数学分析中求极限的方法总结

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数学分析中求极限的方法总结

1利用极限的四则运算法则和简单技巧

极限的四则运算法则叙述如下： 定理1.1

（1

（2

（3

（4（5

例1.例2.例3.已知()11

1

1223

1n x n n =

+++

⨯⨯-⨯解：观察

11=1122-⨯1

1=232-⨯因此得到()11

11223

1n x n n

=

+++

⨯⨯-⨯

所以1lim lim 11

n n n x n →∞→∞⎛⎫

=-= ⎪⎝⎭

2利用导数的定义求极限

导数的定义：函数f(x)

如果 存在，

即

的导数。

例

3（2

例5：x

x x x 10

)

1()

21(

lim +-→

解：为了利用极限e x x

x =+→10

)1(lim 故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外

的指数互为倒数进行配平。

x

x x x 1

0)

1()

21(lim +-→=x

x x

x 1

0131(lim +-+→ =313

310]131[(lim -+--+→=+-+

e x x x x x

x

例6：20cos 1lim

x x

x -→

解：将分母变形后再化成“0/0”型所以

例7:求

4例8：x 解:因为复合函数arcsin 是初等函数,而x 1→是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函数值.因此

例8：求x

x sin ln lim 2

π

→

解：复合函数x sin ln 在2

π

=

x 处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值

即有2sin ln sin ln lim 2

π

π

=→

x x

=1

ln 2

sin

lim =π

=0

5利用两个准则求极限。

（1）函数极限的迫敛性：若一正整数N,当n>N 时，有n n n x y z ≤≤且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有lim n x y a

→∞=。

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和{}n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例9（2）例12)2,n 。试证数列解:由1x 即数列{令A x n n =∞

→lim 对n n x x +=+61两边取极限，

有A 2

60A -A -=解得A=3,或2A =-。

因为...)2,1(0

=>n x n ，所以0A ≥，舍去2A =-,故lim 3n n x →∞

=

6利用洛必达法则求未定式的极限

定义6.1：若当x a →（或x →∞）时，函数()f x 和()F x 都趋于零(或无穷大)，则极限

)()(lim

)

(x F x f x a

x ∞→→可能存在、也可能不存在，通常称为0

0型和∞∞

型未定式。 例如：

x

x

x tan lim 0→,(00型); bx ax x sin ln sin ln lim

→,(∞

∞

型).

定理存

在(定义例10：x 并例11解：

0→x 洛必达法则通常适用于以下类型：

0⨯∞

型：

例12求lim (arctan )

2x x x π

→+∞-.

解原式222

1arctan 112lim lim lim 11111x x x x x x x x

π

→+∞→+∞→+∞-+====+. ∞-∞

型：

例13求()

2lim sec tan x x x π

→-.

解

1sin 1sin sec tan cos cos cos x x x x x x x --=

-=，

0例解1∞

例解0

∞例解原式tan ln tan 01

lim ln()tan ln 0

lim lim x x

x

x e x x

x

x x e e e

-+

→+

+

-→→===，

而

tan ~00

lim(tan ln )lim(ln )0x x x x x x x x +

+

→→-−−−→-=，因此：原式=1.

7.用泰勒展式来求极限

用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分

式的极限问题。对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形,有时可用项的泰勒展开式来代替该项,使运算十分简便。

例17：4

2

02

cos lim

x e

x x x -→-

解：因为 所以

例18：)]11ln([lim 2

x x x +

-+∞

→解：因为当x →+∞ 从而

于是

8..若要利定理8.1例19解：令f

定理8.2例20：求n n n

x !

lim

∞

→

令()f x x =,则有：

例21：求21

2111(

lim n n n n +++++∞

→