牛顿莱布尼茨公式的详细证明

牛

顿—莱布尼茨公式

● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比

公式背后的秘密的高中生。

公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积

分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认

可积的。

所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所

以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字)

● 定积分性质的证明

首先给出定积分的定义：

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区

间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i =

x i -x i-1(i=1,2…n)。

由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一

个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限

即： 性质1：证明⎰b

a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ∆|为半径的区间,使得K(x+x ∆)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线

即: F(x)-G(x)=C

性质3：如果f(x)≤g(x),则

设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0.

即 ● 相关定理的证明 介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M

为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有

f(ε)=C

证明：

运用零点定理:

设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1

则：g(x1)=f(x1)-C<0 g(x2)=f(x2)-C>0

1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=∆=-+-++-=-=-∑⎰1()lim ()0

n b i

i a n i k x dx k x ε→∞==∆≤∑⎰Q 1

()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==∆∑⎰

即: g(x1)*g(x2)<0 由零点定理得，至少存在一点ε∈(x1,x2),有

g(ε)=0= f(ε)-C => f(ε)=C

Ps: 在这里，零点定理在高中应该有介绍，很美妙的一个定理，在几何上有明显的意义，通俗的理解是：有两个点，一个大于0（在x轴上方），一个小于

0(在x轴下方)，要用一条连续的线把它连起来，那么势必至少会与x轴有

一个交点。严格的证明这里就不了，其实我也不太懂，有兴趣的可以上网查

查.

积分中值定理:若函数 f(x)在区间[a, b]上连续,，则在区间 [a, b]上至

少

存在一个点ε∈(a,b),有

几何意义:曲线所围成的面积总有一个以积分区间为长的矩形面积与之相等

设f(x)在区间[a, b]的最大值为M，最小值为m，即：m≤f(x)≤M

由介值定理：在区间 [a, b]上至少存在一个点ε∈(a,b)，有

●积分上限函数(变上限的定积分)的定义

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分的值由区间[a,b]与

f(x)决定，与积分变量的记号x无关，因此可以记为

而对于积分，当x∈[a,b]时，都会有一个由积分

所确定的值与之对应，因此积分是上限x的函数.记为：

下面证明

显然，我们好自然会从左边证起，因为我们要运用φ(x)的定义，用到导数的定

义，更重要的是，因为我们要落笔，而不是呆呆的看。(因为有的人是在看，有

的人是在观察，这明显存在很大的差别)

由积分中值定理，有：

(其中ε是在x与x+∆x之间)

这就是你想看到的，显然，当∆x->0时，ε->x

●通往真相的最后一步

证明:

设F(x)为f(x)的原函数

由性质2：f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数C,有

相信你以后用它的时候会更加坚定，更加自然. End.