来处理微积分问题。
总结一下，牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要工具，它将导数和积分联系在一起，为我们提供了一种更加便捷和直观的方法来计算函数的导数。
这个公式的应用范围广泛，可以用于解决各种微积分相关的问题。
牛顿-莱布尼茨公式
05
牛顿-莱布尼茨公式的扩展
变上限的牛顿-莱布尼茨公式
总结词
变上限的牛顿-莱布尼茨公式是针对积分上限变化的情况进行扩展的公式。
详细描述
当积分的上限是一个变量时，传统的牛顿-莱布尼茨公式不再适用。为了解决这 个问题，变上限的牛顿-莱布尼茨公式被引入，它允许积分上限在一定范围内变 化，从而更准确地计算定积分。
感谢观看
THANKS
04
牛顿-莱布尼茨公式的证明
利用不定积分证明
总结词
通过不定积分和原函数的概念，证明牛 顿-莱布尼茨公式。
VS
详细描述
首先，根据不定积分的定义，我们知道对 一个函数进行不定积分可以得到其原函数 。然后，利用不定积分的基本性质，我们 可以将一个定积分转化为不定积分的形式 。最后，通过计算不定积分的结果，得到 定积分的值，从而证明了牛顿-莱布尼茨 公式。
要点一
总结词
通过微积分基本定理，证明牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
详细描述
微积分基本定理指出，如果一个函数在闭区间上可积，那 么其定积分等于其在该区间上所有分割点的函数值的积分 和的极限。利用这个定理，我们可以将定积分转化为求和 的形式，其中每个项表示函数在某个分割点的函数值。通 过计算这些项的和的极限，可以得到定积分的值，从而证 明了牛顿-莱布尼茨公式。
原函数是指一个函数，其导数等于给定的函数。例如，对于函数f(x)=x^2，其原 函数为F(x)=x^3/3。
牛顿-莱布尼茨公式的重要性
牛顿-莱布尼茨公式是微积分学 中的基本定理之一，它为计算定
积分提供了一种简便的方法。
通过使用牛顿-莱布尼茨公式， 我们可以将复杂的定积分问题转 化为求原函数的问题，从而简化
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明复习进程
牛顿—莱布尼茨公式● 前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。
公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。
证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。
所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)● 定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间∆x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。
由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为∆S i =f(εi ) ∆x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即： 性质1：证明⎰bac dx = C(b-a)，其中C 为常数.几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数.设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=∆=-+-++-=-=-∑⎰0()()()()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x∆→''=='''∴=-=-=+∆-'∴==∆Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==∆∑⎰即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x)∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C性质3：如果f(x)≤g(x),则设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.即相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=C证明：运用零点定理:设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0设x1,x2∈[a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=CPs: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显 的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x 轴上方），一个小于0(在x 轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x 轴有一个交点。
《牛顿莱布尼茨公式》课件
牛顿莱布尼茨公式定义为一个函数在一个区间上的定积分等于该函数在区间端点上的值之差与一个关于该函数在 区间内所有点的平均值的权重的积分之和。公式表示为：∫(a,b) f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的原函数。
牛顿莱布尼茨公式的历史背景
总结词
牛顿莱布尼茨公式是微积分发展史上的重要里程碑，为解决定积分问题提供了有 效的方法计算系统的传递函数。通过使用牛顿
-莱布尼茨公式，我们可以找到传递函数的原函数，从而更好地理解系
统的动态行为。
02
流体动力学
在流体动力学中，我们经常需要计算流体在管道或容器中的压力和速度
分布。通过使用牛顿-莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为位置的
函数的定积分。
03
热力学
在热力学中，我们经常需要计算系统的热量和熵等量。通过使用牛顿-
莱布尼茨公式，我们可以找到这些量作为温度的函数的定积分。
05
牛顿莱布尼茨公式的扩展与
深化
广义的牛顿莱布尼茨公式
广义的牛顿莱布尼茨公式是指将积分上限和下限扩展到任意 实数，甚至扩展到复数域的情况。这使得积分运算的范围更 加广泛，能够处理更复杂的数学问题。
的函数的定积分。
解决力学问题
在解决与力、运动和牛顿第二定 律相关的问题时，牛顿-莱布尼 茨公式可以帮助我们找到物体的
位移、速度和加速度。
电磁学中的应用
在电磁学中，我们经常需要计算 电场和磁场的能量密度。通过使 用牛顿-莱布尼茨公式，我们可 以找到这些量作为空间位置的函
数的定积分。
在工程领域的应用
01
详细描述
牛顿和莱布尼茨分别独立地发现了这个公式，并为其证明做出了贡献。在此之前 ，计算定积分需要使用复杂的几何方法或数值近似法，而牛顿莱布尼茨公式提供 了一种简便且精确的计算方法，极大地推动了微积分学的发展。
莱布尼茨公式的证明与应用
莱布尼茨公式的证明与应用莱布尼茨公式是微积分中的一项重要定理，它可以用于求解复杂函数的导数。
本文将介绍莱布尼茨公式的证明过程，并探讨其在数学和物理领域的应用。
一、莱布尼茨公式的证明莱布尼茨公式可以表达为：\[ (fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k f^{(k)}g^{(n-k)} \]其中，\( (fg)^{(n)} \) 表示函数 \( fg \) 的第 \( n \) 阶导数，\( f^{(k)} \) 表示函数 \( f \) 的第 \( k \) 阶导数，\( g^{(n-k)} \) 表示函数 \( g \) 的第\( (n-k) \) 阶导数，\( C_n^k \) 表示组合数。
证明过程如下：设 \( F(x) = (fg)^{(n)} \)，则根据导数的定义，有：\[ F(x) = (fg)^{(n)} = \lim_{h \to 0} \frac{(fg)(x+h) - (fg)(x)}{h^n} \]展开 \( (fg)(x+h) \) 并应用二项式定理可得：\[ F(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h^n} \]利用极限的性质和导数的定义，将 \( f(x+h) \) 和 \( g(x+h) \) 展开为泰勒级数，得：\[ F(x) = \lim_{h \to 0} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x)}{k!} \cdot \frac{g^{(n-k)}(x)}{(n-k)!} \cdot h^{n} \]化简上述极限式，我们可以得到莱布尼茨公式的证明。
二、莱布尼茨公式的应用莱布尼茨公式在数学和物理领域有广泛的应用。
下面将介绍其在几个具体的应用场景中的应用。
1. 多项式求导莱布尼茨公式可以方便地求解多项式的高阶导数。
对于一个多项式\( f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \)，我们可以应用莱布尼茨公式进行求导，从而得到任意阶的导数。
9-02 牛顿-莱布尼兹公式
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注 意 当a b 时， a f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立.
b
例1 求
0 (2 cos x sin x 1)dx .
2
2
解
原式 2 sin x cos x x 0
3 . 2
例 2 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
如果据此使用N —L公式，那就有 1 1 1 1 x 2 dx arctan x 1 2 ，
1 1
咋回事呢？
1 1 1 1 x2 dx arctan x 1 2
1
1 1 x 2 1 arctan = , 2 2 x 1 1 x 1 x
1 1 1 1 lim dx ln 2 0 1 x n i 1 1 i n n n
例5
2 n 1 2 求极限 1. lim 2 2 ; n n 1 n 2 n n 2 n 1 2. lim 2 2 2 2 2 n n 1 n 2 n n2
x 1 dx ln 1 x 2 0 1 x2 2
1
1
0
1 ln 2 2
问题 2 的极限值比问题 1 的极限小一些， 与我们的感觉相吻合。
例6
0
1 dx ? 2 1 3 cos x
解：
1 sec x dx dx 2 1 3 cos2 x sec x 3 d tan x 1 tan x arctan C 2 tan x 4 2 2
设某物体作直线运动，已知速度v v (t ) 是时 t 间间隔[T1 , T2 ]上 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 求物体在这段时间内所经过的路程.
莱布尼茨公式证明过程
莱布尼茨公式证明过程莱布尼茨公式的全称是"莱布尼茨-牛顿公式"，它是由德国数学家莱布尼茨和英国数学家牛顿独立发现的。
这个公式是微积分中的一个基本定理，可以将复杂的函数积分问题转化为简单的求导问题。
莱布尼茨公式的表达形式为：∫(a to b) f(x)dx = [F(x)](a to b) = F(b) - F(a)其中，f(x)是函数f的导函数，F(x)是函数f的原函数。
公式的含义是，如果函数f的导函数存在，那么在区间[a, b]上对函数f(x)进行积分，就等于求其原函数F(x)在区间[a, b]两端点的值之差。
为了证明莱布尼茨公式，我们首先需要理解函数的导函数和原函数的关系。
函数的导函数表示函数在每个点上的斜率，而原函数则表示函数的积分。
这两个概念是互逆的，即原函数求导得到函数本身，函数积分得到原函数。
接下来，我们将用莱布尼茨公式的证明过程来解释这个公式的由来。
我们假设函数f(x)的原函数为F(x)，即F'(x) = f(x)。
我们要证明的是∫(a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)。
根据微积分的基本思想，我们可以将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
那么整个区间[a, b]的长度就是(b-a)，并且Δx = (b-a)/n。
现在，我们来考虑在每个小区间上的积分。
根据微积分的定义，积分可以看作是对函数在一个区间上的求和。
我们用f(xi)来表示函数f在第i个小区间上的取值，其中xi是该小区间的中点。
那么，在第i个小区间上的积分可以表示为ΔF(i) = f(xi)Δx，其中ΔF(i)是函数F在第i个小区间上的增量。
将所有小区间上的积分求和，得到整个区间[a, b]上的积分：Σ(1 to n) ΔF(i) = Σ(1 to n) f(xi)Δx这里的Σ表示求和符号。
在等式的右边，我们可以将Δx提取出来，并将Σ中的f(xi)改写为f(x)。
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明复习进程
牛顿一莱布尼茨公式刖言此证明主要是献给那些无论如何， 竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比 公式背后的秘密的高中生。
公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始， 然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。
证明过程会尽可能地保持严密， 也许你会不太习惯，会觉得多余，不过在一些条件上如函数 f(x)，我们是默认可 积的。
所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所 以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂!(Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字 )定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x i ],[x i ,x 2]…[x n ,x n-i ]，其中 x o =a ，x n =b ，第 i 个小区间?X i = X i -x i-i (i=1,2…n)。
由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积， 因此任一 个小矩形的面积可表示为？S i =f( a) ?x i ，为此定积分可以归结为一个和式的极限nlim f( i ) x in i 1性质1 ：证明 c dx = C(b-a)，其中C 为常数.limc(x n x o ) c(b a) n几何上这就是矩形的面积性质2: F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数.设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为KQ F (x) G(x) z(x)X )K(X ) 精品文档即: f(x)dx f (x)dx lim f( J xn .. limc(x i x o X 2 x i n x n x n i )K(x) F (x) G(x)z(x) z(x) 0K(x)x精品文档即对任意的x € K,都存在一个以I x |为半径的区间,使得K(x+ x)=K(x) •••函数值在K内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C性质3：b如果f(x) < g(x),贝Uaf (x)dx b a g(x)dx设k(x)=f(x)-g(x),有k(x) < 0.nQ b k(x)dx a limnk( i)x i 0即b b i1bbk(x)dxaa[ f(x) a g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 0 aa b baf (x)dx a g(x)dxaa相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x€ [a,b],取m为f(x)的最小值，M 为f(x)的最大值，对于任意的一个介于mM的数C,至少存在一点&€ (a,b),有f( & )=C证明：运用零点定理:设f(x)在[a,b]上连续，若f(a)*f(b)<0, 则至少存在一点&€ (a,b),有f( & )=0设x1,x2 € [a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C, 其中m<C<M则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即：g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点&€ (x1,x2),有g( £ )=0= f( £ )-C => f( £ )=CPs：在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0(在x 轴上方)，一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有一个交点。
【精品】牛顿莱布尼茨公式的详细证明(可编辑)
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明------------------------------------------作者------------------------------------------日期牛顿—莱布尼茨公式●前言此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。
公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。
证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。
所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！(Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)●定积分性质的证明首先给出定积分的定义：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,x1],[x1,x2]…[x n,x n-1]，其中x0=a，x n=b，第i个小区间∆x i= x i-x i-1(i=1,2…n)。
由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为∆S i=f(εi)∆x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限即：1()lim()nba nii if x dx f xε→∞==∆∑⎰性质1：证明⎰bac dx = C(b-a)，其中C 为常数.几何上这就是矩形的面积性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数.设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x)∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线即: F(x)-G(x)=C性质3：如果f(x)≤g(x),则设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.即1021110()lim ()lim (...)lim ()()nbi i n n an n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=∆=-+-++-=-=-∑⎰0()()()()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ∆→''=='''∴=-=-=+∆-'∴==∆()()bba a f x dx g x dx≤⎰⎰1()lim ()0n bi i a n i k x dx k x ε→∞==∆≤∑⎰()[()()]()()0bbbba a a ak x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤⎰⎰⎰⎰()()b bf x dxg x dx∴≤相关定理的证明介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x∈[a,b],取m为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m,M的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=C证明：运用零点定理:设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=CPs: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x轴上方），一个小于0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x 轴有一个交点。
牛顿莱布尼茨公式的证明
牛顿莱布尼茨公式的证明牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式是数学家约翰·斯坦伯格（John Stanley）于1666年发明的一个关于求微分的公式。
这个公式又被称为微分法则或微分公式，用来表示函数的导数和极限的概念。
牛顿莱布尼兹公式的证明有很多方法。
本文介绍的是采用微分法的方法证明牛顿莱布尼兹公式。
首先，要证明牛顿莱布尼兹公式，需要先考虑函数f （x）的极限性质。
由极限定义可知，当h→0时，f（x+h）-f（x）/h→某个极限值。
其次，考虑函数f（x）的导数性质。
函数f（x）的导数定义是，当h→0时，f（x+h）-f（x）/h→某个极限值。
综合上述两点，可以得出牛顿莱布尼兹公式的证明：由极限的性质得出，当h→0时，函数f（x）的极限值等于函数f（x）的导数值，即极限值=f'(x)。
牛顿-莱布尼兹公式的证明可以用微积分法来证明。
对于函数f（x），它的导数可以用微分法表示为：d/dxf(x)=limh→0f（x+h）-f（x）/h。
接下来，考虑函数f（x）的极限性质，由极限定义可知，当h→0时，f（x+h）-f（x）/h→某个极限值。
因此，将微分法中的d/dx f(x)两边都乘上h，可以得到：h×d/dx f(x)=limh→0f（x+h）-f（x）。
将上述结果代入极限定义，可以得出牛顿莱布尼兹公式的证明：limh→0f（x+h）-f（x）/h=h×d/dx f(x), 即极限值=f'(x)。
综上所述，通过微分法可以证明牛顿莱布尼兹公式。
牛顿莱布尼兹公式是一个非常重要的数学公式，它不仅在微分学中使用，而且在其他数学领域也被广泛应用，如积分学、几何学、微分几何学等。
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式
二元函数的牛顿-莱布尼茨公式是一种用于计算二元函数的导数的公式，也被称为“多元链式法则”。
这个公式可以用于计算二元函数在某个点的导数，也可以用于计算二元函数在某个区域内的积分。
公式的表述如下：
设$z=f(x,y)$ 是一个二元函数，而$x$ 和$y$ 都是关于某个变量$t$ 的函数，则可以得到如下的公式：
$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$
这个公式的意思是，一个二元函数的导数可以通过对其分别求偏导数，然后用每个偏导数乘以对应自变量的导数，最后将它们相加得到。
需要注意的是，这个公式只适用于可微的函数。
如果函数不可微，则可能会出现误差，导致计算结果不准确。
此外，在应用公式时还需要注意变量的范围和定义域，以避免出现误解和错误的计算结果。
如何简单的牛顿莱布尼茨公式证明
如何简单的牛顿莱布尼茨公式证明牛顿- 莱布尼茨公式可是微积分里的重要内容呢，要说简单证明它，那咱们可得好好说道说道。
咱先来说说这公式到底是啥。
牛顿 - 莱布尼茨公式表述为：如果函数 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a) 。
这公式就像一把神奇的钥匙，能帮我们解决好多积分的问题。
那怎么证明它呢？咱们一步步来。
假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
咱先想想定积分的定义。
定积分就是把区间 [a, b] 分成很多很小很小的小段，每一小段的长度用Δx 表示。
然后在每一小段上取一个点ξi，计算f(ξi)Δx 的和。
当这些小段分得越来越细，越来越多的时候，这个和就会趋近于定积分的值。
那咱们来看看 F(x) 的性质。
因为 F(x) 是 f(x) 的原函数，所以 F'(x)= f(x) 。
咱们设 xi 是区间 [a, b] 上的分割点，形成的小区间是 [xi - 1, xi] 。
这时候，F(x) 在区间 [xi - 1, xi] 上的增量可以表示为：F(xi) - F(xi - 1) 。
根据导数的定义，当Δx 趋近于 0 时，[F(xi) - F(xi - 1)] / Δx 趋近于F'(xi) ，也就是 f(xi) 。
所以，F(xi) - F(xi - 1) 就约等于f(xi)Δx 。
把这些小区间上的增量加起来，就得到：∑[i = 1 到 n](F(xi) - F(xi - 1)) ，这其实就等于 F(b) - F(a) 。
而当分割越来越细，n 趋向于无穷大时，∑[i = 1 到n]f(xi)Δx 就趋近于定积分∫[a,b]f(x)dx 。
所以就证明了∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a) 。
这证明过程听起来可能有点复杂，但多想想，多琢磨琢磨，其实也没那么难。
牛顿 莱布尼茨公式
谢谢观看
公式应用
牛顿-莱布尼茨公式简化了定积分的计算，利用该公式可以计算曲线的弧长，平面曲线围成的面积以及空间曲 面围成的立体体积，这在实际问题中有广泛的应用，例如计算坝体的填筑方量。
牛顿-莱布尼茨公式在物理学上也有广泛的应用，计算运动物体的路程，计算变力沿直线所做的功以及物体之 间的万有引力。
牛顿-莱布尼茨公式促进了其他数学分支的发展，该公式在微分方程，傅里叶变换，概率论，复变函数等数学 分支中都有体现。
牛顿-莱布尼茨公式是微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆 运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
牛顿-莱布尼茨公式是积分学理论的主干，利用牛顿一莱布尼茨公式可以证明定积分换元公式，积分第一中值 定理和积分型余项的泰勒公式。牛顿-莱布尼茨公式还可以推广到二重积分与曲线积分，从一维推广到多维。
牛顿 莱布尼茨公式
数学名词
01 定理定义
03 定理推广 05 定理意义
目录
02 公式推导 04 发展简史 06 公式应用
牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函 数的原函数或者不定积分之间的。
牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a， b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式， 1677年,莱布尼茨在一篇手稿 中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。
德国数学家莱布尼茨在研究微分三角形时发现曲线的面积依赖于无限小区间上的纵坐标值和，1677年，莱布 尼茨在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理：给定一个曲线，其纵坐标为y，如果存在一条曲线z，使得 dz/dx=y，则曲线y下的面积∫ydx=∫dz=z。
牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较
牛顿-莱布尼兹公式的几种证法之比较学生姓名：XXX 指导教师:XX摘要：微积分学是人类近代史上最杰出的科学成果之一,它是几千年来人类智慧的结晶,微积分的创立,不仅解决了当时的一些重要的科学问题,而且由此产生了诸如微积分方程、无穷级数等一些重要的数学分支。
牛顿和莱布尼兹为微积分学的奠基人,他们的巨大贡献早已载入数学史册，本文将依次介绍了牛顿——莱布尼兹公式的历史，并从三个方面谈了著名的牛顿——莱布尼兹公式的作用；用四种方法证明了牛顿——莱布尼兹公式，并对这几种证明方法进行较全面地比较，从中可以知道它们之间的异同和各自特点,以便在教学中适当地选用,博采众长,以取得更好的效果。
最后对其应用范围进行了推广，以便让人们更深刻地了解牛顿——莱布尼兹公式并能在教学、实践中熟练应用。
关键词:牛顿——莱布尼兹作用证明比较推广1.微积分的形成及作用微积分的酝酿于17世纪上半叶到世纪末,18世纪微积分进一步发展,这种发展与广泛的应用紧密交织在一起,刺激和推动了许多数学新分支的产生,从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域[1]。
微积分从酝酿到萌芽、建立、发展直至完善,凝结了无数数学家的心血和劳动,是无数数学家艰苦奋斗的集体成果,熟悉微积分的历史发展,了解人类这一巨大财富的积累过程和数学家们所经历的艰苦漫长的道路及奋斗精神,对于提高一个人的数学素养,提高自身的数学意识和思维能力,适用于指导实际工作,都具有很重要的意义。
1.1微积分的早期萌芽积分学的思想萌芽比微分学的思想萌芽早,这要追溯到遥远的古希腊时代，这一时代有许多代表人物。
（1）.欧多克索斯的穷竭法欧多克索斯是古希腊的数学家,他在数学上的重要贡献是发展和完善了安蒂丰的“穷竭法”，欧多克索斯应用穷竭法成功地证明了下述命题:两圆面积之比等于其半径平方之比;两球体积之比等于其半径等等。
将穷竭法发展成为一立方之比;圆锥体和棱锥体的体积各为同底同高的圆柱体和棱柱体体积的13种严格的证明方法,但他没有明确的极限思想。
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牛
顿—莱布尼茨公式
● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比
公式背后的秘密的高中生。
公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积
分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。
证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认
可积的。
所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所
以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)
● 定积分性质的证明
首先给出定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区
间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i =
x i -x i-1(i=1,2…n)。
由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一
个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限
即： 性质1：证明⎰b
a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线
即: F(x)-G(x)=C
性质3：如果f(x)≤g(x),则
设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.
即 ● 相关定理的证明 介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M
为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有
f(ε)=C
证明：
运用零点定理:
设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1<x2,f(x1)=m,f(x2)=M,g(x)=f(x)-C,其中m<C<M
则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0
1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=∆=-+-++-=-=-∑⎰1()lim ()0
n b i
i a n i k x dx k x ε→∞==∆≤∑⎰Q 1
()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==∆∑⎰
即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有
g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=C
Ps: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x轴上方），一个小于
0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有
一个交点。
严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查
查.
积分中值定理:若函数 f(x)在区间[a, b]上连续,，则在区间 [a, b]上至
少
存在一个点ε∈(a,b),有
几何意义:曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等
设f(x)在区间[a, b]的最大值为M，最小值为m，即：m≤f(x)≤M
由介值定理：在区间 [a, b]上至少存在一个点ε∈(a,b)，有
●积分上限函数(变上限的定积分)的定义
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分的值由区间[a,b]与
f(x)决定，与积分变量的记号x无关，因此可以记为
而对于积分，当x∈[a,b]时，都会有一个由积分
所确定的值与之对应，因此积分是上限x的函数.记为：
下面证明
显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用φ(x)的定义，用到导数的定
义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。
(因为有的人是在看，有
的人是在观察，这明显存在很大的差别)
由积分中值定理，有：
(其中ε是在x与x+∆x之间)
这就是你想看到的，显然，当∆x->0时，ε->x
●通往真相的最后一步
证明:
设F(x)为f(x)的原函数
由性质2：f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有
相信你以后用它的时候会更加坚定，更加自然. End.。